2. MSURAREA RISCULUICONCEPTE CHEIE: varian, abatere standard, coeficient de variaie, indicatori ai riscului downside, covarian, coeficient de corelaie, distribuie de probabiliti, distribuie discret de probabiliti, distribuie continu de probabiliti, distribuie normal, distribuie simetric de probabiliti, distribuie asimetric de probabiliti

2.1 VARIANA I ABATEREA STANDARDVariana i abaterea standard sunt indicatori operaionali ai gradului de risc. Din perspectiva procesului decizional, criteriul echivalentului cert are o valoare operaional relativ redus. Decidenii au nevoie de reguli clare care s asigure o reflectare explicit a riscului deciziilori. Att cercetrile teoretice, ct i sintezele experienei practice au vizat identificarea unor indicatori operaionali ai gradului de risc. Variana i abaterea standard sunt doi dintre aceti indicatori. n cazul loteriei L definit de rezultatele posibile x1, x2,, xn cu probabilitile p1, p2,, pn: x x 2 ... x n L= 1 p p ... p 2 n 1 variana se noteaz cu AS2(L) i se calculeaz conform relaiei: AS (L) = [x i VA(L)] p i2 i =1 n 2

unde VA(L) reprezint valoarea anticipat a loteriei L: VA(L ) = x i p ii =1 n

Variana msoar dispersia rezultatelor posibile fa de valoarea anticipat (medie) a loteriei. Coninutul informaional al varianei reflect posibilitatea ca rezultatul efectiv al loteriei s fie diferit de cel anticipat. Cu ct variana este mai mare, cu att gradul de risc al loteriei respective este mai ridicat. Se remarc faptul c unitatea de msur a varianei nu are sens din punct de vedere economic. Rigoarea raionamentului matematic arat c dac rezultatele posibile sunt exprimate n termeni bneti, atunci variana se msoar n termeni bneti la ptrat fr nici o semnificaie economic. Abaterea standard AS(L) se calculeaz direct pe baza varianei: AS(L) = AS 2 (L) Abaterea standard elimin inconvenientul varianei n ceea ce privete unitatea de msur. Dac loteria LA are un grad de risc mai mare dect loteria LB din perspectiva varianei, respectiv dac: AS 2 (L A ) > AS 2 (L B )

atunci, n ciuda unitii diferite de msur, abaterea standard indic aceeai concluzie: AS(L A ) > AS(L B ) Prin urmare, variana i abaterea standard reprezint criterii echivalente pentru ordonarea deciziilor n raport cu gradul de risc. Calculul varianei se simplific dac relaia de definiie se scrie sub forma echivalent: n AS (L) = x p i x i p i i =1 i =1 2 n 2 i 2

EXEMPLUL 14: Variana loteriei L1 din exemplul 1 cu: VA(L 1 ) = 0 lei este: 5 1 AS 2 (L1 ) = (6000 0) 2 + (1200 0) 2 = 7200000 6 6 iar abaterea standard este: AS(L1 ) = 7200000 = 2683,28 lei EXEMPLUL 15: Variana loteriei L2 din exemplul 2 cu: VA(L 2 ) = 12 milioane lei este: AS 2 (L 2 ) = 24 2 25% + 16 2 50% + (8) 2 25% 12 2 = 144 iar abaterea standard este: AS(L 2 ) = 144 = 12 milioane lei

2.2 REGULA LUI MARKOWITZUn decident cu adversitate fa de risc prefer decizia cu valoare anticipat ct mai ridicat i grad de risc ct mai redus. Pentru ordonarea deciziilor n condiii de risc, Harry Markowitz a propus o regul operaional care se bazeaz pe valoarea anticipat i abaterea standardii. Regula lui Markowitz presupune c decidenii sunt adversari ai riscului. Ideea regulii este extrem de simpl: un decident cu adversitate fa de risc prefer decizia cu valoare anticipat ct mai ridicat i grad de risc ct mai redus. n abordarea lui Markowitz, gradul de risc se msoar prin intermediul abaterii standard, astfel nct regula este consacrat sub denumirea valoare anticipat abatere standard. n cazul deciziilor alternative A i B, descrise de loteriile LA i, respectiv, LB cu valorile anticipate VA(LA) i, respectiv, VA(LB) i cu abaterile standard AS(LA) i, respectiv, AS(LB), regula lui Markowitz arat c dac: VA(L A ) = VA(L B )

