Part I

ALGEBRA LINIARATeorie »si aplicat»ii

1 2. SPATII VECTORIALE

1.1 TEORIE

Vectorii studiati la ¯zica se pot aduna (dupa regula paralelogramului, suma adoi vectori este un vector) si se pot inmulti cu scalari (produsul dintre un numarreal si un vector este un vector); matricele studiate la matematica se pot aduna(suma a doua matrice de un anumit tip este o matrice de acelasi tip) si se potinmulti cu scalari (produsul dintre un numar si o matrice este o matrice). Vomstudia aici structuri dotate cu doua operatii: o adunare si o inmultire cu scalari, operatii supuse unor reguli simple, generalizand astfel cele doua exemple.

1. De¯nitia spatiului vectorial.

Daca (+) este un grup abelian, (+ ¢) este un corp comutativ (deregula = RC,sau Z unde este un numar prim), iar

£ ! ( ) 7¡!

este o operatie care veri¯ca axiomele:

² ( +) = + ² (+ ) = + ² () = () si² 1 = (unde 1 este elementul neutru fata de inmultirea din ),

pentru orice 2 si pentru orice 2 spunem ca pe s-a de¯nito structura de spatiu vectorial (sau liniar) peste corpul sau ca estespatiu vectorial (liniar) peste corpul ; in acest caz

² elementele grupului se numesc vectori ;² elementele corpului se numesc scalari ;

² spunem ca operatia de adunare a vectorilor este o operatie interna(deoarece suma a doi vectori este un vector);

² spunem ca operatia de inmultire a scalarilor cu vectori este o operatieexterna (adica pentru orice element al corpului si pentru oriceelement al grupului s-a de¯nit produsul 2 sau, produsuldintre un scalar si un vector este un vector);

1

id1817234 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com

² in lipsa altor precizari notam cu elementul neutru al grupului (+)(adica vectorul nul), cu ¡ simetricul (opusul) vectorului cu 0elementul neutru (scalarul nul) al grupului (+) iar cu 1 elementulneutru al grupului (¤ ¢) unde ¤ := ¡ f0g ;

² notatia indica faptul ca este spatiu liniar peste corpul ;

² cand = R spunem ca este spatiu vectorial real, iar cand = C spunem ca este spatiu vectorial complex;

² un spatiu liniar format cu un singur vector (vectorul nul!) se numestespatiu trivial.

Proprietati. Fie un spatiu vectorial 2 si 2 Atunci:(a) 0 = , adica produsul dintre scalarul nul si un vector oarecare este

vectorul nul;

(b) = , adica produsul dintre un scalar oarecare si vectorul nulvectorul nul;

(c) (¡1) = ¡ adica produsul dintre scalarul ¡1 si vectorul esteopusul vectorului ;

(d) = ) = 0 sau =

2. Exemple de spatii vectoriale.

(a) Multimea vectorilor cu acelasi punct de aplicatie, notat din spatiul

¯zic S, adica =n¡!

¯̄̄ 2 S

o studiati la ¯zica (unde adunarea

vectorilor este de¯nita prin regula paralelogramului, inmultirea unui

vector¡! cu un numar real este un vector

¡¡! care are lungimea

k ¡¡! k=j j ¢ k ¡! k directia lui ¡! sensul lui ¡! daca 0si sens contrar cand 0) este un spatiu liniar real; in acest caz

=¡¡!

(b) Spatiul aritmetic RR , unde R este multimea -uplurilor de nu-mere reale, i.e.: R = f = (1 2 )j1 2 2 Rg ;(notatia cosacrata in Computer Science pentru -uplul 2 R estecea din R£1 : =1(R) deci vom scrie uneori si noi, prin abuzde notatie, = (1 2 )

2 R£1)iar adunarea vectorilor siinmultirea cu scalari sunt de¯nite prin:

(1 2 ) + (1 2 ) = (1+ 1 2 + 2 +)

pentru orice (1 2 ) (1 2 ) 2 R si pentru orice 2R Mai general:

(c) Spatiul unde (+ ¢) este un corp comutativ; intr-adevar = f = (1 2 )j1 2 2 g cu operatiile, internasi externa, de¯nite ca la spatiul aritmetic, adica

2

(1 2 ) + (1 2 ) = (1+ 1 2+ 2 +)

pentru orice (1 2 ) (1 2 ) 2 si orice 2 ,este un spatiu liniar peste corpul

In particular, pentru corpul = Z2 = f0 1g obtinem spatiul vec-torial al -uplurilor de elemente din Z2 - numite siruri de n biti (ori'stringuri' de n biti) Z2 =

© = (1 2 )j 2 Z2 = 1

ª;

suma sirurilor = (1 2 ) = (1 2 ) este sirul + =(1 © 1 2 © 2 © )unde "©" este adunarea modulo 2 (operatia XOR intre biti): 0©1 =1© 0 = 0 1© 1 = 0 + 0 = 0iar sirul = (0 0 0) este vectorul nul; produsul scalarului 2 Z2cu sirul = (1 2 ) este

= (¢1 ¢2 ¢)unde pe componente am folosit inmultireamodulo 2 : 0 ¢ 1 = 1 ¢ 0 = 0 ¢ 0 = 0 si 1 ¢ 1 = 1

(d) Daca este o multime, iar (+ ¢) este un corp comutativ, atuncimultimea F ()= f : ! j este functieg admite o structura despatiu vectorial peste relativ la adunarea functiilor din F() (pen-tru 2 F() suma + 2 F() este de¯nita punctual prin( + )() = () + (), 8 2 ), respectiv, inmultirea cu scalari(pentru 2 F() si 2 produsul 2 F() se de¯neste prin()() = ()8 2 )

In electronica se studiaza spatiul vectorial real al semnalelor intimp continuu F(T )R si spatiul vectorial complex al semnalelor intimp continuu F(T )C, unde T ½ R este, de regula, un interval denumere reale

Daca impunem ca T ½ Z atunci F(T )R respectiv F(T )C estespatiu vectorial real, respectiv, complex de semnale discrete.

