EcuaEcuaŃŃii de gradul al doilea cu rădăcini realeii de gradul al doilea cu rădăcini reale

Fie ecuaŃia: axax22 + + bxbx + c = 0+ c = 0, cu a≠0, (1) a, b, c fiind numere reale.

O astfel de ecuaŃie se numeşte ecuaecuaŃŃie de gradul al doilea ie de gradul al doilea cu coeficiencoeficienŃŃi realii reali ((a,b,ca,b,c))..

a) 6x2 -x-l = 0 b) x2 -x + l = 0 c) -x2 +8x = 0 d) - x2 + 8 = 0

ExempleExemple::

a = 6

b= -1

c= -1

a = -1

b= 8

c= 0

a =1

b =-1

c = 1

a = -1

b= 0

c= 8

ccoeficienoeficienŃŃii ecuaii ecuaŃŃieiiei sunt numere ( nu connu conŃŃin xin x !!!)

Rezolvarea ecuaŃiei de gradul al doilea cu rădăcini reale

Sunt două cazuri particularedouă cazuri particulare, în care nu avem nevoie de o formulănu avem nevoie de o formulă specială de calcul

Cazul Cazul bb = = 0002 =+ caxForma ecuaŃiei este

Procedăm astfel:

a

cxcaxcax −=⇔−=⇔=+ 222 0 Dacă

Φ=⇒<− Sa

c0pozitiv

Dacă

−±=⇒≥−a

cS

a

c0

ExempleExemple

2

7

2

772072 .) 222 ±=⇔=⇔=⇔=− xxxxa

2

772072 .) 222 −=⇔−=⇔=+ xxxb imposibil

imposibil

CazulCazul cc = = 00

Forma ecuaŃiei este 02 =+ bxax

Procedăm astfel:

−=

=⇔

=+

=⇔=+⇔=+

a

bx

x

bax

xbaxxbxax

2

12

0

0

00)(0

ExempluExemplu

=

=⇔

=−

=⇔=−⇔=−

2

7

0

072

00)72(072

2

12

x

x

x

xxxxx

Forma canonicăForma canonică a ecuaa ecuaŃŃiei de gradul IIiei de gradul II

=

++=++a

cxa

bxacbxax22 =

++a

cx

a

bxa

222 0

4

4

242

22

2

22

=−

−

+=

+−

+a

acb

a

bxa

a

c

a

b

a

bxa

⇔ 042 2

2

=

∆−

+aa

bxa

Transformăm membrul stâng al acestei ecuaŃii în modul următor: mai întâi scoatem în faŃa parantezei coeficientul lui x2:

unde acb 42 −=∆

forma canonicăforma canonică a ecuaa ecuaŃŃiei de gradul IIiei de gradul II

numit discriminantuldiscriminantul ecuaŃiei de grad II

ExempluExemplu

+

−=

−+

−

=

−+

−=

+−=

+−=+−

16

25

4

72

16

4964

4

72

16

494

4

724

4

7224

2

72872

22

2

222

xx

xxxxxxx

sau direct

( ) 25644982472 −=−=⋅⋅−−=∆

+

−=+−16

25

4

72872

2

2xxx

Rezolvarea ecuaŃiei de gradul al doilea cu rădăcini reale

042 2

2

=

∆−

+aa

bxa

Forma canonicăForma canonică a ecuaa ecuaŃŃiei de gradul IIiei de gradul II

acb 42 −=∆şi

“ delta “

permit rezolvarea unei ecuaŃii de grad II

2

2

2

2

420

42 aa

bx

aa

bx

∆=

+⇔=∆

−

+

cum a≠0

0<∆

0=∆a

b

2−

0>∆a

b

2

∆±−

Cazul ecuaŃia nu are rădăcini reale

ecuaŃia are 2 rădăcini egale xx11==xx22==

Cazul ecuaŃia are 2 rădăcini distincte xx1,2=

Cazul

DISCUłIE – Natura rădăcinilorNatura rădăcinilor ecuaŃiei de gradul II

⇔

⇔

⇔

2

3

5

73

+−

=+−

x

x

x

x2

32

9

2

5=

++

+ xx 1

2

1

3

1

62 −

=+

+− xxx

22

102

15

xm

m

xmmx −+=

−−

+ 6

5

6

12

12

6=

−−

−−−

x

x

x

x

;f) ;g)

h) i)

