3 3.1 Aplicaţii ale metodei de simulare Monte Carlo în economie

În cadrul temei 2 s-a arătat că simularea este o tehnică de rezolvare a

problemelor complexe pentru care nu există metode analitice corespunzătoare. Astfel de probleme manageriale complexe apar în situaţiile în care intervin

mărimi şi variabile aleatoare care sunt influenţate de factori necontrolabili de către decident.

Cele mai frecvente probleme de decizie în care intervin mărimi aleatoare şi care pot fi abordate prin simularea stochastică (probabilistică) sunt următoarele:

Lansarea unui nou produs pentru care cererea şi/sau preţul sunt variabile aleatoare.

Determinarea politicilor de control al stocurilor (mărimea comenzii de aprovizionat, nivelul stocului curent la care se lansează o nouă comandă de aprovizionare, nivelul stocului de siguranţă etc.) în cazul în care ritmul de aprovizionare şi/sau cererea de consum sunt variabile aleatoare.

Dimensionarea unor facilităţi de servire (numărul staţiilor de servire, ritmul de servire) în procesele de aşteptare caracterizate prin intervale aleatoare între sosiri (solicitări de servicii) şi durate aleatoare de servire. Astfel de procese de aşteptare apar: în cazul producţiei în flux, în controlul calităţii producţiei, la punctele de control din aeroporturi sau din vamă, la încărcarea şi descărcarea mijloacelor de transport, în magazine, la punctele de achitare a mărfurilor, la serviciile publice ( secretariate, bănci, oficiile de achitare a taxelor) etc.

Analiza proceselor de reparaţii ale utilajelor în vederea programării producţiei şi/sau investiţiilor în funcţie de distribuţia de probabilitate a defecţiunilor şi a ritmului de efectuare a reparaţiilor.

Estimarea duratei totale de finalizare a unui proiect complex în care duratele activităţilor sunt mărimi aleatoare.

Probleme de programare operativă a producţiei în care intervin mărimi aleatoare referitoare la durata prelucrării pe diferite maşini, ritmul aprovizionării cu materiale, produse intermediare etc.

Pentru ca deciziile elaborate pe baza rezultatelor simulării unui proces economic să fie viabile, este necesar ca şi caracteristicile aleatoare (preţul, cererea de produse, durata de servire etc.) să fie incluse în modelul de simulare.

O mărime aleatoare are mai multe valori posibile, fiecare valoare având asociată o anumită probabilitate. Rezultă că, nu poate fi cunoscută cu certitudine care va fi, la un moment dat, valoarea variabilei aleatoare.

SIMULAREA STOCHASTICĂ CU TEHNICA MONTE CARLO

Pentru realizarea experimentelor de simulare în vederea determinării valorilor unui indicator economic, este necesară o metodă specială care să permită generarea la întâmplare a valorilor pentru fiecare factor aleator care influenţează indicatorul respectiv.

Pentru a înţelege mai bine cum se poate obţine o valoare la întâmplare a unei variabile aleatoare se va analiza exemplul 3.1.

Exemplul 3.1

Pentru realizarea unui studiu de marketing, Firma Gama doreşte să simuleze vânzările zilnice ale televizorului color Gama1. Din evidenţa vânzărilor din trecut, rezultă că numărul de televizoare vândute zilnic este o mărime aleatoare cu distribuţia de probabilitate din tabelul 3.1.

Tabelul 3.1 Număr televizoare (xi)

(bucăţi/zi) Probabilitatea (pi)

60 70 80 90

0,1 0,3 0,4 0,2

Pentru a obţine la întâmplare una din cele patru valori: 60, 70, 80 sau 90, care

reprezintă numărul posibil de vânzări dintr-o zi, se poate proceda astfel: - Se pregătesc 100 bilete de hârtie de aceeaşi culoare şi dimensiune. Pe 10 dintre

ele se scrie numărul 60, pe 30 de bilete se scrie numărul 70, pe 40 de bilete se scrie numărul 80, iar pe 20 de bilete se scrie numărul 90.

- Se împăturesc biletele cu partea scrisă spre interior şi se amestecă într-un bol. - Se extrage un bilet şi se citeşte numărul de pe bilet. Evident, şansa cea mai mare

de a fi extras îi aparţine numărului 80. Pentru realizarea simulării ar fi necesare foarte multe extrageri de acest fel. De

aceea, este necesară o altă metodă, care să poată fi implementată pe calculator şi care să selecteze, la întâmplare, valorile unei mărimi aleatoare descrise printr-o distribuţie de probabilitate. Această metodă se numeşte metoda Monte Carlo. În locul biletelelor de aceeaşi culoare şi dimensiune se va utiliza un generator de numere aleatoare uniform distribuite în intervalul [0, 1]. Despre astfel de generatoare s-a discutat în tema 2.

