Int Incredere N

8/6/2019 Int Incredere N

http://slidepdf.com/reader/full/int-incredere-n 1/22

INTERVALE DE INCREDERE SI TESTE

PENTRU PARAMETRII REPARTITIEI NORMALEN

; 2

Auxiliar: Repartitii de lucru deduse din repartitianormala ("CHI patrat", "Student", "Fisher")

(a) Repartitia "CHI patrat" cu r grade de libertate2 (r)

a fost introdusa la capitolul "Estimarea parametrilor"

De…nitie

Repartitia Gamma r2 ; 2 ; cu r 2 N se numeste repartitia

CHI Patrat cu r grade de libertate, avand densitatea derepartitie

f (y) =1

2r=2

r2

yr

21 exp

y

2

; y 0

M (Y ) = r

D2 (Y ) = 2r

Proprietate

Fie X 1;:::;X r variabile aleatoare independente, identicrepartizate Normal N (0; 1) : Atunci

Y =rX

i=1

X 2i

este repartizata 2 (r) :

(b) Repartitia Student cu r grade de libertate (t (r))

De…nitie:

Spunem ca o variabila aleatoare Z este repartizata t (r)daca are densitatea de repartie

f (z) =

r+12

p

r

r2

1 +z2

r

(r+1)=2

; z 2 R

1



Observatii

Pentru r = 1; repartitia t (1) se numeste "repartitia Cauchy"si pentru aceasta nu exista M (X ) :

M (jZ j) =2

1Z 0

z

1 + z2dz =

1

lim

b!1ln

1 + b2

= 1

Pentru r = 2; repartitia t (2) are M (Z ) = 0; iar M

Z 2

nuexista.

Pentru r > 2; repartitia t (r) are

M (Z ) = 0

D2 (Z ) =r

r 2

Proprietate

Fie X si Y variabile aleatoare independente, cu X N (0; 1) si Y 2 (r) : Atunci variabila aleatoare

Z =X q 1r Y

are repartitia t (r) :

Demonstratie:

f (X;Y ) (x; y) = f X (x) f Y (y) =

=1

2(r+1)=2p

r2

yr

21 exp

x2

2 y

2

; x 2 R; y 0

Consideram schimbarea de variabila

(z = xp

1r

y

y = y; z 2 R; y 0

respectiv transformarea inversa(x = z

q 1r y

y = y

2



de Jacobian p y=

p r: Atunci densitatea de repartite a vec-

torului aleator (Z; Y ) este

f (Z;Y ) (z; y) =1

2(r+1)=2p

r2

yr

21 exp

z2 y

2r y

2

p

yp r

; z 2 R; y 0

Densitatea marginala a lui Z este

f Z (z) =

1Z 0

f (Z;Y ) (z; y) dy =

=1p

r

r2

1

2(r+1)=2

1Z 0

yr+1

21 exp

y

2

1 +

z2

r

dy

Cu schimbarea de variabila

t =y

2

1 +

z2

r

obtinem

f Z (z) =1p

r

r2

r + 1

2

1 +

z2

r

(r+1)=2

; z 2 R

(c) Repartitia Fisher cu (r1; r2) grade de libertate (

F (r1; r2))

De…nitie:Spunem ca o variabila aleatoare Z este repartizata F (r1; r2)

daca are densitatea de repartie

f (z) =

r1r2

r1=2

r1+r22

r12

r22

zr121

1 +r1r2

z

(r1+r2)=2

; z 0

Proprietate

Fie X si Y variabile aleatoare independente, cu X

2 (r1)

si Y 2 (r2) : Atunci variabila aleatoare

Z =X

r1

Y

r2

are repartita F (r1; r2) :

