Concursul judeean de matematic NUMERUSBAREM DE EVALUARE

CLASA a V a

SUBIECT I

a)

1p

1p

1p

Deci

1p

b)

1p

Deci .

Scdem i obinem deci obinem

deci , atunci

2pSUBIECT II

Se observa ca avem un numar de 2007 termeni care se pot grupa cte 3.

1p

este divizibil cu 553

6pSUBIECT III

a) Urmtorii termeni sunt: 23, 28, 33

1p

b) Primul termen: ;

1p

al doilea termen ;

al treilea termen: ;

deci al 2014-lea termen este:

2pc)

3pSUBIECT IV

Notm a 5-a parte dintr-o carte cu i a 7-a parte cu

1p

Deci

1p

1p

Ne rezult , deci , rezult i 2p

Crile au fiecare pagini.

1p

Elevii mai au de citit 224 respectiv 240 pagini.

1pConcursul judeean de matematic NUMERUSBAREM DE EVALUARE

CLASA a VI- a1. a) Demonstrai c oricare ar fi n numr natural nenul, numrul

A= 63n +7n+132n+1 21n3n+2 este divizibil cu 13.

b) Artai c numrul a = 15 + 32014 se divide cu 24.( Gazeta Matematic)Barema) A= 63n +7n32n21 21n3n9 . . 1p

A = 63n +63n21 63n 9 3 1p

= 63n ( 1+21 9) = 63n 13 A este divizibil cu 13 . 1p

b) a = 15 + 91007 = 91007 + 24 9 = 91007 9 + 24 2p

a = 9(91006 1) + 24 = 9(8+1)1006 1 + 24 = 9(8 + 1 1) + 24= 98 + 24= 24 , deci a se divide cu 24. 2p

2. Cte numere naturale impare dau prin mprire la 2014 ctul egal cu restul? Aflai restul mpririi sumei tuturor acestor numere la 2014.

( Gazeta Matematic, enun modificat)Baremn : 2014 = c (rest c) d= c+r, r < 1p

n= 2014c+c n= 2015c, c < 2014 1p

n-impar c numr impar c1, 3, 5, , 2013

2013 1006 = 1007 (numere cu aceast proprietate) . 1p

S= 20151 + 20153 + 20155 + + 20152013 = 2015(1+3+5++2013) ..1p

1+3+5++2013= 1+2+3+4++2013 (2+4+6++2012)=20132014:2 2(1+2+3++1006) = 20131007 210061007:2 = 10072 . 1p

S= 201510072, S= (2014+1)10072= 201410072 + 10072 = 201410072 +1007(1006+1) = 201410072 +10071006 + 1007 = 201410072 +10072503 + 1007 = 2014 (10072+503) + 1007 1p

Restul mpririi sumei la 2014 este 1007 .. 1p

3. Unghiurile AOB i BOC sunt adiacente. Bisectoarea unghiului AOB formeaz cu semidreapta [OC un unghi de msura de 95, iar bisectoarele unghiurilor AOB i BOC formeaz un unghi de 70.

a) Determinai msurile unghiurilor AOC, AOB i BOC.

b) Dac semidreapta OM este opus semidreptei OB aflai msura unghiului COM.

***

Barema) Desen 1pFie OD bisectoarea unghiului AOB i OE bisectoarea unghiului BOC m(= x i

m(= y ..1pm( x+y=

m( x+y+y= 1p y= i x= . 1p= 90, = 140, = 50 . 2p

b) = 180 = 130 . 1p4. Pe o dreapt se consider punctele distincte A, B, C, D, E, n aceast ordine, astfel nct B este mijlocul segmentului AC, ACCDED i BD= 6cm.

a) Calculai distana de la A la D.

b) Aflai lungimea segmentului [AE].

***BaremDin B mijlocul lui (AC) rezult AB = BC...................................................................(1p)

ED = DC = CA = 2BC ...............................................................................................(1p)

BD = BC + CD = BC + 2BC = 3BC, deci BC = 2 cm...............................................(2p)

AD = AC + CD = 4AB =8 cm ...................................................................................(1p)

b) AE = 3AC = 32BC = 12cm ..................................................................................(2p)

Concursul judeean de matematic NUMERUSBAREM DE EVALUARE

CLASA a VII - aSUBIECTUL I

a) Fie numerele si . Artai c , este ptrat perfect

b) Fie a, b, cR astfel nct . Demonstrai c

Prof. Danciu Alin Florin

Barema)

1p

2p

2pb) Se aplic inegalitatea oricare ar fi x, yR

Se obine

1p

inegalitatea cerut

1pSUBIECTUL IISe consider numerele raionale nenule a, b, c, d. Dac , artai c

Gazeta matematica 2014

Barem:Din

2pObinem (1)

(2)

(3)

(4)

2pDin (1) i (2) obinem

Din (1) i (3) obinem

Din (1) i (4) obinem

nlocuim n (1) i gsim Din (1) i (3) obinem

2p

1pSUBIECTUL IIIFie ABC (m()=90), ADBC (D[BC]) i [BE bisectoarea unghiului E[AC] , iar {M}=ADBE. Dac ANBE (N[BC], artai c AMNE este romb.Prof. Danciu Alin Florin

Barem:

a) Unghiul este unghi exterior MAB m()=m() + m() = 2p=m() + m() = m() 2p AME isoscel ([AM][AE]) 1pObservm c EMN isoscel ([NE][NM]) deoarece [NO] este i median i nlime n EMN 1pMai trebuie artat c [AE][EN] lucru evident deoarece E se afl pe bisectoarea unghiului

