- 1 -

CURBE

n cursul de Algebr Liniar am vzut c prin introducerea unui reper ortonormat

( ){ }O i j k, , , n spaiu, mulimile E3 (punctele din spaiu), V3 (vectorii liberi din spaiu) iR3 pot fi puse n coresponden biunivoc dou cte dou. ntr-adevr, dac M este un punctoarecare din spaiu iar OM este vectorul su de poziie, care n raport cu baza{ }i j k, , admite descompunerea OM xi yj zk= + + , atunci corespondenaM OM dintre mulimile E3 i V3 i corespondena ( )OM x y z , , dintre V3 iR3 justific afirmaia fcut. Consideraii asemntoare se pot face i n cazul planului.n acest mod putem utiliza diverse metode algebrice n geometria plan sau n

geometria n spaiu. Mai mult, n loc de R2 sau R3 putem considera Rn cu n > 3 ,ajungnd astfel la o geometrie n-dimensional .

n capitolul II am vzut c utiliznd funciile polinomiale de gradul nti, putemstudia geometria dreptelor i a planelor. n capitolele III i IV am studiat conicele icuadricele folosind funciile polinomiale de gradul doi. Dar metodele Algebrei Liniare numai sunt suficiente n cazul n care trecem la obiecte geometrice mai complicate. De aceea,pentru a obine o descriere mai precis a spaiului este nevoie s utilizm metodele AnalizeiMatematice. Intrm n acest mod n Geometria Diferenial.

Noiunea general de curb

Din cele studiate pn acum, putem spune c graficul unei funcii derivabilef I: R , I fiind un interval, este un exemplu de ceea ce ar trebui s fie o curb. De

asemenea, anumite submulimi din plan descrise prin ecuaii de forma ( )F x y, = 0 pot finumite curbe (vezi definiia unei conice). n sfrit, din punct de vedere intuitiv, traiectoriaunui punct material n micare ar trebui s fie numit curb.

n matematic, pentru noiunea de curb exist mai multe nelesuri. n cele ceurmeaz vom prezenta conceptul care este cel mai comod att pentru geometrie ct ipentru mecanic.

1. Definiie. O aplicaie a: I n R de clas Ck , k 1, unde I R este uninterval sau o reuniune de intervale disjuncte dou cte dou, se numete curb de clas Ck

n Rn . Mulimea ( )a I (mulimea valorilor funciei a ) se numete suportul curbei a sauimaginea curbei a . Uneori, n mod abuziv, vom spune c mulimea ( )a I este o curb,iar funcia a va fi numit n acest caz reprezentare parametric sau parametrizare. Dupcum vom vedea, dou reprezentri parametrice diferite pot avea acelai suport.

n cele ce urmeaz, vom considera doar cazurile n = 2 sau n = 3 , adic vomstudia curbele din plan i curbele din spaiu. Cazul general al curbelor din Rn , poate fineles cu uurin fcnd o analogie cu cele dou cazuri particulare. De asemenea, pentru ocurb oarecare nu va fi menionat explicit clasa sa.Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 2 -

A da o funcie a: I n R nseamn a da n funcii reale x Ii : R , astfelnct ( ) ( ) ( )( )a t x t x tn= 1 , ,K pentru orice t I . Prin definiie, funcia a este de clasC kk , 1, dac fiecare funcie real xi este derivabil de k ori i derivata de ordin k

este continu. De asemenea, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a j j njt x t x t= 1 , ,K , pentru orice j k= 1, .Deci o curb plan

a: I R2 de clas Ck estedefinit prin ( ) ( ) ( )( )a t x t y t= ,unde funciile reale ( )x t i ( )y tsunt de clas Ck .

n acest caz

( ) ( ) ( ) ( )a at O t x t i y t j= = + reprezint vectorul de poziie al punctului ( )a t . Uneori,vom scrie abuziv ( ) ( ) ( )( )a t x t y t= , , adic vom identifica punctul ( )a t cu vectorul su depoziie. Consideraii asemntoare se pot face i n cazul unei curbe n spaiu.

2. Exemplu. Curbele a b, :[ , )0 2 R definite prin ( ) ( )a t t t= 2 4, i( ) ( )b t t t= , 2 sunt dou curbe plane de clas C , adic funciile ( )x t i ( )y t au

derivate de orice ordin. Cele dou curbe sunt evident diferite (de exemplu ( ) ( ))a b2 2 ,dar au acelai suport i anume arcul de parabol y x y= 2 0, .

Deci diferenadintre cele dou repre-zentri parametrice ai b const n moduln care ele parcurgarcul de parabol.

