05. Probleme_Integrale Curbilinii .pdf

Capitolul 11

Integrale curbilinii

11.1 Lungimea unui arc de curba

11.1 Sa se calculeze lungimile urmatoarelor drumuri:

1) x = ln(t+√

1 + t2), y =

√1 + t2, t ∈ [0, 1] .

2) x = a cos3 t, y = a sin3 t, t ∈ [0, 2π] .

R: 1) Avem x′ (t) = 1√1+t2

, y (t) = t√1+t2

, deci

L =∫ 1

0

√1

1 + t2+

t2

1 + t2dt =

∫ 1

0

dt = 1.

2) Avem x′ (t) = −3a cos2 t sin t si y′ (t) = 3a sin2 t cos t, deci

L = 3a∫ 2π

0

|sin t cos t| dt = 6a∫ π

2

0

sin 2t dt = 6a.


1) x = ln tgt

2, y = ln

√1 + sin t1− sin t

, t ∈[π

6,π

3

].

2) x = 5 sin t− sin 5t, y = 5 cos t− cos 5t, t ∈ [0, 2π] .

R: 1) Avem x′ (t) = 1sin t , y

′ (t) = 1cos t . Atunci

L =∫ π

3

π6

√1

sin2 t+

1cos2 t

dt = ln 3.

2) Avem x′ (t) = 5 cos t− 5 cos 5t, y′ (t) = −5 sin t− 5 sin 5t, deci

L = 5√

2∫ 2π

0

√1− cos 3t dt = 10

∫ 2π

0

|sin 3t| dt = 60∫ π

3

0

sin 3t dt = 40.

141

1

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

CAPITOLUL 11. INTEGRALE CURBILINII 142


1) x = eat (a sin bt− b cos bt) , y = eat (a cos bt+ b sin bt) , t ∈ [0, 1] , a, b > 0.2) x = t

2 [sin (ln t)− cos (ln t)] , y = t2 [sin (ln t) + cos (ln t)] , t ∈ [1, 2] .

3) x =(3t2 − 6

)sin t− (t3 − 6t

)cos t, y =

(3t2 − 6

)cos t+

(t3 − 6t

)sin t,

t ∈ [−2π, 2π] .

R: 1) L = a2+b2

a (ea − 1). 2) L = 1. 3) L = 8π4.


1)

x = t,

y =√

2 ln (cos t) ,z = tg t− t,

t ∈[−π

4,π

4

]. 2)

x = tg t,y = ctg t,z =√

2 ln (tg t) ,x ∈

[π4,π

3

].

R: 1) L = 2. 2) L = 2√

33 .

11.2 Integrale curbilinii de primul tip

11.5 Sa se calculeze integralele curbilinii de primul tip, pe arcele de curba C, indicate:

1) I =∫C xy ds, (C) x = t, y = t2, t ∈ [−1, 1] .

2) I =∫C y

2ds, (C) x = − 14 t

4, y = t, t ∈ [0, 2] .3) I =

∫C√y (2− y) ds, (C) x = t− sin t, y = 1− cos t, t ∈ [0, π2

].

4) I =∫C x

2y2ds, (C) x = a cos3 t, y = a sin3 t, a > 0, t ∈ [0, 2π] .

R: 1) Deoarece ds =√

1 + 4t2dt, avem

I =∫ 1

−1

t3√

1 + 4t2 dt = 0,

integrantul fiind o functie impara si intervalul de integrare este simetric fata de origine.2) Deoarece ds =

√t6 + 1 dt, avem

I =∫ 2

0

t2√t6 + 1 dt =

13

∫ 8

0

√u2 + 1 du =

43

√65 +

16

ln(

8 +√

65).

3) Deoarece ds =√

(1− cos t)2 + sin2 t dt = 2 sin t2 dt, avem

I = 2∫ π

2

0

sin t sint

2dt = 4

∫ π2

0

sin2 t

2cos

t

2dt =

43√

2.

4) Obtinem:

I =3a5

27

∫ 2π

0

|sin 2t|7 dt =3a5

25

∫ π2

0

sin7 2t dt,

deoarece functia |sin 2t|7 este periodica, de perioada π2 . Efectuam schimbarea de variabila

u = cos 2t si obtinem:

I =3a5

26

∫ 1

−1

(1− u2

)3du =

370a5.

2

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS


11.6 Sa se calculeze integrala curbilinie I =∫C√x2 + y2 ds, unde C este cercul de

ecuatie x2 + y2 = ax.

R: O reprezentare parametrica a cercului C este: x = a2 (1 + cos t), y = a

2 sin t,t ∈ [0, 2π]. Se obtine I = 2a2.


1) I =∫C√x2 + y2 ds, (C) x = r (cos t+ t sin t) , y = r (sin t− t cos t) , t ∈ [0, 2π] .

2) I =∫C(x2 + y2

)nds, (C) x = a cos t, y = a sin t, t ∈ [0, 2π] .

3) I =∫C |xy| ds, (C) x = a cos t, y = b sin t, a, b > 0, t ∈ [0, 4π] .

