20. ANALIZA SISTEMELOR MIMOacse.pub.ro/wp-content/uploads/2014/08/Cap20-Vol2.pdfde caracterizare a...

20. ANALIZA SISTEMELOR MIMO

Cristian Oara

Acest capitol contine elemente de analiza sistemelor cu mai multe intrari si maimulte iesiri (MIMO), descrise atat ın formalismul intrare–iesire sub forma matricei detransfer rationale, cat si ın formalismul pe spatiul starilor sub forma realizarilor de stare.Abordarea este la un nivel de generalitate ce permite modele descrise de matrice detransfer rationala improprie sau chiar polinomiala. Corespunzator, teoria realizarilorde stare va cuprinde realizarile de tip descriptor si centrate ce pot descrie asa-numitelesisteme generalizate sau descriptor. Sistemele generalizate s-au impus ın literatura despecialitate ın ultima perioada ca fiind modalitatea naturala si unitara de descriere ainterdependentelor variabilelor unui sistem, atat din punct de vedere al evolutiei dinamice(formalizata ca sistem de ecuatii diferentiale) cat si din punct de vedere al constrangerilorstatice (ce se modeleaza ca sistem de ecuatii algebrice). Aplicatiile practice ale acesteigeneralizari a modelelor sistemelor sunt numeroase si diverse, spre exemplu ın descriereasi reglarea unor brate de robot ce au mai multe grade de libertate sau ın modelarea sicontrolul unor familii de vehicule (automobile, avioane ın proximitatea aeroporturilor,roboti manipulatori ın fluxuri tehnologice etc.).

Capitolul este organizat ın modul urmator. In sectiunea 20.1. introducem elemente dealgebra matriciala, ın particular fascicule matriciale regulate si singulare, forme canonice,cu accent pe generalizarea notiunii de spatiu invariant al unei matrice la spatiul dedeflatie al unui fascicul. Fasciculele matriciale si invariantii canonici asociati joaca un rolprimordial ın analiza si sinteza sistemelor MIMO ıntrucat permit exprimarea invariantilorstructurali sistemici ıntr-o forma simpla si pretabila la dezvoltarea de algoritmi numericstabili. Sectiunea 20.2. introduce principalele forme canonice ale matricelor de transferrationale (formele Smith-McMillan globala si locala) si invariantii canonici corespunzatori(poli, zerouri si ordinele asociate). O atentie speciala este acordata bazelor polinomialesi rationale pentru spatiile nucleu la stanga si la dreapta si indicilor lor minimali. Indiciiminimali ımpreuna cu polii, zerourile si ordinele asociate caracterizeaza complet oricematrice de transfer rationala. In sectiunea 20.3. este prezentata o modalitate alternativade caracterizare a unui sistem generalizat folosind modelarea pe spatiul starilor. Cumrealizarile de stare standard nu pot cuprinde eventualii poli de la infinit prezenti lasistemele generalizate, introducem diferite extensii ale realizarilor de stare standard pecare le numim generic realizari generalizate de stare. Discutam ıntai cazul realizarilordescriptor pe care le generalizam ulterior la realizarile centrate (proprii si improprii)si la cele polinomiale. Sectiunea se ıncheie prin prezentarea unor modalitati concretede gasire a realizarilor generalizate si cu proceduri de conversie ıntre diferitele tipuride realizari generalizate introduse. Conexiunile existente ıntre elementele invariante alecelor doua modalitati matematice de descriere ale sistemelor generalizate (matrice detransfer rationala si realizare generalizata de stare) sunt investigate ın detaliu ın sectiunea20.4. ın diverse cazuri de interes. Concluzia centrala a acestei sectiuni este ca realizarile

116 Cristian Oara

generalizate centrate (sau, mai general, cele de tip fascicul) functioneaza, prin intermediula doua fascicule matriciale asociate, ca un fel de ”liniarizari” ale matricei de transferrationale din care se pot deduce toate elementele de interes ın analiza si sinteza (poli,zerouri, ordinele asociate si indicii minimali).

20.1. Fascicule matriciale

In aceasta sectiune introducem forme canonice pentru fascicule matriciale. Fasciculelematriciale sunt matrice polinomiale de gradul 1, ın variabila complexa s, de tipul

A− sE, (20.1)

unde A si E sunt doua matrice de dimensiune m× n cu elemente ın C. Pentru fasciculematriciale m × n introducem forme canonice si invarianti canonici indusi de o relatie deechivalenta explicitata ın continuare.

Doua fascicule A − sE si A − sE se numesc echivalente daca exista doua matriceinversabile S ∈ Cm×m si T ∈ Cn×n, numite transformari de echivalenta, astfel ıncat

S(A− sE)T = A− sE. (20.2)

Discutam succesiv urmatoarele cazuri de complexitate crescanda:

(i) cazul regulat, ın care A − sE este un fascicul patrat cu det(A − sE) ≡ 0, iarforma canonica indusa este forma Weierstrass;

(ii) cazul singular, ın care A−sE este un fascicul arbitrar, iar forma canonica indusaeste forma Kronecker.

O atentie speciala este acordata cazului particular ın care transformarile de echivalentadin (20.2) sunt ın plus unitare, (i.e., SS∗ = I, TT ∗ = I). Transformarile unitaresunt importante ın primul rand pentru calculul numeric ıntrucat pot asigura stabilitateaalgoritmilor. Cu ajutorul acestor transformari de echivalenta unitare, fasciculele matricialese pot aduce la anumite forme pseudocanonice bloc superior triunghiulare cum ar fi formele– numite ad-hoc – cvasi–Weierstrass si cvasi–Kronecker. Aceste forme pseudo–canonicepun ın evidenta toti invariantii canonici indusi de transformarile generale de echivalenta,fara a fi nevoie ınsa transformarea fasciculului matricial la formele canonice diagonalece necesita transformari inversabile generic prost conditionate numeric. Evident, acesteforme pseudocanonice pot fi ulterior aduse prin transformari de echivalenta inversabile laformele canonice corespunzatoare Weierstrass si respectiv Kronecker. Incepem prezentareacu cazul regulat.

20.1.1. Fascicule regulate

Discutam ın acest paragraf cazul fasciculelor matriciale regulate A− sE, ın care A siE sunt ambele matrice patrate de dimensiune n iar A−sE are determinant neidentic nul,i.e., det(A− sE) ≡ 0.

Analiza sistemelor MIMO 117

Problema de rezolvare ın necunoscuta s ∈ C a ecuatiei polinomiale

χ(s) := det(A− sE) = 0 (20.3)

se numeste problema de valori proprii generalizate. Cum matricea E poate fi singulara,polinomul caracteristic χ(s) are ın general gradul nf ≤ n. Cele nf radacini ale lui χ(s)se numesc valori proprii generalizate finite ale lui A − sE. Spunem ca s = ∞ este ovaloare proprie generalizata a lui A− sE daca s = 0 este o valoare proprie generalizata afasciculului reciproc E−sA sau, echivalent, daca E este matrice singulara. Multiplicitatean∞ a valorii proprii generalizate de la infinit a lui A−sE este prin definitie multiplicitatealui s = 0 ca valoare proprie a lui E − sA. Fie

χ(s) = a0 + a1s+ . . .+ anfsnf , (anf

= 0).

Din egalitatea

det(E − sA) = (−1)nsn−nf (anf+ anf−1s+ . . .+ a0s

nf ),

rezulta ca n∞ = n − nf . Prin urmare, un fascicul regulat de dimensiune n × n areıntotdeauna n valori proprii generalizate (finite si infinite) care formeaza ımpreuna spectrulfasciculului, notat Λ(A−sE). Pentru o valoare proprie generalizata s0 a lui A−sE existaıntotdeauna un vector nenul x ∈ Cn – numit vector propriu generalizat – astfel ıncat{

Ax = s0Ex pentru s0 finit,Ex = 0 pentru s0 infinit.

(20.4)

Forma Weierstrass

Relatia (20.2) induce, pe multimea fasciculelor de dimensiune n×n, o forma canonicanumita forma canonica Weierstrass,

AW − sEW :=

[In∞ − sE∞

Af − sInf

], (20.5)

ın care Af si E∞ sunt ın forma canonica Jordan, cu E∞ nilpotenta.Aici

Af :=

A11(s1)

A22(s2). . .

Akk(sk)

, (20.6)

Aii(si) :=

Js(i)1(si)

Js(i)2(si)

. . .

Js(i)hi

(si)

, (20.7)

unde {s1, s2, . . . , sk} este multimea celor k valori proprii distincte ale lui Af (definite caradacinile polinomului det(Af − sInf

) = 0), iar Js(si) este o s× s matrice elementara de

118 Cristian Oara

forma

Js(si) :=

si 1

si. . .. . . 1

si

, (20.8)

numita bloc elementar Jordan. Pentru o valoare proprie si, dimensiunile s(i)j , (j =

1, . . . , hi) sunt numite indici elementari Jordan (sau multiplicitati partiale) ale valorilor

proprii si, ıntregul pozitiv hi este numit multiplicitate geometrica a lui si, suma ni = s(i)1 +

· · ·+ s(i)hi

este numita multiplicitate algebrica (sau totala) a lui si si nf =∑k

i=1 ni. Valorileproprii generalizate finite ale lui A − sE sunt valorile proprii ale lui Af , i.e., radacinileecuatiei det(Af − sInf

) = 0 si multiplicitatile lor (partiale, algebrice si geometrice) suntdefinite ın mod uzual pe baza formei Jordan a lui Af .

E∞ este o matrice nilpotenta ın forma canonica Jordan

E∞ :=

Js∞1 (0)

Js∞2 (0). . .

Js∞h∞ (0)

(20.9)

si Js(0) este un s × s bloc Jordan elementar (nilpotent) la valoarea proprie si = 0 detipul (20.8). Definim multiplicitatile partiale, geometrice si algebrice ale valorii propriigeneralizate de la infinit a lui A − sE ca fiind multiplicitatea corespunzatoare a valoriiproprii din zero a lui E∞. Prin urmare, pentru s = ∞ multiplicitatile partiale sunt s∞i(i = 1, . . . , h∞), multiplicitatea geometrica este h∞, multiplicitatea algebrica este n∞, iarn∞ =

∑h∞i=1 s

∞i .

Daca E este inversabila, atunci nu exista valori proprii generalizate infinite, formacanonica Weierstrass se reduce la forma canonica Jordan a matricei E−1A, iar S−1 = ET .

Daca A si E au doar elemente reale si restrangem clasa de transformari de echivalentacu elemente reale, obtinem forma canonica Weierstrass reala (20.5), unde Af este acumın forma canonica Jordan reala.

Forma cvasi–Weierstrass

Daca restrictionam clasa transformarilor de echivalenta la transformari unitare obtinemo forma condensata bloc superior triunghiulara numita forma cvasi–Weierstrass careevidentiaza valorile proprii generalizate si multiplicitatile asociate. Rezultatul completeste cuprins ın teorema urmatoare.

Teorema 20.1. Fie A−sE un fascicul regulat de dimensiune n×n avand k valori propriigeneralizate distincte si, (i = 1, . . . , k), cu multiplicitatile algebrice ni, (i = 1, . . . , k).

1. Fasciculul A−sE poate fi ıntotdeauna redus prin transformari de echivalenta unitarela forma bloc superior triunghiulara

Q∗(A− sE)Z = AS − sES :=

A11 − sE11 . . . A1k − sE1k...

. . ....

0 . . . Akk − sEkk

, (20.10)


ın care fiecare fascicul Aii − sEii de dimensiune ni × ni , (i = 1, . . . , k), aretoate valorile proprii generalizate ıntr-un punct si, si = sj pentru i = j. Daca

si este o valoare proprie generalizata finita atunci Eii este superior triunghiulara siinversabila si Ni := Aii − siEii are forma

Ni =

0r(i)1

N(i)12 . . . N

(i)1,li

. . . . . ....

. . . N(i)li−1,li

0 0r(i)li

, (20.11)

unde fiecare N(i)j,j+1 are rang maxim pe coloane r

(i)j+1, (j = 1, . . . , li − 1). Daca si

este infinit, Aii este superior triunghiulara si inversabila si Eii are forma (20.11).

Fasciculul AS − sES este numit forma cvasi–Weierstrass a lui A− sE.

2. Dimensiunile blocurilor elementare avand valoarea proprie generalizata si sunt deter-minate de multimea de indici r

(i)j precum urmeaza: sunt

r(i)j − r

(i)j+1 blocuri Jordan de dimensiune j, (j = 1, . . . , ℓi), (20.12)

ın care r(i)ℓi+1 := 0.

20.1.2. Spatii de deflatie ale unui fascicul regulat

In acest paragraf introducem notiunea de spatiu invariant al unei matrice si generaliza-rea sa pentru un fascicul matricial regulat numita spatiu de deflatie. Spatiile invariante side deflatie joaca un rol central ın teoria reglarii, teoria robustetii si optimalitatii sistemelorMIMO.

Incepem cu caracterizarea spatiilor invariante ale unei matrice patrate A.

Definitia 20.1. Spatiul liniar V ⊂ Cn se numeste spatiu invariant al matricei A dedimensiune n× n daca

AV ⊂ V . (20.13)

Fie V ⊂ Cn un subspatiu invariant de dimensiune ℓ. Construim matricea inversabila Upartitionata

U = [ U1 U2 ]︸︷︷︸︸︷︷︸ℓ n− ℓ

(20.14)

astfel ıncatV =< U1 > . (20.15)

Atunci rezulta din (20.13) ca

U−1AU =

[A11 A12

0 A22

]} ℓ} n− ℓ

(20.16)

︸︷︷︸︸︷︷︸ℓ n− ℓ

.

120 Cristian Oara

In acest nou sistem de coordonate, V are reprezentarea

V =<

[Iℓ0

]> .

Aplicatia liniara A si spectrul ei restrictionate la spatiul V se noteaza cu

A|V := A11

si respectivΛ(A)|V := Λ(A11).

Teorema 20.2. Fie A o matrice de dimensiune n× n.

1. Daca V este un spatiu invariant al lui A de dimensiune ℓ atunci exista o transformarede similaritate U = [U1, U2], cu V =< U1 >, astfel ıncat U−1AU este bloc superiortriunghiulara ca ın (20.16), Λ(A11) ∪Λ(A22) = Λ(A) si Λ(A)|V = Λ(A11).

2. Reciproc, daca (20.16) are loc pentru o matrice nesingulara U ca ın (20.14), atunciV = < U1 > este un spatiu invariant al lui A si Λ(A)|V = Λ(A11).

Observatia 20.1. In enuntul teoremei precedente U poate fi ales unitar. Acest lucru sepoate obtine luand o baza unitara U1 pentru V si construind U2 ca o completare unitara(astfel ıncat matricea U din (20.14) sa fie unitara).

Rezultatul urmator contine conditii de existenta si unicitate a spatiilor invariante avandun spectru specificat.

Teorema 20.3. Fie A o matrice patrata si fie Λ1 ∪Λ2 = Λ(A) o partitie a spectrului ei.Atunci exista un spatiu invariant V al lui A astfel ıncat Λ(A)|V = Λ1. Mai mult, dacaΛ1 ∩Λ2 = ∅ (i.e., partitia este disjuncta) atunci V este unic.

Rezultatul urmator caracterizeaza spatiile invariante ın termenii unei matrice baza asociate.

Teorema 20.4. Fie A o matrice de dimensiune n× n.

