PROBLEME PLANE DE ELASTICITATE

A. Coordonate carteziene

În coordonate carteziene se pot studia:

lamele sau grinzi pereţi, în care datorită grosimii foarte mici a elementului starea de

tensiuni este plană (lamela este încărcată doar în planul suprafeţei mediane);

masive, în care datorită împiedicării reciproce a deformaţiilor în lungul axei principale a

elementului, starea de deformaţie rămâne plană.

A1. Probleme în starea plană de tensiune

Exemple: console scurte pentru poduri rulante, colţurile de cadru, guseele la construcţiile

metalice, grinzi pereţi pentru silozuri, buncăre mono- şi pluricelulare, diafragmele de rigidizare

la construcţiile mijlocii şi înalte în regiuni seismice, etc.

Deoarece încărcările sunt situate în planul suprafeţei mediane, pe feţele laterale ale acestor

elemente nu apar tensiuni, deci conform figurii 1, tensiunea normală z şi tensiunile tangenţiale

zy şi zx sunt nule.

Figura 1

Deci:

0

0

0

zy

zx

z

în orice punct

Restul componentelor paralele cu planul median sunt diferite de zero.

0

0

0

yxxy

y

x

aceste relaţii reprezintă caracteristicile stării de tensiune plane.

Se exteriorizează un element infinit mic de dimensiuni dx, dy şi de grosime unitară. Se

evidenţiază tensiunile şi creşterile acestora, iar în centrul volumic componentele forţelor masice

raportate la unitatea de volum: X şi Y (vezi figura 2).

Figura 2

Se scriu cele trei ecuaţii de echilibru în plan:

0

0

0

GM

Y

X

0

Xdxdydxdxdy

ydydx

xdyX yx

yx

yx

x

xx

0)1()1()1(

dydxXdxdy

ydydx

x

yxx

(A.1)

Y ( 1) ( 1) ( 1) 0y xy

dy dx dy dx Y dx dyy x

(A.2)

( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 02 2 2 2

xy yx

G xy xy yx yx

dx dx dy dyM dy dx dy dx dy dx

x y

(A.3)

G

Din relaţiile (A.1- A.3) se reduc termenii şi se neglijează infiniţii mici de ordinul trei, rezultând:

0 (4a)

0 (4b)

(4c)

yxx

y xy

xy yx

Xx y

Yy x

(A.4)

Din cele trei ecuaţii de echilibru a rezultat un sistem cu două ecuaţii şi trei necunoscute, yx ,

şi xy . Pentru a determina a treia ecuaţie se face apel la aspectul geometric. Relaţiile de legătură

dintre deformaţiile specifice xyyx ,, şi deplasările elastice u şi v.

(5a)

(5b)

(5c)

x

y

xy

u

x

v

y

u v

y x

(A.5)

Prin derivarea ecuaţiei (5c) de două ori în raport cu x şi y şi ţinând cont de (A.5a) şi (A.5b),

rezultă:

yx

v

yx

u

yx

xy

2

3

2

32

3

3

2

2

x

u

x

x

sau

2 22

2 2

xy yx

x y y x

(A.6)

Relaţia (A.6) reprezintă ecuaţia de continuitate sau ecuaţia lui Saint – Venant. Utilizând Legea

lui Hooke generalizată:

1 (A.7 )

1 (A.7 )

x x y

y y x

aE

bE

1 2(1 ) (A.7 )xy xy xy c

G E

2

2

2

2

2

2

2

2211)1(2

xxEyyEyxE

xyyxxy

(A.8)

Din relaţiile (A.4a), (A.4b) şi (A.8) rezultă un sistem cu trei ecuaţii şi trei necunoscute.

Rezolvarea sistemului de ecuaţii conduce la integrarea ecuaţiilor din sistem, printr-o metodă

denumită metoda Airy. În această metodă, sistemul de ecuaţii se reduce în baza unor operatori

diferenţiali, aplicaţi asupra unei funcţii F, la o singură ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul

patru. Funcţia F se numeşte funcţia Airy, sau funcţie de tensiuni.