ExerciŃii1.1. Să se rezolve ecuaŃiile:a) 6x2 -x-l = 0; b) x2 -x + l = 0; c) -x2 +8x-16 = 0; d) - x2 - 7x+ 8 = 0;

e)

2.2. Să se determine m, astfel încât ecuaŃia x2 + mx + 1 = 0:

a) să aibă rădăcini egale; b) să aibă rădăcini reale diferite; c) să nu aibă rădăcini reale.

3.3. Acelaşi enunŃ ca la problema 2, pentru ecuaŃia x2 - 2mx + m (1 + m) = 0.

4. să se determine valorile lui m, ştiind că ecuaŃiile x2+x + m = O şi x2+x-m = 0 au acelaşi număr de rădăcini reale.

Exemplu:

3x2-10x+3=0 atunci a = 3, b = -10 ,c = 3

b1= -5 şi

)(42

1 acb −=∆a

acbbx

−±−=

2

11

2,1Dacă b=2b1 atunci şi

FFormulaormula redusăredusă

3

45

3

92552,1

±=

−±=x

3

1atunci x1=3 şi x2=

RelaRelaŃŃiiii îîntrentre coeficiencoeficienŃŃii ii şşi i rădăcinilerădăcinile unei ecuaŃii de gradul al doilea

a

acbbx

2

42

1

−+−=

a

acbbx

2

42

2

−−−=

a

cxxP

a

bxxS

==

−=+=

21

21

1. RelaŃiile lui lui VieteViete

EcuaŃia ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cu ∆ = b2 - 4ac > 0, are rădăcinile: şi

atunci au loc relaŃiile:

sumasuma rădăcinilor

produsulprodusul rădăcinilor

Probleme Probleme BAC 2009BAC 2009

1.1.

2.2.

3.3.

relaŃiile lui lui VieteViete

FormareaFormarea uneiunei ecuaecuaŃŃiiii de grad de grad IIII când cunoaştem sumasuma SS şi produsulprodusul PP al rădăcinilor.

Forma ecuaŃiei este xx22 -- SSxx ++ P P == 00

Exemplu :Exemplu :

FormaŃi ecuaŃia de grad II dacă x1 = -2 şi x2 = 8 Avem S = x1+x2 = -2+8 = 6 şi P = x1·x2 =(-2)· 8 = -16

Atunci ecuaŃia este : x2-6x-16 = 0

Studiu individualStudiu individual

ExerciŃiile 5 şi 6 din fişa de exerciŃii

6.3 Studiul semnelor rădăcinilor ecuaŃiei de gradul 2

EcuaŃia ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cu ∆ = b

2 - 4ac ≥ 0,

are rădăcinile:

a

acbbx

2

42

1

−+−= şi

a

acbbx

2

42

2

−−−=

Şi au loc relaŃiile:

a

cxxP

a

bxxS

==

−=+=

21

21

.................................................................................................................................................................

Cazul 1.) P>0 ⇒ ambele rădăcini au acelaşi semn (ambele + sau ambele - ) dacă S>0 ⇒ ambele rădăcini sunt pozitive dacă S<0 ⇒ ambele rădăcini sunt negative ..........................................................................................................................................