1. Daca V =< V > este un spatiu invariant al lui A de dimensiune ℓ, unde V este omatrice baza, atunci exista o matrice S de dimensiune ℓ× ℓ

AV = V S. (20.17)

Mai mult, S = A|V .

2. Reciproc, daca AV = V S are loc pentru o anumita matrice baza V de dimensiunen× ℓ si o matrice S de dimensiune ℓ× ℓ, atunci V =< V > este un spatiu invariantal lui A si S = A|V .

Introducem ın continuare notiunea de spatiu de deflatie al unui fascicul regulat si extindemcaracterizarile precedente ale spatiului invariant la cazul fasciculelor regulate.

Definitia 20.2. Spatiul liniar V ⊂ Cn se numeste spatiu de deflatie al fasciculului regulatA− sE daca

dim(AV + EV) = dimV . (20.18)


In cazul ın care E = In, definitia spatiului de deflatie se reduce la definitia spatiuluiinvariant al matricei A. Intr-adevar, dim(V + AV) = dimV este echivalent cu AV ⊂ V .

Fie V ⊂ Cn un spatiu arbitrar (nu neaparat de deflatie) de dimensiune ℓ si fie

W := AV + EV . (20.19)

Avemk := dimW ≥ dimV = ℓ. (20.20)

Intr-adevar, pentru orice valoare s avem (A− sE)V ⊂ W de unde k = dimW ≥ dim(A−sE)V ≥ dimV−dimKer (A−sE) = ℓ−dimKer (A−sE). Particularizand aceasta relatiepentru orice s ∈ Λ(A − sE) obtinem (20.20). Construim matricele inversabile Q si Z,partitionate ca

Z = [ Z1 Z2 ]︸︷︷︸︸︷︷︸ℓ n− ℓ

, Q = [ Q1 Q2 ],︸︷︷︸︸︷︷︸k n− k

(20.21)

astfel ıncatV =< Z1 >, W =< Q1 > . (20.22)

Din (20.19) rezulta ca AV ⊂ W , EV ⊂ W si prin urmare

Q−1(A− sE)Z =

[A11 − sE11 A12 − sE12

0 A22 − sE22

]} k} n− k.

(20.23)

︸︷︷︸︸︷︷︸ℓ n− ℓ

In acest nou sistem de coordonate V si W sunt reprezentate

V =<

[Iℓ0

]>, W =<

[Ik0

]> . (20.24)

In particular, daca V este spatiu de deflatie, definim aplicatia liniara si spectrul restrictio-nate la spatiul V ca

(A− sE)|V := A11 − sE11 (20.25)

si respectivΛ(A− sE)|V := Λ(A11 − sE11). (20.26)

Cum V este spatiu de deflatie avem dimW = k = ℓ = dimV . Urmatoarea teoremaextinde proprietatile spatiilor invariante ale unei matrice la cazul spatiilor de deflatie alefasciculelor regulate.

Teorema 20.5. Fie A− sE un fascicul matricial regulat de dimensiune n× n.

1. Daca V este un spatiu de deflatie de dimensiune ℓ al lui A− sE si W := AV +EV,atunci exista matricele de transformare

Z = [ Z1 Z2 ]︸︷︷︸︸︷︷︸ℓ n− ℓ

, Q = [ Q1 Q2 ]︸︷︷︸︸︷︷︸ℓ n− ℓ

(20.27)

122 Cristian Oara

cu V =< Z1 > si W =< Q1 >, astfel ıncat

Q−1(A− sE)Z =

[A11 − sE11 A12 − sE12

0 A22 − sE22

]} ℓ} n− ℓ,

(20.28)

︸︷︷︸︸︷︷︸ℓ n− ℓ

unde fasciculele diagonale Aii − sEii, (i = 1, 2) sunt regulate, cu Λ(A11 − sE11) ∪Λ(A22 − sE22) = Λ(A− sE) si Λ(A− sE)|V = Λ(A11 − sE11).

2. Reciproc, daca (20.28) are loc pentru anumite matrice inversabile Q si Z partitionateca ın (20.27), atunci V =< Z1 > este un spatiu de deflatie al lui A−sE,W =< Q1 >unde W := AV + EV si Λ(A− sE)|V = Λ(A11 − sE11).

Teorema precedenta justifica terminologia de ”spatiu de deflatie” ıntrucat problema decalcul al invariantilor Weierstrass ai fasciculului A−sE a fost “deflata” ın doua problemesimilare, dar de dimensiune mai mica.

Observatia 20.2. In enuntul Teoremei 20.5. matricele Q si Z pot fi alese unitare. Acestlucru se poate asigura luand matrice baza unitare Z1 si Q1 pentru V si respectiv W siconstruind Z2 si Q2 drept completari unitare (astfel ıncat matricele Z si Q sa rezulteunitare).

Urmatorul rezultat stabileste existenta si unicitatea spatiilor de deflatie ce satisfac anumiteconditii de spectru.

Teorema 20.6. Fie A − sE un fascicul regulat si Λ1 ∪ Λ2 = Λ(A − sE) o partitie aspectrului. Atunci exista un subspatiu de deflatie V a lui A−sE astfel ıncat Λ(A−sE)|V =Λ1. Mai mult, daca Λ1 ∩Λ2 = ∅, atunci V este unic.

Teorema urmatoare da o caracterizare a spatiilor de deflatie ın termenii matricelor bazaasociate. In acest scop avem nevoie ıntai de doua leme ajutatoare.

Lema 20.1. Fie egalitateaAV T = EV S (20.29)

unde A− sE si S − sT sunt fascicule regulate astfel ınca t Λ(A− sE) ∩Λ(S − sT ) = ∅.Atunci (20.29) are doar solutia triviala V = 0.

Lema 20.2. Fie A− sE si S − sT doua fascicule regulate astfel ıncat

AT = ES. (20.30)

Atunci A− sE si S − sT sunt echivalente.

Teorema 20.7. Fie A− sE un fascicul matricial regulat de dimensiune n× n.

1. Daca V =< V > este un spatiu de deflatie al lui A− sE de dimensiune ℓ, unde Veste o matrice baza pentru V, atunci exista un fascicul regulat S−sT de dimensiuneℓ× ℓ care este echivalent cu (A− sE)|V astfel ıncat

AV T = EV S. (20.31)


2. Reciproc, daca AV T = EV S are loc pentru o matrice baza V de dimensiune n×ℓ siun fascicul matricial S − sT de dimensiune ℓ× ℓ, atunci V =< V > este un spatiude deflatie al lui A− sE si S − sT este echivalent cu (A− sE)|V .

Observatia 20.3. Relatia (20.31) generalizeaza caracterizarea (20.17) a spatiilor invarianteale matricelor la cazul spatiilor de deflatie ale fasciculelor matriciale. Intr-adevar, dacaE = I obtinem AV T = V S si cum S − sT este regulat rezulta ca T este inversabila siAV = V S, unde S := ST−1.

20.1.3. Fascicule singulare

In acest paragraf consideram cazul fasciculelor arbitrare singulare de dimensiunem×n.Un fascicul singular A − sE sau nu este patrat (m = n) sau este patrat cu determinantidentic nul, i.e., det(A− sE) ≡ 0. Pentru fascicule singulare introducem forme canonicesi invarianti canonici indusi de aceeasi relatie de echivalenta (20.2).

Rangul normal al fasciculului – notat rang n(A−sE) – este definit ca rangul lui A−sEpentru aproape toti s ∈ C (cu exceptia unui numar finit de puncte). Daca νℓ := m−r > 0,unde r := rang n(A− sE), atunci fasciculul are o structura singulara la stanga netriviala.Daca νr := n− r > 0 atunci fasciculul are o structura singulara la dreapta netriviala.

Definim polinomul caracteristic χ(s) al fasciculului singular A − sE ca fiind cel maimare divizor comun al polinoamelor detRi(s), unde {Ri(s)} este multimea tuturor minori-lor de ordinul r ai matricei polinomiale A−sE. Problema rezolvarii ın necunoscuta s ∈ Ca ecuatiei polinomiale

χ(s) = ν0 + ν1s+ . . .+ νnfsnf = 0 (20.32)

se numeste problema de valori proprii generalizate pentru fasciculul singular A−sE. Celenf radacini ale lui χ(s) se numesc valori proprii generalizate finite ale lui A−sE. Spunemca s = ∞ este o valoare proprie generalizata a lui A − sE daca s = 0 este o valoareproprie generalizata a fasciculului reciproc E − sA, sau, echivalent, daca rangE < r.Multiplicitatea n∞ a valorii proprii generalizate de la infinit a lui A−sE este prin definitiemultiplicitatea lui s = 0 ca valoare proprie generalizata a lui E − sA. Multimea celornf + n∞ valori proprii generalizate ale lui A− sE (finite si infinite) formeaza spectrul luiA− sE, notat Λ(A− sE).

Forma Kronecker

Relatia (20.2) induce pe multimea fasciculelor matriciale de dimensiune m×n o formacanonica numita forma canonica Kronecker,

AKR − sEKR :=

Lϵ1

. . .

Lϵνr

In∞ − sE∞Af − sInf

LTη1

. . .

LTηνℓ

, (20.33)

124 Cristian Oara

ın care Lk, (k ≥ 0), este fasciculul bidiagonal de dimensiune k × (k + 1),

Lk :=

s −1. . . . . .

s −1

,

Af si E∞ sunt matrice ın forma canonica Jordan, cu E∞ nilpotenta. In particular, kpoate fi zero corespunzand unei linii sau unei coloane de zerouri ın fasciculul (20.33).Structura Kronecker este complet determinata de partea regulata si de partea singularaprecum urmeaza:• partea regulata a lui A− sE este determinata de fasciculul regulat[

In∞

Af

]− s

[E∞

Inf

].

Prin urmare, folosim partea regulata a fasciculului pentru a defini conceptele de multiplici-tate partiala, algebrica si geometrica a valorilor proprii generalizate ale lui A−sE. Valorileproprii ale matricei Af ımpreuna cu dimensiunile blocurilor Jordan elementare ale luiAf determina structura de valori proprii generalizate finite a fasciculului. Dimensiunileblocurilor elementare infinite ale lui In∞ − sE∞ determina structura de valori propriigeneralizate infinite a fasciculului. Structura de valori proprii finite si infinite determinacomplet partea regulata a fasciculului;• partea singulara a lui A − sE este determinata de structurile singulare la stanga

si respectiv la dreapta astfel: fasciculele de dimensiune ϵi × (ϵi + 1), notate Lϵi , (i =1, . . . ,νr), sunt blocurile elementare Kronecker la dreapta si ϵi ≥ 0 se numesc indiciiKronecker la dreapta; fasciculele de dimensiune (ηj + 1)× ηj, notate Lηj

T , (j = 1, ...,νℓ),sunt blocurile elementare Kronecker la stanga si ηj ≥ 0 se numesc indicii Kronecker la

stanga. In particular, ϵi si ηj pot fi 0.Folosind forma canonica Kronecker, rangul normal al lui A− sE poate fi exprimat ca

r = nr + n∞ + nf + nℓ, (20.34)

unde nr :=∑νr

i=1 ϵi, nℓ :=∑νℓ

j=1 ηj, iar nf si n∞ sunt numarul de valori proprii finite sirespectiv infinite. Daca A − sE este regulat, nu exista indici Kronecker (i.e., fasciculeleLϵi , L

Tηj

sunt vide) si forma canonica Kronecker se reduce la forma canonica Weierstrass.

Observatia 20.4. Printr-o simpla permutare a liniilor si coloanelor partilor singulare ladreapta si la stanga ale lui AKR − sEKR din (20.33) obtinem

P−1(AKR − sEKR)R =

Br Ar − sInr

In∞ − sNJ − sInf

Aℓ − sInℓ

Cℓ

, (20.35)

unde[Br Ar − sInr

]este un fascicul care are doar structura Kronecker la dreapta, cu

Ar ın forma canonica Jordan, iar fasciculul

[Aℓ − sInℓ

Cℓ

]are doar structura Kronecker

la stanga, cu Aℓ ın forma canonica Jordan. Forma (20.35) este cunoscuta sub numele deforma Morse si are multe aplicatii ın teoria sistemelor liniare MIMO.


Lema urmatoare contine o generalizare interesanta a ecuatiei matriciale Sylvester la cazulcoeficientilor dati de fascicule matriciale.

Lema 20.3. Presupunem ca fasciculele A − sE si B − sF sunt inversabile la stanga sirespectiv la dreapta (pentru anumiti s) si Λ(A− sE) ∩Λ(B − sF ) = ∅.

1. Ecuatia

X(A− sE)− (B − sF )Y = C − sG (20.36)

are ıntotdeauna o solutie X, Y . Mai mult, daca fasciculele A− sE si B − sF suntregulate, atunci solutia este unica.

2. Ecuatia

(A− sE)X − Y (B − sF ) = 0 (20.37)

are solutia unica X = 0, Y = 0.

Forme cvasi– Kronecker

Forma cvasi–Kronecker pune ın evidenta aceeasi informatie despre invariantii canonicica si forma canonica Kronecker, avand ınsa avantajul ca se obtine folosind exclusivtransformari unitare numeric stabile.

Mai precis, orice fascicul matricial A−sE, cu A,E ∈ Cm×n poate fi ıntotdeauna redusprin transformari unitare Q ∈ Cm×m si Z ∈ Cn×n, la forma bloc superior triunghiulara,numita forma cvasi–Kronecker,

Q(A−sE)Z = AK−sEK :=

Aϵ − sEϵ ⋆ ⋆ ⋆

0 A∞ − sE∞ ⋆ ⋆0 0 Af − sEf ⋆0 0 0 Aη − sEη

, (20.38)

unde:

1. partea regulata a fasciculului este determinata de Af − sEf si A∞ − sE∞ care suntambele patrate si regulate si contin valorile proprii generalizate finite si respectivinfinite, Ef si A∞ sunt inversabile si E∞ este nilpotenta;

2. partea singulara a fasciculului este determinata de Aϵ − sEϵ si de Aη − sEη, undeAϵ− sEϵ contine indicii Kronecker la dreapta si are rang maxim pe linii pentru totis ∈ C, Eϵ are rang maxim pe linii, Aη − sEη contine indicii Kronecker la stanga siare rang maxim pe coloane pentru toti s ∈ C si Eη are rang maxim pe coloane.

Obtinerea formei cvasicanonice Kronecker se bazeaza pe reducerea succesiva a fascicululuioriginal folosindu-se un algoritm de tip esalon care pune ın evidenta partial structuraKronecker a fasciculului. Algoritmul de tip esalon utilizeaza exclusiv transformari unitareasa cum este indicat ın lema urmatoare.

Lema 20.4. Fie A− sE un fascicul general de dimensiune m× n.

126 Cristian Oara

1. Fasciculul A − sE poate fi redus prin transformari de echivalenta unitare la formabloc superior triunghiulara

A− sE = Q∗(A− sE)Z =

[Aϵ,∞ − sEϵ,∞ ⋆

0 Af,η − sEf,η

](20.39)

:=

A11 A12 − sE12 . . . A1,k − sE1,k A1,k+1 − sE1,k+1

0 A22 . . . A2,k − sE2,k A2,k+1 − sE2,k+1...

.... . .

......