(e) Daca este o multime de numere reale atunci multimea C±() = f : ! Rj este functie contiinzestrata cu operatiile de adunare a functiilor, respectiv, de inmul-tire a acestora cu numere reale (adica operatiile F()R) este spatiuvectorial peste R

(f) Multimea M() unde (+ ¢) este un corp comutativ, devineun spatiu liniar relativ la operatiile de adunare a matricelor (opera-tia interna) si de inmultire a acestora cu elemente din (operatiaexterna).

(g) Fie 2M() unde (+ ¢) este un corp comutativ Multimea() a solutiilor sistemului liniar si omogen = 0 (cu coe¯cientidin corpul ) furnizeza spatiul () cu operatiile din spatiul£1

3. Subspatii vectoriale.

3

Asa cum s-a analizat la grupuri notiunea de subgrup, la inele notiunea desubinel, ori la corpuri notiunea de subcorp - si aici, in cazul spatiilor vec-toriale, ne punem problema: in ce conditii o submultime a unui spatiuliniar este, la randul ei, un spatiu vectorial relativ la restrictiile op-eratiillor, interna, respectiv, externa; daca acest lucru se intampla spunemca este subspatiu vectorial (liniar) al spatiului ; indicam faptul ca este subspatiu vectorial al spatiului prin notatia · Exemplul 2.e. arata ca multimea functiilor continue pe multimea privita ca submultime in F() este spatiu vectorial relativ la operatiiledin spatiul F()R deci, cu notatia introdusa, avem ±() · F()Exemplul 2.g. arata ca, in spatiul £1 avem () · £1;() se numeste subspatiul nul al matricei iar ecuatiile sistemului = 0 se numesc ecuatiile subspatiului ()

Propozitie. Fie o submultime nevida din spatiul Urmatoarelea¯rmatii sunt echivalente:

(a) · ;(b) pentru orice vectori 2 si pentru orice scalar 2 avem

+ 2 si 2 ;(c) 8 2 si 8 2 ) + 2

Exercitiul 1. Sa veri¯cam ca =

½( ) =

µ 0

¶j 2 R + 2 =

¾·

M22(R) Folosim propozitia de mai sus (punctul c). Consideram doi vec-tori arbitrari ( ) (0 0 0) 2 si doi scalari arbitrari 2 R Incombinatia liniara ( )+(0 0 0) = ( )+(0 0 0) =( + 0 + 0 + 0)avem, conform ipotezei, + 0 = (+2) + (0 + 20) = + 0 + 2( + 0) ceea ce indica faptul ca( ) + (0 0 0) 2 Prin urmare este subspatiu vectorialal spatiuluiM22(R)R

Exemple de subspatii vectoriale.

(a) Daca este vectorul nul din spatiul atunci fg· ; subspatiulfg se numeste subspatiul nul al spatiului . De asemenea · Subspatiile fg Vsubspatii triviale V.S

Subspatiul de la Exercitiul 1. este un subspatiu propriu al sptiuluiM22(R)R

(b) Daca = f1 2 g ½ unde este spatiu vectorial peste corpul mul-timea tuturor combinatiilor liniare ale vectorilor din notata () este unsubspatiu vectorial al spatiului (deci () · ) numit subspatiul generatde sistemul de vectori . Daca () = atunci se numeste sistem degeneratori pentru spatiul .

(c) Fie si doua subspatii vectoriale ale spatiului Atunci:

i. \ · ;

4

ii. + := f+ j 2 2g · Subspatiul + senumeste suma subspatiilor si

iii. Daca suma subspatiilor si are proprietatea:8 2 + 9! 2 si 9! 2 astfel incat = +atunci notam suma + := © si o numim suma directaa subspatiilor si Daca = © spunem ca si sunt subspatii suplementare. (Simbolul 9! este o prescutare asintagmei 'exista si este unic(a)'). Mai general:

iv. Daca 1 2 · atunci suma subspatiilor 1+2+ + := · ; daca, in plus,8 2 9! 2 = 1 astfel incat = 1+2+ + sub-spatiul se numeste suma directa a subspatiilor 1 2

si scriem = 1 © 2 © © := ©=1

Exercitiul 2. Fie ( ) 2 unde este subspatiul de la Exercitiul 1.Deoarece ( ) = ( + 2) = (1 0 1) + (0 1 2) rezulta ca = ((1 0 1)(0 1 2)) Tehnica de obtinere a unui sistem de gen-eratori pentru subspatiul - numita parametrizare (am utilizat legaturadintre parametrii si scalarul = + 2)¡ va ¯ folosita adesea in celece urmeaza.

