Constantin Ptrcoiu

69

P R O B A B I L I T I

INTRODUCERE

Teoria probabilitilor s-a nscut din curiozitatea unui mare amator al jocurilor de noroc : cavalerul de Mr (1607-1684). Acesta a apelat la Blaise Pascal (1623-1662) pentru rezolvarea unor probleme aprute n practica acestor jocurilor de noroc .O dat cu corespondena pe aceast tem stabilit ntre Pascal i Pierre Fermat (1601-1665) s-a nscut noua stiin .

n anul 1657 Christian Huyghens ( 1596-1687 ) a publicat primul tratat intitulat "Le calcul dans les jeux de hasard" i n 1966 Wilhem Gottfried Leibniz (1646-1716 ) a publicat tratatul ,, De arte combinatorie"; care au atras atenia asupra noului domeniu al matematicii.

La elaborarea conceptelor Teoriei probabilitailor un rol deosebit l-au avut matematicieni ca : Jacques Bernoulli (1654-1705) care a formulat primul legea numerelor mari , Georges Louis de Bufon (1707-1788) i Thomas Bayes (1702-1761). A urmat aportul matematicienilor : Pierre Simon Laplace (1749-1827) , Karl Friedrich Guss (1777-1855) i Adrien Marie Le Gendre (1752 -1833) ;n urma crora a rmas de ndeplinit mai curnd o sarcin de ordonare i precizare a cunotinelor acumulate .Acest lucru a fost realizat de P. Cerbiev (1796-1878), Henri Poincar (1854-1912) , Emile Borel (1871-1956) i Andrei Kolmogorov (1903-1987) .

n tiinele experimentale analizarea i verificarea concluziilor ce decurg din datele obinute pe baza observaiilor i msurtorilor efectuate, necesit folosirea pe scar larg a metodelor probabilistice;ceace a condus la o dezvoltare deosbit a Teoriei probabilitilor i a aplicaiilor ei mai ales n ultimele decenii. n prezent teoria probabilitilor a gsit noi domenii de aplicare (fizic,

Constantin Ptrcoiu

70

chimie , astronomie , medicin , statistic etc.) i a generat noi discipline tiinifice (teoria informaiei, teoria deciziei, teoria fiabilitaiietc).

Este cunoscut faptul c n realitatea nconjurtoare foarte multe fenomene nu sunt de natur determinist i studierea lor nu se poate face far tiina hazardului.

Vom prezenta dou astfel de de fenomene stochastice.

EXEMPLU S considerm jocul ce const n aruncarea unei monede. Rezultatul aruncrii monedei este una din feele ei denumite convenional cap respectiv pajur. La un numr foarte mare de de aruncri n, constatm c se obin aproximativ de acelai numr de ori cap respectiv pajur. Deci cele dou fee, pentru n suficient de mare apar aproximativ de 1

2n ori ceea ce ne

ndreptete s afirmm c pentru o aruncare a monedei (n=1) probabilitatea obineii fiecrei fee este 1

2.

EXEMPLUL Considerm experiena ce const n aruncarea unui zar cubic omogen avnd do din fee vopsit n gri (1 i 2); celelalte patru fee vopsite n alb. Se constat c la un numr mare de aruncri n, se obin de aproximativ

31 n ori o fa gri i de

32 n

ori o fa alb. Acest lucru ne ndreptete s spunem c la o aruncare a zarului (n=1) probabilitatea apariiei unei fee gri este

31

iar probabilitatea apariiei unei fee vopsit n gri

este32

. Din cele n aruncri n ambele cazuri se obine o fa de n =

1 n ori ceeace ne ndreptete s spunem c la o aruncare, probabilitatea obinerii unei fee este egal cu 1; deci probabilitatea

Constantin Ptrcoiu

71

evenimentului sigureste 1. Se observ c suma probabilitilor celor dou evenimente contrare fa alb, fa gri; este 1.

Frecvena empiric a apariiei unei fee gri (n acest caz 1 sau 2), este raportul dintre numrul de apariii ale faei gri mprit la numrul total de aruncri ale zaului. Probabilitatea apariiei unei fee gri este limita frecvenei empirice, deci frecvena empiric a apariiei unei fee gri converge (cnd numrul de aruncri crete) ctre probabilitatea apariiei unei fee gri egal cu

31

. In figura urmtoare

vom ilustra acest lucru pentru 1000 de aruncri ale zarului.

Fig. 1. Apariia feei 1 sau 2 n 1000 de aruncri ale unui zar.

Evident, n ambele exemple de mai sus, este vorba de jocuri sau experiene aleatoare ( a cror efectuare o vom numii prob ), adic experiene ale cror rezultate posibile se cunosc, ns nu se poate spune cu certitudine nainte de efectuarea lor, care din rezultatele posibile se vor produce.

Probabilitatea msoar deci ansa de realizare a evenimentelor legate de astfel de experiene aleatoare.

Constantin Ptrcoiu

72

n cele dou exemple am prezentat dou experiene aleatoare cu un numr finit de cazuri posibile. n relitate exist i situaii n care pot fi o infinitate de rezultatele posibile. In concluzie, calculul probabilitilor este tiina care modeleaz fenomene aleatoare. Evident, orice modelare implic o simplificare a fenomenelor dar acest lucru conduce la posibiliti de cunatificare, deci la posibiliti de a efectua calcule i de a furniza previziuni asupra evenimentelor n cauz.

1. CMP DE EVENIMENTE

DEFINIIE 1.1. Fie o experien aleatoare. Mulimea notat cu , ale crei elemente sunt rezultatele posibile ale experienei aleaoare se numete univers de probabilitate sau spau de selecie sau spaiul observaiilor sau spaiul evenimentelor elementare sau mulimea cazurilor posibile.

EXEMPLE 1.1. Dac experiena aleatoare const n aruncarea unui zar cubic

atunci: = }6,5,4,3,2,1{ . Dac experiena aleatoare const n aruncarea unei monede cu

feele notate convenional c (cap) i p (pajur) atunci: = },{ pc .

Dac experiena aleatoare const n trei aruncri consecutive ale unei monede (sau aruncarea simultan a trei monede) atunci atunci: = },,,,,,,{ ppppcpppcpcccppcpcccpccc .

Dac experiena aleatoare const dintr-un ir infinit de aruncri consecutive ale unei monede atunci: = },{ pc N (mulimea funciilor definite pe N cu valori n },{ pc ).

Dac experiena aleatoare const n observarea duratei de funcionare a unu bec electric de 60 W atunci: = [0,).

Constantin Ptrcoiu

73

OBSERVAIE 1.1. A efectua o experien aleatoare este echivalent cu a seleciona printr-un procedeu oarecare un element dintr-o mulime . De exemplu a arunca un zar este echivalent cu a seleciona un element din mulimea = }6,5,4,3,2,1{ . Problema care se pune n legtur cu o experien aleatoare este de obicei de tipul urmtor: Se alege o submulime A, a mulimii cazurilor posibile i se pune ntrebarea: rezultatul al experienei aparine sau nu lui A? Prile (submulimile) mulimii pentru care se pune acest tip de problem se numesc evenimente.

Deci vom numi evenimente anumite submulimi ale mulimii (dar nu ntotdeauna toate). Evident dac A i B sunt dou evenimente interesante atunci tot aa vor trebui s fie A (complementara mulimii A n raport cu ) i BA . In concluzie, mulimea evenimentelor trebue s fie stabil n raport cu complementara i reuniunea.

DEFINIIE 1.2. Fie o mulime nevid , P() mulimea submulimilor mulimii i P(). este un trib (sau - algebr sau -corp de pri sau corp borelian de pri) dac satisface urmtoarele trei axiome:

1. 2. Oricare ar fi A A , unde AA = 3. Oricare ar fi irul ,...,...,, 21 nAAA U

1nnA

Elementele lui (care sunt deci submulimi ale lui ) se numesc evenimente.

EXEMPLE 1.x. Fie experiena aleatoare ce const n trei aruncri consecutive ale unei monede cu feele notate convenional c , p i = },,,,,,,{ ppppcpppcpcccppcpcccpccc mulimea cazurilor posibile.

Cel mai mic trib pe care l putem defini pe este: = {,}, avnd dou elemente, deci dou evenimente.

Constantin Ptrcoiu

74

Cel mai mare trib pe care l putem defini pe este: = P(), avnd 28 elemente (evenimente), ntruct card()=8.

Se pot construi multe alte triburi pe mulimea , un alt exemplu: = {,, {ccc,ccp,cpc,pcc},{cpp,ppc.pcp,ppp}}.

OBSERVAII 1.2. Dac = i reciproc. Atunci axioma 1. din definiia precedent poate fi nlocuit cu .

S-ar pre c prima axiom din definiia 1.2. poate fi dedus din celelalte dou: A A i conform axiomei 3, = AA . Dac suntem totui ateni, constatm c axioma 1 este echivalent cu faptul c mulimea este nevid i deci are cel puin un element A.

PROPOZIIE 1.1. Fie un trib de pri ale mulimii . Atunci oricare ar fi irul de evenimente ,...,...,, 21 nAAA I

1nnA

Demonstraie ,...,...,, 21 nAAA i conform axiomei 2 rezult c ,...,...,, 21 nAAA . Atunci din axioma 3 rezult c U

1nnA .

Conform axiomei 2, U1n

nA , dar IIU111

==

n

n

n

n

n

n AAA .

DEFINIIE 1.2. Fie o mulime nevid i P() un trib ( - corp de pri). Perechea (,) se numete cmp de evenimente. Orice submulime a mulimii aparinnd lui se numete eveniment. Evenimentele care conin un singur element al mulimii se numesc evenimente elementare, se numete evenimentul sigur, se numete evenimentul imposibil.

O realizare a experienei se numete prob. Spunem c evenimentul A s-a realizat dac rezultatul probei aparine lui A.