3



Demonstratie

f (X;Y ) (x; y) = f X (x) f Y (y) =

=1

2(r1+r2)=2

r12

r22

xr121 y

r221 exp

x

2 y

2

; x; y 0

Consideram schimbarea de variabilaz = r2

r1 x

y

y = y; z 0; y 0

respectiv transformarea inversa

x = r1

r2yz

y = y

de Jacobian r1y=r2: Atunci densitatea de repartite a vec-torului aleator (Z; Y ) este

f (Z;Y ) (z; y) =1

2(r1+r2)=2

r12

r22

r1r2

r1=2

zr121y

r1+r22

1 exp

y

2

1 +

r1r2

z

;

z 0; y 0

Densitatea marginala a lui Z este

f Z (z) =

1

Z 0 f (Z;Y ) (z; y) dy =

=

r1r2

r1=21

r12

r22

z r121 1

2(r1+r2)=2

1Z 0

yr1+r22

1 exp

y

2

1 +

r1r2

z

dy

Cu schimbarea de variabila

t =y

2

1 +

r1r2

z

obtinem

f Z (z) = r1r2r1=2

r1+r2

2 r12 r2

2 z

r12 1 1 + r1r2

z(r1+r2)=2

; z 0

4



INTERVALE DE ESTIMARE (DE INCREDERE)

De…nitie

Fie modelul F = P X 1 cu 2 R si …e X 1;:::;X n variabilealeatore independente, identic repartizate (F ) : Fie 2 (0; 1)

si functiile A; B : S n ! R cu proprietatile:

i) A; B sunt masurabile si

A (x1;:::;xn) B (x1;:::;xn) 8 (x1;:::;xn) 2 S n;

ii) are loc relatia

P (A (X 1;:::;X n) B (X 1;:::;X n)) = 1

Atunci, pentru datele statistice (x1;:::;xn) ; intervalul

C n;1 (x1;:::;xn) = [A (x1;:::;xn) ; B (x1;:::;xn)]

se numeste interval de estimare pentru ; cu coe…cientulde incredere (1 ) (sau interval de incredere pentru ).

Propozitie

Fie modelul F = P X 1 cu 2 R si …e X 1;:::;X n vari-abile aleatore independente, identic repartizate (F ) : Pre-supunem ca exista o functie

g : S n ! R

cu urmatoarele proprietati:

g ((x1;:::;xn) ; ) continua si strict monotona ca functie in; 8 (x1;:::;xn)

g (; ) masurabila ca functie in (x1;:::;xn) ; 8 si variabilaaleatoare g ((X 1;:::;X n) ; ) are repartitia independenta de (o notam G).

Atunci, pentru orice 2 (0; 1) arbitrar …xat, exista C n;1 (x1;:::;xn)

interval de incredere pentru :

Demonstratie:Fie 2 (0; 1) si 2 arbitrari, …xati. Fie a () ; b () doua

cuantile ale repartitiei G = P g1 asa incat

P (a () g ((X 1;:::;X n) ; ) b ()) = G (b) G (a) = 1

5



Rezolvand doua inegalitati in ; putem scrie

f! j a () g ((X 1;:::;X n) (!) ; ) b ()g= f! j A (X 1;:::;X n) (!) B (X 1;:::;X n) (!)g

Rezulta ca

C n;1 (x1;:::;xn) = [A (x1;:::;xn) ; B (x1;:::;xn)]

este un interval de estimare pentru cu coe…cient de in-credere (1 ) :

Comentariu:Cuantilele a () ; b () nu sunt unic determinate prin con-

ditia G (b) G (a) = 1 , deci nici intervalul de incredere nueste unic. Este de interes sa construim cel mai scurtinterval de estimare cu coe…cient de incredere dat.

TESTE BAZATE PE INTERVALE DE INCREDERE

PENTRU IPOTEZA SIMPLA CU ALTERNATIVACOMPUSA

H : f = 0g; H A : f 6= 0g

Ne plasam in conditiile propozitiei anterioare, careasigura existenta unui interval de incredere pentru :

Pornim de la relatia

P 0 (a () g ((X 1;:::;X n) ; 0) b ()) = 1

Alegem REGIUNEA DE ACCEPTARE a ipotezei H :

f = 0g la pragul de semni…catie

An;1 (0) = f(x1;:::;xn) j a g ((x1;:::;xn) ; 0) bg

si REGIUNEA CRITICA pentru H :

f = 0

gla pragul de

semni…catie B = AC

n;1 (0)