Mai mult, observam ca = ((1 0 1)) + ((0 1 2)) iar daca( ) 2 ((1 0 1))+((0 1 2)) atunci( 0 ) 2 ((1 0 1))respectiv(0 2) 2 ((0 1 2)) sunt unicele matrice din ((1 0 1))respectiv ((0 1 2)) pentru care ( ) = ( 0 )+(0 2)Inconsecinta este suma directa a subspatiilor ((1 0 1)) si ((0 1 2))

De fapt avem ((1 0 1))\((0 1 2)) =½ =

µ0 00 0

¶¾ condi-

tie care asigura faptul ca ((1 0 1)) si ((0 1 2)) sunt subspatiisuplementare pentru spatiul vectorial In general are loc:

Propozitie. Fie 1 2 subspatii vectoriale ale spatiului Urmatoarelea¯rmatii sunt echivalente:

(a) 1 + 2 + + = 1 © 2 © © ;(b) \ (1 + 2 + ¡1 + +1 + + = fg pentru = 1

4. Dependenta si independenta liniara.

De¯nitie. Fie un spatiu vectorial.

(a) Vectorii 1 2 2 sunt liniar dependenti daca exista n scalari1 2 2 , nu toti nuli, astfel incat

11 + 22 + + = ; (¤)

5

mai spunem ca multimea f1 2 g este un sistem de vectoriliniar dependenti (uneori -sistem liniar dependent), iar relatia (¤)este o relatie de dependenta liniara (pentru vectorii 1 2 );daca, de exemplu am determinat scalarii 1 2 cu 1 6= 0care satisfac relatia (¤) atunci 1 = ¡¡11 (22+ +) este, deasemenea o relatie de dependenta liniara;

(b) vectorii 1 2 sunt liniar independenti daca nu sunt liniar de-pendenti, i.e.

11 + 22 + + = 1 2 2 ) 1 = 2 = = = 0;

(o combinatie liniara a vectorilor 1 2 este vectorul nul daca sinumai daca toti scalarii 1 2 sunt nuli); mai spunem, in acestcaz, ca f1 2 g este un sistem de vectori liniar independenti(sau sistem liniar independent)

Altfel spus: consideram in spatiul ecuatia (¤) de necunoscute1 2 2 ² Daca ecuatia admite solutii nebanale, atunci f1 2 g esteun sistem de vectori liniar dependenti.

² Daca ecuatia admite doar solutia banala, atunci f1 2 geste un sistem de vectori liniar independenti.

Observatie. Orice sistem de vectori care contine vectorul nul este unsistem liniar dependent.

Exercitiul 3 . Fie 1 = (1 1 2) 2 = (1¡2¡1) 3 = (2 3 ) trei vec-tori din spatiul vectorial R3R unde este un numar real Sa analizamdependenta/independenta sistemului = f1 2 3g Conform de¯nitiei,consideram, in R3R ecuatia

1 + 2 + 3 = (1)

unde = (0 0 0) si necunoscutele sunt scalarii 2 R; trebuie sa a°amdaca ecuatia are doar solutia banala = = = 0 (ceea ce indica liniarindependenta vectorilor 1 2 3) sau are mai multe solutii- (dependentaliniara a sistemului = f1 2 3g). Deoarece(1), ( 2) + (¡2¡) + (2 3 ) = (0 0 0) ,, (+ + 2 ¡ 2 + 3 2¡ + ) = (0 0 0)rezulta ca relatia (1) este echivalenta cu sistemul liniar omogen:

+ + 2 = 0

¡ 2 + 3 = 0 (2)

2¡ + = 0;conform teoriei sistemelor liniare si omogene, problema noastra este acumsa determinam rangul matricei sistemului:

6

:=

0@1 1 21 ¡2 32 ¡1

1A matrice care se obtine prin concatenarea coloanelor 1

2

3 . Avem doua

posibilitati:

² daca rangul este 3 sistemul este compatibil determinat, i.e. unicasolutie (solutia banala) este = = = 0 caz in care este unsistem de vectori liniar independent;

² daca rangul este mai mic decat 3 sistemul admite si solutii nebanale,deci este un sistem de vectori liniar dependent, iar o relatie dedependenta liniara se poate determina cu ajutorul matricei scara re-duse.

Cu transformarile elementare pe linii¡1+2 ! 2 si¡1¡2+3 ! 3obtinem

»0@1 1 20 ¡3 10 0 ¡ 5

1A ;matricea obtinuta are forma scara, furnizeaza rangul (() =numarulpivotilor) si, implicit, transeaza natura sistemului :

² daca 6= 5 atunci () = 3 deci este liniar independent;² daca = 5 atunci () = 2 deci este liniar dependent; inacest caz, continuand cu transformarile elementare ¡1

32 ! 2 apoicu ¡2 + 1 ! 1 obtinem forma scara redusa a matricei

»0@1 1 20 1 ¡1

30 0 0

1A »0@1 0 7

30 1 ¡1

30 0 0

1A ;observam ca a treia coloana se poate exprima ca o combinatie liniara acoloanelor care contin pivotii:0@ 7

3¡130

1A = 73

0@100

1A¡ 13

0@010

1A ;observam ca si in matricea coloana a III-a se poate exprima ca o com-binatie liniara a primelor doua coloane folosind de asemenea coe¯cientii73 respectiv ¡1

3 :0@235

1A = 73

0@112

1A¡ 13

0@ 1¡2¡1

1A, 3 =731 ¡ 1

32

adica am obtinut o relatie de dependenta liniara a vectorilor dati.

