2.1 RASPUNSUL SISTEMELOR IN SPATIUL STARILOR

Reluam exemplul 1 (18) , (19)

Alegem viteza si acceleratia ca variabile de stare

sau (20)

Atunci ecuatia se scrie in spatioul starilor sub forma urmatorului sistem

(21)

Iesirea y poate fi reprezentata si ea ca o combinatie de starii

(22)

In scriere matriceala obtinem

(23)

(24)

Introducind notatiile

; ; ; ; (25)

obtinem forma standard pentru un sistem liniar invariant in timp, LTI, in spatiul starilor

(26)

7Lavi

Shp

igel

man

, Dyn

amic

Sys

tem

s a

nd c

ont

rol

–76

92

9 –

LTI - State-Space Description

Oricare sistem liniar, invariant in timp (LTI) poate fidescris prin urmatorul set de ecuatii:

Linear, 1st order ODEs

Linear algebraic equations

Controllableinputs u

State xDisturbance

(noise) wMeasurement Error (noise) n

Observationsy

Plant

Dynamic Process

A

B+

ObservationProcess

C

D+x

u

1/s

Fact: (instead of using the impulse response representation..)

Instructiunile MATLAB

% se tipareste fila Matlab cu acest nume generata cu editorul de ecuatii (vezi observatia 1)

>> type osmec1% obtinemm=1; k=10; c=1; A=[0 1; -k/m -c/m]B=[0; 1/m]

C=[1 0]D=0G1osmec=ss(A, B, C, D)

% salvam

>> osmec1

% si rezulta matricele A, B, C, D

A =

0 1 -10 -1

B =

0 1

C =

1 0

D =

0

2. 2 Raspunsul sistemelor dinamice liniare ( forma matriceala) cu transformata Laplace

Fie un sistem dinamic liniar invariant in timp (LTI) dat prin ecuatia matriciala: (27)

Aplicam transferul Laplace si obtinem:

(28)

Obs.: o numim rezolventa lui A

Rezolventa este definita pentru stc cu exceptia valorilor proprii ale lui A pentru care Din relatia (28) facand transformata inversa transormatei Laplace obtinem raspunsul in timp

(29)

unde (29’)

este numita matricea de tranzitie. Astfel, solutia in domeniul timp este

(30) Observam ca x(t) este o functie liniara de starea initiala x(0) Ex.: Oscilatorul armonic

Calc. rezolventa

si inversa rezolventei

Matricea de tranzitie este :

Solutia (31)

Obs.: Valorile proprii sunt date de radacinile polinomului caracteristic

Polinomul caracteristic se obtine in Matlab: cu secventa det(A); poly(A)

>>A =[0 1;-1 0;]A = 0 1 -1 0d = 1>> poly(A)ans = 1 0 1% poly(A)=

Pentru sistemul in forma generala (26)

Aplicam transformata Laplace si obtinem

(32)

Folosind transformata Laplace a produsului de convolutie

respectiv

si tinind cont de relatia (29’)

obtinem din (32) solutia

(33)