c'ail /7.7. /77

CZ5Ue Lt re .5 //

vc379.5-.

www.dacoromanica.ro

A TIM ETICAELENIENTARA_

Gil TORE INCERCARI d RATIONANIENT Bit UN MARE RIMER dB HERMIT 0 HOME

-

PE CENTRU CLASA la DE RS SECUNDAR

TH. POPESCUT.D 'ENT! AT iN MATE,MATICE, PROFESOR

AprObatet ca carte didacticci de ininisterul Cultelor fi instruct. pub/ice

EDITI-UNEA II,I1REVDITTA

BUCURESCITIPOGRAFIA GUTENBERG, JOSEPH GBL

23,STRADA DMNEL-231895

D1.

a

a

a

www.dacoromanica.ro

Pte esemplarele vor purta semnatura autorulta.

www.dacoromanica.ro

A RITMETICA ELEMENTARA

AUTOR.VOLoat

CAP. I

. NOTIUNI PRELIMIN ARE

-- Cdnd avem in fata nstr mal multe corpurT ..de-zacelasl fel, putem se le considerdm sati pe fie-care in parte-sad pe tete de o-ciftta. n casul d'Anteitr captain ideia deImitate sail ?Mime, intelgnd nUrnaI un singur corp. In,casul d'al. douilea cdpdtam ideia de numr, intelegend esis-tenta mal multor corpurl la un loc.

Ast-fel, arboril dintr'o grAdind, fie-care in parte ne.ideia de unitate si tot,.I de o-datd., ideia de numr. -

Dec arboril sunt asedatl in rinduri, fie:care rind, desitcoprinde mal multi arboil, se pte' considera ca unitate in.raport cu cele-ralte rindurI, si kite iindurile formzd nu-merul, adicd unitatea este si ea. un numer.

Definitiuni. Unitate salt' unitne este ideia ce avem-despre esistenfa unui singur corp sa a-ma' multora,,considerate de o-data la un loc.

Num6r este ideia ce avena dispre esistenta mai mul-tor unit* la un loc.

Ideia de unitate este feirte generald, chiar in esem-plul nostru unitate e si arborele inparte i rindul de arbori.

Cdnd corpul, conii.derat singur, e naturalmente indivisibil:sa. e format din WV care se completzd. una pe alta,

J. POPESCU JENABE

--

www.dacoromanica.ro

4avem ideia de unitate intrgei, de esemplu : un om,casa, o pane, etc.

.Cdnd nsa putem i chiar consideram Una sat' mal multe.par din cele care formza o unitate intrga, captarn ideiade fragmente sa peirti din, unit atea intrgei . De esempluun sfert de pane, o felia de mar, etc.

Am dis ca mai multe unitatl, considerate la un loe, nedau ideia de numr and unitatile sunt intregl, avem limn&de unitetri, (corpurI) intregi, numit ma scurt num6r intreg,cand consideram fragmente de aceiasi mrime (numerile-fractionare ordinare) sa i fragmente de mdrimi diferit,,(marimile fiind legate ntre ele dup regule Cunoscute,d'inainte, numerile fractionare .complexe i decimale) avemideia de numr de fragmente, numite mai scurt numere.-fradionare.

-- Aritmetica (de la c). num6r) este sciinta;numerilor, ea tie //map, a forma si a cun6sce numerile,.operatiunile i proprieteitile .elementare ale lor.

Aritmetica se numesce elementaret cand studiz. in.Mod resumativ operatiunile i cdte-va proprietati ale flume--rilor, si se numesce teoreticei sati rationatet, cand prinrationamente cauta i generalisza resultatele si deduce.consecrate din operatiunile i proprietatile numerilor.

OrI-cum vorn studia aritmetica, in mod teoretic satiresumativ, vom studia la fie-care fel de numere patru partlprincipale: I Nuineratiunea, II Operafiunile ce se Taoasupra numerilor, iII Proprietcifile dementare ale nu--merilor, i / V Diferite aplicatiu,ni practice.

;

=

www.dacoromanica.ro

5PAR TEA I

NUMERE INTREGI

CAP. I

NUMERATIUNEA

Numerafiunea este partea aritmeticeI care ne Twat&-a forma, a vorbi si a scrie flume); ile in modul cel malsimplu posibil. Ea se sub-divide in doud prp I. Numera-puma vorbit si II. Nwmerafiunea scris

T. Numeratunea vorbig

Numeratiunea vorbitd este partea numeratiunii care-ne Invat ca cu putine vorbe s formrn si s numim-cdt de ..multe numere.

Numerile succesive se formzd prin addogarea uni-tatilor una cate una si fie-cave numr ast-fel format numin7du-se cu o vorbd, deosebit de cele-l-atte. .Ast-fel esisten(aunu singur. corp. l'a. un loc ne cld icleia de unitatte si oexprimam prin vorbele unu sag o; dc la aceSt corp-(unitate) addogdm enc unul, formAm un numr pe care 'Inumiin (conventional) doui sail cloud; acestui nod numr:addogandu-1 nc o unitate, formam un alt numr, pe care'1 numim trei, asa urmdncl s'a format si s'a numit nume-rile patru, chid, Ose, se'pte, opt, noud

Numrul clece are un rol Mile insemnat si a facut ca.acstd.numerotatiune se nurnsca qecimalei, iar el in sine

-

6.

clece.

www.dacoromanica.ro

se mat numesce unitate de al douilea ordin sag de cdoua md rime si la plural face deci.

Urmdnd cu adaogirea unitatilor una cdte una, formamort-cdt de multe numere succesive ; dca le-am numi pe.fie-care cu numire nou, am avea multe vorbe deosebite,pe care ar fi frte greil i chiar imposibil se' le tinem minte.Pentru a ajunge scopul numeratiunif vorbite, s'a cautat canumerile ce vom forma se" le numim cu compuse ale celorqece vorbe de One acum ; asa : addogdnd numerului geceo unitate, formam un alt numer pe care '1 numim unu si(pee sati un-spre-dece, acestuia add'ogand ncd o unitateformam numerul not' pe care 'I numim doui si dece satrdoui-spre-dece si asa formam trei-spre-dece, patru-spredece, etc., numrul format din noud-spre-dece i ncaunitate, '1 consideram ca format din dou, grupe de dedsi '1 numim doud-deci. Numerarea succesiv este cloud -ded

unu, cloud si doui etc. Tot asa putern forma nurneriletrei-ded, patru-ded cind-deci, etc.., ached facem cu gecile totcum am facut cu unittile simple sit de aceia considerandcile ca uniml, le numim unit ati de al douilea ordinde a doua meirime. Numrul dece-ded fiind cam gretil depronuntat s'a numit cu. vorba noua sutd , care s'a numitunitak de al treiled ordin sag met rime, cad putem lucracu ea ca cu unitatile de dritiul si al doilea ordin, adicaputem face o sut'd, doud sute, trei sute, etc. Numera-tiunea succesiva este o sutd i unu, o sutd clout o sift&trei, etc.

Num-erul format de (pm sute, '1 numim cu vorba nouamia, pe care o consideram ca unit ate de al patrulea ordin,cad putem forma doud mii, trei mil, etc. Tot asa formamcled de mil, sag unitat21 de al cincilea ordin, sute de mil sailunitatt de al sselea ordin, miline, biline, etc.

6

www.dacoromanica.ro

79. Cu aceste putine vorbe patru-spre-cleceputemnumra si vorbi .t de multe corpuri de acelasi [el,

Eseniplu. Se numram i se spunem nucile dinteomada mare : formarn mal anteifi, cat se 'Ate de multe.grupe deci i inem socotla cate- unitatl simple ne a-remas, fie opt nuci ; dupe acsta reunim grupele de clecI cateclece la un toc, adica forynam ,stitele i inera socotla cate c,iecTsingure.ati remas, fie trei-deci, i asa'reunira grupele de sutein mii, miile in deci de mii, clecile de mil in sute* de

sutele de mil in miline si asa mal departe., tinndsocotla de cele de acelasl ordin care n'ati putut forma ogrupa de cjecer; se presupunem, c in esempltil nostru, ne-amal remas Singure, cinci mil, opt-deci de mil, nouei sute demii i patru miline. Num6rarea fiind facuta, vorbirea o.facem, -dupe natura omenesca, sriunend; succesiv grupele, pe.rand de la cele marI spre cele miel, adica: patru mili6ne noueisute de mii opt-deci de mii cinci mil, trei-deci i opt nuci.

Aci observam -ea grupele nota sute de mil, opt-decide mii, cinci mii coprind tte vorba mil, si se pot vorbimal scurt nouei sute opt-deci i cinci mii, adia ordineleIV, V si VI, formza o trpteta miilor. Tot asa sutele de

clecile de -miline i milic5nele formza trpta mi-linelor, i prin deductiune clicem ca sutele, cjecile i uni-tatile simple formza _trpta sutelor sati a unimilor.

EsemplUI de sus se va ceti: patru miline nouei suteopt--deci $i cinci de mii trei-eleci si opt de nuc. 1.

E de observat ca in vorbirea numerulul nu spunem de.locordinile care lipsesc. Din acestea avena: .

10. - Regula numeratiunil vorb- ite. Pentru a vorbi unnumer format spunern multimea si ordinele in 'repte,dcei s'a putut forma trepte, de la cele mari ctre cele

ne spunnd de loc fipsa vre-unui ordin sai trpta

grd-

miline,

www.dacoromanica.ro

In eSemplul nostru xara,. rioud -sute, opt-cleci, cinctirei. i opt sunt multime,. ia Mili6ne,. mil si sute, dea

unimi simple, sail nuci sunt trepte si..ordine.

II. Numer.atiunea- scrisg,

Numeratiunea scrisA 'este partea numeratinnil.care.ne invat." .ca cu putine semne s scriem ort-Ce numen.

Semnele i numerile .corespuncletGre. ce ,rePresirit. sunturmtrele :

'Nninerile unu set O, doni sari dona, trel, Patru, cinci, se, pte, opt, nona..

Semnele : i, 2,, 3, 4, 5, 6, 7, .8,, 9.Lipsa unuI numer de orI-ce ordin, se iriSmn. Cu sem- -

nul O, nurnit zero sati nula. Cu aceste doce .semne nurnitedise si arabice), putem se scriem orl-ce numer.

12. 'Scrierea. nurnerilor cu tifre se baszA pe urmA-trea cOnventiune : crisei la skinga alteiaarate( un ordin de dece ori mai mare, dect cea scriseila drpta aratd 'un ordin de dece ori mati mic.

den' scriem alaturate tifrele 9 si 3, adic. 93,Arat decI si 3 .uniml dc. 3 ar representa sute,

9 ar.: represen ta un ordin. de dece orI 'mal mare,. adic.9-Tar representa sute de mii, 3 .ar representa

un ordin de dece orl mal mic, adich (poi de -mi.13. -- Regula .numeratiunii scrise. Pe acest conven-

tiune s'a format 'regula pentru A 'serie cu tifre orI-Ce nu-mer : Ca s scriem -C24 tifre 'Un .nnmC'r .enuntiat prin

*) Pentru-c se dice c ar fi luate de la Arabl;

8

I

tifre,

Ast-fel,-

www.dacoromanica.ro

vorbe, scriem, incepnd de la steInga spre drpta, titrecare se" represinte multimea din ordinile succesive enun-fate, pun nd cero in local celor neenuntate:

Esemplul enuntiat Mid sus (9) : patru miliOne nou'al suteopt-deci si cincI de mil trei-clecl si opt de nucI, se vascrie 4985038 nuci.

Am scris mal Ant6iti. pe 4 care represint miliOne, apol,sciind ca tifra scrisa la drpta lul 4 represinta sute de mil,am scris pe 9; dupe- su tele de mil' ordinul de gecemaT mic este c,lecl de mil, scriind la drpta lul 9 pe 8,acst VIA va represinta clecile de mi,.ifra 5 scrisa ladrpta luI 8 va represinta miile, tifra . scrisA la drpta lul

.va represinta sute si pentru ca in numrul nostru nuavem sute, scriem un zero, 0, de asemenea tifra 3 scrisala drpta luI zero represint decile si 8 scrisa la drptaluI 3 reprsintA. unittile de mid.

14. Regula cetirei : &Ind un numgr scris e de maimulte titre, pentru a-1 cet:i de o-datel raportandu-1 launiM7i, despartim In trepte, adicd in despar(iri decelte trei titre, incepnd de la drplar. spre steingaast-fel ciinoscnd. felul treptelor cetim nriatimea i felullor de la cele Mai 'mari ccitre cele mid, farei a spunelipsa celor care n'ar fi.

Esemplu: 653049207 desprtit in trepte da.-207 unim4sati sute), 049 mii, 653 mili6ne si se citesce ast-fel 653miiine 49 de. Mil 207 unit'atI.

Esercip : S6 se emu* dupe regulile numeratiunilor vorbite si.scrise esemplele urmAtere :

..

. 1) Opt milioane treI-deei spte sute de mil patru mil cincI sute.4i - noui-i unitatI. ' .

.2) se mil treI-deeI doll& decl de mil patru unitgl. -

ori

'1

.

www.dacoromanica.ro

10

Doa-c,leel milioane opt sute trel unittI sse mil trelsepte sute de mil'.

TreI biline dou6 inii treI sute si nou'a70325, 8000500, 3206000507.