0 0 . . . Ak,k Ak,k+1 − sEk,k+1

0 0 . . . 0 Ak+1 − sEk+1

}s1}s2

}sk}sk+1,︸︷︷︸︸︷︷︸︸︷︷︸︸︷︷︸

t1 t2 tk tk+1

unde Ak+1 − sEk+1 =: Af,η − sEf,η,

(a) Ek+1 are rang maxim pe coloane;

(b) Matricele Aii au rang maxim pe linii si, (i = 1, . . . , k);

(c) Matricele Ei−1,i au rang maxim pe linii ti, (i = 2, . . . , k).

Fasciolul A− sE se numeste forma esalon a fasciculului A− sE.

2. Forma esalon (20.39) evidentiaza complet structura singulara la dreapta si multiplici-tatile valorilor proprii generalizate de la infinit precum urmeaza:

sunt ti − si blocuri elementare Kronecker la dreapta Li−1, (i = 1, . . . , k), (20.40)

sunt si − ti+1 blocuri elementare la infinit Ii − sJi, (i = 1, . . . , k), (20.41)

unde tk+1 := 0.

In forma (20.39), fasciculul Aϵ,∞−sEϵ,∞ contine blocurile cu defect de rang ın s. Inversandın fasciculul A−sE rolurile liniilor cu cel al coloanelor se obtine o forma duala prezentataın lema urmatoare.

Lema 20.5. Fie A− sE un fascicul general de dimensiune m× n.

1. Fasciculul A − sE poate fi redus prin transformari de echivalenta unitare la formabloc superior triunghiulara

A− sE = Q∗(A− sE)Z =

[Aϵ,f − sEϵ,f ⋆

0 Aη,∞ − sEη,∞

]

:=

Ah+1 − sEh+1 Ah+1,h − sEh+1,h . . . Ah+1,2 − sEh+1,2 Ah+1,1 − sEh+1,1

0 Ah,h . . . Ah,2 − sEh,2 Ah,1 − sEh,1...

.... . .

......

0 0 . . . A2,2 A2,1 − sE2,1

0 0 . . . 0 A1,1

}qh+1

}qh

}q2}q1,︸︷︷︸︸︷︷︸︸︷︷︸︸︷︷︸

rh+1 rh r2 r1(20.42)

unde Aϵ,f − sEϵ,f := Ah+1 − sEh+1,


(a) Eh+1 are rang maxim pe linii;

(b) Matricele Aii au rang maxim pe coloane ri, (i = 1, . . . , h);

(c) Matricele Ei,i−1 au rang maxim pe coloane qi, (i = 2, . . . , h).

Fasciculul A− sE este numit forma esalon duala a fasciculului matricial A− sE.

2. Forma esalon duala (20.42) evidentiaza complet structura singulara la dreapta si multiplici-tatile valorilor proprii generalizate de la infinit precum urmeaza:

sunt qi − ri blocuri elementare Kronecker la stanga LTi−1, (i = 1, . . . , h), (20.43)

sunt ri − qi+1 blocuri elementare la infinit Ii − sJi, (i = 1, . . . , h), (20.44)

unde qh+1 := 0.

Pentru completitudine, prezentam ın continuare un algoritm conceptual care construiesteforma esalon. Pentru claritate, descriem ın detaliu primii doi pasi si apoi formulam pasulgeneral j ≥ 3. Fie A − sE un fascicul matricial unde A, E sunt matrice ın Cm×n siρ := rang (E).

0. Se face Q = Im, Z = In.

1. a) Se transforma E la o forma comprimata pe coloane, i.e., se determina o matrice

unitara Z1 astfel ıncat

E1 := EZ1 =[0 E12

]}m︸︷︷︸

ρ(20.45)

unde rangE = ρ si se calculeaza A1 := AZ1. Se face ρ1 = ρ, t1 := n− ρ1.

b) Consideram fasciculul matricial A1 − sE1. Partitionam A1 ın conformitate cuE1, i.e.,

A1 =[A11 A12

]︸︷︷︸︸︷︷︸t1 ρ1

,E1 =

[0 E12

]︸︷︷︸︸︷︷︸t1 ρ1

. (20.46)

Se comprima matricea A11 folosind transformarea unitara Q1, obtinandu-se

Q∗1A11 =

[A11

0

]}s1}m− s1,︸︷︷︸

t1

(20.47)

unde rang (A11) = s1. Aplicam Q1 asupra lui E si acumulam transformarile pelinii si coloane

Q ← QQ1, (20.48)

Z ← Z1Z. (20.49)

La sfarsitul Pasului 1 avem (refolosind numele matricelor pentru simplitateanotatiei)

Q∗(A− sE)Z =

[A11 A12 − sE12

0 A2 − sE2

]}s1}m2︸︷︷︸︸︷︷︸

t1 n2

(20.50)

unde n2 := ρ1, m2 := m− s1 si

128 Cristian Oara

(a) A11 are rang maxim pe linii s1;

(b)

[E12

E2

]are rang maxim pe coloane n2.

2. Repetam procedura anterioara pentru A2 − sE2.

a) Comprimam E2 pe coloane si obtinem pentru ıntregul fascicul matricial (dupaacumularea transformarilor ın Q si Z)

Q∗(A− sE)Z =

[A11 A12 − sE12 A13 − sE13

0 A22 A23 − sE23

]}s1}m2︸︷︷︸︸︷︷︸︸︷︷︸

t1 t2 n3

(20.51)

unde n3 := rang (E2), t2 := n2 − n3.

b) MatriciaA22 este comprimata pe linii si la sfarsitul Pasului 2 obtinem (refolosindnumele matricelor si acumuland corespunzator Q si Z),

Q∗(A− sE)Z =

A11 A12 − sE12 A13 − sE13

0 A22 A23 − sE23

0 0 A3 − sE3

}s1}s2}m3︸︷︷︸︸︷︷︸︸︷︷︸

t1 t2 n3

(20.52)

unde s2 := rang (A22), m3 := m2 − s2.

(a) A11 are rang maxim pe linii s1, A22 are rang maxim pe linii s2;

(b) Matricia

[E23

E3

]are rang maxim pe coloane n3;

(c) E12 are rang maxim pe coloane t2. Aceasta proprietate rezulta din faptul

ca matricea

E12 E13

0 E23

0 E3

are rang maxim pe coloane si prin urmare si

E12 trebuie sa aiba rang maxim pe coloane.

j. Se repeta procedura pentru fasciculul matricial Aj − sEj pana cand matricea Ej dedimensiune mj × nj are rang maxim pe coloane.

Folosind aceste forme esalon, prezentam ın continuare diferite variante ale formei cvasi–Kronecker care evidentiaza parte din sau toata structura invariantilor canonici Kronecker.

Teorema 20.8. Un fascicul matricial general A − sE de dimensiune m × n poate fiıntotdea-una redus prin transformari de echivalenta unitare la forma bloc superior triunghiu-lara

Q∗(A− sE)Z = A− sE =

Aϵ,∞ − sEϵ,∞ ⋆ ⋆

0 Af − sEf ⋆

0 0 Aη − sEη

, (20.53)

ın care


1. Aϵ,∞−sEϵ,∞ are rang maxim pe linii pentru toti s finiti, contine structura singularala dreapta si valorile proprii generalizate de la infinit ale fasciculului A− sE si esteın forma esalon (20.39), unde Aϵ,∞ − sEϵ,∞ := Aϵ,∞ − sEϵ,∞; multimea indicilor{si} si {ti}, (i = 1, . . . , k), determina structura Kronecker singulara la dreapta sivalorile proprii generalizate infinite ale lui A− sE conform cu (20.40);

2. Af−sEf este un fascicul regulat ın forma cvasi–Weierstrass care determina valorile

proprii generalizate finite ale lui A− sE, cu Ef inversabila;

3. Aη−sEη are rang maxim pe coloane pentru toti s (inclusiv infinit), contine structuraKronecker singulara la stanga a fasciculului A − sE si este ın forma esalon duala(20.42) unde Aη − sEη := Aη − sEη; multimea de indici {qηi }, (i = 1, . . . , h),determina structura Kronecker la stanga conform cu (20.43).

Forma A− sE se numeste forma cvasi–Kronecker la stanga a lui A− sE.

Rezultatul dual este continut ın teorema urmatoare.

Teorema 20.9. Un fascicul matricial A − sE general de dimensiune m × n poate fiıntotdea-una redus prin transformari de echivalenta unitare la o forma bloc superiortriunghiulara


Aϵ − sEϵ ⋆ ⋆

0 Af − sEf ⋆

0 0 Aη,∞ − sEη,∞

, (20.54)

ın care

1. Aϵ− sEϵ are rang maxim pe linii pentru toti s (incluzand infinit), contine structurasingulara la dreapta a fasciculului A − sE si este in forma esalon (20.42), unde

Aϵ − sEϵ := Aϵ − sEϵ; multimea de indici {tϵi }, (i = 1, . . . , k), determina structuraKronecker la dreapta a lui A− sE conform cu (20.40);

2. Af−sEf este un fascicul regulat ın forma cvasi–Weierstrass care determina structura

de valori proprii generalizate finite ale lui A− sE, cu Ef inversabila;

3. Aη,∞ − sEη,∞ are rang maxim pe coloane pentru toate valorile s, contine structurasingulara la stanga a fasciculului A − sE si este ın forma esalon duala (20.42)

unde Aη,∞ − sEη,∞ := Aη,∞ − sEη,∞; multimile indicilor {qi}, {ri}, (i = 1, . . . , h),determina structura Kronecker la stanga si valorile proprii generalizate de la infinitconform cu (20.43).

Forma A− sE se numeste forma cvasi–Kronecker la dreapta a lui A− sE.

Combinand cele doua rezultate precedente obtinem forma cvasi–Kronecker.

130 Cristian Oara

Teorema 20.10. Un fascicul matricial general A − sE de dimensiune m × n poate fiıntotdea-una redus prin transformari de echivalenta unitare la o forma bloc superiortriunghiulara


Aϵ − sEϵ ⋆ ⋆

0 Areg − sEreg ⋆

0 0 Aη − sEη

, (20.55)

ın care

1. Aϵ − sEϵ este explicitat la punctul 1 al Teoremei 20.9.;

2. Areg − sEreg este un fascicul regulat care contine valorile proprii generalizate alefasciculului A− sE si este ın forma cvasi–Weierstrass;

3. Aη − sEη este explicitat la punctul 3 al Teoremei 20.8..

Fasciculul A− sE se numeste forma cvasi–Kronecker a lui A− sE.

20.1.4. Spatii de deflatie ale fasciculelor singulare

In acest paragraf extindem notiunea de spatiu de deflatie la cazul fasciculelor generaleA− sE de dimensiune m× n. Notam rangul normal al lui A− sE cu r si suma indicilorKronecker la dreapta cu νr.

Definitia 20.3. Spatiul liniar V ⊂ Cn se numeste spatiu de deflatie al fasciculului general(posibil singular) A− sE daca

dim(AV + EV) = dimV − νr. (20.56)

Daca fasciculul este regulat (νr = 0), atunci (20.56) se reduce la conditia (20.18) satisfacutade spatiul de deflatie al unui fascicul regulat.

Fie V ⊂ Cn un spatiu arbitrar (nu neaparat de deflatie) de dimensiune ℓ si definim

W := AV + EV . (20.57)

Obtinemk := dimW ≥ dimV − νr = ℓ− νr, (20.58)

relatie care generalizeaza (20.20) la cazul unui fascicul singular. Intr-adevar, pentru oricevaloare s avem (A − sE)V ⊂ W de unde obtinem k = dimW ≥ dim(A − sE)V ≥dimV − dimKer (A − sE) = ℓ − dimKer (A − sE). Scriind aceasta relatie pentru s ∈Λ(A− sE) obtinem (20.58). Construim similar cazului regulat matricele inversabile Z siQ partitionate

Z = [ Z1 Z2 ]︸︷︷︸︸︷︷︸ℓ n− ℓ

, Q = [ Q1 Q2 ]︸︷︷︸︸︷︷︸k m− k

, (20.59)

astfel ıncatV =< Z1 >, W =< Q1 > . (20.60)


Atunci rezulta din (20.57) ca AV ⊂ W si EV ⊂ W si prin urmare

Q−1(A− sE)Z =

[A11 − sE11 A12 − sE12

0 A22 − sE22

]} k} m− k.

(20.61)

︸︷︷︸︸︷︷︸ℓ n− ℓ

In acest nou sistem de coordonate, V si W au reprezentarea

V =<

[Iℓ0

]>, W =<

[Ik0

]> . (20.62)

Definim aplicatia liniara si spectrul restrictionat la spatiul V ca

(A− sE)|V := A11 − sE11, (20.63)

si respectivΛ(A− sE)|V := Λ(A11 − sE11). (20.64)

Daca V este ın plus subspatiu de deflatie, i.e., dimW = k = ℓ−νr = dimV−νr, obtinemrezultatul urmator ce extinde Teorema 20.5. la fascicule singulare.

Teorema 20.11. Fie A− sE un fascicul general de dimensiune m× n.

1. Fie V un spatiu de deflatie de dimensiune ℓ al lui A−sE si definim W := AV+EVcare are dimensiune k := ℓ−νr. Atunci exista doua matrice de transformare Q si Zpartitionate ca ın (20.59), cu V =< Z1 > siW =< Q1 > astfel ıncat Q−1(A−sE)Zeste bloc superior triunghiulara si are forma din (20.61). Mai mult, fasciculelematriciale diagonale A11 − sE11 si A22 − sE22 sunt regulate pe linii si respectiv pecoloane, Λ(A11−sE11)∪Λ(A22−sE22) = Λ(A−sE) si Λ(A−sE)|V = Λ(A11−sE11).

2. Reciproc, daca (20.61) are loc cu k = ℓ − νr, unde Q si Z sunt doua matriceinversabile partitionate ca ın (20.59), atunci V =< Z1 > este un spatiu de deflatieal lui A− sE, W =< Q1 > unde W := AV +EV si Λ(A− sE)|V = Λ(A11− sE11).

Observatia 20.5. Structura Kronecker singulara la stanga si cea singulara la dreaptasunt ıntotdeauna separate de un spatiu de deflatie. Spatiile de deflatie minimal Vmin simaximal Vmax sunt acele spatii de deflatie care separa Ar − sEr si respectiv Aℓ − sEℓ derestul structurii fasciculului. Prin urmare, orice spatiu de deflatie V satisface

{0} ⊂ Vmin ⊂ V ⊂ Vmax ⊂ Cn. (20.65)

Exista o corespondenta de unu la unu ıntre spatiile de deflatie ale fasciculului matricialA − sE si spatiile de deflatie ale partii sale regulate. Aceasta observatie conduce directla urmatoarea generalizare a Teoremei 20.6. la cazul fasciculelor matriciale singulare.

Teorema 20.12. Fie Λ1 ∪Λ2 o partitie fixata a spectrului Λ(A− sE). Atunci exista unspatiu de deflatie V a lui A − sE astfel ıncat Λ(A − sE)|V = Λ1. Mai mult, daca Λ1 siΛ2 sunt disjuncte, atunci V este unic.

132 Cristian Oara

Observatia 20.6. Cand un spatiu de deflatie al unui fascicul A−sE realizeaza o separaredisjuncta a spectrului Λ(A− sE) = Λ(A11 − sE11) ∪Λ(A22 − sE22), cu Λ(A11 − sE11) ∩Λ(A22 − sE22) = ∅, atunci A12 − sE12 ın (20.61) poate fi de asemenea eliminat. Acestlucru arata ca reductia (20.61) obtinuta de acest spatiu de deflatie are proprietatea camultimea invariantilor canonici Kronecker ai fasciculului A−sE este reuniunea disjunctaa invariantilor canonici Kronecker ai fasciculelor matriciale diagonale A11−sE11 si A22−sE22.