Probabilitatea erorii de I tip este egala cu ;

P 0 ((X 1;:::;X n) 2 B) = 1 (1 ) =

6



Functia caracteristica operatoare a testului bazat peaceasta regiune critica este

OC () = P ((X 1;:::;X n) 2 An;1 (0))

APLICATIA 1

Interval de incredere si testul "z" pentru media uneirepartii normale cu dispersie cunoascuta

Modelul: P

X 1 = N ; 2 ; 2 cunoscut,

2R

Observatii: X 1;:::;X n v.i.i.r. N ; 2X N

;

2

n

p

n

X

N (0; 1)

Functiag ((x1;:::;xn) ; ) =

p n (x )

indeplineste conditiile din constructiile anterioare.

Pentru 2 (0; 1) …xat, …e a; b doua cuantile ale repartitieiN (0; 1) asa incat

P

a

p n

X

b

!= 1

a

p n (x )

b

=

x b

p n

x ap

n

C n;1 (x1;:::;xn) =

x b

p n

; x ap

n

Lungimea acestui interval de incredere este

l =p

n(b a)

Determinam acum cel mai scurt interval de increderepentru ;cu coe…cientul de incredere (1 ) :

7



Utilizand faptul ca b = b (a) ; conditiile

( F N (0;1) (b) F N (0;1) (a) = 1 minn

p n

(b a)o

conduc la f N (0;1) (b) db

da f N (0;1) (a) = 0dbda

1 = 0;

de unde obtinem

f N (0;1) (b) = f N (0;1) (a)

Rezultab = z1

2; a =

z1

2

si deci cel mai scurt interval de incredere este

C n;1 (x1;:::;xn) =

x z1

2

p n

; x + z1

2

p n

Consideram acum ipoteza H : f = 0g cu alternativa H A :f 6= 0g

P 0

z1

2

p n

X 0

z1

2

!= 1

An;1 (0) = (x1;:::;xn) j z12 p

n (x

0)

z12=

0 z1

2

p n

x 0 + z1

2

p n

Testul "z" se bazeaza pe regiunea critica

B = AC n;1 (0)

P 0 ((X 1;:::;X n) 2 B) =

OC () = P

z1

2

p n

X 0

z1

2

!=

= P z1

2 p n X

+

p n ( 0)

z1

2

!=

= F N (0;1)

z1

2

p n ( 0)

F N (0;1)

z1

2

p n ( 0)

8



APLICATIA 2

Interval de incredere si testul "t" pentru media uneirepartii normale cu dispersie necunoascuta

Modelul: P X 1 = N

; 2

; 2 necunoscut, 2 R

Observatii: X 1;:::;X n v.i.i.r. N

; 2

La "estimarea parametrilor" s-a demonstrat:

Proprietate

Fie X 1;:::;X n variabile aleatoare independente, identicrepartizate N ; 2 si …e E.V.M.

bV M = X

c2V M =

1

n

nXi=1

X i X

2Atunci bV M = X N

;

2

n

;

n

2 c2

V M 2 (n 1)

si cele doua componente ale E.V.M. sunt independente.

Constructie:S 2 =

n

n 1 c2

V M

p n

X

N (0; 1)

n 1

2 S 2 2 (n 1)

independenta

Z =

p n

X

,r 1

n 1

n 1

2

S 2 =

p n

X

S t (n

1)

Functiag ((x1;:::;xn) ; ) =

p n (x )

s


9



Pentru 2 (0; 1) …xat, …e a; b doua cuantile ale repartitieit (n

1) asa incat

P

a

p n

X

S b

!= 1

a

p n (x )

s b

=

x b

sp n

x asp n

C n;1 (x1;:::;xn) =

x b

sp n

; x asp n


l =s

p n(b

a)

Determinam acum cel mai scurt interval de increderepentru ;cu coe…cientul de incredere (1 ) :