CAP. II

OPERATIUNI CU NUMERE INTREGI

I. Adunarea

15. Adunarea este o operafiune prin care reu-nim inteun singur .num0, numit suma sait total,unitei file de cliferite ordine coprinse in mai multenumere date.

Semnul acestei operatiunf este +, numit plus sati se se-adune cu; ast-fel 9 +7, insmna si se citesce: 9 plus 7satt 9 s se adune cu 7.

-16. La adunarea-numerilor intregi avem dou casurl: I-Cdnd numerile de adunat sunt de dite o singur ti.frei si II. Ccind numerile de adunat sunt de cede mal;multe fitre.

1.7. Casul I. Esemple : a) 9 +7.Aicl, dup modul formrii numerilor si difinitiunea adu-.

narii, trebue s adunm lui 9 unitatile coprinse in 7, unacate una; prin exercitia ajungem s adunPim de o data nu-merile de cate o singur tifr i zicem 9 si cu 7 fac 16..

b) 26+5+8. In acest esemplu trebue s adun'am lu't 26,pe cele 5, apoi pe cele 8 unit'ay;le vpm aduna qicnd 26si cu 5 fac 31, 31 si cu 8 fac 39, 39 este suma totala.

Din acestea avem :

.mili6ne

unitatI.

-

www.dacoromanica.ro

11

18. Regula casului I. Ca se aduna m numere de cateo singurd tifra, adana m, dupe ordinea scrierit nume-rului d'anteif, t6te unitatile celui d'al doilea, sumeiaflate unitatile celui d'al treilea, i ciwt urmdm pnece aditn'dm Me' numerile date.

Alt esemplu: 8+3+7+9.Vom dice 8 si cu trei fac 11, 11 cu 7 fac 18, 18 si.

cu 9 fac 27; 27 e suma ceruta.Pe tabla yran. arata operatiunea ast-fel:

8+3+7+9=27 sail 8+3+7+9.

27 Suma cautala19. - Casul II. Esempin: 6328+12507+649+38615.Dup' definitiunea adunaril, pentru a forma suma, trebuie

s adunan la un loc unitatile simple din tte numerile,adica 8 cu 7 cu -9 si cu 5, apol- decile sati unitatile de aldOilea ordin iarasi din tte numerile si tot asa unitatiledin cele-l-alte ordine. Observarn ca suma unimilr e'29 adica9 UlliMi Si 2 dect decae trebuie s le adunan la decTasa si cu suma decilor, sutelor etc. De aci:

casuluT II sail regula generald. Ca se adundmnumere de cate mai multe fitre, le scriem unele sub alteleast-fel ca unimile se fie- sub uninat \clecile sub deci,tele sub sute i aqa .cu tte ordinele, apot tr agend olinie orizontald pe de desupt, incepem a aduna pe co-lne de la drpta spre stnga. Deca suma dinteo co-l6nd e inca mica de cal zece, o scriem de desubtul colnetdca ensd e mal mare, scriem numai unimile iar (pedele adncim la colna urma tre. Aqa lucram pene la cea.din 'arma col6nd a ccirui suma o scriem. complectd.

20.Regula

www.dacoromanica.ro

Esemplul dat se va dispune si lucra ast-fef :6328-F 41'

12507+- 649+

3861558099

Suma unimilor 8 +.7+9 +5 este 29, am- scris unimile 9'sub colna lor iar clecile .2 le adunam la collna urrnatelre,laceste 2 cileci i cu 2+0+4+1.fac 9 qed, suma e mai mica' de--cat -4ece, o scriem complecta de desubtul cole.nel" respective;apoi 3+-5+6+6 fac 20 sute, scriem O sub.colna respectivaiar pe 2 '1 adunm la colema urinatre, clicnd 2 si cu 6+2+8,fac 18 mil, scriem pe 8 sub colljna lor, iar pe 1 '1 adunam. lacolna urmatre, adica 1 si cu 1+3 fac 5 pe care 'I scriemde desubtul colOneL Suma cerula este 58099.

21. Proba adiara'. Proba une operatiunI este ope--ratiunea complimentara prin care ne asigurAm ca cea d'An-ti a fOst facut esact

22. Regula.: Ca se facem proba adunarit adunam .&Jai o .data. in ordine inversa, adica, dca am adunateinti pe colne de sus. in joS, aduneim a doua 6rel,.-tot pe colne, -de jos In sus i dca" ne va da acei,asi

d'ntOifc a foSt bine

Sensul in care s'a facut Eidunarea.

suma e probabil, cd operatiunea,jet- cutd

Esemplu :

_Adunarea 46326+ Proba 46326+12507+ Sensul a- 12507+ Sensul a-3469+ dunilril: 3469+ dunrif

38675+ 38675100977 100777

'

.

www.dacoromanica.ro

13

Suma fiind aceias1 in -anibele adunan, dicem ca cea-.d'ant6i1 adunare a fos.t bine Malta.

Esercifil : 8+5+3; 6+2+5+7; 9+3+2+6+4; .34+9+8+6+3+2+5;628+1500+7256; g,3 2 9 + 27 3 5 98 + 4 0 56.09 ; 1206538+4800+653282715.

PrObieMe:. 1) Intr'un cos sunt.Pgr- zahAr, 2Kgr. calea, 51gr. pane6Kgr' carne; ale. kilograme sunt in cos ?

Intr'o gradina de forma trhinghiuldra arbnriI stint asedatIrindurl: in primul rind e 1, in al doilea rind sunt 2, in al treilearind 3, etc., in ultimul rind, al septelea, sunt 7 arbdrI;.catI sunt intta gradina'?

.Cat fac la un loe treY mosiT alittUrate, una de 6348 Ectare,_a doua de 3752Ea. si a treia de 907Ea?

Cata lungime ar da la *un lc mai multe lini ferate; a'nteia de481 kilometri, a doua de 32Km, a treia de 55Km, a p.atra de 374Kmsi a cincea de 294Km?

Cine-va lasa prin 'testament: sotlei sale 26538 lel,.pentru. .sc(51e-9500 lei, .pentru spitale 8000 lei- si pentru saraci 2564 lei; OM:avere a avut ?

Un elev dice coleguhil : Ed am 8-5 bani, (WA 'ml-aI da tu20 banI, am avea am&idol sume egale; catl banI avea cel d'al .doilea elev ?

6) Avnd 12 scaune asedale In linie drpta i departate intreele cu cate 10m; cat drum ar. fade un *um ca s le adune pe .t6tela un loe? .

8). TreI lucratorI linpaittit o suma de banI : _anteiul a luat76 lei, al doilen .cu 14 lei mai mnft de cat cel.d'ntia si al treilea.cu 28 lei mal mult de cat cel d'al doilea; cate .cat a luat fie-caresi cat a foSt suma de impartit ?

II. Sciiderea

23. - -Sat' derea, este operafiune prin care &In-, .

.du-se cloud, numere, unul _Mai mare numit desceidut,qi altul ma mic numit scei getor, ni se cere s sc6tent

-

in

o

www.dacoromanica.ro

14

-din desceldut unitatile de diferite ordine coprinse insccid6tor*)

Semnul operatiunei este, numit minus sati s'e se scada ;descadutul se pune la stanga semnului iar scadrtorul la drptasemnuluI sati de desubtul descadutulul. Ast-fel 9-5 sal' 9

5insmna.' si se citese 9 minus 5, sal) din 9 s se scada 5.

Resultatul operatiuneI se numesce r6mas satt diferintei,

-- La scderea numerilor intregI avem dou casuriI. Cand set' cletoral e de o singurei _tifra gi 11. Cand scet-46torul e de mai multe fifre.

Casul L Esemplu : 9-5.Dup met(ida formaril numerilor si definitiunea scaderil,

trebuie s sctem din descadut unittile coprinse in sea-dtorul 5, una cate una. Prin esercitia asa ajungem a lescadea pe bite de odata., dicnd 5 din 9 rman 4.

Asemenea, in esemplul 26-7, vom dice 7 din 26 r-man 19. De aci :

Regula casuluI I., Cand sea ddorul e de o singura tifretinvaleim se '1 sceidem de o-datci din descadut.

26 -- Casul II. Esemplu 93624--81203.E evident si resulta si din definitiune ca trebuie s sea-

dem unitatile 3 ale scadtorului din 4 ale descadtoruluI,decile O din 2, sutele 2 din 6 si asa mal departe, de undeavem :

Regula casului Itsati regula generala. Ca se facem o sca-dere de casta al doilea, scriem pe _sea d6tor sub descadut,a st-fel ca unimile se fle sub unimi, decile sub deci, sutele

Scderea este o operatiune invers adunril : ddndu-se suma a dou4numere f i unta din ele, ni se cere sei aficlm, pe cel-l-alt.

:

-

:

www.dacoromanica.ro

15

sub sute, si asa mal', departe, apoi, trgnd o linie orizon-tala pe dedesubt, scei dem pe colne, incepnd de la drptaspre steinga, tifrele de jos din cele corespunclare de sus.

Esemplul dat se va lucra ast-fel :93624 descaqutul81203 scaetorul12421 rmasul sa diferinta.

picem 3 din 4 rmane 1, apol O din 2 tot 2, 2 din 61.6m:d'II 4, 1 din 3 rmane 2, si 8 din 9 rmarie 1; res-turile le sriem de desubtul colneI respective.

Observare. Dca vre-o tifra a saigtorului e mal mare'de cat tifra corespuncitre a descazutulul, marim tifra des-cadutului cu o cjeci=10 unitati i scadem; apol, marim ti-fra urmatre a scaltorulul cu o aceiasi dcci si asa urmarnscaderea p.n la fine.

Esemplu : 5634 .-2875-2759 sail 5634 descaclutul.2875 scacltorul.2759

Dicem : 5 din 4 nu se pede, marim pe 4 cu o 4eci=10unitatl de felul lui 4 si qicem 5 din 14 rman 9, apoi ma-rim pe 7 ca aceiasi qeci, .adica 7 si cu t fac 8, 8 din '3nu se pte, marind iarasi gicem 8 din 13 rman 5, deasemenea 8 si cu 1 fac 9, 9 din 6 nu se p6te, 9 din 16rmen 7 si in fine 2 si cu 1 fac 3, -3 din 5 rmanRmasul saa diferenta cautata este 2759.

27. Proba Saderi. Proba scaderil se face in douamodurl: I. Prin adunare si If. Prin scddere.

T. Prin adunare : Adunara scacplorul cu rmasuli dceine va da pe desceiclut; operatiunea a fost bine fcicutet

www.dacoromanica.ro

16

II. Prin scadere : Scddem r'masul din desccidut $idcd ne va da pe sceicRtor, operatiunea a fost binefdcutd.

tsemplu Saderea Proba93624 desc'.d. I) 81203+ If) 9362481203 seal*: .12421 1242112421 rmasul 93.624 81203

Dup resultatele gAsite se vede c. a fost binefacutii.

Esereipti: 8-3, 7-5; 9-2, 15-8, 27-6, 836-325, 9305-9273,45627-38654, 36720950-8407503.

Probleme: 1) Intr'o clasa sunt 65 de elevi, la finele anuluI scolarail fost promovatI In clasa Urmateire '56; .catI a r'mas repetentI?

2) Dinteo bucata de postav de 57m. s'a taiat 15m. ; ci ati malrmas ?

3)r Cu cat trebue s marim pe 9504 ca s avem 12654.0 persna s'a nascut la 1819 si murit la 1893 (aceiasI luna

Catl anl a trait ?Intr'un moment dat distalnta de la pamnt Oa la Ore es1e

de 1492376000 Km. iar distanta Oa la luna este de 380000cu cat e maI departe srele de cat luna

Un tata avea 32 de anI la naseerea fiuluI sil: ce etate vaavea fiul cand fatal va avea 53 de anI?

In Franta a lost revolutiunI la anil 1789, 1830 si 1848, la ceintervale a lost revolutiunile ?

. 8) In dou gradinI sunt. 400 de arborl, inteuna sunt 74 arborImaI mult de cat in a doua; cate catI arbori sunt in fie-care ?

III. Inmultirea

28. --- Inmulfirea, este o operafiune prin care &In-du-ni-se cloud numere, unul numit deinmulfit si cel-l-alt

scklerea

.

7).

www.dacoromanica.ro

17

inmultitor, ni se cere sa afidm un al treilea num6r,numit produs, format din deinmultit precumtitorul s'a formal- din un:i,tate. *)

Semnul operatiunii este X sati. . , Care se citesceAst-fel 7X9 sail 7.9, insemnzh" Si se citesce 7 In-

mltit cu 9. Deinmultitul se pune la stnga semnului iarinmultitorul la drpta semnutuf saft de desubtul inmultitorulut

Cu .b singur vorb deinmultitul i irimultitorul se nu-mese factOrti.

La inmultirea numerilor intregI &veril trel ca-suriI. ainddeinmUltitul i inmultitorul sunt numere de cdteo sin gura tifrei ; II. Celnd deinmultitul e de mal, multetyke si inmultitorul numai de una; III. Cdnd i dan-mulfitul si inmul(itorul swat numere de cate ma' multetifre.

Casul I. Esemplu : 8X5.Inmultitorul 5 s'a format adunnd unitatea de Cinci,

dup definitiune, pentru a 'forma produsul trebue s adun.mpe deinmultitul 8 tot de cinci orT, atila... 8+8+8+8 +-8,.suma este 40, deci produsul cAutat, 8x5, este .40.