3. Definiie. Dou curbe (reprezentri parametrice) de clas Ck , a: I n R ib:J n R se spune c sunt echivalente dac exist un difeomorfism h J I: de clasCk , astfel nct a b= o h . Funcia h se numete difeomorfism de clas Ck dac este ofuncie de clas Ck , este bijectiv i h-1 este de asemenea de clas Ck . n contextul demai sus se spune c h este o schimbare de parametru pe curba a i c b este oreparametrizare echivalent a lui a . De asemenea vom numi curb neparametrizat orice clasde echivalen n raport cu relaia de echivalen de mai sus. Mai precia, o curb neparametrizateste mulimea tuturor curbelor echivalente cu o curb dat. Pentru a deosebi o curb de o curbneparametrizat, cea dinti este denumit uneori curb parametrizat.

y

( )a t

( )a t

xOt

y

t =2x

Ot =2[ [

a b

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 3 -

Este evident c dou curbe echivalente au acelai suport. Reciproc, nu este adevrat, dupcum rezult din exemplul precedent. ntr-adevr, singura aplicaie h:[ , ) [ , )0 0 pentru care ( ) ( )( )a bt h t= este ( )h t t= 2 care este derivabil i bijectiv, dar inversa sa

( )h t t- =1 nu este derivabil n t = 0 . Deci h nu este un difeomorfism, adic a i bnu sunt echivalente, dar au acelai suport.

Atenie! n cele ce urmeaz, pentru a simplifica limbajul, prin curb n Rn vomnelege, n funcie de context, fie o curb parametrizat a: I n R i implicit clasa sa deechivalen, care este o curb neparametrizat, fie o mulime din Rn care este suportul( )a I al unei curbe parametrizate. n primul caz noiunea de curb are un caracter

cinematic, pe cnd n al doilea caz, noiunea are un caracter geometric.

Fie a: I n R o curb. n general I este o reuniune de intervale. Dac I esteun interval vom spune c a este un arc de curb. Dac [ ]I a b= , vom spune c ( )a a i( )a b sunt extremitile arcului a . Dac ( ) ( )a aa b= vom spune c a este o curb

nchis. Dac I conine cel puin dou intervale, atunci restricia lui a la fiecare intervalse va numi ramur a curbei a .

Dac ( )P Ia (adic P este un punct aparinnd suportului lui a ), rezult cexist t I0 astfel nct ( )P t= a 0 . Vom spune c punctul P este situat pe curba asau c a trece prin punctul P . Dac ( )P t= a 0 este un punct al curbei a i din( ) ( )a at t1 0= rezult c t t1 0= vom spune c P este un punct simplu al curbei a . n

caz contrar, vom spune c P este un punct multiplu. Dac a nu are puncte multiple vomspune c a este o curb simpl. Evident, n acest caz, funcia a: I n R este o funcieinjectiv. Dac [ ]a: ,a b n R este o curb nchis ( ) ( )( )a aa b= i restricia funcieia la [ )a b, este injectiv, vom spune c a este o curb simpl i nchis.

Observaie. Faptul c a este o curb simpl, adic funcia a este injectiv,nseamn intuitiv c a nu trece la dou momente diferite prin acelai punct. Daraceasta nu nseamn neaprat c suportul lui a nu se autointersecteaz!

Exemplu. Fie curba ( )a t tt

tt

=+ +

31

313

2

3, , ( ) ( )t - - - , ,1 1U , numitfoliul lui Descartes. Este evident c ( ) ( )a 0 0 0= O , i c din ( ) ( )a t O= 0 0,rezult t = 0 , deci a trece o singur dat prin origine. Pe de alt parte, ( ) ( )0,0lim Ot

t=a

,

adic suportul lui a are puncte orict de apropiate de origine. Mai precis, suportul lui a esteOnl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 4 -

format din dou arce de curb, arcul ( )( )a - -, 1 , Fig. a) i arcul ( )( )a - 1, , Fig. b).Reunind cele dou arce, obinem suportul curbei a , Fig. c).

y

xO

Fig. c)

Fig . b)

y

xO

Fig. a)

y

xO

)(-1

Pentru a evita fenomenul de mai sus, este suficient ca pe lng injectivitatea

funciei a s impunem i continuitatea funciei ( )a a- 1: I I .4. Definiie. Fie curba a: I n R i ( ) ( )P t I= a a0 . Se spune c punctul

P este un punct singular pentru curba a dac ( ) 00 =a t . n caz contrar, vom spune c Peste un punct regulat al curbei a . Dac ( ) 00 a t pentru orice t I vom spune c aeste o curb regulat. Vectorul ( )a t0 cu originea n punctul ( )P t= a 0 se numetevectorul vitez al curbei a n punctul P , iar ( ) ( )v t t0 0= a se numete viteza curbeia n punctul P . Vectorul ( )a t0 cu originea n punctul ( )P t= a 0 se numete vectorulacceleraie al curbei a n punctul P , iar ( ) ( )a t t0 0= a se numete acceleraiacurbei curbei a n punctul P .

5. Definiie. Un punct singular ( )P t= a 0 se numete punct singular de ordinm 2 , dac ( ) ( ) ( ) = = =-a at tm0 1 0 0K i ( ) ( )a m t0 0 .

