55

05 - Reactana i impedana RLC

1. Rezistena (R), reactana (X) i impedana (Z) - recapitulare

Unghiul de faz al impedanei reprezint diferena de faz dintre cderea de tensiune la bornele unui

component i curentul prin acesta

nainte de a ncepe s explorm efectele rezistorilor, bobinelor i a condensatoarelor conectate mpreun n

acelai circuit de curent alternativ, s recapitulm mai nti cteva noiuni de baz.

Rezistena (R)

Rezistena este de fapt frecarea ntmpinat de electroni, atunci cnd acetia se afl n micare. Toate

materialele conductoare posed o anumit rezisten (excepie fcnd materialele supraconductoare), n special

rezistorii. Atunci cnd curentul alternativ ntmpin o rezisten, cderea de tensiune i curentul prin aceasta sunt n

faz. Simbolul matematic pentru rezisten este R, iar unitatea de msur este Ohm-ul ().

Reactana (X)

Reactana este de fapt ineria ntmpinat de electroni, atunci cnd acetia se afl n micare. Este prezent

peste tot unde exist cmpuri electrice sau magnetice datorit tensiunii sau curentului aplicat, dar n special n

condensatoare i bobine. Atunci cnd curentul alternativ ntmpin o reactan, cderea de tensiune i curentul prin

aceasta sunt defazate cu 900. Simbolul matematic pentru reactan este X, iar unitatea de msur este Ohm-ul ().

Impedana (Z)

Impedana este o expresie complet a tuturor formelor de opoziie ntmpinate de electroni, atunci cnd

acetia se afl n micare, i include efectele rezistenei ct i a reactanei. Este prezent n toate circuitele i n toate

componentele. Atunci cnd curentul alternativ ntmpin o impedan, cderea de tensiune i curentul prin aceasta

sunt defazate cu un unghi ntre 00 i 900. Simbolul matematic al impedanei este Z, iar unitatea de msur este

Ohm-ul (), sub form complex.

Componente ideale

56

Rezistorii perfeci posed doar rezisten, nu i reactan. Bobinele i condensatoarele perfecte posed doar

reactan, nu i rezisten. Toate componentele posed impedan, i, datorit acestei proprieti universale a

componentelor, este normal s exprimm (traducem) valorile tuturor componentelor (rezisten, inductan i

capacitate) sub un termen comun, cel al impedanei, ca prim pas n analiza oricrui circuit de curent alternativ:

Unghiul de faz al impedanei

Unghiul de faz al impedanei pentru fiecare component este diferena de faz dintre cderea de tensiune la

bornele dispozitivului i curentul prin acesta

Rezistor

.

n cazul unui rezistor perfect, cderea de tensiune i curentul sunt tot timpul n faz, prin urmare, unghiul

de faz al impedanei rezistorului (impedana rezistiv) este 00.

Bobin

Pentru o bobin perfect, cderea de tensiune este tot timpul defazat naintea curentului cu 900, prin

urmare, unghiul de faz al impedanei bobinei (impedana inductiv) este +900.

Condensator

Pentru un condensator perfect, cderea de tensiune este tot timpul defazat n urma curentului cu 90o, prin

urmare, unghiul de faz al impedanei condensatorului (impedana capacitiv) este -900.

Legile lui Ohm i Kirchhoff n curent alternativ

Toate mrimile sunt exprimate sub form complex, nu scalar:

57

Impedanele n curent alternativ se comport analog rezistenelor n curent continuu: se adun cnd sunt

conectate n serie i se micoreaz n paralel. Legea lui Ohm pentru circuitele de curent alternativ, bazat pe

impedan, nu pe rezisten, arat conform figurii alturate.

Legile lui Kirchhoff, precum i toate metodele de analiz a reelelor i toate teoremele valabile pentru

curent continuu sunt valabile i n curent alternativ, atta timp cnd valorile sunt exprimate sub form complex i

nu scalar. Cu toate c aceast echivalen poate fi greu de aplicat aritmetic, conceptual, ea este simpl i elegant.