3.2 Prezentarea generală a metodei

Ideea de bază a metodei Monte Carlo este următoarea:

Metoda a fost inventată de către cercetătorii americani de la „Los Alamos

National Laboratory” prin anii 1940, când a fost utilizată pentru simularea traiectoriei unui neutron în plutoniu sau uraniu1.

Metoda Monte Carlo poate fi definită ca metodă de modelare a variabilelor aleatoare în vederea determinării caracteristicilor repartiţiei lor, atunci când aceste caracteristici nu pot fi stabilite prin expresii analitice pe baza funcţiilor teoretice de densitate de probabilitate.

Prin metoda Monte Carlo, procesul real este înlocuit cu un proces artificial. Pentru obţinerea unor rezultate corecte, se impune ca variabilele aleatoare generate în timpul experimentelor de simulare să reproducă fidel variabila aleatoare reală.

Calitatea eşantionului obţinut prin simulare poate fi apreciată prin teste de concordanţă (Kolmogorov, Smirnov, Pearson sau χ2) care măsoară apropierea dintre repartiţia teoretică specificată pentru o anumită variabilă aleatoare şi repartiţia simulată.

În cazul variabilelor aleatoare descrise prin distribuţii empirice discrete de probabilitate, datele pot fi organizate prin grupări statistice conform tabelului 3.2.

Tabelul 3.2. Valoarea variabilei aleatoare Frecvenţa de apariţie

x1 x2 . . .

xm

f1 f2 . . .

fm

1 http://www.cs.jmu.edu/users/pomykajj/isat341/

Metoda Monte Carlo generează, la întâmplare, valorile unei variabilealeatoare, prin utilizarea:

- unui generator de numere aleatoare uniform distribuite în intervalul [0, 1] şi

- a distribuţiei de probabilitate cumulată asociată variabilei aleatoare respective.

În general, în cazul distribuţiilor discrete de probabilitate, pentru obţinerea de selecţii simulate cu metoda Monte Carlo se poate aplica următoarea procedură:

Pasul 1. Se calculează:

probabilităţile relative pi = fi/∑=

m

1iif , i=1,...,m; p0=0,

probabilităţile cumulate Pk = ∑=

k

0iip , k=1,...,m.

Probabilitatea cumulată Pk reprezintă probabilitatea ca valoarea variabilei aleatoare X să fie mai mică sau egală cu valoarea xk, adică Pk = P(X ≤ xk).

Pasul 2. Se asociază intervale de numere aleatoare fiecărei valori a variabilei aleatoare. Acest lucru se poate realiza grafic sau tabelar.

Grafic. Pe un sistem de două axe de coordonate, pe orizontală se reprezintă valorile variabilei aleatoare, iar pe verticală probabilităţile cumulate. Pentru fiecare valoare a variabilei aleatoare se construieşte câte o bară verticală care are înălţimea egală cu probabilitatea cumulată corespunzătoare acelei valori. În figura 3.1 sunt reprezentate probabilităţile cumulate calculate pe baza datelor din exemplul 3.1.

Tabelar. În tabelul 3.3, fiecărei valori xk i se asociază intervalul [Pk-1, Pk).

Tabelul 3.3 Valoarea variabilei

aleatoare X

Probabilitate relativă

Probabilitate cumulată Intervale

x1 x2 . . .

xm

p1 p2 . . .

pm

P1 = p0 + p1 P2 = P1 + p2

.

.

. Pm = Pm-1 + pm

[P0, P1) [P1, P2)

.

.

. [Pm-1, Pm)

Pasul 3. Se generează un număr aleator ui uniform repartizat în intervalul

[0,1] utilizând un generator de numere aleatoare (de exemplu, unul din programele GENER1, GENER2, GENER3, GENER4, GENER5 care pot fi apelate prin MANAGER2 sau cu funcţia RAND() din Excel).

Pasul 4. Obţinerea valorilor simulate se poate realiza grafic sau tabelar. Grafic. Numărul generat ui se reprezintă printr-un punct pe axa verticală din

figura 3.1. Din acel punct se duce o paralelă la axa orizontală până când întâlneşte prima bară verticală şi se citeşte valoarea de la baza acelei bare. In tabelul 3.4, în dreptul numărului aleator generat se scrie valoarea găsită pe grafic.

Figura 3.1

Tabelar. Se caută în tabelul 3.3, intervalul [Pk-1, Pk) căruia îi aparţine

numărul aleator ui. Se scrie, în tabelul 3.4, în dreptul numărului aleator utilizat, valoarea xj căreia în corespunde intervalul [Pj-1, Pj) identificat în tabelul 3.3.

Pasul 5. Se reia procedura de la Pasul 3 până când se obţine volumul dorit al selecţiei simulate. In tabelul 3.4 sunt prezentate rezultatele obţinute după 10 generări de numere aleatoare.

