Veronica botnarenco

19
Calculul Integralei definite Metoda Dreptunghiurilor Metoda Trapezelor

Transcript of Veronica botnarenco

Page 1: Veronica botnarenco

Calculul Integralei definite

Metoda DreptunghiurilorMetoda Trapezelor

Page 2: Veronica botnarenco

Integrala definită. Interpretarea geometrică

Fie dată funcţia f(x) continuă pe segmentul [a,b]. Integrala definită

( )b

a

f x dxeste aria trapezului curbiliniu, determinat de axa 0X, dreptele x = a şi x = b, şi graficul funcţiei f(x) pe segmentul [a,b]

Page 3: Veronica botnarenco

Metoda dreptunghiurilor

Determinarea ariei unei figuri curbilinii este destul de dificilă, de aceea se utilizează procedura de aproximare a figurii iniţiale prin un set de figuri geometrice, ariile cărora se determină după formule standard.

Page 4: Veronica botnarenco
Page 5: Veronica botnarenco

11

0

1

0

;

, 0,..., .

( )

2

(2 1)2

i

b

a

ni i

i

n

i

b ah

nx a ih i n

f x dx

x xh f

hh f a i

Varianta dreptunghiurilor de mijloc

Page 6: Veronica botnarenco

1

0

1

0

;

, 0,..., .

( )

i

b

a

n

ii

n

i

b ah

nx a ih i n

f x dx

h f x

h f a ih

Varianta dreptunghiurilor de stânga

Page 7: Veronica botnarenco

Varianta dreptunghiurilor de dreapta

1

1

;

, 0,..., .

( )

i

b

a

n

ii

n

i

b ah

nx a ih i n

f x dx

h f x

h f a ih

Page 8: Veronica botnarenco

Algoritmul general (număr fix de divizări)

1. Se introduc limitele de integrare a,b şi numărul de divizări n.

2. Se calculează pasul de deplasare h

3. Pornind de la a se calculează mijlocul fiecărui segment elementar zi f(zi), şi ariile

dreptunghiurilor elementare.

4. Se sumează ariile elementare.

Page 9: Veronica botnarenco

Estimarea erorii y

f(x)g(x)= f((xi,+ xi+1)/2)

0 xi xi+1 …

f(x) se aproximează prin g(x).

1

( ) ( )

2i i

f x g x

x xM x

Eroarea la integrare pe un segment elementar este integrala erorii de aproximare:

1 1

1

2

1

[ ]

( )2

sup ( )

i i

i i

i i

x x

i i

x x

x x

x xf x dx g x dx M

M f x

Page 10: Veronica botnarenco

Algoritmul general (pentru o eroare fixată)

1 1

1

2

1

[ ]( ) , sup ( )

2

i i

i ii i

x x

i i

x xx x

x xf x dx g x dx M M f x

Eroarea de calcul al integralei pe un segment elementar nu depăşeşte

Prin urmare eroarea de calcul al integralei pe [a,b] nu depăşeşte sume erorilor pe segmentele elementare

2

[ , ]( ) ( ) , sup ( )

2 4

b

a ba

h hf x dx S nM b a M M f x

Pentru o eroare fixată numărul de divizări se calculează apriori:

22 ( )

( ) ( ) 4 1;4 4

h b a Mb a M b a M n n

Page 11: Veronica botnarenco

Exemplu program:var a,b,h,S :real; j,k,i,n :integer; function f(x:real):real; begin f:=5-(x*x-sin(5*x)); end;begin for j:=1 to 3 do begin a:=-2; b:=2; n:=0; for k:=1 to 10 do begin n:=n+10; S:=0; h:=(b-a)/n; for i:=0 to n-1 do case j of 1: s:=s+h*f(a+i*h); 2: s:=s+h*f(a+i*h+h); 3: s:=s+h*f(a+i*h+h/2); end; writeln('n=',n:3,' I=',s:0:6); end; end;end.