Singura diferen real ntre circuitele de curent continuu i alternativ este cea legat de calcularea puterii. Deoarece

reactana nu disip putere precum o face rezisten, conceptul de putere n circuitele de curent alternativ este radical

diferit fa de cele de curent alternativ.

2. Circuite RLC serie

Cu toate c impedanele n serie se adun, impedana total pentru un circuit ce conine att bobine ct i

condensatoare poate s fie mai mic dect impedanele individuale, datorit faptului c impedanele

inductive i capacitive tind s se anuleze reciproc atunci cnd sunt conectate n serie. Acest lucru poate

duce la cderi de tensiune pe componente mai mari dect tensiunea sursei de alimentare

Circuit RLC serie

S considerm circuitul RLC serie alturat.

Reactana bobinei i a condensatorului

Primul pas este determinarea reactanelor pentru bobin i condensator:

Impedanele componentelor

58

Urmtorul pas const n exprimarea tuturor rezistenelor i

reactanelor ntr-o form matematic comun: impedana. inei

minte c reactan inductiv (reactana bobinei) se traduce

printr-o impedan imaginar pozitiv(+900), iar reactana

capacitiv

Rezolvarea circuitului

(reactana condensatorului) se traduce printr-o

impedan imaginar negativ (-900). Rezistena, desigur, este

considerat o impedan real pur (unghi polar de 00).

Formulele de calcul arat astfel:

Valorile iniiale

Dup ce toate valorile opoziiei fa de curent au

fost exprimate sub forma comun a impedanei, ca

i numere complexe, acestea pot fi manipulate la

fel ca rezistenele n curent continuu. Putem scrie

toate valorile cunoscute ntr-un tabel, i apoi s

rezolvm mai departe acest circuit.

Impedana total

Circuitul de mai sus fiind unul serie, tim c impedana total este egal cu suma impedanelor individuale:

Mrime R L C Total Unitate

E

120 + j0 120 00 V

I

A

Z 250 + j0 250 00

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

59

Introducnd valoarea impedanei totale n

tabel, obinem tabelul alturat.

Curentul total

Putem acum aplica legea lui Ohm (I =E /

R), vertical, n coloana Total pentru a

gsi curentul total din circuit.

Curentul prin fiecare dintre componente

Fiind un circuit serie,

curentul trebuie s fie

acelai prin toate

componentele.

Cderile de tensiune pe fiecare component

Mrime R L C Total Unitate

E 3,14 + j19,17 19,43 80,680

-18,79 + j3,08 19,04 170,680

120 + j22,26 137,46 -9,310

135,65 + j0 120 00 V

I 12,58m + j76,7m 77,73m 80,680

12,58m + j76,7m 77,73m 80,680

12,58m + j76,7m 77,73m 80,680

12,58m + j76,7m 77,73m 80,680 A

Z 250 + j0 250 00

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

250 - j1,52k 1,54k -80,680

Putem aplica acum legea lui Ohm (E = IZ) fiecrui component n parte, pentru determinarea cderilor de

tensiune.

Observaii

Mrime R L C Total Unitate

E

120 + j0 120 00 V

I

A

Z 250 + j0 250 00

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

250 - j1,52k 1,54k -80,680

Mrime R L C Total Unitate

E

120 + j0 120 00 V

I

12,58m + j76,7m 77,73m 80,680 A

Z 250 + j0 250 00

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

250 - j1,52k 1,54k -80,680

Mrime R L C Total Unitate

E

120 + j0 120 00 V

I 12,58m + j76,7m 77,73m 80,680

12,58m + j76,7m 77,73m 80,680

12,58m + j76,7m 77,73m 80,680

12,58m + j76,7m 77,73m 80,680 A

Z 250 + j0 250 00

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

250 - j1,52k 1,54k -80,680

60

Putem observa ceva aparent ciudat n acest caz: cu toate c tensiunea sursei de alimentare este de doar 120