Utilizand faptul ca b = b (a) ; conditiile(F t(n1) (b) F t(n1) (a) = 1

minn

sp n

(b a)o

conduc la f t(n1) (b) db

da f t(n1) (a) = 0dbda 1 = 0

;

de unde obtinemf t(n1) (b) = f t(n1) (a)

Rezultab = tn1;1

2; a = tn1;1

2

si deci cel mai scurt interval de incredere este

C n;1 (x1;:::;xn) =

x tn1;1

2

sp n

; x + tn1;1

2

sp n

Consideram acum ipotezaH :

f =

0g cu alternativaH

A:

f 6= 0g

P 0

tn1;1

2

p n

X 0

S

tn1;1

2

!= 1

10



An;1 (0) =

(x1;:::;xn) j tn1;1

2

p n (x 0)

s tn1;1

2 =

0 tn1;1

2

sp n

x 0 + tn1;1

2

sp n

Testul "t" se bazeaza pe regiunea critica

B = AC n;1 (0)

P 0 ((X 1;:::;X n) 2 B) =

OC () = P

tn1;1

2

p n

X 0

S

tn1;1

2

!=

= P tn1;1

2

p n X

S +

p n (

0)

S tn1;1

2! =

= F t(n1)

tn1;1

2

p n ( 0)

s

F t(n1)

tn1;1

2

p n ( 0)

s

Functia din R: t.test(x,...)

t.test(x, alternative = c("two.sided", "less", "greater"),mu = 0, conf.level = 0.95, ...)

Arguments

x a numeric vector of data values.alternative a character string specifying the alter-native hypothesis, must be one of "two.sided" (default),"greater" or "less".

mu a number indicating the true value of themean

conf.level con…dence level of the interval.

11



APLICATIA 3

Interval de incredere si testul "CHI patrat" pentrudispersia unei repartii normale cu medie cunoascuta

Modelul: P X 1 = N

; 2

; cunoscut, 2 2 (0; 1)


; 2

: Variabilele aleatoare

X i

; i = 1;:::;n

sunt i.i.r. N (0; 1) : Rezulta ca

1

2

n

Xi=1

(X i

)2

2 (n) :

Functiag

(x1;:::;xn) ; 2

=1

2

nXi=1

(xi )2


Pentru 2 (0; 1) …xat, …e 0 < a < b doua cuantile ale repar-titiei 2 (n) asa incat

P 2

a 1

2

n

Xi=1

(X i )2 b

!= 1

(a 1

2

nXi=1

(xi )2 b

)=

(1

b

nXi=1

(xi )2 2 1

a

nXi=1

(xi )2)

C n;1 (x1;:::;xn) =

"1

b

nXi=1

(xi )2 ;1

a

nXi=1

(xi )2#


l =nX

i=1

(xi )2

1

b 1

a

Cautam cel mai scurt interval de incredere pentru 2;cu

coe…cientul de incredere (1 ) :Utilizand faptul ca b = b (a) ; conditiile8<:

F 2(n) (b) F 2(n) (a) = 1

min

nP

i=1(xi )

2 1b 1

a

12



conduc la

f 2(n) (b)

dbda

f 2(n) (a) = 0

1b2 dbda + 1a2 = 0 ;

de unde rezulta

b2 f 2(n) (b) = a2 f 2(n) (a)

Aceasta ecuatie nu are o solutie analitica explicita, decinu putem obtine forma explicita a celui mai scurt intervalde incredere pentru 2; cu coe…cientul de incredere (1 ) :

Prin CONVENTIE, lucram cu

C n;1 (x1;:::;xn) =

"1

hn;1

2

n

Xi=1

(xi )2 ;

1

hn;2

n

Xi=1

(xi )2

#;

unde hn;2

si hn;1

2sunt cuantile ale repartitiei 2 (n) :

Consideram acum ipoteza H : f2 = 20g cu alternativa

H A : f2 6= 20g

P 20

hn;

2 1

20

nXi=1

(X i )2 hn;1

2

!= 1

An;1

20

=

((x1;:::;xn) j hn;

