8/8/2019 12.Intervale de incredere

1/4

CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE STATISTICA MATEMATICA 73

2.2 Intervale de ncredere

n sectiunea anterioara am determinat diverse estimari = (X1, . . . , X n) ale parametrului necunoscut al den-sitatii f = f(x, ) a unei populatii X folosind o selectie X1, . . . , X n de volum n a acestei populatii.

n practica, valoarea (x1, . . . , xn) calculata folosind valorile observate x1, . . . , xn ale variabilelor aleatoareX1, . . . , X n nu coincide aproape niciodata cu valoarea reala a parametrului .

Se pune problema ct de apropiat este de valoarea reala a lui , n sensul determinarii unui interval (L, U)

(L = L (X1, . . . , X n) si U = U(X1, . . . , X n) sunt variabile aleatoare ce depind de selectia X1, . . . , X n aleasa), astfelnct (L, U) cu o probabilitatea data, adica

P(L < < U) = 1 ,

unde (0, 1) este o valoare data.nlocuind variabilele aleatoare X1, . . . , X n prin valorile observate x1, . . . , xn, obtinem l = L (x1, . . . , xn) si u =

U(x1, . . . , xn), si numim intervalul (l, u) un interval de 100(1 ) % ncredere pentru parametrul necunoscut .n general, se poate determina un interval de ncredere pentru parametrul necunoscut al densitatii unei populatii

X n urmatoarele conditii:exista o variabila aleatoare g = g (X1, . . . , X n, ) cu urmatoarele proprietati:

1) g depinde netrivial de selectia X1, . . . , X n si parametrul

2) distributia variabilei aleatoare g nu depinde de (sau de alti parametrii necunoscuti).

n aceste conditii, determinarea unui interval de 100(1 ) % ncredere pentru se face astfel: se determinaconstantele cL si cU astfel nct sa avem

P (cL < g (X1, . . . , X n, ) < cU) = 1 ,

si se rezolva inegalitatile anterioare n raport cu , pentru a obtine:

P(L (X1, . . . , X n) < < U(X1, . . . , X n)) = 1 .

Variabilele aleatoare L si U astfel obtinute determina un interval (l, u) de 100(1 ) % ncredere pentru para-metrul necunoscut .

2.2.1 Cazul mediei distributiei normale (cu dispersie cunoscuta)

Sa presupunem ca populatia X are o distributie normala N

, 2

cu medie necunoscuta si dispersie 2 cunoscuta.Daca X1, . . . , X n este o selectie de volum n din populatia data, atunci X1, . . . , X n sunt variabile aleatoare

N

, 2

independente, si se poate arata ca X1 + . . . + Xn este o variabila aleatoare normala N

n, n2

cu medien si dispersie n2.

Rezulta deci ca variabila aleatoare

X1 + . . . + Xn n

n=

X1+...+Xnn

n

=X

n

este o variabila aleatoare normala N , 2

, si deci variabila aleatoareg (X1, . . . , X n) =

X n

verifica ipotezele precizate anterior.Sa notam cu z > 0 punctul cu proprietatea ca aria curpinsa ntre axa orizontala si graficul densitatii normale

N (0, 1), situate la dreapta punctului z este egala cu , adicaZz

12

ex2

2 dx = ,

sau echivalent

(z) = Zz

12

ex2

2 dx = 1 Z

z

12

ex2

2 dx = 1 . (2.1)

Mihai N. Pascu Notite curs Probabilitati si Statistica

8/8/2019 12.Intervale de incredere

2/4

CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE STATISTICA MATEMATICA 74

De asemenea, sa observam ca din simetria functiei de densitate normala, aria de sub graficul densitatii, aflatela stnga punctului z este de asemenea egala cu , adica

(z) =Zz

12

ex2

2 dx = . (2.2)

Observatia 2.2.1 Pentru un nivel de ncredere (0, 1) fixat, valorile lui z se determin a din tabele de valoriale functiei de distributie a densit atii normaleN (0, 1), folosind formula (2.1) sau (2.2).

Cu notatia anterioara, avem

P

z/2