2.1

17

CAPITOLUL 2 RECAPITULAREA MATERIEI DE LICEU

2.1. iruri de numere reale Definiia 1 Se numete sir orice funcie Ef N: , unde ( ) = nanf . Exemplul 1 Fie { } N| niaa nn . Atunci putem defini o funcie Ef N: , astfel: ( ) = nanf n , N . Elementele na se numesc termenii irurlui. Invers, fiind dat Ef N: , atunci elementele f ( ) n cu n N sunt termenii unui ir =na ( ) nnf , N .

Un ir poate fi dat prin: a) enumerare, adic { }........,7,5,2,2,1,1 ;

b) relaie de definiie { } nna , unde 1335

++

=nnan ;

c) relaie de recuren { } nna , unde

+=

=+

+ nn

n aaa

11

0

3

5.

Definiia 2 Un ir { } nna este mrginit dac exist un interval [ ] , astfel nct

na , Nn . Definiia 2 Un ir { } nna este mrginit dac exist o constant pozitiv MR astfel nct ( ) N, nan Constantele , i M nu sunt unic determinate. Observaie Definiiile 2 i 2 sunt echivalente.

S artm c Definiia 2 implic Definiia 2 . Dac ( ) , R astfel nct na , considerm M= ( ) ,max .

Atunci -M M, adic -M na M. Din definiia modulului rezult ( ) N nan , .

Definiia 2 Definiia 2

18

Dac exist M astfel nct ( ) N nan , , echivalent cu -M na M, ( ) N n , atunci lum =-M i =M. De aici rezult na , Nn . Exemple de iruri mrginite

1) Fie { } nna , unde ( ) N+= nnnan ,2

. Atunci exist 0= i =1 astfel nct

00, de unde

rezult 1+na - na >0, deci irul este cresctor. 2) Fie a>1. Atunci { } Nnna , unde =na a n este un ir strict cresctor.

ntr-adevr, =+ nn aa 1 a +1n a =n a ( )1an >0, deoarece a>1 i a n >0. Deci

{ } Nnna este strict cresctor. n plus, pentru a>1, irul este nemrginit.

3) Fie a ( )1,0 . Atunci irul { } Nnna , unde =na a n este un ir strict descresctor.

Soluie

=+ nn aa 1 a +1n a =n a ( )1an 1+na , ceea ce arat c

irul este strict descresctor. n plus, irul { } nna , unde =na a n este un ir mrginit de 0 i 1, 0< na 0, atunci irul { } nna , unde =na n este un ir cresctor i nemrginit.

6) Fie

20

Numrul a se numete limita irului { } Nnna i se noteaz a= nn alim sau na a( na tinde ctre a).

Proprietile limitei unui ir 1) Orice ir convergent are limita unic. 2) Prin schimbarea ordinii termenilor unui ir convergent se obine tot un

ir convergent ctre aceeai limit. 3) Prin adugarea sau nlturarea unui numr finit de termeni ai unui ir convergent se obine un ir convergent ctre aceeai limit. S ncercm s transpunem n limbaj matematic definiia 1. Definiia 1 na a dac ( ) vecintate V a lui a , ( ) n N care depinde de V , notat nV , astfel nct na V , ( ) Vnn ( deoarece definiia1 spune c n interiorul lui V se afl toi termenii irului exceptnd un numr finit, adic cel mult ia cu i=1, 2, 3, ......, Vn . Fie V o vecintate a lui a , atunci putem gsi un >0 astfel nct ( ) + aa , V. Vom nlocui vecintatea V cu intervalul centrat n a , ( ) + aa , . Obinem: Definiia 1 na a dac ( ) >0, ( ) n N ( n depinde de ) astfel nct

( ) ( ) nnaaan + ,, .Dar ( ) ( ) nnaaan + ,, a < na 1n>

1 -1n>

1 . Pentru n>

1 , avem 1

1

+nn

22

Dac aan i bbn 0 i ( ) N nbn ,0 , atunci

ba

b

a

ba

nn

nn

n

nn

==

lim

limlim .

