Liviu BERETEU VIBRAIILE SISTEMELOR MECANICE 2009

PREFA

Dintre toate disciplinele fa de care inginerul rmne profund ndatorat, de aproape un s ecol, datorit succeselor aciunilor sale, Vibraiile Sitemelor Mecanice ocup un loc de prim rang. Cunoaterea i utilizarea noiunilor de vibraii mecanice au devenit necesiti fundamentale pentru o larg serie de specialiti: fizicieni, ingineri, arhiteci, etc. De la geofizicieni la constructori i pn la medici a crescut interesul pentru aceas t disciplin. Protecia mpotriva vibraiilor excesive este preocuparea principal a ingine rilor proiectani. Proiectarea i construcia unor maini vibratoare este, adesea, dorina inginerilor mecanici i a inginerilor de sunet. Msurarea i interpretarea vibraiilor mecanice sunt sarcini importante n activitatea de ntreinere predictiv a mainilor. Dat orit progreselor din analiza numeric i a instrumentelor de msur care sunt astzi la nde a specialistului: programe sofisticate de elemente finite sau elemente de fronti er, echipamente de analiz digital a semnalelor etc, acesta se gsete n posesia unui ans amblu complet de mijloace pentru studiul i descrierea micrilor vibratorii. Scopul p rincipal al acestei cri este de a da noiuni de baz n mecanica vibraiilor, tocmai pentr u a putea fi util studenilor de la diferite specializri. Bazat pe o documentaie la zi , nu ne ndoim c ea va fi de un real folos. Pentru a ntri deprinderile practice ale s tudenilor, este dat un numr mare de probleme rezolvate. 2

CUPRINS 1. VIBRAIILE LINIARE ALE SISTEMELOR MECANICE CU UN GRAD DE LIBERTATE 1.1.Stabilir ea ecuaiilor difereniale ale vibraiilor............................................ .................. 1.1.1.Caracteristici elastice i de amortizate. Legarea n serie i n paralel a element elor elastice................................................................... ........................................................................... 1.1. 2.Modelul mecanic de translaie pentru vibraiile liniare ale sistemelor materiale.. ... 1.1.3.Modelul mecanic de torsiune pentru vibraiile liniare ale sistemelor mat eriale....... 1.1.4.Stabilirea ecuaiei difereniale a micrii sistemelor materiale cu un grad de libertate cu ajutorul ecuaiei lui Lagrange de spea a II-a.............. ............................................................... 1.1.5.Fore pertur batoare......................................................................... ...........................

1.2.Rspunsul sistemelor mecanice liniare cu un grad de libertate la diferite exci taii..... 1.2.1.Vibraii libere neamortizate................................................ ...................................... 1.2.2.Vibraii libere cu amortizare vscoas... ................................................................... 1.2.3.Vibraii libere cu amortizare uscat...................................................... .................... 1.2.4.Rspunsul sistemelor vibrante liniare cu un grad de lib ertate la excitaia impuls.... 1.2.5.Vibraii forate neamortizate cu for perturbatoare oarecare.................................. 1.2.6.Vibraii forate cu amortizare vscoa s i for perturbatoare oarecare................... 1.2.7.Vibraii forate neamortizate cu for perturbatoare armonic................................. 1.2.8. Vibraii forate cu amortizare vscoas i for perturbatoare armonic................. 1.2.9. Rspunsul complex frecven.......................................................................... .... 1.2.10. Vibraii forate cu amortizare vscoas i for perturbatoare periodic........ .... 1.2.11. Aspecte energetice n studiul vibraiilor liniare. Amortizare structura l............... 1.3.Probleme.................................................................... .................................................. 2. VIBRAIILE SISTEMELOR LINIAR E CU MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 2.1.Stabilirea ecuaiilor difereniale ale micrii cu ajutorul ecuaiilor lui Lagrange de spea a II-a................................... ................................................................................ ....... 2.2.Ecuaiile micilor oscilaii............................................. ................................................ 2.3.Vibraii n sisteme cu caracter istici liniare.................................................................. . 2.4.Vibraii libere neamortizate................................................ ......................................... 2.4.1.Pulsaii proprii, vectori proprii. Determinarea legilor de micare............ ................ 2.4.2.Ortogonalitatea modurilor proprii........................ ..................................................... 2.4.3.Coordonate normale. Rspunsul sistemului la excitaie iniial............................... 2.4.4.Sisteme cu moduri de corp rigid......................................................... ...................... 2.5.Vibraii libere cu amortizare vscoas............................................ ............................. 2.5.1.Determinarea legilor de micare............................................. .................................. 2.5.2.Vibraii libere cu amortizare proporional.. ............................................................. 2.6.Vibraii forate neamortizate................................................... ..................................... 2.6.1.Vibraii forate neamortizate cu fore perturbatoare oarecare................... ................

3

2.6.2.Vibraii forate neamortizate cu fore perturbatoare armonice de aceeai pulsaie... 2.7.Vibraii forate amortizate..................................................... ....................................... 2.7.1.Vibraii forate amortizate cu fore perturbatoare oarecare..................... .................. 2.7.2.Vibraii forate cu amortizare vscoas i fore perturbatoare armo nice de aceeai pulsaie............................................................ ................................................................................ 2.8.Probleme.................................................................... .................................................. 3. APLCAII TEHNICE ALE TEORIEI VIBRAIILOR 3.1.Consideraii generale.............................................. .................................................. 3.2.Turaii critice ale vibraiil or de torsiune ale unui arbore elastic cu mai muli volani......................... ................................................................................ .................... 3.3.Turaii critice ale vibraiilor de ncovoiere ale unui arbore elastic cu mai muli volani....................................................... ....................................................................... 3.4.Izol area vibraiilor.................................................................. ................................... 3.5.Amortizorul dinamic simplu.............. ....................................................................... 3.6.Apar ate mecanice pentru msurarea vibraiilor........................................... ............. 3.7.Aparate electrice pentru msurarea vibraiilor.................... ...................................... 3.8.Msurtori de vibraii i prelucrarea semnale lor....................................................... 4. VIBRAII NELINIARE I PARAMETRICE 4.1.Consideraii generale............................................. ................................................... 4.2.Studiul n planul fazelor al vibraiilor neliniare........................................................ 4 .3.Puncte singulare i traiectorii de faz pentru sisteme liniare................... ................. 4.4.Metoda exact pentru studiul vibraiilor neliniare pentru sist eme conservative....... 4.5.Metoda liniarizrii echivalente....................... ........................................................... 4.6.Metoda variaiei l ente a amplitudinii i a fazei iniiale............................................. 4.7.Metoda parametrului mic.................................................... ...................................... 4.8.Metoda balanei armonice............... .......................................................................... 4.9.M etoda lui Ritz.................................................................. ........................................ 4.10.Autovibraii produse de frecarea usc at.................................................................. 4.11.Ecuaia l ui Duffing...................................................................... ............................ 4.12.Vibraii parametrice............................ ..................................................................... 4.13.Probl eme............................................................................. ..................................... 5. VIBRAIILE SISTEMELOR CONTINUE 5.1.Vibraii le longitudinale ale barelor drepte............................................. .................... 5.1.1.Deducerea ecuaiei de micare................................................. .............................. 5.1.2.Condiii iniiale i la limit..................... ............................................................... 5.1.3.Vibraii lon gitudinale libere. Metoda separrii variabilelor.................................. 5.1.4.Relaii de ortogonalitate.................................................. ....................................... 5.1.5.Vibraii longitudinale amortizate al e barei............................................................ 5.1.6.Vibraii longitudinale forate ale barei.................................................. ................. 5.2.Vibraii de rsucire ale barelor................................................ .................................. 5.3.Vibraii transversale ale barelor.......... ....................................................................... 5.3.1.Deducerea ecuaiei vibraiilor transversale...................................

.......................... 5.3.2.Condiii iniiale i la limit......................... ............................................................ 5.3.3.Vibraii libere transversale ale barelor....................................................... ............ 4

5.3.4.Relaii de ortogonalitate................................................... ...................................... 5.4.Probleme.................................................................... ................................................ 6. METODE NUMERICE I APROXIMATIVE 6.1.Evaluarea numeric a rspunsului sistemului cu un grad de libertate....................... 6.1.1.Soluia numeric bazat pe interpolarea forei perturbatoare...................... ........... 6.1.2.Integrarea numeric pas cu pas.................................. ............................................. 6.2.Evaluarea numeric a rspunsului sistemelor liniare cu mai multe grade de libert ate............................................................................. ............................................... 6.2.1.Metoda diferenelor finite.................................................. ..................................... 6.2.2.Metoda Newmark...................... .............................................................................. 6.3.Metode analitice aproximative............................................... .................................... 6.3.1.Calculul energiei cinetice i poteniale pentru sisteme continue.............. .............. 6.3.2.Aplicarea ecuaiilor lui Lagrange pentru sistemele continue n metoda modurilor presupuse...................................................... ................................................................................ . 6.3.3.Metoda Rayleigh......................................................... ............................................ 6.3.4.Metoda Rayleigh Ritz......... ................................................................................ . 6.3.5.Metoda Galerkin......................................................... ............................................ 6.4.Evaluarea numeric a pulsaiilor proprii i a vectorilor proprii.................. ............... 6.4.1.Metoda puterii folosind matricea de eliminare............................. .......................... 6.4.2.Metoda raportului Rayleigh..................... ............................................................... 6.4.3.Metoda mat ricelor de transfer............................................................. .................... 6.5.Probleme.................................................................... ................................................ BIBLIOGRAFIE................... ................................................................................ ......... 5

1. VIBRAIILE LINIARE ALE SISTEMELOR MECANICE CU UN GRAD DE LIBERTATE 1.1. Stabilirea ecuaiilor difereniale ale vibraiilor

1.1.1. Caracteristici elastice i de amortizare. Legarea n serie i n paralel a elemen telor elastice n studiul vibraiilor sistemelor mecanice se fac diferite ipoteze si mplificatorii, care reduc sistemul real la un model analitic (model mecanic). Mo delele mecanice sunt de dou tipuri: modelul sistemului continuu i modelul sistemul ui cu parametrii discrei. Numrul parametrilor geometrici independeni, care precizea z poziia unui sistem, reprezint numrul gradelor de libertate. Chiar i n cazul sistemel or cu mai multe grade de libertate, studiul micrii se reduce la folosirea a dou mod ele mecanice: modelul de translaie i modelul de rotaie. Odat ales modelul mecanic se poate trece la aplicarea metodelor de obinere a ecuaiilor difereniale. Aceste ecuai i difereniale constituie modelul matematic al sistemului. Componentele, care cons tituie modelul cu parametrii discrei ai unui sistem, sunt acelea care dau legtura n tre fore, deplasri, viteze i acceleraii sau ntre momente, unghiuri, viteze unghiulare i acceleraii unghiulare. Componenta care leag fora de deplasare este arcul, care n m od obinuit se consider fr mas i pentru care se consider o relaie liniar ntre for eformaie). Constanta elastic poate fi determinat msurnd deformaia produs de o for co t cunoscut F. F (1.1) k= y st n cazul unui arc elicoidal, asupra cruia acioneaz fora F acesta va avea o deformaie static: y st = 8nD 3 F Gd 4 (1.2) unde n reprezint numrul de spire, D este diametrul de nfurare al spirelor, d es te diametrul spirei, iar G este modulul de elasticitate transversal. Constanta e lastic a arcului elicoidal este: F Gd 4 = k= (1.3) y st 8nD 3 6

Pentru un cablu supus la ntindere (fig. 1.1.) costanta elastic este: F EA (1.4) = Yst l pentru o bar ncastrat la un capt, supus la ncovoiere (fig. 1.2.), c ostanta elastic este: k=

F 3E I z = (1.5) y st l3 iar pentru o bar elastic ncastrat la un capt i supus la rs printr-un moment aplicat la cellalt capt (fig. 1.3.), constanta elastic la torsiun e este: k= k= (1.6) M st = GI p l Fig. 1.1. Fig. 1.2. Fig. 1.3.

n acest caz, legtura este ntre un moment i unghiul de rsucire. Componenta care d legat ura ntre for i vitez este amortizorul. Dac se consider forele de frecare, ntre eleme sistemului, proporionale cu vitezele relative, aceast amortizare este cunoscut sub numele de amortizare vscoas. Dac forele de rezisten se consider constante i de semn chimbat de-a lungul unei semiperioade, aceast amortizare este cunoscut ca amortiza re uscat (frecare uscat). n diagrama efort-deformaie, trasat pentru un ciclu de ncrcar descrcare se constat apariia unei bucle de histerez. Aria acestei bucle reprezint en ergia disipat pe ciclu, iar acest tip de amortizare este numit amortizare intern. Aceasta este numit amortizare vscoelastic, dac energia disipat depinde de amplitudine i frecven, respectiv amortizare histeretic, cnd energia disipat depinde numai de ampl itudine. n sfrit, legtura dintre for i acceleraie sau moment i acceleraie unghiular t prin mas, respectiv prin moment de inerie. Uneori, pentru legarea maselor rigide n tre ele sau pentru rezemarea lor se folosesc mai multe elemente elastice. Aceste elemente elastice pot fi legate n serie sau n paralel. n cazul legrii n paralel a do u elemente elastice, de constante k1 , k 2 , se pune 7

problema gsirii unui element elastic echivalent de constant k e . n ambele cazuri o for F va produce aceiai deformaie. Pentru arcurile legate n paralel se scrie: F = k1 x + k 2 x = (k1 + k 2 ) x Pentru cel echivalent se poate scrie: F = ke x Din cele dou relaii se obine: k e = k1 + k 2 (1.7) (1.8) (1.9) Fig. 1.4. n general, pentru un numr de n arcuri legate n paralel se gsete o constant e chivalent ke = ki i =1 n (1.10) La elementele elastice legate n serie, fig. 1.5, deformaia total a celor dou arcuri va fi suma deformaiilor i trebuie s fie egal cu deformaia arcului echivalent. Deci, s e poate scrie: F F (1.11) x1 + x 2 = + k1 k 2 x= F ke (1.12) 1 1 1 = + k e k1 k 2 de unde: (1.13) 8

Fig. 1.5. n general, n cazul legrii n serie a mai multor arcuri se gsete constanta ech ivalent din relaia: n 1 1 = (1.14) k e i =1 k i 1.1.2. Modelul mecanic de translaie pentru vibraiile liniare ale sistemelor materiale Se consider modelul mecanic din fig. 1.6. format dintr-o mas m aflat n micare de translaie.