Constantin Ptrcoiu

75

Dac este finit avnd nN elemente (card() = n), atunci avem un cmp finit de evenimente i n acest caz dac = P(), atunci are 2n elemente, din care n evenimente elementare ( formate din cte un singur element al mulimii ).

EXEMPLE 1.2.

Dac experiena aleatoare const n aruncarea unei monede cu feele notate convenional c (cap) i p (pajur), cmpul de evenimente finit (, = P()), este constituit din mulimea cazurilor posibile = },{ pc , corpul de pri = { }},{},{},{, pcpc . Avem deci 22 = 4 evenimente, din care dou evenimente elementare {c}, {p}. Evenimentul {c,p} este sigur, evenimentul este imposibil.

n cazul aruncrii unui zar avem un cmp finit de probabilitate (,=P()), mulimea cazurilor posibile = }6,5,4,3,2,1{ , = { } },...,3,2,1{},...,2,1{},6{},...,2{},1{, . Cum are 6 elemente, =P()), va avea 26 = 64 evenimente din care 6 evenimente elementare {1},{2},{3},{4},{5},{6}. Fie }6,4,2{=A (evenimentul care const n apariia unei fee pare). Dac rezultatul probei este 2 sau 4 sau 6, spunem c evenimentul A s-a realizat. Evenimentul }5,3,1{=A

O urn conine dou bile albe i o bil neagr. Se extrag din urn succesiv dou bile fr a pune bila extras napoi n urn. Avem un cmp finit de evenimente (,=P()), mulimea cazurilor posibile ={(a1,a2),(a1,n1),(a2,a1),(a2,n1), (n1,a1) ,(n1,a2)}, = {, {(a1,a2)},,{ (a1,a2),(a1,n1)},, }. Cum are A3

2=6 elemente, multimea evenimentelor

=P ()), are 26=64 elemente, din care 6 evenimente sunt elementare.

Constantin Ptrcoiu

76

n mod uzual, avem dou cazuri particulare de cmpuri de evenimente:

Cazul cnd este finit sau numrabil, de obicei lum = P() i deci cmpul de evenimente va fi (,P());

Cazul cnd este mulimea numerelor reale R, lum = B (tribul lui Borel), cel mai mic trib care conine toate intervalele reale i deci cmpul de evenimente va fi (,B).

Se poate demonstra (cu dificultate) c B P(). _______________________

Fie o experien aleatoare, mulimea cazurilor posibile i (,) cmpul de evenimente asociat. Cum evenimentele (elementele ale lui ), sunt submulimi (ale lui ), cu acestea pot fi efectuate operatiile uzuale din teoria multimilor ( , ,) i se poate vorbi de complementara unui eveniment (n raport cu ).

Pe lng limbajul ensemblist (folosit n teoria mulimilor), n operaiile cu evenimente vom introduce i un limbaj specific teoriei probabilitilor, avnd deci de-a face cu o dualitate n limbaj.

DEFINIIE 1.3. Fiind dat un cmp de evenimente (,), i dou evenimente A,B, spunem c evenimentul A implic evenimentul B dac A B.

OBSERVAIE 1.3. Dac A B realizarea evenimentului A atrage realizarea evenimentului B (dac evenimentul A se realizeaz atunci i evenimentul B se realizeaz )

PROPOZIIE 1.2. Fiind dat un cmp de evenimente (,) relaia:"" este o relaie de ordine pe multimea . Evident, dac A,B,C au loc relaiile:

1. A A

Constantin Ptrcoiu

77

2. A B i B C A C 3. A B i B A A = B.

OBSERVAIE 1.4. Relaia " " nu este total (Fiind date dou evenimente oarecare A i B nu rezult A B sau B A).

DEFINIIE 1.4. Evenimentele A i B aparinnd aceluiai cmp de evenimente se numesc echivalente dac realizarea unuia din ele atrage realizarea celuilalt.

OBSERVAIE 1.5 Evenimentele A i B sunt echivalente dac A B i B A (deci dac A=B). ________________________

Fie (,), un cmp de evenimente.

DEFINIIE 1.5. Fiind date dou evenimente A, B, evenimentul AB se numete A sau B i se realizeaz dac cel puin unul din cele dou evenimente se realizeaz.

DEFINIIE 1.6. Fie dou evenimente A, B. Evenimentul AB se numete A i B. El se realizeaz dac ambele evenimente se realizeaz simultan.

DEFINIIE 1.7. Fie evenimentul A. Evenimentul AA = se numete evenimentul contrar lui A i se noteaz A sau non A. El se realizeaz dac nu se realizeaz A.

DEFINIIE 1.8. Evenimentele A,B se numesc incompatibile dac AB = .

Evident, dou evenimente incompatibile nu se realizez simultan.

____________________________

Constantin Ptrcoiu

78

DEFINIIE 1.9. Fiind dat un cmp de evenimente (,). Se numete sistem complet de evenimente o partiie a multimii , adic o familie evenimente: Ai , (i = 1,2,...,n); disjuncte dou cte dou (AiAj = ), cu proprietatea c : =A1A2...An.

OBSERVAIE 1.4. Dac Ai , (i = 1,2,...,n), este un sistem complet de evenimente, atunci oricare ar fi evenimentul A avem: A=A=A(A1A2...An)=(AA1)(AA2)...(AAn) evenimentele AAi i = 1,2,...,n fiind incompatibile dou cte dou.

OBSERVAIE 1.4. Evenimentele elementare constituie un sistem complet de evenimente.

Aa cum am mai spus, fiind dat un cmp de evenimente, n legtur cu evenimentele sale putem folosi limbajul teoriei mulimilor sau limbajul evenimentelor (introdus prin definiiile precedente).

Legtura intre cele dou limbaje este dat de tabelul urmtor, unele din enunurile din acest tabel putnd fi uor extinse la n evenimente.

Notaii

Vocabular ensemblist

Vocabular probabilistic

A A aparine tribului A este un eveniment mulimea vid Evenimentul imposibil mulimea cazurilor posibile Evenimentul sigur

A B A este inclus n B A implic B AB A reunit cu B A sau B AB A intersectat cu B A i B

A =-A Complementara lui A Contrarul lui A. AB= A i B disjuncte A i B incompatibile

Constantin Ptrcoiu

79

PROPOZIIE 1.2. Dac (,) este un cmp de evenimente atunci oricare ar fi evenimentele A,B,C au loc relaiile: AB

AB = BA A =A

(AB) C = A (BC) AA = A A A =

A (BC) = (AB)(AC) A B = AB (De Morgan)

AB AB = BA

A = A (AB)C = A(BC)

AA = A A A =

A(BC) = (AB) (AC) A B = A B (De Morgan)

Unele din enunurile precedente se pot extinde uor la n evenimente sau la o familie numrabil de evenimente.

De exemplu, formulele lui De Morgan pentru n evenimente devin:

IUn

kk

n

kk AA

11 === respectiv UI

n

kk

n

kk AA

11 === sau pentru o familie

numrabil de evenimente: IU

Nnn

Nnn AA

= respeciv UINn

n

Nnn AA

=

Vom demonstra pentru exemplificare relaia A B = AB , folosind att limbajul ensemblist ct i limbajul evenimentelor. n limbajul mulimiilor:

x A B x E x A B x E x A x B

x A x B x A B A B A B

, , ,

,

Analog incluziunea A B AB de unde rezult egalitatea .

n limbajul evenimentelor: A B se realizeaz dac nu se realizeaz AB, deci dac nu se realizeaz nici A nici B,deci dac se realizeaz

Constantin Ptrcoiu

80

A iB ,deci dac se realizeazAB ; ceea ce nseamn c A B implicAB . Analog implicaia invers de unde rezult echivalena. EXEMPLE 1.3.

n cazul aruncrii unei monede cmpul de evenimente (,), este dat de = },{ pc i = { }},{},{},{, pcpc . Evident, au loc egalitile:

==== }{}{,}{}{},{}{},{}{ pcpccppc Deci contrarul evenimentului }{c este }{p i reciproc, evenimentele }{c i }{p sunt elementare i constitue un sistem complet de evenimente

O urn conine dou bile albe i dou bile negre .Se extrag din urn succesiv dou bile fr a pune bila extras inapoi n urn.

Mulimea cazurilor posibile are A43 =12 elemente.

={ (a1,a2), (a1,n1), (a1,n2) , (a2,a1), (a2,n1), (a2,n2) , (n1,a1), (n1,a2 ), (n1,n2), (n2,a1), (n2,a2), (n2,n1) } unde am notat bilele albe a1, a2 i bilele negre n1,n2.

Cmpul de evenimente asociat are 212 evenimente din care 12 sunt evenimente elementare. Fie evenimentele (neelementare): A={(n1,n2),(n2,n1)}, B ={(a1,a2),(a2,a1)},

C={(n1,a1),(n1,a2),(n1,n2),(n2,a1),(n2,a2),(n2,n1)}, D={(a1,a2),(a1,n1),(a1,n2),(a2,a1) ,(a2,n1),(a2,n2)}. Se pot verifica imediat relaiile: AB=, A C,B D, C= D , D=C

Deci, evenimentele A i B sunt incompatibile, evenimentul A implic B; B implic D,contrarul lui C este D i contrarul lui D este C. Evenimentul A se realizeaz dac ambele bile extrase sunt negre , evenimentul B se realizeaz dac ambele bile extrase sunt albe evenimentul C se realizeaz dac prima bil extras este neagr ,

Constantin Ptrcoiu

81

evenimentul D se realizeaz dac prima bil extras este alb Evident nerealizarea lui C atrage realizarea lui D(C D) i nerealizarea evenimentului D atrage realizarea evenimentului C(D C) de unde C= D, D=C. Evenimentul C-A={(n1,a1)(n1,a2),(n2,a1),(n2,a2)} Evenimentul C-A = C A acest eveniment realizandu-se dac se realizeaza C si A.

EXERCIII 1.1.