Teorema 11

( )n

nn

x

nn

xnn

aa

=

lim

limlim .

Teorema 12 .limlim k nn

knn

aa

=

Teorema 13 ( ) ( ).limlogloglim nnanan xx = Teorema 14 ( ) nnnn acac = limlim , ( ) c R Operaii fr sens 1. 2. 0

3. ( )0 4. 00 ,

0a ,

5. 00 ,0,1

Aplicaii 1) S se demonstreze c urmtoarele iruri sunt monotonne i mrginite:

n

nan 713 +

=

+

= ,1n

nan R

+

= ,

1nnan R, 0

2) S se arate c urmtoarele iruri au limitele date utiliznd Definiia 1

32

132lim =+ nn

n

21

12lim 2

2

=+ n

nn

( ) 03

22lim =+ n

n

n

n

23

Tipuri de probleme Tip 1. iruri foarte utilizate

1) Dac ( )1,0a atunci 0lim =

n

na .

2) Dac a >1 atunci 01lim = nn a

i =

n

nalim .

3) Dac { } Nnnx astfel nct nx atunci 01lim =

nn x.

Aplicaia 1

S se determine ( )

305,0

21lim nnn

Soluie

Cum a=2>1, atunci n2 , de unde rezult 021n , iar

( ) 005,0 n . Avem ( )

305,0

21lim nnn = ( ) 3305,0lim2

1lim =

n

nnn.

Aplicaia 2 S se calculeze:

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

( ) ( )( ) ( ) 7

300370023

6,0lim8,0lim37lim

4,0lim6,0lim23lim

6,08,037lim

4,06,023lim

53

54375

3532

525

lim5743353322lim

=++++

=++

++=

++

++

=

+

+

+

+

=++++

n

n

n

nn

n

n

n

nnnn

n

nn

n

nnn

nnn

nnnn

nnn

n

Tem 1.1. S se calculeze limitele urmtoare:

1) n

lim

1

325

n

24

2) n

lim( )12 +nn

n , unde >0

3) n

lim ( )1,0,,1243

+

n

n

4) n

lim12

121 ++

+n

n

5) n

lim 11 5353

++ ++

nn

nn

6) n

lim ,,11 ++ +

+nn

nn>0

7) n

lim

,1 n

n

+>0

8) n

lim ,nn

nn

+ >0

9) n

lim 1cos

n

10) n

lim 32cos

n

Tip 2. Limitele irurilor de forma: ( )( )( ) = n

nQnPan , N, unde ( )nP i ( )nQ

sunt polinoame, adic:

( )( )

( )

==

+++

+++

=

=

+++

+++

=+++

+++=

qpdac

qpdacba

qpdacba

ban

nb

nbb

na

naa

n

nb

nbbn

na

naan

bnbnbanana

nQnP

qp

n

qq

n

pp

nqp

n

qqq

ppp

nq

qqp

pp

nn

,0

,

,

lim...lim

...limlim

...

...lim

......

limlim

0

0

0

0

0

0

10

10

10

10

110

110

25

Aplicaia 1

S se calculeze: ( )

512135lim

1135lim 2

2

2

2

=+++

=+

+nnnn

nnn

nn, deoarece polioamele

au acelai grad. Aplicaia 2 S se calculeze:

.011

1lim41lim31lim

71limlim

431lim

71

431lim

71

431lim

743lim

32

3

32

3

32

32

32

3 2

=

=

+

=

+

+=

+

+=

+

+=

++

nn

nn

nn

nn

nn

nn

nnn

nnn

nnn

nn

n

nnn

Tema 1.2. S se calculeze limitele urmtoarelor iruri:

1) na( )( )

