2.1

download 2.1

of 21

description

UPG Ploiesti

Transcript of 2.1

  • 17

    CAPITOLUL 2 RECAPITULAREA MATERIEI DE LICEU

    2.1. iruri de numere reale Definiia 1 Se numete sir orice funcie Ef N: , unde ( ) = nanf . Exemplul 1 Fie { } N| niaa nn . Atunci putem defini o funcie Ef N: , astfel: ( ) = nanf n , N . Elementele na se numesc termenii irurlui. Invers, fiind dat Ef N: , atunci elementele f ( ) n cu n N sunt termenii unui ir =na ( ) nnf , N .

    Un ir poate fi dat prin: a) enumerare, adic { }........,7,5,2,2,1,1 ;

    b) relaie de definiie { } nna , unde 1335

    ++

    =nnan ;

    c) relaie de recuren { } nna , unde

    +=

    =+

    + nn

    n aaa

    11

    0

    3

    5.

    Definiia 2 Un ir { } nna este mrginit dac exist un interval [ ] , astfel nct

    na , Nn . Definiia 2 Un ir { } nna este mrginit dac exist o constant pozitiv MR astfel nct ( ) N, nan Constantele , i M nu sunt unic determinate. Observaie Definiiile 2 i 2 sunt echivalente.

    S artm c Definiia 2 implic Definiia 2 . Dac ( ) , R astfel nct na , considerm M= ( ) ,max .

    Atunci -M M, adic -M na M. Din definiia modulului rezult ( ) N nan , .

    Definiia 2 Definiia 2

  • 18

    Dac exist M astfel nct ( ) N nan , , echivalent cu -M na M, ( ) N n , atunci lum =-M i =M. De aici rezult na , Nn . Exemple de iruri mrginite

    1) Fie { } nna , unde ( ) N+= nnnan ,2

    . Atunci exist 0= i =1 astfel nct

    00, de unde

    rezult 1+na - na >0, deci irul este cresctor. 2) Fie a>1. Atunci { } Nnna , unde =na a n este un ir strict cresctor.

    ntr-adevr, =+ nn aa 1 a +1n a =n a ( )1an >0, deoarece a>1 i a n >0. Deci

    { } Nnna este strict cresctor. n plus, pentru a>1, irul este nemrginit.

    3) Fie a ( )1,0 . Atunci irul { } Nnna , unde =na a n este un ir strict descresctor.

    Soluie

    =+ nn aa 1 a +1n a =n a ( )1an 1+na , ceea ce arat c

    irul este strict descresctor. n plus, irul { } nna , unde =na a n este un ir mrginit de 0 i 1, 0< na 0, atunci irul { } nna , unde =na n este un ir cresctor i nemrginit.

    6) Fie

  • 20

    Numrul a se numete limita irului { } Nnna i se noteaz a= nn alim sau na a( na tinde ctre a).

    Proprietile limitei unui ir 1) Orice ir convergent are limita unic. 2) Prin schimbarea ordinii termenilor unui ir convergent se obine tot un

    ir convergent ctre aceeai limit. 3) Prin adugarea sau nlturarea unui numr finit de termeni ai unui ir convergent se obine un ir convergent ctre aceeai limit. S ncercm s transpunem n limbaj matematic definiia 1. Definiia 1 na a dac ( ) vecintate V a lui a , ( ) n N care depinde de V , notat nV , astfel nct na V , ( ) Vnn ( deoarece definiia1 spune c n interiorul lui V se afl toi termenii irului exceptnd un numr finit, adic cel mult ia cu i=1, 2, 3, ......, Vn . Fie V o vecintate a lui a , atunci putem gsi un >0 astfel nct ( ) + aa , V. Vom nlocui vecintatea V cu intervalul centrat n a , ( ) + aa , . Obinem: Definiia 1 na a dac ( ) >0, ( ) n N ( n depinde de ) astfel nct

    ( ) ( ) nnaaan + ,, .Dar ( ) ( ) nnaaan + ,, a < na 1n>

    1 -1n>

    1 . Pentru n>

    1 , avem 1

    1

    +nn

  • 22

    Dac aan i bbn 0 i ( ) N nbn ,0 , atunci

    ba

    b

    a

    ba

    nn

    nn

    n

    nn

    ==

    lim

    limlim .

    Teorema 11

    ( )n

    nn

    x

    nn

    xnn

    aa

    =

    lim

    limlim .