Tehnica utilizata in acest exercitiu este aplicabila in :

7

Criteriul practic de dependenta in Vectorii 1 2 2

sunt liniar dependenti daca si numai daca rangul matricei = (1 j 2 j j ) 6=; mai mult, deoarece transformarile elementare pe linie conserva rangulsi relatiile de dependenta liniara, daca este forma scara redusa a ma-tricei atunci:

² daca numarul de pivoti din coincide cu numarul de vectori, atunci vectorii sunt liniar independenti;

² daca numarul de pivoti din matricea este diferit de numarulvectorilor (adica 6= ), atunci vectorii 1 2 sunt liniar de-pendenti; in cazul in care vectorul nul nu este printre vectorii dati,atunci

(a) pozitiile pivotilor sunt (1 1) (2 2) ( ) ;

(b) vectorii 1 2 sunt liniar indepedenti;

(c) ceilalti vectori sunt combinatii liniare ale vectorilor 1 2 combinatiicare se citesc din coloanele matricei ; de exemplu, daca inmatricea avem coloana : = (1 0 0)

(cu 2f1 g), atunci = 11 + 22 + +

Exercitiul 4 . Fie 1 = (1 1 2 1) 2 = (1¡2¡1 2) 3 = (1 1 0 0) 4 =(0 1 1 0) 5 = (0 0 1 1) vectori in spatiul vectorial R

4R

(a) Sa se arate ca = f1 2 3 4 5g este sistem de vectori liniardependenti.

(b) Sa se determine numarul maxim de vectori liniar independenti dinmultimea si sa se indice o submultime ½ de astfel devectori.

(c) Este unica submultime de vectori liniar independenti din ?

(d) Sa se exprime vectorii din  ca si combinatii liniare ale vecto-rilor din Sunt unice aceste exprimari?

Rezolvare. Folosim criteriul practic. Pentru aceasta formam matricea prin concatenarea matricelor coloana corespunzatoare vectorilor datiurmand sa o aducem la forma scara redusa; pentru ca urmarim sa obtinemo matrice superior triunghiulara, vom concatena vectorii dati intr-o ordinecare ne usureaza prelucrarea prin transformari elementare. De exempluformam matricea

= (3 j 4 j 5 j 1 j 2 ) =

0BB@1 0 0 1 11 1 0 1 ¡20 1 1 2 ¡10 0 1 1 2

1CCA (a) Deoarece rangul matricei este mai mic decat 5 rezulta ca =

f1 2 3 4 5g este sistem de vectori liniar dependenti.

8

(b) Pentru a determina numarul aducem la forma scara redusa;obtinem

»

0BB@1 0 0 0 10 1 0 0 30 0 1 0 ¡20 0 0 1 0

1CCA Forma scara redusa are 4 pivoti, deci rangul matricei este 4 iar = 4 Pivotii se gasesc pe primele patru coloane, prin urmare amobtinut submultimea maximala de vectori liniar independenti 4 =f3 4 5 1g

(c) De exemplu, matricea (2 j 4 j 5 j 1 ) =

0BB@1 0 0 1¡2 1 0 1¡1 1 1 22 0 1 1

1CCA »

0BB@1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1CCAare, de asemenea, rangul egal cu 4; rezulta ca si submultimea f1 2 4 5g 6=4 are patru vectori liniar independenti.

(d) Deoarece in forma scara redusa coloana a cincea se poate exprima

in functie de celelalte coloane:

0BB@13¡20

1CCA = 1 ¢

0BB@1000

1CCA + 3 ¢

0BB@0100

1CCA ¡ 2 ¢

0BB@0010

1CCA+ 0 ¢0BB@0001

1CCA obtinem, corespunzator, exprimarea ultimei coloane

din matricea in functie de primele partru coloane, deci 2 = 3 +34¡ 25 Exprimarea lui 2 este unica; intr-adevar daca 2 = 3+4+5+1 (cu , 2 R) urmeaza ca 3+4+5+1 =3+34¡25, sau echivalent, (¡1)3+(¡3)4+(+2)5+1 = ;dar vectorii 1 3 4 5 sunt liniar independenti si, in consecintascalarii care intervin in combinatie sunt toti nuli, adica = 1 =3 = ¡2 si = 0

5. Baze. Caracterizari.

De¯nitie.Un sistem ordonat de vectori = f1 2 g ½ este obaza pentru spatiul daca

(a) sistemul este liniar independent;

(b) este sistem de generatori (i.e. () = ).

Exemple.

(a) In spatiul aritmeticRRmultimea f(1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 0 0 1)geste o baza numita baza canonica.

9

(b) Mai general, in spatiul multimea f(1 0 0 0) (0 1 0 0) (0 0 0 0 1)geste o baza numita baza canonica (ca de obicei, 1 este elementul neu-tru al grupului abelian (¤ = ¡ f0g ¢).

(c) In spatiulM() multimea =© j = 1 = 1

ªunde

11 =

0BB@1 0 00 0 0

0 0 0

1CCA 12 =0BB@0 1 00 0 0

0 0 0

1CCA 1 =0BB@0 0 10 0 0

0 0 0

1CCA

21 =

0BB@0 0 01 0 0

0 0 0

1CCA 2 =0BB@0 0 00 0 1

0 0 0

1CCA =0BB@0 0 00 0 0

0 0 1

1CCAeste o baza numita baza canonica

(d) In spatiul R[]R multimea©1 2

ªeste o baza numita

baza canonica.