i: AS(L A ) < AS(L B ) atunci un decident cu adversitate fa de risc prefer decizia A n detrimentul deciziei B. Dintre dou decizii cu aceeai valoare anticipat, este preferat alternativa cu grad de risc mai redus. Preferina adversarilor riscului pentru decizia A n detrimentul deciziei B se manifest i atunci cnd: VA(L A ) > VA(L B ) i: AS(L A ) = AS(L B ) Dintre dou decizii cu acelai grad de risc, este preferat alternativa cu valoare anticipat mai mare. Relevana regulii lui Markowitz este limitat. n cazul loteriilor alternative LA i LB cu: VA(L A ) > VA(L B ) i: AS(L A ) > AS(L B ) regula lui Markowitz nu ofer nici o indicaie cu privire la preferinele decidentului cu adversitate fa de risc. EXEMPLUL 16: Variana loteriei LI din exemplul 6 cu: VA(L I ) = 1620 milioane lei este: AS 2 (L I ) = 100 2 20% + 2000 2 80% 1620 2 = 577600 iar abaterea standard este: AS(L I ) = 577600 = 760 milioane lei Variana loteriei LII din acelai exemplu cu: VA(L II ) = 1620 milioane lei este: AS2 (L II ) = 1100 2 20% + 1750 2 80% 1620 2 = 67600 iar abaterea standard este: AS(L II ) = 67600 = 260 milioane lei Conform regulii lui Markowitz, un decident cu adversitate fa de risc prefer a doua variant de restructurare. Preferina pentru a doua variant de restructurare nu implic n mod necesar alegerea acesteia. Regula lui Markowitz nu indic dac valoarea anticipat mai ridicat a celei de-a doua variante de restructurare este suficient pentru a compensa riscul acesteia.

2.3 COEFICIENTUL DE VARIAIECoeficientul de variaie este un alt indicator operaional al gradului de risc. Pentru a elimina limitele regulii lui Markowitz, unii cercettori au propus utilizarea coeficientului de variaie ca indicator al gradului de risc. n cazul loteriei L cu valoarea anticipat VA(L) i abaterea standard AS(L), coeficientul de variaie CV(L) se calculeaz conform relaiei: AS(L) CV (L) = 100(%) VA(L) Coeficientul de variaie msoar abaterea standard normalizat prin valoarea anticipat. Regula valoare anticipat abatere standard a lui Markowitz poate fi nlocuit cu regula valoare anticipat coeficient de variaie. EXEMPLUL 17: Indicatorii relevani ai loteriilor L3 i L4 sunt prezentai n tabelul urmtoriii: TABELUL 3 Indicatorii loteriilor L3 I L4 Valoarea Abaterea standard anticipat (milioane lei) (milioane lei) 100 10 500 25

Loteria L3 Loteria L4

Coeficientul de variaie (%) 10 5

Datele din tabel sugereaz problema pe care o ridic msurarea gradului de risc prin intermediul abaterii standard. Dei regula valoare anticipat abatere standard a lui Markowitz nu conduce la nici un rspuns, o analiz sumar a tabelului arat c un decident cu adversitate fa de risc prefer loteria L4. Justificarea preferinei pentru loteria L4 este simpl. Valoarea anticipat a loteriei L4 este att de mare nct compenseaz riscul su mai ridicat. n general, este foarte puin probabil ca valoarea efectiv a unei loterii s difere de cea anticipat cu patru abateri standardiv. Chiar i atunci cnd valoarea efectiv a loteriei L4 este mai mic de cea anticipat cu patru abateri standard: 500 4 25 = 400 milioane lei iar valoarea efectiv a loteriei L3 este mai mare dect cea anticipat cu patru abateri standard: 100 + 4 10 = 140 milioane lei loteria L4 este mai atractiv dect loteria L3. Dac se utilizeaz coeficientul de variaie pentru msurarea gradului de risc, atunci preferina pentru loteria L4 devine evident. Loteria L4 are o valoare anticipat mai mare i un risc mai redus comparativ cu loteria L3. Coeficientul de variaie nu rezolv toate problemele msurrii gradului de risc al deciziilor.