1.Fie (,) un cmp de evenimente i A, B. S se demonstreze c:

a) B(A-B) =; b) A-B = A-(AB); c) AB A

d) AB = A(B-A); e) A = B (AB) dac B A

2. Stiind c toate evnimentele care intervin aparin aceluiai cmp de evenimente (,), s se demonstreze urmtoarele relaii:

1) A A A A A An n1 2 1 2 = ... ... , (nN,n2)

2) A A A A A An n1 2 1 2 = ... ... , (nN,n2)

3) A A A A A A A A A An n = ( ... ) ( ) ( ) ... ( )1 2 1 2 (nN,n2)

4) A A A A A A A A A An n = ( ... ) ( ) ( ) ... ( )1 2 1 2 (nN,n2)

5) A A=

6) A B A B =

Constantin Ptrcoiu

82

3. S se demonstreze c dac evenimentul A implic evenimentul B atunci contrarul evenimentului B implic contrarul evenimentului A. Reciproca este adevarat ?

4. Dac evenimentul "A sau B" este echivalent cu B, evenimentul "A i B" este echivalent cu A? Reciproca este adevarat?

5. Dac evenimentele A, B sunt incompatibile, care din urmatoarele relaii:

(a) AB = ; (b) AB = A; (c) B A ; (d) AB = ; (e) AB = .

sunt adevrate?

6. O urn conine 5 bile albe i 3 bile negre.Se extrag din urn dou bile, notndu-se culorile.

a) Cte evenimente elementare are cmpul de evenimente corespunztor dac prima bil extras nu este pus napoi n urn ?

b) Cte evnimente elementare are cmpul de evenimente corespunzator dac prima bil extras este pus napoi n urn ?

Fie A evenimentul care se realizeaz dac cel puin una din bilele extrase este alb, B evenimentul care se realizeaz dac ambele bile extrase sunt negre.

Cte evenimente elementare implic evenimentul A i cte implic B n cazul (a), respectiv (b) ?

Constantin Ptrcoiu

83

2. PROBABILITATE. CMP DE PROBABILITATE

.DEFINIIE 1.9. Fie (,) un cmp de evenimente. Se numete probabilitate pe cmpul de evenimente (,), o functie P: [0,1] satisfcnd urmtoarele dou axiome: 1) P()=1

2) Oricare ar fi irul de evenimente ,...,...,, 21 nAAA , disjuncte dou cte dou ( jiAA ji , ), avem

)(11

kkk

k APAP

=

=

U .

(seria

=1

k)( kA este convergent i are suma

U

1kkAP )

DEFINIIE 1.9. Tripletul (,,P) se numete cmp de probabilitate. Dac cmpul de evenimente (,) este finit cmpul de probabilitate (,,P) se numete cmp finit de probabilitate.

OBSERVAIE 1.4. Axioma 2 din definiia probabilitii se numete proprietatea de - aditivitate a probabilitii. Dac cmpul de probabilitate este finit adic mulimea cazurilor posibile este finit, axioma 2 poate fi nlocuit cu proprietatea de aditivitate:

P(AB) = P(A) + P (B) oricare ar fi evenimentele A, B disjuncte (AB ).

EXEMPLU 1.3. Fie experiena aleatoare ce const n trei aruncri consecutive ale unei monede cu feele notate convenional c (cap), p (pajur) i

= },,,,,,,{ ppppcpppcpcccppcpcccpccc mulimea cazurilor posibile. Fie cmpul de evenimente (,) unde tribul:

= {,, {ccc,ccp,cpc,pcc},{cpp,ppc,pcp,ppp}}.

Constantin Ptrcoiu

84

Definim funcia P: [0,1] prin: P()=1, P()=0, P({ccc,ccp,cpc,pcc})=

31

, P ({cpp,ppc,pcp,ppp})=32

.

Se verific fr dificultate c P este o probabilitate.

TEOREM 1.3. Fie (,,P) un cmp de probabilitate. Atunci 1. P ()=0. 2. Dac nAAA ,...,, 21 sunt dou cte dou disjuncte, atunci

P( nAAA ...21 ) = P( 1A ) + P( 2A ) + + P( nA ). n particular P( A ) = 1- P(A).

3. Dac BA, i BA atunci P(A) P(B). Demonstraie.

1. Aplicnd axioma de aditivitate a probabilitii irului constant nA = , care este format din evenimente dou cte dou

disjuncte obinem o serie convergent de termen general P() constant. Cum termenul general al unei serii convergente are limita 0, trebue s avem P()=0.

2. Prima parte se obine aplicnd axioma de aditivitate 2 pentru irul nAAA ,...,, 21 , ....21 === ++ nn AA i utiliznd P() = 0. Aplicnd egalitatea obinut pentru AAAAn === 21 ,,2 obinem 1= P() = P(A) + P( A ), adic P( A )=1- P(A).

3. Dac BA putem scrie )( ABAB = ca reuniune a dou mulimi disjuncte, i aplicnd punctul precedent al teoremei avem P(B) = P(A) + P )( AB P (A)

TEOREM 1.3. Fie (,,P) un cmp de probabilitate. Atunci 1. Fie do evenimente nu neaprat disjuncte A, B . Avem:

P(AB) = P(A) + P(B) - P(AB). Dac nAAA ,...,, 21 unt evenimente nu neaprat disjuncte atunci P( nAAA ...21 ) P( 1A ) + P( 2A ) + + P( nA ).

Constantin Ptrcoiu

85

2. Continuitate cresctoare i descresctoare: Fie un ir ,...,...,, 21 nBBB cresctor ( 1,1 + nBB nn ) sau un ir

descresctor ( 1,1 + nBB nn ) de evenimente ale lui Atunci, n cazul irului cresctor avem:

+nlim P( nB ) = P(U

1nnB ) iar n cazul irului descresctor

+nlim P( nB ) = P(I

1nnB ).

3. Subaditivitate numrabil: Fie un ir ,...,...,, 21 nBBB de

evenimente ale lui . Atunci seria

=1)(

kkBP este divergent

sau este convergent caz n care suma sa este

U

1nnBP .

Demonstraie. 1. )()( ABBAB = , = )()( ABBA . Rezult

P(B) = P(AB) + P(B-A). Analog P(A) = P(AB) + P (A-B).

Scriem apoi )()()( BAABBABA = ca reuniune de trei mulimi disjuncte dou cte dou, de unde: P )( BA = P )( BA + P )( AB + P )( BA = = P )( BA + (P(B)- P )( BA ) + (P(A) - P )( BA )= = P(A) + P(B) - P )( BA . Vom demonstra prin inducie a doua relaie a acestui punct. Pentru

1=n inegalitatea este adevrat. Presupunem inegalitatea adevrat pentru n i lum: nAAAA = ...21 , 1+= nAB . Vom avea: P )( BA = P(A) + P(B) - P )( BA P(A) + P (B)

=

n

kkAP

1)( + P( 1+nA ).

Constantin Ptrcoiu

86

2. In cazul irului cresctor, punem 11 BA = i pentru 1,2 = nnn BBAn . Termenii irului ,...,...,, 21 nAAA sunt atunci doi

cte doi disjunci i deci seria:

=1)(

kkAP este convergent. Aplic and punctul 2 al teoremei

precedente avem:

P( nB ) = P( nAAA ...21 ) ==

n

kkAP

1)( .

Trecnd la limit obinem:

+nlim P( nB ) =

=1)(

kkAP

Dar, conform axiomei de aditivitate al doilea membru este P(U

1kkA ) = P(U

1nnB ).

Pentru cazul descrector, se poate ajunge la cazul precedent prin trecere la complementare, cu ajutorul regulelor lui De Morgan: complementara reuniunii este intersecia complementarelor:

+nlim P( nB ) = 1-

+nlim P( nB ) =1- P(U

1nnB ) = 1-(1- P(I

1nnB )) =

= P (I1n

nB ).

3. Sirul evenimentelor definit prin nn BBBC = ...21 este cresctor i i putem aplica punctul 2. Utiliznd de asemenea aditivitatea finit avem:

P(U1n

nB ) =+n

lim P( nC ) +n

lim (P( 1B ) + P( 2B ) + + P( nB )) =

=

=1)(

kkBP .

CONSECINE Din demonstraia punctului 1. al teoremei precedente avem: P(A-B) = P(A)- P (AB), de unde

P(A-B) = P(A)- P(B), dac B A

Constantin Ptrcoiu

87

EXERCIII 1.1. 1. Fie A, B, C trei evenimente aparinnd aceluiai cmp de

probabilitate (,,P) . Demonstrai c: P( CBA ) = P(A) +P(B) + P(C) - P(AB) - P(BC) - P(CA) + P (ABC)

2. Fiind date n evenimente nAAA ,...,, 21 aparinnd aceluiai cmp de probabilitate (,,P) demonstrai egalitatea: P = )...( 21 nAAA

)()1(...)()()(1111I

n

ii

n

nkjikji

njiji

nii AAAAAAA

=

Constantin Ptrcoiu

88

Dac pentru orice eveniment A , punem P (A) =

Axxp ,

atunci (,PPPP(),P) este un cmp de probabilitate.

Reciproc, orice probabilitate P pe cmpul (,PPPP()) este de forma precedent cu px = P ({x}).

EXERCIIU S se determine cmpul de probabilitate (,,P) dac = {1,2,3,4,} i probabilitile evenimentelor elementare sunt proporionale cu numerele 5,7,6,9.

Rezolvare. fiind dat se cunoate i tribul =PPPP(),. Probabilitatea oricrui eveniment fiind cunoscut dac se cunosc probabilitile evenimentelor elementare rmne s determinm doar probabilitile evenimentelor elementare.

Fie : P ({1}) = p, P ({2}) = q, P ({3}) = s, P ({4}) = t. Atunci p + q + s + t = 1 i din ipotez rezult c: p q s t p q s t5 7 6 9 5 7 6 9

127

= = = =

+ + +

+ + += i deci

p q s t= = = = = =527

727

627

29

927

13

, , ,

Un caz particular important - probabiliti echidistribuite, este dat de propoziia urmtoare:

PROPOZIIE Fie (,=PPPP(),P) un cmp finit de probabilitate, evenimentele elementare fiind egal probabile. Atunci probabilitatea oricrui eveniment este raportul dintre numrul evenimentelor elementare incluse n evenimentul respectiv (cazuri favorabile) i numrul total al evenimentelor elementare (cazuri posibile), adic :

P (A) = posibilecazurinr

favorabilecazurinrcard

Acard.