Fig. 1.6. Fora elastic ce acioneaz asupra masei este dat de elementul elastic de cons tant k. Elementul care introduce amortizarea este reprezentat printr-un cilindru fix n care se poate mica ntr-un mediu vscos un piston legat de masa m. Din exterior acioneaz o for dependent numai de timp F (t ) , numit for perturbatoare. Tot din exte r acionez n ghidaje fore de rezisten de valoare constant i sens constant pe o semiper d, numite fore de amortizare uscat. Rezultanta acestor fore de rezisten are valoarea c onstant R. Se folosete principiul lui d'Alembert, proiectnd pe axa y, corespunztoare micrii, prima ecuaie a principiului: R d + Rl + R I = 0 (1.15) Pentru studiul micrii se alege originea la captul arcului nedeformat. Cu y se notea z deplasarea masei m fa de originea aleas. 9

Ecuaia de echilibru dinamic este: F (t ) + mg my cy ky R sgn y = 0 (1.16) unde: 1, daca , y > 0 sgn y = 0 , daca , y = 0 1, daca , y < 0 (1.17) sau ordonnd necunoscutele n partea stng a ecuaiei: my + cy + ky = F (t ) + mg R sgn y (1.18) Funcia sgn y nu este liniar, dect pe poriuni, n intervalul de timp n ca re viteza are acelai sens. Dac se alege originea de msurare a deplasrii masei m n poz iia deechilibrului static, ecuaia diferenial devine mai simpl. Notnd cu x noua deplasa re, se poate scrie: y = y st + x unde y st este deformaia static a arcului, i deci: ky st = mg (1.19) (1.20)

Derivnd relaia (1.19) i nlocuind n ecuaia (1.18) se obine: mx + cx + kx + ky st = F (t ) + mg R sgn x sau mx + cx + kx = F (t ) R sgn x (1.21) (1.22)

n aceast ecuaie nu mai apar forele ce determin poziia de echilibru static. n lipsa fre ii uscate ecuaia (1.22) este liniar.

1.1.3. Modelul mecanic de torsiune pentru vibraiile liniare ale sistemelor materi ale Pentru studiul vibraiilor de rsucire ale arborilor nu se mai poate folosi modelul precedent, datorit tipului diferit de micare. n aceast situaie se va folosi un model format dintr-un disc omogen articulat printr-o articulaie cilindric n centrul su i avn d un moment de inerie J. De obicei acest disc se numete volant. Elementul elastic (arborele elastic) este simbolizat printr-un arc spiral cu un capt legat de artic ulaie i cellalt capt fixat de disc. Constanta elastic a acestui element este K. Se ma i consider un element de amortizare, format dintr-un cilindru curb, care este fix i prin care se poate mica un piston cu tij circular legat la cellalt capt de disc. Pe tru caracterizarea forelor de amortizare se consider coeficientul de amortizare vsc oas la rotire C (fig.1.7.). Asupra discului mai acioneaz un moment perturbator M(t) . 10

Parametrul de poziie se consider un unghi msurat din poziia n care arcul este nedefor mat.

Fig. 1.7. Pentru deducerea ecuaiei de micare se va folosi cea de-a doua ecuaie din principiul lui d'Alrmbert: d l I M0 + M0 + M0 = 0 (1.23) Aceasta se proiecteaz pe axa fix perpendicular n O pe disc. Neglijnd frecrile, n ecuaia de momente nu intervin reaciunile: (1.24) J z = M zd Arcul spiral introduce un moment elastic, iar amorti zorul un moment de amortizare. Ecuaia (1.24) devine: (1.25) J z = M (t ) C K Ecuaia iferenial corespunztoare modelului de rotaie este liniar i cu coeficieni constani. De icei momentul perturbator este o funcie periodic M (t + T ) = M (t ) . Ca form ecuai a diferenial a modelului de rotaie este identic cu cea a modelului de translaie, cnd l ipsete fora de amortizare uscat.

1.1.4. Stabilirea ecuaiei difereniale a micrii sistemelor materiale cu un grad de li bertate cu ajutorul ecuaiei lui Lagrange de spaa a II-a Considernd parametrul de poziie al sistemului material, ecuaia lui Lagrange este: d Ec Ec =Q (1.26) dt unde Q reprezint fora generalizat i se cal ategorie de fore ce acioneaz asupra sistemului: (1.27) Q = Q c + Q nc + Q p (t ) Ce le trei categorii de fore generalizate reprezint n ordine: fora generalizat conservat iv ce deriv din fore care depind de poziia sistemului (greuti, fore elastice); fora g ralizat ce deriv din forele de frecare dintre sistem i exterior sau dintre component ele sistemului; fora generalizat perturbatoare ce deriv din forele perturbatoare ext erioare ce acioneaz asupra sistemului. Se consider un sistem format din N puncte ma teriale. Energia cinetic va fi: 11

Ec = i =1 N mi vi2 2 (1.28) unde

(1.29)

1 N r 1i E c = mi 2 i =1 Coeficientul

2 (1.30)

2 (1.31) este funcie de coordonata generalizat. Funcia ativ depinde numai de coordonata generalizat U = U ( problemei, se va considera poziia de echilibru stabil rdonatei generalizate. Deci, n poziia de echilibru, uren, dup puterile lui , se obine:

+ =0

1 2U 2 2 2 + ... =0

(1.32) = 0. =0

U

U (

) = U (0) +

r 1i m( N

) = mi i =1

2 1 2

= 2 m(

)

de for din care deriv fora conser ) . Fr a diminua generalitatea ca origine de msurare a coo = 0 . Dezvoltnd n serie Mac La

Poziia fiecrui punct din sistem depinznd de coordonata temelor olonom scleronome, relaia (1.28) devine:

r1i = r 1i ( ) , n

dr r v i = 1i = 1i

dt

De la studiul stabilitii echilibrului se tie c,

n poziia de echilibru valoarea funciei de for (sau constantei pn la care este determin t energia potenial) se poate lua zero. Limitnd dezvoltarea n serie la primii trei ter meni, va rezulta pentru funcia de for 1 2U (1.33) U= 2 2 2 =0 n care: 2U 2 = k q =0 (1.34)

este o constant, k fiind pozitiv. Pentru deducerea foeei generalizate de amortizare vscoas se va calcula lucrul mecanic virtual al forelor de frecare vscoas. N N N ci v i r 1i + cij v i v j r 1i r 1 j (1.35) i =1 i =1 j = 12

U

unde r 1i

(1.37) 2 v i v j N q = + cij 2 i , j =1 (1.38)

energia de disipare, cunoscut i sub numele de funcia lui Rayleigh, unde c( ) este un coeficient funcie de coordonata generalizat. Pe de alt parte, lucrul mecanic vir tual se poate scrie: (1.40) La = Q a q de unde E (1.41) Qa = d Pentru fora perturba toare generalizat se aplic metoda general de calcul al forelor generalizate: L p Q p (t ) = (1.42) q nlocuind n ecuaia lui Lagrange expresiile (1.30), (1.32) i (1.41) se obine o ecuaie diferenial de ordinul doi, n general neliniar. Dac se dezvolt n serie uteri n jurul poziiei de echilibru, pentru coeficienii m( ) i c( ) , se obine:

2 2 N 1 N r 1i r 1i r 1 j 2 c i + ci i r 1 j 2 1 1 N r 1i 2 E d = c i + cij = 2 c( ) 2 (1.39) m( ) = m(0) +

+ =0

1 2m 2 2 2 + ... =0

(1.43) 13

m

(1.36) iar din ecuaia (1.29) se poate scrie: v i r 1i = Relaia (1.29) devine: N vi2 a L = ci i =1

2

r 1i = q

c( ) = c(0 ) +

+ =0

1 2c 2 2 2 + ... =0

(1.44)

Presupunnd oscilaii mici, fa de poziia de echilibru, se pstreaz numai coeficieni cons ai dezvoltrilor (1.43) i (1.44). n acest caz ecuaia lui Lagrange devine: (1.45) m + c + k = Q p (t ) adic o ecuaie diferenial liniar cu coeficieni constani. 1.1.5. Fore perturbatoare Forele perturbatoare sunt acele fore exterioare, n general periodice, care depind d e timp. Exist multe surse de fore perturbatoare. n acest paragraf sunt artate numai cele de natur mecanic. Sursele cele mai importante de fore perturbatoare sunt forele de inerie ale unor mase neechilibrate i micarea suportului elementului elastic i/sa u a elementului de amortizare. n primul caz se consider modelul de translaie (fig.1 .8.). Fig. 1.8. Fig. 1.9.

O mas m o din sistem, excentric cu excentricitatea r1 , se afl n micare circular unifo rm cu viteza unghiular . Fora de inerie care apare datorit micrii masei excentrice s ransmite asupra axului, deci asupra masei m (n masa total m este inclus i m o ). Fora centrifug se descompune n dou componente. Componenta perpendicular pe ghidaj este a nhilat de reaciunea ghidajului, iar cealalt component este fora perturbatoare: m Fp = mr 2 sin t ; (1.46) r = o r1 m 14

c

Acest model are un incovenient, datorat componentei normale pe ghidaj, care duce la m uzura acestuia. Pentru eliminarea acestei solicitri variabile, se consider d ou mase o , 2 care se rotesc, n sensuri contrare, cu aceiai vitez unghilar (fig. 1.9. ). n acest caz, componentele normale pe ghidaj se echilibreaz, iar celelalte compo nente se nsumeaz i dau fora (1.46). Cealalt surs de producere a forelor perturbatoare constituie micarea suportului elementului elastic i/sau elementului amortizor. Se consider modelul de translaie din fig. 1.10. i se presupune c suportul comun se mic d up o lege f (t ) . Fig. 1.10. Din poziia de echilibru static, y msoar deplasarea masei m fa de un reper fix, corespunzator poziiei pentru f = 0 . Aplicnd principiul lui d'Alembert, se obi ne: my + c y f + k ( y f ) = 0 respectiv prin ordonarea ecuaiei (1.47) my + cy + ky = F (t ) unde F (t ) este dat de formula: ( ) (1.47) (1.48) (1.49) F (t ) = cf + kf Presupunnd c suportul are o micare armonic de forma: f (t ) = r sin t (1.50) fora perturbatoare este: F p = kr sin t + cr cos t = F0 sin (t + ) (1.51) Amplitudinea i faza iniial se pot determina prin reprezentare vectorial (fig. 1.11.) . 15

Fig. 1.11 F0 = (kr )2 + (cr )2 cr k (1.52) (1.53) tg =

Deci, n micarea absolut datorit micrii armonice a suportului, apare o for perturbatoa armonic. n unele aplicaii, cum ar fi studiul aparatelor pentru msurarea vibraiilor, i ntereseaz n mod deosebit deplasarea relativ a masei m fa de suport. n aceast situaie, (t ) va reprezenta deplasarea de transport, x (t ) deplasarea relativ, iar y(t ) deplasarea absolut. Deci, se poate scrie: y = x+ f (1.54) nlocuind (1.54) n (1.48), se obine: m x + f + c x + f + k ( x + f ) = cf + kf (1.55) sau mx + cx + kx = mf (1.56) Se observ c fora perturbatoare n acest caz este: F (t ) = mf (1.57) Dac micarea suportului este dup legea (1.50), atunci fora perturbatoare: (1.58) F (t ) = m 2 r sin t este o for armonic i n faz cu micarea suportului. ( ) ( ) 1.2. Rspunsul sistemelor mecanice liniare cu un grad de libertate la diferite exc itaii 1.2.1. Vibraiile libere neamortizate nainte de a discuta soluia general a ecuaiei (1.22), se vor considera cteva cazuri pa rticulare. n primul rnd se neglijeaz frecrile, iar fora perturbatoare F (t ) se consi der nul. 16