Prin esercititit vom ajunge a sci pe din M'ara produsurlui 8 cu 5 si In genere, vom invata: produsele a doild nu-mere de cate o singur. ifr. Aceste prodUse sunt coprinsesi se My*" usor din Iabela urmatcre numit tabelamultirit

*) Inmultirea numeritor intregl este adunarea repetata a ace1uias1 numgr.Art. Elem. 2

inmul-

inmul-fit 'cu.

-

30.or',

www.dacoromanica.ro

18

Acst tabelA,se formza ast Facern un Vatrat mareA B C D, pe care '1 despArtim prin 8 linil verticale si totatfttea linii orizontale in 81 de patrate niici. Scriem apol* inprima linia orizontalA cele d'elntatt nouei numere consecu-tive ; in a doua linie scriem indoitul primelor numere, in atreia intreitul, ma patra inpatritul si asa mal departe, pnIn a noua lini. in care scriem cele .d'Anteitil numere luatede nouet oil. De aci se vede ca: Fie-care colnet orizon-talet coprinde produsele numerilor din eintia colneiorizontalei, considerate ca demnmulii, prin nuntrul dela inceputul colnei orizontale, considerat ca inmultitor.

De esemplu: colcna care incepe. cu 5, coprinde produ-sele numerilor din colcna antia prin 5, asa 40 e produsulluy 8 prin 5; de asemenea colcna care incepe cu 7, coprindeprodusele acelorasI numere prin 7, asa 42 e produsul lui6 prin 7.

31. Regula casului I. Inmultirile numerilor de Celleo singuret tifrei , prin ajutorul tabeleI, se nvac i se sciape din afar&

1 2 3 4 5 6..--._

12

7 8, 9

1827

1 2

I 346

6 8 10 14 169 12 15 18 21 24

4 8 12 16 20 24 28 32 365

61210 15

182.0

2425 30 35 40 4530'35

40

36 42 18 547 14 21 28 4'2

481

49 56163728 16 24 32 56 64

9 18. 27 36 45 54 63 72 '81

www.dacoromanica.ro

19

32. . Casul If. Esemplu : 4839X6.Aici Inmultitorul 6 s'a format adundnd unitatea de sse ori ;

ventru a forma produsul,.trebuie s' adunarn pe deinmultitul4839 de sse orT, adicd. 4839-1-

4839+- - -+- - - de sse orl.

Cdutnd a face acst adunare, vedem cd, pe 9 '1 adundm-de 6 orT i unimile\ 4 le scriem sub colna lor, iar cjecile.5 le adunm la colna urmtre, acsta este a inmUlti pe 9-cu 6, 9X6, a Scrie unimile produSuluT sub 9, iar decile s le.adundm la produsul urmdtor; apoT, s adundm Pe 3 *de 6

sumei aflate s adundm pe 5 din colna precedent.,s scriem unimile 3 ale acestuT ordin sub colna lor, iar

-clecile. 2 s le adunam la colna urmdtre, acsta este atnmulti pe 3 cu 6, 3X6, la produsul aflat .s6 adundmc,lecile de la produsill precedent, si- s scrien.1 Tinirnile sub

,-ordinul respeetiv (al deInmultituluT), iar decile s le adundmla produsul urmAtor, si asa mal departe, de aci

33. Regula casului II. Pentru a face o inmultire decasul 11, scriem' Otra inmul(itorului sub fifra de unimia deinmul(itului,apoi cu ea inmultinz pe rind bite tilrele

incepe'nd de la drpta spre stinga; dcei.vre-un produs e mai mic de cal 10,7 scriem dedesublul

corespunc,l6t6re a deinmultitului, iar decid e mai,mare, scriem ntma unimile iar decile le adunam la43rodusul urmeitor, si asa lucreim, p6n6 ultimulprodus pe care scriem complect.

, Esemplul dat se va dispune ast-fel pe tabla' :4839X

629034 produsul

j.j)ici3nd : 6 orl 9 fac .54, scriem 4 si tinem 5; apot 6 orT 3

-

.deitmultitulu,

www.dacoromanica.ro

20

fac 18 si Cu 5 fac 23, scriem 3 si tinem 2; 6 ori 8 lac48 si Cu 2 lac 50, scriem O si tinem 5, in fine, 6 oil 4fac 24 si Cu 5 lac 29, pe 29 'I scriem complet. Produsulcautat este dr 29034.

Casul IIIqis i casul general. Esemplu : 7298X356.Inmultitorul 356 este format din 6 uriitti, de Ordinal I,din 5 deci, sail 5 unitdri de ordinul II si din 3 Sute sali 3unitati de ordinul ; pentru a forma produsul; vom luape deinmultitul 7298, considerat ca unitAtT de ord. I, de6 or', adich 7298X6, apoT, considerat ca lec' sawnitdide ordinul Il, de 5 oil, adicA .72984e0X5 i produsul vafi (led, in fine, considerat ca sute sail uniteiti, de ord.III, de 3 orT, adica 8298s1te X3, pro.dusul va fi sute; tteaceste produse, numite partiale, le adun'am la un loc,avem produsul general. De aci:

Regula casului III sag regula casuluI general. Cafacem o inmultire de casul 111, scrim, ca la adunare,

pe inmultitor sub deinmultit, apoi inmulfim pe rindcu fie-care tifrei a inmul(itorului pe t6te cifrelemultitului, observdnd ca produsele sej incepem a le SCriedin dreptul fifrei cu care am inmulfit ; dup aceiatragem o linie orizontald pe de desubt adundm, sumava fi produsul cciutat.

Esemplul dat se va dispune ast-fel:-7298X . . . deinmultitul

356 . . . . inmultitorul43788

36490 prod use partiale218942598088 produsul total

.

www.dacoromanica.ro

21

35 bis. Observarea 1. and vre-unul din factorl sat' a-Tn'ndoi de odata a zeror1 la fine, inmultim numai tifrele:semnificative si la drpta proclusului scriem zerorile cateati fost.

Obs. Il. Cand inmultitorul este 1, urmat de zerori, dup"obs. I, scrim zerorile la drpta deinmultItului i num'erulast-fel format va fi produsul cautat.

Obs. iIi. Dca intre tifrele inmultitorulul sunt zerori, nuinmultim cu ele, produsul cu zero este tot zero, ci,sarind peste ele, Mmultim cu cele-l-alte tifre.

Esemple :1) 28500X4200; II) 96512 X100 ; 1H) 4629X309.1) 28500X II) 96512X HI) 4629X

4200 100 309570 9651200pradutg 41661

1140 13887119700000 produsul chid, - 1430361 produsul &big

36. Produs de rna multi factor. Se numesce pro-tlus de mal multi factor' resultatul ce obtinem cand inmul-Vm pe rind mai multe numere. Asemenea inmultiri se facinmultind numrul d'anteiti cu cel d'al doilea, produsul aflat.cu cel d'al treilea si asa maI departe.

Esemplu : 38X15X28x425.I) 38x Il) 570X 1H) 15960X

15 28 425190 456 798038 114 3192570 produsul 15960 prod. al 6384

anteiti doilea 6783000 produsulcdutat

37. Puterea unui numn Cand inteun produs demal multi factori, fa.ctoriI sunt acelasI numr, qicem ca avem

-

-

/

www.dacoromanica.ro

22

putrea acelui numer Vscriern -mal scurt scriind..nu--merul numal dat si o tifra mal mica scrisa la di'pta,

ceva mal Sus, rtumitei esponent, arata de cate orInumr e luat ca factor.

Esemplu : 7 X7 X7 X7 insemnzas si se serie 74, citindu-se-7 la a patra piftre: _

38. Proba Iiimultira Ca se lacen?, probaschimbain ordinea factorilor, adicci, face;n pe4it inmultitor si" pe immultitbr deinmultit Si lacera,

inmultirea si (Mea gasim attelaS ;produS; inmulitrecvcintia a tost bine facie&

Esemplu: 7298X356.InmiAirea 7298X Proba 356X-

- 356 7298 -.43788 s 2848320436490 712.

21894 24922598088 2598088

In ambele operatiunI gasind acelas' produs, operatiunea-,'.d'antela a fost bine facuta.

Observare. De aci deducem ca intr'un produs de doul fac-torI putern considera pe orlcare ca delnmultit si pe ce1-1-alt.ca inmul(itor. -

439X7;-.7325X9; 30608X5; 48324X6291; 6600492X3408;. 48300X6324; 654000X2606; 98305408; . 65X3X29X75 ;.49.56X309X370500X6380900. ,

Pyobleme: -*) 1) Ce i 5 moscenitorI. (Ipmult4orul) unel averi

Produsul. fiind format din_ delanultfi, In probleme, (lea facCorif sunt de-7felurl diferite, "produsul va fi' de .acela0 fel cu delnmultitul ; (Ida factorg sunt:de acelasT fek, produsul va fi reSultatul problema.

. -

e

acel:

inmul-de-

Esercip:

*)

www.dacoromanica.ro

..

primesc He-care Cate 7856 lei (deinmultitul); cat a. lost WA averea ?th lucrator. lucrez.a. 305 4ile (inmultitor) intr'un an cu cate

4 lei diva; cal va Primi peste" tot ?**) cu .neptea_aa 24 de. ore ;. cate ore sunt ,inteun an ?Ifiteo di sunt 86400 secunde ; cate secunde stint intr'o luna?

/5) Cine-va cumpera o mosie de -6,49 Ea. cu cate 425 lei Ea'; catva pint pentra intrega mosie ?

Intr'o fabrica lubrz pe di 62 de lucratort, He-care e platitCu. 3 lei pe di:cat se va plati- la toti trite luna? -

Pe o mosie de 7825 Ea', intre altele se smena, i gilt-I.,. pefie-care- ectar, cate 1:2 L; cat grail se va Semena pe 4250 Ea..?

Un comerciant a cump&at 600Ectolitri de vin cu cate 19 lei ecto-litrul, si 400 Er' cu cate 25 lei dtolitru, cheltuelile de transport siallele se radica, la 4 lei de eetolitru. Cernerciantul vinde tot vinul cucate 28 lei. un ectolitru; cat a castigat: -peste :tot ?

.9) Intr'o lmilie de lucratorf, tatal castiga.: 5 lei pe di, fiul.cel

mal Mare 4' lei pe di; si cel mai mic. 3 lei -pe di;. pentru tinbraca,mihtea tutulor- se platesce 600 lei pe an pentru -maneare si altelecate 6 fi pe di. Cata economie se face pe an, socotind anul de300 de dile de lucru?.. .. 10) Trebtie se se paVeze cu para cubica 25.strade, He-care tradade cate 3376mP.,. (lungimea de 422 m. lairgimea. de 8 m). Pe me-tru Patrat se .Intrebuinteza., .48 petre cate petre se vor intrebuintain total ?

-

IV. ImOrtirea,

39. Iowa rfrea, este-o operafiwneprin care deindu-sedou,' d numere, Unul nuln. it debnpeil;fit 0, cel-l'alt bnpcir:titor, .se cerd a gcsi /an al treilea Twiner, nicnvitcare 4,n4nulfit cu "limpet ilitorul ne dea .pe deimpartit.

.bnp_er(irea numerilor ixtregi se In. a.4 definesce: Opera-s.

23

*1') S se spina., in probleme ultericire, car este delnmultitul i care esteinmultitorul. ,

piva

;

ceit,

www.dacoromanica.ro

24

fiunea prin care delndu-se douel numere' unul mal; mareonumit deimpeirfit i altul mai mic numit. impecrtitor,ji se cere a vedea de celte ori impetrtitorul se coprinde

4n deimpd r(it.Numrul care arath de cte ori imprtitorul se coprinde

m deimpArtit se numesce U.Semnul imphrtiril este: sati I; deimprtitul se pune la

.stlinga punctelor sati a liniel verticale, impar(itorul la drptapunctelor sati in unghiul de d'asupra si ctul la drptaimprtitoruluI dupe un semn de egalitate sat in unghiulde desupt.

40. La imprtirea numerilor intregl avem trei casuri :I. Celnd deimpeirtitul e mai mic de ccit 90 Si impet rti-torul de o singurei fifrei, care- este mai ma re de colttifra de oled a deimpeirtitului ; II. Cnd.deimpartitul siimprtitorul sunt de cede mal multe tifre, en/set impeir-fitorul inmulfit cu 10, da un produs mai mare de celteimpeirtitul; III. alud deimpeir(itul e de mai multe tifre

impeirtitorul de una sa de'mai Multe, &setcu- lo da un produS mai mic de cal deimperfitul.

41.ImpArtirea numerilor intregI se pote considera ca niscescaderI succesive ale imprtitoru luI din deimpArtitui dat i dife-ritele resturi succesive. Ast-fel in imprtirea 38 : 9, deimprtitul38 (produsul) este format din 9 luat de mal multe orl, ca sgsim de cale orT s'a luat, trebue s vedem de ate rise pote scAdea -9 din 38. Scend pe 9 din 38, primul reste 29, din acest rest scadem a doua rd. pe 9 si avem aldouilea rest 20, scalnel a treia rd pe 9 avem .restul altreilea 11, din acest rest scAgnd a pira rd pe 9 gsimnitimul rest, 2, din care nu se mal pote scdea 9. Aci ve-dem a 9 s'a scqut de patru orT din 38, rmanend

inmultit

www.dacoromanica.ro

25

timul rest 2, care este tot-d'a-una mai mic de cat impr-titorul. Patru, 4, este catul cdutat.