.

)()(

=

Constantin Ptrcoiu

89

Demonstraie : Fie = },...,,{ 21 n i },...,,{ 21 kiiiA = un eveniment oarecare. Dac evenimentele elememtare au aceeai probabilitate, cum P ( }{ 1 ) + P ( }{ 2 )++P ( }{ n ) =1, rezult c P ( }{ i )=

n

1, i{1,2,...,n}. Atunci

P (A) = P ( },...,,{21 kiii

) = P ( }{...}{}{21 kiii

) =

P ( }{ i ) + P ( }{ 2i )++P ( }{ ki ) = nk

, c.t.d.

EXEMPLE 1.3. 1.Considerm aruncarea unui zar "perfect". Mulimea cazurilor posibile ={1,2,3,4,5,6}, = PPPP() are 26 = 64 evenimente. Avem un cmp finit de probabilitate.

Cele 6 evenimentele elementare au aceeai probabilitate 61

(renumerotarea feelor zarului nu influenteaz rezultatul probei, zarul fiind considerat "perfect"). Fie A evenimentul care se realizeaz dac se obine o fa par.

(A={2,4,6}) Atunci P (A)= 21

63

= deoarece exist trei cazuri

favorabile (evenimente elementare incluse n A) i ase cazuri posibile (evenimente elementare).

2.Considerm aruncarea unei pioneze.Mulimea cazurilor posibile = {P1,P2} unde am notat cu P1, respectiv P2 cele dou poziii posibile ale pionezei (P1 : pioneza cu cu vrful atingnd planul orizontal si P2 : pioneza cu vrful pe vertical). Suntem n cazul unui cmp finit de probabilitate. Evenimentele elementare {P1},{P2} nu au aceeai probabilitate. O probabilitate pe cmpul de evnimente asociat este dat, dac se dau probabilitaile celor dou evenimente elementare. Cum {P2} este contrarul lui {P1}; probabilitatea este dat dac se d probabilitatea evenimentului {P1}. Dac P({P1}) = p (0,1) P {P1})=1-p, (P ()=1, P ()=0).

Constantin Ptrcoiu

90

3.O urn conine patru bile albe(notate cu a1,a2,a3,a4) i dou bile negre(notate cu n1,n2). Din urna se extrage o bil. Mulimea cazurilor posibile = {a1,a2,a3,a4, n1,n2. Evenimentele elementare

Ai={ai},i=1,2,3,4; Bi={ni}, i=1,2 au aceeai probabilitate

61

(revopsirea i renumerotarea bilelor nu influeneaz rezultatul probei) . Exist deci ase cazuri posibile.. Fie A evenimentul care se realizeaz cnd bila obinut este alb (A={a1, a2, a3, a4 }) i B evenimentul care se realizeaz dac bila obinut este neagr (B={n1,n2}). Exist patru cazuri favorabile lui A i dou cazuri favorabile lui B. avem P (A) =

32

64

= , P (B) =31

62

= .

4. O urn conine patru bile albe i dou bile negre. Se extrag simultan dou bile din urn. Fie A evenimentul care se realizeaz dac cele doua bile sunt albe i B evenimentul care se realizeaz dac una din bile este alb i cealalt neagr. S se calculeze probabilitile celor doua evenimente.

Exist dou posibilitti de alegere a evenimentelor elementare deci a cmpului de evenimente asociat (i a cmpului de probabilitate respectiv).

i). Presupunem c lum n considerare ordinea notrii culorii celor dou bile. Exist atunci A6

2=30 evenimente elementare egal

probabile (cazuri posibile) i A42 =12 evenimente elementare incluse n A(cazuri favorabile evenimentului A) i deci

P(A) = 52

3012

= .

Cazurile favorabile evenimentului B sunt (a1,n1) (a1,n2) (n1,a1) (n1,a2) (n1,a3) (n1,a4) (a2,n1) (a2,n2) (n2,a1) (n2,a2) (n2,a3)(n2,a4) (a3,n1) (a3,n2) (a4,n1) (a4,n2)

Constantin Ptrcoiu

91

i deci P (B) =158

3016

= .

ii). Presupunnd c nu notm ordinea de extragere a celor dou bile, exist atunci C 6

2=15 evenimente elementare i C 42 =6

cazuri favorabile pentru A. Rezult :

P (A) = 52

156

= .

Pentru B avem 8 cazuri favorabile: { a1,n1},{ a1,n2} { a2,n1},{ a2,n2} { a3,n1},{ a3,n2} { a4,n1},{ a4,n2} i deci:

P (B) =158

.

5. ntr-un hotel 49% din turiti vorbesc germana , 27% vorbesc franceza i 12% vorbesc i germana i franceza. Care este probabilitatea ca alegnd la ntmplare un turist din acest hotel (orice turist are aceeai ans de a fi ales.) , acesta : i)S vorbeasc cel puin una din cele dou limbi . ii)S vorbeasc numai franceza

Soluie. Suntem n cazul unui cmp de probabilitate finit cu evenimentele elementare egal probabile Fie evenimentele: G:turistul vorbete germana; F:turistul vorbete franceza; S:turistul vorbete cel puin una din cele dou limbi; N:Turistul vorbete numai franceza. i). Evident evenimentele G i F nu sunt incompatibile i deci : P (S) = P (GF)= P (G)+P(F)- P (GF)=0,49+0,27-0,12=0,64 Observaie:Pentru a avea o imagine intuitiv putem folosii diagrama Venn asociat evenimentelor G i F. ( este evenimentul sigur)

Constantin Ptrcoiu

92

Se poate observa de exemplu c: S = G(F-(FG)) i deci P (S)=0,49+0,15=0,64

ii). P (N)= P (FG )= P (F)- P (FG)=0,27-0,15=0,12 Justificarea formulei de mai sus se poate face n modul urmtor:

P (F)= P [(FG)(FG )] = P (FG)+ P(FG ) deoarece evenimentele din paranteza dreapt sunt disjuncte. Deci P (FG ) = P (F) - P (FG) pentru orice evenimente F,G. Intuitiv acest rezultat se observ imediat pe diagrama Venn corespunztoare celor trei evenimente.

6. ntr-un liceu exist trei cercuri sportive:Handbal, Fotbal i Tenis. Un elev care particip la cel puin unul din aceste cercuri l vom numii sportiv. Repartizrea elevilor n aceste cercuri este dat de urmtorul tabel:

Handbal Fotbal Tenis Handbal i Fotbal

Handbal i Tenis

Fotbal i Tenis

Handbal Tenis i Fotbal

18% 35% 9% 7% 6% 8% 4% Alegnd la ntmplare un elev din liceu (oricare elev avnd aceeai ans s fie ales ) care este probabilitatea ca s fie ales un sportiv?

Constantin Ptrcoiu

93

Ca i n problema precedent pentru formarea unei imagini intuitive, prezentm alturi diagrama Venn corespunztoare evenimentelelor care intervin Fie evenimentele H:elevul particip la cercul de handbal F: elevul particip la cercul de fotbal T: elevul particip la cercul de tenis S: elevul este sportiv. Vom avea atunci:

P (HFT)= P(H) + P(F) + P (T) - P (HF) - P (HT) - P (TS) + P (HFT) = 0,18+0,35+0,9-0,7-0,6-0,8+0,4=0,45.

Evenimentul S se poate scrie ca reuniunea unor evenimente disjuncte a cror probabilitate este cunoscut i s se calculeze i n acest mod probabilitatea evenimentului S .

7. ntr-un ora cinci prieteni M,N,P,Q,R au hotrt simultan i independent unul de cellalt s mearg la un cinematograf .Dac n ora exist ase cinematografe i oricare are aceeai probabilitate de a fi ales , s se calculeze probabilitile urmtoarelor evenimente:

A:toi cinci s aleag acelai cinematograf. B:toi cinci s aleag cinematografe diferite

Constantin Ptrcoiu

94

C:primii doi (M,N) s aleag acelai cinematograf i ceilali cinematografe diferite de cel al primilor doi i diferite ntre ele. D: doi s aleag acelai cinematograf i ceilali cinematografe diferite de cel al celor doi i diferite ntre ele. R:cel puin doi s aleag acelai cinematograf.

Soluie. Suntem n cazul unui cmp de probabilitate finit cu evenimente elementare egal probabile. Un eveniment elementar (un caz posibil)este determinat de o alegere a celor cinci. A-i trimite pe cei cinci prieteni la cinematograf nseamn a asocia fiecruia un cinematograf. Dac Ci ; i =1,2,3,4,5,6 sunt cele ase cinematografe un caz posibil va fi deci o coreponden ,de la mulimea celor cinci prieteni la mulimea celor ase cinematografe,cu condiia ca la fiecare element al mulimii prietenilor s corespund un element i numai unul din mulimea cinematografelor. Deci un caz posibil va fi o funcie de la mulimea celor 5 prieteni la mulimea celor 6 cinematografe.Se tie atunci c exist 65 astfel de funcii deci exist 65 cazuri posibile .Exist 6 cazuri favorabile evenimentului A i deci

P (A) = 45 61

66

= .