Msurarea riscului cu ajutorul coeficientului de variaie elimin limitele varianei i ale abaterii standard doar n unele cazuri. Exist cazuri n care nici regula valoare anticipat abatere standard i nici regula valoare anticipat coeficient de variaie nu indic preferinele decidentului n ceea ce privete asumarea riscului. Cunoaterea ntregii distribuii a rezultatelor posibile simplific sarcina decidentului. Dac informaia privind ntreaga distribuie a rezultatelor posibile nu este disponibil, atunci decidentul trebuie s fie precaut n utilizarea regulilor valoare anticipat abatere standard i valoare anticipat coeficient de variaie pentru a evita alegeri paradoxale. EXEMPLUL 18: Indicatorii loteriilor L5 i L6iv: 200 L5 = 100% 500 1500 L6 = 50% 50% n care rezultatele posibile se msoar n milioane lei, sunt prezentai n tabelul urmtor: Regula valoare anticipat abatere standard nu discrimineaz ntre cele dou loterii. Loteria L6 are valoarea anticipat mai mare, dar i gradul de risc mai ridicat dect loteria L5. Nici regula valoare anticipat coeficient de variaie nu arat care dintre cele dou loterii este preferat. Loteria L6 are un coeficient de variaie mai mare comparativ cu loteria L5. Bunul sim arat ns c decidentul cu adversitate fa de risc prefer loteria L6 n detrimentul loteriei L5. Cel mai nefavorabil rezultat al loteriei L6 este mai avantajos dect rezultatul cert al loteriei L5. TABELUL 4 Indicatorii loteriilor L5 i L6 Valoarea Abaterea standard anticipat (milioane lei) (milioane lei) 200 0 1000 500

Loteria L5 Loteria L6

Coeficientul de variaie (%) 0 50

2.4 INDICATORI AI RISCULUI DOWNSIDEPreocuparea decidenilor mai degrab pentru riscul downside dect pentru potenialul upside justific redefinirea indicatorilor privind variana i abaterea standard. Conform definiiilor utilizate n paragrafele anterioare, variana i abaterea standard sunt indicatori ai riscului pur, ncorpornd att riscul downside (posibilitatea ca rezultatul loteriei s fie mai mic dect valoarea sa anticipat), ct i potenialul upside (posibilitatea ca rezultatul loteriei s fie mai mare dect valoarea sa anticipat).

Atitudinea dominant de adversitate fa de risc impune ns redefinirea indicatorilor privind variana i abaterea standard pentru a se lua n considerare numai riscul downside. Se consider decizia descris de loteria L: x x2 L= 1 p p 2 1 cu: K xn K pn =1n

pi =1

n

i

Valoarea anticipat VA(L) este: VA(L ) = x i p ii =1

Fie: Se observ c:

DELTA i = min[0, ( x i VA)] DELTA i = 0 dac x i VA

i: DELTA i = x i VA dac x i < VA Prin analogie cu variana i abaterea standard, se pot defini doi indicatori ai riscului downside:

DELTAi =1

n

2 i

pi

i, respectiv:

DELTAi =1

n

2 i

pi

EXEMPLUL 19: Se consider loteriile L7 i L8: 90 100 130 L7 = 30% 40% 30% i: 86 106 126 L8 = 30% 40% 30% n care rezultatele posibile se msoar n milioane lei. Indicatorii celor dou loterii sunt prezentai n tabelul urmtor: Cele dou loterii au aceeai valoare anticipat. Variana i abaterea standard arat c gradul de risc pur este mai mare pentru loteria L7 dect pentru loteria L8. Indicatorii analogi ai riscului downside sunt pentru loteria L7: (90 106) 2 0,3 + (100 106) 2 0,4 = 91,2 i 91,2 = 9,55 milioane lei

i pentru loteria L8: (86 106) 2 0,3 = 120 i 120 = 10,95 milioane lei TABELUL 5 Indicatorii loteriilor L7 i L8 Valoarea anticipat Variana (milioane lei) 106 264 106 240

Loteria L7 L8

Abaterea standard (milioane lei) 16,25 15,49

Aceti indicatori arat c riscul downside este mai redus pentru loteria L7 dect pentru loteria L8. Rezult c potenialul upside este mai mare pentru loteria L7 dect pentru loteria L8.