Acest drum frte usor in casul de fatlt, devine Mute gret1in multe casuri.

42. In lucrarea precedentd am scdut pe 9 de 4 oilsi am avut i restul 2; invers, dca', ludm pe 9 de 4 ortadic 9X4, i la produs ada'ogdm si restul 2, gsim pe

38deimpd'ititul 38. Mill intreg este 4, iar catul esact este 9In general, la impArtirile nurnerilor intregt vom lua parteaintrgh a catului.

Consecinta I. Deimparfitul este egal cu impdritorulmultit Cu cdtul plus Hmasur)

In acest cas dicem ca impdrtirea nu s'a fcut. esact.In esemplul de imprtire 27 : 9, gsim ch 9 se Ole scdea

de trei ori si numaY remane nici un rest, sati putem dicecd remasul este zero. In acest cas luand pe 9 de 3 offgdsim tocma pe deimprtitul 27. De ad:

Consecinta Il. Cdn,d rmasul unei imprtiri este zero.deimpdrtitul este egal cu impdrtitorulinmultit cu cdtul**).

In acest cas dicem cd-impdrtirea s'a fdcut esact.Din acestea deducem ca: pentru a face o limpetrfire

de numere. intregi trebue s cd utdm ea ce numrinmultim pe impdrtitor ca produsul/ se fie celmare num& coprins n debnpdrtit in casul impartirilneesacte sa cigar deimpd rtitul, in casul impartiriiesacte.

43. Casul J. Esemplu 59 :.7:Dupe cele -ce vedurdm, trebuie se ghsim numerul care*) Acesta se esprim prin formula D----dxc-f-r; D represint pe deimprtit,

,d pe Irnprtitor, c catul si r rmasul.*4) Acsta se esprim prin formula 'D=dxc.

in-

se

-

-

www.dacoromanica.ro

s. arate de cate oil 7 se cnprinde in 59 sail, c alte vorbe,.se gasim. numrul nuMit cat, care itimultit Cu impartitoruf7 s de, ,pe deimpartit sad un 'pro.dus care se difere dedeimpartit cu un numr restul maI mic de cat'impar.-titorul. De la inmultirea numerildr de cate o .singura tifra..gasim ca dca inmultim pe 7 cu 8, produsul e 56, maI micde .cat 59, iar dca inmultirn cu 9, produsul e 63, malmare de cat 59 ;* dUp cele de mat, sus, catul este 8 si rmasul3. Produsele numerilor de cate o singurA tifra sciindu-le pedin gall, qicern :

Regula casului I. Pentra ca s facem o impdrtire de-- casul I, -cdutdM ci . inintea, num6rUl cu careinmultindpe 4/mpartitor se- ne .dea pe deimpdifit sail pe eel ma.'1,mare produs. coprinS in el.

Esemplul dat se va dispune i vorbi ast-fel:

Dicem : 7 in 59 se coprinde de 8 orI, aPol, de 8 oil 7-fa.c 56, 56 din 59 rmane 3; ccitu/. cautat ..eSte 8 cumasul 3.

Casul II. Esemplu' 6394 875.Acsta impartire este de casul JI pentru c impartitorul

875 inmultit cu 10 da 8750, care este un numr mai marede cat deimpartitul 6394.

Produsul 8750, 'End maI mare de cat. deimpartitul nu- -mrul 10, consicierat ca. cat, e prea mare, trebuie se atu-tam un numr mai mic de cat 10, adica un runner de osingur ifr, I cu care inmultind pe impartitor s. avem unprodus care s se coprinda in deimpartit . Cu cdtultind tifrele de diferite ordine. ale impartitoruluI, trebuie sgasim produse care s se -coprinda in tifrele de aceleaW

I) 59: 7-43 II) 59 756 - -- 56 a--

3 3

r-

.

inmul,

4

www.dacoromanica.ro

27

ordine ale deimpartitului ; 'in esemplul dat cu catul inmul-tind stitele. imprtiforului 8, treubie se avem un produs desute care se se coprind in sutele, 63. ale deimprtitului,ca se gsim cu ce se le inmultim, trebuie se impartial pe63 cu 8. De aci :

Regula casulul II.- Ca s". facem o impel rfire de casurcdti tam de ceite or fra din steInga iMpcirtitorului

se -cOprinde In ifra sart tifrele de aceiasi ordine de laskinga deMtpertitului. Cu tifra aflatet, ininukhn pelimpeirtitor si produsul'l scei dem din deimpetrtit.Diferintadintre deimipetrtit cicest produs este ~ami impdr- ,tira Dcd scetderea se p6te face,' restul fiind ero sa

mic de ccit hrtpetrtitorul, cettul ales este bun ; cleatscetderea nu Se p6te face, celtul ales este prea. mare, si

Micsordm al/ cede o unitate, pn6 aflebn caul lixtreg:cdutat.

Esemplul dat se va dispune i vorbi ast-Je!:'6394 8756.t25 7:2-69

875 se coprinde in 6394 ca 8 in 63 de 7 orl, apol de7 or' 875 face 6125, (125 se pede scadea ./clin '6394,deci ceitul cAutat este 7 cu Hmasul 269, eare remasfiind mal mic de cAt imprtitorul tifra catulul, 7, este bund.

45. Casul III. Esemple :-- a) 98637 : 2518 ; b) 8756 : 9.In esemplul a) impartitorul 2518, inmultit.cu 10, da pro-

dusul 25180, care este un numer mal mic de cat de_imprtitul, deci imprtirea este de casa al

Produsul 25180 al implitorulul 2518, cu numrul 10,fiind prea mic, numerul 10 este mic ca cal; (leca inmultimpe 2518 cu 100, gsim produsul 251800, acest numr,Iiind mare in raport cu deimpartitul, numrul 100 consi-

-

www.dacoromanica.ro

2 8

derat ca cdt este mare. Catul intreg Bind mat mare de cat10 si mal mic de cat 100, va fi un numr cOprins intreaceste cloud, adica va coprinde deci

Acest cat (mal mare de cat 10) nu'l putem afla de o-data, ci vom afla tifrele de diferite ordine, care'l compun,incepend de la cele marl catre cele mid.

Pentru a afla decile catulul, judecam ca aceste qed elifra co care, inmultind pe impartitor, se gsim un produscare se se coprificla in partea corespundelre din deimpar-tit, adica in 98634', trebuie dr s impartim pe 98634"iprim& deimpartit partial, cu 2518. Acsta este o impartirede casul II, pe care scim se" o facem i gasim cdtul 3 decicu remasul 2309 deci. Am gsit dr cjecile catului.

Remasul 2309 deci, facut uniml inpreuna si cu cele 7uniml de la deimpartit, da numrul 23097 uniml (al doui-lea deimpartit partial). Aceste uniml coprind produsulpartitorului prin unimele catuluI; ca se aflam unimile catu-lul, impartim pe 23097 prin 2518, care este tot o impartirede casUl II, pe care scim se o facem, i gsim caul 9 u-nimi i restul 435 tot uimi, Tot asa am fi continuat,&eh la deimpartit am fi avut mal multe tifre. De aci :

Regula casului III sail regula generala. Ca .s6 facem o4mpeirtire de casul III, despeirtim de la skinga deint-pdrtitului atdtea titre cdte coprind pe "impel rtitor, celpatin odatei i cel malt de 9 oil, (primul deimpartitpartial) si facem acst impel rtire ca la casul II, /Covetprimul r6mas coborbn tifra farmdt6re de la deimpeir-titul dat si pe acest numgr (al doilea deimpartit partial)'1 impeirtim tot prin lintregulibnpeirtitor, tifra atiatei cacdt o scrim la drpta celei deja aflate produsulcuimpei rtitorul '1 scei dem din deimpei rtitul ast-/el format ;14120 Hmas cobord tifra urmeit6re Si lucreim tot asapn'e cobordm t6te tifrele deimpeirtitului.

unimi.

im-

i

www.dacoromanica.ro

29

Observarea 1. numr, luat de la stanga_deimpartitulul .si cele formate din resturl i ifra coborata.de la- deimpartitul dat se .numesc Weimpeirtifi par(iali.

Observare a JI. Dca vre-unul din deimpartitiI partiallnu coprinde pe impartitor, punem ze'ro la Cat i continudm1nainte impdrtirea.

ESemplele date se vor dispune si vorbi st-fel :a) 98637-2618 b) 8766 : 9=97.3

7554 39 . 6623097 35

- 22662 8435

In, esemplui a) qicem: 2518 in 9863 ca 2 in 9, de 3.orI, pol de 3 oil 2518 sail 2518X3 faee 7554, Care se-pelte -scadea din 9863; avem dr prima- tifra a catuluI 3 siprimul r6mas, 2309; Fang 2309 coborain pe 7 si2518 in -22097 ca 2 in 53, de 9 oil, apol de 9 or' 2518sa 1518X9 face ,22662r care se pte scadea.- din. 23697,tifra 9 a catulul este build., 6 scrieni la drpta celer deja.aflate: Ne mal -avnd tifrd de _coborit, am' terminat impar-tirea; cettul este 39' cu Hma-sul. 435.

- In esemplul vorbirea este identica numat cd_pe scag6torilsuccesivl nu '1-am scrfs sub descklutif lor, i 1-am scklu. tde-a dreptul; aceia ce 'se va face, dupe Ore.-care esercitil,.la tte impartirile. Am Ois 9 in 87 de 9 ori, apol de 9 off9 sail 9X9 face 81, 81 din 87 rmane 6; langa 6 amcaorat fie 6 si am clis 9 in 66 de 7 orI, apol de 7 ori 9sati 9X7 faCe -63, 63 din 66 rmane 3 si asa mi departe...Am aflat.si aci ccital 973 ca rdmasul 8.

Ambele aceste impartiri nu s'ail fdcut eSact.Observarea 11-1. Cand-impartitorul este unitalea 1. ur-

mata de zerori, -catul se and. lasand 'de la drpta deiin-_

partitulut atalea tifre cate zerorl sunt la drpta dnitatel iar

Cel

-

'qicem.

b)

www.dacoromanica.ro

30

restul este numkul formal de ifrele la'sate la drpta delm-partitulul.

Observarea IV. Cand, Impartitorul are zerorY la fine, lelasam la o parte si lasam tot atatea tifre de la drpta; de-impartituluI i fhcem impartirea intre tifrele rmase, la. III-

' timul rest al -impartirit ca s avem. restul impartiriT' propuse, scrierd tifrele lasate la -drpta deimpartituluI.

Esemple: a) 28596: .1000. Catul este 28 si rknasul 596;-b) 275796: 7300. Avem 2757 : 73 37.

56756

Catul impartiril b) este 37 cu :rmasul 5696..46.* Proba impitrtirri. Ca s *facem proba impartiriT

inmultim pe. cat cu .impArtitorul si la produs adunAm i r-dcA numkul ast-fel format este tocmaI

operatiunea impastirii a fost bine facuta.Esemplu: 98637 : 2518 .

.755498202

Prin inmultirea catuliff 39 cu impa.rtitorul 2518 si adao-girea. la produs a rmasulut 435, am gasit tocmai pe de-impartitul 98637, qicem ca impartirea a fost bine facuta.

Esercitfi: 38:6; 49:5; 6)58:785; 84691:9457; 738625:8073;26348:13; 59614:8; 3265000:332; 9654329:85000; 36542000:833600.

Probleme *). 1. IntFo casa se cheltuiesc 63.161 (deimparitul) In9 dile; cat se cheltuesce pe di?

*) In problemele de impdilire, cftnd detmpdirtitul esprirnd fel diferit de alimplAitoruluf, cdtul e de acela .fel cu deimpailitul; dcd. ens deimpartitulimplirtitorul sunt de acela fe!, cfttul arar, resultatul problemeT. Restul e tot-d'a-una de acela0 fel cu ultima Vra de la drpta.deimpfttlittiluT.

linprtirea 'Proba98637 2518 2518X 98202+23097 39 39 435

435 22662 98637

facute;

-masul;.

www.dacoromanica.ro

31

2) Pentru 48 sterf de lemne s'a filatit 334 lef (deimpartitul); cucate cat se platesce sterul?

3) Distanta futre Bucuresci si Vrciorova este de' 492K"; in cateore va ajuuge la Vrciorova un tren plecand de la Bucurescfcare face 41K" pe ora?

.4) Intr'o 'fabrica s'a lucrat inteo di 7536 metri de postav, catebucatI de cate 52m. s'a lucrat in acea ct

Cine-va are o datorie de 2300 lef, se invoesce cu creditorulca set' platsca lunar cate 125 lei; in cale luni se va achita ?

Circumferinta pamntulul e de 40007600m.; s se ele lungi-mea liniara a unuf grad, a untif minut si a unel secunde.

Ihtr'o carte sunt 430 pagini cu 17889 rindurT; cate rindurisunt pe o pagina?

Pe o mosie de 4520Ke. se smna 51000-6 de grti, cal sesmna pe Ea?

0 persiana are 2)20 leI venit pe an. Ea vrea s economissca1 lea pe Ii, cat trbuie s cheltuiasca pe qi ?

o suma de 81 le a fost platita cu un egal numr de bucati\de cate 5 le si de cate 2 leT. Care e numrul bucatilor ?

Probleme compuse asupra color patri,' operatiunicu numere intree.