Tabelul 3.4

Nr. aleator Valoare variabilă aleatoare

Număr televizoare (bucăţi/zi)

0.296281 x2 70 0.928927 x4 90 0.205136 x2 70 0.852845 x4 90 0.005645 x1 60 0.651622 x3 80 0.799931 x3 80 0.333693 x2 70 0.416841 x3 80 0.011913 x1 60

Datele selecţiei simulate pot fi folosite ca date exogene pentru alte modele

sau pot fi utilizate pentru calculul caracteristicilor distribuţiei de probabilitate a variabilei aleatoare cercetate: media, abaterea standard, coeficientul de variaţie şi intervalul de încredere pentru medie.

1

P1

P2

P3

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 x1 x2 x3 x4

Prob

abili

tăţi

Valori ale variabilei aleatoare

- Media = N

N

1iix

x∑== ; Abaterea standard = σ =

1N

N

1i

2)xix(

−=

−∑

- Coeficientul de variaţie = Cv = σ/ x - Intervalul de încredere (1-α) pentru media x poate fi construit cu relaţia:

( x - tα/2, N-1·Nσ

, x + tα/2, N-1·Nσ

)

unde tα/2, N-1 se obţine din tabelele distribuţiei t, α este de obicei 0,05, iar N reprezintă numărul de experimente de simulare.

Cu cât intervalul de încredere este mai îngust cu atât este mai precis rezultatul. Se observă că lungimea intervalului se va reduce dacă va creşte numărul N al experimentelor de simulare. Precizia metodei variază invers proporţional cu N½.

Observaţie: Metoda Monte Carlo este implementată în toate programele de simulare numerică pentru obţinerea valorilor variabilelor aleatoare utilizate de modelele de simulare. De aceea, în general, nu există programe comerciale care să implementeze numai metoda Monte Carlo. Dintre programele de care dispune „Laboratorul de modelare şi simulare a proceselor economice”, numai QM2 are un modul special intitulat „Monte Carlo Simulation”, dar acesta furnizează ca rezultat final numai media variabilei aleatoare descrisă prin distribuţia sa empirică. Procedura prezentată în secţiunea 3.2 poate fi implementată foarte uşor într-un program Excel.

3.3 Precizia şi proprietăţile metodei

Metoda Monte Carlo este sinonimă cu metoda experimentelor statistice. În acest context, precizia metodei Monte Carlo se referă la frecvenţa

relativă sau probabilitatea de apariţie a unei valori a variabilei aleatoare simulate şi la media valorilor respectivei variabile aleatoare.

Precizia frecvenţei relative sau a probabilităţii de apariţie a unei valori a variabilei aleatoare.

- Dacă, după n experimente, frecvenţa relativă de apariţie a unei valori specificate este f* atunci frecvenţa reală f ar putea avea orice valoare

2 Produsul informatic Quantitative Analysis for Management, succintă prezentare în

lucrarea Raţiu - Suciu Camelia: Modelarea & simularea proceselor economice. Teorie şi practică. Editura Economică, Bucureşti 2002, pag. 377 - 381

în intervalul:

(f* - 2n

*)f1(*f − ; f* + 2n

*)f1(*f −)

De exemplu, dacă n=10 şi f* = 0,4 => f ∈ (0,09; 0,71). - Dacă, se doreşte să se obţină o probabilitate p cu precizia ∆ =

2N

)p1(p − , atunci numărul necesar de experimente este:

N = 4p(1-p)/∆2

De exemplu, creşterea preciziei de 10 ori, de la 0,31 la 0,031 pentru probabilitatea p = 0,4 conduce la creşterea de la 10 la 999 ≈ 103 experimente de simulare. Deci creşterea preciziei de 10 ori, conduce la creşterea numărului de simulări de 102 = 100 ori.

Media este o caracteristică a repartiţiei variabilei aleatoare simulate. Pentru utilizarea acestei caracteristici în analizele economice sau pentru calculul unor indicatori economici de performanţă, este important să se determine intervalul de încredere asociat mediei valorilor obţinute prin simulare.

- Dacă m = ∑=

n

1iiv

n1

= media valorilor obţinute după n experimente

de simulare, media m a variabilei V ar putea fi orice valoare în intervalul:

(m - ∆, m + ∆), unde ∆ = 1n

n

1i

2)miv(

n2

−=

−∑

De exemplu, după n = 10 experimente, media m = 74, abaterea standard σ = 9,66, iar ∆ = 6,11, prin urmare: m ∈ (67,89; 80,11).