R: 1) I = r2

3

[(√1 + 4π2

)3 − 1]. 2) I = 2πa2n+1. 3) I =

8ab(a2+ab+b2)3(a+b) .


1) I =∫C(x2 + y2

)ln z ds, (C) x = et cos t, y = et sin t, z = et, t ∈ [0, 1] .

2) I =∫C(x2 + y2 + z2

)−1ds, (C) x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ [0, 2π] .

3) I =∫C xy

2z ds, (C) x = t, y = 13

√8t3, z = 1

2 t2, t ∈ [0, 1] .

4) I =∫C(x2 + y2

)z ds, (C) x = t cos t, y = t sin t, z = t, t ∈ [0, 1] .

R: 1) Deoarece ds =√

3etdt, rezulta I =√

39

(2e3 + 1

). 2) I =

√a2+b2

ab arctg 2πba . 3)

I = 542 . 4) I = 4

√3

5 + 8√

215 .

11.9 Sa se calculeze integrala curbilinie I =∫C (x+ y + z) ds, unde C = C1 ∪ C2, cu:

(C1)

x = r cos t,y = r sin t,z = 0,

t ∈[0,π

2

], (C2)

x = 0,y = r − t,z = t,

t ∈ [0, r] .

R: I =(2 +√

2)r2.

11.10 Sa se calculeze integrala curbilinie I =∫C√

2y2 + z2 ds, unde C este cercul deecuatie x2 + y2 + z2 = a2, y = x.

R: O reprezentare parametrica a curbei este: x = a√2

cos t, y = a√2

cos t, z = a sin t,t ∈ [0, 2π]. Se obtine: I = 2πa2.

11.11 Sa se calculeze masa M firului material cu densitatea liniara ρ (x, y) = 1 + x,care este imaginea curbei:

(C) x = t, y =12t2, t ∈ [0, 1] .

R: Deoarece ds =√

1 + t2 dt, avem

M =∫ 1

0

(1 + t)√

1 + t2 dt =76

√2 +

12

ln(

1 +√

2)− 1

3.

3

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS


11.12 Sa se calculeze masele firelor materiale care au densitatile liniare si reprezentarileparametrice urmatoare:

1) ρ (x, y, z) = 4√

2y, (C) x = 38 t

8, y = 12 t

8, z =√

113 t3, t ∈ [0, 1] .

2) ρ (x, y, z) =√

2y, (C) x = t, y = 12 t

2, z = 13 t

3, t ∈ [0, 1] .3) ρ (x, y, z) = x, (C) x = ch t, y = sh t, z = t, t ∈ [0, ln 2] .

R: 1) M = 35 + 11

100 ln 11. 2) M = 18

[3√

3− 1 + 32 ln 3+2

√3

3

].

3) M =√

22

(1516 + ln 2

).

11.13 Sa se calculeze masa M si centrul de greutate G ale firelor materiale cu den-sitatile liniare si reprezentarile parametrice urmatoare:

1) ρ (x, y) = 1, (C) x = R cos t, y = R sin t, R > 0, t ∈ [0, π] .2) ρ (x, y) = 1, (C) x = R (t− sin t) , y = R (1− cos t) , R > 0, t ∈ [0, π] .3) ρ (x, y) =

√y, (C) x = R (t− sin t) , y = R (1− cos t) , R > 0, t ∈ [0, 2π] .

4) ρ (x, y) = 1, (C) x = R cos3 t, y = R sin3 t, R > 0, t ∈ [0, π2].

R: 1) M = πR, G(0, 2R

π

). 2) M = 4R, G

(43R,

43R).

3) M = 2R√

2Rπ, G(Rπ, 3

2R). 4) M = 3

2R, G(

25R,

25R).

11.14 Sa se calculeze masa M si centrul de greutate G ale firelor materiale cu den-sitatile liniare si reprezentarile parametrice urmatoare:

1) ρ (x, y, z) = 1, (C) x = a cos t, y = a sin t, z = bt, t ∈ [0, 2π] .2) ρ (x, y, z) = |z|

2 , (C) x = 4t5, y =√

15 t4, z = 2t3, t ∈ [−1, 1] .

R: 1) M = 2π√a2 + b2, G (0, 0, bπ). 2) M = 7, G

(0, 68

7√

15, 0)

.

11.3 Integrale curbilinii de tipul al doilea

11.15 Sa se calculeze integralele curbilinii de tipul al doilea, pe arcele de curba C, indi-cate:

1) I =∫C xy dx− y2dy, (C) x = t2, y = t3, t ∈ [0, 1] .

2) I =∫C√

1− x2 dx+ x dy, (C) x = cos t, y = 2 sin t, t ∈ [−π2 , π2].

3) I =∫C ye

xdx, (C) x = ln(1 + t2

), y = 2arctg t− t, t ∈ [0, 1] .

4) I =∫C x

2y dy − xy2dx, (C) x =√

cos t, y =√

sin t, t ∈ [0, π2].

R: 1) Deoarece: dx = 2t dt, dy = 3t2dt, avem: I =∫ 1

0

(2t6 − 3t8

)dt = − 1

21 .2) Deoarece: dx = − sin t, dy = 2 cos t dt, obtinem I = π. 3) I = π − 8

3 . 4) I = π4 .