I) Un Oran din 86 of, 4 bol, 2 yac si 6 -ca, vinde 15 of si 2ca, cate capete (din aceste animale) 'Pa maI rmas?

Cine-va din dou mosif, una de 1648 Ea. si alta de 358K3., da.'primuluf copil 862Ea., i celuf d'al doilea 786Ea7; cate .'f-a mafmas id?

S'a cumprat marta de 2536 le si s'a vindut cu 3964 Id;cheltuidla este de 8561. ; cat ,s'a castigat

Cine-va datorza 7256 leY, adresandu-se altuia dice: da-mi3520 lei i de,.,cPi yoi platI creditoruluT, vol maT rmane dator 279hdca n'as1 plati, am avea amandoI sume egale ; cate cal avea fie-care si_ cat era dator cel d'antlt ?

CatI ani lac 2154-38 ore, anul fiind socotit de .365 ile si -6ore si diva de 24 ore ?

.6) 0 armata de 8500 menT, intr'o manevr, a ars 2836099 car-

.

-

.

2)r6-

3)

.

www.dacoromanica.ro

32

tuse, fie-care om a ars cate 28 cartuse pe c,li; eke lile a tinutmanevra ?

Cine-va vinde 4682EL. de grail In cloud rinduel, 'LAMA a yin-dut 860 cu cate 22 leT hectolitru; cu cat a vindut EL. din rest,stiind c peste tot a luat 100648 ?

Un ceasornic intarc,lie cu 7 minute pe qi, ltul cu 4 minute,care va fi diferenta intre cele cloud ceasoarnice dup6 20 de lile ?

Un- parinte lasa prin testament ca averea sa de 250000 leis' se Impart'," ast-Id:cel d'antAi copil s ja a cincea parte, aduoilea s6i a a patra parte din rest cu mal put,in 2500 lei.; al treileaa patra parte din rest cu maI mult 10000 lei, din ultimul rest sotias. dea 10000 lel pentru sade si tot 10000 pentru saracT; cat auat fie-care copil i cat a .luat sosia

La 49 de lucratorl s'a platit 381 leI, &ea num'aul lucr-torilor s'a marit cu 16; ea' t s'a plait la ?

Intr'un basin de 1920EL curg cloud litni (cismele), cea d'an-tlti l'ar umplea singura in S ore, cea d'a doua in 12 ore; basinulfiind plin, pe o cana, s'ar goli in 10 ore. Curgnd ambele fntanl

canaua tiind deschisa; ct apa ar fi In basin dup' S ore ?ParnnEul se invrtesce in jurul axel. sale In 24 ore, lungimea

circumferentei ecuatoruluI este de 40068578'.; cata lungimepercurge inteo secunda un punct de pe ecuator ?

leI

-

si

www.dacoromanica.ro

PARTEA I'PROPRIETATI ELEMENTARE ALE NUMERILOR

CAP. I

DIVISIBILITATE

1. Divisibilitatea cu diferite numere.

- 48. Divisibilitate este aflarea unor regule sim-ple dup6 .care s cundscem mai rePede ac un num6rdat se Imparte esact sail e divisibil Cu altul mai mic.

Un num& se gice divisi bu printealtul, cnd ceid'dntlti se imparte esaci prin cel d'al douilea.

Esemplu : 24 se dice divisibil cu 6, cad' 24 se imparteesact cu *6; de asemenea 42 e divisibil cu 6.

&umerile 24, 42,1.26 i altele care sunt divisibile cu 6se numesc multipli de *6, adicA sunt formate din 6, luatde mal multe ori ca -factor. De.. aci reese

I. "Multiplu al' unui numr este produsid acelui nu-mer prin ori-caie altul.

-II. Ori-ce multiplu. al unui num6r e divisibil Cu acet

nUnz6r..Art. Elem. 3

www.dacoromanica.ro

34-

Divisor sail sub-multiplu mai multor numerese numesce nuin6rul care imparte esact acele numere.Ast-fel 6 se numesce divisor sail sub-matiplu al numerilor24. 42 si 126.

Pentru a. gAsi i intelege regulele de divisibilitate,vom arata doua propriet4 ale divisorulul.

Cel nd un numAr 'imparte esact alt3 dotal, sa maimulte numere, va impel rti esact swma sa diferinta lor.

In adevr numerile care se impart esact prin altul, suntmultiplil luI (49); suma sail diferenta lor fiind o sumao diferent de multiplil va fi un multiplu mal mare, dca esuma, sati maY mic (WA Mere* i dect tot va fi unmultiplu si prin urmare divisibil prin acelasl numr.

Esemplu: Numerile 1827 si 630 sunt clivisibile Cu 9,suma 2457, ca si diferenta lor, 1197, sunt divisibile cu 9.

Gaud avem, cloud sail, mai multe nium,ere dintre,care unul. nu e divisibil cm, un num& dat pe at' ndcele-l-alte sunt divisibile, nici suma 'aid diferinta ace-lor numere nu e divisibila cu num6rul dat.

Mal AnteitI, multiplul al until numer dat, este divisibil cuacel numr (49) ; num'erul care nu e divisibil cu cel datcoprinde pe lnga un multipld al acelul numr si un altnum'er care e rmasul mpririi. Acum, dch facemsuma satt diterenta a dou numere, unul ne divisibil si al-tul divisibil cu numrul dat, suma ca i diferinta va fiformata dintr'un mulliplu si din partea numrulul nedivi-sibil, 'deci nu se va divide nicl una.

Esemplu. Numrul 1834 nu e divisibil cu 9 pe cand 648e divisibil; nicl suma lor, 2482, precum niel diferenta, 1186,nu e divisibila cu 9

52: Din aceste proprietati reese ch. : pentru a cu-nsce dcd nome'r e diVisibil printeun. numgr dat,

-

I).

II).

.

un .

www.dacoromanica.ro

-- 35

vom descompune In dotter, pa IV, Una, ori cat de .mare,,cctre se se vda uSor ca e divisibila, iar alta cat se p6te,de mica, care se dea caracterul de divisibilitate.

-,53. Regula J. Un numr se divide prin 2 .dca-unimele sle swat 0 sulk' o fifret cu sot. Si se divide cu

&al unimele sle sunt O sa 5.In adevr, orl-ce numer 'I putem descompune in dou

decile si unimile sle, (784-79 declf4 unimi-7801-4);Pecile sunt multiplu de 10, prin urmare si de 2 si de 5,(cdci 2x5_10) deci divisibile i prin 2 si prin 5 ; dcdyunimele ver fi divisibile sea cu 2, sag' cu 5, suma partilor;adic numrul dat, va fi divisibil prin num'rul cu caresunt divisibile si unimele.

Esemple : 568 e divisibil cu 2, chef 8 e cu sot, 495 nudivisibil cu 2, cci 5 e fla sot ; 568 nu e divisibil cuccI unimele 8, nu e niel O niel 5, 495 e divisibil cu 5,

ccl unimele sunt divisibile cu 5.

.54. Regula II. Un numr e divisibil prin 4 saitTrin 25 dup cum partea sa / ormalet de (lea i unimi.e divisibil cu 4 swa prin 25.

. Dedt partea de deci i unimi nu e divisibil cu niel,unul din aceste numere, restul mpririi numrului va li

ca 'al impartiril acesteI partI prin 4 sati prin 25.In adevr, ori-ce numer '1 putem descompune in sute plus

4ecile si unimile Sle (628=6st",28=600-1-28).Prima parte sutele, multiplu de 100, se pte considera

ca multiplu si de 4 si de- 25 (4>

36

acest numr nu e divisibil cu 25 cad' nicl. 28 nu e divi-sibil, restul va fi 3; 1275 e divisibil cu 25, nu "ensa cu.4, caci 75 e divisibil cu 25 nu si cu 4.

-- Regula IR. Un, num6r e divisibil cu 3 sen9 cdnd suma tifrelor sle adunate cu simple unimi edivisibil cu 3 sa cu 9.

In adevr, unitatea urmata de zerori impartita cu 3 sailCu 9 da tot-d'auna rest 1 si numr format de oOft% semnificativa urmata de zerori va da rest tifra sasemnificativd, (1000: 3 da rest 1, 7000 e egal cu 7X1000si restul va fi 7X1-7).

Orl-ce numr se pote desface in partile sle reduse launitate, ast-fel 28935=20000+8000 -000 -F--30

Me dividem aceste OAT cu 3 sail. cu 9, vom avea caresturi tifrele semnificative; suma partilor, (51) numrul dat,va da rest suma resturilor, dca acsta suma e unde 3 sail 9 si numrul dat va fi multiplu i prin urmaredivisibil cu 3 sag cu 9.

Esemplu: Numrul 7259436 e divisibil cu 3 si cu 9,cad suma 7+2+5+9+4+3+6=36 e divisibila cu 3este Onsa divisibild cu 9.

Numrul 14253 e divisibil cu 3, nu nsa cu 9, cad sumatifrelor 3+5+2+4+1=15 este divisibila numai cu 3, nueste ensa divisibil cu 9.

Numrul 72542 nu e divisibil nici cu 3 nicl cu 9, cad sumatifrelor 2+4+5+2 -F 7-20.nu e divisibila nici cu 3 niel cu 9.

Regula IV. Un, num0 e divisibil cu 8 sail cu125, dupe' cum partea sa formatet de sute, deer; $i u-nimi, e divisibilei prin 8 sa prim 125.

Esemple*): Numaul 3248 e divisibil numal cu 8, nuRationamentul pentru acst. regulA si cele urmt6re fiind mal dificil, se

va face in aritmetica teoretic.

55..

-

56.

) -

www.dacoromanica.ro

37

,Ansa cu 125, pentru ca 248 e divisibil numal cu 8; numerul26375 e divisibil numaT cu 125 nu Ansa cu 8, pentru ca375 e divisibil numaI cu 125.

57. Regula V. Un man? e divisibil cu 6 cdnd ecu 2 si cu 3..

EsemPle: Numrul 6534 e divisibil cu 6; numerul 872,nu e divisibil.

58: Regula VI. Un nwmgr e divisibit cu 11, cand,adundnd de o parte tifrele de rind nepereche, so-.cotite de la dre'pta spre skinga, si de alta pe cele derind pereche si sea' cle'nd suma a doua din cea d'd

, gdsim diferenta zero sa un numgr divisibil cu11, atunci numeral dat va fi divisibil cu 11. Deed suma

doua nu se pote scei dea. din cea d'cilltdift, o mdrimpe acsta cu atelti 11 p'en6 se va putea face scciderea.

Esemplu. Fie numrul 643957.Tifrele de rind nepereche sunt 7, 2, 3 si 6. suma lor

este 18; tifrele de rind pc_reche sunt 5, 9 si 4, suma loreste 18; diferenta sumel a doua din cea d'anti fiindmero numerul dat e divisibil cu 11.

59. Regula VII. Ca se vedem deed un mum& e,divisibit cu 7, 'l despeirtim despeirtiri de cale trei:tifre, incep6nd de la drpta spre steinga, ultima des-peirfre p6te s" fie de douei sail de o singwrei tifrei ,punem apoi pe rind d'asupra tifrelor din fie-care des-p eirtire tifrele 1, 3, 2. Inmultim tifrele de d'asupra cu.cele de desubtul lor *end suma produselor din des-peirtirile de rind nepereche intr'o parte si a pelor derind pereche intr'alta, sceidem &tuna a doua din cead'nii si (Wei diferenta este zero saii tot ntonr di-

411/visibil

n-

-

www.dacoromanica.ro

33

vi Sibil cu. 7, ntumerul dat va fi cu 7.. Dcei-storm a doua p6te sceidea din cea d'd nteift,maxim pe acsta Cu atqia 7 pne se. pte face scei dereal

Esemplu : 45678240937.31 231 231 [231:

.45 678 240 937IV III II I desp.

12 j 3375 -

Diterenta sumelor prorduSelor, 75-33, este .42, 42 e di-visibil cu 7, prin urmare tot tiumrul va: fi divisibil.

II.. Cel maI mare comun divisor.60.--- and 'un. numr divide esact Mai multe numere

date, acel hum& se nurnesce divisor. comun al lor.-Nulnerile 2,, 4, 8 fie-care divide esact pe 24, 56, si 72;

fie-care in parte se numesce divisor comun al .numerilor. -(Tat dOilea. Gel maI Mare dintre ele, 8, se numesce cel matmare comun divisor al lor.

61. Regula I. Ca se a/kiln pe cel mai, mare comum,*divisor a. douset numere, limpet' rtiM, numerul cel marqprin cel mic, Vet inipeirtirea se face esact, numerutcel mic este cel mai mare comun deed nu,.fmpeir(im numerul col mic prin dnteiul reg, dceicstei devisiune se face esact,- primul rest este cel mat"mare comm.:. divisor at numrilor, dette (Mc. ci nu,. 4,0z-peirfim pe primul rest "prin al douilea qi contina nt.

Suma prod. din desp. neper. Suma prod. din desp. *per.7+ 0+9+ I despartire i2+ 11 .despartire

'18+ 4+ -8+1-k21-1 , III despArtire.

51.

desParfire12

nu

1

divisor;a-

www.dacoromanica.ro

39

asa pnd geisim rest zero ; atunci, ultima divisor e celmal, mare comun divisor cetutat. Dcef gefsini rest 1,numerile date n'etif divisor comun.