    Teorema 12 .limlim k nn

    knn

    aa

    =

    Teorema 13 ( ) ( ).limlogloglim nnanan xx = Teorema 14 ( ) nnnn acac = limlim , ( ) c R Operaii fr sens 1. 2. 0

    3. ( )0 4. 00 ,

    0a ,

    5. 00 ,0,1

    Aplicaii 1) S se demonstreze c urmtoarele iruri sunt monotonne i mrginite:

    n

    nan 713 +

    =

    +

    = ,1n

    nan R

    +

    = ,

    1nnan R, 0

    2) S se arate c urmtoarele iruri au limitele date utiliznd Definiia 1

    32

    132lim =+ nn

    n

    21

    12lim 2

    2

    =+ n

    nn

    ( ) 03

    22lim =+ n

    n

    n

    n

  • 23

    Tipuri de probleme Tip 1. iruri foarte utilizate

    1) Dac ( )1,0a atunci 0lim =

    n

    na .

    2) Dac a >1 atunci 01lim = nn a

    i =

    n

    nalim .

    3) Dac { } Nnnx astfel nct nx atunci 01lim =

    nn x.

    Aplicaia 1

    S se determine ( )

    305,0

    21lim nnn

    Soluie

    Cum a=2>1, atunci n2 , de unde rezult 021n , iar

    ( ) 005,0 n . Avem ( )

    305,0

    21lim nnn = ( ) 3305,0lim2

    1lim =

    n

    nnn.

    Aplicaia 2 S se calculeze:

    ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

    ( ) ( )( ) ( ) 7

    300370023

    6,0lim8,0lim37lim

    4,0lim6,0lim23lim

    6,08,037lim

    4,06,023lim

    53

    54375

    3532

    525

    lim5743353322lim

    =++++

    =++

    ++=

    ++

    ++

    =

    +

    +

    +

    +

    =++++

    n

    n

    n

    nn

    n

    n

    n

    nnnn

    n

    nn

    n

    nnn

    nnn

    nnnn

    nnn

    n

    Tem 1.1. S se calculeze limitele urmtoare:

    1) n

    lim

    1

    325

    n

  • 24

    2) n

    lim( )12 +nn

    n , unde >0

    3) n

    lim ( )1,0,,1243

    +

    n

    n

    4) n

    lim12

    121 ++

    +n

    n

    5) n

    lim 11 5353

    ++ ++

    nn

    nn

    6) n

    lim ,,11 ++ +

    +nn

    nn>0

    7) n

    lim

    ,1 n

    n

    +>0

    8) n

    lim ,nn

    nn

    + >0

    9) n

    lim 1cos

    n

    10) n

    lim 32cos

    n

    Tip 2. Limitele irurilor de forma: ( )( )( ) = n

    nQnPan , N, unde ( )nP i ( )nQ

    sunt polinoame, adic:

    ( )( )

    ( )

    ==

    +++

    +++

    =

    =

    +++

    +++

    =+++

    +++=

    qpdac

    qpdacba

    qpdacba

    ban

    nb

    nbb

    na

    naa

    n

    nb

    nbbn

    na

    naan

    bnbnbanana

    nQnP

    qp

    n

    qq

    n

    pp

    nqp

    n

    qqq

    ppp

    nq

    qqp

    pp

    nn

    ,0

    ,

    ,

    lim...lim

    ...limlim

    ...

    ...lim

    ......

    limlim

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    10

    10

    10

    10

    110

    110

  • 25

    Aplicaia 1

    S se calculeze: ( )

    512135lim

    1135lim 2

    2

    2

    2

    =+++

    =+

    +nnnn

    nnn

    nn, deoarece polioamele

    au acelai grad. Aplicaia 2 S se calculeze:

    .011

    1lim41lim31lim

    71limlim

    431lim

    71

    431lim

    71

    431lim

    743lim

    32

    3

    32

    3

    32

    32

    32

    3 2

    =

    =

    +

    =

    +

    +=

    +

    +=

    +

    +=

    ++

    nn

    nn

    nn

    nn

    nn

    nn

    nnn

    nnn

    nnn

    nn

    n

    nnn

    Tema 1.2. S se calculeze limitele urmtoarelor iruri:

    1) na( )( )

    ( )( )nnnn

    7443313

    +++

    =

    2) na 22...21 n

    nn

    ++++

    =

    3) ( ) ( ) ( )nnnnnan ++++++

    +++=

    ...21...21

    4) 3222 ...21

    nnan

    +++=

    5) ( )31...3221

    nnnan++++

    =

    6) 3

    ...212

    222 nn

    nan +++

    =

    7) ( )3222 12...31

    nnan+++

    =

    8)