Pentru a da o caracterizare a spatiilor de deflatie ın termenii matricelor baze asociate(analog cu Teorema 20.7. din cazul regulat) avem nevoie de doua leme pregatitoare.

Lema 20.6. Fie A−sE := [Br Ar−sEr ] un fascicul matricial de dimensiune nr×(νr+nr) avand exclusiv structura Kronecker singulara la dreapta. Atunci pentru orice multimeΛnr de nr numere complexe finite exista o matrice F de dimensiune νr × nr astfel ıncatΛ(Ar +BrF − sEr) = Λnr .

Lema 20.7. Fie A−sE un fascicul avand doar structura Kronecker singulara la dreapta.Atunci exista un fascicul regulat S − sT ce poate avea orice spectru astfel ıncat

AT = ES. (20.66)

Teorema urmatoare contine generalizarea pentru fascicule singulare a Teoremei 20.7..

Teorema 20.13. Fie A− sE un fascicul general de dimensiune m× n.

1. Daca V =< V > este un spatiu de deflatie al lui A− sE de dimensiune ℓ, unde Veste o matrice baza si n1 este numarul de elemente din Λ1 := Λ(A− sE)|V , atunciexista un fascicul regulat S − sT de dimensiune ℓ× ℓ si un spatiu de deflatie al luiV astfel ıncat

AV T = EV S, (20.67)

structura de valori proprii generalizate ale lui (S−sT )|V (valorile proprii generalizatesi multiplicitatile lor partiale) coincide cu structura de valori proprii generalizate alui (A− sE)|V , iar restul de structura a lui S − sT poate fi aleasa arbitrar.

2. Reciproc, fie C1 o submultime a planului complex ınchis C si fie n1 numarul de valoriproprii generalizate ale lui A− sE (incluzand multiplicitatile) din C1. Daca (20.67)are loc pentru o matrice baza V de dimensiune n × ℓ si un fascicul regulat S − sTde dimensiune ℓ× ℓ, cu Λ(S− sT ) ⊂ C1 si ℓ = nr +νr +n1, atunci V =< V > esteun spatiu de deflatie al lui A − sE si exista un spatiu de deflatie V al lui S − sTastfel ıncat structura de valori proprii generalizate a lui (S− sT )|V (valorile propriigeneralizate si multiplicitatile lor partiale) coincide cu structura de valori propriigeneralizate a lui (A− sE)|V .

20.2. Matrice de transfer rationale

In aceasta sectiune introducem invariantii canonici asociati cu matricea de transferH(s) a unui sistem MIMO (poli, zerouri si baze polinomiale pentru nucleele la stanga sila dreapta). Polii sunt valorile pentru care H(s) nu este definita ca functie, iar zerourile


sunt valorile ın care matricea de transfer rationala are rang mai mic decat rangul normal1.In afara de poli si zerouri, un rol important ıl au bazele minimale polinomiale pentrunucleele la stanga si la dreapta. Polii, zerourile si bazele polinomiale ımpreuna cu indiciistructurali asociati joaca un rol central ın analiza si sinteza sistemelor automate MIMO.Consideram ın continuare cazul cel mai general ın care matricea de transfer este o matricerationala generala (posibil improprie sau chiar polinomiala).

Definitia 20.4. O matrice de transfer rationala patrata H(s) se numeste regulata ıns0 ∈ C daca matricea lims→s0 H(s) este bine definita (are elemente finite) si inversabila.

O matrice de transfer rationala se numeste s0–unimodulara daca este regulata pentrutoti s ∈ C cu exceptia lui s0 si se numeste simplu unimodulara daca este ∞–unimodulara.

O matrice de transfer rationala patrata este s0–unimodulara daca si numai daca toti poliielementelor sunt ın s0 si are o inversa cu aceeasi proprietate. Echivalent, o matrice detransfer rationala patrata este s0–unimodulara daca si numai daca toti polii elementelorsunt ın s0 si are un determinant constant nenul.

Definitia 20.5. Doua matrice de transfer rationale H1(s) si H2(s) de dimensiune p×mse numesc s0–echivalente (si notam acest lucru H1(s)

s0∼ H2(s)) daca exista doua matrices0–unimodulare U(s) si V (s) astfel ıncat

U(s)H1(s)V (s) = H2(s). (20.68)

Matricele se numesc echivalente (si notam acest lucru H1(s) ∼ H2(s)) daca sunt s0–echiva-lente pentru toti s0 ∈ C.

Introducem ın continuare forma Smith–McMillan care este o forma canonica pentrumatrice de transfer rationale ce se obtine pe baza transformarilor de echivalenta unimodu-lare. Forma Smith–McMillan permite definirea polilor, zerourilor si a indicilor asociatiınsa nu permite recuperarea informatiei privind bazele polinomiale ale nucleelor.

20.2.1. Forma Smith–McMillan generalizata

Rezultatul central de echivalenta sub transformari unimodulare este teorema Smith–McMillan care descrie cea mai simpla matrice de transfer rationala din fiecare clasa deechivalenta.

Teorema 20.14. (Forma Smith–McMillan generalizata) Fie H(s) o matrice detransfer rationala de dimensiune p × m cu coeficienti ın C avand rangul normal r, sifie s0 ∈ C fixat. Fie α, β doua constante astfel ıncat

α = 1, β = 0, pentru s0 =∞α = s0, β = 1, pentru s0 ∈ C.

(20.69)

Atunci exista doua matrice s0–unimodulare U(s) si V (s), ambele cu coeficienti ın C, careaduc H(s) la forma Smith–McMillan (ın raport cu s0)

S(s) = U(s)H(s)V (s), (20.70)

1Rangul normal al lui H(s) – notat rang nH(s) – este rangul matricei H(s) pentru aproape toti s ∈ C(cu exceptia unui numar finit de puncte).

134 Cristian Oara

unde

S(s) :=

[D(s) 0

0 0

]

=

ϵ1(s)η1(s)

(α− sβ)k1

ϵ2(s)η2(s)

(α− sβ)k2

. . . 0r×(m−r)ϵr(s)ηr(s)

(α− sβ)kr

0(p−r)×r 0(p−r)×(m−r)

, (20.71)

polinoamele ϵi(s), ηi(s) au coeficienti ın C, sunt monice2 si coprime doua cate doua(pentru i = 1, . . . , r), nu au nicio radacina ın s0, satisfac proprietatile de divizibilitate

ϵi(s) | ϵi+1(s),ηi+1(s) | ηi(s),

i = 1, . . . , r (20.72)

si indicii ki, i = 1, . . . , r, sunt astfel ıncat

∂ηi − ∂ϵi − ki, i = 1, . . . , r, (20.73)

formeaza un sir nedecrescator. Mai mult, factorii rationali ϵi(s)ηi(s)

– numiti factorii invarianti

ai lui H(s) (ın raport cu s0) – si indicii ki sunt unic determinati de H(s) si formeazaun set de invarianti canonici sub transformari s0–unimodulare, numiti invariantii Smith–McMillan.

O matrice de transfer rationala are un numar de factori invarianti egal cu rangul einormal. Doua matrice de transfer rationale avand aceleasi dimensiuni sunt echivalentesub transformari s0–unimodulare daca si numai daca au aceleasi multimi de invariantiSmith–McMillan (sau, echivalent, aceeasi forma Smith–McMillan ın raport cu s0). Maimult, doua matrice de transfer rationale sunt echivalente (ın sensul Definitiei 20.5.) dacasi numai daca au aceleasi multimi de invarianti Smith–McMillan la toti s ∈ C.

Urmatorul rezultat arata ca pentru a stabili ca doua matrice de transfer rationale suntechivalente nu trebuie sa calculam forma Smith McMillan ın fiecare punct s0 ∈ C. Maiprecis, invariantii Smith–McMillan nu depind de alegerea particulara a lui s0 atat timpcat acesta nu este un punct de singularitate3.

Teorema 20.15. Fie H(s) o matrice rationala de dimensiune p×m cu coeficienti ın C,avand rangul normal r si fie s0 ∈ C fixat astfel ıncat

H(s0) este bine definit si rangH(s0) = r. (20.74)

Invariantii canonici Smith–McMillan (factorii invarianti ϵi(s)ηi(s)

si indicii ki, i = 1, . . . , r)

sunt independenti de alegerea particulara a lui s0 satisfacand conditiile (20.74).

2Un polinom se numeste monic daca coeficientul termenului de grad maxim este 1.3Un punct de singularitate este un punct ın care matricea de transfer rationala nu este definita sau

ısi pierde rangul normal.


Conditiile (20.74) sunt ındeplinite ın mod generic de s ∈ C. Pe dealta parte, daca s0 nusatisface (20.74) atunci invariantii Smith–McMillan sunt diferiti ın raport cu invariantiiSmith–McMillan obtinuti la orice alt punct care satisface (20.74).

Teorema 20.15. arata si ca Definitia 20.5. este independenta de alegerea particulara alui s0 ∈ C, cu conditia ca s0 sa satisfaca (20.74). Mai exact, daca H1(s) si H2(s) suntechivalente sub transformari s0–unimodulare pentru un s0 ∈ C satisfacand urmatoareleconditii,

H1(s0) si H2(s0) sunt bine definite, (20.75)

rang nH1(s) = rangH1(s0), rang nH2(s) = rangH2(s0), (20.76)

atunci H1(s) si H2(s) sunt echivalente sub transformari s0–unimodulare pentru orice s0ce satisface conditiile (20.75) si (20.76) pentru s0 ınlocuit cu s0. De fapt, proprietatea sepoate extinde usor pentru toti s ∈ C, incluzandu-i pe acei s care nu satisfac cele douaconditii asa cum arata rezultatul urmator.

Teorema 20.16. Doua matrice de transfer rationale H1(s) si H2(s) sunt echivalente dacasi numai daca sunt echivalente sub transformari s0–unimodulare, pentru un s0 satisfacand(20.75) si (20.76).

Teorema precedenta afirma ca pentru a stabili ca doua matrice de transfer rationalesunt echivalente este suficient sa verificam ca au aceeasi forma Smith-McMillan ın raportcu un s0 sau, echivalent, ca sunt echivalente sub transformari s0–unimodulare, unde s0este un punct arbitrar fixat ce satisface (20.75) si (20.76). Cu alte cuvinte, invariantiiSmith–McMillan la orice punct s0 satisacand (20.75) si (20.76) sunt un set complet deinvarianti sub relatia de echivalenta introdusa de Definitia 20.5.. Cu toate acestea, dacaH1(s) si H2(s) sunt echivalente sub transformari s0–unimodulare pentru un s0 pentru care(20.75) sau (20.76) nu sunt satisfacute, acest lucru nu implica ın general ca H1(s) si H2(s)sunt echivalente.

20.2.2. Forma Smith–McMillan locala

Cand structura lui H(s) intereseaza ıntr-un singur punct, o alternativa utila a formeiSmith–McMillan este forma Smith–McMillan locala care pune ın evidenta indicii structuraliıntr-un singur punct de interes.

Teorema urmatoare generalizeaza la cazul matricelor de transfer rationale faptul bine–cunoscut din cazul scalar ca pentru orice s0 ∈ C fixat, o functie rationala r(s) admite oreprezentare de tipul

r(s) = r(s)(s− s0)α,

unde r(s) este analitica ın s0, r(s0) = 0 si α este un ıntreg.

Teorema 20.17. (Forma Smith–McMillan locala) Fie H(s) o matrice de transferratio-nala de dimensiune p×m cu coeficienti ın C, avand rangul normal r. Atunci avem:

1. Daca s0 ∈ C (finit) exista doua matrice de transfer rationale Us0(s) si Vs0(s), ambeleregulate la s0, care aduc H(s) la forma Smith–McMillan locala ın jurul lui s0,

Ss0(s) = Us0(s)H(s)Vs0(s), (20.77)

136 Cristian Oara

unde

Ss0(s) :=

(s− s0)

α1(s0)

(s− s0)α2(s0)

. . . 0r×(m−r)

(s− s0)αr(s0)

0(p−r)×r 0(p−r)×(m−r)

(20.78)

siα1(s0) ≤ α2(s0) ≤ . . . ≤ αr(s0) (20.79)

sunt numere ıntregi.

2. Daca s0 = ∞, exista doua matrice de transfer rationale U∞(s) si V∞(s), ambeleregulate la ∞, care aduc H(s) la forma Smith–McMillan locala ın jurul lui ∞,

S∞(s) = U∞H(s)V∞, (20.80)

unde

S∞(s) :=

(1s)α1(∞)

(1s)α2(∞)

. . . 0r×(m−r)

(1s)αr(∞)

0(p−r)×r 0(p−r)×(m−r)

(20.81)

siα1(∞) ≤ α2(∞) ≤ . . . ≤ αr(∞) (20.82)

sunt numere ıntregi.

20.2.3. Poli si zerouri

Principial vorbind, un pol al matricei de transfer rationale este un punct ın C undeunul dintre elementele rationale ale matricei nu este definit (este radacina a polinomuluide la numitor), ın timp ce un zero este un punct ın care rangul matricei rationale este maimic decat rangul ei normal. Prezenta unui pol sau a unui zero ıntr-un anumit punct sepoate verifica prin urmare usor prin evaluarea matricei ın acel punct. Cu toate acestea, omatrice rationala poate avea simultan si pol si zero ıntr-un anumit punct, finit sau infinit– caz ın care polul si zeroul se numesc coalescente. Polii si zerourile coalescente creeazadificultati ın analiza ıntrucat trebuie stabilite anumite conventii sofisticate privind rangulunei matrice cu elemente infinite (mai exact cu elemente nedefinite). Definitia pe careo introducem ın continuare este bazata pe forma diagonala Smith–McMillan si rezolvaaceasta dificultate. Asa cum sugereaza Teorema 20.15., nu orice s0 ∈ C este potrivitpentru definirea ıntregului set de invarianti ai lui H(s). Mai precis, vom folosi formaSmith–McMillan ın raport cu s0 data ın (20.70), unde s0 satisface conditiile (20.74).

Definitia 20.6. • Punctul s ∈ C se numeste zero (Smith) al lui H(s) daca este zero

al unui factor invariant ϵi(s)ηi(s)

din forma Smith–McMillan (20.70). Punctul s = ∞este zero (Smith) al lui H(s) daca ∂ηi − ∂ϵi − ki > 0, pentru cel putin un indicei = 1, . . . , r. Multimea tuturor zerourilor lui H(s) se noteaza cu Z(H).


• Punctul s ∈ C se numeste pol (Smith) al lui H(s) daca este un pol al unui factor

invariant ϵi(s)ηi(s)

din forma SmithMcMillan (20.70). Punctul s = ∞ este un pol

(Smith) al lui H(s) daca ∂ηi− ∂ϵi− ki < 0, pentru cel putin un indice i = 1, . . . , r.Multimea tuturor polilor lui H(s) se noteaza cu P(H).

In limbajul introdus prin definitia precedenta, conditia (20.74) se citeste “s0 nu este nicipol si nici zero al lui H(s)”. De asemenea, daca H(s) este regulata ın s0 ∈ C atunci nuare nici poli si nici zerouri ın s0. Acest lucru rezulta imediat din forma Smith–McMillan(20.70).

