69

06 - Rezonana

1. Pendulul electric

Un condensator i o bobin conectate mpreun formeaz un circuit oscilator, ce rezoneaz (oscileaz) pe o

anumit frecven. La aceast frecven, energia este transferat de la condensator spre bobin i invers sub

form de tensiune i curent alternativ defazate ntre ele cu 90o

Atunci cnd frecvena sursei de alimentare n curent alternativ este exact egal cu frecvena natural de

oscilaie a circuitului LC, spunem c circuitul se afl ntr-o stare de

Scop

rezonan

Condensatoarele stocheaz energie sub form de cmp electric, iar aceast energie stocat se manifest

electric sub form de potenial: tensiune static. Bobinele stocheaz energie sub form de cmp magnetic, iar

aceast energie stocat se manifest electric sub form cinetic: curent. Ambele elemente sunt ns feele opuse ale

aceleiai monede; ambele sunt elemente reactive ce stocheaz i elibereaz energie n dou moduri complementare.

Cnd aceste dou tipuri de componente reactive sunt conectate mpreun, rezultatul modului lor complementar de

stocare a energiei este unul neobinuit.

Descriere

Condensator ncrcat, bobin descrcat

Dac unul dintre cele dou componente, fie condensatorul, fie bobina, este iniial ncrcat, cele dou

componente vor schimba energie ntre ele, de la unul la altul, crend propria lor tensiune i curent alternativ. Dac

presupunem c ambele componente sunt supuse unei tensiuni aplicate brusc (de la o baterie, de exemplu),

condensatorul se va ncrca foarte repede, iar bobina se va opune variaiei curentului; prin urmare condensatorul va

fi ncrcat, iar bobina descrcat.

Descrcarea condensatorului i ncrcarea bobinei

70

Condensatorul va ncepe s-i descarce energia nmagazinat pe bobin, prin urmare, tensiunea va

descrete. ntre timp, bobina va conduce curent electric i va nmagazina energie sub form de cmp magnetic;

rezultatul este creterea curentului n circuit.

Condensator descrcat, bobin ncrcat

Bobina va continua s se ncarce i s menin curgerea electronilor n circuit pn cnd condensatorul va fi

complet descrcat (tensiune zero la bornele sale).

ncrcarea condensatorului si descrcarea bobinei

Bobina va menine curentul chiar i fr existena unei tensiuni aplicate la bornele sale; de fapt, va genera o

tensiune (precum o baterie) pentru meninerea direciei curentului. Condensatorul, fiind elementul ce primete acest

curent, va ncepe s acumuleze o sarcin de polaritate invers fa de polaritatea sa iniial.

Condensator ncrcat la polaritate invers, bobina descrcat

71

Atunci cnd curentul prin bobin se epuizeaz iar energia nmagazinat ajunge la zero, tensiunea

condensatorului va fi maxim, i de polaritate opus tensiunii iniiale.

Descrcarea condensatorului i ncrcarea bobinei

Am ajuns acum la o situaie foarte similar celei iniiale: condensatorul este complet ncrcat iar curentul

prin circuit este zero (bobin descrcat). Condensatorul va ncepe (din nou) s se descarce prin/pe bobin, ducnd

la creterea curentului (n direcie opus fa de cazul iniial) i descreterea tensiunii pe msur ce energia

nmagazinat de condensator tinde spre zero.

Condensator descrcat i bobina ncrcat la un curent invers

ntr-un final, condensatorul se va descrca complet (zero voli), iar bobina va deveni ncrcat complet

(curent maxim).

Condensatorul se ncarc i bobina se descarc

72

Bobina, ncercnd s menin direcia curentului, se va comporta din nou precum o surs, genernd

tensiune electric precum o baterie pentru meninerea acestuia. n acest fel, condensatorul va ncepe s se ncarce

din nou, iar amplitudinea curentului din circuit va descrete din nou.

Condensator ncrcat complet, bobina descrcat complet (situaia iniial)

Pn la urm condensatorul se va ncrca complet (din nou) pe msur ce energia bobinei se apropie de

zero. Tensiunea se va afla din nou la valoarea maxim pozitiv, iar curentul la zero. Acest ultim pas duce la

completarea unei perioade pe parcursul crei cele dou componente au schimbat ntre ele aceeai energie electric.