Cazul 2.) P<0 ⇒ rădăcinile au semne contrare

dacă S>0 ⇒ x1<0,x2>0 şi 21 xx <

dacă S<0 ⇒ x1<0,x2>0 şi 21 xx >

........................................................................................................................................... ObservaŃie :

1.) cazul P = 0 ⇒x1 = 0 ( sau x2 = 0)

2.) cazul S = 0 ⇒x1 = -x2

Exemplu :

x2+2x-15=0 ⇒ S = -2 şi P = -15 deci x1<0,x2>0 şi 21 xx >

ExerciŃiu : Fie ecuaŃia x

2-2mx+m-1 = 0 , m R∈

a.) rezolvaŃi ecuaŃia pentru m=1,şi m= -1

b.) arătaŃi că pentru orice m , ecuaŃia are 2 rădăcini distincte

c.) aflaŃi m dacă ambele rădăcini sunt mai mari decât -1

d.) aflaŃi m dacă ambele rădăcini sunt mai mici decât -1

e.) aflaŃi m dacă o rădăcină este mai mare decât -1,iar cealaltă rădăcină este mai mică decât -1.

INDICAłIE :

Y=x+1

6.4 Descompunerea trinomului de grad 2 în produs de factori de grad I

Expresia ax2 + bx + c se numeşte TRINOM de grad 2.

EcuaŃia ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) cu ∆ = b2 - 4ac ≥ 0,

are rădăcinile:

a

acbbx

2

42

1

−+−= şi

a

acbbx

2

42

2

−−−= şi au loc relaŃiile:

a

cxxP

a

bxxS

==

−=+=

21

21

Atunci [ ] ))((...)( 212121

222 xxxxaxxxxxxaa

cx

a

bxacbxax −−==++−=

++=++

Deci descompunerea este : ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)

Exemplu :

DescompuneŃi trinomul : 6x2-x-1 în factori.

Rezolvăm ecuaŃia 6x2-x-1=0

∆= 25 şi : x1= 2

1 , x2=

3

1− .

Atunci : 6x2-x-1= ( )( )1312

3

1

2

16 +−=

+

− xxxx

ObservaŃie :

ax2 + bx + c = aa

bxa

42

2∆−

+

+ se numeşte forma canonică a trinomului de grad 2

6.5. EcuaŃii reductibile la ecuaŃii de gradul al doilea

în practică se pot întâlni ecuaŃii de grad mai mare decât 2, a căror rezolvare se poate reduce la rezolvarea unor ecuaŃii de grad mai mic sau egal cu 2.

1. în unele cazuri astfel de ecuaŃii se pot rezolva folosind metoda descompunerii în factori. Exemple

1) Să se rezolve ecuaŃia:

x3-4x = 0 (1) Descompunem membrul stâng al ecuaŃiei în factori şi avem

x(x-2)(x + 2) = 0 Rezultă că soluŃiile ecuaŃiei (1) sunt: 0, -2 şi 2.

2) Să se rezolve ecuaŃia x4-2x3+x-2 = 0 (2)

Descompunem membrul stâng al ecuaŃiei în factori. Avem succsiv, x4-2x

3+x-2 = x

3(x-2) + x-2 = (x-2)(x

3 + l) = (x-2)(x+l)(x

2-x+l).

EcuaŃia devine: (x - 2) (x + 1) {x2 - x + 1) = 0, adică x - 2 = 0, x + 1 = 0 sau x2 - x + 1 =0. Cum ecuaŃia x2 - x + 1 = 0 nu are rădăcini reale (∆= -3 < 0), rezultă că rădăcinile ecuaŃiei (2) sunt: -l şi 2.

2. în alte cazuri ecuaŃiile de grad mai mare sau egal cu 2 se pot rezolva folosind metoda introducerii unei noi necunoscute.

Exemple

1) Să se rezolve ecuaŃia

(x2 - 3x)2 - 2 (x2 - 3x) - 8 = 0 (3) Observăm că membrul stâng al ecuaŃiei conŃine expresia (x2 - 3x) , atât la puterea a doua cât şi la puterea întâia.