2 1

20

nXi=1

(xi )2 hn;1

2

)

= (20 hn;2

nX

i=1

(xi )2 20 hn;1

2)

Testul "CHI patrat" se bazeaza pe regiunea critica

B = AC n;1

20

P 2

0((X 1;:::;X n) 2 B) =

OC

2

= P 2

hn;

2 1

20

nXi=1

(X i )2 hn;1

2

!=

= P 2 hn;2

20

2

1

2

n

Xi=1

(X i

)2

hn;1

2

20

2! =

= F 2(n)

hn;1

2 2

0

2

F 2(n)

hn;

2 2

0

2

13



APLICATIA 4

Interval de incredere si testul "CHI patrat" pentrudispersia unei repartii normale cu medie necunoscuta

Modelul: P X 1 = N

; 2

; 2 R necunoscut, 2 2 (0; 1)


; 2

: Am demonstrat ca

1

2

nXi=1

X i X

2 2 (n 1) :

Functia

g (x1;:::;xn) ; 2 = 12

nXi=1

(xi x)2 = (n 1) s2

2


Pentru 2 (0; 1) …xat, …e hn1;2

si hn1;1

2cuantile ale repar-

titiei 2 (n 1) : Ca si in Aplicatia 3, obtinem

C n;1 (x1;:::;xn) =

(n 1) s2

hn1;1

2

;(n 1) s2

hn1;2

Consideram acum ipoteza H : f2

= 20g cu alternativaH A : f2 6= 2

0g

P 20

hn1;

2 1

20

nXi=1

X i X

2 hn1;1

2

!= 1

An;1

20

=

(x1;:::;xn) j hn1;

2 (n 1) s2

20

hn1;1

2

=

20 hn1;

2

n 1 s2 2

0 hn1;1

2

n 1

Testul "CHI patrat" se bazeaza pe regiunea criticaB = AC

n;1

20

P 2

0((X 1;:::;X n) 2 B) =

14



OC 2

= P 2 hn1;2

1

2

0

n

Xi=1 X i X 2 hn1;1

2! =

= P 2

hn1;

2 2

0

2 1

2

nXi=1

X i X

2 hn1;1

2 2

0

2

!=

= F 2(n1)

hn1;1

2 2

0

2

F 2(n1)

hn1;

2 2

0

2

15



APLICATIA 5

TESTUL FISHER PENTRU DREAPTA DEREGRESIE

La capitolul "Regresie" am stabilit urmatoarele rezul-tate:

Variabila aleatoare

SS resid =nX

i=1

X i ba bbyi

2

are proprietatea1

2x (1 2)

SS resid 2 (n 2)

Daca b = 0; atunci

1

2x (1 2)

SS regresie 2 (1)

1

2x (1 2)

SS total 2 (n 1)

iar variabilele 12x(1

2)

SS regresie si 1

2x(1

2)

SS resid sunt in-

dependente.

Formulam ipoteza H : fb = 0g cu alternativa H A : fb 6= 0g:

Daca H este adevarata, atunci variabila aleatoare

Z =1

2x (1 2)

SS regresie

1

n 2 1

2x (1 2)

SS residnotat

=SS regresie

SS resid

are o repartitie Fisher cu (1; n 2) grade de libertate.Pentru 2 (0; 1) arbitrar …xat, …e f (1;n2);1 cuantila de

rang (1

) a repartitiei Fisher cu (1; n

2) grade de liber-

tate.TESTUL FISHER: Regiunea critica pentru H : fb = 0g

esteB =

SS regresie

SS resid

f (1;n2);1

16



P (b=0)SS regresie

SS resid

f (1;n2);1=

Acest test este implementat in functia "anova" din R:

Testul Fisher prezentat aici este echivalent cu un test"t"; bazat pe urmatoarele fapte:

bbs 2x(12)

nP

i=1

(yiy)2

N (0; 1)

SS regresie = bb2n

Xi=1 (yi y)

2

1

2x (1 2)

SS resid 2 (n 2)