Explicaie

Aceast oscilaie a energiei de la un component la altul va continua cu o amplitudine a semnalelor din ce n

ce mai mic, descretere datorat pierderilor de putere cauzate de rezistenele parazite din circuit, pn cnd

ntregul proces se oprete cu totul. n mare, acest comportament este asemntor comportamentului pendulului: pe

msur ce masa pendulului oscileaz nainte i napoi, exist o transformare continu ntre energia cinetic

(micare) i energia potenial (nlime), asemntor circuitului format din bobin i condensator.

n punctul n care nlimea pendulului este maxim, masa acestuia se oprete pentru o scurt perioad de

timp, urmat de schimbarea direciei sale de micare. n acest punct, energia potenial este maxim iar energia

cinetic este zero. Pe msur ce masa oscileaz napoi, trece rapid printr-un punct n care coarda este direcionat

perpendicular pe direcia pmntului. n acest punct, energia potenial este zero iar energia cinetic este la valoarea

sa maxim. Precum un circuit, oscilaia nainte i napoi a pendulului va continua cu o amplitudine a oscilaiilor din

73

ce n ce mai mic, descretere datorat frecrii cu aerul (rezisten) ce disip energie. Tot precum n cazul

circuitului de mai sus, poziia i viteza pendulului trasate pe un grafic (timp-amplitudine) contureaz dou unde

sinusoidale defazate ntre ele cu 900.

n fizic, aceast oscilaie sinusoidal natural

este cunoscut sub numele de micare

armonic simpl. Aceleai principii stau ns

i la baza circuitelor formate din condensator

i bobin, de genul celui vzut mai sus. O

proprietate interesant al oricrui tip de

pendul, este c perioada sa depinde de

lungimea braului i nu de greutatea masei de

la captul acesteia

.

De aceea pendulul va continua s oscileze la aceeai frecven pe msur ce amplitudinea oscilaiilor scade.

Rata oscilaiilor este independent de cantitatea de energie stocat n pendul.

Acelai lucru este valabil i pentru circuitul bobin/condensator. Rata oscilaiilor este strict dependent de

mrimea condensatorului i a bobinei

Frecvena natural (de rezonan)

, i nu de cantitatea de tensiune (sau curent) disponibil n circuit. Proprietatea

sa de a menine o singur frecven, natural, indiferent de valoarea energiei stocate, este de o mare importan n

realizarea circuitelor electrice.

Frecvena natural reprezint frecvena la care sistemul vibreaz dup ce acesta a fost pus n micare, fr

s existe vreo intervenie din afara acestuia. Acest frecvena mai poart i numele de frecvena de rezonan.

Rezonana

Dac frecvena sursei de alimentare a circuitului este exact frecven natural de oscilaie a combinaiei LC,

spunem c circuitul se afl ntr-o stare de rezonan. Efectele neobinuite vor atinge un maxim n aceast condiie

de rezonan. Din acest motiv, trebuie s calculm din timp frecvena de rezonan pentru diferite combinaii de L

i C, i s inem cont de efectele acesteia asupra circuitului.

74

Observaie

Totui, aceast tendin de oscilaie, sau rezonan, la o anumit frecven, nu este limitat doar la circuitele

concepute special n acest scop. De fapt, aproape orice circuit de curent alternativ ce conine o combinaie de

capaciti i inductiviti (circuit LC) tinde s manifeste efecte neobinuite atunci cnd frecvena sursei de

alimentare n curent alternativ se apropie de frecvena natural. Acest lucru este valabil indiferent de scopul pentru

care circuitul a fost creat.

2. Rezonana paralel

Rezonana are loc atunci cnd reactana capacitiv este egal cu reactana inductiv

Impedana total a unui circuit LC paralel tinde spre infinit pe msur ce frecvena sursei de alimentare se

apropie de frecvena de rezonan

Circuit LC paralel

Putem ajunge la o stare de rezonan ntr-un circuit oscilator (LC),

dac reactanele condensatorului i a bobinei sunt egale ntre ele.

Deoarece reactana inductiv crete odat cu creterea frecvenei,

iar reactana capacitiv scade cu creterea frecvenei, exist doar o

singur frecven unde cele dou reactane vor fi egale

.

Frecvena de rezonan

Din egalitatea celor dou ecuaii de mai sus, obinem:

75

nmulim ambele ecuaii cu f

mprim ambele ecuaii cu

Rezolvnd i simplificnd ecuaia de mai sus, obinem urmtorul rezultat:

n circuitul de mai sus, avem un condensator de 10 F i o bobin de 100 mH. Din moment ce cunoatem

ecuaiile pentru determinarea reactanelor, oricare ar fi valoarea frecvenei, iar ceea ce ne intereseaz este punctul n

care cele dou reactane sunt egale ntre ele, putem rezolva ecuaia format din egalitatea celor dou reactane

pentru a afla frecvena de rezonan (natural).