Esemplu : Se se afle c. m. m. c. d. al numerilor 72 si 168.Caturile 4 3

Resturile 72Am imparlit pe 936 prin 216, primul rest a fost 72,

clec)." 216 nu e cel ni. m. c. d.; am 'impartit pe 216 prinprimul rest si aid impartirea s'a facut. esact, numrul 72 estedr cel m. m. c. d. cautat. In adevr, 72 divide esact si pe936 si pe 216.

Cantand, dup regula, pe cel m. m. c. d. al numerilor693 si 115, dup impartirea a dona, gasim rest 1; clicemca aceste numere n'art divisor conmn.

62. Regula II. Ca s'e' aflei In pe col m. m. c. d. intremai mult de dorm numere, ase date in ordine descres-cnclei , afleintii'f pe cel rn. m. c. d. intre celd'cintiff i cel din urmei numen opoi mire al douileanum'r si divisorul deja aflat, apoi filtre al treilea $idivisorul al douilea aflat, si asa pen' ispret vim tac nu-merile. Dcei primele douei 'numere saic un numr si divi-sorul aflat pne" la el, n'aff divisor coman, oprim lucrareasi dicem ca tac numerile date n'aft divisor comun.

Esemplu : S se afle cel m. m. c. d. al numerilor 3785,2340 si 744.

Cautand mal antitl pe cel m. c. d. intre 3785 si 720, avemCaturile

ResturileCel m. m. m. c. d. intre 3785 si 720 este 5. Acest nu-

5

1657f 3

20

1

1655

820

03785

185

936 216 72

-

4185 5

:

www.dacoromanica.ro

40

cm& 5, se vede (53) ca divide si pe 2340; 5 este dr celan. m. c. d. cautat.

III. Cel mal mic comun multiplu.

Cel mai mic comun multiplu al mai multor~mere se numesce acel num6r care se divide prin nu-merile date.

Numerile 1512, 1008 si 503 se divide cu fie-care dinnumerile 72, 24 si 56, fie-care din cele d'Antia se numesceni. c. al celor d'al douilea ; 504 cel mal mic dintre ele senumesce cel m. m. c. in al numerilor date.

Regula I. Ca s aflei m pe cei mai mic comunmultiplu a dowi numere, inmultim pe unul din ele princd tul intre cel-l-alt si cel m. m. c. d. al numerilor date.

Exemplu: S se afle cel m. m. c. m. al numerilor 792si 168.

Ara aflat (61) ca' cel m. im c. d. al lor e 24; cel m m.c. m. va fi 792X168 sati 164792 adic 5544.24 \ 24

Regula II. Ca s afleirn pe cel ni. m. C. ni. a mai.mult de douei numere, inmultim pe primul numr princcitul intre cel din urma si cel mai mare coman divisor,apoi acest piodus prin ccitul intre num-rul al doilea

cel ni. m. c. d. al produsului si al numrului aldouilea si asa mai departe. Ullimul produs va fi celmai ni. in. c. ni. cautat.

S6' se afle c. im m. d. al numerilor: 1140, 720; 1768,310, 3785, 819; 2340, 22, 80; 1881, 420; 1989, 266; 528, 342,84;45;

2565,5720;

1440; 935, 884,626, 585 si 269.

286; 780, 627, 187; 4725, 2145, 180,

Esercip:

63:

www.dacoromanica.ro

41

Esemplu : S se alle cel m. m. c. m. al numerilor 936,884:si 286.

Cel m. in. c. d. al numerilor 936 si 286 este 26; cel m. m,c. m. al lor este 936X186 sail 286 93626adica 10296. Gel m.26c. d. al numerilor 10296 si 884 este 52; cel m. m. c. m. al lor

prin urmare al n,umerilor date este 10296X884, sati52884X10296 175032. In adevr, acest numr 17503252se imparte exact prin numerile date.

Esercifii : S se arte cel ma mic comun multiplu al numerilor264, 58; 3950, 480; 4380, 36, 7296; 834, 7534, 328; 4560, 3640, 834;12645, 836, 5492 si 785.

CAP. IINUMERE PRIME

.Numgr prim se numesce acela care nu se imparteesact cu niel' un mina& mal mic de al el. Nu consideramdivisiimea esacta prin el insusI sa prin unitate.

Esemple : Numerile 2, 3, 11, 29 sunt numere prime, caclfie-care din ele nu se imparte esact Cu niel un numr malmic de cat ele.

Sunt infinit de multe numere prime, cacl ele se.af1a dintre numerile naturale carl .stint nemarginit demulte prin metoda numita Ciurul Eratosthene.

Acst metod, consist in a serie numerile naturale, din-tre care .voim s gasim pe cele prime, apoI s tergem pecele care se :Avid cu numere mal micI de cat ele, cele,rmase vor fi numerile prime Cntale.

Tabela aflril numerilor prime de la 1 pan:). la 100.

adica

www.dacoromanica.ro

42

1, 2, 3, 4', 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, f 13,-14, 175, 16, 17,19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,

35, 36, 37, --38, 39, 40, 41, 42, 43, II, 45, 46, 47, 48, 49, 50,52, 53, 54, .55, 56, 51, -58-, 59, 66, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68,69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, T4, 85"86, 87, 88, -89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, .68, --, 100.

Primele trei numere 1, 2 si" 3 stint prime, 4 nu e prim,cad se devide c 2 si asa tOte numerile Cu sot fiind divi--sibile cu 2, nu sunt prime, van sterge dr din doua indouti bite numurile, incepnd de la 4; 5 e prim, 6 nu e-prim, cad se divide si Cu 3, tte numerile din .-treI in treisunt multiplil de 3, sunt divisibile cu 3, le vom sterge ;primul .numr care a rmas nesters ; imediat dupe 3 este 5,el este un numr prim, vom sterge tte numerile din 5 in 5cki, fiind multipliT de 5, sunt divisibile cu 5 si asa urmam,,stergnd din 7 in 7, din 11 in 11, etc., 0'16 ispravim seria.Numerile rmase nesterse sunt numerile prime cautate.Ast-fel in

Prin acest mijloc s'a format tabele de numere prime:Cea mal complecta este a lui Burckardt, C.re coprinde nu--merile prime de la 1 pana la 3036000.

Esercip : SO' se afle numerile prime de la 1 LAO la 50 p'n'la 86, 0(16 la .120, Oa la 150 i One' la 200.

CAP. IllAPLICATIUNI ALE NUMERILOR PRIME

Descomptmerea until num6r in factori primi.68. - A descompune un numr in factorli si primi este-

al exprima printeun produs de numere prime.

seria nstra numerile prime sunt : 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,19, 23, 29, 31; 37, 41, 43, 47,. 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79,-83, 89 si 97.

ff,

.

www.dacoromanica.ro

4 3

69. Regura. Pentru a descompune un numdr infactorii si primi, tragem o linie verticald la drptanumdrului impel rtim cu cel mai mic num'r primcu care se p6te impeirti esact, scriem pe divisor ladrpta liniei iar catul de desubtul num6rului, pe acestcat 'l mpr,tim iareisi cu num'rul prim cu care se-kite 'mpri esact si continuant ast-/el pn' mat gei sica cat un nume'r prim, pe care I inipartim prin el in-susi. Divisorii scrisi la drpta liniei sunt factorii primicdutati i produsul lor exprima numrul.

Observarea /. Dca un numer e divisor de mai multeori, '1 vom lua tot de alatea et ca factor; '1 vom scrieensa nutnal o data, aratancl cu o pa mat' mica scrisa ladrpta si ceva mai sus, numita esponent, de cate ori acelnum.& s'a luat ca factor.

Observarea II. --In ori-ce ordine vom face impartirilepentru descompunere, vom gasi tot-d'a-una aceiasi factor'Cu aceiasI esponenti.

Esemplu: Se se descompima in factoril sel primi, num-rul 4680.

468023401170585195

6513

1

Numerul 4680 se imparte esact Cu 2, catul e de 2340;acest cat se imparte esact tot cu 2, si da ca cat 1170, pecare '1 impartim iari cu 2, noul cat 585 nu se mai im-parte esact Cu 2, ci cu 3 si da cat 195, care cat se im-parte esact tot cu 3, cA.tul 65 se imparte esact Cu 5 si da

222335

13

-

www.dacoromanica.ro

cdt numerul prim 13, care fiind prim, '1 impArtim prin elins4.

Asa dar 4680, descompus in factorii se1 primi, esteegal cu 2X2X2x3X35XX13, sa (dupe observarea I)4680= 23X22X5X13.

Esercitii: S'e' se descompund in Taetori primI numerile urmatre :312, 406, 6292 si 10296.

II. Allarea tutttlor divisorilor mid numr

70. A afla toti divisoriI until numer este a gAsi tte,numerile prin care numerul dat se pelte imparti esact.

Am vgut (62) Ca 24 care divide ,esact pe 504, se co-prinde in el, decl top' factorit care forrnza pe 24 se co-prind, se gasesc, intre cei care formzd si pe 504. Prinextensiune admitem teorema ca : Toti factorii primiai unui impeirtitor trebue se. se geisscci printre facto-rii primi ai deimpeirtitului Cu esponenti mai midcel mull egali. De act.:

71. Regula. Pentru a afla to,ti divisorii unui nu-mr, descompunem acel num6r In factorii si primi.dupe" aceia scriem pe .1 In linie verticalci de atatea oriceiti factori primi sunt, apoi in. linie orizontalet, In drpta

fle-cave factor de atcitea ori cede unitecli areesponentul, cu esponentii succesivi de la unit ate peWla cel mai mare cu care se geisesce. lnmultim apoi nu-merile din unja eintia cu cele din a doua, produseleaflate cu cele din a treia, nouile produse cu numeriledin linia a patra si asa m,ai departe. Uttimile pro_duse sunt loft divisorii cciutati.

Esemplu Se se afle totI divisorit numerulul. 4680.

44,

-

sa4

unitetfilor,

www.dacoromanica.ro

Avem (69), 4680-22X33X5X13. Aplicand regula g'asinv1 2 32 23 1 24.81 3 32- 1 3 915 sati. 15113 1 13

Produsele numerilor din unja anteia cu numerile din unjaa doua sunt:

(1. 2, 4, 8)X1; (1, 2, 4, 8)X3; (1, 2., 4, 8)X9,adica 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18, 36, 72:

Aceste produse trebuie se le inmultim cu numerile din.unja a treia, Cu 1 si Cu 5.

Inrnultile cu 1 sunt: 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, '24, 9, 18 36. 72. 5 5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120, 45, 90,.

180, 360.Aceste produse trebuie s le inmultim cu numerile din

unja a patra, cu 1 si 13.Inmultite cu i sunt : 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9, 18,

36, 72, 5, 10, 20, 40, 15, 30, 60, 120, 45, 90, 180 si 136.Inmultite cu 13 sunt: 13, 26, 52, 104, 39, 78, 156, 312,

117, 234, 468, 936, 65, 130, 260, 520; 195, 390, 780,.1560, 585, 1170, 2340 si 4680.

Aceste ultime do sera de produse sunt tot divisorillui 4680, ordonati dup m6.rime sunt:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 18, 20, 24, 26,30, 36, 39, 40, 45, 52, 60, 65, 72, 78, 90, 104, 117, 120,130, 156, 180, 195, 234, 260, 312, 360, 390, 468, 520,585, 780, 930, 1170, 1560. 2340 si 4680. In total nu-merul 4680 are 48 de divisor].

Observara I. MArind esponentii cu cate o unitate i Mane]produsul acestor numere, vom gltsi al" divisor' are numera

In esemplul de mal sus numerul divisorilor se ala prinprodusul (3-1-1) X (2-1-1)X(1+1) X (1+1)=4X3X2x2=48.adic 48 de divisori.

45

.

.

.

.

www.dacoromanica.ro

46

Obsekvarea 11. Cel mal mic divisor e unitatea si. cet.mal mare numrul insu9i..

Esercip: S6 se fle totI divisorii numerilor urmitt6re:. 3.12, 406, 6292, 2064; 9756, si 15830.

III. Col mal mare comun divisor i cel 9.0." mic coma

72. Proprietatea pe care am admis'o la aflarea tutulor.divisorifOr unu numr, servesce .pentru a fla si pe cel m.m. c. d:- si pe cel m. m. c. m. al mal multor numere.

I. Divisorul comun al unor numere trebue s .coprindnurnai factoril primi aflati in teote riumerile cu espohentlmal mici, cel m. m. c. d. va coprinde aceiasi facldri ,-cuesponenti cel mult egali cu cei mal 'rnicI de lp fa_ctori.1 nu-merilor. De ad : -

73.Regul. I. Pentru a afta pe cel m. ni. c. d. al malmultor numere, le descompunem in lactorii lor primi,apoi, ludm tactorii comuni cu esponentii cei mal mid_.0'l in,inultim intre dviiI, produsul afiat va fi elm. c. cl. cciutat.

Esemplu: S6 se afle cel m m. C. d. al numerilor 4680,986si 792.

Acesle numere descompuse in factorii lo t primi.(59) devin:'4680-23X32X5X131224-23X 32X 17-792----23X32X 11

Factorii comuni sunt 2 si 3, priidusul lor cu esponentiicei m6.1 miC1 cu -cate se af16. in aceste numere' este 23X32sag 8X9 Ojal 72. Nurri rul 72 este ce! m. M. c. d. al .numerilor date.

multiplu.

www.dacoromanica.ro

47

Observare. Dc nu lisim factorI comunI la numerele-date, acele numere n'ati divisor comun si se die numereprime intre ele.