Fig. 1.12. n aceste condiii ecuaia diferenial a micrii modelului din fig 1.12 se reduc la: sau k (1.60) m unde n este cunoscut sub numele de pulsaie natural sau pulsaie proprie. S oluia se 2 x + n x = 0 , 2 n x = mx + kx = 0 (1.59)

(1.61) (1.62) (1.63) Constantele A1 i A2 se determin din condiiile iniiale x (0 ) = x 0 i x(0 ) = v 0 . Cu acestea, soluia (1.64) devine: v x = 0 sin n t + x0 cos n t = A sin ( n t + ) (1. 65) unde C1 i C 2 trebuie s fie constante complex conjungate pentru ca soluia (1.63) s r eprezinte o micare real. Deci: (1.64) x = A1 cos n t + A2 sin n t n un e A i se por determina din condiiile iniiale sau prin nsumarea vectorial a celor d ou componente (fig.1.13.). Fig.1.13 2 A = x0 + 2 v0 2 n (1.66) (1.67) tg = x0 n v0 17

caut de forma x = ce t . Se obine ecuaia caracteristic: 2 + n2 = 0 de unde 1, 2 = uia ecuaiei (1.60) va fi de forma: x = C1 e i n t + C 2 e i n t sau x = (C1 + C 2 ) cos n t + i (C1 C 2 )sin n t

i

n concluzie, n cazul vibraiilor libere i neamortizate, micarea este armonic cu pulsaia proprie, ce nu depinde de condiiile iniiale. Amplitudinea micrii i faza iniial depind e condiiile iniiale. Pentru modelul de rotaie se va obine o lege de micare identic cu (1.65), unde: K n= (1.68) J 1.2.2. Vibraii libere cu amortizare vscoas

n cazul n care este prezent amortizarea vscoas, amortizarea uscat se neglijeaz i n l forei perturbatoare, ecuaia diferenial a micrii modelului din fig.1.14. este: mx + cx + kx = 0 (1.69) Soluia ecuaiei (1.69) este de forma: x = Ce t (1.70) unde C i sunt c onstante ce trebuie determinate. Impunnd soluiei (1.70) s verifice ecuaia diferenial ( 1.69), se ajunge la ecuaia caracteristic: (1.71) m2 + c + k = 0 ale crei rdcini sunt: 1, 2 (1.72)

2 Fig. 1.14. Valoarea coeficientului de amortizare pentru care se anuleaz radicalul din relaia (1.72) se numete coeficient critic de amortizare: cc k = = n (1.73) 2m m sau cc = 2mn = 2 km , unde n este pulsaia natural a sistemului fr amortizare. 18

c k c =

2m m 2m

Introducnd raportul de amortizare = scrise astfel: c , rdcinile ecuaiei caracteristice pot fi cc 1, 2 = 2 1 n (1.74) n funcie de raportul de amortizare sistemele se clasific astfel: a) amortiza re supracritic, dac > 1 b) amortizare critic, dac = 1 c) amortizare subcritic, dac n fig. 1.15. se arat locul rdcinilor ecuaiei caracteristice n planul complex. ( ) Fig. 1.15. n cazul a) rdcinile ecuaiei caracteristice sunt reale i negative. Soluia ge neral va fi: x = C1e (1.75) 11t + C 2 e 2t = C1 exp + 2 1 n t + C 2 exp 2 1 n t ( ) ( )

n acest caz micarea nu este vibratorie. Pentru cazul b) exist o rdcin dubl, real i n v. Soluia n acest caz va fi (1.76) x = (C1 + C 2 t )e nt i n acest caz micarea siste este nevibratorie. n sfrit, n cazul c) rdcinile sunt complex conjugate cu partea real negativ. Pentru un sistem amortizat subcritic, rdcinile ecuaiei caracteristice se po t scrie i astfel 1, 2 = pi (1.77) unde = n = c n , se numete factor de amortizare, iar p = 1 2 n , se numete cc pseudopulsaie. egea micrii sistemului n acest caz este: [C1 exp(ipt ) + C 2 exp( ipt )]exp( t ) x = C1 exp + i 1 2 n t + C 2 exp i 1 2 n t = ( ) ( ) (1.78) unde C1 i C2 trebuie s fie constante complex conjugate pentru c x (t ) repre zint o micare real. Deci (1.78) se scrie: 19

x = e t [(C1 + C 2 ) cos pt + i (C1 C 2 )sin pt ] = e t ( A1 cos pt + A2 sin pt ) = Ae t sin ( pt + ) (1.79) Constantele de integrare A1 i A2 sau A i se determin din diiile iniiale. Dac pentru primele dou cazuri sistemul nu are micare vibratorie, pent ru cazul c) sistemul are o micare vibratorie amortizat. Micarea lui se stinge n timp pentru c dac t , x(t ) 0 . Fig. 1.16. ilustreaz rspunsul n domeniul timp pentru c trei cazuri. Fig.1.16. Folosind condiiile iniiale x (0 ) = x 0 , x(0 ) = v 0 se pot determina c onstantele A1 i

A2 , i rezult c: v + 0 x = e t 0 sin pt + x0 cos pt p i din reprezentarea obine: v + 0 A = x + 0 p 2 2 0 (1.80) 2 (1.81) i

x0 p (1.82) v0 + 0 Aa cum rezult din relaia (1.79) raportul de amortizare joac un ro l important n descreterea exponenial a vibraiei. n paragraful 1.1.1., s-a artat cum po te fi determinat constanta elastic a unui sistem simplu cu un grad de libertate. P entru determinarea raportului de amortizare se folosete metoda decrementului loga ritmic. Logaritmul natural al raportului a dou amplitudini succesive se numete dec rement logaritmic al amortizrii. xi Ae nt = ln = ln n (t +T ) = nT (1.83) xi + 2 A T reprezint pseudoperioada vibraiei amortizate: 2 2 (1.84) T= = p n 1 2 tg = Din ecuaiile (1.83) i (1.84) se obine: 2 2 = n = 2 n 1 1 2 (1.85) sau pentru sisteme slab amortizate ( < 0,2) 20

= 2 (1.86) deci, poate fi acceptat un raport de amortizare: x 1 ln i = (1.87) 2 xi + 2 Pe baza definiiei raportului de amortizare, se poate determina coeficientul de amortizare: c = 2 km (1.88) 1.2.3. Vibraii libere cu amortizare uscat

Frecarea coulombian sau frecarea uscat intervine cnd un corp alunec pe o suprafa rugoa s. Pentru ca micarea s nceap, trebuie nvins fora de frecare. Fora de frecare este n cu sensul vitezei i, deci este constant pe poriunile pe care viteza are semn const ant. Folosind modelul de translaie (fig. 1.17.) i notnd cu R fora de frecare maxim, e cuaia de micare poate scris n forma: mx + kx = Rsignx (1.89)

Fig. 1.17. Notnd cu x st = R , aceasta are semnificaia de sgeat static a elementului elastic k produs de o for ce are valoarea forei de amortizare uscat. Dac se consider intervalul de timp n care vit eza are semn constant i se nlocuiete: R = k x st (1.90) ecuaia (1.89) se scrie: (1.9 1) mx + k (x + x st sign x ) = 0 Fcnd schimbarea de variabil (1.92) x1 = x + x st s ign x ecuaia (1.91) devine: mx1 + kx1 = 0 (1.93) i are soluia: (1.94) x1 = A1 sin n t + A2 cos n t k 2 n care n = , iar soluia (1.94) este valabil ntr-un interval de t imp n care viteza i m pstreaz semnul, deci ntre dou momente de timp consecutive n car iteza este nul. 21

Presupunnd condiiile iniiale x (0 ) = x o > x st i x(0) = 0 , n intervalul de timp [0 , t1 ] se observ c x 0 i rezult: (1.96) x = ( x 0 x st ) cos n t + x st unde t1 est primul moment de timp dup t 0 = 0 n care viteza devine nul. Micarea are loc n sensul negativ al axe Ox, iar diagrama sa este o semicosinusoid n jurul dreptei x = x st . Derivnd n raport cu timpul ecuaia (1.96) se obine: (1.97) x = ( x 0 x st ) n sin t , moment de timp la care elongaia de unde punnd condiia x(t1 ) = 0 se obine t1 = n este x(t1 ) = ( x0 2 x st ) . frecare uscat ncepe o nou micare, n care masa are vitez pozitiv (signx = 1) i care trebuie s satisfac ecuaia: (1.98) mx + kx = k x st Dac 1 ) este suficient de mare pentru ca fora elastic s nving fora de Revenind la coordonata iniial: x = x st sign x + A1 sin n t + A2 cos n t (1.95)

a crei soluie n intervalul (t1 ,t 2 ) este: x = x st + A1 sin n t + A2 cos n t (1 ) i este supus condiiilor iniiale: x(t1 ) = 0 x(t1 ) = ( x 0 2 x st ) ; Soluia ecuai (1.99) este dat de: (1.100) x = (x 0 3 x st ) cos n t x st i reprezint o semicosinu soid n jurul dreptei x = x st . Micarea se amortizeaz datorit frecrii uscate i, deci r exista un numr de n semicosinusoide pn micarea se oprete. n intervalul de timp [t n , t n ] , legea micrii va fi: n +1 x = ( 1) xst + [x0 (2n 1)xst ]cosn t (1.101) Se observ c soluia are o component constant x st i una armonic, a crei amplitudine sca fiecare semiperioad cu 2 x st (fig. 1.18.). 22

Fig. 1.18. Micarea se oprete cnd fora elastic nu poate nvinge fora de frecare. Acest l cru are loc la sfritul semiperioadei pentru care x st x (t n ) x st . Deoarece, pe ntru a fi ndeplinit aceast condiie, este necesar ca amplitudinea componentei armonic e pentru t [t n 1 , t n ] s fie pozitiv, se poate concluziona c n este cel mai mare n treg ce satisface inecuaia: (1.102) x 0 (2n 1)x st > 0 1.2.4. Rspunsul sistemelor vibrante liniare cu un grad de libertate la excitaia im puls O form special de excitaie este impulsul de scurt durat, frecvent utilizat n determina rea rspunsului unui sistem supus unei fore perturbatoare oarecare. Conceptul de im puls unitar sau funcia lui Dirac, are urmtoarea definiie matematic: (t a ) = 0 pentr u ta (t a )dt = 1 (1.103) Prin definiie intervalul de timp n care funcia este diferit de zero este foarte mic, adic este , la limit se apropie de zero, i amplitudinea funciei este nedefinit, dar aria de sub curb este egal cu unitatea (fig. 1.19.). Fig. 1.19. Este clar c aria, deci valoarea integralei (1.103), este adimensional. Un impuls unitar aplicat la t = a se noteaz (t a ) . Atunci o for impuls de mrime F0 aplicat la timpul t = a se va scrie: (1.104) F (t ) = F0 (t a ) 23

Rspunsul sistemului la un impuls unitate aplicat la , se va nota h (t ) , iar rspu nsul la un impuls unitate aplicat la t = a se va nota h(t a ) . Se consider siste mul amortizat cu un grad de libertate cruia i se aplic o for impuls (1.105) mx + cx + kx = F0 (t ) Pentru c durata este foarte scurt, 0 , se va considera cazul n care c ondiiile iniiale sunt nule, x(0) = x(0) = 0 , i prin integrarea ecuaiei (1.105), n in tervalul t = , se poate scrie: lim (mx + cx + kx )dt = lim F0 (t ) = F0 0 0 0 0 (1.106) unde lim mxdt = lim mx 0 0 0 0 = lim m[x( ) x(0)] = mx(0 + ) 0 (1.107) lim cxdt = limc[x( ) x(0 )] = 0 0 0 0

Notaia x(0 + ) arat c n timpul t = , se schimb viteza, dar nu exist o schimbare inst anee n deplasare. Din (1.106) i (1.107) se obine c: F (1.108) x(0 + ) = o m ceea ce arat c, aplicarea unei fore impuls este echivalent cu condiia iniial x(0) = 0 F i x(0 v0 = 0 . m n concluzie, rspunsul unui sistem amortizat la o for impuls se obine din (1.80) F0 nt e sin pt , mp x(t ) = 0 x (t ) = lim kxdt = 0 0 0 p = n 1 2 , t > 0 , t 0 mp h(t ) = 0 , t 1 , fora i micarea sunt n opoziie. n 33

Pen ru cazul n care fora perturbatoare este: F (t ) = m 2 r sin , se obine amplitud inea vibraiei forate, mr 2 (1.161) x0 = (k m 2 )2 + (c )2 respectiv, factorul de ampl ificare: x0 = r n 2 2 2 (1.162) 2

1 + 2 n n defazajul are aceiai exp este reprezentat grafic n funcie de raportul fig. 1.30. , avnd parametru raportul de amortizare n n