SS regresie si SS resid sunt variabile aleatoare independente,ceea ce implica bb si SS resid sunt variabile aleatoare indepen-dente. Atunci

bbs 2x(12)

nP

i=1

(yiy)2

,s 1

n 2 1

2x (1 2)

SS resid t (n 2)

TESTUL "t": Regiunea critica pentru H : fb = 0g lapragul de semni…catie este

B =

8>>>><>>>>: bb s

(n 2)nP

i=1

(yi y)2

p SS resid

tn2;1

9>>>>=>>>>; ;

unde tn2;1 este cuantila de rang (1 ) a repartitiei t (n 2) :

Si acest test este implementat in functia "anova" din R:

17



APLICATIA 6

COMPARAREA TRATAMENTELOR(COMPARAREA PARAMETRILOR A DOUA

REPARTITII NORMALE)

PROBLEMA DE BIOSTATISTICA:

Caracteristica de interes care este investigata poate… modelata printr-o variabila aleatoare cu reparti-tie normala N

; 2

(ex: nivelul colesterolului, nivelul

tensiunii arteriale sistolice, nivelul hemoglobinei, etc.)

Exista doua tratamente posibile T 1si T 2. EventualT 1 ="tratament" si T 2 ="placebo".

Se considera doua loturi independente, formate dinpacienti suferind de aceeasi boala, selectati in modindependent dintr-o populatie bine de…nita (ex: bar-bati, din mediul urban, in varsta 40 - 50 ani, suprapon-derali).

Pacientilor din primul lot li se administreaza T 1sicelor din al doilea lot li se administreaza T 2:Experimentul

este "blind", adica pacientii nu stiu ca primesc trata-mente diferite.

Se doreste identi…carea situatiei in care se obtin raspun-suri diferite la cele doua tratamente.

Model: T 1 = X 1 N

1; 21

; T 2 = X 2 N

2; 2

2

; X 1; X 2 vari-

abile aleatoare independenteObservatii:X 11; X 12;:::;X 1n v:a:i:i:r:N

1; 2

1

X 21; X 22;:::;X 2m v:a:i:i:r:N

2; 2

2

fX 11; X 12;:::;X 1n

g;f

X 21; X 22;:::;X 2m

g familii independenteIpoteze ce urmeaza a … testate:

H 1 :

21 = 2

2

; H 1A :

21 6= 2

2

H 2 : f1 = 2g ; H 2A : f1 6= 2g

18



Reamintim proprietatile E.V.M. pentru parametrii repar-titiei normale:

X 1 =1

n

nXj=1

X 1j N

1;

21

n

S 21 =1

n 1

nXj=1

X 1j X 1

2;

n 1

21

S 21 2 (n 1)

X 1;n 1

21

S 21 independente

X 2 =1

m

m

Xj=1

X 2j N

2;

22

m

S 22 =1

m 1

mXj=1

X 2j X 2

2;

m 1

22

S 22 2 (m 1)

X 2;m 1

22

S 22 independente

(a) Testul Fisher de comparare a dispersiilor,H 1 :

21 = 2

2

; H 1A :

21 6= 2

2

Folosind asociativitatea independentei, avem

1

n 1 n 1

21

S 21

1

m 1 m 1

22

S 22 =22

21

S 21S 22

F (n 1; m 1)

Reparametrizam si rescriem ipotezele H 1; H 1A :

=22

21

H 1 : f = 1g ; H 1A : f 6= 1gDaca ipoteza H 1 este adevarata, atunci S 21=S 22 F (n 1; m 1) :

Pentru 2 (0; 1) arbitrar …xat, …e f 1; si f 2; cuantile alerepartitiei F (n 1; m 1), cu proprietatea

F F (n1;m1) (f 2;) F F (n1;m1) (f 1;) = 1

19



Facem observatia ca aceasta relatie determina uniccuantilele pentru ca

Z F (n 1; m 1) =) 1

Z F (m 1; n 1)

deci avem si

F F (m1;n1)

1

f 1;

F F (m1;n1)

1

f 2;

= 1 :