Definim ın continuare indicii structurali, gradul si ordinele partiale ale polilor sizerourilor luiH(s). In acest scop, folosim din nou forma Smith–McMillan (20.70) obtinutasub transformari de echivalenta s0–unimodulare, unde s0 nu este nici pol si nici zero allui H(s). Fie sj, j = 1, . . . , N , cei N poli finiti distincti ai lui H(s). Atunci D(s) din(20.71) poate fi factorizat unic sub forma

D(s) = Ds0

N∏j=1

Dsj

ın care Dsj , j = 1, . . . , N , este matricea diagonala de dimensiune r × r

Dsj(s) :=

(s− sj)

α1(sj)

(s− sj)α2(sj)

· · ·(s− sj)

αr(sj)

, (20.83)

Ds0 este matricea diagonala de dimensiune r × r

Ds0(s) :=

(α− sβ)k1

(α− sβ)k2

· · ·(α− sβ)kr

, (20.84)

iar α si β au fost alesi conform cu (20.69). Cu fiecare pol sau zero finit sj, j = 1, . . . , N ,asociem multimea de indici

I(H, sj) := {α1(sj), . . . ,αr(sj)}, (20.85)

iar daca ∞ este un pol sau zero al lui H(s) asociem multimea de indici

I(H,∞) := {α1(∞), . . . ,αr(∞)}, (20.86)

undeαi(∞) := ∂ηi − ∂ϵi − ki, i = 1, . . . , r. (20.87)

Din considerente de comoditate a notarii, extindem definitia acestor multimi de indici latoate punctele s ∈ C, astfel ıncat pentru fiecare s care nu este nici pol si nici zero al luiH(s) asociem multimea de indici

I(H, s) := {α1(s), . . . ,αr(s)}, αi(s) := 0, ∀ i = 1, . . . , r. (20.88)

138 Cristian Oara

Din proprietatile de divizibilitate ale factorilor invarianti (20.72) si din (20.73) rezulta cafiecare sir de indici este nedescrescator. Elementele multimii I(H, s) se numesc indiciistructurali ai lui H(s) la s. Multimea tuturor indicilor structurali (considerati pentru totis ∈ C) determina complet invariantii Smith–McMillan. Prin urmare, multimea tuturorindicilor structurali formeaza un set complet de invarianti sub relatia de echivalentaintrodusa de Definitia 20.5.. Indicii structurali sunt netriviali (diferiti de 0) doar ın acelepuncte care sunt poli sau zerouri ale matricei rationale. Sintetizand discutia anterioaraobtinem urmatorul rezultat.

Teorema 20.18. Doua matrice rationale H1(s) si H2(s) cu coeficienti ın C sunt echivalen-te daca si numai daca au aceleasi dimensiuni, P(H1) = P(H2), Z(H1) = Z(H2), siI(H1, s) = I(H2, s), pentru toti s ∈ P(H1) ∪ Z(H1).

Ca o concluzie remarcam faptul ca o procedura practica pentru determinarea tuturorindicilor structurali ai lui H(s) este calcularea formei Smith–McMillan ın raport cu un s0oarecare cu conditia sa nu fie nici pol si nici zero al lui H(s) sau, echivalent, pentru care(20.74) este satisfacuta. Aceasta alegere a lui s0 este necesara pentru ca transformarile deechivalenta s0–unimodulare altereaza structura de poli si zerouri la s0. Desigur, ar fi idealsa folosim transformari care pastreaza indicii structurali ın toate punctele din C. Acestlucru nu este ınsa posibil pentru ca singurele transformari care nu altereaza structura depoli si zerouri ın niciun punct sunt matricele constante si inversabile care ınsa nu potevidentia invariantii structurali introdusi anterior.

Definitia 20.7. Ordinul ωz(H, s) si gradul δz(H, s) lui s ca zero al lui H(s) sunt prindefinitie

ωz(H, s) :=

{αr(s) pentru αr(s) > 0,0 pentru αr(s) ≤ 0,

δz(H, s) :=

{ ∑i,αi(s)>0αi(s) pentru αr(s) > 0,

0 pentru αr(s) ≤ 0.(20.89)

Analog, definim ordinul ωp(H, s) si gradul δp(H, s) lui s ca pol al lui H(s) ca fiind

ωp(H, s) :=

{−α1(s) pentru α1(s) < 0,

0 pentru α1(s) ≥ 0,

δp(H, s) :=

{−∑

i,αi(s)<0αi(s) pentru α1(s) < 0,

0 pentru α1(s) ≥ 0.(20.90)

Gradul McMillan al lui H – numit si gradul polar – este suma tuturor gradelor polilor(finiti si infiniti), i.e.,

δ(H) :=∑s∈C

δp(H, s).

Ordinul zeroului (polului) finit sk este, prin urmare, cea mai mare putere pozitiva (negati-va) a lui s−sk ce apare ınDsk(s) si ordinul zeroului (polului) de la infinit este, prin urmare,cel mai mare exces pol–zerouri pozitiv (negativ) considerat pentru toate functiile rationaleϵi(s)ηi(s)

(α−β)ki . Evident, un punct s poate fi simultan zero si pol al lui H(s), fiecare avand

propriile ordine si grade. In particular, gradul McMillan al unei matrice rationale esteegal cu numarul ei de poli (socotind gradele si incluzand valorile de la infinit).


20.2.4. Indici minimali

In acest paragraf dam principalele rezultate ale spatiilor nucleu la stanga si la dreaptapentru o matrice rationala oarecare (pentru mai multe detalii v. [2]).

Pentru orice spatiu vectorial rational se pot gasi ıntotdeauna baze polinomiale care aucateva proprietati suplimentare definite ın continuare.

Definitia 20.8. Fie p(s) un vector avand componentele polinoame ın s.

• Indicele lui p(s) este cea mai mare putere a lui s ce apare ın componentele sale.

• Vectorul gradelor maxime este un vector constant avand drept elemente coeficientiilui sn corespunzatori fiecarui element al lui p(s), unde n este indicele lui p(s).

Definitia 20.9. Ordinul unei baze polinomiale {p1(s), . . . , pk(s)} este suma tuturor indici-lor elementelor sale pj(s), j = 1, . . . , k.

Urmatoarea teorema contine un rezultat central ın teoria bazelor polinomiale.

Teorema 20.19. 1. Pentru orice spatiu vectorial peste vectori rationali exista o bazapolinomiala minimala, i.e., o baza al carei ordin este minimal ın raport cu orice altabaza polinomiala.

2. Indicii elementelor unei baze polinomiale minimale sunt independenti de baza poli-nomiala minimala. Mai precis, sirurile de indici aranjati nedescrescator pentruorice doua baze polinomiale minimale coincid.

3. O baza polinomiala {p1(s), . . . , pk(s)} este minimala daca si numai daca urmatoareledoua conditii sunt satisfacute:

a) vectorii {p1(s0), . . . , pk(s0)} evaluati ın orice s0 ∈ C sunt liniar independenti;

b) vectorii gradelor maxime {p1, . . . , pk} sunt liniar independenti.

Definitia 20.10. Fie Nr (Nℓ) spatiile nucleu la dreapta (stanga) ale lui H(s), i.e., spatiilevectoriale rationale ale tuturor vectorilor coloana v(s) ∈ Cm(s) (v(s) ∈ Cp(s)) ce satisfacH(s)v(s) = 0 (vT (s)H(s) = 0). Indicii bazelor polinomiale minimale ale lui Nr (Nℓ) senumesc indici minimali la dreapta (stanga) ai matricei rationale H(s).

Dimensiunea spatiilor vectoriale Nr (Nℓ) este m − r (p − r), unde r = rang nH(s).Notam cu nr(H(s)) (nℓ(H(s))) suma indicilor minimali la dreapta (la stanga) ai luiH(s). In Teoria Sistemelor este adesea mai comod sa folosim baze rationale ın loculcelor polinomiale.

Definitia 20.11. Fie V(s) un spatiu vectorial ın Cn(s) de dimensiune k. Vectorii rationaliv1(s), v2(s), . . . , vk(s) formeaza o baza rationala minimala pentru V daca matricea rationa-la

[v1(s) v2(s) . . . vk(s)

]are grad McMillan minim ın raport cu toate bazele rationale

ale lui V(s).

140 Cristian Oara

Evident, gradul McMillan minimal al unei baze rationale pentru nucleul la dreapta al luiH(s) este egal cu nr(H(s)), iar pentru nucleul la stanga este egal cu nℓ(H(s)).

Pentru o matrice rationala oarecare H(s) are loc urmatoarea relatie fundamentalaıntre elementele sale structurale:

δp(H(s)) = δz(H(s)) + nr(H(s)) + nℓ(H(s)), (20.91)

unde δp este gradul polar (McMillan), iar δz este suma gradelor tuturor zerourilor (finitesau infinite) ale lui H(s).

20.2.5. Indici structurali ai unui fascicul matricial

Fasciculul matricial A−sE este un caz particular important de matrice rationala si ınparticular de matrice polinomiala. Legaturile care exista ıntre indicii structurali (Smith)si cei minimali la stanga si la dreapta ai fasciculului vazut ca matrice rationala pe de oparte si invariantii canonici Kronecker ai fasciculului pe de alta parte sunt prezentate ınrezultatele urmatoare.

Lema 20.8. Fie A − sE un fascicul matricial oarecare si Q o matrice unitara carecomprima E pe linii, i.e., [

A1

A2

]− s

[E1

0

]. (20.92)

Structura de zerouri a lui A− sE la s =∞ este izomorfa cu structura de zerouri a lui[E1 − sA1

A2

](20.93)

la s = 0.

Corolarul 20.1. Fasciculul A− sE nu are zerouri la infinit daca si numai daca

rang

[E1

A2

]= rang n(A− sE). (20.94)

Precedentele rezultate pot fi folosite pentru demonstrarea teoremei generale urmatoare.

Teorema 20.20. Fie A− sE un fascicul de dimensiune p×m, avand rangul normal r.Fie ϵi, i = 1, . . . ,νr, indicii Kronecker la dreapta (aranjati ın ordine nedescrescatoare), fieηi, i = 1, . . . ,νℓ, indicii Kronecker la stanga (aranjati ın ordine nedescrescatoare), fie si,

i = 1, . . . , k, multimea valorilor proprii generalizate finite, fie s(i)j , j = 1, . . . , ℓi, multimea

indicilor elementari Jordan (aranjati ın ordine nedescrescatoare) la valoarea proprie si,

i = 1, . . . , k si fie s(∞)j , j = 1, . . . , h∞, multimea indicilor elementari ai valorii proprii

generalizate de la infinit (aranjati ın ordine nedescrescatoare). Avem:

1. Indicii structurali (Smith) ai lui A− sE sunt dati de

I(A− sE, s) =

0, . . . , 0︸︷︷︸, s(i)1 , s(i)2 , . . . , s

(i)ℓi, pentru s = si, (i = 1, . . . , k),

r − ℓi−1, . . . ,−1︸︷︷︸, s∞1 − 1, s∞2 − 1, . . . , s∞h∞

− 1, pentru s =∞,

rank(E)0, . . . , 0︸︷︷︸, altfel.

r


2. Multimea indicilor minimali la dreapta ai lui A − sE este {ϵi, i = 1, . . . ,νr} simultimea indicilor minimali la stanga ai lui A− sE este {ηi, i = 1, . . . ,νℓ}.

20.3. Realizari generalizate de stare

In aceasta sectiune prezentam principalele rezultate de teoria realizarilor de starepentru matrice de transfer rationale generale H(s) (posibil improprii sau polinomiale).Discutam succesiv realizarile de stare centrate si realizarile polinomiale.

Pentru a introduce notiunea de realizare centrata trebuie sa fixam un punct s0 ∈ Cın care “centram” realizarea. Vom discuta teoria realizarilor centrate ın doua cazuri decomplexitate crescanda: H(s) nu are poli ın s0 (cazul propriu); H(s) are poli ın s0 (cazulimpropriu). Desigur, pentru H(s) fixat putem ıntotdeauna alege s0 astfel ıncat s0 sa nu fiepol al lui H(s) (i.e., H(s0) sa fie bine definit) si deci sa fim ıntotdeauna ın cazul propriu.Cu toate acestea, sunt multe probleme ın care trebuie sa folosim realizari improprii sauın care obtinem pe parcurs astfel de realizari.

In finalul sectiunii, introducem o clasa generala de realizari numite realizari polinomialecare ofera ın anumite situatii o alternativa convenabila a realizarilor centrate. Realizarilepolinomiale apar natural ın sisteme dinamice descrise de ecuatii diferentiale si algebricede ordin superior, atunci cand se combina prin conexiuni serie, paralel si reactie inversarealizari centrate ın puncte diferite, sau ın studiul sistemelor hamiltoniene discrete.

Cu toate ca din punct de vedere formal realizarile polinomiale sunt mai generale decatrealizarile centrate (proprii sau improprii), ambele tipuri de realizari sunt suficient debogate pentru a reprezenta orice matrice de transfer rationala. Prin urmare, folosireaunui tip sau a altuia de realizare de stare depinde exclusiv de specificitatile problemeicurente.

20.3.1. Realizari centrate de stare

Pentru a putea reprezenta matrice de transfer improprii (inclusiv polinomiale) introdu-cem conceptul de realizare de stare centrata ıntr-un punct s0 ∈ C si analizam principalelesale proprietati. Realizarile de stare centrate sunt capabile sa reprezinte orice matricede transfer rationala, fie proprie sau improprie, generalizand astfel conceptele descrise ıncapitolul 5 al volumului I al acestei lucrari la cazul sistemelor diferentialo–algebrice.

Pentru o matrice de transfer rationala H(s) de dimensiune p×m, realizarile (standard)de stare

H(s) = D + C(sI − A)−1B =:

[A− sI B

C D

], (20.95)

nu pot reprezenta eventualii poli de la infinit ai rationalei ıntrucat (20.95) arata calims→∞ H(s) = D (valoare finita). De accea, ın cazul general, realizarea standard destare (20.95) trebuie extinsa si ınlocuita cu realizarea descriptor (sau generalizata) destare

H(s) = D + C(sE − A)−1B =:

[A− sE B

C D

](20.96)

care poate reprezenta orice matrice rationala (inclusiv improprie si polinomiala). In(20.96), A − sE este un fascicul matricial regulat, A,E ∈ Cn×n, B ∈ Cn×m, C ∈ Cp×n

142 Cristian Oara

si D ∈ Cp×m. Intregul pozitiv n se numeste ordinul (sau dimensiunea) realizarii (20.96).Exact ca ın cazul standard, membrul drept al lui (20.96) desemneaza o notatie pentrumatricea rationala H(s), ce nu trebuie confundata cu bloc matricea[

A− sE BC D

].

Cu toate ca reprezentarea (20.96) exista pentru orice matrice rationala, ea are o serie dedezavantaje majore ın raport cu realizarea standard cel putin atunci cand H(s) are polila infinit (deci ın cazurile generic interesante pentru folosirea lui (20.96)), printre careamintim:

• ordinul minim al realizarii este strict mai mare decat gradul McMillan al lui H(s);

• D nu reprezinta valoarea lui H(s) ın niciun punct particular;

• daca H(s) este inversabila ca matrice rationala, o realizare pentru inversa nu sepoate obtine explicit pe baza realizarii pentru H(s).

Pentru a ınlatura aceste dificultati trebuie folosita o realizare mai generala de stare,numita realizare centrata.