Fig. 1.30. n ambele cazuri, soluia general este de forma: x = Ae n sin ( pt + ) + x0 sin( ) (1.163) unde A i se determin din condiiile iniiale impuse soluiei (1.163) amplitudinea vibraiei forate x 0 este dat n primul caz de (1.155), respectiv n al do ilea caz de (1.161). n al doilea caz maximele factorului de amplificare se obin pe ntru: 1 (1.164) = 1 2 2 n REZ avnd valorile: 1 x0 (1.165) = r 1.2.9. Rspunsul complex n frecven 34

n paragraful precedent amplitudinea x 0 i unghiul de faz, , ale variaiei forate, s-au determinat prin proiecia pe axe a vectorilor rotitori ce corespund ecuaiei (1.152 ), din condiia ca suma acestor vectori s fie nul. Reprezentnd fora excitatoare n forma complex: F (t ) = F0 e i (1.166) se nelege c excitaia va fi dat n forma (1.149) de tea imaginar din (1.166). De asemenea, rspunsul x (t ) va fi partea imaginar a funci ei x (t ) , unde x (t ) este soluia ecuaiei: mx + cx + kx = F0 e i (1.167) Soluia e cuaiei (1.167) poate fi presupus a avea forma: x = X 0 e i (1.168) unde X 0 este a mplitudinea complex i poate fi scris:

X 0 = X 0 e i (1.169) unde amplitudinea X 0 i defazajul sunt cele introduse n soluia (1.151). nlocuind (1.168) n (1.167) se obine: F0 X0 = (1.170) (k m 2 ) + ic care poat e fi scris i n forma: X0 1 (1.171) = H ( ) = 2 x st 1 + i 2 n n un sul complex n frecven i conine informaii asupra factorului de amplificare i a unghiulu de faz. ntr-adevr: X 1 H ( ) = 0 = (1.172) 2 x st 2 2 1 + 2 formaiile se pot obine prin reprezentarea rspunsului complex n frecven, n planul compl x, numit diagrama Ny uist. ntr-adevr: 35

Re (H ) = 1 n 1 n 2 2 2 + 2 n 2 (1.174)

2 1 + 2 n n astfel nct afixele numrului co 2 I m (H ) = 2 2 n 2 (1.175) H ( ) pentru (0, ) sunt punctele din planul

1 2 I (H ) + 1 = (1.176) Re (H ) + m 2 4 4 n n un sistem cu amortizare vscoas. Aceast diagram este foarte util n examinarea rezultate lor experimentale. Fig. 1.31.

1.2.10. Vibraii forate cu amortizare vscoas i for perturbatoare periodic Funcia complex de rspuns n frecven H ( ) este folosit n reprezentarea rspunsului un em amortizat supus la o excitaie armonic. n studiul vibraiilor se ntlnesc frecvent for perturbatoare care nu sunt armonice, dar sunt periodice. Orice funcie periodic po ate fi reprezentat printr-o serie de funcii armonice a cror frecvene 1 sunt multipli ntregi ai frecvenei fundamentale f 0 = , unde T0 este perioada excitaiei. T0 O ast fel de serie, cunoscut ca serie Fourier, poate fi scris n forma: 1 2 F (t ) = a 0 + (a n cos n 0 t + bn sin n 0 t ) , 0 = T0 2 n =1 (1.177) 36

unde n este un numr ntreg. Coeficienii seriei sunt dai de formulele: 2 an = T0 2 T0 T0 2 bn = T 0 2 T0 2 T 0 2 F (t )cos n tdt 0 0 n = 0,1,2,... (1.178) F (t )sin n tdt n = 1,2,... (1.179) i reprezint o msur a participrii fiecrei armonice la funcia F (t ) , iar 1 a0 constituie 2

valoarea medie a cestei funcii. Seria Fourier (1.177)corespunztoare funciei F (t ) se poate prezenta i sub form complex: a a ibn inn a n + ibn inn F (t ) = 0 + (1.180) 2 n=1 2 2 unde s-a inut cont de formulele: e in0 + e in0 e in0 e in 0 t = sin n 0 t = ; 2 2 (1.181) Din relaiile (1.178) i (1.179) se constat c: (1.182) a n = a n ; b n = bn i, deci relaia (1.180) devine: a a ibn in0 (1.183) F (t ) + n e = c n e in0 2 n =1 2 n = unde c0 = a0 ; 2 cn = a n ibn ; 2 cn = 1 T0 T0 2 T 0 2 F (t )e

(1.184)

Relaia (1.183) reprezint forma comlex a seriei Fourier. Deoarece rspunsul n frecven al unui sistem cu un grad de libertate, excitat armonic, este (1.171) x = H ( )F0 e i (1.185) Pentru o for periodic se poate folosi seria complex Fourier (1.183), fiind valabil principiul suprapunerii efectelor, n acest caz rspunsul complex va fi: x (t ) = n = X n

(1.186) No n , n ecuaia (1.185), X 0 = F0 H ( ) , atunci se vede c: i ( + ) X n = H n C n = H C n e H n Cn (1.187)

e in0

in0

37

unde H n ( ) = 1 1 n 0 n + i 2n 0 n 2 (1.188)

Din (1.188) se poate observa c dac o armonic n 0 este apropiat de pulsaia natural a si temului, atunci va avea o contribuie mare n rspunsul sistemului, mai ales dac sistem ul este slab amortizat. n cazul sistemelor neamortizate sunt create condiii de rez onan pentru o armonic oarecare, dac n 0 = n .

1.2.11. Aspecte energetice n studiul vibraiilor liniare. Amortizare structural Dac se consider vibraiile libere ale unui sitem neamortizat i se nmulete prin xdt term nii ecuaiei difereniale a micrii (1.59), se obine: mx xdt + kx xdt = 0 (1.189) Prin ntegrare se poate scrie: mx xdt = 0 t dt 2 mx 0 t d 1 2 dt = E c E c0 (1.190)

respectiv dx = E p E p0 x0 x0 Integrnd ecuaia (1.189) i innd cont de (1.190) i (1.191) s crie: Ec + E p = Ec0 + E p0 = const = Em kx xdt = kx dx = x x d kx 2 dx 2 x0 x (1.191) (1.192)

Deci, n cazul vibraiilor libere i neamortizate energia mecanic se conserv. De aceea d erivnd n raport cu timpul ecuaia (1.192) se obine: dE m (1.193) =0 dt care poate fi folosit n deducerea ecuaiei de micare a sistemului. n cazul sistemelor forate i amorti ate cu amortizare vscoas se definesc urmtoarele energii: a) Energia total a sistemul ui n vibraie, egal cu energia acumulat n elementul elastic, cnd acesta are deformaoa m xim: 1 (1.194) E p = kX 02 2 Ea reprezint energia potenial maxim sau energia de defor maie maxim. b) Energia introdus n sistem, n decursul unei perioade, de ctre fora pertu batoare armonic: E F = Fdx = Fxdt = F0 sin tX 0 cos (t )dt = F0 X 0 sin 0 0 0 T T T (1.195)

38

c) Energia disipat pe ciclu prin frecare vscoas, egal cu lucrul mecanic al forei de f recare: E d = Fd dx = cx xdt = cx 2 dt = cX 02 2 cos 2 (t )dt = cX 02 0 0 0 0 T T T T (1.196) din care rezult c energia disipat pe ciclu este proporional cu coeficientul de amorti zare c, pulsaia forei perturbatoare i ptratul amplitudinii micrii. Experiena arat c ia se disip n toate sistemele reale, chiar i-n acelea n care modelul mecanic nu conin e amortizorul cu frecare vscoas, deoarece energia se disip n elementul elastic, dato rit frecrilor interne. Frecarea intern, spre deosebire de frecarea vscoas, nu este pr oporional cu viteza. Experiena arat c pentru o categorie mare de materiale energia di sipat pe ciclu, prin frecri interne, este proporional cu amplitudinea deplasrii: E d = X 02 (1.197) unde este o constant ce depinde de frecvena oscilaiilor armonice. Ace st tip de amortizare, numit amortizare structural, este caracteristic sistemelor cu ciclu de histerez (fig. 1.32.).

Fig. 1.32. Comparnd ecuaiile (1.196) i (1.197) se poate deduce c un sistem care are amortizare structural i este supus unei excitaii armonice este analog cu un sistem cu amortizare vscoas a crui coeficient de amortizare este: ce = (1.198) Cu aceast ec ivalare ecuaia (1.149) devine: (1.199) mx + x + kx = F0 sin t Folosind reprezentare a prin numere complexe, fora perturbatoare F0 sin t va fi I m F0 e it , legea de micare x va fi I m z , unde z = Ze it este soluia ecuaiei: mz + z + kz = F0 e it (1.200) Deoarece z = it , ecuaia (1.200) se poate scrie: mz + k ( 1 + i )z = F0 e it ( ) (1.201) 39

se numete factor de amortizare structural, iar k (1 + i ) se numete R rigiditate comp lex. nlocuind soluia complex n ecuaia (1.201) se obine: F0 Z= (1.202) k m 2 + ik u e poate pune sub forma: Z = Z e i = X 0 e i (1.203) Pe baza relaiilor (1.202) i (1.20 ), se obin factorul de amplificare i unghiul de faz X0 1 = (1.204) x st 2 2 1 .205) tg = 2 1 n Comparnd relaia (1.204) cu relaia (1.157) se constat unde =

1.3. Probleme 1.3.1. Masa m din fig. 1.33. este aezat ntre dou arcuri elicoidale, avnd acelai diamet ru d al spirei i acelai diametru D de nfurare. Suma N a numrului de spire ale celor do u arcuri este constant. S se exprime pulsaia proprie a sistemului n funcie de numrul d spire ale celor dou arce. n ce caz pulsaia este minim? Fig. 1.33. Rezolvare: Arcurile sunt legate n paralel, deci k = k1 + k 2 , de unde: 40

Gd 4 1 1 + 3 8D N1 N 2 Pulsaia proprie a sistemului este: k= Gd 4 1 1 = 8D 3 N + N N 1 1 k Gd 4 N = 3 m 8D m N 1 (N N 1 ) Pentru ca pulsaia s fie minim, trebuie ca numitoru l s fie maxim, ceea ce are loc pentru N N 1 = N 2 = , adic: 2 P= Pm = Gd 4 2 D 3 mN 1.3.2. S se determine constantele elastice echivalente pentru sistemele oscilante din fig. 1.34. n fig. 1.34. a i b, masa m este rigid legat de bara AB, considerat fr mas, iar n fig. 1.34. c, legtura se realizeaz prin articulaia O. a b Fig. 1.34 c Rezolvare: Arcurile k1 i arcurile k 2 din fig. 1.34.a sunt legate n paralel. Arcur ile echivalente lor sunt legate n serie. Deci, se poate scrie: 1 1 1 , = + k 2 k1 2 k 2 2 k1 k 2 k= de unde k1 + k 2 n fig. 1.34. b toate cele trei arcuri sunt le gate n paralel, deci: k = k1 + k 2 + k 3 Datorit legrii masei m de bara AB prin art iculaia O, cele trei arcuri din fig. 1.34. c au deformaii diferite, deci nu sunt l egate n paralel. Se calculeaz constanta echivalent pentru primele dou arcuri. Din ec uaia de momente fa de O, se obine k1 x1a1 = k 2 x2 a2 , iar din asemnarea triunghiuri lor AOO' i ABB' rezult: 41

x x1 x 2 x1 k1 a1 + k 2 a 2 1 k 2 (a1 + a 2 ui va fi: 2 k k a2 , 4k1 k 2 k= x2 =

= a2 a1 + a 2 obinndu-se deformaiile: k a (a + a 2 ) x1 = 2 22 1 x ; 2 respectiv constanta echivalent celor dou arcuri: 2 k x + k 2 x 2 k ) ke = 1 1 = 2 x k1 a12 + k 2 a 2 Constanta echivalent a sistemul (a + a 2 ) k = ke + k3 = 1 2 2 1 + k3 2 k1 a1 + k 2 a 2 Dac a1 = + k3 k1 + k 2 k = 3k1 iar dac k1 = k 2 = k 3 , rezult:

k1 a1 (a1 + a 2 ) x, 2 k1a12 + k 2 a 2

1.3.3. Un cilindru din lemn, avnd densitatea , aria seciunii S i nlimea h, plutete parial scufundat, cum se arat n fig. 1.35. Fa de poziia de echilibru acesta este depla sat cu x 0 . S se deduc ecuaia diferenial a micrii, pulsaia i legea micrii cilindr neglijeaz frecrile. Fig. 1.35.

Rezolvare: n poziia de echilibru fora gravitaional i fora arhimedic i fac echilibru poziie n care cilindrul este deplasat cu x fa de poziia iniial se poate scrie: sau mx 0 Sgx Sh + 0 Sgx = 0 g 0 de unde x+ x=0 h i rezult: n = g 0 h ; = x 0 cos n t

42

1.3.4. S se determine pulsaia proprie a oscilaiilor unei coloane de lichid, avnd lun gimea l, ntr-un tub manometric n form de U. (fig. 1.36.) Fig. 1.36.

Fig. 1.37.