( )( )nnnn

7443313

+++

=

2) na 22...21 n

nn

++++

=

3) ( ) ( ) ( )nnnnnan ++++++

+++=

...21...21

4) 3222 ...21

nnan

+++=

5) ( )31...3221

nnnan++++

=

6) 3

...212

222 nn

nan +++

=

7) ( )3222 12...31

nnan+++

=

8)

+++

++

+= ,1...211

222

nn

nnnan R

26

9) 12

5572

32

++

=nn

nnnan

10) nnnnnan

+

++=

4 3

2 1

11) 3 23

2

22137

nnnnnan++

+=

Tip 3. Limitele de iruri care conin sume (diferene) de radicali Aplicaie S se calculeze limita irului cu termenul general 11 22 += nnan . Soluie n aceast situaie nu se poate aplica proprietatea

( ) nnnnnnn baba limlimlim = , deoarece se obine cazul de nedeterminare . Pentru a calcula aceast limit amplificm cu expresia conjugat, adic:

( )( )

.02

21111lim

2limlim

112

1111

11111111

22

22

22

22

22

222222

=

=

++

=++

=

=++

++=

++

+++=+=

nnn

ann

nnnn

nnnnnnnna

n

nnn

n

Tema 1.3. S se calculeze limitele urmtoare: 1) 11 22 +++= nnnnan

2) nnan +=3 31

3) ( ) ( )82

82

11 += nnan 4) ( )nnnnnan 211 ++= 5) S se determine i astfel nct ( ) =+ ,,01lim 3 3 nn

nR.

27

Tip 4. iruri care se rezolv cu teorema lui Cauchy-D'Alembert Teorema Cauchy- D'Alembert

Dac { } Nnna are termeni pozitivi, atunci n

nn

nnn a

aa 1limlim += , dac n

nn a

a 1lim +

exist. Aplicaie S se calculeze n

nnlim .

Soluie

Din teorema lui Cauchy, rezult c: 11limlim =+=n

nnn

nn

.

Tema 1.4. S se calculeze limitele: 1) n

nn!lim

2) nn nlglim

3) ( )nn n!lglim

4) nnn

n

!lim

5) ( )( ) ( )n

nnnnnn

+++ ...21lim

6) ( )( ) ( )nn n

naaa!

...21lim +++

Tip 5 . Calculul limitelor sirurilor care sunt date prin relatii de recurenta neliniare

Pentru irurile date prin recuren se demonstreaz mrginirea i monotonia, apoi se trece relaia de recuren la limit. Aplicaie Fie Nnna }{ unde 21 += nn aa cu ( )2,0na . Sa se determine nn alim . Soluie Se rezolv n dou etape.

28

1) n prima etap se arat c nna }{ este convergent (monoton i mrginit). S artm monotonia

02

)1)(2(2

22

00

00

00

220

0001 >++

+=

++

+=+=

aaaa

aaaaaaaa

>==+++

+=++=

+ 0)(...22

2222 01

1

111 aakaa

aaaaaann

nnnnnn

unde k>0 nn aa >+1 sir crescator. n concluzie daca ( )2,00 a nna }{ este strict crescator.

S artm mrginirea irului. Cum )2,0(0 a , atunci: 222201 =+

29

Aplicaie:

S se calculeze 1...21lim ++++

p

ppp

n nn

Solutie: ppp

n na +++= ...21 1+= pn nb si 1+< nn bb si nblim

n

n

balim =

nn

nn

bbaa

+

+

1

1lim =

=+

+=

++++++

++++ 1111 )1()1(lim

)1(...21)1(...21lim pp

p

pp

ppppppp

nnn

nnnnn

= =+++

+++

+++ 11

11

11 ...

)1(lim ppp

pp

p

p

nCnCnn

)...(

)11(lim

)...(

)11(lim 1

12

111

11

211

1 p

ppp

p

p

p

ppp

pp

pp

nC

nC

C

n

nC

nC

Cn

nn

+++

+

+++

+ +++

+=

+++

+=

=

)lim...lim(

)11lim(11

211

1 nC

nC

C

nppp

p

p

+++

+ +++

+=

0...1

11 +++pC

= 11

1

+pC=

11+p

Tema 1.6.