Exercitiul 5 . La Exercitiul 1. am vazut ca =

½( ) =

µ 0

¶j 2 R + 2 =

¾este un subspatiu vectorial al spatiuluiM22(R)R; la La Exercitiul 2. am

constatat (folosind tehnica parametrizarii) ca vectorii (1 0 1) =

µ1 00 1

¶si (0 1 2) =

µ0 10 2

¶genereaza spatiul Deoarece ((1 0 1)) \

((0 1 2)) =

½µ0 00 0

¶¾ rezulta ca cei doi vectori sunt liniar inde-

pendenti. In consecinta multimea f(1 0 1) (0 1 2)g este o baza pentruspatiul

Propozitie. Fie un spatiu vectorial si = f1 2 g ½ obaza a sa.

(a) Orice vector 2 se exprima in mod unic ca o combinatie liniaraa vectorilor (ordonati, dupa indicii 1 2 ) din baza, i.e. exista sisunt unici scalarii 1 2 2 astfel incat = 11 + 22 ++;scalarii 1 2 se numesc coordonatele vectorului inbaza

(b) Orice alta baza a spatiului are acelasi numar de vectori; nu-marul vectorilor dintr-o baza a spatiului se numeste dimensi-unea spatiului; vom scrie dim( ) =

Exista spatii care contin un numar in¯nit de vectori liniar independenti(e.g. spatiul real al tuturor polinoamelor cu coe¯cienti reali). ObiectulAlgebrei liniare este studiul spatiilor ¯nit dimensionale.

Exemple. Tinand cont de bazele canonice prezentate mai sus rezulta ca:

(a) dimensiunea spatiului RR este ;

10

(b) dimensiunea spatiului este ;

(c) dimensiunea spatiuluiM() este ;

(d) dimensiunea spatiului R[]R este + 1

La Exercitiul 5 . am aratat de fapt ca dim() = 2

Teorema. Fie un spatiu vectorial si = f1 2 g ½ unsistem de vectori. Urmatoarele a¯rmatii sunt echivalente:

(a) sistemul este o baza pentru spatiul ;

(b) este un sistem maximal de vectori liniar independenti, adica sis-temul f1 2 g este liniar dependent, oricare ar ¯ vectorul 2 ;

(c) oricare ar ¯ un vector 2 el se exprima in mod unic ca o combi-natie liniara a vectorilor din sistemul

1.2 PROBLEME

1. Aratati ca intr-un spatiu vectorial:

(a) exista un singur vector nul;

(b) oricare vector are un unic vector opus.

2. In spatiul vectorial R3R se dau vectorii = (1 2 1), = (1 1 1), =(0 9 8).

(a) Scrieti baza canonica a spatiului R3R

(b) Exprimati vectorii dati in baza canonica.

(c) Determinati coordonatele vectorilor dati in baza canonica.

(d) Determinati vectorul e = 3 + 5 ¡ ; stabiliti daca urmatoarelesisteme de vectori sunt baze pentru spatil :

i. f g ;ii. f eg ;iii. f eg ;iv. f eg ;v. f eg

3. Sa se arate ca multimea matricelor cu elemente din corpul i.e. M()este un spatiu vectorial peste corpul fata de operatia (interna) deadunare a matricelor, respectiv, fata de operatia (externa) de inmultirea matricelor cu scalari.

4. Veri¯cati ca in spatiul vectorial :

11

(a) 0 = pentru orice 2 adica produsul scalarului 0 cu vectorulnul este vectorul nul;

(b) = pentru orice 2 adica produsul scalarului cu vectorulnul este vectorul nul;

(c) (¡1) = ¡ pentru orice 2 adica produsul dintre scalarul ¡1 sivectorul este opusul vectorului ;

(d) daca 2 2 si = atunci = 0 sau =

5. Sa se arate ca urmatoarele multimi se pot inzestra cu structura de spatiuliniar peste corpul numerelor reale:

(a) f( 0 + + + )j 2 Rg(b) f(¡¡+ + + + + )j 2 Rg

6. In spatiul R3£1R consideram vectorii 1 = (9 0 1) 2 = (2 2 1) 3 =(0 2 1) 4 = (1 1 1)

(a) Sa se scrie combinatia liniara = 1 + 2(¡13 0 1) + 2 ¡ 3 + 4(b) Sa se determine coordonatele vectorilor considerati in baza canonica.

(c) Sa se determine rangul matricei = (1 j 2 j 3 j 4)(d) Sunt vectorii considerati liniar independenti?

(e) Sa se determine cel mai mare · 4 pentru care multimea © : = 1 ªeste liniar independenta.

(f) Sa se determine multimea tuturor combinatiilor liniare a vectorilor

i. 1 2 3 4

ii. 1 2

7. Sa se arate ca vectorii notati 1 2 formeaza o baza intr{un spatiu ar-itmetic -precizati spatiul- apoi determinati coordonatele vectorului inbaza respectiva:

(a) 1 = (1 1 1) 2 = (1 1 2) 3 = (1 2 3); = (6 9 14)

(b) 1 = (2 1¡3) 2 = (3 2¡5) 3 = (1¡1 1); = (6 2¡7)(c) 1 = (1 2¡1¡2 ) 2 = (2 3 0¡1) 3 = (1 2 1 4) 4 = (1 3¡1 1);

= (7 14¡1 2)

Raspunsuri. a. 1 2 3; b. 1 1 1; c. 0 2 1 2

8. Sa se arate ca vectorii notati 1 2 respectiv 01 02 formeaza bazeintr-un spatiu aritmetic; exprimati vectorii 1 2 in cele doua baze.