Rezolvare: Legea lui Newton ma = T + G + FA , unde FA este fora lui Arhimede, se proiecteaz pe direcia tangentei Vl + (V + 0V )g sin = 0 ml = mg sin + F A sin nde ( 0 ) g + sin = 0 l n cazul micilor oscilaii, se obine: 43

Rezolvare: Masa lichidului n micare este m F = 2 S . Ecuaia de micare este: 2g sau l 1.3.5. S se determine ecuaia de micare ., scufundat ntr-un lichid de densitate 0

= Sl , iar fora care produce micarea este Sl + 2 S = 0 , x+ x = 0, l 2g n = de unde i perioada pendulului simplu din fig. 1.37 ( > 0 ) . Forele de rezisten se neglijeaz

+ i 0 g =0 l T = 2 ( 0 )g l 1.3.6. Un corp de mas M, avnd o ax de simetrie () ce trece prin e suspendat prin trei fire simetric aezate fa de aceast ax. Se a de echilibru, prin rotire n jurul axei () cu un unghi mic (fig. rmine ecuaia diferenial a micilor oscilaii i s se stabileasc momentului de inerie al corpului n raport cu axa () . Fig. 1.38.

centrul su de mas, est scoate corpul din pozii 1.38.). S se dete o metod pentru determina

Rezolvare: n general trei fire asigur o bun stabilitate, dar formula ce se deduce n continuare este independent de numrul de fire. n cazul suspendrii prin trei fire, pe ntru g unghiuri mici se poate scrie R = l i fora din fiecare fir T = M . De asemenea , fora 3 tangenial, de readucere, va fi 3F = 3T sin = Mg . Aplicnd teorema momentulu cinetic fa de axa () , se poate scrie: J = 3 F R sau R2 J = Mg l adic: + de unde MgR 2 =0 lJ MgR 2 lJ 2 2 n =

MgR 2 T respectiv J = l 2 unde T este perioada micilor oscilaii, care se msoa mental.

1.3.7. Un cilindru de mas m i raz r se rostogolete fr s alunece pe o suprafa cilindr raz R (fig. 1.39.). S se determine perioada micilor oscilaii fa de poziia 44

de echilibru. Care este perioada micilor oscilaii dac cilindrul se nlocuiete cu o sf er m i raz r? Fig. 1.39.

Rezolvare: Folosind metoda energetic, se calculeaz energia cinetic a discului aflat n micare plan, considernd axa Oz perpendicular pe planul micrii: 1 1 E c = mv 2 + J z 2 , 2 2 unde v R 1 v = (R r ) , = = , J z = mr 2 r r 2 Astfel, energia cinetic devin e: 1 11 R r 2 3 2 2 2 E c = m(R r ) + mr 2 = m(R r ) 2 22 4 r Ene mg (R r )(1 cos ) 2

iar energia mecanic: 3 2 m(R r ) 2 + mg (R r )(1 cos ) 4 Sistemul fiind conservativ, se poate scrie: dE m 3 2 = m(R r ) + mg (R r ) sin = 0 dt 2 mprind cu , se obine ecuaia dife in = 0 3(R r ) n cazul micilor oscilaii sin , ecuaia devine liniar: 2g + = 0 i micarea este armonic cu perioada: 2 3(R r ) T= = 2 2g n 2 Pentru sfer, se ine co z = mr 2 i se obine: 5 E m = Ec + E p = 45

T = 2 7(R r ) 5g

1.3.8. S se determine ecuaia diferenial a micrii i perioada acesteia pentru modelul de translaie din fig. 1.40., presupunnd c arcul are masa m, uniform distribuit. Fig. 1.40. Rezolvare: Se consider 2 un element dz din arc. Energia lui cinetic este

1 (ldz ) z x , deoarece deplasarea elementului dz la cota z va fi z x . L 2 L Ener ia cinetic a ntregului arc este: dE c =

z3 1 1 1 l L 2 1 2 z Ecarc = l x 2 dz = x 2 2 = x = mx 2 0 L 2 3L 0 2 3 6 Energi etic total va fi: 1 1 E c = Mx 2 + mx 2 2 6 iar energia potenial: 1 E p = kx 2 2 Ene rgia mecanic a sistemului este: 1 1 1 E m = E c + E p = Mx 2 + mx 2 + kx 2 , 2 6 2 de unde, aplicnd metoda energetic (1.193) i mprind cu x , se poate scrie ecuaia de m are: m M + x + kx = 0 , 3 respectiv perioada micrii: m M+ 3 T = 2 k L 2 L 46

1.3.9. Se consider sistemul vibrant din fig. 1.41., format din corpuri omogene, l egate ntre ele prin fibre flexibile i inextensibile. Dac n poziia de echilibru static corpului de greutate Q = 2G i se imprim viteza v0 , se cer: a) ecuaia diferenial a micrii i legea de micare a corpului Q ; b) tensiunile din fire; c) valorile extreme ale tensiunilor i valoarea maxim a vitezei v0 , astfel ca n tot timpul micrii, firele s fie ntinse. Fig. 1.41.

Rezolvare: Se aplic ecuaia lui Lagrange E p d Ec Ec = dt x x x unde coo x reprezint deplasarea corpului Q din poziia de echilibru static. Deoarece corpul Q are micare de translaie, scripetele fix O1 are micare de rotaie cu axa fix, iar scr ipetele mobil O2 are micare plan, energia cinetic a sistemului este: 2 2 1 Q 2 1 G R2 x2 1 G x 1 G R 2 x 23 G 2 Ec = x + g 2 R 2 + 2 g 2 + 2 g 2 2 R r energia potenial este: 1 x 1 E p = k = kx 2 2 2 8 nlocuind n ecuaia lui Lagrange, se obine: 23 G 1 2 x + sau x + n x = 0 8 g 4 2kg 2 unde n = 23G Soluia ecuaiei difereniale este de forma: x = A1 cos n t + A2 sin n t 2 iar n condiiile iniiale date x(0) = 0 ; x(0 ) = v 0 , legea de micare rezult: 47

x= v0 n sin n t

Pentru determinarea tensiunilor din fire se separ corpurile ca n fig. 1.42. i se ap lic principiul lui d'Alembert, obinndu-se urmtoarele ecuaii: v 2G T1 x 2G = 0 , G1 + 0 n sin n t g g T1 R T2 R T2 R T3 R G R2 x =0 , g 2 R G R2 x =0 , g 2 2R

5 v 0 n sin n t T2 = G 2 + 2 g 11 v0 n sin n t T3 = G 2 + 4 g

5 v 0 n T2e = G 2 2 g 11 v0 n T3e = G 2 4 g Pentru ca fir nse, trebuie ca tensiunile minime s fie pozitive, condiie din care rezult: 8g v0 < 11 n 1.3.10. S se deduc ecuaia diferenial a micrii sistemului din fig. 1.43., presupunnd c a OB de mas m este orizontal n poziia de echilibru static i c efectueaz mici oscilaii urul acestei poziii, sub aciunea forelor perturbatoare distribuite. 48

Fig. 1.42. Valorile extreme ale acestor tensiuni sunt: v T1e = 2G1

0 n g

Fig. 1.43.

Rezolvare: Deplasarea vertical a punctului de pe bar situat la distana x de captul 0 va fi (x, t ) = xtg , iar fiind un unghi mic, se poate scrie: ( x, t ) = x (t ) F orele rezultante sunt: Px F e = kl , F a = cL , dF P = 0 f (t )dx L Aplicnd ecuaia de momente din principiul lui d'Alembert fa de axa fix Oz1 perpendicular pe planul micri i, se obine: P L2 mL2 + (cL2 ) + (kl 2 ) = 0 f (t ) 3 3 1 de mas m i suprafa A este legat la captul unui arc de constant k (fig. 1.44.). Dac pe ada oscilaiilor plcii n aer este T1 , iar pseudoperioada oscilaiilor cnd placa este s uspendat ntr-un vas cu un lichid vscos este T2 , s se deduc formula de calcul al coef icientului de amortizare i al coeficientului dinamic de vscozitate. Fig. 1.44.

Rezolvare: Aplicnd principiul lui d'Alembert pentru oscilaiile masei m n lichid, ne glijnd fora arhimedic, se obine: mx + cx + k ( x + x st ) mg = 0 , unde x se msoar di poziia de echilibru static, deci: g k 2 mg = kx st , = = n x st m Ecuaia se poate scrie: 2 x + 2 + n x = 0 unde 49

= c , ccr ccr = 2 km , n = k 2 , = m T1 iar pseudopulsaia este: p = n 1 2 De aici, 2 T 2 adic: 2 2 = T 2 2 ( ) T22 T12 T22 sau innd cont i de relaiile precedente se obine: 2 = 2m c= g T22 T12 x st ( )

T2 T1T2 De asemenea, innd cont de definiia coeficientului dinamic de vscozitate, rez ult: Fa cx c = = = At x At x At unde At este aria suprafeei totale n contact cu lich idul. Ca urmare, se obine: 2 m T22 T12 = T1T2 A 1.3.12. O elice de mas m=2kg, avnd raza de giraie fa de axa sa de simetrie i=100mm, e ste suspendat printr-un fir de oel de diametru d=1,5mm i modul de elasticitate 2 tr ansversal G = 80 10 9 N m . Elicea are oscilaii de rotaie n aer, cu rezistena aerulu i neglijabil, avnd perioada T1 = 2s . a) S se determine lungimea L a firului. Dac se scufund elicea n ap, se constat o scdere a amplitudinii oscilaiilor n fiecare ciclu c 63%. b) S se calculeze raportul de amortizare , pseudoperioada T2 i momentul de i nerie aparent al elicei. Rezolvare: a) Ecuaia diferenial a oscilaiilor de rsucire este : GI unde J + k = 0 , k= L G fiind modulul de elasticitate transversal, Ip mometul de inerie (geometric) polar, al seciunii firului, iar L lungimea firului. Perioad a oscilaiilor este: = 4 m T22 T12 50

T1 = 2 JL , I pG iar J = mi 2 de unde L= I p GT12 4 2 J = 0,2m j 100 = ln = 1 , unde j este valoarea 37 j+2 extrem de ordinul j a lui , pentru car e raportul de amortizare este: 1 = = = 0,16 2 6,28 Pseudoperioada oscilaiilor se ca lculeaz din formula: b) Decrementul logaritmic este: = ln

p = n 1 2 adic = 2,026 s 1 2 Momentul de inerie mecanic se poate calcula n aer din formula perioade i T1. Deoarece T12 I p G J= 4 2 L prin analogie, se obine pentru momentul de inerie aparent n ap: T22 I p G J apa = 4 2 L Fcnd raportul i innd cont de relaia dintre T1 se obine: T2 = T1 J apa J deci, = T22 1 = 2 T1 1 2

mi 2 = 0.0205kg m 2 2 1 Ca urmare, datorit antrenrii apei i frecrii vscoase, aparen e produce o cretere a momentului de inerie. J apa = 1.3.13. Se d sistemul vibrant din fig. 1.45., format din corpuri omogene legate nt re ele prin fire flexibile i inextensibile, iar frecrile sunt neglijabile. n poziia de echilibru static a sistemului cnd suportul inferior al arcului elicoidal este fixat (f=0), toate eforturile din fire au valoarea T0=6G. La un moment dat supor tul ncepe s vibreze dup g legea: f (t ) = r sin 0 t , unde 0 = . S se determine: k 51

a) Deformaiile statice ale arcurilor, ecuaia diferenial a micrii sistemului i pulsaia proprie; b) Legea micrii forate a centrului C al scripetelui mobil; c) Eforturile din fire i valoarea maxim a lui r pentru ca acestea s fie ntinse tot timpul micrii. Fig. 1.45. Rezolvare: Din condiia de echilibru static al scripetelui mobil se obine: T0 + T0 10G kx st = 0 2G R = x st = k 6 iar din condiia de echilibru static al troliului se obine: T0 2 R + T0 R k 0 st = 0 GR 1 0 st = 18 = rad k 6 Pentru deducerea ecuaie i difereniale a micrii se va folosi ecuaia lui Lagrange. Scripetele mobil are micare plan, iar scripetele fix i troliul au micare de rotaie. Se pot scrie urmtoarele relaii cinematice: V A = 3 2R ; VB = 3 R ; AB = IB = 2 R x 2x 4x ; ; ; 1 = 1 = VB = VA = 3R 3 3 2x 2x ; 3 = 2 = 3R 3R Energia cinetic a sistemului este: 2 2 1 10G 2 1 10G R 2 x 1 2G R 2 2 x + + Ec = x + 2 g 2 g 2 3R 2 g 2 3R

1 2G R 2 4G 4 R 2 2 x 15 G 2 + g 2 + g 2 3R = 2 g x 2 Energia poteni chilibru static, este: 1 1 G G 2 2 E p = k ( x f ) + k 32 = 6 ( x f ) + 24 x 2 2 2 R R Se nlocuiete n ecuaia lui Lagrange: 2 52