2.5 COVARIANA I COEFICIENTUL DE CORELAIECovariana i coeficientul de corelaie arat msura n care dou loterii au rezultate care tind n medie s se modifice mpreun. Se consider deciziile descrise de loteriile LX: x x2 LX = 1 p p 2 1 i LY: y y2 LY = 1 p p 2 1 cu: K xn K pn K yn K pn

pi =1

n

i

=1

Se observ c strile naturii i probabilitile corespunztoare sunt identice pentru ambele loterii. Covariana dintre loteriile LX i LY este dat de relaia: COVXY = [x i VA(X)] [( y i VA(Y)] p ii =1 n

unde VA(X) i VA(Y) reprezint valorile anticipate ale loteriilor X i, respectiv, Y. n cazul n care covariana este pozitiv, rezultatele celor dou loterii tind n medie s se modifice mpreun n acelai sens; ntre cele dou loterii exist o corelaie pozitiv. Dac rezultatul loteriei LX este mai mic dect valoarea sa anticipat, atunci i rezultatul loteriei LY tinde s fie mai mic dect valoarea sa anticipat. Dac rezultatul loteriei LX este mai mare dect valoarea sa anticipat, atunci i rezultatul loteriei LY tinde s fie mai mare dect valoarea sa anticipat. n cazul n care covariana este negativ, rezultatele celor dou loterii tind n medie s se modifice mpreun n sens opus; ntre cele dou loterii exist o corelaie negativ. Dac rezultatul loteriei LX este mai mic dect valoarea sa anticipat, atunci

rezultatul loteriei LY tinde s fie mai mare dect valoarea sa anticipat. Dac rezultatul loteriei LX este mai mare dect valoarea sa anticipat, atunci rezultatul loteriei LY tinde s fie mai mic dect valoarea sa anticipat. n cazul n care covariana este nul, rezultatele celor dou loterii tind s fie independente. Cu ct valoarea absolut a covarianei este mai mare, cu att intensitatea corelaiei dintre rezultatele deciziilor descrise de loteriile LX i LY este mai puternic. Dac strile relevante ale naturii sunt diferite pentru cele dou decizii, atunci calculul covarianei se complic. Se demonstreaz c: COVXX = AS 2 X Interpretarea covarianei este dificil deoarece mrimea sa depinde de unitatea de msur aleas pentru rezultatele posibile ale loteriilor LX i LY. Coeficientul de corelaie elimin dificultile interpretrii, normaliznd covariana pe baza produsului dintre abaterile standard ale celor dou loterii. Prin urmare, coeficientul de corelaie dintre loteriile LX i LY este dat de relaia: COVXY COR XY = AS X AS Y unde ASX i ASY reprezint abaterile standard ale celor dou loterii. Se demonstreaz c: 1 COR XY 1 Din relaia coeficientului de corelaie rezult: COVXY = AS X AS Y COR XY Valoarea minim a coeficientului de corelaie este 1, indicnd o corelaie negativ perfect ntre rezultatele celor dou loterii; rezultatele loteriilor LX i LY se modific mpreun n conformitate cu o relaie liniar perfect cu panta negativ. Valoarea maxim a coeficientului de corelaie este +1, indicnd o corelaie pozitiv perfect ntre rezultatele celor dou loterii; rezultatele loteriilor LX i LY se modific mpreun n conformitate cu o relaie liniar perfect cu panta pozitiv. n cazul n care coeficientul de corelaie este nul, rezultatele celor dou loterii sunt independente. Valoarea absolut a coeficientului de corelaie arat intensitatea corelaiei dintre rezultatele celor dou loterii; un coeficient cu o valoare absolut mai ridicat semnaleaz o corelaie mai puternic. EXEMPLUL 20: Strile naturii i probabilitile corespunztoare sunt identice pentru loteriile L9 i L10, conform tabelului urmtor.

Strile naturii Condiii favorabile Condiii normale Condiii nefavorabile

TABELUL 6 Loteriile L9 i L10 Rezultatele posibile (mil. lei) Probabiliti Loteria L10 Loteria L9 20% 24 5 60% 12 30 20% 0 -5