Operatori aplicaţi funcţiei Airy sunt:

YxXyyx

F

x

F

y

F

xy

y

x

2

2

2

2

2

(A.9)

Relaţia (A.8) devine:

024

4

22

4

4

4

y

F

yx

F

x

F (A.10)

Relaţia (A.10) reprezintă relaţia fundamentală a problemei plane de tensiuni în coordonate

carteziene.

Sub formă restrânsă ecuaţia (A.10) devine:

022 F (A.11)

Prin integrare ecuaţiei (A.11) rezultă patru constante de integrare. Aceste constante se determină

din patru condiţii la limită care se scriu pe marginile lamelei. După determinarea constantelor de

integrare din aceste condiţii, soluţia ecuaţiei fundamentale este cunoscută.

Cunoscând expresia analitică a funcţiei Airy, se determină tensiunile cu relaţiile (A.9),

deformaţiile specifice cu relaţiile (A.7a,b,c) şi deplasările elastice u şi v.

Din punct de vedere practic, integrarea ecuaţiei fundamentale este foarte dificilă. În manualele

tehnice de specialitate se dau soluţiile funcţiilor Airy pentru diverse probleme plane de

elasticitate, sub următoarele forme:

- soluţii elementare prin polinoame sau serii de puteri;

- soluţii sub formă de serii de funcţii;

- soluţii numerice. Prin metoda diferenţelor finite sau MEF.

Observaţie: Unei stări plane de tensiune îi corespunde o stare spaţială de deformaţie. Deformaţia

specifică z după direcţia perpendiculară pe planul plăcii se datorează efectului contracţiei

transversale şi se calculează cu relaţia:

yxyxzz

E

1

1 (A.12)

A2. Probleme în starea plană de deformaţie

Starea de deformaţie plană se caracterizează prin apariţia a trei deformaţii specifice xyyx ,, , în

acest plan în care se aplică încărcarea. În practică, starea de deformaţie plană apare în elemente

de construcţii la care deformaţiile după direcţia axei z sunt împiedicate 0z .

Exemple: barajul de greutate, zid de sprijin, boltă cilindrică foarte lungă, tunel, coşuri de fabrică,

tuburi sub presiune, etc. Elementele din această categorie au lungimea foarte mare în raport cu

dimensiunile din plan şi sunt acţionate de încărcări uniform distribuite în lungul generatoarei şi

normale pe direcţia lor (vezi figura 3).

Pentru calcul se izolează din aceste elemente o fâşie de grosime egală cu unitatea, situată la o

distanţă oarecare în lungul axei longitudinale z şi limitată de două planuri normale pe această

axă.

Figura 3. Evidenţierea stării plane de deformaţii

În acest fel lamela izolată este încărcată în planul suprafeţei ei mediane. Sub acţiunea acestor

încărcări lamela se va deforma numai în direcţia planului ei median, deformaţiile transversale

fiind împiedicate. Din motive de simetrie, nu există lunecări între două lamele alăturate. Astfel

starea de deformaţie va fi aceeaşi oricare ar fi lamela aleasă, deci componentele deplasării vor fi

independente de variabila z.

0

z

w

z

v

z

u (A.13)

Ultima egalitate arată că lungirea unităţii de grosime a lamelei este nulă.

Admiţând că secţiunile transversale rămân plane rezultă:

0

y

w

x

w (A.14)

şi ţinând cont de ecuaţiile lui Cauchy, se obţine

0 zyzxz (15)

Deplasările în lungul axei z sunt nule (w = 0), rămânând diferite de zero deplasările u şi v,

respectiv diferenţele specifice xyyx ,, . Se poate deci spune că, în lamelă există o stare plană

de deformaţie.

Fâşiei în stare plană de deformaţie îi corespunde o stare spaţială de tensiune, deoarece

0, 0, 0x y xy care generează tensiuni 0, 0x y , respectiv 0 yxxy .