E p d Ec Ec = , dt x x x i se obine: g 4 r x+4 x= g sin 0 t , R 5R So ereniale este: x = x0 + x p , unde x 0 = A sin ( n t + ) , n = 2 g R

x p = x0 sin 0 t Impunnd soluiei particulare s verifice ecuaia diferenial, se obine: 2 2 2 0 X 0 + n X 0 = n , 5 de unde amplitudinea vibraiei forate devine: 2 r n 4 X0 = r, 2 2 15 5 n 0 deci 4 x p = r sin 0 t 15 Pentru determinarea eforturilor se s epar corpurile 1 i 2 i se aplic principiul lui d'Alembert (fig. 1.46.). iar vibraia forat este de forma: ( ) Fig. 1.46. Se obin urmtoarele ecuaii: 10G T2 + T1 10G x k ( x st + x f ) = 0 g 5G 1 R T2 R xR = 0 3g 2G T3 R T2 R xR = 0 3g de unde 268 G 268 G T1 = 6G r sin 0 t ; T1m = 6G r 45 R 45 R 53

248 G 248 G r sin 0 t ; T2 m = 6G r 45 R 45 R 16 G 16 G T3 = 6G r sin 0 t ; T3 m = 6G r 3 R 3 R Pentru ca firele s fie ntinse, trebuie ndeplinit condiia: r < 1,01R T 2 = 6G

1.3.14. Un motor electric de greutate G=12.000N cu turaia nominal n=1500rot/min, e ste montat la mijlocul unui suport, format din dou grinzi II6 coliniare, simplu r ezemate la capete, de lungime l=200cm. Rotorul motorului de greutate P=2000N, ar e o excentricitate e=0,1mm. S se determine turaia critic a motorului, amplitudinea vibraiilor de ncovoiere i forele dinamice transmise la reazeme. Rezolvare: Pentru II 6 din tabele rezult: Iz=935cm4, cu care constanta electric a celor dou grinzi devin e: 48E 2 I z 48 2,1 10 7 2 935 k= = = 235620N / cm 3 2003 Pulsaia proprie i tura critic se obin astfel: n k kg 235620 981 n = = = = 138,8s 1 , n = cr m G 12000 30 de unde 30 n 30 138,8 ncr = = = 1325rot / min

Pent u determinarea amplitudinii vibraiei forate, se scrie ecuaia diferenial de micare : G P x + kx = 2 e sin t g g Vibraia forat este de forma: x p = X 0 sin t Impunnd con iia ca aceast soluie particular s verifice ecuaia diferenial, se obine amplitudinea ei forate: Pe G n 2 X0 = 1 n 2 = 2000 0,1 1,13 2 = 0,077 mm 12000 1,13 2 1 unde n = = 1,13 ncr n Pulsaia forei perturbatoare este: 54

30 30 micarea avnd loc dincolo de rezonan. n lagre se transmite fora dinamic: k X 0 20 0,0077 FD = = = 907 N 2 2 = n = 1500 = 157 s 1 1.3.15. Un vehicol avnd masa M=400kg (fig. 1.47.) se deplaseaz cu viteza v pe un d rum denivelat, al crui profil poate fi aproximat prin legea f = r sin t , avnd lung imea de und a denivelrii L=10m. S se determine factorul de amplificare la vitezele v1=24km/h, v2=96km/h i valoarea vitezei critice de mers, dac suspensia elastic are constanta k=40N/mm. Fig. 1. 47. Rezolvare: Ecuaia diferenial a micrii vehicolului este: = n r sin t Vibraia forat a acestei micri este: r y eci, factorul de amplificare este: n = M Y 1 H ( ) = 0 = 2 Lungimea de und a denivelrii fiind Factorul de amplificare r 2 M 1 (2v ) L2 k L = v T = v 2 55 2 2 My = k ( p = Y0 sin t r 1 devine: Y 1 H

y f ) sau y + = sin t 2 1 n ( ) = 0 =

L v1=24km/h La v2=96km/h Y0 1 = = 1,21 2 r 1 (0,418) Y0 1 = = 1,82 2 r 1 (1,672) L 2 k 10 40 10 3 100 = = m / s = 57,3km / h M 2 3,14 400 2 Rezon na are loc dac = n , adic: v cr = 1.3.16. O for perturbatoare periodic este aplicat unui sistem vibrant prin intermedi ul unui element elastic i a unui amortizor, al cror suport comun este pus n micare d e o cam, care se rotete cu viteza unghiular constant 0 (fig. 1.48.). S se determine l egea micrii forate a mesei m. Fig. 1.48. Rezolvare: O micare periodic poate fi reprezentat printr-o serie Fourier n forma: 1 f (t ) = a 0 + (a n cos n 0 t + bn sin n 0 t ) 2 n =1 unde T T h 1 0 1 0 h t a0 = f (t )dt = To dt = 2 T0 0 T0 0 an = bn = 2 T0 2 T0 T0 0 T0 f (t ) cos n 0 tdt = f (t )sin n 0 tdt = 2 T0 2 T0 T0 T 0 ht o cos n 0 tdt = 0 sin n 0 tdt = h n 0 T0 T 0 h t o h h sin n 0 t 2 n =1 n Ecuaia diferenial a micrii masei m este: k k sau mx = f ) x 2 2 f (t ) = deci ( ) mx + cx + kx = cf + k f 2

56

unde f =

cos n 0 t n =1 Cu aceasta ecuaia diferenial a micrii devine: ch 0 kh kh mx + cos n 0 t , sin n 0 t + 4 n =1 2n sau restrngerea membrului drept, folosind ntarea vectorial, mx + cx + kx = kh h 1 2 k 2 + 4c 2 0 n 2 sin (n 0 t + n ) 4 n =1 2n h 0 unde tg n = 2nc 0 k i, nc 2 n = c k , = m 2 m n deci 2 h n h 1 x + 2n x + x = 2n 1 + 4 2n 0 4 n =1 n 2 n 2 n sin (n 0 t + 2 Legea micrii masei m este: h h 1 4 n =1 2n 1 n 0 n 2 n = n )

1 + 4 2n 0 n 2 2 2 + 2n 0 n 2 sin (n 0 t + n ) unde n = arctg 0 n 2

1 n 0 n n

1.3.17. Sistemul din fig.1.49. reprezint modelul unui vibrator, a crui mas nerotito are este M-m i care este fixat de o fundaie printr-un arc de constant k i un amortiz or avnd coeficientul de amortizare c. Dou mase m 2 au micri de rotaie de sensuri cont rare, cu aceiai vitez unghiular , i aceiai excentricitate e. S se determine ecuaia de are a sistemului, amplitudinea vibraiei forate a vibratorului i amplitudinea forei t ransmis la fundaie. 57

Fig. 1.49.

Rspuns: Ecuaia de micare este: Mx + cx + kx = me 2 sin t , amplitudinea vibraiei forat a vibratorului este: me 2 , X0 = 2 2 2 (k M ) + (c ) iar amplitudinea forei transmi s la fundaie rezult: Ft = me 2 (k M ) + (c ) 2 2 k 2 + c 2 2 2 1.3.18. Se consider sistemul din fig. 1.50., avnd amortizare structural. Folosind m etoda punctelor de semiputere, s se determine din reprezentarea diagramei Nay uis t factorul de amortizare structural, constanta elastic i masa sistemului. Fig. 1.50.

Rezolvare: Folosind reprezentarea n complex pentru rezolvarea ecuaiei de micare: mx + k (1 + i )x = F0 cos t se obine receptana mecanic (1.202) z 1 = = u + iv F0 k m + ik 1 k 1 n 1 n 2 u= 2 2 + 2 58

1 2 2 k 1 + 2 n Aceste relaii dau cercul: v= 1 1 = u + v + 2k 2k Punctele din diagrama de rezonan pentru de energie egal cu jumtate din cea corespunztoare rezonanei se numesc puncte de sem iputere (fig. 1.51.). 2 2 2 Fig. 1.51. Din (1.196) rezult amplitudinea: Folosind ecuaia (1.204) se obine: 1 1 2 Fig. 1.52. ( X 0 ) = n ( X 0 ) = n = Fo , i k 2 = 1 1 n 2 n 1 n 2 2 + 2 2 adic =1+ 2 =1 Pentru mg ml 2 l + kl 2 cos mg sin = 0 3 2 l + 6k 3g = 0 m mg k l > 2 sau 1.3.24. sau 1.3.25. ml 2 mgl sin + 2k (l a ) = 0 2 sau 2k a 2 g + 1 = 0 l m l

2k a g 1 > m l l 1.3.26. O elice, cu numr par de pale, este suspendat printr-un fir i are oscilaiile de rotaie n jurul axei sale de simetrie, n aer, cu perioada T1. Dac se aeaz simetric f a de axa de rotaie la distane d egale dou corpuri (magnei) de mas egal m, oscilaiile erioada T2. S se determine momentul de inerie al elicei fa de axa sa de simetrie (fi g. 1.59.). 2 Fig. 1.59. 61

Rspuns: 2md 2 T12 J= 2 T2 T12 1.3.27. Un corp de rotaie al crui moment de inerie J fa de axa sa de simetrie este cu noscut, este suspendat printr-un fir. Perioada oscilaiilor de rsucire n aer este T1 , iar n ulei T2. S se determine coeficientul de vscozitate al uleiului. Rspuns: c= 4J T22 T12 T1T2 1.3.28. S se determine rspunsul unui sistem cu un grad de libertate supus unei exc itaii treapt F0, n condiiile iniiale nule. Rezolvare: Considernd sistemul neamortizat, rspunsul la impuls unitar este: h(t ) = 1 sin n t m n nlocuind n (1.127) se obine: x (t ) = F0 m n sin (t )d n 0 t = F0 (1 cos n t ) k Pentru sistemul amortizat soluia va fi: x = x p + x0 unde xp = adic F0 , k x0 = e nt A1 cos n 1 2 t + A2 sin n 1 2 t , ( ) x(t ) = F0 n 1 e nt cos n 1 2 t + sin n 1 2 t k n 1 2 62

2. VIBRAIILE SISTEMELOR LINIARE CU MAI MULTE GRADE DE LIBERTATE 2.1. Stabilirea ecuaiilor difereniale ale micrii cu ajutorul ecuaiilor lui Lagrange d e spea a II-a Se consider un sistem mecanic supus la legturi olonome, aflat n micare, a crui poziie este precizat prin coordonatele generalizate 1, 2, ..., n. Ecuaiile lui Lagrang e de spea a II-a sunt: d Ec Ec = Qj , dt j j generalizate Q j se mpart astfel: ( j = 1,2,..., n ) (2.1) unde Ec reprezint energia cinetic a sistemului, iar Q j sunt forele generalizate. F orele Q j = Qc + Q nc + Q jp (t ) j j n care Q j c (2.2) nc p reprezint forele consecutive, Q j reprezint forele generalizate neconsecutive, altele lizate perturbatoare. pot fi scrise pe baza n E U p L = Q q (2.3) sub forma: Qc = j E p j ( j = 1,2,..., n ) (2.4) Forele neconsecutive pot fi clasificate n dou categorii. Dac puterea lor mecanic este nul: Q j =1 n n g j j = 0, dect cele perturbatoare, iar Q j (t ) reprezint forele genera Forele generalizate consecutive deriv dintr-o funcie de for U i lucrului mecanic virtual: j = q j = q j j =1 j =1 j j =1 j c n c j n

(2.5) ele se numesc fore giroscopice, iar dac puterea lor este negativ: Q j =1 d j j < 0,

(2.6) ele se numesc fore disipative. Ecuaiile lui Lagrange de spaa a II-a constituie un s istem de ecuaii difereniale de ordinul doi n coordonatele generalizate. ntr-adevr, en ergia cinetic a sistemului are expresia: 63

Ec =

=

(2.7) m s = mi i =1 N r1i r1i s t 2 1 N r m0 = mi 1i 2 i =1 t (2.8)

sunt funcii de coordonatele generalizate i de timp. Energia cinetic este deci, suma dintre o form ptratic n vitezele generalizate, o form liniar n aceleai viteze, respe v o form de grad zero. Dac legturile sistemului sunt scleronome: r1i =0 t i = 1,2,, N (2.9)

i energia cinetic a sistemului se reduce la forma: 1 n n (2.10) E c = m rs r s 2 r =1 s =1 adic o form ptratic i omogen n vitezele generalizate. O form ptratic i forma (2.10), poate fi scris n notaie matriceal dup cum urmeaz: 1 E c = [ 1 (m11 1 + m12 2 + + m1n n )] + 2 1 + [ 2 (m21 1 + m22 2 + + m2 n n )] + 2 ..... ........................................................... (2.11) 1 + [ n (mn1 1 + mn 2 2 + + mnn n )] = 2 m1n m11 m12 1 m22 m 2 n 2 1 T m 1 } 21 = { } [m]{ } 2 2 m mnn n n1 mn 2 n care generalizate. Matricea [m] este numit matricea formei ptratice i dup modul n care a f ost alctuit este o matrice simetric. { }T

{ n este matricea linie, iar { } este matricea coloan a vitezelor

} 64

= 1

2 ,

n 1 n n = mrs sr = mi 1i 1i

r s + ms r s i =1

n r1i r1i

s + t s =1 s

s + m0 2 r =1 s =1 s =1 unde coeficienii: N r r mrs = m

n r r 1 N 1 N mi r1i2 = mi 1i

r + 1i

t 2 i =1 2 i =1 r =1 r

n general, o funcie de mai multe variabile este pozitiv (negativ) definit, dac ea nu este niciodat negativ (pozitiv) i este egal cu zero dac i numai dac toate variabilel unt zero. O funcie de mai multe variabile este pozitiv (negativ) semidefinit dac nu este niciodat negativ (pozitiv) i poate fi zero i n alte puncte dect cele pentru care toate variabilele sunt nule. Aceste definiii sunt extinse i asupra matricelor asoc iate formelor ptratice. Criteriul lui Sylvester d condiiile necesare i suficiente pe ntru ca o form ptratic s fie pozitiv definit: toi determinanii (minorii principali) ai matricei asociate s fie pozitivi. Scriind energia cinetic sub forma:

