Schimbaredgeyariabilelqlntegrald dublda(trecerea la coordonate polare)

Sa analizam mai nti modul cum se transforma un domeniu planprintr-o transformare punctuala a lui R2.Fie n planul xOy domeniul plan D marginit de o curba nchisa C

formata prin juxtapunerea unui numar finit de drumuri netede, si nplanul uOv un domeniD0 marginit de curba nchisaC 0 formata tot prinjuxtapunerea unui numar finit de drumuri netede. Fie transformareapunctuala a domeniului D0 n D realizata de functiile

x = x (u, v)y = y (u, v) , (u, v) D

0. (9.5)

cu jacobianul

J (x, y) =D (x, y)D(u, v)

=

xu

xv

yu

yv

6= 0, (u, v) D0.

Presupunem ca transformarea (9.5) este biunivoca pe D, adicafiecarui punct (x, y) din D i corespunde un punct (u, v) D0 sireciproc.Corespondenta dintre D si D0 se spune ca este directa daca urma-

toarea conditie este ndeplinita: cnd un punct se deplaseaza pe C 0 nsens direct, punctul corespunzator de pe C se deplaseaza tot n sensdirect. Daca un punct se deplaseaza pe C 0 n sens direct, punctul core-spunzator de pe C se deplaseaza n sens invers, corespondenta dintreD0 si D se spune ca este inversa.

1

Onl

y fo

r stu

dent

s

Teorema 9.10. Daca determinantulD (x, y)D(u, v)

, (u, v) D0, este poz-itiv pe D0, transformarea este directa.Formula schimbarii de variabile n integrala dubla

Teorema 9.11. Fie f : D R o functie continua si transformarea(9.5). AtunciRR

Df(x, y)dxdy =

RRD0

f(x(u, v), y(u, v))D (x, y)D(u, v)

dudv.

Exemplul 9.7. Sa se calculeze

I =RRD

1

(4 + x2 + y2)3dxdy

unde D este discul circular D = {(x, y) : x2 + y2 1} .Rezolvare. Facem schimbarea de variabilex = cos , y = sin Atunci D0 = {(, ) : 0 1, 0 2} .D0 este un dreptunghi.AvemD (x, y)D(, )

=

x xy y

=

cos sin sin cos

= ,

I =2R0

1R0

(4 + 2)3

dd =

2R0

14(4 + 2)2

=1=0

d =

=2R0

1100+ 1

64

d = 9

800.

Exemplul 9.8. Sa se calculezeRRD(x2 + y2) dxdy unde

D =n(x, y) : x2 + y2 < 4, x

3< y < x

3, x > 0

o.

Rezolvare.

21.510.50

2

1.5

1

0.5

0

x

y

x

y

2

Onl

y fo

r stu

dent

s

Trecem n coordonate polare: x = cos , y = sin 0 x2 + y2 = 2 < 4 0 < 2,x3< y < x

3 cos

3< sin < cos

3

13< tg