13. Metoda Operationala de Rezolvare a Circuitelor in Regim Tranzitoriu
10
1 Metoda OperaŃională de Rezolvare a Circuitelor în Regim Tranzitoriu Metoda cuprinde următoarele etape: a. Se formează schema operaŃională echivalentă a circuitului, cu sursele fictive corespunzătoare condiŃiilor iniŃiale şi surselor date. În schemă, mărimile se notează cu simbolurile operaŃionale. b. Se aplică forma operaŃională a ecuaŃiei lui Kircchoff, obŃinându-se ecuaŃii operaŃionale ale circuitului şi se rezolvă aceste ecuaŃii în raport cu imaginile funcŃiunilor necunoscute. c. Se calculează imaginile funcŃiunilor de timp date (de obicei tensiunea electromotoare) cu transformare directă, utilizând metodele de dezvoltare sau cu tabelele de transformări; se introduc aceste imagini în expresiile imaginilor funcŃiilor necunoscute, obŃinându-se astfel, explicit, ca funcŃiuni de variabilă p aceste imagini. d. Se determină funcŃiunile de timp necunoscute cu metodele de inversiune, căutând funcŃiile original corespunzătoare imaginilor determinate la sfârşitul etapei precedente. AplicaŃii : I. Fie reŃ eaua din figură la care la = < k t , 0 deschis se stabileşte un regim permanent sub acŃiunea sursei de tensiune electromotoare constantă 0 1 E e = . CurenŃii din reŃea sunt 2 1 0 0 2 1 R R E I I I + = = = 0 4 3 = = I I . Deoarece t=0 condensatorul C era încărcat (în circuit deschis) cu sarcina 0 Q şi la t=0 se închide întrerupătorul k, să se scrie ecuaŃiile operaŃionale necesare determinării imaginilor ) ( ); ( ); ( ); ( 4 3 2 1 p I p I p I p I ale curenŃilor din reŃea R 1 R 2 L R 3 L 2 L 3 E 0 k I 4 =0 I 3 I 2 = I 4 = I 0 t<0 2 1 0 0 1 R R E I I + = = * * R 1 R 2 L 23 L 2 E 0 C I 4 =0 i 3 i 2 t>0 1 i * *
Transcript of 13. Metoda Operationala de Rezolvare a Circuitelor in Regim Tranzitoriu
-
1
Metoda Operaional de Rezolvare a Circuitelor n Regim Tranzitoriu
Metoda cuprinde urmtoarele etape: a. Se formeaz schema operaional echivalent a circuitului, cu sursele fictive corespunztoare
condiiilor iniiale i surselor date. n schem, mrimile se noteaz cu simbolurile operaionale.
b. Se aplic forma operaional a ecuaiei lui Kircchoff, obinndu-se ecuaii operaionale ale circuitului i se rezolv aceste ecuaii n raport cu imaginile funciunilor necunoscute.
c. Se calculeaz imaginile funciunilor de timp date (de obicei tensiunea electromotoare) cu transformare direct, utiliznd metodele de dezvoltare sau cu tabelele de transformri; se introduc aceste imagini n expresiile imaginilor funciilor necunoscute, obinndu-se astfel,
explicit, ca funciuni de variabil p aceste imagini.
d. Se determin funciunile de timp necunoscute cu metodele de inversiune, cutnd funciile original corespunztoare imaginilor determinate la sfritul etapei precedente.
Aplicaii:
I. Fie reeaua din figur la care la =< kt ,0 deschis se stabilete un regim permanent sub aciunea sursei de tensiune electromotoare constant 01 Ee = . Curenii din reea sunt
21
0021 RR
EIII+
=== 043 == II . Deoarece t=0 condensatorul C era ncrcat (n circuit deschis)
cu sarcina 0Q i la t=0 se nchide ntreruptorul k, s se scrie ecuaiile operaionale necesare determinrii imaginilor )();();();( 4321 pIpIpIpI ale curenilor din reea
R1 R2 L
R3 L2 L3
E0 k
I4=0
I3
I2= I4= I0 t0
1i * *
-
2
i3=0t
-
3
Se poate aplica teorema generatorului de tensiune echivalent sub forma:
( ) ( )( )pZRpUpIo
o
'
222
22
+= i ( ) ( ) ( )( )pZR
pURpIRpUo
o
'
222
22222
+==
unde ( )pU 20 este imaginea Laplace a tensiunii secundare de mers n gol, iar ( )pZ o'22 este impedana operaional echivalent a reelei cu bornele ( )2,2 pasivizat. Tensiunea secundar de mers n gol se deduce din ecuaia transformatorului n care punem:
1111 IZEU gg = i 02 =I
0211
21111220
=
+==
IZZ
ZEIZUg
g
Impedana echivalent de ieire este impedana echivalent, msurat pe la bornele de ieire
( )2,2 cnd primarul este pasivizat ( )01 =gE
Se scriu tensiunile la borne (ec.II): ( )( )
1 2 11 1 12
2 1 22 2 21
00
R j L I j L I UR j L I j L I U
= +
= + +
sau 121222
212111
IZIZUIZIZU
=
=
=== 122112 LjZZ impedana mutual; =1Z impedana proprie a primarului
Pentru =sZ impedana de sarcin 22 IZU s=
R1 1
R2 L1
L2 e1
2112 LLL =
1
U2
2 i2
2
*
*
I2(p)
1Lj 1I
1U *
I2
sZ 2U 2Lj *
r1 r2 12Lj
=2Z impedana proprie a secundarului
-
4
11
221
22g
e ZZZ
ZZ+
=
Ecuaia transformat devine: ( ) 12122212111
0 IZIZZIZIZU
s =
=
Impedana echivalent de intrare a transformatorului este 1
11 I
UZ e = .