2 (2.12)

rezult c ea este o form ptratic pozitiv definit. Revenind la ecuaiile lui Lagrange (2. ), pentru sisteme scleronome se obine:

1 n n = mrs ( s rj + r sj ) = 2 r =1 s =1

(2.13.a) unde rj este simbolul Kronecker, care este egal cu zero pentru r j i egal cu unu pentru r = j . Atunci:

j = 1,2,, n (2.13.b) Ec i Q j nu depind de acceleraiile generalizate. Grupnd toi termenii j care nu conin derivatele de ordinul doi ale coordonatelor, ecuaiile lui Lagrange ( 4.1) devin: m s =1 n js

j = 1,2,, n (2.14)

adic, ecuaii difereniale de ordinul doi n coordonatele generalizate i a cror coeficien m js sunt funcii de coordonatele generalizate. 2.2. Ecuaiile micilor oscilaii Dac la momentul iniial poziia unui sistem sceronom este n vecintatea unei poziii de ec hilibru stabil, iar vitezele iniiale sunt suficient de mici n valoare absolut, atun

~ s = Q j ( ,

) ,

d Ec n = m js Pe de alt parte

s , dt j s =1

n 1 n 1 n = m js

s + mrj r = m js s 2 s =1 2 r =1 s =1

Ec 1 n n = mrs r s + r s

j 2 r =1 s =1 j j

r 1 N n r Ec = mi 1i

r + 1i 0 t 2 i =1 r =1 r

ci n decursul micrii att derivaiile de la poziia echilibrului, ct i vitezele 65

generalizate, vor ramne mici. n aceste condiii se vor pstra, n ecuaiile difereniale al micrii, numai termenii care le liniarizeaz. Fr a micora generalitatea problemei, se c onsider originea coordonatelor generalizate n poziia de echilibru. Astfel, poziia de echilibru va fi dat de soluia banal: 1 = 2 = 3 = = n = 0 . Efectund o dezvoltar e n serie a coeficienilor mrs (2.8), care figureaz n expresia energiei cinetice, n ju rul poziiei de echilibru, se obine: j + { }={0} din care se vor pstra numai prile constante, adic mrs (0,0,,0) .

(2.15)

n legtur cu energia potenial, aceasta este o funcie numai de coordonatele generalizate , adic E p = E p ( 1 , 2 ,, n ) . Dezvoltnd aceast funcie n serie n jurul poziiei d chilibru, neglijnd termenii superiori celor de ordinul doi se obine: E p E p ( 1 , 2 ,, n ) = E p (0,0,,0) + r =1 r n p ns n poziia de echilibru r

r s { }={0} (2.16) E { }={0} = 0 , i n plus se admite c, constanta pn la care este determinat energia potenial este astfel aleas nct E p (0,0,,0) = 0 . Atunci ezvoltarea n serie se reduce la: 1 n n E p = k rs r s 2 r =1 s =1 unde (2.17) 2Ep k rs = r s = k sr { }={0} (2.18)

Conform teoremei Lejeune-Dirichlet, deoarece poziia de echilibru este o poziie sta bil, trebuie ca E p 0 , ceea ce nseamn c i energia potenial este o form ptratic p finit i se poate scrie matriceal sub forma: Ep = 1 T { } [k ]{ } 2 (2.19) Ct privete forele generalizate neconsecutive, ele depind numai de vitezele generali zate i exist dou cazuri particulare (2.5) i (2.6). n primul caz forele generalizate gi roscopice sunt funcii liniare i omogene de vitezele generalizate: Q jg = g js s , s =1 n j = 1,2,, n

2 1 n n Ep

r + { }={0} 2 r =1 s =1 r s

n m mrs ( 1 ,

2 ,,

n ) = mrs (0,0,,0) + rs j =1 j

(2.20) sau sub form matriceal: 66

n care matricea giroscopic [G] trebuie s fie antisimetric, adic: i ntr-adevr, n aces : n n n n {Q } = [G]{ } g (2.21) (2.22) (2.23) jj = 0 ,

n s, j = 1,2,, n

deci puterea lor este nul. Exemple de fore generalizate giroscopice, care pot acion a n sisteme scleronome, l reprezint cuplurile giroscopice i forele Coriolis. ntr-adevr pentru forele ineriale Coriolis se poate arta uor c satisfac condiia de giroscopicita te.

N N (2.24) unde vi este viteza punctului de mas mi fa de un sistem mobil, iar viteza unghiular a acestui sistem fa de un sistem de referin inerial. Pentru cel de-al doilea caz de f ore neconservative, ele sunt de rezisten, opuse de mediu asupra punctelor aflate n m icare. Ele sunt direct proporionale i de sens contrar cu vitezele punctelor. (2.25) Lucrul mecanic virtual al forelor generalizate neconservative disipative se scri e: Fi d = ci vi , i = 1,2,, N n L = Q d q j = Fir1i = Fi j j =1 j =1 j =1 n N N i =1 r1i j q j

FcI vi = 2 mi vi ( i =1 i =1

vi ) = 0

g js j s = g jj 2j + (g js + g sj ) s j =1 s =1 j =1 j =1 s =1 js

j = 0

(2.26) de unde: Q d = Fi j i =1 N

j = 1,2,, n (2.27) Pentru sisteme mecanice se tie: vi r = 1i j j i, n acest caz relaiile (2.27) devin: (2.28) Qd = j 1 N vi2 ci = 2 i =1 j j ( ) N ci vi2 i =1 2 2 (2.29)

Introducnd funcia disipativ a lui Rayleigh: 1 N 1 N n r 1 n n E d = ci vi2 = ci r = c rs r s 2 i =1 2 i =1 r =1 r 2 r =1 s =1 unde (2.30) crs = ci i =1 N r1i r1i = c sr r s (2.31) 67

N r1i r = ci vi 1i

j j i =1

Coeficienii crs depind de coordonatele generalizate. Dezvoltndu-i n serie i pstrnd num ai termenii constani, analog ca i coeficienii energiei cinetice, funcia de disipare a lui Rayleigh este o form ptratic pozitiv definit care se poate scrie sub form matri ceal: Ed = 1 T { } [c]{ } 2 (2.32)

Este posibil ca forele de rezisten disipative s apar ntre punctele sistemului. n acest caz funcia lui Rayleigh are aceiai form (2.29) n vitezele relative dintre puncte. Ac um se pot deduce ecuaiile difereniale ale micilor oscilaii cu ajutorul ecuaiilor lui Lagrange:

1 n n = mrs ( s rj + r sj ) = 2 r =1 s=1

(2.33) unde rj este simbolul Kronecker. Forele generalizate conservative se obin din (2.4 ) i (2.17). Qc = j

n j = 1,2,, n (2.34) Lund n calcul numai forele neconservative disipative, rezult: Q nc = Q d = j j j = 1,2,, n (2.35) Introducnd (2.33), (2.34) i (2.35) n ecuaiile lui Lagrange (2.1), se obine sistemul d e ecuaii difereniale liniare: (m n s =1 js s + c js s + k js s ) = Q jp (t )

j = 1,2,, n

= k js s s =1 n Ed = c js s

E p

j

j s =1

n 1 n 1 n = m js

s + mrj r = m js s 2 s=1 2 r =1 s =1

Ec 1 n n = mrs r s + r s

j 2 r =1 s =1 j j

(2.36) unde Q j (t ) reprezint forele generalizate perturbatoare. p Ecuaiile (2.36) se pot pune n forma: [m]{ } + [c]{ } + [k ]{ } = {Q p (t )} unde matricele: (2.37) [m] = [m]T , [c] = [c]T , [k ] = [k ]T (2.38) sunt simetrice i se numesc matricea de inerie, matricea de amortizare, respectiv m atricea de rigiditate. p Matricele { } i Q (t ) sunt matrice coloan ale coordonate lor generalizate, respectiv ale forelor generalizate perturbatoare. 68

2.3. Vibraii n sisteme cu caracteristici liniare Exist sisteme mecanice a cror ecuaii de micare sunt ecuaii difereniale liniare de ordi nul doi cu coeficieni constani. Un astfel de sistem este i cel n fig. 2.1., numit mo del de translaie. Fig. 2.1. Scriind ecuaia de echilibru dinamic al fiecrei mese, se obine: m1 y1 + c1 y1 + c2 ( y1 y 2 ) + k1 y1 + k 2 ( y1 y 2 ) = F1 (t ) + m1 g m2 y 2 + c2 ( y 2 y1 ) + c3 ( y 2 y3 ) + k 2 ( y 2 y1 ) + k 3 ( y 2 y3 ) = F2 (t ) + m2 g ms y s + cs ( y s y s 1 ) + cs +1 ( y s y s +1 ) + k s ( y s y s 1 ) + k s +1 ( y s y s +1 ) = Fs (t ) + ms g mn y n + cn ( y n y n1 ) (2.39) unde poziiile celor n mase ale sistemului aflate n micare de translaie pe ver tical sunt msurate din poziia corespunztoare arcurilor nedeformate. Este uor de obser vat c ecuaiile (2.39) se pot scrie: (m n s =1 sj y s + csj y s + k sj y s ) = F j (t ) + m j g , j = 1,2,, n (2.40) (2.41) sau sub form matriceal: [m]{y} + [c]{y} + [k ]{y} = {F (t )} + {mg} unde msj = sj ms , sj este simbolul Kronecker csj = 0 ; (2.42) k sj = 0 , j = 1,2,, s 2, s + 2,, n j = s +1 j=s csj = cs +1 ; csj = cs + cs +1 ; k sj = k s +1 , k sj = k s + k s +1 , 69

csj = cs ; k sj = k s , j = s 1 D c se aleg noi coordonate, care se msoar din poziia de echilibru static, deformaiile statice se obin din ecuaiile (2.40) n lipsa forelor perturbatoare i-n condiii de repa us, adic: k s =1 n sj y s0 = m j g , j = 1,2,, n (2.43) n care ys reprezint deplasarea masei ms pn n poziia sa la echilibrul static al sistemu lui. Fcnd schimbrile de variabil: y s = xs + y s0 , s = 1,2,, n (2.44) ecuaiile (2.40) , innd cont i de (2.43), devin: 0 (m n s =1 sj xs + csj xs + k sj xs ) = F j (t ) , j = 1,2,, n (2.45)

adic forele care determin poziia de echilibru static nu intervin n ecuaiile diferenial ale micrii dac coordonatele generalizate au originea n aceast poziie. Un alt sistem m ecanic, care conduce la ecuaii difereniale liniare, l constituie un arbore cu n mas e la care intereseaz vibraiile de rsucire (fig. 2.2.). Acest sistem mecanic se numet e model de rotaie.

Fig. 2.2. momentele de inerie ale acestora i cu M 1 (t ), M 2 (t ),, M n (t ) momen tele cuplurilor perturbatoare, scriind ecuaiile de echilibru dinamic pentru fieca re volant, se obine sistemul de ecuaii difereniale: Notnd cu 1 , 2 ,, n unghiurile de taie ale celor n volani, cu J 1 , J 2 ,, J n J 11 + k11 + k 2 (1 2 ) = M 1 (t ) J 2 2 + k 2 ( 2 1 ) + k3 ( 2 3 ) = M 2 (t ) J s s + k s ( s s 1 ) + k s +1 ( s s +1 ) = M s (t ) (2.46)

J n n + k n ( n n1 ) + k n+1 n = M n (t ) sau sub form matriceal: 70

[m]{ }+ [k ]{ } = {M (t )} unde (2.47) 1 { } = 2 , 3 0 J1 0 0 0 J 2 [m] = Jn 0 0

0 0 k2 0 k1 + k 2 0 0 k 2 k 2 + k 3 k 3 [k ] = (2.48) n cazul n care elementele elastice de legtur din fig. 2.3. sunt bare deformabile la n covoiere n acelai plan meridian, pentru aceste sisteme devine raional utilizarea met odei coeficienilor de influen. Aplicnd principiul suprapunerii efectelor, deplasrilor y1 , y 2 ,, y n ale celor n mase vor fi date de forele de inerie: y 2 = m2 y 2 y1 = m1 y1 , i de forele perturbatoare, astfel: y n = mn y n

y1 = 11Y1 + 12Y2 + + 1nYn + 11 F1 + 12 F2 + + 1n Fn y2 = 21Y1 + 22Y2 + + 2n + 22 F2 + + 2n Fn yn = n1Y1 + n 2Y2 + + nnYn + n1 F1 (2.49) Fig. 2.3. nlocuind forele de inerie n (2.49) acestea se pot scrie sub form matriceal: [ ][m]{y} + {y} = [ ]{F } (2.50) 71

unde [ ] reprezint matricea coeficienilor de influen, numit i matrice de flexibilitate [m] matricea de inerie, {y} matricea coloan a deplasrilor, iar {F } matricea coloa n a forelor perturbatoare. Coeficienii de influen ij reprezint deplasarea grinzii n s nea i sub aciunea unei fore unitate ce acioneaz n seciunea j. nmulind la stnga cu [ uaia (2.50) devine: 1

(2.51) adic este identic cu (2.37) sau cu (2.41) n lipsa amortizrilor i a greutilor. R zult: [m]{y} + [ ]1 {y} = {F (t )} [k ] = [ ]1 (2.52) i c sistemul mecanic din fig. 2.3. se poate reduce la un model de translaie.

