7/17/2019 11. Probleme_Integrale De Suprafata De Al Doilea Tip .pdf

http://slidepdf.com/reader/full/11-problemeintegrale-de-suprafata-de-al-doilea-tip-pdf 1/3

2.

12.4 Integrale de suprafata de tipul al doilea

12.52   S˘ a se calculeze integralele de suprafat   a de tipul al doilea:1)   I   =

 S  yz dydz  +  zxdzdx +  xy dxdy, unde  S   este fat a exterioar˘ a a tetraedrului 

m˘ arginit de planele de coordonate si de planul  x + y + z  =  a  (a > 0).

2) I  = S  z dxdy, unde  S  este fat a exterioar˘ a a elipsoidului   x

2

a2  +   y2

b2  +   z2

c2  = 1.

3)  I  = S  x

2dydz +  y2dzdx + z2dxdy, unde  S   este fat a exterioar˘ a a emisferei  x2 +y2 + z2 = a2,  z ≥ 0.

R: 1) Scriem integrala ca suma integralelor pe cele patru fet e ale tetraedrului:

(S z)   z   = 0, Dz  = {(x, y) , x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ a} ,

(S x)   x   = 0, Dx = {(y, z) , y ≥ 0, z ≥ 0, y + z ≤ a} ,

(S y)   y   = 0, Dy  = {(z, x) , z ≥ 0, x ≥ 0, z + x ≤ a} ,

ın care perechile S z   si  Dz, S x   si  Dx, S y   si  Dy  au orientari diferite, iar S 0, fata continutaın planul  x + y + z  =  a, a carei proiectii pe planele de coordonate consta ın  Dz,  Dx,  Dy,avand aceeasi orientare cu S 0. Astfel  

S xy dxdy =

 S z

xy dxdy +

 S 0

xy dxdy = −  

D

xy dxdy +

 D

xy dxdy = 0.

Rezultate identice avem pentru ceilalti doi termeni. Deci  I  = 0.

1

7/17/2019 11. Probleme_Integrale De Suprafata De Al Doilea Tip .pdf

http://slidepdf.com/reader/full/11-problemeintegrale-de-suprafata-de-al-doilea-tip-pdf 2/3

CAPITOLUL 2 INTEGRALE MULTIPLE 160

2) Integrala sa reduce la

I  =

 D

 1 −  x2

a2 −  y2

b2 dxdy,

unde  Dz  =

(x, y) ,   x2

a2 +   y2

b2 ≤  1

. Se obtine  I  =   4

3πabc. 3)  I  =   1

2πa4.

12.53   S˘ a se calculeze integralele de suprafat   a de tipul al doilea:1) I  =

 S  y dydz+z dzdx+3x dxdy, unde  S  este fat a interioar˘ a a sferei  x2+y2+z2 =

a2, situat˘ a ın primul octant.2)  I   =

 S  x

2y2z dxdy, unde  S   este fat a exterioar˘ a a emisferei   x2 + y2 + z2 =  R2,z ≥ 0.

3) I  =

 S  xz dydz+yz dzdx+

x2 + y2

dxdy, unde S  este fat a superioar˘ a a suprafet ei 

(

S )   z  =  x2 + y2, care se proiecteaz˘ a ortogonal pe planul  Oxy   ın domeniul 

D =

(x, y) , x2 + y2 ≤ 1

.

4) I  = S 

dxdy√ 4x2+y2+1

, unde  S  este fat a exterioar˘ a a paraboloidului  (S )   z = 4x2 + y2,

0 ≤ z ≤ 1.5)  I   =

 S  x

2dydz + y2dzdx + z2dxdy, unde  S   este fat a exterioar˘ a a tetraedrului cu vˆ arfurile ın punctele  O (0, 0, 0),  A (1, 0, 0),  B (0, 1, 0),  C  (0, 0, 1).

6)   I   = S 

x2 + y2

z dxdy, unde  S   este fat a exterioar˘ a a paraboloidului   (S )   z   =x2 + y2, situat˘ a ın interiorul cilindrului  x2 + y2 = 1.

7)  I   = S 

dydz

x  +   dzdx

y  +   dxdy

z  , unde  S   este fat a exterioar˘ a a elipsoidului   (S )   x2

a2  +

y2

b2  +   z2

c2  = 1.

R: 1) Deoarece cos α = −xa

, cos β  = −y

a, cos γ  = −z

a, avem

I  = −1

a

   S 

(xy + yz  + 3zx) dS,

cu (S )   x  =  a cos u sin v, y  = a sin u sin v, z  =  a cos v,   (u, v) ∈ 0,  π

2

× 0,  π

2

. Deoarece

dS  =  a2 sin v dudv, se obtine I  = −2a3. 2) I  =   2105

πR7. 3) Versorul normalei la suprafataın punctul  M  (x,y,z) este  n  =   1√ 

1+4x2+4y2(−2xi− 2y j + k), a.ı.