(a) f1 = (1 2 1) 2 = (2 3 3) 3 = (3 7 1)g ; 01 = (3 1 4) 02 = (5 2 1) 03 =(1 1¡6)

12

(b) 1 = (1 1 1 1) 2 = (1 2 1 1) 3 = (1 1 2 1) 4 = (1 3 2 3); 01 =

(1 0 3 3) 02 = (¡2¡3¡ 5¡4) 03 = (2 2 5 4) 04 = (2 2 5 4)

Raspunsuri.

(a) 1 = ¡2701¡7102¡4103 2 = 901+2002+903 3 = 401+1202+803;(b) 1 = 2

01+

03¡ 04 2 = ¡301+ 02¡ 203+ 04 3 = 01¡ 202+ 03¡04

4 = 01 ¡ 02 + 03 ¡ 04

9. Sa se determine 2 R astfel incat vectorul v sa se poata exprima ca ocombinatie liniara a celorlalti vectori dati:

(a) = (7¡2 ) 1 = (2 3 5) 2 = (3 7 8) 3 = (1¡6 1);(b) = (9 12 ) 1 = (3 4 2) 2 = (6 8 7)

Raspunsuri. a. = 15; b. 2 R10. * Fie un spatiu liniar de dimensiune . Se stie ca, in general, intr-un

asemenea spatiu exista mai multe baze.

(a) Sa se arate ca pentru = R sau = C spatiuli are o in¯nitatede baze.

(b) Sa se dea cate un exemplu de spatiu care are exact 0 1 2 3respectiv4 baze

11. Determinati dimensiunile urmatoarelor spatii vectoriale:

(a) f(0 0 0)g(b)

©( )

¯̄ 2 Rª

(c)©( 0 + + + )

¯̄ 2 Rª

(d)©(¡¡+ + + + + ) ¯̄ 2 Rª

(e) f(0 + + + + + )j 2 Rg

Raspusuri. a. 0; b. 1; c. 2; d. 4; d. 3.

12. Sa se determine matricea de trecere de la baza de la baza la baza 0 siinversa ei unde:

(a) = f(1 2 1) (2 3 3) (3 7 1)g 0 = f(3 1 4) (5 2 1) (1 1¡6)g ;(b) 0 = f(1 1 1 1) (1 2 1 1) (1 1 2 1) (1 3 2 3)g = f(1 0 3 3) (¡2¡3¡ 5¡4) (2 2 5 4) (

13. Sa se stabileasca dimensiunea spatiului R[]R (spatiul functiilor poli-nomiale de grad mai mic sau egal cu ), sa se determine coordonatelevectorilor 1, (¡), (¡)2, ,(¡) in baza canonica apoi sa se scriematricele de trecere dintre cele doua baze.

13

14. Sa se arate ca in spatiul R3[]R sistemul de vectori

(a) =©1 2 22 23

ªeste o baza, iar coordonatele vectorului + 2

sunt (0 12 12 0);

(b) 0 =©1 + 1¡ + 2 + 3ª este o baza, iar coordonatele vec-

torului + 2 sunt (0 0 1 0)

15. * Sa se arate ca urmatorul sistem de vectori (in ce spatiu poate ¯ consid-erat?) este liniar independent: f1 cos sin cos 2 sin 2 cos sing

16. Stabiliti care dintre urmatoarele multimi de vectori este subspatiu al unuispatiu vectorial real adecvat:

(a) vectorii unui spatiu liniar n dimensional care au coordonatele numereintregi;

(b) vectorii cu acelasi punct de aplicatie, din spatiul ¯zic:

i. care au varfurile pe axele de coordonate;

ii. care au varfurile pe o dreapta data;

iii. ale caror varfuri nu sunt pe o dreapta data;

iv. care au varfurile in primul cadran;

(c) vectorii din RR ale caror coordonate veri¯ca ecuatia: 1 + 2 ++ = 0;

(d) vectorii din RR ale caror coordonate veri¯ca ecuatia: 1 + 2 ++ = 1;

(e) vectorii din RR care sunt combinatii liniare ai unor vectori dati.

Raspunsuri. a. nu; b.i. nu; b.ii. da, daca si numai daca dreapta trece prinorigine; b.iii. nu; b.iv.nu; c.da; d. nu, e. da.

17. Enumerati toate subspatiile spatiului vectorilor (cu punctul de aplicatie) din spatiul ¯zic.

Raspuns. Tot spatiul; multimea vectorilor dintr-un plan care trece prinorigine; multimea vectorilor de pe o dreapta care trece prin origine; mul-timea formata din vectorul nul.

18. Descrieti subspatiile generate de vectorii indicati (precizand spatiul realin care se lucreaza) si stabiliti dimensiunea lor:

(a) 1;

(b) (1 1) (2 2);

(c) (1 2) (2 1);

(d) (10 0¡10) (21 1 1) (11 1 11)

Raspunsuri. a. R1 b. f() j 2 Rg 1 c. R2 2; d. f(10+ 21 ¡ 10) j 2 Rg 2

14

19. FieM() Aratati ca multimea matricelor diagonala formeaza unsubspatiu liniar; care este dimensiunea acestuia?

20. In spatiul functiilor reale peste corpul R analizati dimensiunea subspatiu-lui generat de vectorii

(a) sin;

(b) sin sin2 ;

(c) sin sin2 sin

21. Determinati cate o baza pentru:

(a) subspatiul©2 + +

¯̄+ =

ªal spatiului R3[]R ;

(b) subspatiul matricelor de tip 2£2:½µ

0

¶¯̄̄̄ 2 R

¾(veri¯cati,

in prealabil ca este subspatiu);

(c) subspatiul matricelor din M(R) care au primele doua coloanenule.