Pentru a defini o realizare centrata a matricei rationale H(s) trebuie sa fixam ıntai unpunct s0 ∈ C si apoi α,β conform cu{

α = 1, β = 0, pentru s0 =∞,α = s0, β = 1, pentru s0 ∈ C.

(20.97)

O realizare centrata ın s0 a matricei de transfer rationale H(s) de dimensiune p×m esteo reprezentare de forma

H(s) = D + C(sE − A)−1B(α− βs) =:

[A− sE B

C D

]s0

, (20.98)

ın care A− sE este un fascicul regulat, A,E ∈ Cn×n, B ∈ Cn×m, C ∈ Cp×n si D ∈ Cp×m.Ori de cate ori folosim realizari centrate ın s0, presupunem alegerea implicita a lui α siβ conform cu (20.97). Intregul pozitiv n se numeste ordinul (sau dimensiunea) realizarii(20.98).

In particular, daca s0 =∞ atunci omitem indicele s0 din notatia introdusa ın membruldrept (20.98) si obtinem realizarea descriptor (20.96). Prin urmare, realizarile descriptorde tipul (20.96) nu sunt altceva decat realizari centrate la s0 = ∞. Introducem ıncontinuare cateva definitii asociate cu realizarile centrate ce extind notiunile din cazulstandard.

Definitia 20.12. Doua realizari ale aceleiasi matrice de transfer rationale

H(s) =

[A− sE B

C D

]s0

=

[A− sE B

C D

]s0

(20.99)

se numesc echivalente daca au acelasi ordin n si exista doua matrice inversabile Q ∈ Cn×n,Z ∈ Cn×n, astfel ıncat

A = QAZ, E = QEZ, B = QB, C = CZ. (20.100)

Cele doua matrice constante inversabile Q si Z definesc o transformare de echivalenta.


Definitia 20.13. Fie (20.98) o realizare centrata ın s0.

• Realizarea (sau perechea (A− sE,B)) se numeste controlabila ın s ∈ C daca

rang[A− sE B

]= n (20.101)

si se numeste controlabila la ∞ daca

rang[E B

]= n. (20.102)

• Realizarea (sau perechea (C,A−sE)) se numeste observabila) ın s ∈ C daca perechea[AT − sET CT

]este controlabila ın s.

• O realizare (sau o pereche) se numeste controlabila (observabila) daca este controla-bila (observabila) ∀s ∈ C.

• O realizare ce este simultan controlabila si observabila se numeste ireductibila.

• Realizarea se numeste minimala daca ordinul ei este cel mai mic cu putinta printretoate realizarile centrate ın s0.

• Realizarea (20.98) se numeste proprie daca matricea αE − βA este inversabila. Inparticular, H(s) are o realizare proprie centrata ın s0 doar daca nu are poli ın s0.

• O realizare proprie se numeste normalizata daca ın plus αE − βA = I.

Orice realizare proprie se poate aduce printr-o simpla transformare de echivalenta la orealizare normalizata.

Operatiile cu matrice de transfer rationale descrise de realizari centrate se pot efectuala fel de usor ca ın cazul standard. Exemplificam ın continuare formulele pentru conexiunileserie, paralel si inversare, alte conexiuni de interes putandu-se obtine prin simpla combinarea acestora.

Fie

H1(s) =

[A1 − sE1 B1

C1 D1

]s0

, H2(s) =

[A2 − sE2 B2

C2 D2

]s0

, (20.103)

doua matrice de transfer rationale.Conexiunea serie. Daca H1(s) are un numar de intrari egal cu numarul de iesiri

ale lui H2(s), atunci conexiunea serie Hs(s) = H1(s)H2(s) este bine definita si realizareamatricei de transfer a sistemului rezultant este

Hs(s) =

A1 − sE1 B1C2(α− sβ) B1D2

0 A2 − sE2 B2

C1 D1C2 D1D2

s0

. (20.104)

Conexiunea paralel. Daca H1(s) si H2(s) au acelasi numar de intrari si respectivacelasi numar de iesiri, conexiunea paralel Hp(s) = H1(s) + H2(s) este bine definita sirealizarea matricei de transfer a sistemului rezultant este

Hp(s) =

A1 − sE1 0 B1

0 A2 − sE2 B2

C1 C2 D1 +D2

s0

. (20.105)

Inversarea. Avem urmatorul rezultat.

144 Cristian Oara

Lema 20.9. Fie realizarea (20.98) centrata ıntr-un punct s0 ce nu este nici pol si nicizero al lui H(s). Atunci au loc:

1. rang (D) = rang n(H(s));

2. H(s) este inversabila (ca matrice rationala) daca si numai daca D este inversabila;

3. Daca D este inversabila, o realizare centrata pentru inversa este data de

H−1(s) =

[A− αBD−1C − s(E − βBD−1C) BD−1

−D−1C D−1

]s0

(20.106)

si aceasta este de asemenea proprie.

4. Daca realizarea (20.98) este minimala/controlabila/observabila atunci (20.106) estede asemenea minimala/controlabila/observabila.

Este interesant de observat ca inversabilitatea lui D nu este o conditie necesara pentruinversabilitatea lui H(s), asa cum arata exemplul urmator.

Exemplul 20.1. Fie H(s) =

[1

s+11s

1s

1s−1

]. Pentru matricea de transfer strict proprie

H(s) putem scrie o realizare centrata ın s0 = ∞ care are automat D = 0 si evidentformula (20.106) nu este aplicabila aici cu toate ca H(s) are o inversa data de

H−1(s) =

[s3 + s2 −s3 + s−s3 + s s3 − s2

].

Daca D nu este inversabil dar H(s) este inversabil, o realizare a lui H−1(s) (de dimensiuneınsa mai mare decat dimensiunea realizarii (20.98) a lui H(s)) este data de

H−1(s) =

A− sE B(α− sβ) 0C D −I0 I 0

s0

. (20.107)

Cea mai importanta proprietate a unei realizari (20.98) proprii este ca ordinul ei minimalcoincide cu gradul McMillan al lui H(s), asa cum vedem ın teorema urmatoare ce este oextensie a cazului standard ın care realizarea este centrata la s0 =∞.

Teorema 20.21. Fie H(s) o matrice de transfer rationala de dimensiune p×m avandgradul McMillan n si fie s0 ∈ C.

1. Orice realizare (20.98) a lui H(s) are un ordin mai mare sau egal cu n, cu egalitateposibila daca si numai daca realizarea este proprie.

2. O realizare proprie (20.98) are ordinul minim n (si se numeste minimala) daca sinumai daca este controlabila si observabila.

3. Doua realizari proprii minimale (20.99) sunt ıntotdeauna echivalente. Mai mult,

D = D si cele doua matrice Q si Z care definesc transformarea de echivalenta suntunice.


4. Daca

H(s) =

[A− sE B

C D

]s0

(20.108)

este o realizare proprie de dimensiune k, atunci exista o transformare de echivalentadefinita de doua matrice unitare Q si Z astfel ıncat

Q(A− sE)Z =

A1 − sE1 ⋆ ⋆ ⋆

0 A2 − sE2 ⋆ ⋆0 0 A3 − sE3 ⋆0 0 0 A4 − sE4

, QB =

B1

B2

00

,

CZ =[0 C2 0 C4

],

si realizarea

H(s) =

[A2 − sE2 B2

C2 D

]s0

(20.109)

este controlabila si observabila.

In particular, o realizare proprie ireductibila este automat minimala. In cazul ın carerealizarea este centrata ıntr-un punct ce este pol al lui H(s), nu exista nicio realizareproprie. In cazul realizarilor improprii, se poate dezvolta o teorie similara celei dincazul propriu (prezentata ın Teorema 20.21.), incluzand caracterizarea minimalitatii ıntermenii controlabilitatii plus observabilitatii si relatiile dintre doua realizari minimale.Caracterizarile rezultate sunt ınsa considerabil mai complicate, asa cum se vede dinteorema urmatoare.

Teorema 20.22. Fie H(s) o matrice de transfer de dimensiune p × m avand gradulMcMillan n si fie s0 ∈ C.

1. Orice realizare (20.98) a lui H(s) are un ordin mai mare sau egal cu k := n + ρs0,unde ρs0 este numarul indicilor structurali strict negativi ai lui H(s) la s0. Maimult, exista ıntotdeauna o realizare minimala centrata ın s0 de dimensiune k.

2. Daca

H(s) =

[A− sE B

C D

]s0

=

[A− sE B

C D

]s0

(20.110)

sunt doua realizari minimale cu elemente ın C, atunci exista patru matrice Q, Z,X si Y de dimensiuni potrivite, cu Q si Z inversabile, astfel ıncat[

A− sE BC D

]=

[Q 0X I

][A− sE B

C D

][Z Y0 I

]. (20.111)

3. Daca

H(s) =

[A− sE B

C D

]s0

(20.112)

146 Cristian Oara

este o realizare oarecare, atunci exista o transformare de echivalenta definita dematricele unitare Q si Z astfel ıncat

A− sE := Q(A− sE)Z =

A1 − sE1 ⋆ ⋆ ⋆

0 A2 − sE2 ⋆ ⋆0 0 A3 − sE3 ⋆0 0 0 A4 − sE4

,

B := QB =

B1

B2

00

, C := CZ =[0 C2 0 C4

],

unde perechea (A2−sE2, B2) este controlabila, perechea (C2, A2−sE2) este observabilasi

H(s) =

[A2 − sE2 B2

C2 D

]s0

.

Mai mult, exista doua matrice unitare Q si Z astfel ıncat

[Q(A2 − sE2)Z) QB2

C2Z D

]=

A11 − sE11 A12 A13 B1

A21 0 0 B2

A31 0 A33 B3

C1 C2 C3 D

, (20.113)

unde E11 si A33 sunt inversabile si realizarea

H(s) =

A11 − A13A−133 A31 − sE11 A12 B1 − A13A

−133 B3

A21 0 B2

C1 − C3A−133 A31 C2 D − C3A

−133 B3

s0

(20.114)

este minimala.

4. O realizare (20.98) este minimala daca si numai daca perechea (A − sE,B) estecontrolabila, perechea (C,A− sE) este observabila si AKerE ⊂ ImE.

Urmatoarea lema furnizeaza o generalizare a solutiei problemei de alocare ın cazulpolilor arbitrari (incluzand cazul polilor infiniti).

Lema 20.10. Fie (A − sE,B) o pereche controlabila, cu A, E ∈ Cn×n, B ∈ Cn×m, fieΓ ⊂ C un set simetric de n elemente (nu neaparat distincte). Fie α,β ∈ C, nu ambelezero, astfel ıncat α

β∈ Λ(A− sE) si α

β∈ Γ. Atunci exista o matrice F ∈ Cm×n astfel ıncat

Λ(A− sE +BF (α− sβ)) = Γ. (20.115)

Incheiem sectiunea cu o caracterizare pe baza de realizari de stare a matricelor detransfer rationale ce satisfac anumite conditii de simetrie (ca de exemplu sunt J–unitare,J–lossless, (J, J ′)–unitare si (J, J ′)–lossless). Incepem cu cateva definitii.


Fie J si J ′ doua matrice de signatura4. O matrice de transfer rationala Θ(s) se numeste(J, J ′)–unitara ın raport cu axa imaginara (cercul unitate D1(0)) daca

Θ(s)∗JΘ(s) = J ′,

ın fiecare punct de pe C0 (D1(0)) ın care Θ este analitica5. In acest caz, prin continuareanalitica,

Θ#(s)JΘ(s) = J ′, ∀s ∈ C,

unde Θ#(s) := Θ(−s)∗ (respectiv Θ#(s) := Θ(−1s)∗ pentru cazul simetriei ın raport cu

cercul unitate). Daca ın plusΘ(s)∗JΘ(s) ≤ J ′

pentru fiecare punct de analiticitate al lui Θ din semiplanul drept deschis (din exterioruldiscului unitate ınchis, inclusiv la infinit), atunci Θ se numeste (J, J ′)–lossless ın timpcontinual (ın timp discret). Daca J = J ′, Θ(s) se numeste simplu J–unitara si J–lossless,iar daca ın plus J = I atunci Θ(s) se numeste unitara si respectiv lossless.

Urmatoarele doua leme caracterizeaza (ın raport cu cele doua tipuri de simetrii fatade axa imaginara si respectiv fata de cercul unitate) matricele de transfer rationale(J, J ′)–unitare si (J, J ′)–lossless, ın termenii realizarilor de stare asociate. In cazul simetrieiın raport cu axa imaginara putem lucra direct cu realizari descriptor (centrate la infinit)ıntrucat ∞ apartine ınchiderii axei imaginare, pe cand ın cazul simetriei ın raport cucercul unitate vom centra realizarea ıntr-un punct de pe cerc, de exemplu ın 1.

Lema 20.11. Fie H(s) o matrice de transfer proprie data de realizarea minimala

H(s) :=

[Ax − sEx Bx

Cx Dx

]. (20.116)

H(s) este (J, J ′)–unitara pe C0 ((J, J ′)–lossless) daca si numai daca

D∗xJDx = J ′ (20.117)

si exista o matrice hermitica inversabila (strict pozitiva) X astfel ıncat

A∗xXEx + E∗

xXAx + C∗xJCx = 0, (20.118)

D∗xJCx +B∗

xXEx = 0. (20.119)

Lema 20.12. Fie H(s) o matrice de transfer fara poli ın 1, avand o realizare minimala

H(s) :=

[Ax − sEx Bx

Cx Dx

]1

. (20.120)

4Matricia J de dimensiune p × p se numeste de signatura daca satisface J = J−1 = J∗ si atunci sepoate ıntotdeauna aduce, prin transformari de echivalenta simetrice, la forma canonica

J =

[Ip1 00 −Ip2

],

ın care p1 + p2 = p.5Notatia ∗ semnifica transpus si complex conjugat.

148 Cristian Oara

H(s) este (J, J ′)–unitara pe D1(0) ((J, J′)–lossless) daca si numai daca

D∗xJDx = J ′ (20.121)

si exista o matrice hermitica inversabila (strict pozitiva) X astfel ıncat

E∗xXEx − A∗

xXAx + C∗xJCx = 0, (20.122)

D∗xJCx +B∗

xX(Ex − Ax) = 0. (20.123)

20.3.2. Realizari polinomiale

Realizarile centrate pot reprezenta ıntr-un mod simplu orice matrice de transfer rationa-la. Cu toate acestea, ın anumite probleme specifice este mai usor de utilizat o clasa maigenerala de realizari numite realizari polinomiale.

O realizare polinomiala a matricei de transfer rationale H(s) de dimensiune p×m esteo reprezentare de forma

H(s) = W (s) + V (s)T−1(s)U(s) =:

[−T (s) U(s)V (s) W (s)

], (20.124)

ın care T (s), U(s), V (s), si W (s) sunt matrice polinomiale de dimensiuni potrivite cuT (s) patrata si inversabila. Toate tipurile de realizari utilizate sunt formal continuteın realizarile polinomiale, inclusiv realizarile descriptor, centrate sau standard. In cazulparticular ın care toate matricele polinomiale din (20.124) sunt fascicule matriciale (matri-ce polinomiale de gradul 1) realizarea se numeste realizare fascicul. Asa cum vom vedea,realizarile fascicul sunt ın particular importante pentru calculul numeric ıntrucat permitreducerea problemei de obtinere a invariantilor unei matrice de transfer rationale la cazulmult mai simplu de obtinere a invariantilor Kronecker ai unor fascicule matriciale.