    +++

    ++

    += ,1...211

    222

    nn

    nnnan R

  • 26

    9) 12

    5572

    32

    ++

    =nn

    nnnan

    10) nnnnnan

    +

    ++=

    4 3

    2 1

    11) 3 23

    2

    22137

    nnnnnan++

    +=

    Tip 3. Limitele de iruri care conin sume (diferene) de radicali Aplicaie S se calculeze limita irului cu termenul general 11 22 += nnan . Soluie n aceast situaie nu se poate aplica proprietatea

    ( ) nnnnnnn baba limlimlim = , deoarece se obine cazul de nedeterminare . Pentru a calcula aceast limit amplificm cu expresia conjugat, adic:

    ( )( )

    .02

    21111lim

    2limlim

    112

    1111

    11111111

    22

    22

    22

    22

    22

    222222

    =

    =

    ++

    =++

    =

    =++

    ++=

    ++

    +++=+=

    nnn

    ann

    nnnn

    nnnnnnnna

    n

    nnn

    n

    Tema 1.3. S se calculeze limitele urmtoare: 1) 11 22 +++= nnnnan

    2) nnan +=3 31

    3) ( ) ( )82

    82

    11 += nnan 4) ( )nnnnnan 211 ++= 5) S se determine i astfel nct ( ) =+ ,,01lim 3 3 nn

    nR.

  • 27

    Tip 4. iruri care se rezolv cu teorema lui Cauchy-D'Alembert Teorema Cauchy- D'Alembert

    Dac { } Nnna are termeni pozitivi, atunci n

    nn

    nnn a

    aa 1limlim += , dac n

    nn a

    a 1lim +

    exist. Aplicaie S se calculeze n

    nnlim .

    Soluie

    Din teorema lui Cauchy, rezult c: 11limlim =+=n

    nnn

    nn

    .

    Tema 1.4. S se calculeze limitele: 1) n

    nn!lim

    2) nn nlglim

    3) ( )nn n!lglim

    4) nnn

    n

    !lim

    5) ( )( ) ( )n

    nnnnnn

    +++ ...21lim

    6) ( )( ) ( )nn n

    naaa!

    ...21lim +++

    Tip 5 . Calculul limitelor sirurilor care sunt date prin relatii de recurenta neliniare

    Pentru irurile date prin recuren se demonstreaz mrginirea i monotonia, apoi se trece relaia de recuren la limit. Aplicaie Fie Nnna }{ unde 21 += nn aa cu ( )2,0na . Sa se determine nn alim . Soluie Se rezolv n dou etape.

  • 28

    1) n prima etap se arat c nna }{ este convergent (monoton i mrginit). S artm monotonia

    02

    )1)(2(2

    22

    00

    00

    00

    220

    0001 >++

    +=

    ++

    +=+=

    aaaa

    aaaaaaaa

    >==+++

    +=++=

    + 0)(...22

    2222 01

    1

    111 aakaa

    aaaaaann

    nnnnnn

    unde k>0 nn aa >+1 sir crescator. n concluzie daca ( )2,00 a nna }{ este strict crescator.

    S artm mrginirea irului. Cum )2,0(0 a , atunci: 222201 =+

  • 29

    Aplicaie:

    S se calculeze 1...21lim ++++

    p

    ppp

    n nn

    Solutie: ppp

    n na +++= ...21 1+= pn nb si 1+< nn bb si nblim

    n

    n

    balim =

    nn

    nn

    bbaa

    +

    +

    1

    1lim =

    =+

    +=

    ++++++

    ++++ 1111 )1()1(lim

    )1(...21)1(...21lim pp

    p

    pp

    ppppppp

    nnn

    nnnnn

    = =+++

    +++

    +++ 11

    11

    11 ...

    )1(lim ppp

    pp

    p

    p

    nCnCnn

    )...(

    )11(lim

    )...(

    )11(lim 1

    12

    111

    11

    211

    1 p

    ppp

    p

    p

    p

    ppp

    pp

    pp

    nC

    nC

    C

    n

    nC

    nC

    Cn

    nn

    +++

    +

    +++

    + +++

    +=

    +++

    +=

    =

    )lim...lim(

    )11lim(11

    211

    1 nC

    nC

    C

    nppp

    p

    p

    +++

    + +++

    +=

    0...1

    11 +++pC

    = 11

    1

    +pC=

    11+p

    Tema 1.6.

    1) )ln1...