Un caz favorabil evenimentului B este o funcie injectiv de la mulimea celor cinci prieteni la mulimea celor ase cinematografe.Exist A65 astfel de funcii injective. Deci

P (B) = 556

6A

Raionnd ca mai sus :

P (D)= 536

66 A ; P (R) = 5

36

25

6AC

R este contrarul lui B deci:

P (R) =1- P (B) = 1- 556

6A

Constantin Ptrcoiu

95

EXERCII

1). Evenimentele A, B aparin unui cmp finit de probabilitate (,,P). a).Se d: P (A)=0,6 i P (AB)=0,4. Se cere P (A B ).

b).Se d: P ( A)=0,5; P (B )=0,6 i P (AB)=0,2. Se cere: P (AB)

c).Se d: P ( A)=0,8 i P ( A B ). Se cere : P ( AB)

d).Se d: P (A)=0,5, P (B)=0,6 i P ( AB)=0,2 Se cere: P (AB)

e).Se d : AB=; Se cere: P (AB)

f). Se d : P )( BA =0,6 . S se expice de ce P (A)0,6 i P (B)0,4

g).Diferena simetric a dou evenimente Ai B este definit prin:

A B A B B A = ( ) ( ) .

Sesizai c acest eveniment se realizeaz dac se realizeaz exact unul din evenimentele A,B. Demonstrai c:

P (AB) = P (A) + P (B)-2 P (AB)

2). Studentul DAN alege la ntmplare din alfabetar, trei din cele 27 de litere, pe care le aeaz n ordinea extragerii n faa sa. Care este probabilitatea s obin literele din care este format numele su .( toate literele au aceeai ans s fie alese).

Constantin Ptrcoiu

96

3). Cei 11 juctori ai unei echipe de fotbal avnd tricouri numerotate de la 1 la 11 se aeaz n mod ntmpltor pe un rnd. Care este probabilitatea ca n dreapta juctorului cu numrul 7 s fie cel cu numrul 11?

4). Se arunc trei zaruri perfecte. Care este probabilitatea ca suma punctelor obinute s fie : i) egal cu 15; ii) mai mare ca 14; iii) mai mic dect 20?

3. PROBABILITATE CONDIIONAT

Fie (,, P) un cmp de probabilitiate

DEFINIIE 1.9. Fiind date dou evenimente A,B, P(B)0, se numete probabilitate a evenimentului A condiionat de evenimentul B, raportul notat: P A B P A B

P B( / ) ( )( )=

OBSERVAIE 1.9. Probabilitatea evenimentului A condiionat de evenimentul B se poate interpreta ca probabilitate a evenimentului A tiind c s-a realizat evenimentul B.

Vom justifica observaia precedent n cazul unui cmp finit de probabilitate cu evenimentele elementare egal probabile. Fie n numrul cazurilor posibile ,j numarul cazurilor favorabile evenimentului B i k numarul cazurilor favorabile evenimentului AB.

Constantin Ptrcoiu

97

tiind c s-a realizat B (s-a realizat unul din cele j evenimente elementare incluse n B), probabilitatea realizarii lui A va fi kj deoarece k din cele j evenimente elementare sunt incluse i n A.

Dar kj

knjn

P A BP B

P A B= = =( )( ) ( / )

EXERCII

1. Se dau dou urne, prima avnd dou bile albe i trei negre , a doua cinci bile albe i apte bile negre. Se alege la ntmplare o urn din care se extrage o bil. Fie A evenimentul realizat dac bila obinut este alb i B evenimentul realizat dac

extragerea s-a efectuat din urna a doua. Atunci P(A/B)= 512

2. O familie are doi copii dintre care o fat. Care este probabilitatea c cellalt copil s fie biat? Care este probabilitatea c cellalt copil s fie biat dac fata a fost primul copil al familiei? Presupunem c probabilitatea unui nou nscut este aceeai indiferent de sex sau de ordinea naterii. Atunci mulimea cazurilor posibile pentru o familie cu doi copii este:

={fb,bf,ff,bb}. Cum familia are o fat, nseamn c s-a realizat evenimentul

A1={fb,bf,ff}. Fie B1={fb,bf} evenimentul ca familia s aib un biat i o fat. Atunci prima ntrebare solicit probabilitatea evenimentului B1 condiionat de evenimentil A1.

P(B1/A1) = 32

4321

}),,({}),({

)()(

1

11===

ffbffbPbffbP

APBAP

Constantin Ptrcoiu

98

Puteam calcula probabilitatea de mai sus i cu ajutorul observaiei precedente: tiimc s-a realizat evenimentul A

probabilitatea lui B1 condiionat de A1 este 32

(dou cazuri favorabile din cele trei posibile).

In cazul al doilea se cere P(B2/A2) cu A2={fb,ff}i B2={fb}. Se obine P(B2/A2)= 2

1

EXERCII

1.Studiindu-se traficul pe o autostrad (n S.U.A) s-au obinut urm-toarele rezultate: Probabilitatea ca un ofer s fi implicat intr-un accident este: 0,000 000 097 (deci P(accident)=0,000 000 097) Probabilitatea ca un ofer s fie intoxicat(s fi consumat alcol,

droguri sau medicamente contraindicate)este:0,000 39. (deci P(intoxicat)=0,000 39) Probabilitatea ca un ofer s fie n acelai timp i implicat n

acident i intoxicat este:0,000 000 041. (deci P(accidentintoxicat)=000 000 041)

Avem atunci:

Constantin Ptrcoiu

99

P PP

P PP

P PP

P PP

(" "/" ") (" (,

,

,

( ( (,

,

(" ( )(( (

(

accident intoxicat accident" "intoxicat")"intoxicat")

000 000 041

"intoxicat"/"accident) = "intoxicat" "accident")"accident")

000 000 0410,000 000 097

accident"/"neintoxicat") = "accident" "intoxicat""intoxicat")

"accident") - "accident" "intoxicat")1- "intoxicat")

0,000 000 097 - 0,000 000 0411- 0,000 39

0,000

=

=

= =

=

= =

=

=

=

= =

00 00039

0 000105

0 0 423

000 056

:

Din egalitatea a doua rezult: 42,3% din persoanele implicate n accidente sunt intoxicate

Din prima i a treia rezult c un ofer intoxicateste de : 0,000 105/0,000 000 056 =1877 mai expus unui accident dect unul neintoxicat.

2.Se dau patru cri de joc:As de pic ,As de trefl ,Dam de pic i Dam de trefl. Crile se pun cu faa n jos,se amestec i se aleg dou din ele. Fie evenimentele: -B:s-au obinut doi ai -C:n crile alese este asul de pic -D: n crile alese este cel puin un as.

Atunci vom avea:

Constantin Ptrcoiu

100

P B C P B CP C

P B D P B DP D

( / ) ( )( )

( / ) ( )( )

=

= =

=

= =

1612

13

1656

15

Deci dac tim c n cele dou cri exist un as specificat probabili-tatea ca i al doilea s fie as este mai mare dect dac tim c n crile alese este un as nespecificat. NEATEPTAT!

CONSECIN Din definiia probabilitii condiionate rezult : P(AB)=P(B) P(A/B) sau (schimbnd rolurile lui A i B dac P(A)>0 ) : P(AB)=P(A) P(B/A) i deci P(B) P(A/B)=P(A) P(B/A)

PROPOZIIE Aplicaia P( . /B) : [0,1] A P(A/B) este o probabilitate pe .

PROPOZIIE (Formula probabilitii totale) Fie (,, P) un cmp de probabilitiate. Dac Ai,(i = 12....n) este un sistem complet de evenimente cu probabiliti nenule atunci probabilitatea unui eveniment oarecare A va fi dat de formula:

P A P A P A Ai ii

n

( ) ( ) ( / )==

1

Demonstraie: Evident A = A = A A A A A A A A A An n = ( ... ) ( ) ( ) ... ( )1 2 1 2 i evenimentele (AAi), i=12..n, sunt incompatibile dou cte dou. Deci, conform consecinei precedente:

Constantin Ptrcoiu

101

P A P A A P A P A Ai i ii

n

i

n

( ) ( ) ( ) ( / )= ===

11

PROPOZIIE n condiile propoziiei precedente avem:

P A A P A AP A

P A P A A

P A P A Ai

i i i

k kk

n( / ) ( )( )

( ) ( / )( ) ( / )

=

=

=

1

, i = 1,2,.,n

(Formula lui Bayes)

EXERCIIU Se dau trei urne avnd compoziiile date de tabelul urmtor:

Urna Numrul bilelor albe Numrul bilelor negre U1 5 2 U2 4 3 U3 6 8

Se alege la ntmplare o urn din care se extrage o bil. Se cere: i) Probabilitatea ca bila extras s fie alb ii) tiind c bila extras a fost alb se cere probabilitatea ca acesta s provin din urna U2

Fie Ai (i=1,2,3) evenimentul realizat dac extracia se face din urna Ui i A evenimentul realizat dac bila extras este alb. Evident evenimentele Ai (i = 1,2,3) formeaz un sistem complet de evenimente.

146)/(,

74)/(,

75)/(,

31)()()( 321321 ====== AAPAAPAAPAPAPAP

i deci conform formulei probabilitii totale avem:

P A P A P A Ai ii

( ) ( ) ( / )= = + + ==

1

3 13

57

13

47

13

614

47

Constantin Ptrcoiu

102

Probabilitatea cerut la punctul ii) va fi conform formulei lui Bayes:

P A A P A P A A

P A P A Ai ii

( / ) ( ) ( / )( ) ( / )

22 2

1

3

13

47

47

13

= = =

=

PROPOZIIE Pentru oricare evenimente A A An1 2, ,..., aparinnd aceluiai cmp de probabilitate are loc relaia:

P( A A An1 2 ... )= P A P A A P A A A P A A A An n( ) ( / ) ( / )... ( / ... )1 2 1 3 1 2 1 2 1

Demonstraie:

P A P A( ) ( )1 1=

)...()...().../(

......................................................................

)()()/(

)()()/(

121

12121

21

123213

1

1212

=

=

=

n

nnn AAAP

AAAPAAAAP

AAPAAAPAAAP

APAAPAAP

nmulind membru cu membru rezult egalitatea cerut.

PROPOZIIE (Inegalitatea lui Boole) Fie A A An1 2, ,..., n evenimente aparinnd aceluiai cmp de probabilitate.