V, tensiunea la bornele condensatorului este de 137,46 V! De ce se ntmpl acest lucru? Rspunsul se afl n

interaciunea dintre reactanele inductive i capacitive. Exprimat ca i impedan, putem vedea c bobina se opune

trecerii curentului ntr-un mod exact invers fa de condensator. Exprimat sub form rectangular, impedan

bobinei posed un termen imaginar pozitiv, iar condensatorul un termen imaginar negativ. Cnd aceste dou

impedane contrare sunt adunate (n serie), ele tind s se anuleze reciproc! Cu toate c ele se adun, suma lor este de

fapt mai mic dect oricare dintre impedane (inductive sau capacitive) considerate separat. Acest lucru este analog

sumei dintre un scalar pozitiv i unul negativ.

Dac impedana total ntr-un circuit serie ce conine att elemente inductive ct i capacitive, pe lng cele

rezistive (RLC), este mai mic dect impedana individual a oricrui element luat separat, atunci curentul total din

circuit trebuie s fie mai mare dect curentul rezultat n cazul n care doar componenta capacitiv sau inductiv ar fi

introduse n circuit. Odat cu apariia acestui curent prin fiecare element, mai mare dect n mod normal, pot aprea

cderi de tensiune mai mari dect tensiunea sursei de alimentare, pe anumite elemente din circuit!

3. Circuite RLC paralel

Analiza circuitelor paralel n curent alternativ este similar analizei circuitelor paralel din curent continuu. Singura diferen major const n faptul c toate valorile i calculele se realizeaz sub form complex, nu scalar

Circuit RLC paralel

Putem folosi aceleai componente de la circuitul serie, dar conectate n paralel de aceast dat.

Valorile impedanelor individuale

Faptul c aceste componente sunt conectate n paralel i nu n serie, nu are absolut niciun efect asupra impedanelor individuale. Atta timp ct frecvena sursei de tensiune este aceeai, reactanele inductive i capacitive nu se vor modifica deloc.

Rezolvarea circuitului

61

Valorile iniiale

Dup ce am exprimat valorile tuturor componentelor ca i impedane (Z), putem ncepe analiza circuitului prin completarea tabelului, folosind regulile circuitelor serie de data aceasta.

Cderea de tensiune pe fiecare dintre componente

tiind c ntr-un circuit paralel, cderea de tensiune este aceeai pe toate componentele, putem trece valoarea tensiunii totale n fiecare coloan.

Curentul prin fiecare dintre componente

Acum putem aplica legea lui Ohm (I = E / Z) vertical, pe fiecare coloan, pentru determinarea curentului prin fiecare component.

Curentul i impedana total

Exist dou strategii pentru calcularea curentului i a impedanei totale. Prima presupune calcularea impedanei totale din impedanele individuale conectate n paralel folosind formula echivalent:

iar curentul total ca raport dintre tensiunea sursei de alimentare i impedana total (I = E / Z). Totui, rezolvarea ecuaiei presupune un calcul dificil cu numere complexe.

Mrime R L C Total Unitate

E

120 + j0 120 00 V

I

A

Z 250 + j0 250 00

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

Mrime R L C Total Unitate

E 120 + j0 120 00

120 + j0 120 00

120 + j0 120 00

120 + j0 120 00 V

I

A

Z 250 + j0 250 00

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

Mrime R L C Total Unitate

E 120 + j0 120 00

120 + j0 120 00

120 + j0 120 00

120 + j0 120 00 V

I 480m + j0 480m 00

0 - j489,71m 489,71m -900

0 + j67,85m 67,85m 900

A

Z 250 + j0 250 00

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

62

A doua metod de calcul presupune aflarea curentului total ca sum a curenilor de ramur, iar apoi, folosind legea lui Ohm, putem determina impedana total ca raport dintre tensiunea sursei de alimentare i curentul total (Z =E / I). Rezultatul final trebuie s fie acelai

n ambele cazuri.