    3ln1

    2ln1(1lim

    nnn+++

    2) nn nn

    lg!lglim

    3) n

    nn

    1...31

    211

    lim++++

    4) n

    nn ln

    1...31

    211

    lim++++

  • 30

    5) n

    nn ln

    1...3

    12

    11lim

    ++++

    6) nn

    nn

    ++++

    ...321lim

    Tip 7. iruri care se rezolv cu ajutorul teoremei 11 Aplicaie

    S se calculeze 72

    122

    2

    591lim

    +

    + n

    nn

    n nn . Conform teoremei 11 avem c

    =

    nnn

    xnn

    xnn

    aalim

    )lim(lim l= 7212

    2

    2

    591lim

    +

    + n

    nn

    n nn =

    =72

    12lim 22

    591lim

    +

    + n

    nn

    n

    n

    nn

    =722

    122lim

    91

    +

    n

    nnn

    =21

    91

    =

    91 =

    31 .

    Tema 1.7. S se calculeze limitele urmtoarelor iruri:

    1) 113

    2

    2

    21 ++

    =

    nnn

    na ;

    2) 11

    3

    3

    +

    +

    = nnn

    n ea ;

    3) 532

    2

    2

    3 3

    2731

    +

    +

    =n

    nn

    n nna ;

    4) 4 4

    3 3

    1

    13 32

    8 121log

    +

    +

    +++

    =nn

    nn

    n nnna ;

    5)

    +

    +=

    3 6

    2

    3

    13

    4 3

    3 2

    2ln

    nn

    n

    nnnnna ;

  • 31

    6) n

    n

    n nnna

    +

    +

    =7

    13

    3 21 .

    Tip 8. iruri care se rezolv cu ajutorul limitei nn n

    e )11(lim +=

    LEMA 1. Dac nx , atunci exnx

    nn=+

    )11(lim .

    LEMA 2. Dac 0nx , atunci ex nx

    nn=+

    )1(lim .

    Aplicaia 1: S se calculeze 25

    )5

    21(lim+

    ++

    n

    n n.

    Soluie: Conform Lemei 1 avem c +=2

    5nxn , iar

    en

    n

    n=

    ++

    +

    2

    5

    )5

    21(lim

    Aplicaia 2: S se calculeze n

    n nn

    ++

    + 12

    21lim

    Soluie: ++

    =212

    nnxn . Atunci, conform Lemei 1, avem c:

    =++

    +=++

    + ++

    +

    +

    nnn

    nn

    n

    n

    n nn

    nn 12

    2212

    ])1221[(lim])

    1221[(lim

    2112

    2lim212 12

    2lim

    ])1221[(lim ee

    nn n

    nnnn n

    nn

    nn

    n==

    ++

    +=+

    +

    +

    +

    ++

    Tema 1.8. S se calculeze urmtoarele limite:

    1) nn n

    )1

    31(lim

    +

    ;

    2) 2

    )4

    11(lim 32

    n

    n nnn+

    +

    ;

    3) n

    n nn

    ++ )

    11(lim 2 0,, IR ;

  • 32

    4) 33 6

    )32

    11(lim

    ++ n

    n nn , R.

    Tip 9. iruri care se rezolv cu ajutorul criteriului de convergen al lui Cauchy (n )

    Definiie: Un ir nna }{ este convergent n sensul Cauchy dac

    N)(0)( > astfel nct

  • 33

    Tema 1.9. Utiliznd criteriul de convergen n (Cauchy) s se arate convergena irurilor:

    1) nn

    naaau

    2sin...

    2sin

    2sin

    221 +++= ;

    2) )1(

    cos...32

    cos21

    cos 21+

    ++

    +

    =nn

    aaau nn .

    Tip 10. iruri care se rezolv cu ajutorul criteriului Raabe-Duhamel

    Fie nnu }{ astfel nct 0>nu i 1+< nn uu N n)( . Dac raportul

    1n

    n

    uu

    , atunci 1

    ...

    1

    21

    +++

    +

    n

    n

    uuuu

    Generalizarea criteriului lui Raabe-Duhamel Fie nnu }{ astfel nct 0>nu i 1+< nn uu N n)( . Dac raportul

    +1n

    n

    uu atunci

    1...

    1

    21

    +++

    +

    n

    n

    uuuu

    Demonstraie.

    )](...)(...[lim...lim 11

    2121

    pn

    pn

    n

    n

    n

    nnpn

    nn u

    uuu

    uuuu

    uuuu

    +++=

    +++ =

    1...