Aceasta este formula prin care putem afla frecvena de rezonan a unui circuit oscilator, atunci cnd

cunoatem valorile inductanei (L) i a capacitii (C). Dup introducerea valorilor L i C n formula de mai sus,

ajungem la frecven de rezonan de 159,155 Hz.

Impedana total

Ceea ce se ntmpl la rezonan este interesant. Fiindc reactana inductiv este egal cu cea capacitiv,

impedana total crete spre infinit

Prin urmare, ambele impedane sunt egale, 100 . Putem apoi s aplicm

, ceea ce nseamn c circuitul oscilator nu consum deloc curent de la sursa de

tensiune! Putem calcula impedanele individuale ale condensatorului de 10 F i a bobinei de 100 mH.

formula impedanei paralel

pentru a demonstra matematic ceea ce am spus mai sus:

76

Desigur, nu putem face raportul unui numr cu zero pentru a ajunge la un rezultat care s aib sens, dar

putem spune c rezultatul tinde spre infinit pe msur ce valorile celor dou impedane paralel se apropie una de

cealalt. Practic, acest lucru nseamn c impedana total a circuitului oscilator la rezonan este infinit

Relaia curent-frecven

. (se

comport precum un circuit deschis).

Grafic, amplitudinea curentului din circuit n funcie de

frecvena sursei de alimentare arat precum n figura alturat.

Punctul de pe grafic unde curentul este zero, coincide cu

frecvena de rezonan calculat mai sus, 159,155 Hz.

3. Rezonana serie

Impedana total a unui circuit LC serie se apropie de zero pe msur ce frecvena sursei de alimentare se

apropie de frecvena de rezonan

77

Formula de calcul a frecvenei de rezonan este aceeai ca i n cazul circuitului LC paralel

Circuitele LC serie pot dezvolta cderi de tensiune extrem de mari pe cele dou componente atunci cnd se

afl la rezonan, datorit curenilor mari din circuit i a impedanelor suficient de mari ale componentelor

Circuit LC serie

Un efect similar rezonanei paralel are loc i n circuitele inductiv-capacitive serie.

Atunci cnd este atins o stare de rezonan (reactana capacitiv este egal cu cea

inductiv), cele dou impedane se anuleaz reciproc iar impedana total scade la

zero

!

Frecvena de rezonan

Formula frecvenei de rezonan calculat anterior este valabil att pentru circuitele LC paralel ct i

pentru cele serie.

Impedana total

Dup cum am spus i mai sus, impedana total la rezonan scade spre zero. Matematic, acest lucru arat

astfel:

Graficul curent-frecven

78

Fiindc impedana serie total este 0 la frecvena de

rezonan de 159,155 Hz, se va produce un scurt circuit la

bornele sursei de curent alternativ la rezonan. Graficul

curentului n funcie de frecven este cel din figura alturat.

Putem observa de pe grafic, c la frecvena de rezonan de 159,155 Hz (aproximativ), valoarea curentului

prin circuit este maxim, ceea ce sugereaz un scurt-circuit

Observaie

.

Atenie, datorit curenilor mari ce se pot dezvolta ntr-un circuit LC serie la rezonan, este posibil

apariia unor cderi de tensiune periculoase pe condensator i bobin, ntruct fiecare component are o impedan

suficient de mare. Dac alimentm acest circuit cu doar 1 V, cderile de tensiune pe cele dou componente pot

atinge valori impresionante de aproximativ 70 V ! Prin urmare, fii foarte ateni atunci cnd experimentai cu astfel

de circuite

4. Aplicaii ale rezonanei

!

Rezonana poate fi utilizat pentru meninerea oscilaiilor circuitelor de curent alternativ la o frecven

constant

Rezonana poate fi exploatat pentru proprietile sale cu privire la impedan: creterea sau descreterea

dramatic a impedanei pentru anumite frecvene. Circuitele concepute special pentru nlturarea tuturor

frecvenelor din circuit exceptnd cele dorite, se numesc filtre

Scop

79

Pn acum, fenomenul rezonanei pare doar o curiozitate nefolositoare, sau chiar duntoare, mai ales n

cazul scurt-circuitrii sursei de tensiune alternativ n circuitul serie. Totui, rezonana este o proprietate valoroas a

circuitelor de curent alternativ, fiind folosit ntr-o varietate de aplicaii.

Stabilizarea frecvenei

Una dintre aplicaiile rezonanei const

n atingerea unei frecvene stabile n

circuitele folosite pentru producerea

semnalelor alternative. De obicei este

folosit un circuit paralel n acest scop,

condensatorul i bobina fiind conectate mpreun, schimbnd energie ntre ele, alternativ.