4. Circuite RLC serie-paralel

Analiza circuitelor serie-paralel n curent alternativ este similar analizei circuitelor serie-paralel din curent continuu. Singura diferen major const n faptul c toate valorile i calculele se realizeaz sub form complex, nu scalar

Este important de inut minte ca nainte de simplificarea circuitului serie-paralel, trebuie s determinm impedanele (Z) fiecrui component, rezistor, bobin sau condensator. n acest fel, valorile tuturor componentelor vor fi exprimate sub aceeai form (Z) i se evit astfel amestecarea rezistenelor (R) cu inductane (L) i capaciti (C)

Circuit RLC serie-paralel

S lum ca i exemplu circuitul RLC serie-paralel alturat.

Impedanele individuale ale componentelor

Mrime R L C Total Unitate

E 120 + j0 120 00

120 + j0 120 00

120 + j0 120 00

120 + j0 120 00 V

I 480m + j0 480m 00

0 - j489,71m 489,71m -900

0 + j67,85m 67,85m 900

480m - j421,85m 639,03m -41,310 A

Z 250 + j0 250 00

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

141,05 + j123,96m 187,79m 41,310

63

Primul pas este determinarea valorilor impedanelor (Z) pentru toate componentele, n funcie de frecvena sursei de alimentare. Pentru a realiza acest lucru, trebuie mai nti s determinm valorile reactanelor (X) bobinelor i condensatoarelor iar apoi s exprimm reactanele (X) i rezistenele (R) sub form de impedane (Z).

Formulele de calcul sunt urmtoarele:

Rezolvarea circuitului

Valorile iniiale

Putem acum s completm valorile iniiale n tabel.

Observaie

ntruct avem de a face n acest caz cu un circuit serie-paralel combinat, nu putem afla impedana total dintr-un singur pas. Prima dat lum L i C2 ca i combinaie serie; impedana combinat va fi suma impedanelor individuale. Apoi, impedana rezultat o vom combina n paralel cu impedana rezistorului, rezultatul fiind o nou impedan. i, n sfrit, impedana precedent o combinm n serie cu impedana C1 i ajungem la valoarea impedanei totale a circuitului considerat.

Pentru a putea reprezenta toi aceti pai sub format tabelar, va trebui s mai adugam cteva coloane (folosim de fapt un al doilea tabel din motive de spaiu), fiecare coloan reprezentnd combinaia respectiv.

Mrime C1 L C2 R Total Unitate

E

120 + j0 120 00 V

I

A

Z 0 - j564,38 564,38 -900

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

470 + j0 470 00

Mrime L -- C2 R // (L -- C2) (Total)

C1 -- [R // (L -- C2)] Unitate

E

V I

A

Z

64

Impedanele combinate

Calculul acestor impedane combinate necesit sume complexe pentru combinaiile serie i utilizarea formulei echivalente pentru impedanele paralel.

Putem s renunm la coloana total din primul tabel, ntruct aceasta apare n cel de al doilea tabel.

Curentul total

Cunoscnd impedana i tensiunea total, putem aplica legea lui Ohm, vertical, pe coloana Total pentru calcularea curentului total.

Curentul prin condensator i combinaia serie paralel

n acest moment, putem cuta componente sau combinaii de componente ce au fie aceeai cdere de tensiune sau acelai curent. Iar n acest caz, att prin C1 ct i prin combinaia paralel R//(L--C2) trece acelai curent, ntruct ele sunt n serie. Putem trece prin urmare aceste valori n

ambele coloane.