Facem substituŃia x2 - 3x = y şi obŃinem ecuaŃia de gradul al

doilea în y: y2-2y-8 = 0, de unde y1 = -2, y2 = 4.

Rezultă x2 - 3x = -2 şi x

2 - 3x = 4.

Rădăcinile primei ecuaŃii sunt x1 = 1 şi x2 = 2, iar rădăcinile celei de-a doua ecuaŃii sunt x3 = -l, x4 = 4. Deci, soluŃiile ecuaŃiei (3) sunt: 1,2,-1 şi 4. 2) Să se rezolve ecuaŃia

x4-3x

2-4 = 0. (4)

Făcând substituŃia x2 = y, obŃinem ecuaŃia în y: y2 - 3y - 4 = 0, de unde y1 =-1,y2 = 4.

Cum y poate lua numai valori nenegative (deoarece y = x2), rezultă că singura soluŃie care convine estey = 4, adică x2 = 4, de unde x1 = - 2 şi x2 = 2.

ObservaŃie.

Această ecuaŃie este un caz particular al ecuaŃiei generale ax2 + bx + c = 0, unde a ≠0, numită ecuaŃie bipătrată. 3) Să se rezolve ecuaŃia

x6 - 7x3 - 8 = 0. (5) Făcând substituŃia x3 = y, obŃinem

y2-7y-8= 0

de unde z1=-l, z2 = 8. Deoarece y = x

3 avem x

3 = -l, X

3 = 8 şi obŃinem următoarele două rădăcini ale ecuaŃiei date: x1 = —1,x2 = 2.

ObservaŃie.

Analog, pot fi rezolvate şi ecuaŃii mai generale de forma: ax2n + bx

n + c = 0, a ≠ 0, unde n este un număr

natural nenul. Făcând substituŃia y = x

n, obŃinem ecuaŃia de gradul al doilea: ay2 + by + c = 0.

ExerciŃii

1. Să se rezolve ecuaŃiile:

a) 6x2 -x-l = 0; b)x2 -x + l = 0; c)-x2 +8x-16 = 0; d)- x2 - 7x+ 8 = 0;

e)2

3

5

73

+

−=

+

−

x

x

x

x ;f) 2

32

9

2

5=

++

+ xx;g)

1

2

1

3

1

62 −

=+

+− xxx

;

h) 22

102

15

xm

m

xmmx −+=

−−

+; i)

6

5

6

12

12

6=

−

−−

−

−

x

x

x

x

2. Să se determine m, astfel încât ecuaŃia x2 + mx + 1 = 0:

a) să aibă rădăcini egale; b) să aibă rădăcini reale diferite; c) să nu aibă rădăcini reale.

3. Acelaşi enunŃ ca la problema 2, pentru ecuaŃia x2 - 2mx + m (1 + m) = 0.

4. să se determine valorile lui m, ştiind că ecuaŃiile x2+x + m = Oş i x 2+x -m = 0 au acelaşi număr de rădăcini reale.

5. Să se formeze ecuaŃii de gradul al doilea, care au rădăcinile:

a) x1 =-3 şi x2 =5; b) x1 = m+n şi x2 =m -n; c) x1 =2+ 3 şi x2 =2- 3 ,-

d) x1 = 2 + 3 şi x2 = 2 - 3 .

6. Fie x1 şi X2 rădăcinile ecuaŃiei x2 +px + q = 0. Să se formeze ecuaŃii de

gradul al doilea în y, ale căror rădăcini sunt:

a) y1 =2

1

x

x şi y2 =

1

2

x

x; b) y1= x1+

1

1

xşi y2 = x2 +

2

1

x; c) y] = (x1 + x2)

2 şi

y2=(x1-x2)2

d) y12

1

1

x= şi

2

2

2

1

xy =

7. Fără a rezolva ecuaŃiile următoare, să se determine semnele rădăcinilor lor: a)x2-x-6 = 0;b) 6x2-x- 1 =0; c)-5x2 + x-7 = 0; d)x2-7x+ 10 = 0.