22. Determinati cate o baza pentru subspatiile polinoamelor 2 R3[]Ravand proprietatea:

(a) (1) = 0;

(b) (1) = 0 si (2) = 0;

(c) (1) = 0 (2) = 0 si (3) = 0;

(d) (0) = 0, (1) = 0 (2) = 0 si (3) = 0

23. Fie =

0BB@1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 62 3 4 5 6 72 4 6 8 10 12

1CCA Sa se determine cate o baza pentru :(a) spatiul generat de liniile sale;

(b) spatiul generat de coloanele sale;

(c) ()

Raspusuri. De exemplu:

(a)£¡1 1 1 1 1 1

¢¡1 2 3 4 5 6

¢¤(b)

26640BB@1122

1CCA 0BB@1234

1CCA3775

15

(c)

26666664

0BBBBBB@1¡21000

1CCCCCCA 0BBBBBB@2¡30100

1CCCCCCA 0BBBBBB@3¡40010

1CCCCCCA 0BBBBBB@4¡50001

1CCCCCCA

37777775

24. Fie multimea matricelor de tip 4 £ 4 a caror matrice scara redusa areultima linie nula. Este un subspatiu inM44(R)?

25. Fie un spatiu vectorial , si doua subspatii , iar = f1 2 g respectiv = f1 2 g baze ale acestora.

(a) Sa se arate ca multimea \ este subspatiu al sptiului .(b) Sa se arate ca multimea + := f+ j 2 2 g este sub-

spatiu al spatiului .

(c) Sa se arate ca daca ½ si = , atunci = .

(d) * Determinati dimensiunea subspatiului + si indicati o proceduraconcreta de obtinere a unei baze.

Indicatie. O baza pentru + este formata dintr-o submultime maximalade vectori liniari independenti ai multimii f1 2 1 2 g

26. *Determinati cate o baza pentru suma, respectiv intersectia subspatiilorgenerate de multimile de vectori 1 si

01

0:

(a) 1 = (1 2 1) 2 = (1 1¡1) 3 = (1 3 3); 01 = (2 3¡1) 02 =(1 2 2) 03 = (1 1¡3)

(b) 1 = (1 1 0 0) 2 = (0 1 1 0) 3 = (0 0 1 1); 01 = (1 0 1 0)

02 =

(0 2 1 1) 03 = (1 2 1 2)

Raspusuri. a. de exemplu, pentru suma f1 2 01g iar pentru intersectiefg unde = 21 + 2 = 01 + 03 = (3 5 1) b. de exemplu, pentru sumaf1 2 3 01g iar pentru intersectie f001 002g unde 001 = 1 + 2 + 3 =01 + 02 = (1 2 2 1) si 002 = 21 + 23 = 01 + 03

2 APLICATII LINIARE

2.1 PROBLEME PROPUSE

1. Care dintre urmatoarele functii sunt aplicatii liniare?

(a) : R ! R () = unde 2 R;(b) : R ! R () = 2 unde 2 R;(c) : R ! R () = unde 2 R;

16

(d) : R ! R () = + unde 2 R;(e) : R2 ! R ( ) = ¡ ;(f) : R2 ! R ( ) = 2 ¡ 2;(g) : R2 ! R ( ) = ¡ + 1;(h) : R2 ! R ( ) = + + unde, 2 R;(i) : R! R2 () = ( 2);

(j) : R! R2 () = (4 2);

(k) : R! R2 () = (+ + ) unde 2 R;(l) : R2 ! R3 ( ) = ( + ) unde 2 RRaspuns. a., b. pentru = 0; c. pentru = 0; d. pentru = 0; h. pentru = 0; i.; k. pentru = = 0; l. pentru = 0

2. Fie : R2 ! R3 ( ) = (¡ 2+) Sa se arate ca aceasta functieeste aplicatie liniara, apoi sa se determine nucleul si imaginea sa.

Raspuns. f(0 0)g ; f(+ 2+ ) j 2 Rg 3. Fie : R3 ! R3 ( ) = ( ¡ ¡ ¡ ) Sa se determinedimensiunile nucleului si imaginii sale.

Raspuns. 1 respectiv 2

4. Fie : R3 !M23(R) ( ) =

µ

¶

(a) Sa se arate ca aplicatia de¯nita este liniara.

(b) Sa se determine o baza a imaginii aplicatiei

(c) Sa se calculeze dimensiunea nucleului acestei aplicatii.

(d) Sa se scrie matricea aplicatiei in bazele canonice.

(e) In baza canonica din R3R interschimbam primii doi vectori, iarin baza canonica din M23(R) inlocuim al doilea vector cu sumaprimilor doi. Care este matricea aplicatiei f in noile baze?

Raspuns. b.