Valorile anticipate i abaterile standard pentru cele dou loterii sunt indicate n tabelul urmtor. TABELUL 7 Indicatorii loteriilor L9 i L10 (milioane lei) Loteria Valoarea anticipat Abaterea standard L9 12 7,59 L10 18 15,03 Calculul covarianei dintre rezultatele celor dou loterii se deruleaz dup cum urmeaz: TABELUL 8 Covariana dintre loteriile L9 i L10 (24 12) (5 18) 0,2 = -31,2 (12 12) (30 18) 0,6 = 0 (0 12) (5 18) 0,2 = +55,2 +24,0 Coeficientul de corelaie dintre rezultatele celor dou loterii este: + 24 = +0,21 7,59 15,03 Att covariana, ct i coeficientul de corelaie indic o corelaie pozitiv ntre rezultatele celor dou loterii. Rezultate ale loteriei L9 mai mari dect valoarea sa anticipat tind s se asocieze cu rezultate ale loteriei L10 mai mari dect valoarea anticipat a acesteia; rezultate ale loteriei L9 mai mici dect valoarea sa anticipat tind s se asocieze cu rezultate ale loteriei L10 mai mici dect valoarea anticipat a acesteia. Coeficientul de corelaie arat ns c intensitatea corelaiei pozitive este relativ slab.

2.6 DISTRIBUIA NORMALLoteria reprezint o distribuie de probabiliti. Loteria L: x L= 1 p 1 x2 p2 x3 p3 ... x n ... p n

cu:

pi =1

n

i

=1

arat probabilitatea ca rezultatul deciziei s ia o anumit valoare x1, x2,,xn. Distribuia de probabiliti descris de loteria L este discret deoarece mulimea rezultatelor posibile este numrabil. Distribuia normal este cea mai cunoscut distribuie continu i simetric de probabiliti. n numeroase cazuri, rezultatele posibile ale deciziilor economice n condiii de risc se estimeaz mai degrab sub forma unor intervale de valori, dect ca elemente ale unei mulimi numrabile. Distribuiile de probabiliti asociate deciziilor economice pot fi nu numai discrete, ci i continue. Distribuia normal este cea mai cunoscut distribuie continu de probabiliti. Distribuia normal este o distribuie simetric de probabiliti, fiind complet descris de valoarea anticipat VA i abaterea standard AS. EXEMPLUL 21: Profiturile orare ale unui supermagazin urmeaz o distribuie normal cu valoarea anticipat de 100 milioane lei i abaterea standard de 40 milioane lei. Tabelul urmtor prezint statistica profiturilor orare ale supermagazinului pentru o perioad relativ lung de timp acoperind 100000 ore. Frecvena relativ indic probabilitatea ca profitul orar s fie cuprins n intervalul respectiv. Graficul din figura 2 prezint dependena dintre profiturile orare i frecvena corespunztoare, sugernd forma distribuiei normale. Figura 2 arat c distribuia normal se reprezint grafic sub forma unui clopot simetric. Axa de simetrie a clopotului coincide cu valoarea anticipat a profitului orar 80 milioane lei. Forma clopotului este determinat de abaterea standard a profiturilor orare 40 milioane lei. Abaterea standard reflect dispersia profiturilor orare n jurul valorii anticipate. TABELUL 9 Statistica profiturilor orare ale supermagazinuluiProfitul orar (milioane lei) Limita Limita inferioar*) superioar**) -60 -60 -20 -20 20 20 60 60 100 100 140 140 180 180 220 220 260 260 Total Frecvena Absolut (ore) 3 132 2140 13591 34134 34134 13591 2140 132 3 100000 Relativ (%) 0,003 0,132 2,140 13,591 34,134 34,134 13,591 2,140 0,132 0,003 100,000

*)

**)

Interval nchis. Interval deschis.

Probabilitatea riscului downside pentru deciziile ale cror rezultate urmeaz distribuia normal este de 50%. n condiiile simetriei distribuiei normale, probabilitatea ca rezultatul deciziei x s fie mai mic dect valoarea anticipat VA este 50%: p( x < VA) = 50% Probabilitatea ca rezultatul deciziei s se afle n intervalul determinat de o abatere standard AS la stnga i, respectiv, la dreapta valorii anticipate VA este mai mare dect dou treimi: p(VA AS x < VA + AS) = 68,269% Probabilitatea ca rezultatul deciziei s se afle n intervalul determinat de dou abateri standard AS la stnga i, respectiv, la dreapta valorii anticipate VA este mai mare dect 95%: p(VA 2 AS x < VA + 2 AS) = 95,450% Probabilitatea ca rezultatul deciziei s se afle n intervalul determinat de trei abateri standard AS la stnga i, respectiv, la dreapta valorii anticipate VA este aproape 100%: p(VA 3 AS x < VA + 3 AS) = 99,730%

FIGURA 2 Distribuia normalOre

Profit orar

De regul, pentru estimarea probabilitilor n cazul distribuiei normale se utilizeaz transformarea: x VA z= AS Variabila z msoar distana dintre rezultatul posibil x i valoarea anticipat VA n termenii abaterii standard AS. Tabelul distribuiei normale prezint variabila z i probabilitile corespunztoare. Variabila z apare explicit n calculul valorii la risc pe baza distribuiei normalev.