Mrime L -- C2 R // (L -- C2) (Total)

C1 -- [R // (L -- C2)] Unitate

E

120 + j0 120 00 V

I

76,89m + j124,86m 146,64m 58,370

76,89m + j124,86m 146,64m 58,370 A

Z 0 - j1,52k 1,52k -900

429,15 - j132,41 449,11 -17,140

429,15 - j696,72 818,34 -58,370

Cderea de tensiune pe condensator i combinaia serie paralel

Mrime L -- C2 R // (L -- C2) (Total)

C1 -- [R // (L -- C2)] Unitate

E

120 + j0 120 00 V

I

A

Z 0 - j1,52k 1,52k -900

429,15 - j132,41 449,11 -17,140

429,15 - j696,72 818,34 -58,370

Mrime L -- C2 R // (L -- C2) (Total)

C1 -- [R // (L -- C2)] Unitate

E

120 + j0 120 00 V

I

76,89m + j124,86m 146,64m 58,370 A

Z 0 - j1,52k 1,52k -900

429,15 - j132,41 449,11 -17,140

429,15 - j696,72 818,34 -58,370

Mrime C1 L C2 R Unitate E

V

I 76,89m + j124,86 146,64 58,370

A

Z 0 - j564,38 564,38 -900

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

470 + j0 470 00

65

Acum putem calcula cderile de tensiune pe C1 i pe combinaia serie-paralel R//(L--C2 folosind legea lui Ohm (E=IZ), vertical.

Mrime L -- C2 R // (L -- C2) (Total)

C1 -- [R // (L -- C2)] Unitate

E

49,53 + j43,4 65,85 41,220

120 + j0 120 00 V

I

76,89m + j124,86m 146,64m 58,370

76,89m + j124,86m 146,64m 58,370 A

Z 0 - j1,52k 1,52k -900

429,15 - j132,41 449,11 -17,140

429,15 - j696,72 818,34 -58,370

Cderea de tensiune pe rezistor i combinaia serie

Din nou, putem cuta componente ce au aceeai cdere de tensiune sau curent. n acest caz, rezistorul (R) i combinaia serie a bobinei cu cel de al doilea condensator (L--C) au aceeai cdere de tensiune, pentru c cele dou seturi de impedane sunt conectate n paralel. Astfel, putem

trece valorile tensiunii calculate mai sus n coloanele R i L--C2.

Mrime L -- C2 R // (L -- C2) (Total)

C1 -- [R // (L -- C2)] Unitate

E 49,53 + j43,4 65,85 41,220

49,53 + j43,4 65,85 41,220

120 + j0 120 00 V

I

76,89m + j124,86m 146,64m 58,370

76,89m + j124,86m 146,64m 58,370 A

Z 0 - j1,52k 1,52k -900

429,15 - j132,41 449,11 -17,140

429,15 - j696,72 818,34 -58,370

Curentul prin rezistor i combinaia serie

Mrime C1 L C2 R Unitate

E 70,46 - j43,4 82,76 -31,620

V

I 76,89m + j124,86 146,64 58,370

A

Z 0 - j564,38 564,38 -900

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

470 + j0 470 00

Mrime C1 L C2 R Unitate

E 70,46 - j43,4 82,76 -31,620

49,53 + j43,4 65,85 41,220 V

I 76,89m + j124,86 146,64 58,370

A

Z 0 - j564,38 564,38 -900

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

470 + j0 470 00

66

Urmtorul pas este calcularea curentului prin rezistor i prin combinaia serie L--C2. Tot ceea ce trebuie s facem este s aplicm legea lui Ohm (I=E/Z), vertical, n ambele coloane.