La fel cum pendulul poate fi folosit pentru stabilizarea frecvenei oscilaiilor ceasurilor, un circuit oscilator

(paralel) poate fi folosit pentru stabilizarea frecvenei electrice a unui circuit oscilator de curent alternativ. Dup

cum am mai spus, frecvena impus de circuitul oscilator depinde doar de valorile L i C, i nu de amplitudinea

tensiunii sau a curentului din circuit.

Filtre de frecven

O alt aplicaie a rezonanei este n circuitele n care efectele impedanelor mrite sau micorate, la o

anumit frecven, sunt de dorit. Un circuit rezonant poate fi folosit pentru blocarea (impedan mare) unei

anumite frecvene sau a unui domeniu de frecvene; circuitul se comport n acest caz precum un filtru, pentru

selectarea anumitor frecvene n defavoarea altora. Aceste circuite sunt de fapt denumite filtre, iar studiul lor

constituie o ntreag disciplin.

n principiu, acesta este i modul de funcionare al unui aparat de radiorecepie, ce selecteaz o anumit

frecven (post radio) din seria frecvenelor variate recepionate de anten.

5. Rezonana serie-paralel. Antirezonana

Adugarea unei rezistene ntr-un circuit LC poate s produc efectul de antirezonan

Rezistena prezent n bobinele reale poate contribui n mare msur la apariia antirezonanei. O surs a

unei astfel de rezistene este efectul pelicular.

, unde efectele de

vrf ale impedanei au loc la o frecven diferit fa de frecvena de rezonan iniial

ntr-un circuit RLC serie, rezistena adiional n circuit nu produce antirezonan.

80

Scop

n circuitele reactive simple fr rezisten (sau rezisten foarte mic), efectele impedanelor la frecvena

de rezonan vor fi cele prezise de ecuaia acesteia. ntr-un circuit LC paralel, aceasta nseamn impedan infinit.

n circuitele LC serie, nseamn impedan zero (la rezonan).

Totui, dac ncepem s introducem rezisten n circuitele LC, aceast formul de calcul pentru rezonan

nu mai este utilizabil. Vom luat cteva circuite LC ca i exemplu, folosind aceleai valori pentru capacitate i

inductan ca i nainte: 10 F i 100 mH. Frecvena de rezonan, potrivit formulei, ar trebui s fie 159,155 Hz, dar

s vedem ce se ntmpl atunci cnd introducem un rezistor n circuit.

Circuit RLC paralel (rezistor -- bobina)

Rezistorul conectat n paralel cu bobina produce un curent

minim, ce nu este zero, la frecvena de 136,8 Hz, i nu la

159,2 Hz, valoarea calculat.

Circuit RLC paralel (condensator -- rezistor)

81

Curentul minim n acest caz este la frecvena de 180 Hz, nu

la 159,2 Hz.

Circuit RLC serie (rezistor // bobina)

ntorcndu-ne la circuitul LC serie, vom conecta o

rezisten n paralel cu bobina. n circuitul alturat,

rezistorul R1 de 1 este conectat n serie cu bobina i

condensatorul pentru limitarea curentului total prin

circuit la rezonan. Rezistorul extra pe care l

introducem n circuit pentru influenarea frecvenei de

rezonan este rezistorul R2 de 100 .

Circuitul rezonant serie (LC) cu un rezistor conectat n paralel

cu bobina, prezint un curent maxim la o frecven de 180 Hz,

fa de 159,2 Hz.

82

Circuit RLC serie (rezistor // condensator

i n acest caz, curentul maxim prin circuit nu se mai produce

la frecvena de 159,2 Hz, ci la 136,8 Hz.

Antirezonana

Tendina rezistenei de modificare a punctului n care impedana atinge maximul sau minimul ntr-un

circuit LC, poart numele de antirezonan

Efectul pelicular

.

Din nou, efectele de mai sus ilustreaz natura complementar a condensatoarelor i a bobinelor: rezistena

serie cu unul dintre ele creaz un efect de antirezonan echivalent cu rezistena paralel cu cellalt. Dac ne uitm i

mai atent la graficele de mai sus, putem observa c frecvenele de rezonan sunt modificate cu aceeai valoare, iar

forma graficelor complementare sunt n oglind!