Din ecuaia II 12
122 IZZ
ZIs
+=
Introducnd valoarea 2I n ecuaia 1 a sistemului de ecuaii, 2 2 21 2 12
1 1 12
e
s z s
Z LZ Z ZZ Z Z Z
= = +
+ +
Considerm un generator de tensiune electromotoare 1gE i impedan 1gZ ce alimenteaz o sarcin
printr-un transformator:
Considernd bornele de ieire ( )2,2 (A,B) se poate stabili o schem echivalent de tipul unui generator de tensiune pentru grupul generator-transformator, avnd:
200 UUE ABg == - (tensiunea secundar la mers n gol)
20 eABg ZZZ == (impedana echivalent la ieire) Tensiunea secundar de mers n gol se deduce din ecuaia transformatorului, n care:
11
211
212120
21111
0
0
ZZZE
IIZU
IsiIZEU
gg
gg
+=
=
=
==
Impedana echivalent de ieire este impedana echivalent, msurat pe la bornele de ieire
( )2,2 cnd primarul este pasivizat, deci 01 =gE Ecuaia este echivalent celei calculate la paragraful anterior, n care s-a
inversat rolul nfurrilor. Impedana de sarcin este acum 1gZ .
Dac ;;; 2221111212 LjRZLjRZLjZ +=+== elementele schemei echivalente sunt:
1U 1gZ
1gE
1 1R
12Lj
2Lj
2U Z
2R 2
20UE g =
2eg ZZ = Z
B2
A2 2I 1I 1 2
I1
-
5
111
221
2
2211
112 ;
gg
gg ZLjR
LLjRZ
LjRE
LjE++
++=+
=
Dac tranasformatorul este apropiat de un transformator ideal,
121
22
11
2112
2
21
2
12212121
~;~;~;;0~;0~ ggggg ZNNZE
NNEZL
NN
LLLLLRR >>=
Deci, transformatorul ideal multiplic tensiunea electromotoare a generatorului n raportul lui
de transformare 1
2
NN
, iar impedana cu ptratul raportului de transformare.
Aplicnd teorema generatorului echivalent, sub forma:
( ) ( )( )pZRpUpI
'
2022
202 +
= sau ( ) ( ) ( )( )pZRpURpIRpU
'
2022
202222 +
==
unde, ( )pU 20 este imaginea Laplace a tensiunii secundare de mers n gol, iar ( )pZ ' 202 este impedana operaional echivalent a reelei (cu bornele ( )2,2 pasivizate). Considernd relaia n complex:
( ) ( )11
212
2'
20211
12120 ; LjR
LjLjpZLjR
LjEU
++=
+=
rezult
( ) ( )11
221
2
2'
20211
12120 ;)( pLR
LppLpZ
pLRpLpEpU
+=
+=
i 21221 LLL =
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1 2
1 1 2122 2 1 12
2 2 1 1 12
1 2
1
L Lp
RpLU p R E p E pR pL R pL p L p
+= =
+ + ++
unde 1 21 21 2
;L LR R
= = .
Cu aceasta, imaginea tensiunii electromotoare este ( ) ( )pTep
EpE = 101
i ( ) ( )1 2
2 01 1 2
1 2
11
pTL L eU p ER p
=
+ ++
-
6
( ) ( ) ( )1 2 1 21 2
2 01 1 2
t TtL L
u t t e h t T eR
+ +
= +
Funcia original este:
Efectund suma ( ) ( )tyty 21 + se obine:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 01 2 1 2 1 20 0
10 0t t tt
y t y t y y e h t e h t x t x t e dt
+ = + + +
sau ( ) ( ) ( )1 2y t y t y t = + . Teorema derivrii
Dac ( )tye este rspunsul la excitaie ( )tx i stare iniial nul, rspunsul la excitaie dtdx
este
egal cu dtdye
.
