2014 Matematica Locala Suceava Clasa a Viiia Subiectebarem
-
Upload
alex-muntean -
Category
Documents
-
view
214 -
download
0
Transcript of 2014 Matematica Locala Suceava Clasa a Viiia Subiectebarem
-
8/17/2019 2014 Matematica Locala Suceava Clasa a Viiia Subiectebarem
1/4
OLIMPIADA NA ŢIONAL Ă DE MATEMATIC Ă
ETAPA LOCAL Ă
SUCEAVA
22 februarie 2014
CLASA a VIII – a
1. Determina ți numerele reale a, b, c din egalitatea:
.
2. a) (2p) Demonstra ți inegalitatea: 1 2a bab
, pentru orice numere reale strict pozitive a,b .
b) (5p) Ar ătați că: 2 x y z t
y z t z t x t x y x y z
, oricare ar fi
numerele reale strict pozitive x, y, z, t .
3. Fie o prism ă dreapt ă cu baza triunghi echilateral cu latura de 4 a cm șiînălțimea =3 a cm. Se noteaz ă cu D și E mijloacele muchiilor' AA , respectiv .Să se determine m ăsura unghiului format de dreapta cu planul' AA .
4. Pătratele ABCD și ABMN sunt situate în plane perpendiculare. Calcula ți m ăsura unghiuluidiedru format de planele și .
Not ă: 1. Toate subiectele sunt obligatorii.2. Fiecare subiect se puncteaz ă de la 0 la 7.3. Timp de lucru 3 ore.
-
8/17/2019 2014 Matematica Locala Suceava Clasa a Viiia Subiectebarem
2/4
BAREM DE CORECTARE ŞI NOTARECLASA a VIII–a
1. Determinați numerele realea, b, c din egalitatea:
. Prof. Gabriela Sasc ău, Răd ău ț i
Solu ț ie: Notăm: , , , de unde obținem: ,
, . Egalitatea devine: , de unde. Avem: , deci , iar
. Barem:
Notăm: , , , de unde obținem: , ,.
2
Egalitatea devine: , de unde2
111
1. a) (2p) Demonstrați inegalitatea: 1 2a bab
, pentru orice numere reale strict pozitivea, b .
b) (5p) Ar ătați că: 2 x y z t y z t z t x t x y x y z
, oricare ar fi numerele
reale strict pozitive x, y, z, t . Gazeta Matematica Nr.5/2010 Solu ț ie: a) Inegalitatea este echivalentă cu , ceea ce este adevărat, deoarece este
echivalentă cu: .
b) Folosind inegalitatea de la punctul a) pentru și , avem:
, echivalentă cu: . Analog,
, , . Prin adunarea ultimelor
patru inegalități obținem: , de undeinegalitatea cerută.
Barem:
a) Inegalitatea este echivalentă cu , ceea ce este adevărat,
deoarece este echivalentă cu: .
2
-
8/17/2019 2014 Matematica Locala Suceava Clasa a Viiia Subiectebarem
3/4
b) Folosind inegalitatea de la punctul a) pentru și , avem:2
, , ,
1
:
1
1
3. Fie o prismă dreaptă cu baza triunghi echilateral cu latura de 4a cm și înălțimea =3a
cm. Se notează cu D și E mijloacele muchiilor , respectiv . Să se determine măsura unghiuluiformat de dreapta cu planul .
Prof. Stela Boghian, Suceava Solu ț ie: Fie .
de unde rezultă:de unde rezultă , de unde .
Planul coincide cu planul . Fie M mijlocul lui .Cum , , , conform th. celor 3 perpendiculare, avem: .Cum , , avem: .Fie , cum și ., avem: .Din rezultă , deci , iar măsura unghiului cerut
. În dreptunghic în A, avem: , deci . Barem:
Fie .de unde rezultă:de unde rezultă , de unde .
1p
Planul coincide cu planul . Fie M mijlocul lui . Cum , , , conform th. celor 3 perpendiculare, avem: .
1p
Cum , , avem: . 1pFie , cum și ., avem: . 1pDin rezultă , deci , iar măsura unghiului cerut este
. 1p
Calculează . 1p
În dreptunghic în A, avem: , deci . 1p
-
8/17/2019 2014 Matematica Locala Suceava Clasa a Viiia Subiectebarem
4/4
4. Pătratele ABCDși ABMN sunt situate în plane perpendiculare. Calculați măsura unghiului diedruformat de planele și .
Prof. Ș lincu Gabriela, Suceava Solu ț ie: Cum și avem , dar , deci .Fie E mijlocul lui . Cum rezultă dar și (mediană în triunghiisoscel), deci . Fie , cum , conform teoremei celor tre perpendiculare, avem: . Muchia unghiului diedru este , deci măsura unghiului diedru este
. În dreptunghic în E: . În dreptnghic în A: , unde aeste latura pătratului. Cum , iar , triunghiul este dreptunghic în Ași
. Deci, , rezultă . Barem:
Cum și avem , dar , deci . Fie E mijlocullui . Cum rezultă dar și (mediană în triunghi isoscel), deci 2p
Fie , cum , conform teoremei celor trei perpendiculare, avem: . 1p Muchia unghiului diedru este , iar , , deci măsura unghiului diedru este
.
În dreptunghic în E: .
1p
În dreptnghic în A: , unde a este latura pătratului. Cum , iar , triunghiul este dreptunghic în Ași
.
2p
, rezultă .
1p