2009 Matematică Alte Concursuri Subiecte 4
2
CONCURSUL DE MATEMATIC ˘ A ”FLORICA T. C ˆ AMPAN” PROBA PE ECHIPE Dur˘ au, 26 august 2009 JUNIORI 1. Fie n numere natur ale nenule ¸ si di stinc te, n > 2, avˆ and suma n 2 +n−2. a) Demonstrat ¸i c ˘ a printr e acestea exist˘ a cel put ¸in dou˘ a numere impare. b) Pot fi toate impare? 2. Fie num˘ arul n = 34567 76543 . Aflat ¸i: S (S (S (n))), unde S (a) reprezint˘ a suma cifrelor num˘ arului natural a. 3. Ar˘ atat ¸i c˘ a pentru orice triunghi ABC exist˘ a exact dou˘ a triunghiuri M N P astfe l ˆ ınc ˆ at punctele M,N,P s˘ a fie situate pe dreptele BC,CA, AB ¸ si ABC ≡ M N P . CONCURSUL DE MATEMATIC ˘ A ”FLORICA T. C ˆ AMPAN” PROBA PE ECHIPE Dur˘ au, 26 august 2009 JUNIORI 1. Fie n numere natur ale nenule ¸ si di stinc te, n > 2, avˆ and suma n 2 +n−2. a) Demonstrat ¸i c ˘ a printr e acestea exist˘ a cel put ¸in dou˘ a numere impare. b) Pot fi toate impare? 2. Fie num˘ arul n = 34567 76543 . Aflat ¸i: S (S (S (n))), unde S (a) reprezint˘ a suma cifrelor num˘ arului natural a. 3. Ar˘ atat ¸i c˘ a pentru orice triunghi ABC exist˘ a exact dou˘ a triunghiuri M N P astfe l ˆ ınc ˆ at punctele M,N,P s˘ a fie situate pe dreptele BC,CA, AB ¸ si ABC ≡M N P .
Transcript of 2009 Matematică Alte Concursuri Subiecte 4
7/25/2019 2009 Matematică Alte Concursuri Subiecte 4
http://slidepdf.com/reader/full/2009-matematica-alte-concursuri-subiecte-4 1/1
CONCURSUL DE MATEMATICA ”FLORICA T. CAMPAN”
PROBA PE ECHIPEDurau, 26 august 2009
JUNIORI
1. Fie n numere naturale nenule si distincte, n > 2, avand suma n2+n−2.a) Demonstrati ca printre acestea exista cel putin doua numere impare.b) Pot fi toate impare?
2. Fie numarul n = 3456776543. Aflati: S (S (S (n))), unde S (a) reprezintasuma cifrelor numarului natural a.
3. Aratati ca pentru orice triunghi ABC exista exact doua triunghiuriMNP astfel ıncat punctele M,N,P sa fie situate pe dreptele BC,CA,ABsi ABC ≡ MNP .
CONCURSUL DE MATEMATICA ”FLORICA T. CAMPAN”
PROBA PE ECHIPE
Durau, 26 august 2009
JUNIORI
1. Fie n numere naturale nenule si distincte, n > 2, avand suma n2+n−2.a) Demonstrati ca printre acestea exista cel putin doua numere impare.
b) Pot fi toate impare?
2. Fie numarul n = 3456776543. Aflati: S (S (S (n))), unde S (a) reprezintasuma cifrelor numarului natural a.
3. Aratati ca pentru orice triunghi ABC exista exact doua triunghiuriMNP astfel ıncat punctele M,N,P sa fie situate pe dreptele BC,CA,ABsi ABC ≡ MNP .
