8/17/2019 2014 Matematica Locala Maramures Clasa a Viiia Subiectebarem Varianta 2

1/3

S  

S  

 R 

Olimpiada Naţională de Matematică 

Etapa Locală - Maramureş, clasa a VIII-a

1. Se dă numărul a  1  3  5 ... 4025  2013.

a) Calculați    a  unde  x reprezintă partea întreagă a numărului x. 

b) Demonstrați inegalitatea:

a   a   a  2014 .  prof. Popescu Ana 

2. Fie a, b, c numere reale pozitive astfel încât abc  1. Demonstrați  că 

1 

a  b 

1 

b  c 

1 

a  c 

a2  b2  c 2 

2 . G.M. 9/2013 

3. În cubul ABCDA’B’C’D’, M este mijlocul muchiei [DD’], DD’= a. Se cere:

a) Distanța de la B la planul (ACB’). 

b) Distanța de la M la planul (ACB’).   prof. Popescu Mihai  

4. Fie triunghiul ascuțitunghic ABC, iar  D  BC . Dacă O1 și O2 sunt centrele cercurilor circumscrisetriunghiurilor ABD și ACD arătați că:

a) AB

  R

1  unde  R respectiv  R sunt razele celor două cercuri.  AC  

 b) A O1 B

 A O2C  

1 2

2

2 

    R

1  

. 

   R2  

c) S  ABC  2  S  AO DO . Când avem egalitate?  prof. Mihali Marinela 1 2 

Timp de lucru 3 ore. Se acordă în plus 30 de minute pentru î ntrebări. 

 Fiecare problemă este notat ă cu 7 puncte. 

Subiecte selectate şi prelucrate de: prof. Mihali Marinela Liceul Borşa, prof. Popescu Mihai Şc. Gim. Nr. 4 Borşa, prof.

Popescu Ana, Şc. Gim. Nr. 9 Borşa 

8/17/2019 2014 Matematica Locala Maramures Clasa a Viiia Subiectebarem Varianta 2

2/3

1

MINISTERUL EDUCAŢIEI NAŢIONALE INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN MARAMUREŞ 

OLIMPIADA DE MATEMATICĂ Etapa locală

CLASA a VIII –  aBarem de corectare

Subiectul 1.

Se dă numărul 20134025...531   a .

a) Calculați a  unde  x  reprezintă partea întreagă a numărului x. b) Demonstrați inegalitatea: 

2014   aaa .

a)Avem   201420132013201320134025...531   2 a .............................................................. 1p22

2014201420132013   de unde 2014201420132013   deci   2013a ..................................... 2pb)Din a) avem că 2014a ............................................................................................................................. 1p

20142014201420142013  2   aaaaaa .............................................................. 1p

Analog, se deduce că   2014   aaa ...................................................................................................... 2pSubiectul 2.

Fie a, b, c numere reale pozitive astfel încât 1abc . Demonstrați că

2

111  222

cba

cacbba

.

Avem ab

ba

bamm

ba

abba

ha

4

12

2

și analoagele .................................................................... 2p

Se adună inegalitățile obținute și se folosește ipoteza 1abc .

bcacabca

bcb

aba

c

cacbba

  2

1

444

111..................................................... 3p

Finalizare 22

1  222

cbabcacab

  (justificare).................................................................................... 2p

Subiectul 3.

În cubul ABCDA’B’C’D’, M este mijlocul muchiei [DD’], DD’= a. Se cere: a) Distanța de la B la planul (ACB’). b) Distanța de la M la planul (ACB’).a)Fie   BD AC O   , conform teoremei celor trei perpendiculare avem  AC O B   ………………………  1pFie O B N O B BN      , cu reciproca a doua a teoremei celor trei perpendiculare se arată că   C  B A BN     Deci,   BN C  B A Bd    , ………………………………………………………………………………………  1p

2

6aO B   ,

2

2a BO ,

3

3a BN   ............................................................................................................... 1p

b)   MAC  MC  MA   isoscel   AC  MO ,2

3a MO ………………………………………………...  1p

Se calculează2

3a B M    și aplicând R.T. Pitagora în  B MO    B MO   este dreptunghic cu

  BO MO B MOm     090 ………………………………………………………………………………...  2pAvem C  B A MO    (justuficare) de unde   MOC  B A M d    , …………………………………………...... 1pSubiectul 4.

Fie triunghiul ascuțitunghic ABC, iar  BC  D . Dacă1

O și2

O sunt centrele cercurilor circumscrise

triunghiurilor ABD și ACD arătați că: 

8/17/2019 2014 Matematica Locala Maramures Clasa a Viiia Subiectebarem Varianta 2

3/3

2

a) 2

1

 R

 R

 AC 

 AB  

 b) 

2

2

1

2

1

 

  

 

 R

 R

S 

S 

C  AO

 B AO

 

c) 21

2 DO AO ABC 

  S S    . Când avem egalitate?

a)Pentru a poziționa punctul    BC  D , fie   BC  A A   iar C  A D   . Dacă  B A D   se trateazăanalog. Fie  AF   și  AE   diametre în cercurile

11, ROC   respectiv

22, ROC  . Patrulaterele

ADFB și ADCE sunt inscriptibile de unde   F  D B F  A B   ˆˆ  și   E  DC  E  AC    ˆˆ (1)…………………...... 1pTriunghiurile ADF și ADE dreptunghice, cu   00 90ˆ,90ˆ   E  D Am F  D Am deci,

  0180 ̂E  D F m F, D, E coliniare  E  DC  F  D B   ˆˆ (opuse la vârf) (2)

Din (1) și (2)  E  AC  F  A B   ˆˆ ………………………………………………………………………  2p

2

1

2

2

 R

 R

 AC 

 AB

CE 

 BF 

 AE 

 AF 

 AC 

 ABUU  ACE  ABF     de unde

2

1

 R

 R

 AC 

 AB ............................... 1p

b)Din punctul a) avem2

1

2

1

2

1

CO

 BO

 AO

 AO

 R

 R

 AC  AB  de unde

2

2

1

2

1

21  

  

 

 R

 R

S 

S  LLLC  AO B AO

C  AO

 B AO

...................................................................................... 2p

c) 2121

2121 242

sin4

2

sin22

2

sin DO AOO AO ABC 

  S S  A R R A R R A AC  AB

S   

 

Egalitatea se realizează când  BC  AD ............................................................................................ 1p