8.)Să se determine valorile lui m, astfel încât rădăcinile ecuaŃiei x2 + (1-m)x-m = 0 să aibă:

a) acelaşi semn; b) semne diferite. 9. Acelaşi enunŃ ca la problema 8, pentru ecuaŃia:

x2 + 2(m - 2) x + (m - 1) (m - 3) = 0. 10. Să se descompună în factori de gradul întâi

trinoamele: a)6x

2-7x + 2; b)x

2-x- l; c)2x

2-7mx + 6m

2.

11. Să se determine valorile lui m, astfel încât ecuaŃiile: x2 +

mx+l=0 şi x2+x + m = 0să aibă o rădăcină comună.

12. Folosind forma canonică a trinomului de gradul al doilea, să se arate că:

a) trinomul x2 - x + 1 ia valori pozitive pentru orice x real; b) trinomul - 2x2 + 8x - 9 ia valori negative pentru orice x real.

13. Fie ecuaŃia 4mx2 + 4(1 - 2m)x + 3(m - 1) = 0. Să se determine valorile lui m astfel încât să avem:

a) ambele rădăcini să fie mai mici decât 1; b) ambele rădăcini să fie mai mari decât 1;

c) o rădăcină mai mică decât 1 şi alta mai mare decât 1. 14. Să se determine valorile parametrului M, astfel încât fiecare din

următoarele ecuaŃii să aibă două rădăcini egale:

a) 4x2 + mx + 9 = 0; b) mx2 + 4x + 1 = 0; c) x2 - 2(1 + 3m)x + 7(3 + 2m) = 0. 15. Descompunând membrul stâng în factori, să se rezolve ecuaŃiile: a) 4x3 + 28x2 - 9x - 63 = 0; b) 6x3 - x2 – 486x + 81 = 0; c) x3+ 3x2 - 16x - 48 = 0.

16) Să se rezolve ecuaŃiile:

a)x4+x2-2 = 0; b)x4+15x2 + 50 = 0; c)4x4-5x2+ 1 =0;d)x6 + 26x3-27 = 0.

Să se rezolve ecuaŃiile: a) (x2 – 16X)2 - 2(x2 - 16x) - 63 = 0;

0101

21

2

=−+

+

xx

c) (x2 + x + l)(x

2 + x +2)= 12; d) x

2 - 4x +

54

102 +− xx

= 2

e)x2 + 2

49

x+2(x +

x

7) -34 = 0; f)

2

32

−

−

x

xx+

2

5

3

22

=−

−

xx

x ; g)

2

2x

+ )3

2(

5

13182 x

x

x+=

h) x(x+1)(x+2)(x+3)=24

20. Să se rezolve ecuaŃiile: a)x

4+ 4x-l=0; b)x

4-4x

3-l=0;

21.

Dacă x şi y satisfac relaŃia ax2 + 2bxy + cy2 = 0, să se determine : 0; ≠yy

x

22 Să se determine valorile parametrului m, astfel încât ecuaŃia x

2 - 6x + m = 0

să aibă două rădăcini reale dintre care una să fie dublul celeilalte. 23

Să se determine două numere nenule, astfel încât suma, produsul şi diferenŃa pătratelor lor să fie egale. 24

Să se determine legătura dintre rădăcinile ecuaŃiilor: ax2 + bx + c = 0 şi

cx2 + bx + a = 0.

25 Fără a rezolva ecuaŃia, să se găsească suma pătratelor rădăcinilor ecuaŃiei:

(x2 + 2x)

2 - 5(x2 + 2x) + 3 = 0.

26. Să se arate că dacă ecuaŃiile x2 + ax + b = 0 şi x2 + cx + d = 0, (a, b, c, d ∈Z), au o rădăcină iraŃională comună, atunci a = c şi b = d.