148_inegalitati_algebrice-121.pdf

Inegalit!"i algebrice

INEGALIT!"I ALGEBRICE

PROBLEME COMENTATE

1. S! se demonstreze inegalitatea:

, oricare ar fi , 0.2

a bab a b

!" "

S! se precizeze în ce caz inegalitatea dat! devine egalitate. Solu#ie: Demonstr!m inegalitatea folosind echivalen"ele:

# $

# $

2 2 2

22 2

2 4 2 4 2

2 0 0, ceea ce este evident, oricare ar fi , 0.

a bab a b ab a b ab a ab b ab

a ab b a b a b

!" % ! " % ! " % ! ! " %

% & ! " % & " "

Observ!m c! egalitatea are loc dac! #i numai dac! # $20,a b& ' adic! .a b'

Comentarii:

a) Inegalitatea demonstrat! mai sus reprezint! inegalitatea dintre media aritmetic! #i media geometric!, iar metoda folosit! în demonstra"ie se nume#te reducere ( scrierea inegalit!"ii ini"iale în forme echivalente prin efectuarea de opera"ii simple asupra unei inegalit!"i, pân! se ajunge la o form! despre care putem spune cu certitudine c! este adev!rat! ). A#adar am demonstrat:

#2

MA MG& $ 2

a bab

!" ,

oricare ar fi , 0.a b " În acela#i mod, se pot demonstra inegalit!"ile:

# $2

MP MA& 2 2

2 2

a b a b! !" ,

oricare ar fi , 0a b " ( media p!tratic! #i media aritmetic! ),

Prof. Marius Damian, Br!ila - 1 -


# $2

MG MH& 2

1 1ab

a b

"!

,

oricare ar fi , 0a b ( ( media geometric! #i media armonic! ). În fiecare dintre acestea egalitatea are loc dac! #i numai dac! .a b' Astfel, am stabilit #irul de inegalit!"i ale mediilor:

# $2

- - - MP MA MG MH 2 2

2

1 12 2

a b a bab

a b

! !" " "

!,

oricare ar fi , 0a b ( ,

unde recunoa#tem media p!tratic!, media aritmetic!, media geometric! #i media armonic!. b) Inegalit!"ile mediilor se pot generaliza, mai întâi pentru trei numere:

# $3

MP MA& 2 2 2

3 3

a b c a b c! ! !"

!

$

,

oricare ar fi , , 0,a b c "

#3

MA MG& 3

3

a b cabc

! !" ,

oricare ar fi , , 0,a b c "

#3

MG MH& $ 3 3

1 1 1abc

a b c

"! !

,

oricare ar fi , , 0,a b c ( în fiecare dintre acestea, egalitatea având loc dac! #i numai dac! .a b c' ' S! demonstr!m aceste inegalit!"i. Pentru # $3

MP MA& folosim tot reducerea:

# $ # $ # $22 2 2 2 2 2

22 2 2 3 3 3 3 9

a b ca b c a b c a b ca b c a b c

! !! ! ! ! ! !" % " % ! ! " ! ! %

%

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a b c ab bc ca a ab b b bc c c ca a% ! ! " ! ! % & ! ! & ! ! & ! "

# $ # $ # $2 2 20,a b b c c a& ! & ! & " inegalitate evident!, egalitatea având loc, evident, dac! #i

numai dac! .a b c' '



Pentru # $3MA MG& facem apel la:

identitatea

# $1 # $ # $3 3 3 2 2 23x y z xyz x y z x y z xy yz zx! ! & ' ! ! ! ! & & &

#i inegalitatea

# $2 2 2 2x y z xy yz zx! ! " ! ! ,

oricare ar fi , , .x y z)!