Regiunea de acceptare a ipotezei H 1 : f = 1g este

An;m;1 ( = 1) =

(x11;:::;x1n; x21;:::;x2m) j f 1; s21

s22 f 2;

iar regiunea critica este B = AC n;m;1 ( = 1) : Probabilitatea

erorii de I tip este

P ( =1) ((X 11;:::;X 1n; X 21;:::;X 2m) 2 B) =

si functia caracteristica operatoare a testului este

OC ( ) = P

f 1; S 21

S 22 f 2;

= P

f 1; S 21

S 22 f 2;

=

= F F (n1;m1) ( f 2;) F F (n1;m1) ( f 1;)

Functia din R: var.test(x,y,...)

var.test(x, y, ratio = 1, alternative = c("two.sided","less", "greater"), conf.level = 0.95, ...)

Argumentsx, y numeric vectors of data values, or …tted linear

model objects (inheriting from class "lm").ratio the hypothesized ratio of the population vari-

ances of x and y.alternative a character string specifying the alter-

native hypothesis, must be one of "two.sided" (default),"greater" or "less".conf.level con…dence level for the returned con…-

dence interval.

20



(b) Testul "t" de comparare a mediilor,H 2 :

f1 = 2

g; H 2A :

f1

6= 2

gPresupunem ca s-a acceptat ipoteza de egalitate a dis-

persiilor, H 1 :

21 = 2

2

: Rezulta:

X 1 N

1;

2

n

X 2 N

2;

2

m

Folosind independenta, avem

X 1 X 2 N 1 2; 2 1

n +

1

mPe de alta parte,

1

2

(n 1) S 21 + (m 1) S 22

2 (n + m 2)

Folosind asociativitatea independentei,X 1 X 2

(1 2)q 21n + 1

m

,r

1

n + m 2 1

2((n 1) S 21 + (m 1) S 22) t (n + m 2)

Reparametrizam si rescriem ipotezele H 2; H 2A :

= 1 2

H 2 : f = 0g ; H 2A : f 6= 0gDaca ipoteza H 2 este adevarata, atunci

Z =X 1 X 2q

1n+m2

1n + 1

m

((n 1) S 21 + (m 1) S 22)

t (n + m 2)

Pentru 2 (0; 1) arbitrar …xat, …e tn+m2;1=2 cuantila derang

1

2

a repartitiei t (n + m 2) :

Regiunea de acceptare a ipotezei H 2 este

An;m;1 ( = 0) =

(x11;:::;x1n; x21;:::;x2n) j tn+m2;1=2 z tn+m2;1=2

Regiunea critica pentru H 2; la pragul de semni…catie este

B = AC n;m;1 ( = 0)

21



cu probabilitatea de eroare de tip I

P (=0) ((X 11;:::;X 1n; X 21;:::;X 2m) 2 B) =

si functia caracteristica operatoare

OC ( ) = P tn+m2;1=2 Z tn+m2;1=2

=

F t(n+m2)

tn+m2;1=2

,s 1

n + m 2

1

n+

1

m

((n 1) s21 + (m 1) s22)

!

F t(n+m2)

tn+m2;1=2

,s 1

n + m 2

1

n+

1

m

((n 1) s21 + (m 1) s22)

!

Functia din R: t.test(x,y,....)

t.test(x, y = NULL, alternative = c("two.sided", "less","greater"), mu = 0, paired = FALSE, var.equal = FALSE,conf.level = 0.95, ...)

Argumentsx a numeric vector of data values.y an optional numeric vector data values.alternative a character string specifying the alter-

native hypothesis, must be one of "two.sided" (default),"greater" or "less".

mu a number indicating the di¤erence in means(if you are performing a two sample test).

paired a logical indicating whether you want apaired t-test.

var.equal a logical variable indicating whether totreat the two variances as being equal. If TRUE then thepooled variance is used to estimate the variance. Other-wise the Welch approximation to the degrees of freedomis used.

conf.level con…dence level of the interval.

22

Int Incredere N

Documents

Transcript of Int Incredere N