referat.ro

GRUPURI

MonoiziDefinitie: O multime nevida M este monoid in raport cu o lege de compozitie definita pe M

Daca sunt indeplinite urmatoarele axiome:

legea este asociativa: ,

legea are element neutru: astfel incat

Teorema: Oricare ar fi numerele naturale m si n avem:

Exemplu:

Definitia GrupuluiDefinitie: Un cuplu format cu o multime nevida G si cu o lege de compozitie pe G

Se numeste grup daca sunt indeplinite urmatoarele axiome:

astfel incat

astfel incat

Reguli De Calcul Intr-un Grup:

Teorema : Intr-un grup G sunt adevarare regulile de simplificare la stanga si la dreapte:

respectiv

Teorema: Fie un grup . Oricare ar fi ecutatile :

si

Au solute unice in G , anume respective unde este simetricul lui a.Formule:

Subgrup

Fie (G,() un grup.

O submulime nevid H a lui G se numete subgrup a lui G dac sunt satisfcute urmtoarele condiii :

1.( x,y ( H => x(y (H

2.( x ( H =>x ( H

unde x este simetricul lui x (n raport cu operaia lui G)

Teorema:

Fie (G,() un grup, e elementul neutru a lui G i H un subgrup al lui G.Atunci:

1. e ( H

2. H este grup n raport cu operaia indus pe H de ctre operaia grupului

G.

Demonstraie :

1.H ( G => ( lege de compoziie intern pe H

i.( x,y ( H => x(y (H

2i. ( x ( H =>x ( H

=>x(x ( H

dar x(x=e =>e(H

2.(:H(H op.indus

H parte stabil a lui G

(G,() un grup => ( asociativ pe G => ( asociativ pe H

( e ( H a.. x(e=e(x =x (x(H (x(H ,(x ( H a.. x(x=x(x =e

=>H=Grup

Exemple:

1.Fie (G,() un grup, e elementul neutru i E={e}.Atunci E este subgrup al lui G ,numit subgrup unitate.

Dac x,z (E =>x=y=e deci

x(y=y(x=e(E

x=e=e(E

2.Fie n>=0 un numr ntreg i nZ mulimea tuturor multiplilor lui n,

nZ={nh | h ( Z}

Atunci nZ este subgrup al grupului (Z,+).

Adevrat : dac x,y (nZ, ( h,k ( Z a.i. x=nh ,y=nk

=>x+y=nh+nk=n(h+k) (nZ

-x= -(nh)=n(-h) ( nZ

deci nZ este subgrup al lui (Z,+)

Definitie

Fie (G,() un grup ,a (G i n>0.Spunem ca a este element de ordinul n al grupului G dac an =e si ah (e,h=1,2 n-1

IzomorfismeDefinitie: Fie , doua grupri. O aplicatie bijectiva

se numeste izomorfism de grupuri daca :

Teorema: Fie doua grupuri. Daca este izomorfism, atunci si este izomorfismMorfisme

Definitie: Fie doua grupuri. O aplicatie se numeste morfism de grupuri daca :

Teorema: Fie si doua grupuri , e si 0 elemente neutre ale lui G si respectiv daca : este un morfism de grupuri atunci:

1)

2)

unde este simetricul lui x iar este simetricul lui f(x)

Fie G un grup. Un izomorfims (morfism) se numeste automorfism al grupului G

EXERCITI

1)Fie . Aratati ca urmatoarea corespondenta :

este o lege de compozitie pe G si ca este grup comutativ.Rezolvare:

Fie Cum este lege de compozitie pe G

Verificam axiomele grupului:

asociativa

admite element neutru astfel incat .

Deci e este elementul neutru

este comutativ

Deci este grup comutativ.2)Pe Z se defineste legea de compozitie

Aratati ca ( este grup abelianRezolvare:

Fie Avem asociabila

admite element neutru astfel incat

Fie este simetrizabil astfel incat Deci orice element este simetrizabil

este comutativa Deci este grup abelian

3)

Fie un grup cu proprietetea :

Aratati ce G este grup abelian

Rezolvare :

Este grup abelian

4)

Fie un grup cu proprietetea

Rezolvare:

Avem: oricare ar fi . Se aplica ca la exercitiul 3

5)

Fie un grup si Aratati ca functiile:

Sunt bijective

Rezolvare:

este injectiva

Fie

Avem : este sujectiva

este injectiva

Fie Sujectiva

6)Fie un grup si e elementu sau neutru . Daca elementele satisfac conditile

si

atunci si

Rezolvare:

7)

Aratati ca functia este morfism de la grupul la grupul

Rezolvare:

este morfism de la

8)

Aratati ca functia

Rezolvare:

Fie deoarece Deci astfel incat este surjectiva. Deci f este bijectiva.