1) )ln1...

3ln1

2ln1(1lim

nnn+++

2) nn nn

lg!lglim

3) n

nn

1...31

211

lim++++

4) n

nn ln

1...31

211

lim++++

30

5) n

nn ln

1...3

12

11lim

++++

6) nn

nn

++++

...321lim

Tip 7. iruri care se rezolv cu ajutorul teoremei 11 Aplicaie

S se calculeze 72

122

2

591lim

+

+ n

nn

n nn . Conform teoremei 11 avem c

=

nnn

xnn

xnn

aalim

)lim(lim l= 7212

2

2

591lim

+

+ n

nn

n nn =

=72

12lim 22

591lim

+

+ n

nn

n

n

nn

=722

122lim

91

+

n

nnn

=21

91

=

91 =

31 .


1) 113

2

2

21 ++

=

nnn

na ;

2) 11

3

3

+

+

= nnn

n ea ;

3) 532

2

2

3 3

2731

+

+

=n

nn

n nna ;

4) 4 4

3 3

1

13 32

8 121log

+

+

+++

=nn

nn

n nnna ;

5)

+

+=

3 6

2

3

13

4 3

3 2

2ln

nn

n

nnnnna ;

31

6) n

n

n nnna

+

+

=7

13

3 21 .

Tip 8. iruri care se rezolv cu ajutorul limitei nn n

e )11(lim +=

LEMA 1. Dac nx , atunci exnx

nn=+

)11(lim .

LEMA 2. Dac 0nx , atunci ex nx

nn=+

)1(lim .

Aplicaia 1: S se calculeze 25

)5

21(lim+

++

n

n n.

Soluie: Conform Lemei 1 avem c +=2

5nxn , iar

en

n

n=

++

+

2

5

)5

21(lim

Aplicaia 2: S se calculeze n

n nn

++

+ 12

21lim

Soluie: ++

=212

nnxn . Atunci, conform Lemei 1, avem c:

=++

+=++

+ ++

+

+

nnn

nn

n

n

n nn

nn 12

2212

])1221[(lim])

1221[(lim

2112

2lim212 12

2lim

])1221[(lim ee

nn n

nnnn n

nn

nn

n==

++

+=+

+

+

+

++

Tema 1.8. S se calculeze urmtoarele limite:

1) nn n

)1

31(lim

+

;

2) 2

)4

11(lim 32

n

n nnn+

+

;

3) n

n nn

++ )

11(lim 2 0,, IR ;

32

4) 33 6

)32

11(lim

++ n

n nn , R.

Tip 9. iruri care se rezolv cu ajutorul criteriului de convergen al lui Cauchy (n )

Definiie: Un ir nna }{ este convergent n sensul Cauchy dac

N)(0)( > astfel nct

33

Tema 1.9. Utiliznd criteriul de convergen n (Cauchy) s se arate convergena irurilor:

1) nn

naaau

2sin...

2sin

2sin

221 +++= ;

2) )1(

cos...32

cos21

cos 21+

++

+

=nn

aaau nn .

Tip 10. iruri care se rezolv cu ajutorul criteriului Raabe-Duhamel

Fie nnu }{ astfel nct 0>nu i 1+< nn uu N n)( . Dac raportul

1n

n

uu

, atunci 1

...

1

21

+++

+

n

n

uuuu

Generalizarea criteriului lui Raabe-Duhamel Fie nnu }{ astfel nct 0>nu i 1+< nn uu N n)( . Dac raportul

+1n

n

uu atunci

1...

1

21

+++

+

n

n

uuuu

Demonstraie.

)](...)(...[lim...lim 11

2121

pn

pn

n

n

n

nnpn

nn u

uuu

uuuu

uuuu

+++=

+++ =

1...

