Programa II Clasa a XII –a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro

1

Concursul National “EUCLID” 17 11 2012

Clasa a XII -a Programa II NOTĂ. La subiectul I există un singur răspuns corect .La subiectul II se va da direct răspunsul.La subiectele III si IV se cer rezolvările complete. Se acordă 10 puncte din oficiu.Timp de lucru efectiv 3 ore

SUBIECTUL I ( 20p) (Se scrie pe foaia de concurs doar litera corespunzătoare răspunsului corect)

(4p) 1) Ecuaţia 1̂2̂ˆ x are în grupul ,4Z soluţia:

a) 0̂ b) 1̂ c) 2̂ d) 3̂

(4p) 2) Cât este produsul ˆ ˆ ˆ ˆ1 2 3 ... 8 în monoidul , 9Z ?

a)1̂ b) 3̂ c) 5̂ d) 0̂

(4p) 3) Elementul neutru al legii de compoziţie 1x y x y , definite pe R, este:

a) 0 b) 1 c) 3 d) -1

(4p) 4) O primitivă a funcţiei :f RR, 10( )f x x este:

a)

9

9x x b)

11

11x c) 9x d) 910 x

(4p) 5) 1

0

xdx este:

a) 1 b) 0 c) 12

d) 12

SUBIECTUL II ( 40p )

(Se scriu pe foaia de concurs doar numărul exerciţiului şi rezultatul corespunzător)

(4p) 1) Care este suma elementelor din grupul ( , )5Z ?

(4p) 2) Cât este 34̂ în 5Z ?

(4p) 3) Care este elementul neutru al grupului ,Z , unde 5x y x y , Z yx, ?

(4p) 4) Care sunt elementele inversabile ale monoidului 6 ,Z ?

(4p) 5) Cât este 2

11dx

x ?

(4p) 6) Cât este dxx 3

1 ?

(4p) 7) Care este mulţimea soluţiilor ecuaţiei 2ˆ ˆx x , în 4Z ?

(4p) 8) Care este simetricul elementului 2̂ în grupul ,6Z ?

(4p) 9) Cât este determinantul 1 60 1

?

(4p) 10) Cât este dxx

1

02 1

1 ?

Programa II Clasa a XII –a Site-ul concursului este www.concurs-euclid.ro

2

SUBIECTUL III ( 15p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)

Se consideră matricea 2

1 00 1

I

şi mulţimea

Za

aaXG

1051

)( .

(4p) a) Să se verifice că GI 2 .

(4p) b) Să se arate că ( ) ( ) ( ), ( ), ( )X a X b X a b X a X b G .

(2p) c) Să se arate că oricare ar fi matricea X a G există matricea X a G astfel încât

2)()( IaXaX .

(2p) d) Să se arate că ,G este grup comutativ.

(1p) e) Să se calculeze (1),nX n N .

(1p) f) Să se calculeze produsul 1 2 ... 2012X X X .

(1p) g) Să se arate că matricea 2012X se poate scrie ca un produs de matrice diferite din

mulţimea 2 3 102 , 2 , 2 ,..., 2X X X X .

SUBIECTUL IV ( 15p ) ( Se scrie pe foaia de concurs rezolvarea completă)

Se consideră funcţiile RR :nf ,definite prin 10 xf şi

x

nn dttfxf0

1 , Nn

, R x .

(4p) a) Să se verifice că xxf 1 , R x .

(4p) b) Să se calculeze xf 2 , Rx .

(2p) c) Să se rezolve în R ecuaţia 021 xfxf .

(2p) d) Să se calculeze

3

2

limx

f xf x

.

(1p) e) Să se arate că !nxxfn

n , R x , Nn .

(1p) f) Să se arate că xfxf nn 1 , R x , Nn .

(1p) g) Să se calculeze 1lim nnf

.

Test conceput de Ion Savu şi Octavian Ungureanu