    1

    1

    =

    =+p

    p

    Lem. Fie nnu }{ astfel nct 0>nu i nu i dac +1n

    n

    uu , atunci

    ++++++

    121

    21

    ......

    n

    n

    uuuuuu .

    Demonstraie.

    121

    21

    ......

    ++++++

    n

    n

    uuuuuu =

    121 ...1

    ++++

    n

    n

    uuuu =

    =++++

    +

    11...

    1121

    1

    1 n

    n

    n

    n

    uuuu

    uu

    Aplicaie. S se calculeze nn

    n 33...33lim

    2 +++

    .

  • 34

    Soluie. Conform criteriului Raabe-Duhamel avem nnu 3= , iar

    23

    133

    33...33lim3lim

    2

    1=

    =

    +++=

    n

    n

    nn

    nn u

    u .

    Tip 11. Determinarea limitei irurilor date prin relaii de recuren liniare de forma: 21 += nnn buauu cu 0u i 1u date

    Fie ( ) ( ) ( )nnnun unde ,+= i ( )n sunt dou funcii ce depind de n i care verific relaia dat : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )21

    21+=+=

    nbnannbnan

    S cutm s determinm funciile ( )n i ( )n de forma unde ,n R-{ }0 . nlocuind nku = n 21 += nnn buauu , obinem

    21 += nnn ba , mprim la 2n 02 = ba , numit ecuaia caracteristic a relaiei date.

    1) Dac 2

    4042

    2,12 baaba +=>+= . n acest caz lum

    ( ) nn 1 = i ( ) nn 2 = atunci nnnu 21 += . Din condiiile iniiale

    +=

    +=

    211

    0

    uu

    se determin i i se nlocuiesc n

    nnnu 21 += .

    2) Dac 042

  • 35

    3) Dac 042 =+= ba( )

    ( )

    =

    =

    n

    n

    ann

    an

    2

    2

    ( )

    n

    nanu

    +=

    2 .

    Aplicaia 1. S se calculeze nn ulim , unde 21 65 = nnn uuu cu 40 =u i

    111 =u . Soluie Se formeaz ecuaia caracteristic 21-n 65 = nn 0652 =+

    nnnu 323

    2

    2

    1 +=

    =

    =

    . Dar,

    ==

    +=+=

    =

    =

    13

    32114

    114

    1

    0

    uu

    =+=+= ++ 11 3lim2limlim32 nn

    n

    nnn

    nnn uu .

    Aplicaia 2. S se calculeze nn ulim , unde 21 42 = nnn uuu cu 10 =u i 11 =u .

    Soluie Se formeaz ecuaia caracteristic 04242 221 =+= nnn , atunci

    ==

    =

    3sin

    3cos231

    131

    2,1 ii

    +

    =

    3nsin2

    3ncos2 nnnu .

    Din

    =+

    =+

    =

    =

    13

    sin23

    cos2

    10

    11

    1

    0

    uu

    avem 01301

    01

    13

    10=

    =+

    =

    =+

    =+

    i 1=

    3ncos2 nnu = ,

    dar acest ir este un ir oscilant, deci nu are limit. Aplicaia 3. S se calculeze nn ulim , unde 21 96 = nnn uuu cu 30 =u i

    151 =u . Soluie. Ecuaia caracteristic este:

    ==+ 3096 2,12 ( ) +

    = nu

    n

    n 26

  • 36

    Din

    =

    =

    153

    1

    0

    uu

    3= i 6= ( )213 += nu nn = nn ulim .

    Tema 1.11. S se calculeze limitele urmtoarelor iruri:

    1) 1+

    =n

    nan ;

    2) ( )22

    11

    +

    ++=

    nnnan ;

    3) 2...321

    nnan

    ++++= ;

    4) nna 21...

    21

    211 2 ++++= ;

    5)

    n

    n

    na

    31...

    31

    311

    21...

    21

    211

    2

    2

    ++++

    ++++= ;

    6) 1acu

    41...

    41

    411

    ...1

    2

    2

    ++++= aaaaaan ;

    13) 1,,2

    >== qqnana nnnn ;

    14) ( )nnnan += 12 ;

  • 37

    15) ( )333 2 1 nnnan += ; 16)

    4 43 3

    3 2

    111

    +++

    +=

    nnnnan ;

    17) nnnn

    an+

    +++

    ++

    =222

    1...2

    11

    1 ;

    Indicaie: Se aplic criteriul cletelui.

    2221

    22222

    1111nna

    nnn

    nn

    knnnn

    nknnnn

    n

    k