Page 12: Veronica botnarenco

Rezultate:

Dreptunghiuri stanga:

n= 10 I=14.777608

n= 20 I=14.748804

n= 30 I=14.727351

n= 40 I=14.714402

n= 50 I=14.705922

n= 60 I=14.699972

n= 70 I=14.695577

n= 80 I=14.692201

n= 90 I=14.689529

n=100 I=14.687361

Dreptunghiuri dreapta:

n= 10 I=14.342392

n= 20 I=14.531196

n= 30 I=14.582279

n= 40 I=14.605598

n= 50 I=14.618878

n= 60 I=14.627436

n= 70 I=14.633403

n= 80 I=14.637799

n= 90 I=14.641171

n=100 I=14.643839

Dreptunghiuri mijloc:

n= 10 I=14.720000

n= 20 I=14.680000

n= 30 I=14.672593

n= 40 I=14.670000

n= 50 I=14.668800

n= 60 I=14.668148

n= 70 I=14.667755

n= 80 I=14.667500

n= 90 I=14.667325

n=100 I=14.667278

Page 13: Veronica botnarenco

Metoda trapezelor

Aproximarea ariei unui trapez curbiliniu este mult mai eficientă în cazul cînd pe fiecare din segmentele elementare este aproximată prin un trapez, şi nu prin dreptunghi.

Pe segmentul elementar [xi, xi+1] trapezul este determinat de extremităţile segmentului pe axa 0X (xi,0) (xi+1 0) şi de valoarea funcţiei f(x) în extremităţi: (xi,f(xi)) (xi+1 ,f(xi+1))

Page 14: Veronica botnarenco

Aparatul matematic

;

,

0,..., .i

b ah

nx a ih

i n

1 11 1

0 0

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2

b n ni i i i

i ia

f x f x f x f xf x dx h h

Page 15: Veronica botnarenco

Estimarea eroriiFie f(x) - de două ori derivabilă pe intervalul [a,b].

Pe un interval elementar [xi, xi+1] g(x) aproximează funcţia f(x) şi coincide cu ea în extremităţi. Eroarea aproximării este determinată de formula:

1

1

[ ]( ) ( ) sup ( )

2 i i

i i

x x

x x x xf x g x M M f x

Page 16: Veronica botnarenco

Eroarea la integrarea pe segmentul elementar este integrala erorii de aproximare:

1 1 1

1

1

31

[ ]

( )2

( ) sup ( )12

i i i

i i i

i i

x x xi i

x x x

i ix x

x x x xf x dx g x dx M dx

Mx x M f x

Eroarea la integrarea pe segmentul [a,b] este suma erorilor de integrare pe segmentele elementare:

23

[ , ]

( )( ) sup ( )

12 12

b

a ba

M b a Mhf x dx S n h M f x

Page 17: Veronica botnarenco

Algoritmul general (număr fix de divizări)

1. Se introduc limitele de integrare a,b şi numărul de divizări n.

2. Se calculează pasul de deplasare h

3. Pornind de la a se calculează valoarea funcţiei în

extremităţile fiecărui segment elementar şi ariile trapezelor elementare.

4. Se sumează ariile calculate.

Page 18: Veronica botnarenco

Exemplu programvar a,b,h,S :real; j,k,i,n :integer;

function f(x:real):real; begin f:=5-(x*x-sin(5*x)); end;begina:=-2; b:=2; n:=0; for k:=1 to 10 do begin n:=n+10; s:=0; h:=(b-a)/n; for i:=0 to n-1 do s:=s+h*(f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h))/2; writeln('n=',n:3,' I=',s:0:6); end;end.

Page 19: Veronica botnarenco

Rezultate:

Trapeze

n=100 I=14.665600n=200 I=14.666400n=300 I=14.666548n=400 I=14.666600n=500 I=14.666624n=600 I=14.666637n=700 I=14.666645n=800 I=14.666650n=900 I=14.666653n=1000 I=14.666656

Dreptunghiuri de stanga:n=100 I=14.687361n=200 I=14.677280n=300 I=14.673802n=400 I=14.672040n=500 I=14.670976n=600 I=14.670264n=700 I=14.669754n=800 I=14.669370n=900 I=14.669071n=1000 I=14.668832

Dreptunghiuri de dreapta:

n=100 I=14.643839n=200 I=14.655520n=300 I=14.659295n=400 I=14.661160n=500 I=14.662272n=600 I=14.663010n=700 I=14.663536n=800 I=14.663930n=900 I=14.664236n=1000 I=14.664480