Nu este foarte greu s adugm o rezisten ntr-un circuit LC, dar, dei confecionarea condensatoarelor cu

rezistene neglijabile, este posibil, bobinele sufer la acest capitol; rezistenele lor sunt mari datorit lungimilor

conductorilor folosii la confecionarea acestora. Mai mult dect att, rezistena conductorilor tinde s creasc odat

cu creterea frecvenei de funcionare, datorit efectului pelicular, efect ce se manifest prin excluderea deplasrii

curentului alternativ prin centrul conductorului, reducnd prin urmare seciunea transversal a firului i mrind

astfel rezistena sa. Astfel, bobinele nu doar c au rezisten, dar au o rezisten variabil, dependent de frecven.

Pe lng asta, bobinele se mai confrunt i cu pierderi, datorit miezurilor de fier folosite, efect cunoscut

sub numele de cureni turbionari

Circuit RLC serie

.

83

O excepie de la regula conform crei o rezisten adiional ntr-un

circuit LC modific valoarea rezistenei de rezonan, este circuitul

RLC serie. Atta timp ct toate componentele sunt conectate n serie,

frecvena de rezonan nu va fi afectat de rezistena n plus introdus n

circuit. Graficul variaiei curentului n funcie de frecven este

prezentat alturat.

Valoarea curentului maxim este din nou atins pentru

frecvena de 159,2 Hz!

Aplicaiile antirezonanei

Este bine de tiu c antirezonana are un efect de amortizare (atenuare) a oscilaiilor circuitelor LC pure,

precum cele paralel. La nceputul acestui capitol am observat cum un condensator i o bobin conectate direct

mpreun se comport precum un pendul, schimbnd tensiune i curent ntre ele precum un pendul schimb energia

potenial cu cea cinetic, alternativ. ntr-un circuit oscilator perfect (rezisten zero), aceast oscilaie poate

continua la infinit, la fel ca n cazul unui pendul fr frecri, ce ar putea oscila la infinit la frecvena sa de

rezonan. Dar aceste dispozitive fr frecare sunt foarte greu de gsit n realitate, i la fel este i cazul circuitelor

oscilatoare. Pierderea de energie prin rezisten (sau alte tipuri de pierdere) ntr-un circuit LC va duce la atenuarea

amplitudinii oscilaiilor pn acestea se sting. Dac ntr-un circuit oscilator, exist suficiente pierderi de energie,

acesta nu va rezona deloc.

Eliminarea oscilaiilor nedorite

84

Efectul de antirezonan este mai mult dect o simpl curiozitate: antirezonana poate fi extrem de util la

eliminarea oscilaiilor nedorite din circuitele ce conin inductane sau capaciti parazite, precum este cazul

majoritii circuitelor.

S lum ca i exemplu circuitul alturat, al crei constant de timp este

L/R.

Ideea acestui circuit este simpl: ncrcarea bobinei atunci cnd ntreruptorul este nchis. Rata (viteza) de

ncrcare a bobinei depinde de raportul L/R, cunoscut sub numele de constanta de timp a circuitului, msurat n

secunde.

Totu i, d ac ar fi s construim fizic un astfel de

circuit, am descoperi oscilaii neateptate a tensiunii

la bornele bobine atunci cnd ntreruptorul este

nchis. De ce se ntmpl acest lucru? Nu exist

niciun condensator n circuit, prin urmare, cum

putem avea oscilaie rezonant folosind doar o

bobin, un rezistor i o baterie?

Toate bobinele prezint o anumit capacitate parazit datorit modului de realizare a nfurrilor. De

asemenea, conductorii folosii pentru realizarea circuitului, prezint i ei o anumit capacitate parazit. Cu toate c

proiectarea curat a circuitelor electrice elimin mare parte dintre aceste capaciti parazite, aceasta nu poate fi

niciodat eliminat complet. Dac acest lucru cauzeaz probleme de rezonan (oscilaii nedorite), un mod de

combatere al acestui efect este prin adugarea rezistenelor. Dac un rezistor, R, este suficient de mare, acesta va

duce la o situaie de antirezonan, disipnd suficient energie pentru anularea, sau diminuarea efectelor oscilaiei

Amortizoare

datorate combinaiei dintre inductan i capacitile parazite.

Este interesant de menionat faptul c, principiul utilizrii rezistenei pentru eliminarea efectelor nedorite

ale rezonanei este des folosit n conceperea sistemelor mecanice, unde orice obiect aflat n micare reprezint un

potenial rezonator. O aplicaie extrem de des ntlnit este folosirea amortizoarelor la automobile. Fr

amortizoare, automobilele ar vibra necontrolat la frecvena de rezonan, atunci cnd ar ntlni o denivelare n

85

asfalt, de exemplu. Rolul amortizorului este de a introduce un efect antirezonant puternic prin disiparea energiei pe

cale hidraulic, n acelai fel n care un rezistor disip energie pe cale electric.