9)

Fie si pentru orice fie

Aratati ca este grup si ca

Rezolvare:

Verificam axiomele grupului

este asociativa

EMBED Equation.3 exitsta element neutru

Rezulta ca fiecare element este simetrizabil in raport cu legea *

este comutativa. Deci este grup comutativ.

Fie functia f este bijectiva

10)

Fie o functie reala cu proprietatea ca exista cel putin un numar astfel incat:

Aratati ca multimea H a nr reale T cu proprietatea este subgrup al grupului (R,+)Rezolvare:

Fie:avem

Rezulta ca H este subgrup al grupului (R,+)

Powered by http://www.referat.ro/cel mai tare site cu referate

_1199640945.unknown

_1199644474.unknown

_1199646367.unknown

_1199681237.unknown

_1199682582.unknown

_1199683399.unknown

_1199683729.unknown

_1199684145.unknown

_1199684241.unknown

_1199684299.unknown

_1199684342.unknown

_1199684174.unknown

_1199683834.unknown

_1199684106.unknown

_1199683759.unknown

_1199683612.unknown

_1199683633.unknown

_1199683463.unknown

_1199683005.unknown

_1199683361.unknown

_1199683374.unknown

_1199683157.unknown

_1199682713.unknown

_1199682989.unknown

_1199682605.unknown

_1199681796.unknown

_1199682507.unknown

_1199682538.unknown

_1199682447.unknown

_1199681394.unknown

_1199681470.unknown

_1199681354.unknown

_1199647419.unknown

_1199648108.unknown

_1199680775.unknown

_1199681107.unknown

_1199648109.unknown

_1199647879.unknown

_1199647899.unknown

_1199647804.unknown

_1199647320.unknown

_1199647370.unknown

_1199647391.unknown

_1199647341.unknown

_1199646840.unknown

_1199647229.unknown

_1199646553.unknown

_1199645562.unknown

_1199645763.unknown

_1199646147.unknown

_1199646243.unknown

_1199645923.unknown

_1199645685.unknown

_1199645725.unknown

_1199645589.unknown

_1199645260.unknown

_1199645337.unknown

_1199645414.unknown

_1199645278.unknown

_1199644794.unknown

_1199645211.unknown

_1199644511.unknown

_1199643063.unknown

_1199643885.unknown

_1199644210.unknown

_1199644305.unknown

_1199644393.unknown

_1199644231.unknown

_1199643976.unknown

_1199644027.unknown

_1199643902.unknown

_1199643690.unknown

_1199643749.unknown

_1199643782.unknown

_1199643711.unknown

_1199643543.unknown

_1199643576.unknown

_1199643510.unknown

_1199642209.unknown

_1199642672.unknown

_1199642812.unknown

_1199642970.unknown

_1199642687.unknown

_1199642455.unknown

_1199642473.unknown

_1199642251.unknown

_1199641797.unknown

_1199642116.unknown

_1199642172.unknown

_1199642081.unknown

_1199641271.unknown

_1199641673.unknown

_1199641160.unknown

_1199637827.unknown

_1199639548.unknown

_1199640086.unknown

_1199640289.unknown

_1199640768.unknown

_1199640844.unknown

_1199640458.unknown

_1199640211.unknown

_1199640258.unknown

_1199640168.unknown

_1199639847.unknown

_1199640023.unknown

_1199640046.unknown

_1199639942.unknown

_1199639751.unknown

_1199639799.unknown

_1199639590.unknown

_1199638218.unknown

_1199639237.unknown

_1199639391.unknown

_1199639508.unknown

_1199639342.unknown

_1199639060.unknown

_1199639113.unknown

_1199638445.unknown

_1199639027.unknown

_1199638370.unknown

_1199638016.unknown

_1199638070.unknown

_1199638146.unknown

_1199638044.unknown

_1199637912.unknown

_1199637946.unknown

_1199637881.unknown

_1199636769.unknown

_1199637332.unknown

_1199637458.unknown

_1199637702.unknown

_1199637779.unknown

_1199637519.unknown

_1199637406.unknown

_1199637441.unknown

_1199637363.unknown

_1199637088.unknown

_1199637220.unknown

_1199637266.unknown

_1199637201.unknown

_1199636912.unknown

_1199637026.unknown

_1199636872.unknown

_1199635998.unknown

_1199636443.unknown

_1199636510.unknown

_1199636676.unknown

_1199636729.unknown

_1199636703.unknown

_1199636529.unknown

_1199636464.unknown

_1199636111.unknown

_1199636299.unknown

_1199636069.unknown

_1199635783.unknown

_1199635906.unknown

_1199635974.unknown

_1199635857.unknown

_1199635670.unknown

_1199635771.unknown

_1199635437.unknown