2.4. Vibraii libere neamortizate 2.4.1. Pulsaii proprii, vectori proprii. Determinarea legilor de micare n absena forelor perturbatoare i a disiprii de energie n sistem, ecuaia (2.37) se poat scrie: [m]{ } + [k ]{ } = 0 (2.53) care reprezint un sistem de n ecuaii diferenial e omogene de forma: (m n j =1 ij j

i = 1,2,, n (2.54)

Intereseaz n mod deosebit acea soluie a sistemului (2.54), n care toate coordonatele sistemului s execute micri avnd aceiai dependen de timp. Matematic, acestea se exprim rin relaiile: j (t ) = a j f (t ) , j = 1,2,, n (2.55) n care a j sunt constante, iar f (t ) este aceeai pentru toate coordonatele. nlocuind ecuaiile (2.55) n (2.54) aceasta se poate scrie: f (t ) = f (t ) k a j =1 n ij j =1 ij n j m a = j , i = 1,2,, n (2.56)

+ k ij

j ) = 0 ,

unde este o constant real i pozitiv. Ecuaiile (2.56) devin: f (t ) + f (t ) = 0 n j =1 ij (2.57) (k mij )a j = 0 , i = 1,2,, n (2.58) (2.59) Soluia ecuaiei (2.57) este: f (t ) = Ae st unde s trebuie s satisfac ecuaia: 72

unde A1 i A2 sunt numere complex conjugate, deoarece funcia f (t ) este real, ea se poate scrie: f (t ) = C cos( pt + ) (2.62) n care C este o constant, p este pulsai a unei micri amornice, este unghiul de faz iniial. Ecuaiile (2.58) reprezint un sist liniar i omogen n necunoscutele a j , avnd parametru = p . Sistemul liniar omogen ( 2.58) se poate scrie: 2

s2 + = 0 (2.60) 2 Punnd = p , unde p este o constant real soluia ecuaiei (2.57) se s rie: f (t ) = A1e ipt + A2 e i t (2.61) [k ]{a} = p 2 [m]{a} Determinarea valorilor p = i a constantelor a j 2 ( j = 1,2,..., n ) , (2.63) pentru ca

sistemul (2.62) s aib soluia nebanal reprezint o problem de valori proprii i vectori p oprii. Pentru existena soluiei nebanale trebuie ca: p 2 = [k ] p 2 [m] = 0 ( ) (2.64)

Din aceast ecuaie se determin pulsaiile naturale, motiv pentru care se numete ecuaia p ulsaiilor sau ecuaia caracteristic. n general, ele se aranjeaz n ordine cresctoate: P P2 < Pn . Cea mai mic pulsaie se numete pulsaie fundamental. 1 Pentru fiecare pulsai Pr soluia ecuaiei: (r = 1,2,..., n ) corespunde un vector {a}r care este (2.65) Vectorii {a}r (r = 1,2,..., n ) se numesc vectori proprii sau caracteristici. [k ]{a}r = pr2 [m]{a}r Deoarece sistemul (2.65) este omogen, dac {a}r este soluie, atunci i r {a}r este soluie, unde r este o constant arbitrar. Deci, se poate spune c vectorul propri u este determinat pn la o constant, din acest motiv se introduc rapoartele: jr = Noul sistem algebric: a jr a1r (2.66) [k ]{}r = pr2 [m]{}r (2.67) conine numai n-1 necunoscute, fiind compatibil i determinat, deoarece determinantu l sistemului format cu n-1 ecuaii liniar independente este nenul. Vectorii:

{}T = {1r , 2r ,, nr }, r r = 1,2,, n (2.68) determin forma modurilor proprii. Micarea dup modul propriu r este dat de funciile: 73

a1r 1r a { }r = C 2r cos( pr t + cos( p r t + r ) . (2.69)

r ) = Cr 2r cos( pr t +

r ) = {}

Procedeul de aranjare a elementelor vectorilor proprii se numete normalizare. Un procedeu frecvent de normalizare este a lua un element egal cu unitatea, de exem plu 1r = 1 . Cel mai folosit procedeu este dat de relaia: {}T [m]{}r = 1, r r = 1,2,, n (2.70) Avnd n vedere ecuaiile (2.55) i (2.62), soluia ecuaiei (2.53) va fi o suprapunere a ce lor n moduri de vibraie, adic va fi de forma: { (t )} = { (t )}r = Cr {}r cos( pr t + r =1 r =1 n n (2.71) r )

2.4.2. Ortogonalitatea modurilor proprii (vectorilor proprii) Modurile proprii se bucur de o proprietate foarte util numit ortogonalitate. Nu est e o ortogonalitate n sensul obinuit, ci ea este n raport cu matricea de inerie [m] s au n raport cu matricea de rigiditate [k ] . ( pr p s ) . Ei sunt soluiile ecuaiilor: Fie {}r i {}s vectorii proprii corespunztori pulsaiilor proprii pr , respectiv ps nmulind la stnga ecuaia (2.72) cu {}s , iar ecuaia (2.73) cu {}r , se obine: T T [k ]{}r = pr2 [m]{}r [k ]{}s = ps2 [m]{}s (2.72) (2.73) {}T [k ]{}r = pr2 {}T [m]{}r s s (2.74) (2.75) {}T [k ]{}s = ps2 {}T [m]{}s r r Transpunnd ecuaia (2.75) dup regula cunoscut de transpunere a unui produs de matrice obine: ([A] [B])T = [B]T [A]T i presupunnd matricele [m] i [k ] simetrice, se (2.76)

unde Cr i (0)}.

r sunt constante de integrare i se determin din condiiile iniiale { (0)} i

{}T [k ]{}r = ps2 {}T [m]{}r s s 74

ps2 {}s [m]{}r = 0 Deoarece pr ps , rezult condiia: 2 r T Din ecuaiile (2.74) i (2.76) prin scdere se obine: (p ) (2.77)

(2.78) care reprezint ortogonalitatea vectorilor modali n raport cu matricea de in erie. nlocuind relaia (2.78) n ecuaia (2.74) se obine condiia de ortogonalitate a vect rilor modali n raport cu matricea de rigiditate [k ] . {}T [m]{}r = 0 , s rs {}T [k ]{}r = 0 , s rs (2.79) Dac pr = ps , cei doi vectori corespund aceleai pulsaii, i nu sunt ortogonali. n aces t caz relaia (2.78) este egal cu o constant, alta dect zero. (2.80) i se va numi masa modal. Analog, relaia (2.79) va da o constant nenul numit rigiditate modal, care, pe baza relaiei (2.74) pentru s = r , devine: {}T [m]{}r = M r r {}T [k ]{}r = pr2 M r = K r r (2.81) n cazul n care vectorii modali se normalizeaz i se numesc ortonormali i-n cazul norma lizrii dup relaia (2.70) se obine: K r = pr2 M r = 1, (2.82) Setul de vectori {}r (r = 1,2,..., n ) sunt liniari independeni. Presupunnd c sunt l iniar dependeni se poate scrie: 1 {}1 + 2 {}2 + + n {}n = r {}r = 0 r =1 n (2.83) unde r (r = 1,2,..., n ) sunt constante nenule. nmulind la stnga relaia (2.83) cu {}s [m] se obine: T {} [m]{} r =1 r T s n r =0

T (2.84)

Toi termenii acestei sume r {}s [m]{}r sunt nuli pentru s r i diferii de zero pentru s = r . Deci, relaia (2.84) poate fi satisfcut numai dac s = 0 . Repetnd numai dac to coeficienii r sunt nuli. Deoarece vectorii {}r nu pot satisface relaia (2.83), se p oate scrie: {} = 1 {}1 + 2 {}2 + + n {}n 0 (2.85) adic totalitatea combinaiilo obinute din (2.85) constituie un spaiu vectorial {}, iar vectorii {}r (r = 1,2,..., n ) constituie baza acestui spaiu. Orice vector al 75 operaia pentru s = 1,2,, n s e ajunge la concluzia c relaia (2.84) poate fi satisfcut

spaiului {} poate fi scris ntr-o combinaie liniar (2.85). Din punct de vedere fizic, aceasta nseamn c orice micare a unui sistem vibrant liber i neamortizat poate fi desc ris printr-o combinaie liniar de vectori modali. Coeficienii r reprezint contribuia f ecrui mod la micarea rezultant.

2.4.3. Coordonate normale. Rspunsul sistemului la excitaie iniial Revenind la ecuaiile difereniale ale unui sistem liber neamortizat (2.53) i ncercnd a -l rezolva pentru a da soluia (rspunsul sistemului) sub forma (2.69) se ntmpin dificu lti datorit cuplrii ecuaiilor difereniale. Aceasta nseamn, termeni nenuli n matricea nerie [m] i n matricea de rigiditate [k ] , alii dect cei de pe diagonala principal. E xist dou tipuri de cuplaje: static i dinamic. n primul caz, matricea [k ] nu este di agonal, iar n al doilea caz, matricea [m] . Procedeul prin care, fiind dat un sist em cuplat de ecuaii, se obine un sistem necuplat, este cunoscut sub numele de anal iz modal. La baza acestei analize st transformarea de coordonate. Notnd cu [ ] matric ea modal, avnd drept coloane chiar vectorii modali, iar prin { } matricea coloan a n oilor coordonate ale sistemului, transformarea de coordonate va fi: { } = [ ]{ } ( 2.86) unde [ ] = [{}1 {}2 {}n ] (2.87) nlocuind transformarea de coordonate (2.86) n e uaia (2.53) se obine: [m][ ] + [k ][ ]{ } = {0} (2.88) nmulind ecuaia (2.88) la st matricea [ ] , se obine: T {} [ ]T [m][ ]{ }+ [ ]T [k ][ ]{ } = {0} (2.89) unde, pe baza relaiilor de ortogonalitate (2.78), (2.79) i relaiilor (2.80) i (2.81) se observ c matricea: (2.91) sunt matrice diagonale numite i matrice modale de ine rie, respectiv de rigiditate i ale cror elemente de pe diagonal sunt de forma: [M ] = [ ]T [m][] = diag(M1M 2 M n ) [K ] = []T [k ][] = diag(K1K2 Kn ) respectiv (2.90) {}T [m]{}r = M r , r {}T [k ]{}r = Kr . r Dup cum se constat ecuaia matriceal: [M ]{ }+ [K ]{ } = {0}

decuplez ecuaiile difereniale n raport cu coordonatele r forma: r = 1,2,, n M r r + K r r = 0 , (2.92) (r = 1,2,..., n ) , adic sunt de (2.93) 76

Prin analogie cu sistemul cu un grad de libertate soluia ecuaiei (2.93) este: r = 1,2,, n r = C r cos( p r t + r ) , (2.94) 2 unde Cr i r sunt constante de integrare, iar p r = Kr . Mr (2.95) Revenind la ecuaia de transformare (2.86) se obine: { (t )} = [ ]{ } = r {}r = Cr {}r cos( pr t + r =1 r =1 n n adic vibraiile libere ale unui sistem neamortizat cu mai multe grade de libertate sunt o suprapunere de n micri armonice, avnd pulsaiile egale cu pulsaiile naturale al e sistemului, iar amplitudinile i defazajele depind de condiiile iniiale. Dac condiii le iniiale sunt: { (0)} = { 0 } i { (0)} = { 0 }, atunci din (2.93) se obin: { 0 } = Cr {}r cos r r =1 n (2.96) { 0 } = Cr pr {}r sin r =1 n r r )

nmulind ecuaiile (2.96) i (2.97) prin {}s [m] i innd cont de relaiile de ortogonalit se pot scrie: T (2.97) Cr cos r = (2.98) 1 {}T [m]{ o } r Mr 1 Cr sin M r pr {}T [m]{ o } r (2.99) nlocuind ecuaiile (2.98) i (2.99) n (2.95) se obine soluia: { (t )} = {}s 1 {}T [m]{ 0 }{}r cos pr t + 1 {}T [m]{ 0 }{}r sin pr t r r M r pr r =1 M r n r =

(2.100)

Presupunnd c sistemului i se d o deplasare iniial dup forma modului propriu i se las er atunci condiiile iniiale sunt { 0 } = 0 {}s i { 0 } = {0} . n acest caz rspunsul s stemului este: { (t )} = 0 {}T [m]{}s {}r r r =1 n 1 cos p r t = 0 {}s cos p s t Mr (2.101) 77

propriu {}s , adic fiecare mod poate fi excitat independent unul de