Calculul Integralei definite

Metoda DreptunghiurilorMetoda Trapezelor

Integrala definită. Interpretarea geometrică

Fie dată funcţia f(x) continuă pe segmentul [a,b]. Integrala definită

( )b

a

f x dxeste aria trapezului curbiliniu, determinat de axa 0X, dreptele x = a şi x = b, şi graficul funcţiei f(x) pe segmentul [a,b]

Metoda dreptunghiurilor

Determinarea ariei unei figuri curbilinii este destul de dificilă, de aceea se utilizează procedura de aproximare a figurii iniţiale prin un set de figuri geometrice, ariile cărora se determină după formule standard.

11

0

1

0

;

, 0,..., .

( )

2

(2 1)2

i

b

a

ni i

i

n

i

b ah

nx a ih i n

f x dx

x xh f

hh f a i

Varianta dreptunghiurilor de mijloc

1

0

1

0

;

, 0,..., .

( )

i

b

a

n

ii

n

i

b ah

nx a ih i n

f x dx

h f x

h f a ih

Varianta dreptunghiurilor de stânga

Varianta dreptunghiurilor de dreapta

1

1

;

, 0,..., .

( )

i

b

a

n

ii

n

i

b ah

nx a ih i n

f x dx

h f x

h f a ih

Algoritmul general (număr fix de divizări)

1. Se introduc limitele de integrare a,b şi numărul de divizări n.

2. Se calculează pasul de deplasare h

3. Pornind de la a se calculează mijlocul fiecărui segment elementar zi f(zi), şi ariile

dreptunghiurilor elementare.

4. Se sumează ariile elementare.

Estimarea erorii y

f(x)g(x)= f((xi,+ xi+1)/2)

0 xi xi+1 …

f(x) se aproximează prin g(x).

1

( ) ( )

2i i

f x g x

x xM x

Eroarea la integrare pe un segment elementar este integrala erorii de aproximare:

1 1

1

2

1

[ ]

( )2

sup ( )

i i

i i

i i

x x

i i

x x

x x

x xf x dx g x dx M

M f x

Algoritmul general (pentru o eroare fixată)

1 1

1

2

1

[ ]( ) , sup ( )

2

i i

i ii i

x x

i i

x xx x

x xf x dx g x dx M M f x

Eroarea de calcul al integralei pe un segment elementar nu depăşeşte

Prin urmare eroarea de calcul al integralei pe [a,b] nu depăşeşte sume erorilor pe segmentele elementare

2

[ , ]( ) ( ) , sup ( )

2 4

b

a ba

h hf x dx S nM b a M M f x

Pentru o eroare fixată numărul de divizări se calculează apriori:

22 ( )

( ) ( ) 4 1;4 4

h b a Mb a M b a M n n

Exemplu program:var a,b,h,S :real; j,k,i,n :integer; function f(x:real):real; begin f:=5-(x*x-sin(5*x)); end;begin for j:=1 to 3 do begin a:=-2; b:=2; n:=0; for k:=1 to 10 do begin n:=n+10; S:=0; h:=(b-a)/n; for i:=0 to n-1 do case j of 1: s:=s+h*f(a+i*h); 2: s:=s+h*f(a+i*h+h); 3: s:=s+h*f(a+i*h+h/2); end; writeln('n=',n:3,' I=',s:0:6); end; end;end.

Rezultate:

Dreptunghiuri stanga:

n= 10 I=14.777608

n= 20 I=14.748804

n= 30 I=14.727351

n= 40 I=14.714402

n= 50 I=14.705922

n= 60 I=14.699972

n= 70 I=14.695577

n= 80 I=14.692201

n= 90 I=14.689529

n=100 I=14.687361

Dreptunghiuri dreapta:

n= 10 I=14.342392

n= 20 I=14.531196

n= 30 I=14.582279

n= 40 I=14.605598

n= 50 I=14.618878

n= 60 I=14.627436

n= 70 I=14.633403

n= 80 I=14.637799

n= 90 I=14.641171

n=100 I=14.643839

Dreptunghiuri mijloc:

n= 10 I=14.720000

n= 20 I=14.680000

n= 30 I=14.672593

n= 40 I=14.670000

n= 50 I=14.668800

n= 60 I=14.668148

n= 70 I=14.667755

n= 80 I=14.667500

n= 90 I=14.667325

n=100 I=14.667278

Metoda trapezelor

Aproximarea ariei unui trapez curbiliniu este mult mai eficientă în cazul cînd pe fiecare din segmentele elementare este aproximată prin un trapez, şi nu prin dreptunghi.

Pe segmentul elementar [xi, xi+1] trapezul este determinat de extremităţile segmentului pe axa 0X (xi,0) (xi+1 0) şi de valoarea funcţiei f(x) în extremităţi: (xi,f(xi)) (xi+1 ,f(xi+1))

Aparatul matematic

;

,

0,..., .i

b ah

nx a ih

i n

1 11 1

0 0

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

b n ni i i i

i ia

f x f x f x f xf x dx h h

Estimarea eroriiFie f(x) - de două ori derivabilă pe intervalul [a,b].

Pe un interval elementar [xi, xi+1] g(x) aproximează funcţia f(x) şi coincide cu ea în extremităţi. Eroarea aproximării este determinată de formula:

1

1

[ ]( ) ( ) sup ( )

2 i i

i i

x x

x x x xf x g x M M f x

Eroarea la integrarea pe segmentul elementar este integrala erorii de aproximare:

1 1 1

1

1

31

[ ]

( )2

( ) sup ( )12

i i i

i i i

i i

x x xi i

x x x

i ix x

x x x xf x dx g x dx M dx

Mx x M f x

Eroarea la integrarea pe segmentul [a,b] este suma erorilor de integrare pe segmentele elementare:

23

[ , ]

( )( ) sup ( )

12 12

b

a ba

M b a Mhf x dx S n h M f x

Algoritmul general (număr fix de divizări)

1. Se introduc limitele de integrare a,b şi numărul de divizări n.

2. Se calculează pasul de deplasare h

3. Pornind de la a se calculează valoarea funcţiei în

extremităţile fiecărui segment elementar şi ariile trapezelor elementare.

4. Se sumează ariile calculate.

Exemplu programvar a,b,h,S :real; j,k,i,n :integer;

function f(x:real):real; begin f:=5-(x*x-sin(5*x)); end;begina:=-2; b:=2; n:=0; for k:=1 to 10 do begin n:=n+10; s:=0; h:=(b-a)/n; for i:=0 to n-1 do s:=s+h*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h))/2; writeln('n=',n:3,' I=',s:0:6); end;end.

Rezultate:

Trapeze

n=100 I=14.665600n=200 I=14.666400n=300 I=14.666548n=400 I=14.666600n=500 I=14.666624n=600 I=14.666637n=700 I=14.666645n=800 I=14.666650n=900 I=14.666653n=1000 I=14.666656

Dreptunghiuri de stanga:n=100 I=14.687361n=200 I=14.677280n=300 I=14.673802n=400 I=14.672040n=500 I=14.670976n=600 I=14.670264n=700 I=14.669754n=800 I=14.669370n=900 I=14.669071n=1000 I=14.668832

Dreptunghiuri de dreapta:

n=100 I=14.643839n=200 I=14.655520n=300 I=14.659295n=400 I=14.661160n=500 I=14.662272n=600 I=14.663010n=700 I=14.663536n=800 I=14.663930n=900 I=14.664236n=1000 I=14.664480