Mrime L -- C2 R // (L -- C2) (Total)

C1 -- [R // (L -- C2)] Unitate

E 49,53 + j43,4 65,85 41,220

49,53 + j43,4 65,85 41,220

120 + j0 120 00 V

I -28,49m + j32,51m 43,23 131,220

76,89m + j124,86m 146,64m 58,370

76,89m + j124,86m 146,64m 58,370 A

Z 0 - j1,52k 1,52k -900

429,15 - j132,41 449,11 -17,140

429,15 - j696,72 818,34 -58,370

Curentul prin bobin i condensator

Din moment ce L i C2 sunt conectate n serie i cunoatem curentul prin combinaie serie a impedanei,

putem trece aceeleai valori i n coloanele L i C2, folosind regula conform creia n circuitele serie, curentul prin

fiecare component este acelai:

Cderile de tensiune pe bobin i condensator

Ultimul pas const n aplicarea legii lui Ohm (E =I Z), vertical, pentru calcularea cderilor de tensiune

pentru cele dou coloane rmase (L i C2):

Mrime C1 L C2 R Unitate

E 70,46 - j43,4 82,76 -31,620

49,53 + j43,4 65,85 41,220 V

I 76,89m + j124,86 146,64 58,370

105,39m + j92,341m 140,12m 41,220 A

Z 0 - j564,38 564,38 -900

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

470 + j0 470 00

Mrime C1 L C2 R Unitate

E 70,46 - j43,4 82,76 -31,620

49,53 + j43,4 65,85 41,220 V

I 76,89m + j124,86 146,64 58,370

-28,49m + j32,51m 43,23m 131,220

-28,49m + j32,51m 43,23m 131,220

105,39m + j92,341m 140,12m 41,220 A

Z 0 - j564,38 564,38 -900

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

470 + j0 470 00

67

Mrime C1 L C2 R Unitate

E 70,46 - j43,4 82,76 -31,620

-7,96 - j6,98 10,59 221,220

-57,5 + j50,38 76,45 41,220

49,53 + j43,4 65,85 41,220 V

I 76,89m + j124,86 146,64 58,370

-28,49m + j32,51m 43,23m 131,220

-28,49m + j32,51m 43,23m 131,220

105,39m + j92,341m 140,12m 41,220 A

Z 0 - j564,38 564,38 -900

0 + j245,04 245,04 900

0 - j1,76k 1,76k -900

470 + j0 470 00

68

5. Susceptana i admitana

Susceptana reprezint reciproca reactanei (1 / X), simbolul matematic este B, iar unitatea sa de msur

este Siemens

Admitana reprezint reciproca impedanei (1 / Z), simbolul matematic este Y, iar unitatea sa de msur

este Siemens

Rezistena i conductana

n studiul circuitelor electrice de curent continuu am ntlnit termenul de conductan; aceasta se definete

ca inversul rezistenei. Matematic, aceasta reprezint reciproca rezistenei, 1 / R, termen ce n formula rezistenei

paralel este chiar conductana.

Pe cnd rezistena denot cantitatea opoziiei fa de deplasarea electronilor, conductana reprezint

uurina de deplasare a electronilor. Unitatea de msur pentru conductan este Siemens, iar simbolul matematic,

G.

Susceptana

Componentele reactive, precum bobinele i condensatoarele, se opun trecerii curentului (deplasrii

electronilor) n funcie de timp i nu ntr-un mod constant, uniform, ca n cazul rezistorilor. Aceast opoziie n

funcie de timp se numete reactan, notat cu X i msurat de asemenea n Ohm.

La fel cum pentru rezisten exist o mrime complementar, conductana, i pentru expresia reactanei

exist o mrime complementar, denumit susceptan. Matematic, susceptan este inversa (reciproca) reactanei,

1 / X

Admitana

. Simbolul matematic este B, iar unitatea de msur este tot Siemens.

n aceeai ordine de idei, exist i o mrime complementar pentru impedan, admitan. Matematic,

admitana este inversa impedanei, 1/Z. Simbolul matematic este Y, iar unitatea de msur este Siemens. La fel ca

i impedana, admitana este o cantitate complex, nu scalar.

Chiar dac n calculele uzuale nu vom ntlni prea des aceti termeni, este bine de tiut c acetia exist.