Multiplul comun al mal multor numere fiind un deirn-prtit al lor, trebue s' coprinc1 pe tot,I factorii de la nu-merile date, cu ori-cdt de marI esponentl; cel yriai mic co_mun multiplu trebuie coprincla cu esponentil ceI maIraid, adica' egall cu ceI mal marI care se gAsesc la nu-merile date. De aci:

74. -- Regula II. Pentru a afla pe cel m. Inke' c. m. almai multor numere, le descompunem in factorii tor

apoi lueim factorii comuni i necomuni cu es-ponentii cei ma'i mari inmultim "Mire Misil, pro-dusul aflat va fi cel m. mc:c. m. cautat.

Esemplu : S se afle cel m. m. c. m. al numerilor 4680.936 si 793.

Descompuse in factorI prirni (69) aceste numere devin4680-23X32X5X131224-23X 32X17792-23X32X11

Factoril comunI i necomunl cu esponentil (TI mal marTinmultitI intre el sunt 23X32X5X11-X13X17 sal" 8X9X5X11X13X17. Produsul acestor factorI, 875160, e cel m.m. C. m. cantal..

Observare. Dc nu g.sim factori primI comuni la nu-rnerile date, cel m. m. c. ,m. al acelor numere este chiarproclusul lor.

Eserci(ii: Se se a% cel m. m. c. d. si cel m. m. c. m. al nu-merilor 525, 344, 84; 1440, 2565, 90; 936, 286, 884; 780, 6277,187; 4725, 2145, 180, 45; 3520, 10296, 626 si 585.

H.

primi,

:

.

www.dacoromanica.ro

PAR TEA IIINUMERE FRACTIONARE

CAP.

NOTIUNI PRELIMINARE

Cantitate se numesce orI-ce pote fi supus unaoperatiunI matematice.

Mcirime, ceva material, se numesce orl-ce este suscep-tibil de crescere sati descrescere. Tabela e o =rime caclse pite considera o alta mal mare sati mal mica, aseme-nea unja, banca, casa, etc., sunt

Pentru a lace mal usor diferite calcule asupra marimilor,le representam prin numerile care esprima msura lor.

bnitate de mesura' este to marime bine determinata sicu care msuram marimile de acelasi fel cu ea.

A mesura o marime este a vedea de cate-orI uni-tatea sati partl de ale ei, se coprind in marimea data.

Esemplu : S msuram unja AVom lua o alta, linie a b ca unitate i vom vedea de

cate orl ea sail parll d'ale el se coprind in AB.

B

www.dacoromanica.ro

49

Se pot presenta mal multe casuri : -I. Se presupiinem ca unitatea ab. se coprinde esact, de

esemplu de 5 ori in marimea AB. In. acest cas voin J'iceAl III' 1B ca marimea AB coprinde dea ,

i5 ori unitatea ab, AB =-75ab sati AB=5, .Adica, Marimeadata se esprima. -prin numrul intreg .5 ; operatiunileproprietatile acestor n'amere le-am studiat. ppne actim(partea I. si II).

II. Unitatea ab nu se cprinde esact ci de 4"orisi re-mane partea CB, Marimea" 'CB, fie ca rest din acstaAli, ii B mesurabire, fie ca marime se-aTTFM-lb- ,parta,' 'nu se pele mesura cu unitatea intrga; cl vom 'mesuraCu o parte a -4-s'ir esemplu Cu a opta parte (divisiuneaprincipal. Se -presupunem ca apesta, a opta parte s'a co-prips de .5 orT in CB.' picem ca Marima. CB coprind.e 5de ci opta d'ale unitatil;., iar mariinea AB co.prind duni:tap intregl si 5 de a opta, sati pentr ca o unitate coprinde8 partl, cele ire' unitatT vor coprinde 3X8=-24 i in. totalrriarimea AB vai coprinde 29 de cc opta. Numerile 5 de a .opta,/ 3 intregi si 5 .de. a -opta sati 29 de.' opta, care .esprima mesura marimilor, CB separat sati al -liniel AB cudivisiuni principale d'aje _unitatel sati cu unitate si'cu di-.visiuni principale, sunt numere fractionare ordinare; saanumal fra6tiuni, ordinare, pentria ca divisiunea principala .e ordinara, 'arbitrara.

ilL Dck parto. CB nu' s'a putut mesura esact cu a. optaparte a 1.mitatei. ci a remas o particica ,DB, vom mesuraA1 i i fl II

c C DB

sacesteia a opta parte (subdivisiune sail divisiune. secundara. Aran'. elem. 4

www.dacoromanica.ro

50

a unitatiT), de esemplu cu ,a'4ecea parte a el, o decimed'a luT cb. Se presupunem ca acsta noua unitate s'a co-prins esact de 7 ori in ,BD. Vom qice acum c marimeaAB coprinde 4 unitat,I intregi, 5 de a opta (optimi) si 7de a clecea (ecimi) d'ale optimii sati 4 intregi 5 divis.principale si 7 divis. secundare. bivisiunile principale,secundare pot sa nunairl determinate (Esemplu stein-

jenul de lungime di Romania are divisil principale pal-mete, divis; secund. degete)..Acest fe l de numere se numesc

. numere ...iractionare complexe.W. Calad' unitatea, divisiunile principale, secundare, ter-

.hare etc. Sunt din clece in gece, numerul care resulta senumesce numrl eciinal.

Numerile resultand din niesuratorile II, III si IV, pentru-cacoprind si fragmente, se numesc in general numere frac-tionare.

77. .aceste casurT sati orT de cate ori o metrimese mescra esact cu unitatea sati, Cu divisiunT d'ale el., ma-rimea se qice comehstirabild Cand ense, orT cat de miciar fi: divisiunilb unitatei,r nu putern mesura complet' met-rimea dat, ea se Oce- incomensurabil.

CAP.

NUMERE FRACTIONARE ORDINARE

I. Definitiuni.

78 Rum& fractionar ordinar sal fractiune or-dinaret (76), este una sa4 med multe p 'drti egale d'aleunitdtei.

Cand qicem tra-cleci si septe de sa cincea d'ale uni-teitei esprimam, prin vorbe un numr tractionar

Vorbele de a cincea d'ale unitateT, arata c unitatea s'a

_aiba

. .

, In1,

,

-

.

ordin'ar:

I www.dacoromanica.ro

imOrtit in .5 .parti egale,- acstA impArtire constitue. numi-torul fraqiuneT, ,iar vorbele trei-4eci si fpte,..arata cte de-a.ceste. laut, M-ulOmea prilor egale i constituenumrat.ordl fra'ctiuneI.

in scris. o fractiune- se arat prin dou'a numere, unulde 'asupra Si-despArtite printr"o linie briz. ntala. Celde desubt'.6 numitorul fractiuneT i ce!. 'de d'asupra. e nurn-rdtorul. As-t-fel .cele:treI-deci i'spte de- a cincea se' Nior

'37scrie, p.. este numitorul si 37 numrdtoru1.

O fracpne se citesce ast-fel : citim, numratorul ..ca pe. ori-ce nu. si. dicend- a safi corect a' cetim

' 49 .munitorul. Ast-fe! se citesce 49 a saft de, a 17.

. 17

51.

II. PrOprietitile fractiunilor:ordinare:79. E.vielent.c o fractitine in valdre.elinferiara (sub

-unitarA),. Vale (ecuiunitara.) 'superi6reltara) unitatei, dupe cum numeratorul. el, e mai mic,.egal sa mal mare de, cat numitbrul.

7 .,

- 15Ast-fel 8 e subunitara., -8 e ecuiunitar e supra-- .unita4.:

7In scris valrea fractiunilor se afatb. ast-fel 1, 8= 1,8 -

15. 8> 1. Din acsta fesulta : Fractiunil care aft acelasi

numitor sunt ordine de val6re -dupe' num6ra lora.10, jar. fractiunile care aft aCelasi numerei tor suntO rdine" de val6re inverse& cu numitorit

4 7 15. 6 6 6. Esemple : , a) b).

80. Gaud Jractiune 'e supraunitara, -se pte cere ,a-vedea cti intregt coprinde, a sc(ite intregit din* acea fractiune.

s'a

celui.-1-alt

mai de

(suprauni-

8 8

o

www.dacoromanica.ro

52

Regula I. Pentru a scte intregii dinteo fractiune su-praunitara impartim, pe numrator prin numitor,ccitul va arta cate unitafi intregi coprinde fracfiuneaiar restul cate parti, mai putine de cat Jinteo unitate,.mai coprinde.

35Esempl u : coPrinde 3 intregl si 8 de a '9In adever, unitatea coprinde 9 parti egale, fractiunea

35'va coprinde atatea unitati de cate orl 35 coprinde pe9

Impartind pe 35 prin 9 gasim cat 3 si restul 8.358Adica -9-=35 :9=3 intregi si 8 sa. 3 +, 9 9.

8 7Numerul 3+-9 sail 5 formate din intregi si8

fragmente se numesce numer mixt adesea oil' e necesard'a reduce un numer intreg sati unul mixt in forma frac-tionara ordinara. Pentru acesta procedam dupe reguleleurmakire.

Regula Ii. Pentru a transforma un nwmgr intreg informa fractionara ordinara , "annulpim acel intregnum6rul . ce vain a7i da de numitor produsul va finwmOrator, iar ca nwmitor dam pe inmulfitor.

Esemplu : Se se transforme 7 intreg1 in forma de frac-. time ordinara cu numitorul 9.

Unitatea coprinde 9 parti, cele 7 unitatt intregl vor co-9X7 63prinde de 7 oil maI mult. 9X7 de a noua sati--=--9

63adica 7= 9.

Regula III. Ca s' transforma m un num0 mixtis forma de fractiune, intregul cit monitorulsi la produs adusam sa sea dem pe numgratorul frac-

9_

invmultim

www.dacoromanica.ro

53

iinei dup6 cum avem semnul+sall , resultatultideim de numitor pe numitorul fractiunel.

Esemplu : S se transforme in forma. de fractiune or-. . 5

,dinara numrul mixt 3-6.5

.

Fractiunea arata, prin numitorut el, ca unitatea in-:trga coprinde 6 part' egale; cele 3 unitatl vor coprinde

5 .6X3=18 parti. Fractiunea arata ca maT coprinde si ea.5 parti, in total. avem dar 18 i-5=23 parti de a 6, adica

3.6X3+6= Asemenea723 8 =9X7-8 553 5 6 6. 9 - 9 983 Propietatea I. Meet' inmultim worn& Clitoral unei

fractiuni sa deed impeirtim numitorul Cu un numr6re-care, fractiunea se face 'in val6re de atateaInca mare cede unit ati coprinde nu/mOrul cu care am-4nmultit sail am impartit.

Esemplu.: Fie fractiunea rdinard-78I. Dch inmultim numratorul acestel fractiuni ordinare cu

7 X 3 21 21-3 gasim 8 sail Fractiunea ordinara -8- coprinde de

7mai multe fragmente de Cat fractiunea si pen-

21tru-ca fragmentele sunt tot atat de marl, in vabire 8-

7este de treI orI mal mare de cdt' din care a provenit8,prin inmultirea numratorului el cu 3. 7. 7,

II. Deed impartim numitorul fractiunel -3-- cu 2, gaSim 827 7

,sail 4 ' Fractiunea ordinara 4 coprinde, dup cum arataammitorul, fragmente :lie cloud ori mai mar i de cat ale

ori

irei ori

www.dacoromanica.ro

54

. 7fractiiinef si pentru. c. ambele tractiuni ati ':acelasI nuT8 7dila' de fragmente ; in _valCsre Teste de doud ort mai Mare

.7de cal 8 din care a proVenit pria inipartirea- ilumitorulutel cu 2.

84. ProPrietatea II. Dcd impeirtim numgrettorul unei:fractiunii dcd nwnvitorul, fracfiumea .ordinard se face in val6re de atdtea ori zai mi cdteti copriode.nUmrul cu car am riimpetrtit scai

6Esemplu : Fie fractiunea ordinaraI. Dca impartirifimm0.toru1 acestel fratiunl cu 2,,gasim 6 : 2'..3. 7

sail--7- ' .

. 3.- Frac 7.tiune. 'coprinde de_ do?id or i mi putine Partir6 . . 'de cat si pentru-ca partile Sunt. tot atat, de marY inipAn-7 , .

.

bele fractiunl; valcrea frac(luney -:3 - este -de- doua ce' mal, 76

mica :de' cat b. tractiuniLT, din care a ,provenit prin im--... ,

pArtitea .numratorului cu 2 i- '- 6 - 6

.11. Dca-,inmulim numitorul fractiuniiT cu 3, gasim 7>

55

ambit termenU une' fractiuni cu acelagi wwqr, val6reafractiunii nu se schimbei

7Esemplu: Fie fractiunea.Inmultind si numratorul si nuniitorul fractiunel ---cu 3

P7X3 21 21' ea devine 8X3 sati In fractiunea partile de unitate24' 24

sunt de trei oil mal micI (84) ensa sunt si de tret orI malmulte (83) adica cat s'ar perde prin micsorarea- partilor secastiga prin multimea lor, ambele fractiuni ail dr aceiasIvalelre1

Pe acsta proprietate se basza aducerea fractiunilor laacelasl numitor.