Are loc inegalitatea: P A P Aii

n

ii

n

( ) ( ) = =

1 1

1I

Constantin Ptrcoiu

103

Caz particular: P A P A nii

n

ii

n

( ) ( ) ( ) = =

1 1

1I

Dmonstraie:

=

=

===

UIIn

ii

n

ii

n

ii APAPAP

11111

Tinnd seama de inegalitatea: ==

n

ii

n

ii BPBP

11)(U obinem

inegalitatea din enun.

Folosind egalitatea:

( ) ===

==

n

ii

n

ii

n

ii APnAPAP

111)())(1(

rezult cazul particular de mai sus.

EXERCII

1. Se extrag din cele 52 cri de joc dou cri. (Prima carte extras nu se pune napoi n pachetul de cri) Se cere: i) Probabilitatea ca s se obin doi ai.

ii) Probabilitatea ca s se obin cel puin un as.

Fie A evenimentul: prima carte extras este as i B evenimentul: a doua crte extras este as; A, B evenimentele contrare evenimentelor A respectiv B. Pentru formarea unei imagini intuitive vom construi arborele corespunztor rezultatelor probei date.

Prima carte

A doua carte

Rezultat

Probabilitatea

P(B/A)= 3/51

( as) B

(as,as) A B

P(A B)=P(A)P(A/B)= =(4/52)(3/51)=0,005

Constantin Ptrcoiu

104

(as) A

P(A)= 4/52

P(B /A)= 48/51

(nonas) B

(as, nonas) AB

P(AB )=P(A)P(B /A)= =4/52)(48/51)=0,072

P( A)=

48/52

P(B/ A)= 4/51

(as) B

(nonas, as) AB

P( AB)=P( A)P(B/ A)= =(48/52)(4/51)=0,072

(nonas)

A

P(B / A)= 47/51

(nonas) B

(nonas, nonas) AB

P( AB )=P( A)P(B / A) =(48/52)(47/51)=0,851

Se observ c probabilitatea pe fiecare ramur se obine fcnd produsul probabilitilor situate pe ramura respectiv. (i) Probabilitatea obinerii a doi ai este P(as,as)= P(AB) =0,005 (ii) Probabilitatea obinerii a cel puin un as se poate calcula n dou moduri: a) P(cel puin un as)=P[(as,nonas)(nonas,as) (as,as)] =P(as,nonas)+ P(nonas,as) + P(as,as)=0,005+0,072+0,072=0,149 ; deoarece evenimentele care intervin n reuniune sunt incompatibile. b) P(cel puin un as)=1-P(nonas,nonas)=1-0,851=0,149

2. Probabilitatea ca un trgtor s loveasc inta este de 0,9.Tragerea se oprete dac trgtorul lovete inta.Care este probabilitatea ca inta s fie lovit din cel mult trei ncercri?

Fie D evenimentul ce const n lovirea intei i N evenimentul contrar evenimentului D.Evident P(D)=0,9;P(N)=0,1. Putem construi arborele corespunztor ca n exemplul precedent:

Constantin Ptrcoiu

105

Prima tragere

A doua tragere

A treia tragere

Rezultat Probabilitatea

0,9 D D 0,9

0,1 0,9 N

D

ND (0,1)(0,9)=0,09

0,1 0,9 N

D NND

(0,1)2 (0,9)= =0,009

0,1 N NNN (0,1)3 =0,0001

Fie A evenimentul ce const n lovirea intei.Cu notaile de mai sus putem calcula probabilitatea evenimentului A n dou moduri:

P(A)=P[(D)(ND)(NND)]=0,9+0,09+0,009=0,999 deoarece cele trei evenimente sunt independente.

P(A)=1-P(NNN)=1-0,001=0,999 deoarece evenimentul NNN este contrarul evenimentului A.

3. O urn conine 10 bile din care: patru bile roii ,cinci bile verzi i una alb.Se extrag din urn simultan dou bile. i)S se construiasc arborele corespunztor.

ii)Care este probabilitatea ca s obinem dou bile de culori diferite? iii)Care este probabilitatea ca bilele s fie de culori diferite din care una s fie roie?

iv)Care este probabilitatea ca extrgnd simultan trei bile din urn acestea s aib culori diferite?

4. EVENIMENTE INDEPENDENTE

Constantin Ptrcoiu

106

Fie (,,P) un cmp de probabilitiate i A, B dou evenimente ale acestui cmp. Evenimentele A i B sunt independente dac realizarea sau nerealizarea oricruia din ele nu afecteaz probabilitatea celuilalt, deci dac )()/( APBAP = . Pentru a putea defini independena inclusiv pentru evenimente cu probabilitatea nul vom da urmtoarea definiie.

DEFINIIE Evenimentele A i B se numesc independente dac P(AB) = P(A)P(B).

EXEMPLE. Se arunc dou zaruri cubice (perfecte) unu rou i cellalt verde. Care este probabilitatea obinerii dublei unu-unu? Fie A evenimentul ce const n apariia feei unu la zarul rou i B evenimentul ce const in apariia feei unu la zarul verde. Cele dou evenimente sunt independente i deci probabilitatea cerut

este: P(AB)= 361

61

61)()( ==BPAP

Se arunc un zar cubic (perfect). Fie evenimentele: -A:se obine o fa par -B:se obine o fa mai mare ca 4

Atunci: P(AB)=P({6})=1/6; P(A)=P({2,4,6})=

21

63

= ;

P(B)=P({5,6})=32

i deci

P(AB) = P(A)P(B).

Aadar evenimentele A i B sunt independente.

Constantin Ptrcoiu

107

PROPOZIIE Dac evenimentele A i B sunt independente atunci i urmtoarele perechi : (A,B ); ( A,B); ( A,B ) sunt formate din evenimente independente.

DEFINIIE Find date n evenimente A A An1 2, ,..., apartinnd aceluiai cmp de probabilitate (,, P), spunem c acestea sunt independente dac probabilitatea oricarei intersecii de k evenimente din cele n (2 kn) este egal cu produsul probabilitailor evenimentelor respective.

REMARC Find date n evenimente independente A A An1 2, ,..., avem:

==== =

====

n

iii

n

i

n

ii

n

i

n

iii APAPAPAPAP

1111 1))(1(1)(1)(1)(1)( IU U

deoarece i evenimentele A A An1 2, ,..., sunt independente.

OBSERVAIE Dndu-se n evenimente independente dou cte dou nu rezult c ele sunt independente, dup cum se poate vedea din exemplul urmtor (Bernstein).

EXEMPLU Se arunc un "zar"sub forma unui tetraedru regulat (omogen) avnd feele numerotate 1,2,3,4. Fie evenimentele { } { } { }4,1,3,1,2,1 === CBA Evident P(Ai)= 24

12

= , AB = AC = BC={ }1 =ABC. P(AB)=P(A)P(B) , P(AC)=P(A)P(C) , P(BC)=P(B)P(C) ,ceea ce justific faptul c evenimentele date sunt independente dou cte dou. Dar P(ABC)= 1

418

=P(A)P(B)P(C) de unde rezult c evenimentele A,B,C nu sunt independente .

EXERRCIIU Se consider aruncarea a dou zaruri (echilibrate). Fie: A = Prima cifr este par;

Constantin Ptrcoiu

108

B = A doua cifr este par; C = Suma celor dou cifre este par.

Artai c cele trei evenimente A,B,C, nu sunt independente (n ansamblul lor), dar sunt independente dou cte dou.

PROPOZIIE Dou evenimente A i B sunt independente dac i numai dac P(A/B)=P(A) (sau P(B/A)=P(B)) Demonstraie:

P(A/B)=P(A) = =P A BP B

P A P A B P A P B( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Reamintim c, intuitiv, putem spune c dac realizarea unui eveniment nu "afecteaz" realizarea (sau nerealizarea) celuilalt, evenimentele sunt independente. Dac tim c dou evenimente sunt independente cunoscnd probabilitatile lor putem calcula probabilitatea intersectiei evenimentelor date.

EXERCIIU Fie A i B dou evenimente ale aceluiai cmp de probabilitate. Se tie c:

21)( =AP ,

52)( =BP ,

21)/( =BAP . Calculai:

a) )( BsauAP , sau neexclusiv b) )( BsauAP , sau exclusiv c) Sunt independente evenimentele A,B? d) Sunt incompatibile evenimentele A,B?

EXEMPLE

Patru fotbaliti execut cte o lovitur de la 11 metrii cu

probabilitile de a marca, respectiv 56

23

710

12

; ; ; . Probabilitatea ca

toi patru s marcheze va fi probabilitatea interseciei celor patru

evenimente independente deci 56

23

710

12

736

=

Constantin Ptrcoiu

109

n tabelul urmtor sunt trecute rezultatele obinute pentru 100 000 de persoane n legtur cu fumatul i cancerul la plmni.

S1 :fumeaz mai mult de 20 igri pe zi

S2 :fumeaz ntre 10 i 20 de igri pe zi

S3 :fumeaz mai puin de zece igri pe zi

TOTAL

C:cancer pulmonar

130 55 65 250

nonC(:fr cancer

pulmonar)

9 870 21 945 67 935 99 750

TOTAL 10 000 22 000 68 000 100 000

Calculnd probabilitatea evenimentului ca o persoan s aib cancer pulmonar, tiind c fumeaz mai mult de douzeci de igri zilnic i probabilitatea ca persoana respectiv s aib cancer pulmonar obinem:

P C S P C SP S

P C

( / ) ( )( ) ,

( ) ,

11

1

13010000010000100000

13010000

0 013

250100000

0 0025

=

= = =

= =

Deci P(C/S1)P(C) ceea ce nseamn c cele dou evenimente C i S1

nu sunt independente. Deoarece P(C/S1)/P(C/S3)= 000956,0013,0

=13,6

putem spune c riscul de cancer pulmonar este de 13,6 ori mai mare pentru cei care fumeaz mai mult de 20 igri pe zi fa de cei care fumeaz mai puin de 10 igri zilnic.(Rezultatele respective se aplic grupului studiat )

Constantin Ptrcoiu

110

EXERCII Dac A i B sunt dou evenimente aparinnd aceluia cmp finit de probabilitate Care din urmtoarele afirmaii sunt adevrate i care sunt false? 1).Dac AB, atunci P(AB)>P(A)+P(B). 2).Dac AB, atunci P(AB)P(A)+P(B). 3) Dac P(AB)=P(A)P(B), atunci P(AB)

Constantin Ptrcoiu

111

submulimile {i1.i2,...ik} ale muimii {1,2,...n}. Evenimentele Ai (i= 1,2,...n) fiind independente i evenimentele A A A A Ai i ik ik in1 2 1 +... ... sunt independente; evenimentele de tipul A A A A Ai i ik ik in1 2 1 +... ... care intervin n reuniune sunt evenimente incompatibile dou cte dou , de unde

P(A)= nkkk iiiiii

qqqppp ...121 +

Se observ c suma din membrul drept este coeficientul lui Xk din polinomul specificat in teorem.