Deci, [AM][MN][NE][AE] AMNE romb

1pSUBIECTUL IV

Fie ABCD un ptrat i punctele MAB, PCD astfel nct [AM][CP], iar punctele N, Q sunt punctele de intersecie ale mediatoarei segmentului [MP] cu laturile AD, respectiv BC.

a) Artai c punctele A, O, C sunt coliniare.

b) Artai c MNPQ este ptrat.***

Barem:

paralelogram ACMP={O} (diagonalele unui paralelogram se njumtesc) A, O, C coliniare

(2p)

[NO][OQ] (1) i [AN][CQ]

(1p)

paralelogram (2)

Din N, Q se afl pe mediatoarea segmentului [MP] NQMP MNPQ romb

(2p)

([][] op. la vf.) (1)

(1p).

[OM][OQ] [MP][NQ] MNPQ ptrat

(1p)

Concursul judeean de matematic NUMERUSBAREM DE EVALUARE

CLASA a VIII - aSUBIECTUL I a) Determinai numerele raionale x i y tiind c: .

b) Artai c pentru orice numere reale pozitive a i b avem: .Soluiea) (1p)

(1p).b)

(1p)Cum, , si , deducem ca (2p)

SUBIECTUL IIa) Demonstrai c pentru orice numere naturale nenule k i n, 2k-1 divide numrul

.b) Numerele a, b, c sunt numere raionale pozitive i . Artai c numerele i sunt numere raionale.Soluie a) (1p)

(1p)

(1p)

(1p)b)

(1p)Adunnd relaia, cu relaia obinem c (1p)Analog,

(1p)

SUBIECTUL III

Fie ABCD un dreptunghi n care AB=a, BC=a i M un punct nesituat n planul dreptunghiului astfel nct MA=2a. tiind c (AE) i (AF) sunt mediane n triunghiurile ADM, respectiv ABM, iar (AG este bisectoarea unghiului MAC, .Aflai raportul ariilor triunghiurilor EFG i BCD. Soluie

M

EG

F

D

C

AB

ABCD dreptunghi isoscel (2p)

(1p)

(1p)(1p) Din relaiile (1) i (2)

i cum (2p)

SUBIECTUL IV

Fie A, B, C, D patru puncte necoplanare i G centrul de greutate al triunghiului BCD. Se consider punctul i se noteaz cu , i . a) Artai c ; b) Demonstrai c (PQR).Soluie

D

B

RG

C

MC

QD

A

P

B

(1p)Vom considera triunghiul ADG i transversala R M D, aplicm teorema Menelaus i avem:

(2p)Cum G este centru de greutate n vom avea c , deci (q.e.d) (1p)a) Aplicm teorema Menelaus n triunghiul ABG i transversala P M B obinnd: . Cum G este centru de greutate n vom avea c , deci . (1p)Din relaiile i deducem c i conform reciprocii teoremei Thales avem c . (1p)

.Analog demonstrm c i din relaiile (1) i (2) deducem c .(1p)

EMBED Microsoft Equation 3.0

EMBED Microsoft Equation 3.0

A AOB i BOC

M AOB i BOC

D AOB i BOC

B AOB i BOC

C AOB i BOC

E AOB i BOC

x

x

y

y

_237682888.unknown

_241610372.unknown

_241664204.unknown

_241664524.unknown

_241664844.unknown

_241665164.unknown

_241665484.unknown

_241665804.unknown

_241666124.unknown

_241666444.unknown

_241666764.unknown

_241667084.unknown

_241667404.unknown

_241667724.unknown

_241717456.unknown

_241718096.unknown

_241718416.unknown

_241718736.unknown

_241719056.unknown

_241719376.unknown

_241719696.unknown

_241720016.unknown

_241720336.unknown

_241720656.unknown

_241720976.unknown

_241782996.unknown

_241783316.unknown

_241783636.unknown

_241783956.unknown

_241784276.unknown

_241784596.unknown

_241784916.unknown

_241785236.unknown

_241785556.unknown

_241785876.unknown

_241786196.unknown

_241786516.unknown

_241840344.unknown

_241840664.unknown

_241840984.unknown

_241841304.unknown

_241841624.unknown

_241841944.unknown

_241842264.unknown

_241842584.unknown

_241842904.unknown

_241843224.unknown

_241843544.unknown

_241843864.unknown

_241889500.unknown

_241889820.unknown

_241890140.unknown

_241890460.unknown

_241890780.unknown

_241891100.unknown

_241891420.unknown

_241892060.unknown

_241892380.unknown

_241892700.unknown

_241893020.unknown

_241891740.unknown

_237683208.unknown

_237683528.unknown

_237683848.unknown

_237684168.unknown

_237684488.unknown

_237684808.unknown

_237685128.unknown

_237685448.unknown

_237685768.unknown

_237686088.unknown

_237686408.unknown

_241608132.unknown

_132174048.unknown

_132174368.unknown

_132175008.unknown

_132175328.unknown

_132175648.unknown

_132175968.unknown

_132176608.unknown

_132176928.unknown

_132177248.unknown

_132177568.unknown

_132243684.unknown

_132244004.unknown

_132244644.unknown

_132244964.unknown

_132245604.unknown

_132245924.unknown

_132246244.unknown

_132246564.unknown

_132246884.unknown

_132247204.unknown

_132244324.unknown

_132176288.unknown

_132174688.unknown