21Din fractiunea 24, prin Impartirea ambilor termeni cu 3,

21:3 7gsim fractiunea 24.3 sati --8-. Dup cum vduram mal sus,21 7

aceste fractiunl sunt egale In vabire, adic. 24 8 'Pe acsta propietate se basza simplificarea fractiunilor.

7.gsercip : Se se serie In ordinea mArimI, fraetiunile : 5 7313--, -6;

128 18.28 28 28. 3 2 9 17. 7 7 7 777' 7' IT) -7-5' Yo' -1-5.

17 29 815. 756 6-594Se se set intregi'l din fractiunile: 5-,3 2 312'

Se se transforme in numere fractionare ordinare numerile 'mixte6 3 2 1874; 15 -T.--; 9, 8-- 5 3 30.

Se se- !ad. de 7, de 5, de 13, de 29 si de 127 de off mal' mariapol mal miel, si apoI se se arate cand nu se sehimba valrea frac-\

3 , S 15 17tiunilor, dupe propietAtile de mai sus, frac4tiunile

:

- 9 20 5'132 68 315 15601-8' Id' 420' 780

I..

.

II.

.

T' ' T' ' ' '

Ii

-

-

www.dacoromanica.ro

36

III. Simplifiearea fractiunilor ordinare.

---- A simplifica o fractiun.e sat' a reduce la cea malsimplk 'espresie, este a gasi o ala fractiune egal in valrecu fractiunea data, ens cu termenI mal micI si care terments fie numere prime intre ele.

Regula I. Ca simplificam o Tractiune Ordi-nara, impartim amb4" termeni' e prin aceleasi, numereprin care pot impel rti amnduoi, de- o data.

70emplu : S se simplifice fractiunea . 9

70Ambit termenii al fractiunit 126 se impart esact (53) cu 2,

70 70 :2 35dupe proprietatea III (99, II) avem 116 126:2. 63 Ambit35

terrheniI fractiuniI 63 se impart esact cu 7, asemenea avem35 35:7 563 63:7=9. 'Termenii fractiunil la .care am ajuns nu se9mai pot itnparti amndoul de o data cti nici un numr,

75 5sunt prime intre ele, deci T2-0- devine prin

simplificare87.In loc 'd'a face mat' multe imprtirl succesive,putem, simplifica de o data, imp artind ambit, termeni

fractiunii prin cel in. m. c. d. al lor.Gel m. m. c. d. al numerilor 76 si 126 este (73) 14; avem

70 70 :14 5126 126:14 9.

Esercitii S'" se simplifice fractiunile618, 1650, 5045, 9126, 405405828 2430 9370 13725 219219.

4, 8, 48,28, 108, 5126 12 120 96 144 624:

5

87/,',

:

www.dacoromanica.ro

81s117

j 243Fractiunea nu'si schimba valeirea deed ambii4 '

,termen1 Cu mai multe numer saa 'cu produsul acelor nu-

57

IV. A ducerea fractlunilor ordinare la ace1a0 numitor5 7

.88. lut fractiunile si unitatea e impartita tot in8 8atata pdrO, adic partile sunt tot atat de marl', si dupeproprietatile de mai sus putem scicare din ele e mai mare,

putem compara intre ele, aduna, scadea etc:5 13

In fractiunile si numitoril drat& ca partite nu sunt9 17tot atat de marl,--nu sunt de acelasI fel, niel numratoril nu.sunt egali, asa ca nu pineal sci usor care dintre ele e malmare'. nu le putem compara, aduna sail scadea. E dr ne-.cear adese ori ea s .le facem de acelasI fel, adica s aibaacelasi numitor.

aicsta operatiune basata pe ptoprietatea III (99) se faceIn doll& modurI, ambele moduri, in realitate formza a-ceiasi teorie.

89. Regula I. Prin produsul tutulor numitorilor. Ca sdaducern mai multe jractiuni ordinare la acelasi, nu-mitor, prin produSul numitorilor, inmultim ambii ter-menii fie-carel fractiuni prin produsul num,itorilor.celor-l-alle.

3 5Esemplu: S se aduca la acelasi numitor fractiunile ,4 6

mere.

Adica: 3 3x6>< 1296=

38884 4x6x9x24= 4 >< 1296 5184

De asemenea 5=

5>< 864=

43206>< 864 51846

inmultim

www.dacoromanica.ro

8 8x4x6x24 8 x 576 4668De asemenea9 9x4x6x24 9 x 576 5184

17 17x4x6x '9 17>< 872

17 17>< 3- 51.2424>< 372

: .

.

'

-

www.dacoromanica.ro

acelasI numitor e mult mal simplu cdndsunt simplificate.

Esercip: Se' se aduca la acelasI nurilitor13 47 9 11 1 4 13 29 4 3 7 9 3 772-'71'75;7-' 15; TV 7'10'30;7'72' 30' 20 --4'T3'103 175 528 55 17 143 595137' 891' 1166; 88' 205' 207' 1129

fractiunile ordinare

fractiunile urmg,t6re11 13 17 29 16 28

Y. Ad-unarea fractiunilor ordinar-e *)La adunarea fractiunilor ordinare vem cloud, ca-

sue': I. Gland fractiunile ordinare ce se &al a se adunaa. acelagi nwmitor. II. Ceind fractiunile ordinare date

acela0 nunvitor.-- Regula I. Ca set adundm mai multe frqc-

tiuni ordinal-e care aft acelasi flumitor, adundm nu-mratoril, fractiunilor ordinare si, sume' dam denumitor pe nimitorul comun.

Esemple : S se faca adunarea fractiunilor ordinare ur-5 9 15 7

mdtcre 8+-8+-8-r-8-Esemplul dat e de casul I, pentru ca fractiunile ail a-

celasi numitor.Partile flind tot atat de marl in bite fractiunile si multimea

lor fiind aratatd de numrator, trebuie s-1 aduna'm pe eI, mdri-mea partilor flind data de numitor, sumeI '1 vom da de numi-

5 9 15 7 5+9+15+7 36tor pe cel com. ; avem dai . 8+8+ 8 +8= 8 836

Suma 8 e o fractiune supraunitara, trebuie s-I sceltem36 4 4intregI. Dupe' (94), avem 8 -- 36 :8_ 4 8' fractiunea -8 se

*) S se repete definitiunile generale date la operatiunile Cu numere in tregl..

12' 18' 24' 36.'19'103'

59

:

91,

92.

.

www.dacoromanica.ro

60

4 1 1'pOte simplifica, adic5.-8 ast-fel suma ceruta este 4

-- Regula II. Ca s' adunam mal, multe fractiuni.ordinare care n'aa acelasi numitor, le aducem mal',.cinti'A la acela0 nwmitor (89 sati 90) 0, apoi le adu-nam ca mai sus (92).

semplu : S6 se adune fractiunile ordinare urmatelre3 7 13 27'-+-+ --F-4 8 14 28'

Esemplul dat este de casul II, pentru ca fractlunile .n'attacelasI numitor,

AducOnd fractiunile la acelast numitor prin cel m. im c.m. (90) adunarea propusa se reduce la adunarea. frac.

42 49 , -52 , 54urmatre + -r - --r-56 56 56 56'

197 3 7 13 29 197Dup6 regula I (107) su m a este-5-ri

.,ast-fel4+8+14+28 56197 29Scotend intregt avem

Observare. Adunrile numerilor mixte se tac sal' aclu-nand intregii de o parte si fractiunile de alta sati transfor-mand numerile mixte in forma de fractiuni ordinare(95 si 96) apoi adunam fracfiunileresumate dup re-gulele de mai sus (92 si 93).

1 5 17 177-8 + 3 + ---1-- +9+ (4-19)6 1 2Probleme: 1) Inteo casa. se aprind sera 4 lainpI; in antia se

5 3 9arde ,-, din oca, in a doua7, in a treia si a patra 7; cat s'a ars

o

.peste tot ?

Esereqii: Se se adune 3 5 7 73 13 1787+T-F 7+W+2-*+-27 ;15 1 6

;

13 17 20 27 3 2 5 7 .-3i , ,-mi+T1- E - - 5+7; 9-5 +7; (8-7) + 4; (15 +7) + (27);

;2,

93.

4

-gw=3

:

www.dacoromanica.ro

61

_1 72) Se tArguesce si se pune inteun cos: iKgr. zaheir, 1- Kgr. ca-' 2 8

5 5lea, 4 Kgr. carne, 2 Kgr. zarzavat; cata greutate e in cos?6 63) Dintr'o bucat de materie s'a luat 8 coi pentru hainele celuI

3 7maI mare copil, 5 si pentru ale celui d'al douilea, si restulpentru ale celui maI mic; catl coi coprindea bucata intrglt ?

5 34) Pe o mosie sunt 638 Ea. arAtur6., 25 Ea. Ian*, 1252- Ea.4 8padure, pentru islaz (loe de pasunat) i conac s'a socotit 58 Ea.cat intindere are mosia ?

5) 0 butie are treI canale ; pe antMa s'ar goli In 15 ore, pe acloud In 131 pe a treia in 12-- cat s'ar goli din butie inteo ork_1

2' 5'curgnd yin prin cate trelele canale.

6) Un agricultor retezand 6 stupl, a gAsit in5 2

miere, le douilea 1-- Kgr., in al treilea 16 5

1 -7- Kgr., in al cincilea 2 Kgr., i in al sselea 3115 Kgr. ; ea-0,8

miere a luat din totI stupiI?

VI. Sader ea.

La sd,derea fractiunilor ordinare avem cloud ca-surl: I. Cerad ambele fractiuni ordinare, desceidutul sisceidgtorul, a acelagi numitor i II. (kind fractiunile'ordinare date Waft acelasi nwmitor.

Regula I. Ca se' facem scei derea de casulceind fracfiv,nile ordinare za acelasi numitor, sceidemnumgrdtorul fractiund a doua din al cele' si-diferentel 4 eta' m de numitor pe numitorui comun.

13 9Esemplu : Se se fad. sdderea 14-14'In esemplul dat ambele tractiuni aVend acelasI numitor

sdderea e de casul I.

2antAiul Kgr. de3Kgr., in al patrulea

d'd

www.dacoromanica.ro

69

Paitile de divisiune ale unitatel sUnt tot alai de mar'in ambele fractiunI, in antia avem 13, in a doua 9, case vedem cate avem mal multe in anleia; scadem din

.13 9 3-9 413 pe 9 adica 13-9, dci 14--19 ----- 14 14'Diferenta se pc5te simplifica cu 2 si ave

13 9 2414 n114-14 -77

96. Regula II. Ca s, facem o scddere de casul alII, bid fraciunile ordinare n'aft acela0 numitor, leaducem,mai anteilft la adela0 inumitor (89 sail 90)apoi le scddem ca mai sus (95).

8 17Esempla, S se faca scaderea : 28 . Acsta scadere9 de casul JI, pentru ch" fractiunile date n'ati acelasi numitor.

.

Observare. Scaderea numerilor mixte se face satic,lnd fractiunile de o parte si intregil de. alta, sail redu-c'nd numerile mixte in forma de fractiunI ordinare i apoifacnd scaderea dup una din regulele precedente.

,10 3 (395 34 --358 +7 J.

1PrAobleme:

1) Din treI sterturI de pne s'a mncat- c t a-

mal r'mas ?4 1Dintr'o huata de postav de 15 m. si-9s'a

vndut 9n.si-6- ata mal. rmas ?

1 3Un butoiti gol! cantaresce 23 Kgr. si2-9, iar plin cu vin can-

ta.resee 195 Kgr. cat vin, pe greutate, e in butoia8

Esercip. Se se face, scaderile urmatre 9 7.15 12.-,,-3 3 1175 17-17 4 17;

7 3 . 5 7 6.6T 9 3 ---1 : 3-- (28 4 ' 6 8 6 ' 7 5 3T); (717-1) (5 1521) ;

8 47: 8

,ordinare.Esemple : S se inmultsd.Dup6 definittunea inmultiriI

deinmultit pe produs precum

62 .

54) Un caltor dup ce a mers din drum sta se se odilinsci;7

.tat are de Mcut5 35),-Inteo srA se ard 2L /Ara--gaz, intr'alta 1L si -;- cu cAt s'a

ars maI mult in sra Antia ? .30 .lontna..umple un basin in 4 ore i

--'pe o ama. basinul

,s4 4 -4s'a goht 1n5 ore fdr6, -7--; cata ap ar rmanea mnbasin, dc6. 1636.ms' curgA bite ord si lontna i canaua ?

40 persenn are trebuint de 8coti si -- de materie pentru un' 5

costurn de haine, are deja 5eoti' cat s mal cumpereUn comerciant a vndut dintr'o bucat6.--,.-cotI, '1.-am al rmas

18 37 rar 4-' de call cotI era bucata ?

VII. Inmultirea.

La. Mrnultirea numerilor Iractionare ordinare avemtref ,gasurl: I. Can& ave/in se' inmltim un num6r frac-tion&r rdinar-printeurn nu/mAr intreg ; II %nd avem-s inMultiM wn, rtume'r intreg printeun nunir frac-.tionar dr-d,inar si III. Gel nd avem s64/nmult*,,douci nu--mere fra ctionare ordinare.

--Regula I. Ca s iniiniatim un 'Incin6A aco-

nar ordinar sa un liumr mixt transformat "Pa' formade fractiune ordinal/d printeun numr intreg, inmul-OM itumreitorul fractifiwii ordinare cm, ixtregul -0 pro-