EXEMPLU Se consider urnele Ui ,i=1,2,3 avnd compozitia dat de tabelul :

Urna numrul bilelor albe numrul bilelor negre U1 3 2 U2 4 5 U3 7 3

Se extrage cte o bil din fiecare urn. Care este probabilitatea obtinerii a dou bile negre i a unei bile albe? Fie Ai evenimentul ce const n extragerea unei bile negre din urna i (i=1,2,3). Probabilitatea extragerii a dou bile negre i a unei bile albe va fi probabilitatea realizrii a dou din evenimentele independente Ai , i=1,2,3 deci coeficientul lui X2 din polinomul : (p1X+q1)(p2X+q2)(p3X+q3) unde:

p P A q p

p P A q p

p P A q p

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

25

1 35

59

1 49

310

1 710

= = = =

= = = =

= = = =

( ) ;

( ) ;

( ) ;

Atunci, probabilitatea cerut va fi:

p p q p p q p p q1 2 3 1 3 2 2 2 125

59

710

25

310

49

59

310

35

61225

+ + = + + =

Constantin Ptrcoiu

112

TEOREM (Schema binomial sau schema lui Bernoulli) Fie (,, P) un cmp de probabilitate i n evenimente independente A A An1 2, ,..., , nN*, avnd aceeai probabilitate p ( P A p P A q pi i( ) , ( )= = = 1 , i = 1,2,3). Probabilitatea realizrii a k din cele n evenimente (i a nerealizrii a n-k din cele n evenimente), k N*, kn este:C p qnk k n k .

Demonstraie : Conform teoremei precedente,probabilitatea realizrii a k din evenimentele date este coeficientul lui Xk din polinomul (pX+q)(pX+q)...(pX+q)=(pX+q)n care, conform formulei binomului lui Newton esteC p qn

k k n k.

EXEMPLU O urn conine 5 bile albe i 7 bile negre.Se extrag succesiv trei bile punnd bila extras napoi n urn .Care este probabilitatea obinerii a dou bile albe?

Fie Ai evenimentul obinerii unei bile albe la extragerea i, i=1,2,3.

Evident, evenimentele respective sunt independente i P Ai( ) =5

12,

i=1,2,3. Probabilitatea cerut va fi probabilitatea realizrii a dou din evenimentele A A A1 2 3, , , deci ,conform schemei lui Bernoulli va fi

127

125 22

3

C .

TEOREM (Schema Hipergeometric) O urn conine N bile din care a bile albe i b bile negre (a+b=N) . Se extrag n bile, nN far a pune bila extras napoi n urn. Probabilitatea obinerii a k bile albe

si a n-k bile negre (k a, n-k b) este: n

N

knb

ka

CCC

Constantin Ptrcoiu

113

Demonstraie: Evident avem nNC cazuri posibile. Cele k bile albe pot fi extrase n kaC moduri, fiecruia corespunzndu-i

knbC

moduri de extragere a celor n-k bile negre. Deci avem kaC

knbC

cazuri favorabile de unde probabilitatea cerut. EXMPLU Dintr-un lot de 36 sportivi din care 20 biei i 16 fete se aleg la intmplare 5 sportivi pentru controlul antidoping. Care este probabilitatea alegerii a trei biei si a dou fete?

Conform teoremei precedente probabilitatea cerut este: C CC203

162

365

EXERCII

1. Se consider aruncarea unui numr oarecare de zaruri din care unul este perfect(cubic omogen) celelalte putnd fi trucate (neomogene).S se demonstreze c probabilitatea evenimentului A ce const n obinerea unei sume a punctelor tuturor zarurilor par, este

21

(probabilitatea evenimentului A nu este afectat de imperfeciunile celorlalte zaruri).

Fie B,C evenimentele ce constau n obinerea unei fee pare respectiv impare pentru zarul perfect i D, F evenimentele ce constau n obinerea sumei pare respectiv impare a punctelor celorlalte zaruri .

Evident P(B)=P(C)= 21

, notnd P(D) = p avem P(F) = 1-p Dar A=(BD)( CF) i (BD)(CF)=. Atunci probabilitatea evenimentului cerut va fi:

P(A)=P((BD)(CF))=P(BD)+P(CF)= =P(B)P(D)+P(C)P(F)=(1/2)p+(1/2)(1-p)=

21

deoarece evenimentele B,D respectiv C,F sunt independente.

2. Un elev primete spre rezolvare o problem aleas cu aceeai probabilitate ,din algebr sau din geometrie. Probabilitatea s

Constantin Ptrcoiu

114

rezolve problema de algebr este 0,8 iar probabilitatea s rezolve problema de geometrie este 0,6. i).Care este probabilitatea ca elevul s rezolve problema? ii) Care este probabilitatea ca problema s fie de geometrie tiind c a rezolvat-o corect?

Soluie. Fie evenimentele:A -problema primit este de algebr G-problema primit este de geometrie; C-Elevul rezolv problema. Evident C=(AC)(GC) evenimentele AC;GC fiind incompatibile.Atunci :

P(C)=P(AC)P(GC)=P(A)P(C/A)+P(G)P(C/G)= =0,50,8+0,50,6=0,7 P(G/C)=P(GC)/P(C)=0,3/0,70,44

3. Trei grupe de studeni au compoziia dat de tabelul:

GRRUPA Numrul bieilor Numrul fetelor Grupa 1 7 6 Grupa 2 8 7 Grupa 3 5 9

Se alege la ntmplare cte un reprezentant din fiecare grup pentru a participa la o testare. a) Care este probabilitatea ca toi reprezentanii s fie biei ? b) Care este probabilitatea ca cel puin un reprezentant s fie biat ?

a) Fie Ai (i=1,2,3) evenimentul ce const n alegerea unui biat din grupa i. Atunci:

P A P A P A( ) , ( ) , ( )1 2 3713

815

514

= = = ,

evenimentele respective fiind independente avem:

P A A A P A P A P A( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1 2 3713

815

514

439

= = =

Constantin Ptrcoiu

115

b) Este mai uor s calculm probabilitatea evenimentului contrar i anume probabilitatea ca nici un reprezentant s nu fie biat deci probabilitatea evenimentului : A A A1 2 3 .Evident i evenimentele contrare evenimente-lor Ai sunt independente i deci avem:

P A A A P A P A P A( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 3 613

715

914

965

= = =

de unde rezult c probabilitatea evenimentului cerut este:

1 965

5665

=

4. O urn conine a bile albe i b bile negre.Se extrag dou bile din urn (far a pune prima bila extras napoi). Se cere probabilitatea ca cele dou bile s aib culori diferite.

Metoda I.

Fie evenimentele: A constnd n extragerea unei bile albe la prima extragere B constnd n extragerea unei bile negre la a doua extragere C constnd n extragerea unei bile negre la prima extragere D constnd n extragerea unei bile albe la a doua extragere Atunci probabilitatea evenimentului cerut va fi : P A B C D P A B P C D

P A P B A P C P D C aa b

ba b

ba b

a

a bab

a b a b

(( ) ( )) ( ) ( )

( ) ( / ) ( ) ( / )

( )( )

= + =

= + =+ +

++ +

=

=

+ +

1 12

1

Am inut seama de faptul c evenimentele: A B C D , sunt incompatibile.

Metoda II.

Constantin Ptrcoiu

116

Numrul cazurilor posibile este numrul perechilor ordonate de cte dou bile care se pot forma cu cele a+b bile deci: Aa b+

2 ; numrul

cazurilor favorabile este ab+ba=2ab(exist ab perechi cu o bil alb pe primul loc i neagr pe locul doi i ba perechi cu bil neagr pe primul loc i alb pe locul doi), deci probabilitatea cerut este:

2 212

abA

aba b a ba b+

=

+ + ( )( )

4. O clas are 30 de elevi nici unul din acetia ne fiind nscut pe 29 februarie.Care este probabilitatea ca cel puin doi elevi s fie nscui n aceeai zi.

Soluie.Fiecrui elev asociindu-i una din cele 365 de zile ale anului am construit o funcie de la mulimea celor 30 de elevi la mulimea celor 360 de zile ale anului.Exist deci 36530 astfel de funcii deci de cazuri posibile.Se calculeaz mai uor probabilitatea evenimentului contrar. Acesta are 30365A cazuri favorabile deoarece exist

30365A funcii

injective de la mulimea elevilor la mulimea zilelor anului.

Evenimentul contrar are probabilitatea 3030365

365A

i deci probabilitatea

cerut este:1- 3030365

365A

6. (Paradoxul lui Bertrand) Trei dulpioare(jucrie) identice conin fiecare cte dou sertare.In fiecare dulpior exsist dou bacnote ;una de 1$ i cealalt de 10$ repartizate cte una n fiecare sertar. Se alege un dulpior la ntmplare ,se deschide un sertar (deasemenea la ntmplare) i se constat c sertarul deschis conine 1$. Proprietarul dulpioarelor propune urmtorul pariu:

Dac n sertarul cellalt este bacnota de10$ el pierde 100$, dac este bacnota de1$ ctig 100$. Se pclete proprietarul dulpioarelor?