- Dacă se doreşte să se obţină o medie cu precizia ∆1 = NvD

2 ,

unde vD = (∑=

−n

1i

2)miv( )/(n-1) = dispersia valorilor obţinute după n

experimente de simulare, atunci numărul necesar de experimente de simulare este:

N = 4 vD /(∆1)2 De exemplu, după 10 experimente de simulare, dispersia valorilor este

vD = 93,33 şi se doreşte creşterea preciziei de 10 ori, de la ∆ = 6,11 la ∆1 = 0,611, atunci numărul necesar de experimente este N ≈ 1000. Deci şi în acest caz,

creşterea preciziei de 10 ori a condus la creşterea numărului de simulări de 102 = 100 ori.

Rezultă că, o creştere a preciziei metodei Monte Carlo de θ ori, se poate obţine prin creşterea numărului experimentelor de simulare de θ2 ori.

Deoarece simularea proceselor economice reale presupune realizarea unui număr mare de experimente, utilizarea calculatorului este o necesitate.

Metoda Monte Carlo nu este recomandată pentru simularea unor procese în care apar valori cu probabilitate foarte mică deoarece, pentru obţinerea unei precizii adecvate ar fi necesar un număr extrem de mare de experimente de simulare.

Precizia metodei Monte Carlo se poate estima cu un grad de încredere finit de 0,99 până la 0,997. De exemplu, se poate determina un interval pentru media unei variabile aleatoare simulate, cu nivelul de încredere de cel mult 0,997.

3.4 Întocmirea programului de producţie în funcţie de performanţele echipamentului existent

Întocmirea unui program de fabricaţie presupune evaluarea prealabilă a

resurselor disponibile şi în special evaluarea performanţelor echipamentelor de producţie. Performanţa unui echipament poate fi influenţată de factori necontrolabili de către managerul de producţie. De aceea, ar putea fi utilă realizarea unor experimente de simulare atât pentru verificarea unor ipoteze cât şi pentru a determina intervalul de încredere pentru diferite caracteristici de performanţă.

Acest tip de probleme cât şi probleme înrudite sunt tratate în lucrările care completează această sinteză şi anume: [1], Studiul de caz 1 de la pag. 54 – 58, [2], Studiul de caz 2 de la pag. 14 – 17.

Rezumat Sunt prezentate mai întâi principalele aplicaţii economice ale metodei

Monte Carlo la rezolvarea unor probleme de decizie managerială. Prezentarea metodei Monte Carlo se face pornind de la ideea de bază a

metodei care constă în utilizarea unui generator de numere aleatoare uniform distribuite în [0, 1] şi a distribuţiei de probabilitate cumulate a variabilei simulate. Sunt descrise etapele necesare pentru obţinerea selecţiilor simulate în cazul variabilelor aleatoare cu distribuţii discrete de probabilitate.

Precizia şi proprietăţile metodei Monte Carlo se referă la frecvenţa relativă sau probabilitatea de apariţie a unei anumite valori a variabilei simulate şi la media valorilor respectivei variabile. Se discută influenţa preciziei metodei asupra timpului de calcul.

Pentru aplicarea simulării la analiza performanţelor unui echipament se fac trimiteri la bibliografia de bază.

Cuvinte cheie

• abatere standard • aplicaţii economice ale metodei

Monte Carlo • coeficient de variaţie • distribuţie de probabilitate • frecvenţă relativă • generator de numere aleatoare

uniform repartizate în [0, 1] • interval de încredere

• medie • metoda Monte Carlo • număr de experimente • precizia metodei Monte Carlo • probabilitate cumulată • probabilitate relativă • test de concordanţă • variabilă aleatoare

Bibliografie suplimentară

[1] pag. 47 – 58 [2] pag. 14 – 17

Întrebări recapitulative 1. Prin ce se caracterizează modelele de simulare stochastică aplicabile

într-o organizaţie? 2. Ce este o mărime economică aleatoare? Exemplificaţi din practica unei

organizaţii. 3. Descrieţi câteva probleme manageriale în care intervin mărimi aleatoare. 4. Care este ideea de bază a metodei Monte Carlo? 5. Descrieţi paşii procedurii de aplicare a metodei Monte Carlo în

problemele manageriale ale unei organizaţii. 6. Care este rolul calculatorului în aplicarea metodei Monte Carlo? 7. De ce sunt necesare testele de concordanţă? 8. Cum se determină intervalul de încredere pentru media unei variabile

aleatoare? De ce este importantă cunoaşterea intervalului de încredere în analizele economice ale rezultatelor simulării?

9. La ce se referă precizia metodei Monte Carlo? 10. De câte ori creşte timpul de calcul necesar pentru creşterea preciziei de Z

ori? 11. Cum se poate construi distribuţia de probabilitate a producţiei zilnice

realizate de un utilaj? 12. Cum se poate obţine distribuţia de probabilitate a profitului care ar putea

fi realizat de un produs pentru care cererea şi preţul sunt aleatoare?