11.16 Sa se calculeze integralele curbilinii de tipul al doilea:

1) I =∫C

x2dy−y2dx

x3√x2+y 3

√y2, (C)

{x = r cos3 t,y = r sin3 t,

t ∈ [0, π2].

2) I =∫C (arcsin y) dx+ x3dy, (C)

{x = −t,y =√

1− t2, t ∈ [−1, 1] .

4

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS


R: 1) I = 3π16 r

3√r. 2) I = 3π

8 − 2.

11.17 Sa se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea I =∫C (x+ y) dx−(x− y) dy,

unde C este curba simpla, ınchisa si orientata pozitiv, care are drept imagine triunghiulcu varfurile ın punctele O (0, 0), A (1, 1), B (0, 2) si ambele capete ın origine.

R: Avem: C = C1 ∪ C2 ∪ C3, cu: (C1) x = t, y = t, t ∈ [0, 1], (C2) x = 2 − t, y =t, t ∈ [1, 2], (C3) x = 0, y = 2 − t, t ∈ [0, 2]. Incat: I =

∫ 1

02t dt +

∫ 2

1(−4 + 2t) dt +∫ 2

0(−2 + t) dt = −2.

11.18 Sa se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea I =∫C 2x dy − 3y dx, unde

C este curba simpla, ınchisa si orientata pozitiv, care are drept imagine dreptunghiul cuvarfurile ın punctele A (1, 2), B (3, 1), C (2, 5) si ambele capete ın punctul A.

R: I = 352 .

11.19 Sa se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea

I =∫

C

dx+ dy

max {|x| , |y|} ,

unde C este curba simpla, ınchisa si orientata pozitiv, care are drept imagine triunghiulcu varfurile ın punctele A (−1,−1), B (2,−1), C (2, 1), D (−1, 1) si ambele capete ınpunctul A.

R: I = −1.

11.20 Sa se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea I =∫C ydx−(x− a) dy, unde

C este curba simpla, ınchisa si orientata pozitiv, care are drept imagine elipsa:

(x− a)2

a2+y2

b2= 1, a, b > 0

si ambele extremitati ın origine.

R: O reprezentare parametrica a curbei C este: x = a (1 + cos t), y = b sin t, t ∈[−π, π]. Se obtine I = −2πab.

11.21 Sa se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea I =∫C(x2 − y2

)dx, unde C

este arcul din parabola y = x2 cuprins ıntre punctele O (0, 0) si A (2, 4).

R: I = − 5615 .

11.22 Sa se calculeze integrala curbilinie de tipul al doilea I =∫C(x− y2

)dx+ 2xy dy,

unde C este curba simpla, ınchisa si orientata pozitiv, care are drept imagine conturuldomeniului plan delimitat de curbele: y2 = 8x, 9x2 + y2 = 1 si y = 0, situat ın primulcadran.

R: Varfurile conturului sunt: O (0, 0), A(

13 , 0), B

(19 ,

2√

23

). Se obtine I = − 80

243 .

5

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS



1) I =∫C y dx− x dy +

(x2 + y2 + z2

)dz, (C)

x = −t cos t+ sin t,y = t sin t+ cos t,z = t+ 1,

t ∈ [0, π] .

2) I =∫C (y − z) dx+ (z − x) dy + (x− y) dz, (C)

x = a cos t,y = a sin t,z = bt,

t ∈ [0, 2π] .

R: 1) Deoarece: dx = t sin t dt, dy = t cos t dt, dz = dt, x2 + y2 + z2 = 2t2 + 2t+ 2, seobtine I = π3 + π2 + 2π. 2) I = −2πa (a+ b).


1) I =∫C x dx+ xy dy + xyz dz, (C) x = et, y = e−t, z =

√2 t, t ∈ [0, 1] .

2) I =∫C z√a2 − x2 dx+ xz dy +

(x2 + y2

)dz, (C)

x = a cos t,y = a sin t,z = bt,

t ∈ [0, π2].

R: 1) I = 12e

2 + 1e − 1

2 . 2) I = a2b2 (π − 1).


I =∫

C

√y2 + z2 dx+

√z2 + x2 dy +

√x2 + y2 dz,

unde C este curba simpla care are drept imagine segmentul [AB] cu: A (−1,−1,−1) siB (2, 2, 2), iar primul capat ın A.

R: I = 15√

22 .


I =∫

C(y − 2z) dx− (z − x) dy + (2x− y) dz,

unde C este curba simpla de ecuatii: (C){x2 + y2 + z2 = a2,x− y + z = 0, cu a > 0 si ambele capete

ın punctul A(a√2, 0,− a√

2

).

R: O reprezentare parametrica a curbei C este:

(C) x =a√2

cos t+a√6

sin t, y =2a√

6sin t, z =

a√6

sin t− a√2

cos t, t ∈ [0, 2π] .

Se obtine I = 4a2√3

.

6

ONL

Y FO

R ST

UDEN

TS

05. Probleme_Integrale Curbilinii .pdf

Documents

Transcript of 05. Probleme_Integrale Curbilinii .pdf