Din condiţia

1

0 0z z x y z x yE

sau 0 yxz (A.16)

Rămân valabile ecuaţiile de echilibru (A.1) şi (A.2). De asemenea, relaţiile (A.5a, b, c) şi (A.6)

rămân valabile şi în starea plană de deformaţie, în schimb nu mai sunt valabile relaţiile (A.7a, b,

c) deoarece au fost scrise pentru starea plană de tensiune. În situaţia de faţă expresiile pentru

xyyx ,, introduc şi efectul lui z .

zyxxE

1

(A.17)

xzyyE

1

(A.18)

xyxyxyEG

)1(21

(A.19)

Dacă în relaţiile (A.17), (A.18), (A.19) se introduce relaţia (A.16) şi se notează

EE

2

1

11 (A.20)

11 (A.21)

Se obţine

yxxE

1

1

1 (A.22)

xyyE

1

1

1 (A.23)

xyxyE

1

1)1(2 (A.24)

unde:

E1 – modulul de elasticitate convenţional;

1 - coeficientul lui Poisson convenţional.

Relaţiile (A.22), (A.23) şi (A.24) sunt prezentate într-o manieră similară cu starea plană de

tensiune. Ecuaţia (A.10) rămâne valabilă şi în cazul stării plane de deformaţie.

B. Probleme plane de elasticitate în coordonate polare

Exemple: lamele circulare sau inelare a semiplanului elastic

Starea de tensiune se caracterizează prin apariţia a trei tensiuni necunoscute: rrr , .

Pentru determinarea celor trei tensiuni necunoscute, modul de soluţionare a problemei este

acelaşi ca şi în coordonate carteziene. Se exteriorizează un element infinit mic, pe fetele căruia se

reprezintă tensiunile, se scriu ecuaţiile de echilibru static şi ecuaţiile de continuitate din care

rezulta ecuaţia fundamentală în coordonate polare.

Figura 4

O metodă mult mai simplă de a obţine relaţiile de calcul în sistemul de coordonate polare este

analogia cu sistemul de coordonate carteziene. Daca axa “x” se transforma în axa “r”, iar axa “y”

in “t(r )d ”, rezultă:

; ; x r y xy r

2 2

2 2 2

1 1 1; ;

F F F F F F F

x r y r x r r r

(B.1)

2

2 2

1 1r

F F

r r r

(B.2)

2

2

r

F

(B.3)

r

F

r

F

rr

2

2

11 (B.4)

ryx

y

F

x

FF

2

2

2

22 (B.5)

01111

)(2

2

22

2

2

2

22

222

F

rr

F

rr

F

rrrrF (B.6)

Fiind determinate relaţiile (B.2)…(B.6), problema plană în coordonate polare se rezolvă similar

problemei în coordonate carteziene:

- se integrează ecuaţia fundamentală (B.6);

- se găseşte funcţia Airy, F în coordonate polare;

- se calculează tensiunile cu relaţiile (B.2)…(B.4).

Relaţiile de trecere de la sistemul de coordonate polare la sistemul de coordonate cartezian

Se caută relaţiile de legătură între tensiunile reprezentate în cele două sisteme de referinţă. Se

izolează din lamela un element de formă triunghiulară pe feţele căruia se reprezintă tensiunile

(figura 5).

Figura 5

Se scrie ecuaţia de proiecţie după axa x.

0 1 (1 cos )cos (1 sin )sin (1 cos )sinx r rX

sau

2sin2

1sincos 22

rrx (B.6)

0 1 (1 sin )sin (1 cos )cos (1 cos )siny r rY

sau

2sin2

1cossin 22

rry (B.7)

Tot pentru a doua poziţie a lamelei se scrie ecuaţia de proiecţie după axa x:

1 (1 sin )cos (1 cos )sin (1 sin )sin (1 cos )cosyx r r r

sau

)sin(coscossin)( 22 rryx (B.8)

Relaţiile (B.6)…(B.8) reprezintă relaţiile de trecere a tensiunilor din sistemul de coordonate

polar în sistemul de coordonate cartezian. În aceste expresii, r şi se calculează cu relaţiile:

22

22

22

cos

sin

yx

x

yx

y

yxr

(B.9)