Realizarile polinomiale apar ın mod natural ın teoria ecuatiilor diferentiale si a celorcu diferente care pot fi convertite ıntotdeauna la sistemul de ecuatii{

T (s)x = U(s)u,y = V (s)x+W (s)u.

(20.125)

In cazul ecuatiilor diferentiale s este operatorul diferential, iar x, y, u sunt functii vectorialede timp, ın timp ce ın cazul ecuatiilor cu diferente s este operatorul de siftare si x, y, usunt serii de timp vectoriale. Sistemul de ecuatii (20.125) este central ın Teoria SistemelorAutomate si uzual u este intrarea, y este iesirea si x este o variabila interna de stare celeaga iesirea y de intrarea u. Comportarea intrare–iesire a sistemului descris de (20.125)se obtine rapid prin eliminarea lui x ın transformarile integrale corespunzatoare (Laplace,Z, transformata Fourier continua sau discreta). Obtinem

y = H(s)u, H(s) := W (s) + V (s)T−1(s)U(s), (20.126)

unde H(s) este matricea de transfer rationala si functiile transformate au fost notateprintr-un abuz de notatie cu acelasi simbol ca si variantele lor din domeniul timp. Celepatru matrice rationale (T (s), U(s), V (s),W (s)) formeaza o realizare polinomiala a sistemu-lui cu matricea de transfer H(s).

Avem urmatorul rezultat.


Teorema 20.23. Fie o realizare polinomiala

H(s) =

[−T (s) U(s)V (s) W (s)

]si [

−T (s) U(s)

V (s) W (s)

]=

[M(s) 0X(s) I

] [−T (s) U(s)V (s) W (s)

] [N(s) Y (s)0 I

],

unde M(s), N(s), X(s), si Y (s) sunt matrice polinomiale cu M(s) si N(s) patrate siinversabile. Atunci avem

H(s) =

[−T (s) U(s)

V (s) W (s)

],

i.e., (T (s), U(s), V (s), W (s)) este o alta realizare polinomiala pentru H(s) sau, echivalent,transformarile la stanga de tipul [

M(s) 0X(s) I

]si la dreapta de tipul [

N(s) Y (s)0 I

]lasa invarianta matricea de transfer a sistemului.

Rezultatul precedent da o clasa generala de transformari ce invariaza matricea de transfer,extinzand astfel transformarile constante de echivalenta date ın (20.100).

Introducem ın continuare proprietati ale realizarilor polinomiale ce extind controlabili-tatea si observabilitatea si sunt folosite pentru a garanta ca invariantii matricei de transferse pot regasi ın invariantii realizarii polinomiale.

Definitia 20.14. O realizare (20.124) se numeste coprima pe linii ın s0 ∈ C daca[−T (s) U(s)

](20.127)

nu are zerouri (Smith) ın s0 si se numeste coprima pe linii ın sens tare ın s0 daca[−T (s) U(s) 0V (s) W (s) I

](20.128)

nu are zerouri (Smith) ın s0. O realizare se numeste coprima pe linii (ın sens tare) dacaeste coprima pe linii (ın sens tare) pentru toti s0 ∈ C.

O realizare coprima pe linii ın sens tare este automat coprima pe linii, reciproca fiindadevarata doar pentru s0 ∈ C (finiti). Coprimitatea pe linii si coprimitatea pe linii ın senstare sunt ın particular echivalente daca matricele V (s) si W (s) sunt constante. Acestlucru este ıntotdeauna adevarat pentru realizari centrate. De asemenea, conceptul decoprimitate pe linii coincide cu cel de controlabilitate ın cazul unei perechi matriciale(A− sE,B).

150 Cristian Oara

Dual, o realizare (20.124) se numeste coprima pe coloane la s0 ∈ C daca[−T (s)V (s)

](20.129)

nu are zerouri (Smith) ın s0 si se numeste coprima pe coloane ın sens tare daca −T (s) U(s)V (s) W (s)0 I

(20.130)

nu are zerouri (Smith) ın s0. O realizare se numeste coprima pe linii (ın sens tare) dacaeste coprima pe linii (ın sens tare) pentru toti s0 ∈ C. O realizare polinomiala (20.124)se numeste ireductibila (ın sens tare) daca este simultan coprima pe linii si pe coloane (ınsens tare).

20.3.3. Constructia realizarilor generalizate prin inspectie

In acest paragraf prezentam o modalitate de constructie a unei realizari generalizatede stare plecand de la matricea de transfer rationala (eventual improprie) a sistemului.

Fie H(s) o matrice de transfer rationala de dimensiune p×m, avand gradul McMillann. Atunci exista ıntotdeauna descompunerea aditiva

H(s) = Hf (s) + P (s) (20.131)

unde Hf (∞) = 0 (este strict proprie) si P (s) este o matrice de transfer polinomiala.Folosind formulele (20.105), problema constructiei unei realizari pentru H(s) se poatedescompune ın problema constructiei a doua realizari, una pentru Hf (s) (care este propriesi deci nu are poli la infinit) si una pentru P (s) (care este matrice de transfer polinomialasi deci are toti polii la infinit). Indicam pentru ambele matrice de transfer o modalitatede scriere a realizarilor generalizate de tip descriptor (centrate la infinit) si ın paragrafulurmator aratam cum aceasta poate fi convertita ıntr-o realizare centrata ın orice punct.

Fie

Hf (s) =N(s)

d(s)

unded(s) = d0 + d1s+ . . .+ dnf−1s

nf−1 + snf

este cel mai mic multiplu comun al tuturor numitorilor elementelor lui Hf (s) si

N(s) = N0 +N1s+ . . .+Nnf−1snf−1.

Atunci

Hf (s) =

[Af − sI Bf

Cf 0

]=

(dnf−1 − s)Im dnf−2Im · · · d0Im Im−Im −sIm · · · 0 0

. . . . . . 00 −Im −sIm 0

Nnf−1 · · · N0 0

(20.132)


este o realizare descriptor (centrata la infinit) a lui Hf (s) ce este controlabila si are ordinulnf ×m. Daca p < m, atunci este mai avantajos de construit o realizare duala observabilace are automat ordinul mai mic nf × p.

FieP (s) = P0 + P1s+ P2s

2 + . . .+ Pdsd.

Atunci

P (s) =

[A∞ − sE∞ sB∞

sC∞ P0 + sP1

]:=

−Im sIm 0

. . . . . ....

. . . sIm−Im sIm

sPd sPd−1 · · · sP2 P0 + sP1

(20.133)

este o realizare de tip fascicul pentru P (s), iar o realizare generalizata de stare (centratala infinit) este

P (s) =

[A∞ − sE∞ B∞

C∞ 0

]=

I Pd

−sI . . . Pd−1

. . . . . ....

−sI I P0

0 · · · 0 I 0

. (20.134)

O varianta de obtinere a unei realizari centrate la infinit pentru P (s) este scrierea uneirealizari pentru matricea de transfer

Hf (s) =1

sP (

1

s). (20.135)

Cum Hf (∞) = 0, rezulta din (20.132) ca

Hf (s) =

[Af − sI Bf

Cf 0

],

din care putem scrie imediat o realizare pentru P (s). Alternativ, putem considera matriceade transfer

Hf (s) = P (1

s) (20.136)

pentru care H(∞) este finita si care conform cu (20.132) are o realizare de forma

Hf (s) =

[Af − sI Bf

Cf D

].

O realizare polinomiala simpla a lui H(s) se poate obtine direct din (20.132) ın forma

H(s) =

[Af − sI Bf

Cf P (s)

].

152 Cristian Oara

Realizari de tip fascicul pentru H(s) se pot obtine combinand (20.132) si (20.133) ın forma

H(s) =

Af − sI 0 Bf

0 A∞ − sE∞ sB∞Cf sC∞ P0 + sP1

, (20.137)

sau combinand (20.132) si (20.136) ın forma

H(s) =

Af − sI 0 Bf

0 sAf − I Bf

Cf sCf D

.

Realizari fascicul de acest tip sunt uzual ıntalnite ın teoria sistemelor hamiltoniene discrete.O realizare descriptor (centrata la infinit) pentru H(s) se poate obtine combinand

(20.132) si (20.134) ın forma

H(s) =

Af − sI 0 Bf

0 A∞ − sE∞ B∞Cf C∞ 0

,

sau combinand (20.132) si (20.135) ın forma

H(s) =

Af − sI 0 Bf

0 Af − I Bf

Cf Cf 0

.

20.3.4. Conversii ıntre realizari generalizate

In acest paragraf indicam modalitati de conversie ıntre diferite tipuri de realizarigeneralizate: descriptor (centrate la infinit), centrate ıntr-un punct arbitrar s0 ∈ C sipolinomiale. Deoarece realizarile descriptor de stare sunt cel mai des folosite pentrureprezentarea sistemelor cu matrice de transfer improprie, ne vom concentra pe modalitatide conversie a unei realizari polinomiale si respectiv a unei realizari proprii centrate ıntr-unpunct finit s0 ∈ C, ıntr-o realizare (posibil improprie) centrata la infinit si viceversa.

Conversia unei realizari descriptor ıntr-una centrata

Fie o matrice rationala oarecare H(s) data de realizarea descriptor (centrata la infinit)

H(s) =

[A− sE B

C D

](20.138)

si fixam un s0 = α ∈ Λ(A− sE). Fie Q si Z doua matrice inversabile (se pot alege chiarunitare) astfel ıncat

Q(A− sE)Z =

[A1 − sE1 A12 − sE12

0 A2

], (20.139)


unde A2 este inversabila si rang[E1 E12

]= rangE. Fie[

B1

B2

]:= ZT (A− s0E)−1B,

[C1 C2

]:= CZ,

unde partitiile sunt conforme cu (20.139). O verificare directa arata ca o realizare a luiH(s) centrata la s0 si proprie este

H(s) =

[A1 − sE1 −E1B1 − E12B2

C1 D − C1B1 − C2B2

]s0

. (20.140)

Mai mult, presupunand ca realizarea de la care am plecat (20.138) este minimala (saudoar ireductibila), se poate verifica ca realizarea obtinuta (20.140) este minimala.

Exemplul 20.2. Fie matricea de transfer H(s) =

[1

s−11

s s2

]. H(s) are un pol ın 1

de multiplicitate 1 si un pol la ∞ de multiplicitate 2. Cea mai mica dimensiune a uneirealizari centrate la ∞ este 4 si o astfel de realizare este data de

H(s) =

[A− sE B

C D

]=

1− s 0 0 0 1 00 −1 s 0 1 00 0 1 0 0 −10 −s 0 −1 0 01 0 0 0 0 10 0 0 −1 0 0

.

Pentru a scrie o realizare proprie pentru H(s) alegem s0 diferit de orice pol, de exemplus0 = 0. Cu

Q =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

, Z =

1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0

,

obtinem

Q(A− sE)Z =

[A1 − sE1 A12 − sE12

0 A2

]=

−s+ 1 0 0 0

0 1 0 −s0 s 1 0

0 0 0 1

,

[B1

B2

]=

1 0−1 00 0

0 −1

,[C1 C2

]=

[1 0 0 00 0 −1 0

],

de unde

H(s) =

[A1 − sE1 −E1B1 − E12B2

C1 D − C1B1 − C2B2

]s0

=

−s+ 1 0 0 −1 0

0 1 0 0 10 s 1 −1 01 0 0 −1 10 0 −1 0 0

0

.

154 Cristian Oara

Conversia unei realizari centrate ıntr-una descriptor

Viceversa, pornind acum de la o realizare (20.98) centrata ın s0 ∈ C si proprie,construim o realizare descriptor (centrata la ∞). Cum realizarea de la care plecam(20.98) este proprie, ınseamna ca matricea A−s0E este inversabila. Efectuand eventual otransformare preliminara de echivalenta, putem presupune fara a restrange generalitateaca

H(s) =

[Ik + (s0 − s)E B

C D

]s0

. (20.141)

Fie r := rangE. Construim o matrice E12 de dimensiune k × (k − r) astfel ıncat

rang[E E12

]= k (20.142)

si fie

[B1

B2

]orice solutie a ecuatiei

[E E12

] [ B1

B2

]= −B (20.143)

(care conform cu (20.142) are ıntotdeauna o solutie). Atunci

H(s) =

I + (s0 − s)E (s0 − s)E12 B1

0 I B2

C C2 D + C2B2 + CB1

(20.144)

este o realizare descriptor (centrata la infinit), unde C2 este o matrice arbitrara dedimensiuni potrivite. Mai mult, se poate arata ca realizarea descriptor (20.144) esteminimala daca realizarea centrata de la care am plecat (20.141) este minimala.

Exemplul 20.3. Fie H(s) =

[s 0

2(s− 1) 1

]care are o realizare centrata ın s0 = 1 data

de

H(s) :=

[A− sE B

C D

]s0

=

1 1 01 1 02 0 1

1

.

Orice realizare descriptor (centrata la infinit) este automat improprie pentru ca H(s) areun pol la ∞. Alegand E12 = 1, obtinem ca B1 =

[0 1

]si B2 =

[−1 0

]verifica

(20.143). Deci conform procedurii expuse anterior, o realizare centrata la ∞ este data de

H(s) =

[A1 − sE1 B1

C1 D1

]=

1 1− s 0 10 1 −1 01 1 0 12 0 0 3

.

Conversia unei realizari polinomiale ıntr-una centrata

Fie

H(s) =

[−T (s) U(s)V (s) W (s)

](20.145)


o realizare polinomiala a lui H(s), unde

T (s) = T0 + T1s+ . . .+ Tℓsℓ,

U(s) = U0 + U1s+ . . .+ Uℓsℓ,

V (s) = V0 + V1s+ . . .+ Vℓsℓ,

W (s) = W0 +W1s+ . . .+Wℓsℓ,

iar ℓ este cea mai mare putere a lui s care apare ın matricele polinomiale precedente.Definim

A0 :=

[T0 0p×m

−V0 −Im

], Ai :=

[Ti 0pm−Vi 0m

], i = 1, . . . , ℓ,

C0 :=[0p×m Im

], Bi :=

[Ui

Wi

], i = 1, . . . , ℓ.

Atunci o realizare centrata la ∞ este

H(s) =

I −Aℓ Bℓ

−sI . . ....

.... . . I −A1 B1

−sI −A0 B0

0 · · · 0 C0 0

. (20.146)

20.4. Elemente structurale ın termenii realizarilor

In sectiunile anterioare am introdus toate elementele structurale asociate cu o matricede transfer si am vazut ca fiecarei matrice rationale i se pot asocia diferite realizarigeneralizate: descriptor, centrate (proprii sau improprii) si polinomiale.

Vom vedea ın cele ce urmeaza ca elementele structurale ale matricelor de transfer (poli,zerouri, ordinele lor si indicii minimali la stanga si la dreapta) se pot citi din anumitiinvarianti asociati realizarii. Pentru realizarile centrate acesti invarianti sunt invariantiiKronecker (valori proprii generalizate, multiplicitatile lor si indicii Kronecker la stangasi la dreapta) a doua fascicule asociate cu orice realizare, numite fasciculul de poli sifasciculul sistem. Mai mult, daca realizarea centrata este ireductibila, corespondenta ıntreelementele structurale ale matricei rationale si invariantii Kronecker ai celor doua fasciculeeste un izomorfism, iar daca ın plus realizarea este si proprie, invariantii structurali si ceiKronecker coincid unul cate unul ıntr-un sens ce va fi facut clar ın Teorema 20.25.. Incazul realizarilor polinomiale au loc rezultate similare, dar locurile fasciculului de poli sifasciculului sistem sunt luate de doua matrice polinomiale.