Identitatea se verific! u#or prin calcul, iar inegalitatea se demonstreaz! astfel:

# $ # $ # $

2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 0

x y z xy yz zx x y z xy yz zx

x xy y y yz z z zx x x y y z z x

! ! " ! ! % ! ! " ! ! %

% & ! ! & ! ! & ! " % & ! & ! & " 0,

ceea ce este evident. S! mai observ!m c! inegalitatea dat! devine egalitate dac! #i numai dac!

# $ # $ # $2 2 20,x y y z z x& ! & ! & ' altfel spus .x y z' '

Este clar acum c! # $# $3 3 3 2 2 23 0x y z xyz x y z x y z xy yz zx ,! ! & ' ! ! ! ! & & & " deci

3 3 3 3 , egalul având loc dac! #i numai dac! .x y z xyz x y z! ! " ' '

Nu r!mâne decât s! not!m:

3 3

3 3

3 3

x a x a

y b y

z c z c

* ' % '++

' % ',+

' % '+-

b #i inegalitatea 3 3 3 3x y z xyz! ! " se scrie

echivalent 3 ,3

a b cabc

! !" cu egalitate dac! #i numai dac! ;a b c' ' astfel am demonstrat

inegalitatea # $3MA MG& .

Pentru a demonstra inegalitatea # $3

MG MH& ne folosim de inegalitatea # $3MA MG&

( demonstrat! mai sus ).

Putem scrie: 3 3

1 1 13 1

1 1 1 3

a b cabca b c

a b c

! !" % " .

! !

1 1.

#i recunoa#tem inegalitatea # $3MA MG& aplicat! numerelor

1 1 1, , 0.a b c

(

Mai preciz!m c! #i în inegalitatea # $3MG MH& egalul se atinge dac! #i numai dac! .a b c' '

În concluzie, am reu#it s! ordon!m mediile #i pentru trei numere:

# $3

MP MA MG MH& & & 2 2 2

3 3

1 1 13 3

a b c a b cabc

a b c

! ! ! !" " "

! !,



oricare ar fi , , 0.a b c (

c) Se pot demonstra inegalit!"ile mediilor #i pentru numere reale : n 1 2, ,..., 0na a a (

# $n

MP MA& 2 2 2

1 2 1 2... ...

n na a a a a a

n n

! ! ! ! ! !" ,

#n

MA MG& $ 1 2

1 2

......n n

n

a a aa a a

n

! ! !" . . . ,

#n

MG MH& $ 1 2

1 2

...1 1 1

...

nn

n

na a a

a a a

. . . "! ! !

,

în fiecare inegalitate egalul având loc dac! #i numai dac! 1 2 ... .na a a' ' '

Avem deci inegalit!"ile : # $

nMP MA MG MH& & &

2 2 2

1 2 1 2

1 2

1 2

... ......

1 1 1...

n n nn

n

a a a a a a na a a

n n

a a a

! ! ! ! ! !" " . . . "

! ! !,

oricare ar fi 1 2, ,..., 0.na a a (

2. S! rezolv!m urm!toarele probleme ( în leg!tur! cu problema comentat! 1 ): (i) Demonstra"i c! oricare ar fi au loc inegalit!"ile: , , 0,a b c (

3 .3 3

a b c ab bc caabc

! ! ! !" "

Solu#ie: Pentru prima inegalitate folosim reducerea:

# $ # $2 2 2 2 3 3 3

a b c ab bc caa b c ab bc ca a b c ab bc ca

! ! ! !" % ! ! " ! ! % ! ! " ! !

#i am ob"inut inegalitatea # $2 .

Pentru a doua inegalitate avem, prin ridicare la p!trat:

# $ # $# $# $2

3 3 3 3 3 3

ab bc ca ab bc ca ab bc caabc abc ab bc ca

! ! ! ! ! !" % " % " ,

inegalitate adev!rat!, dac! "inem cont de # $3MA MG& aplicat! numerelor , , .ab bc ca


148_inegalitati_algebrice-121.pdf

Documents

Transcript of 148_inegalitati_algebrice-121.pdf