EXEMPLUL 22: Profiturile zilnice ale unei societi de brokeraj urmeaz o distribuie normal cu valoarea anticipat de 100 milioane lei i abaterea standard de 15 milioane lei. Conducerea societii analizeaz potenialul upside al profiturilor zilnice. n acest scop, experii societii sunt rugai s estimeze probabilitatea ca profiturile zilnice s fie cuprinse ntre 100 i 130 milioane lei. 130 100 =2 15 Variabila z arat c ntre profitul zilnic de 130 milioane lei i valoarea anticipat de 100 milioane lei se afl dou abateri standard. n dreptul valorii 2 a variabilei z din tabelul distribuiei normale se gsete 0,4772. Prin urmare, probabilitatea ca profitul zilnic s fie cuprins ntre 100 i 130 milioane lei este 47,72%. z= Unii membri ai conducerii nu sunt de acord cu limitarea analizei la potenialul upside, susinnd necesitatea lurii n considerare i a riscului downside. Din aceast perspectiv, experii sunt ntrebai care este probabilitatea ca profiturile zilnice s fie mai mici dect 130 milioane lei. Avnd n vedere calculul anterior, rspunsul experilor este imediat: 97,72%. Justificarea rspunsului imediat al experilor este simpl. Probabilitatea ca profitul zilnic s fie mai mic dect valoarea anticipat de 100 milioane lei este 50%. Probabilitatea ca profitul zilnic s fie cuprins ntre 100 i 130 milioane lei este 47,72%. Rezult fr dificultate c probabilitatea ca profitul zilnic s fie mai mic dect 130 milioane lei este 97,72%. Abaterea standard este un indicator corect al gradului de risc numai n cazul distribuiilor simetrice de probabiliti. Deoarece distribuia normal este simetric, abaterea standard msoar corect dispersia rezultatelor posibile n jurul valorii anticipatevi. Dac ns distribuia de probabiliti este asimetric, atunci abaterea standard nu mai msoar corect dispersia rezultatelor posibile n jurul valorii anticipate. Experii calculeaz variabila z:

REFERINE

i

Pentru argumente susinnd necesitatea unor reguli operaionale de decizie, vezi, spre exemplu, Haim Levy, Marshall Sarnat (1982): Capital Investment and Financial Decisions, Second Edition, Prentice Hall International, capitolul 9 Foundations of Risk Analysis, capitolul 10 Measuring Risk i capitolul 11 Applications of Risk Analysis.

ii

Regula simpl de ordonare a deciziilor n condiii de risc pe baza valorii anticipate i a abaterii standard a fost formulat n articolul Portfolio Selection, publicat de Harry Markowitz n martie 1952 n The Journal of Finance. Vezi Ion Stancu, editor (1998): Articole fundamentale n teoria financiar cu explicaii i aplicaii practice, Editura ASE.

iii

Exemplul este adaptat dup Haim Levy, Marshall Sarnat (1982), op. cit., capitolul 10 Measuring Risk.

iv

n cazul unei distribuii normale a rezultatelor posibile, probabilitatea ca valoarea efectiv a unei loterii s difere de cea anticipat cu patru abateri standard este 0,003%.

v

Valoarea la risc reprezint pierderea maxim posibil n condiiile unui anumit nivel de ncredere. Se consider o decizie ale crei rezultate posibile X urmeaz o distribuie normal cu valoarea anticipat nul i abaterea standard AS.

Dac nivelul de ncredere este 1-c, atunci valoarea la risc este dat de relaia: VAR = X * unde X* ( X * < 0 ) este pierderea care separ cele mai nefavorabile c(%) rezultate de celelalte 100-c(%) rezultate posibile. Notnd cu z* variabila z pentru nivelul de ncredere 1-c, se obine: X* z* = AS de unde rezult: VAR = z * AS

vi

n articolul Stochastic Dominance among Log Normal Prospects, publicat n International Economic Review n octombrie 1971, Haim Levy arat c indicatorul coeficientului de variaie msoar corect gradul de risc dac se presupune o distribuie lognormal a rezultatelor posibile ale deciziei.