20.4.1. Realizari centrate improprii

Teorema 20.24. Fie H(s) o matrice de transfer rationala data de realizarea

H(s) =

[A− sE B

C D

]s0

, (20.147)

156 Cristian Oara

avand ordinul k si fiind centrata ın s0 ∈ C (α,β ca ın (20.97)). Asociem cu (20.147)fasciculul de poli

P(s) = A− sE (20.148)

si fasciculul sistem

S(s) =[A− sE B(α− βs)

C D

]. (20.149)

Avem:

1. Rangurile normale ale lui H(s) si S(s) satisfac

rang nH(s) = rang nS(s)− k. (20.150)

2. Fie µ ∈ C un pol al lui H(s) avand ordinele partiale k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kg. Atunci µeste o valoare proprie generalizata a lui P(s). Fie s1 ≥ s2 ≥ . . . ≥ sh multiplicitatilepartiale ale lui µ ca valoare proprie generalizata a lui P(s). Daca realizarea (20.147)este ireductibila atunci{

g = h, ki = si, i = 1, . . . , g, pentru µ = s0,g ≤ h, ki = si − 1, i = 1, . . . , g, pentru µ = s0.

3. Fie µ ∈ C un zero al lui H(s) avand ordinele partiale k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kg. Atunci µeste o valoare proprie generalizata a lui S(s). Fie s1 ≥ s2 ≥ . . . ≥ sh multiplicitatilepartiale ale lui µ ca valoare proprie generalizata a lui S(s). Daca realizarea (20.147)este ireductibila atunci{

g = h, ki = si, i = 1, . . . , g, pentru µ = s0,g ≤ h, ki = si − 1, i = 1, . . . , g, pentru µ = s0.

4. Presupunem ca realizarea (20.147) este observabila. Atunci indicii minimali ladreapta ai lui H(s) sunt egali unul cate unul cu indicii Kronecker la dreapta aifasciculului sistem S(s). Mai mult, daca[

v1(s)v2(s)

](20.151)

este o baza minimala pentru spatiul nucleu la dreapta al fasciculului sistem S(s)atunci v2(s) este o baza minimala pentru spatiul nucleu la dreapta al lui H(s) (avandindicii minimali egali cu indicii Kronecker la dreapta).

5. Presupunem ca realizarea (20.147) este controlabila. Atunci indicii minimali lastanga ai lui H(s) sunt egali unul cate unul cu indicii Kronecker la stanga aifasciculului sistem S(s). Mai mult, daca[

v1(s) v2(s)]

(20.152)

este o baza minimala pentru spatiul nucleu la stanga al fasciculului sistem S(s)atunci v2(s) este o baza minimala pentru spatiul nucleu la stanga al lui H(s) (avandindicii minimali egali cu indicii Kronecker la stanga).

In particular, rezultatul precedent ne arata ca daca realizarea este ireductibila existaun izomorfism ıntre cele doua clase de invarianti (asociati pe de-o parte cu matricea detransfer rationala si respectiv cu formele Kronecker ale fasciculelor de poli si sistem).


20.4.2. Realizari centrate proprii

Teorema urmatoare arata ca daca realizarea este ın plus proprie si nu are un zero ıns0 atunci invariantii coincid si ca valori unul cate unul.

Teorema 20.25. Aceleasi ipoteze si notatii ca ın Teorema 20.24.. Presupunem ın plusca realizarea (20.147) este proprie (si deci s0 nu este pol al realizarii) si nu are zero ın s0(si deci rang nH(s) = rangD). Avem:

1. Rangurile normale ale lui H(s) si S(s) satisfac

rang nH(s) = rang nS(s)− k. (20.153)

2. Fie µ ∈ C un pol al lui H(s) avand ordinele partiale k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kg. Atunci µeste o valoare proprie generalizata a lui P(s). Fie s1 ≥ s2 ≥ . . . ≥ sh multiplicitatilepartiale ale lui µ ca valoare proprie generalizata a lui P(s). Daca realizarea (20.147)este ireductibila atunci

g = h, ki = si, i = 1, . . . , g.

3. Fie µ ∈ C un zero al lui H(s) avand ordinele partiale k1 ≥ k2 ≥ . . . ≥ kg. Atunci µeste o valoare proprie generalizata a lui S(s). Fie s1 ≥ s2 ≥ . . . ≥ sh multiplicitatilepartiale ale lui µ ca valoare proprie generalizata a lui S(s). Daca realizarea (20.147)este ireductibila atunci

g = h, ki = si, i = 1, . . . , g.

4. Presupunem ca realizarea (20.147) este observabila. Atunci indicii minimali ladreapta ai lui H(s) sunt egali unul cate unul cu indicii Kronecker la dreapta aifasciculului sistem S(s). Mai mult, daca[

v1(s)v2(s)

](20.154)

este o baza minimala pentru spatiul nucleu la dreapta al fasciculului sistem S(s)atunci v2(s) este o baza minimala pentru spatiul nucleu la dreapta al lui H(s) (avandindicii minimali egali cu indicii Kronecker la dreapta).

5. Presupunem ca realizarea (20.147) este controlabila. Atunci indicii minimali lastanga ai lui H(s) sunt egali unul cate unul cu indicii Kronecker la stanga aifasciculului sistem S(s). Mai mult, daca[

v1(s) v2(s)]

(20.155)

este o baza minimala pentru spatiul nucleu la stanga al fasciculului sistem S(s)atunci v2(s) este o baza minimala pentru spatiul nucleu la stanga al lui H(s) (avandindicii minimali egali cu indicii Kronecker la stanga).

158 Cristian Oara

In particular, precedentele doua rezultate arata ca problema de calcul al structurii uneimatrice de transfer rationale H(s) (multimea de poli si zerouri, ordinele lor si multimileindicilor minimali la stanga si la dreapta) este echivalenta cu problema mult mai simplade calcul al invariantilor Kronecker pentru doua fascicule matriciale (fasciculul de polisi fasciculul sistem), din care unul (fasciculul de poli) este ıntotdeauna regulat. Dinacest motiv, teoremele precedente arata ca cele doua fascicule se comporta ca un fel de“liniarizari” ale matricei de transfer rationale.

Corespondenta dintre structura rationalei H(s) si structura Kornecker a celor douafascicule poate fi stabilita ın mod biunivoc daca realizarea este ireductibila (care este oipoteza mai slaba decat minimalitatea). Acest detaliu este ın particular important pentrucalculul numeric ıntrucat o realizare ireductibila se poate obtine ıntotdeauna, pornind dela o realizare oarecare, exclusiv prin transformari unitare, pe cand obtinerea unei realizariminimale necesita ın general si folosirea unor transformari inversabile neunitare.

20.4.3. Realizari polinomiale

Fie H(s) o matrice de transfer generala si fie

H(s) =

[−T (s) U(s)V (s) W (s)

](20.156)

o realizare polinomiala. Pentru aceasta realizare definim matricea polinomiala de poli

Pp(s) :=

−T (s) U(s) 0V (s) W (s) I0 I 0

(20.157)

si matricea polinomiala sistem

Ps(s) =

[−T (s) U(s)V (s) W (s)

]. (20.158)

Avem urmatoare generalizare a Teoremei 20.24..

Teorema 20.26. Fie H(s) dat de realizarea polinomiala (20.156) de ordinul k. Asociemmatricea polinomiala de poli (20.157) si matricea polinomiala sistem (20.158). Avem:

1. Rangurile normale ale lui H(s) si Ps(s) satisfac

rang nH(s) = rang nPs(s)− k.

2. Daca realizarea (20.156) este ireductibila ın sens tare la s0 ∈ C atunci structura depoli a lui H(s) la s0 este aceeasi (cu o schimbare de semn) cu structura de zerouria lui Pp(s) la s0.

3. Daca realizarea (20.156) este ireductibila ın sens tare la s0 ∈ C atunci structura dezerouri a lui H(s) la s0 este aceiasi cu structura de zerouri a lui Ps(s) la s0.


4. Daca realizarea (20.156) este coprima pe linii ın sens tare atunci H(s) si Ps(s) auaceiasi indici minimali la stanga. Mai mult, daca[

v1(s)v2(s)

]este o baza minimala pentru spatiul nul la dreapta al lui Ps(s) atunci v2(s) este obaza minimala pentru spatiul nul la dreapta al lui H(s) (cu aceiasi indici minimali).

5. Daca realizarea (20.156) este coprima pe coloane ın sens tare atunci H(s) si Ps(s)au aceiasi indici minimali la dreapta. Mai mult, daca[

v1(s) v2(s)]

este o baza minimala pentru spatiul nul la stanga al lui Ps(s) atunci v2(s) este obaza minimala pentru spatiul nul la stanga al lui H(s) (cu aceiasi indici minimali).

Din teorema precedenta obtinem imediat urmatorul corolar important.

Corolarul 20.2. Fie H(s) o matrice de tranfer data de realizarea ireductibila ın sens tare(20.156). Asociem matricea polinomiala de poli (20.157) si matricea polinomiala sistem(20.158). Avem:

1. Structura de poli a lui H(s) coincide (cu o schimbare de semn) cu structura dezerouri a lui Pp(s).

2. Structura de zerouri a lui H(s) coincide cu structura de zerouri a lui Ps(s).

3. Indicii minimali la stanga si la dreapta ai lui H(s) coincid cu indicii minimali lastanga si respectiv la dreapta ai lui Ps(s).

Precedentul corolar arata ca toate elementele structurale ale unei matrice de transferpot fi calculate din elementele structurale ale oricarei realizari ireductibile ın sens tare.Transformarea acestui corolar ıntr-un instrument practic si util din punct de vederenumeric ınseamna gasirea de realizari ale caror elemente structurale sunt mai usor decalculat decat elementele structurale ale matricei de transfer originale. In particular, acestlucru se ıntampla pentru realizarile centrate pentru care matricele polinomiale de poli sisistem sunt de fapt fascicule matriciale (matrice polinomiale de grad 1). Mai general,pentru orice realizare (20.156) ın care matricele polinoamele T (s), U(s), V (s) si W (s)sunt fascicule matriciale (realizari fascicul), matricele polinomiale de poli si sistem suntfascicule si structura lor se poate obtine usor pe baza structurii Kronecker a fasciculelorrespective. In particular, realizarile fascicul sunt cea mai generala clasa de realizari pentrucare problema de determinare a elementelor structurale ale matricei de transfer se poateınlocui direct cu problema mult mai simpla de determinare a structurii Kronecker a unorfascicule matriciale. Desigur, pentru a avea un izomorfism ıntre structura rationalei sicea a fasciculelor este necesar ca realizarea sa fie ireductibila ın sens tare. Urmatoareapropozitie da conditii simplu de verificat pentru ireductibilitatea unei realizari fascicul.

160 Cristian Oara

Propozitia 20.1. Fie H(s) data de realizarea fascicul

H(s) =

[A− sE B − sFC − sG D − sH

]. (20.159)

Realizarea (20.159) este ireductibila ın sens tare daca fasciculele

[A− sE B − sF

],

[A− sEC − sG

],

nu au valori proprii generalizate.

20.5. Note si referinte

Problema de valori proprii si forma canonica Jordan sunt chestiuni centrale ın algebramatriciala. Referinte excelente sunt de exemplu Gohberg, Lancaster si Rodman [4, 5, 6],Horn si Johnson [8, 9] si respectiv Golub si Van Loan [7] pentru aspecte de calcul.O tratare detaliata a problemei de valori proprii generalizate si a formelor canoniceWeierstrass si Kronecker este data ın Gantmacher [3]. Conceptele standard de controlabili-tate si observabilitate se pot gasi ın orice monografie despre sisteme dinamice multivariabile(v. cap. 5, vol. I), cu toate ca notiunile expuse aici sunt generalizari ample ale notiunilorstandard. Referinte cuprinzatoare sunt Kailath [10] si Wonham [14]. Teoria matricelorrationale apare ın multe carti de sisteme liniare multivariabile ca de exemplu ın Belevitch[1], Rosenbrock [11], Kailath [10] si Gohberg, Lancaster si Rodman [6]. Cu toate acestea,majoritatea acestor texte considera ın detaliu doar cazul polilor si zerourilor finite, lasanddeoparte cazul important al polilor si zerourilor de la infinit. Intr-un context foartegeneral, Rosenbrock [11] arata ca ordinele polilor si zerourilor finite ale unei matrice detransfer rationale sunt izomorfe cu ordinele polilor si zerourilor finite ale oricarei realizaripolinomiale de stare ireductibile. Faptul ca acest izomorfism se extinde si ın cazul poluluisi zeroului de la infinit, ın cazul particular al realizarilor generalizate de tip descriptor,a fost demonstrat de Verghese, Van Dooren si Kailath [12]. Aici apare prima data siconexiunea dintre indicii minimali ai matricei de transfer rationale si indicii Kronecker aifasciculului sistem asociat. Teoria realizarii pentru matrice de transfer rationale impropriiımpreuna cu un studiu cuprinzator al sistemelor dinamice descrise pe spatiul generalizatal starilor se gasesc ın Verghese si Kailath [13]. Indicii minimali pentru baze polinomialeau fost introdusi si investigati ın detaliu de catre Forney [2].

BIBLIOGRAFIE

1. BELEVITCH V., Classical Network Theory, Holden Day, San Francisco, 1968.

2. FORNEY G. D., Minimal bases of rational vector spaces, with applications to multivariable linearsystems, SIAM Journal on Control, 13:493–520, 1975.

3. GANTMACHER F. R., The Theory of Matrices, Chelsea, New York, 1960.

4. GOHBERG I., LANCASTER P., RODMAN L., Matrix Polynomials, Academic Press, New York,1982.

5. GOHBERG I., LANCASTER P., RODMAN L., Matrices and Indefinite Scalar Product, volume 8of Operator Theory: Advances and Applications, Birkhauser, Basel, 1983.


6. GOHBERG I., LANCASTER P., RODMAN L., Invariant Subspaces of Matrices with Applications,John Wiley, New York, 1986.

7. GOLUB G.H., VAN LOAN Ch. F. Matrix Computations, John Hopkins University Press, Baltimore,1989.

8. HORN R. A., JOHNSON C. A., Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.

9. HORN R. A., JOHNSON C. A., Topics in Matrix Analysis, Cambridge University Press, Cambridge,1991.

10. KAILATH T., Linear Systems, Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1980.

11. ROSENBROCK H. H., State–Space and Multivariable Theory, Wiley, New York, 1970.

12. VERGHESE V., VAN DOOREN P., KAILATH T., Properties of the system matrix of a generalizedstate–space system, International Journal of Control, 30:235–243, 1979.

13. VERGHESE V., LEVI B., KAILATH T., A generalized state–space for singular systems, IEEETransactions on Automatic Control, 26:811–831, 1981.

14. WONHAM W., Linear Multivariable Control. A Geometric Approach, Springer Verlag, New York,1985.

20. ANALIZA SISTEMELOR MIMOacse.pub.ro/wp-content/uploads/2014/08/Cap20-Vol2.pdfde caracterizare a...

Documents

Transcript of 20. ANALIZA SISTEMELOR MIMOacse.pub.ro/wp-content/uploads/2014/08/Cap20-Vol2.pdfde caracterizare a...