6. Definiie. Fie ( )P t=a 0 un punct regulat al curbei a:I nR . Atunci tangentala curba a n punctul P va fi dreapta definit de punctul P i devectorul ( )a t0 . Dac punctul P este un punct singular de ordinm 2 atunci tangenta la curba a n punctul P va fi dreapta definitde punctul P i de vectorul ( ) ( )a m t0 .

( )a t0( )P t=a 0O

nly

for s

tude

nts

O l

t i n

D

o g

a r u

- 5 -

Dac a este o curb plan, atunci dreapta perpendicular nP pe tangenta n punctul P la curba a se va numi normala la curbaa n cunctul P .

Dac a este o curb n spaiu, atunci planul perpendicular npunctul P pe tangenta la curba a n punctul P se va numi planulnormal la curba a n punctul P .

S presupunem c punctul ( )P t= a 0 este un punct regulat. Dac a este o curbplan, adic ( ) ( ) ( )( )a t x t y t= , , atunci ecuaia tangentei n punctul P la a va fi

( )( )

( )( )

x x tx t

y y ty t

- =

-0 0

iar ecuaia normalei va fi ( )( ) ( ) ( )( ) ( )x x t x t y y t y t- + - =0 0 0 0 0 .n cazul n care a este o curb n spaiu, adic ( ) ( ) ( ) ( )( )a t x t y t z t= , , , atunci

ecuaiile tangentei vor fi:( )

( )( )

( )( )

( )x x t

x ty y t

y tz z t

z t- =

- =

-

0

0

0

0

0

0,

iar ecuaia planului normal va fi:

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )x x t x t y y t y t z z t z t- + - + - =0 0 0 0 0 0 0 .n cazul n care punctul ( )P t= a 0 este un punct singular de ordin m 2 pentru

a , ecuaiile tangentei, normalei sau planului normal sunt asemntoare cu cele de mai sus,cu deosebirea c ( )x t0 , ( )y t0 i ( )z t0 se nlocuiesc respectiv cu ( ) ( )x tm 0 ,

( ) ( )y tm 0 i ( ) ( )z tm 0 .n continuare vom prezenta cteva curbe mai des ntlnite n mecanic.Cicloida. Se numete cicloid curba plan descris de un punct situat pe un cerc

ce se rostogolete fr alunecare pe o dreapt.S presupunem c raza cercului are lungimea a i c dreapta pe care se

rostogolete cercul este axa Ox .Alegem originea O astfel nct punctul M care descrie curba s treac prin

origine. Atunci, condiia de rostogolire fr alunecare se exprim prin egalitatea ( )OT l MT=(lungimea arcului M T ). S notm cu t msura n radiani a acestui arc. Atunci x OMM= =

OT- ( ) =M T l MT ( )- -= -a t a t tcos sin

p2

; ( )y MM a a t a tM= = + -= -sin cos

p2

1 .

P

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u

- 6 -

Deci o reprezentare parametric a cicloidei este ( ) ( ) ( )( )a t a t t a t= - -sin , cos1 ,t R , care este evident o curb de clas C .

Epicicloida. Se numete epicicloid curba descris de un punct situat pe un cercde raz r ce se rostogolete fr alunecare rmnnd tangent exterior unui cerc de raz R .O reprezentare parametric a epicicloidei este

( ) ( ) ( )a t R r t r Rr

t R r t r Rr

t= + - + + - +

cos cos , sin sin1 1 .

Hipocicloida. Se numete hipocicloid curba descris de un punct situat pe un cerc deraz r ce se rostogolete fr alunecare n interiorulunui cerc de raz R r> . O reprezentare parametric ahipocicloidei este: ( ) ( )a t R r t r R

rt= - + -

cos cos 1 ,

( )R r t r Rr

t- + -sin sin 1 .

Pentru cazul particular n care R r= 4 ,obinem o astroid:

( ) ( )a t R t R t= cos , sin3 3 .n concluzie, conceptul de curb prezentat mai

sus se apropie foarte mult de ceea ce intuiia noastrnumete curb. Ideea de baz este c, din punct de vedere intuitiv, o mulime este o curb,dac n jurul fiecrui punct al su mulimea se comport ca un interval dintr-o dreapt,care este flexibil i extensibil. Totui, conceptul de curb introdus este destul de general,deoarece pot aprea diverse situaii care nu mai corespund noiunii intuitive de curb.

Ilustrm aceast afirmaie printr-un exemplu foarte simplu. Funcia a :R R2 , definitprin ( ) ( )a t = 0 0, este evident o curb de clas C , nsensul de mai sus. Dar suportul acestei curbe, adic originea, nu este o curb n sensulintuiiei noastre.

y

xO

M

T

Ca

t

M

y

xO

Onl

y fo

r stu

dent

s

O l

t i n

D

o g

a r u