Rspunsul la excitaie i stare iniial nul, este:
( ) ( ) ( ) 0/ /0 0
1o
tt t
ey t e h t x t e dt
a
=
Dac nmulim ambii termeni cu 0/te i derivndu-i n raport cu timpul, rezult:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 000
0'
0
/
0
/
0
/'
0
'/'
0
/
11
1
t
e
tte
ttt
e
etxtha
tyeety
dtetxtha
ety
=+
=
( )tV ( )ty
funcie
retardat
dtdx
dtdye
n
n
x
dtd
n
n
y
dtd
xdt ydt
-
7
( ) ( ) ( ) ( )txtha
tyty ee =+0
'
0
11
Considerm excitaia dtdx
i rspunsul ( )( )tye1
( )( ) ( ) ( ) dtetxthea
ty tt
te
00 /
0
/
1
1 1 =
nmulim ambii termini cu 0/te i derivm, obinnd o ecuaie similar: ( )( ) ( )( )
dtdx
atyty ee =+
0
111
0
11
Teorema integrrii
Analog
Teorema ntrzierii
Dac ( )tye este rspunsul la excitaia ( )tx i stare iniial nul, rspunsul la excitaia ( )0ttx este ( )0ttye .
0tF operatorul care aplicat unei funcii, 0 ntrzie cu 0t
( ){ } ( )00 ttytyFt = Dac considerm relaiile:
( ){ } ( ) ( )txtyadtdy
atyd =+= 101
cu soluia ( ) ( )txty d11= i aplicnd operatorul
0tF ultimei relaii, se obine:
( ) ( ){ } ( )[ ]{ }txFtyFtty dtt 110 00 == Operatorii
0tF i d1 fiind comutabili, rezult:
( )0ttx ( )0tty
( )ty ( ){ }tyFt0
t 0t
-
8
( ) ( )[ ]{ }txFtty td 0110 =
Teorema echivalenei ntre condiiile iniiale i excitaii delta
Rspunsul liber la starea iniial ( )0y i excitaie nul, este egal cu rspunsul la excitaie ( ) ( )tya 00 i stare iniial nul.
Dac se consider excitaia ( ) ( ) ( )tyatx 00= , rspunsul ( )tye se calculeaz astfel:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )theytdettheyty tt tte 000 /0
// 00 ==
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) 100
01
0/===
===
etdtetdet
ftdtoftdttftdtt
o
t
o
t
Identificnd, rezult ( ) ( )tyty el = la o excitaie ( ) ( ) ( )toyatx 0= . Formula rspunsului complet este:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] tdetyatxea
ty tt
t+= 0
0
0 /
00
/
0
01
Circuitul R-L serie sub tensiune la borne
Rspunsul la excitaia treapt i stare iniial nul
Ecuaia circuitului este de forma:
( ) ( )tetRidtdiL =+ 101 adt
dad +=
Rspunsul circuitului este de forma :
( ) ( )thBety tsl 0/= ; RL
a
a==
1
00 ; ( )0lyB =
( ) =tye soluia particular a ecuaiei cu membrul doi.
( )tEhe = R
L
u
k i
-
9
( ) ( ) ( )=t
tte dtetxthe
aty
0
'/'/
0
0'
01
- rspuns la excitaie i stare iniial nul
i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +=+= t
ttteslt tdetxthe
athBetytyy
0
//
0
/ 000 1
Prin identificare, 0)0(0 === lyBLa
i ( )theL
y LtRt/1
= ( ) ( ) 10
/
0
/ 00==
tt
tt tdtetdet
Dac se aplic un semnal treapt, atunci :
( ) 00 /00
/ tt
tetdetx = i nlocuind, rezult:
( ) ( )RL
LthBety LtR += 1/ ( ) ( )the
Ree
LtRtt /// 1100 +=
( ) ( )theREi t 0/1 =
Rspunsul forat este:
( ) ( )thRE
ti f =
Rspunsul liber este:
( ) ( )theRE
ti tel 0/
=
( )theL
tLR
1
L1
t
( )theR
tLR
1
R1
t
-
10
( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ){ }
=
=
=
00/
0
0
0
0
ttxDe
a
thty
txDa
thty
tel
f
dac ( ) ( )tEhte = ( )
( ) ( ) EethLR
Lty
REE
dtd
LRL
ty
tel
f
=
=
=
0/
0
1
11