Constantin Ptrcoiu

117

Un raionament posibil ar fi :n sertarele nedeschise se gsesc 3 bacnote de 10$ i 2 bacnote de 1$.Deci ansa proprietarului este mai mic. Acest raionament este greit deoarece:

P(10$ n sertarul nedeschis/1$ n sertarul deschis)=

=P(deschis sertaruln 1$

deschis sertaruln 1$nedeschis sertaruln 10$ )=31

6361

= .

EXERCII

1. S se determine cmpul de probabilitate (,, P) tind c: ={a,b,c,d,e}, dac: i) probabilitile evenimentelor elementare sunt direct proporionale cu numerele:12,8,5,7,8. ii) P({a})=2P({b})+P({c})=1-P({d})=P({e})

2. Se arunc n zaruri (0

Constantin Ptrcoiu

118

3) Trei numere diferite 4) Exact dou numere identice 5) Cel mult dou numere identice 6) Suma numerelor s fie par 7) Suma numerelor s fie mai mare ca 16.

5. Se arunc dou zaruri cubice unul avnd feele numerotate 1,2,3,4,5,6;cellalt avnd feele numerotate 1,1,1,3,3,5, fiecare fa avnd aceeai probabilitate .Calculai probabilitatea ca: 1) Toate feele sunt 1 2) Toate feele au acelai numr. 3) Suma numerelor obinute este 6.

6. O editur expediaz opt cri puse n opt colete diferite la patru clieni A,B,C,D.Clientul A trebuie s primeasc un colet, B i C fiecare cte dou i D trei colete.Se scriu opt etichete cu adresele clienilor i se lipesc la ntmplare pe colete Presupunnd c avem aceeai probabilitate n lipirea etichetelor se cere probabilitatea evenimentelor: 1) Fiecare client s primeasc ceea ce a comandat. 2) Clientul A s primeasc cartea comandat. 3) Clientul D s primeasc cele trei cri comandate. 4) Clieni A,D s primeasc crile comandate. 5) Clientul D s primeasc cel puin o carte comandat.

7. Un juriu este format prin tragere la sori din opt persoane dintr-o list de 40 de persoane din care 22 femei i 18 brbai. I) Calculai probabilitatea ca : i) Juriul s fie format numai din femei ii) Juriul s fie format din 5 brbai i trei femei iii) Juriul s fie format dintr-un numr egal de brbai i femei. II) Dan i Ana sunt pe lista celor 40 de persoane. Calculai probabi-litatea ca: a) Dan s fac parte din juriu.

Constantin Ptrcoiu

119

b) Ana s fac parte din juriu c) Dan i Ana s fac parte din juriu. d) Evenimentele de la punctele (a) i (b) sunt independente ?

8. Doi juctori joac o serie de partide independente n fiecare partid primul juctor are aceeai probabilitate de a ctiga x (evident cel de-al doilea are probabilitatea de a ctiga 1-x).Cel care pierde d 1$ celui ce ctig. La nceput primul juctor dispune de a$ iar al doilea de b$. Jocul se termin atunci cnd un juctor este ruinat adic cnd nu mai are nici un dolar. Fie pn probabilitatea ca primul juctor s fie ruinat tiind c la un moment dat avea n$ (0n3a) i qn probabilitatea ca al doilea s fie ruinat tind c la un moment dat avea n$. i) Demonstrati c pn= xpn+1+(1-x)pn-1 ; qm= (1-x)qm+1+xqm-1 ii) Verificai c pa+q2a=1 . Comentai egalitatea. iii) Studiai cazul x=1/2

iv) Gsii valoarea lui x pentru care jocul este echitabil.(cei doi juctori au aceeai ans de ctig).

9. Se consider un zar avnd feele numerotate 1,2,3,4,5,6. Fie pi probabilitatea apariiei feei i. Dac : * p1,p3,p5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice cu raia 1/2. * p2,p4,p5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice cu raia 1/8 * 2p1=3p2

a) Calculai probabilitatea obinerii unei cifre pare la o aruncare a zarului;

b) Care este probabilitatea obinerii a exact trei cifre impare dac se arunc de cinci ori zarul;

10. La un joc electronic se dispune de patru rachete pentru distrugerea "invadatorilor".Fiecare are probabilitatea de a atinge inta 1/3 independent de rezultatele celorlalte.

Constantin Ptrcoiu

120

S se calculeze probabilitatea evenimentelor: A: Numai prima rachet s loveasc inta B: Numai a treia rachet s loveasc inta C: O rachet i numai una s loveasc inta D: Numai primele doua rachete s loveasc inta

E: Numai dou rachete s loveasc inta

11. O urn conine dousprezece bile indiscernabile la atingere: m bile albe i n bile negre. Extragem succesiv dou bile din urn,bila extras nefiind repus n urn dupa prima extragere. Determinai cuplul (m,n) pentru care probabilitatea de a obine dou bile de culori diferite s fie egala cu

1633.

Pentru m=8 si n=4 extragem succesiv 3 bile din urn,bila extras fiind repus n urn dup fiecare extragere. a.)Calculai probabilitatea de a obine exact o bil alb. b.)Calculai probabilitatea de a obine cel puin o bil alb i cel puin o bil neagr

12. Un chestionar cu alegeri multiple este constituit din 8 ntrebri. Pentru fiecare dintre ele,4 raspunsuri sunt propuse, din care unul singur este exact. Un candidat rspunde la ntmplare. 1)Determinai numrul de rspunsuri posibile la acest chestionar. 2)Calculai probabilitatea pentru care acest candidat raspunde corect la exact 6 ntrebari. 3)Care este probabilitatea ca acest candidat s fie admis dac lui i se cere s dea cel puin 6 raspunsuri corecte?

13. Se arunc o moned de 10 ori, rezultatele posibile la o aruncare fiind: cap sau pajur.

a) care este probabilitatea s se obin cap de exact trei ori? b) care este probabilitatea s se obin cel mult de 3 ori cap?

Constantin Ptrcoiu

121

c) care este probabilitatea s se obin cel puin de 3 ori cap?

14. Se arunc un zar de 5 ori. a) care este probabilitatea s se obin un rezultat care s nceap

cu 3? b) care este probabilitatea s se obin un rezultat care s conin

pe 3? c) care este probabilitatea s se obin un rezultat care s nu

conin pe 2?

15. Un lot de 120 piese este supus unui control de calitate. Lotul este respins dac se gsete cel puin un rebut la 5 piese controlate la ntmplare. tiind c lotul conine 3 % piese defecte, s se determine probabilitatea ca lotul s fie respins.

16. Un program pentru gestiunea unei firme trebue instalat pe un computer. Se pot ivi urmtoarele situaii: a) programul se instaleaza fara erori si poate fi utilizat imediat; b) programul necesit mici modificari pentru a fi funcional; c) trebuie rescrise cteva secvente pentru ca programul s funcioneze ; d) se impune schimbri majore n program pentru a fi funcional. n primul caz programul funcioneaz deci imediat. n cazul (b) ajustarea dureaz 15 minute, n cazul (c) este nevoe de dou ore pentru a face corecturile necesare, iar n cazul d) este nevoe de n 16 ore pentru a reface programul. Probabilitile celor patru etape sunt 0,4 ; 0,1; 0,15 ; 0,35. S se determine probabilitatea ca programul s funcioneze dup cel puin 3 ore de la instalare.

17. Un aparat se compune din trei elemente a cror fiabilitate (durata de funcionare fr defeciune tot timpul ntr-un interval de timp dat) este egal cu 0,7 ; 0,85 i 0,9 . Primul element este indispensabil pentru funcionarea aparatului, defectarea unuia din celelalte dou elemente face ca aparatul s

Constantin Ptrcoiu

122

funcioneze cu un randament inferior, iar defectarea simultan a elementelor doi i trei face imposibil funcionarea aparatului. Elementele se defecteaz independent unul de altul. Se cere probabilitatea ca aparatul s funcioneze tot timpul ntr-un interval de timp dat.

15. ( Mr) S se demonstreze c probabilitatea de a se obine cel puin un 6 cnd se arunc un zar de patru ori este mai mare dect probabilitatea de a se obine cel puin o dubl ase-ase , atunci cnd se arunc dou zaruri de 24 de ori.

16. (Galileu) De ce dac se arunc trei zaruri se obine mai des suma feelor10 dect 9 cu toate c 10 i 9 se scriu ca sume n 6 moduri?

17. (Moivre) Un juctor A arunc dou monede ;un al juctor B arunc trei.Ctig cel ce obine pajur de mai multe ori.Dac obin pajura de acelai numr de ori jocul se reia.Care este probabilitatea s ctige B?

18. (Banach) Un fumtor are dou pachete de igri.Scoate la ntmplare unul din pachete cnd vrea s fumeze i ia o igar.Care este probabilitatea ca n momentul cnd constat c un pachet este gol cellalt s conin k igri dac ambele pachete conineau n igri?

19. (Bernoulli) Se arunc un zar de n ori. Calculai probabilitatea p , de a obine 6 de cel puin dou ori. S se determine n astfel ca p>0,5.

20. (Huyghens) i. O urn conine 10 bile albe,10 bile negre 10 bile roz i 10 bile verzi.Se extrag simultan patru bile.Care este probabilitatea ca bilele s fie de culori diferite?

Constantin Ptrcoiu

123

ii. O urn conine 4 bile albe i 8 bile negre.Se extrag 7 bile. Care este probabilitatea ca s se obin cel puin trei bile albe?

21. (Problema mpririi mizei) Doi juctori joac o serie de partide independente cu aceeai probabilitate de a ctiga.Cel ce ctig primul, trei partide primete ntreaga sum n valoare de s lei pus n joc. Din anumite motive jocul se ntrerupe la scorul de doi la unu pentru primul juctor. Cum trebue s mpart cei doi juctori suma pus n joc ?