µ1 1 11 0 0

¶

µ0 0 00 1 0

¶

µ0 0 00 0 1

¶; c. 0; d. [ ] =

0BBBBBB@1 0 01 0 01 0 01 0 00 1 00 0 1

1CCCCCCA;

e. [ ]01

02= (12)(¡1)[ ](12) =

0BBBBBB@0 1 00 2 00 1 00 1 01 0 00 0 1

1CCCCCCA.

17

5. Fie : ! o aplicatie liniara. Sa se arate ca:

(a) ker · ;(b) · ;(c) () · pentru orice ·

6. : R ! R () = unde 2 R Sa se determine constanta astfelincat functia sa ¯e izomor¯sm.

Raspuns. 2 R7. Este aplicatia : R2 ! R2 ( ) = ( ¡ + ) un izomor¯sm despatii liniare?

Raspuns. Da, deoarece dimensiunea nucleului este 0.

8. Sa se determine constantele 2 R astfel incat aplicatia liniara :R! R2 () = (+ + )

(a) sa ¯e izomor¯sm;

(b) sa aiba, in bazele canonice, matricea¡113

¢

Raspuns. a. 2 ? b. = 1 = 0 = 13 = 09. Sa se determine constantele 2 R astfel incat aplicatia liniara :

R4 !M22(R) ( ) =

µ

¶(a) sa ¯e izomor¯sm;

(b) sa aiba, in bazele canonice, matricea

0BB@1 0 0 00 2 0 00 0 3 00 0 0 4

1CCA Raspuns. a. 6= ; b. = 1 = 2 = 3 = 4

10. Sa se determine constantele 2 R astfel incat aplicatia liniara :R2 ! R2 ( ) = ( + + ) sa ¯e izomor¯sm, apoi sa sedetermine matricea acestei aplicatii in baza canonica.

Raspuns. 6= ;µ

¶

11. Aratati ca exista un singur operator liniar al spatiului real tridimensionalcare asigura urmatoarele transformari (vectorii sunt dati prin coordo-natele lor intr-o anumita baza): (2 3 5) 7! (1 1 1) (0 1 2) 7! (1 1¡1) (1 0 0) 7! (2 1 2) ; determinati matricea operatorului in baza in care suntdate coordonatele vectorilor.

Raspuns.

0@2 ¡11 61 ¡7 42 ¡1 0

1A18

12. Sa se determine dimensiunea spatiului L(RR)R13. Sa se determine dimensiunea spatiului L(R2R)R

14. Se stie ca o aplicatie liniara intre spatiile vectoriale R2[]R si R3[]Rrealizeaza transformarile: 1 7! 1 + 7! 1 + 2 2 7! 1 + 3

(a) In ce se transforma vectorul 1¡ 13+ 232?(b) Care este matricea acestei aplicatii in bazele canonice?

(c) Determinati dimensiunea imaginii.

15. Fie =

8<:1 =0@100

1A 2 =

0@110

1A 3 =0@¡101

1A9=; si0 = ©01 = ¡21¢ 02 = ¡11¢ªbaze in R3R respectiv R2R iar 2 L(R3R2) astfel incat (1) =01 ¡ 02 (2) = 02 (3) = ¡01 + 02

(a) Sa se scrie matricea aplicatiei in perechea de bazele 0.(b) Sa se determine (1 ¡ 2 + 3)(c) Sa se calculeze dimensiunea nucleului aplicatiei .

(d) Sa se scrie matricea aplicatiei in bazele canonice.

(e) * Sa se determine un subspatiu al spatiului R3R pentru carerestrictia j sa ¯e izomor¯sm.

16. Fie si doua spatii vectoriale. Sa se arate ca spatiile date suntizomorfe daca si numai daca ele au aceasi dimensiune.

17. Fie 2N¤ Sa se determine 2N pentru care exista 2 L(RR[])a carei matrice in bazele canonice este matricea unitate.

18. Demonstrati ca operatorul de derivare : R[] ! R[] este liniar.

Determinati matricea acestuia in:

(a) baza canonica f1 g ;(b) baza

n1 ¡1!

(¡)22! (¡)

!

o unde este un numar real.

19. Operatorul liniar are, in baza = f1 2 g matricea [ ]. Cetransformari va suferi aceasta matrice daca interschimbam vectorii si?

20. Un operator liniar are matricea

0BB@1 2 0 13 0 ¡1 22 5 3 11 2 1 3

1CCA in baza f1 2 3 4g

Sa se determine matricea operatorului in baza:

19

(a) f1 3 2 4g ;(b) f1 1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4g

Raspunsuri. a.

0BB@1 0 2 12 3 5 13 ¡1 0 21 1 2 3

1CCA b.0BB@¡2 0 1 01 ¡4 ¡8 ¡71 4 6 41 3 4 7

1CCA 21. Matricea operatorului : R2 ! R2 in baza = f1 = (1 2) 2 = (2 3)g

este

µ3 54 3

¶ iar matricea operatorului : R2 ! R in baza 0 = f01 =

(3 1) 02 = (4 2)g esteµ4 66 9

¶ Sa se determine matricea operatorului

+ in baza 0

Raspuns.

µ44 44¡59

2 ¡25¶

22. Matricea operatorului : R2 ! R2 in baza = f1 = (¡3 7) 2 =(1¡2)g este

µ2 ¡15 ¡3

¶ iar matricea operatorului : R2 ! R in baza

0 = f01 = (6¡7) 02 = (¡5 6)g esteµ1 32 7

¶ Sa se determine matricea

operatorului ± in baza canonicaRaspuns.

µ109 9334 29

¶

3

20