Miercuri 16 iulie, 2008

Problema 1. ntr-un triunghi ascuitunghic ABC se noteaz cu H ortocentrul su. Cercul cucentrul n mijlocul segmentului BC i care trece prin H intersecteaz dreapta BC n A1 i A2.Analog, cercul cu centrul n mijlocul segmentului CA i care trece prin H intersecteaz dreapta CAn B1 i B2, iar cercul cu centrul n mijlocul laturii AB i care trece prin H intersecteaz dreaptaAB n punctele C1 i C2. Artai c punctele A1, A2, B1, B2, C1, C2 sunt conciclice.

Problema 2. (a) Artai c inegalitatea

x2

(x 1)2 +y2

(y 1)2 +z2

(z 1)2 1

are loc pentru orice numere reale x, y, z, diferite de 1, ce satisfac relaia xyz = 1.

(b) Demonstrai c exist o innitate de triplete de numere raionale x, y, z, ce veric relaiaxyz = 1, pentru care mai sus are loc egalitate.

Problema 3. Demonstrai c exist o innitate de numere naturale n astfel nct numrul n2 + 1are un factor prim strict mai mare dect 2n +

2n.

Language: Romanian Timp de lucru: 4 ore i 30 de minute

Fiecare problem este notat cu 7 puncte

Language: Romanian Day: 1

49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIADMADRID (SPAIN), JULY 10-22, 2008

Joi 17 iulie, 2008

Problema 4. Gsii toate funciile f : (0,) (0,) pentru care(f(w)

)2+

(f(x)

)2f(y2) + f(z2)

=w2 + x2

y2 + z2

pentru orice numere reale strict pozitive w, x, y, z, avnd proprietatea wx = yz.

Problema 5. Fie n i k numere naturale nenule astfel nct k n i kn numr par. Considerm2n becuri notate 1, 2, . . . , 2n ce se pot afla n strile aprins sau stins. La nceput toate becurile suntn starea stins. Considerm secvene de pai : la fiecare pas unul i numai un bec este aprins dacera stins, sau stins dac era aprins.

Fie N numrul de astfel de secvene, formate din k pai, ce duc la starea n care becurile de la 1la n sunt toate aprinse, iar becurile de la n + 1 la 2n sunt toate stinse.

Fie M numrul de astfel de secvene, formate din k pai, ce duc la starea n care becurile de la 1la n sunt toate aprinse, iar becurile de la n + 1 la 2n sunt toate stinse, dar nici unul dintre becurilede la n + 1 la 2n nu a fost aprins pe parcursul secvenei.

Aflai numrul N/M .

Problema 6. Fie ABCD un patrulater convex cu |BA| 6= |BC|. Notm cercurile nscrise ntriunghiurile ABC i ADC cu 1 i 2. Presupunem c exist un cerc tangent la semidreptele(BA dincolo de A i (BC dincolo de C, i la dreptele AD i CD. Demonstrai c tangentele exterioarecomune cercurilor 1 i 2 se intersecteaz pe .

Language: Romanian Timp de lucru: 4 ore i 30 de minuteFiecare problem este notat cu 7 puncte

Language: Romanian Day: 2

49th INTERNATIONAL MATHEMATICAL OLYMPIADMADRID (SPAIN), JULY 10-22, 2008