1

1

=

=+p

p

Lem. Fie nnu }{ astfel nct 0>nu i nu i dac +1n

n

uu , atunci

++++++

121

21

......

n

n

uuuuuu .

Demonstraie.

121

21

......

++++++

n

n

uuuuuu =

121 ...1

++++

n

n

uuuu =

=++++

+

11...

1121

1

1 n

n

n

n

uuuu

uu

Aplicaie. S se calculeze nn

n 33...33lim

2 +++

.

34

Soluie. Conform criteriului Raabe-Duhamel avem nnu 3= , iar

23

133

33...33lim3lim

2

1=

=

+++=

n

n

nn

nn u

u .

Tip 11. Determinarea limitei irurilor date prin relaii de recuren liniare de forma: 21 += nnn buauu cu 0u i 1u date

Fie ( ) ( ) ( )nnnun unde ,+= i ( )n sunt dou funcii ce depind de n i care verific relaia dat : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )21

21+=+=

nbnannbnan

S cutm s determinm funciile ( )n i ( )n de forma unde ,n R-{ }0 . nlocuind nku = n 21 += nnn buauu , obinem

21 += nnn ba , mprim la 2n 02 = ba , numit ecuaia caracteristic a relaiei date.

1) Dac 2

4042

2,12 baaba +=>+= . n acest caz lum

( ) nn 1 = i ( ) nn 2 = atunci nnnu 21 += . Din condiiile iniiale

+=

+=

211

0

uu

se determin i i se nlocuiesc n

nnnu 21 += .

2) Dac 042

35

3) Dac 042 =+= ba( )

( )

=

=

n

n

ann

an

2

2

( )

n

nanu

+=

2 .

Aplicaia 1. S se calculeze nn ulim , unde 21 65 = nnn uuu cu 40 =u i

111 =u . Soluie Se formeaz ecuaia caracteristic 21-n 65 = nn 0652 =+

nnnu 323

2

2

1 +=

=

=

. Dar,

==

+=+=

=

=

13

32114

114

1

0

uu

=+=+= ++ 11 3lim2limlim32 nn

n

nnn

nnn uu .

Aplicaia 2. S se calculeze nn ulim , unde 21 42 = nnn uuu cu 10 =u i 11 =u .

Soluie Se formeaz ecuaia caracteristic 04242 221 =+= nnn , atunci

==

=

3sin

3cos231

131

2,1 ii

+

=

3nsin2

3ncos2 nnnu .

Din

=+

=+

=

=

13

sin23

cos2

10

11

1

0

uu

avem 01301

01

13

10=

=+

=

=+

=+

i 1=

3ncos2 nnu = ,

dar acest ir este un ir oscilant, deci nu are limit. Aplicaia 3. S se calculeze nn ulim , unde 21 96 = nnn uuu cu 30 =u i

151 =u . Soluie. Ecuaia caracteristic este:

==+ 3096 2,12 ( ) +

= nu

n

n 26

36

Din

=

=

153

1

0

uu

3= i 6= ( )213 += nu nn = nn ulim .


1) 1+

=n

nan ;

2) ( )22

11

+

++=

nnnan ;

3) 2...321

nnan

++++= ;

4) nna 21...

21

211 2 ++++= ;

5)

n

n

na

31...

31

311

21...

21

211

2

2

++++

++++= ;

6) 1acu

41...

41

411

...1

2

2

++++= aaaaaan ;

13) 1,,2

>== qqnana nnnn ;

14) ( )nnnan += 12 ;

37

15) ( )333 2 1 nnnan += ; 16)

4 43 3

3 2

111

+++

+=

nnnnan ;

17) nnnn

an+

+++

++

=222

1...2

11

1 ;

Indicaie: Se aplic criteriul cletelui.

2221

22222

1111nna

nnn

nn

knnnn

nknnnn

n

k

2.1

Documents

Transcript of 2.1