I  =

 S 

x2 + y2

(1 − 2z) 

1 + 4x2 + 4y2dS  = −π

6.

4) Deoarece cos γ   = −   1√ 1+64x2+4y2

, urmeaza ca   I   = −  Ddxdy√ 

4x2+y2+1=   π 1 −√ 

2,

unde  D  =

(x, y) ,   4x2 + y21

. 5)  I   =   112 . 6)  I   =   2584π. 7) O reprezentare parametricaa elipsoidului este (S )   x   =   a cos u sin v,   y   =   b sin u sin v,   z   =   c cos v, (u, v) ∈   ∆, cu∆ = [0, 2π] × [0, π]. Rezulta

I  =

bc

a  +

 ca

b  +

 ab

c

   ∆

sin v dudv =  4π

abc

b2c2 + c2a2 + a2b2

.

2

7/17/2019 11. Probleme_Integrale De Suprafata De Al Doilea Tip .pdf

http://slidepdf.com/reader/full/11-problemeintegrale-de-suprafata-de-al-doilea-tip-pdf 3/3

CAPITOLUL 2 INTEGRALE MULTIPLE 161

12.54   Utilizˆ and formula lui Stokes, s˘ a se calculeze urm˘ atoarele integrale curbilinii, pe curbele ınchise 

 C, parcurse ın sens direct:

1) I  = C (x + 3y + 2z) dx+(2x + z) dy +(x − y) dz, unde  C este conturul triunghiului 

cu vˆ arfurile ın punctele  A (2, 0, 0),  B (0, 3, 0),  C  (0, 0, 1).2) I  =

 C x2y3dx + dy + z dz, unde  (C)   x2 + y2 = r2,  z  = 0.

3) I  = C (y + z) dx+(z + x) dy +(x + y) dz, unde  (C)   x2+y2+z2 = a2, x +y+z  = 0.

4)  I   = C

y2 + z2

dx +

z2 + x2

dy +

x2 + y2

dz, unde   (C)   x2 + y2 + z2 = 4x2,x2 + y2 = 2x,  z ≥ 0.

5)   I   = C (z − y) dx + (x − z) dy + (y − x) dz, unde  C  este conturul triunghiului cu 

vˆ arfurile ın punctele  A (a, 0, 0),  B (0, b, 0),  C  (0, 0, c).6)  I   =

 C y2dx + z2dy +  x2dz, unde   (C)   x2 + y2 + z2 =  a2,  x2 + y2 = ax  (curba lui 

Viviani).7) I  =

 C (y − z) dx + (z − x) dy + (x − y) dz, unde  (C)   x2 + y2 = 1,  x + z  = 1.

8)   I   =  C x dx + (x + y) dy  + (x + y + z) dz, unde   (

C)   x   =   a sin t,   y   =   a cos t,   z   =

a (sin t + cos t),   t ∈ [0, 2π].9) I  =

 C

dx1+x2

 +   y dy√ x

  + x dz, unde  (C)   x2 + y2 = 2x,  x + y + z = 0.

R: 1) Deoarece F (x,y,z) = (x + 3y + 2z) i+(2x + z) j+(x − y)k si rotF = −2i+ j−k, S   fiind suprafata triunghiului cu varfurile ın punctele  A (2, 0, 0), B (0, 3, 0),  C  (0, 0, 1)din planul   x

2+y

3+ z

1−1 = 0 si deci n =   1

7 (3i + 2 j + 6k), rezulta I  =

 S (n·rotF) dS  = −5.

2)   I   = − 18

πr6. 3)   I   = 0. 4) Deoarece cos α   =   x−22

  , cos β   =   y

2, cos γ   =   z

2, rezulta

I  = 

D (z − y) dS  = 4π. 5)  I  = ab + bc + ca. 6) Avem

I  = −2

 D

x + y +

  xy a2 − x2 − y2

dxdy  = −π

4a3,

cu  D = (x, y) , x2 + y2

≤ ax. 7)  I  = 4π. 8)  I  =

 −πa2. 9)  I  =

 −π.

12 5 Integrala tripl 

2 55

S se calculeze integralele triple:

1 =

 

x

 

y

 

z dxdydz  unde V =

 

x y z  0

 

x

 

1  0

 

y

 

x 0

 

z

 

xy

}

.

2 =

 

x

 

dxdydz  unde V

=

 

x y z

 

x

 

+

y

 

b

 

+

z

 

3