Sisteme de ecuaţii diferenţiale obișnuite: sisteme dinamice

Problema Cauchy

În acest capitol se va vorbi despre metodele numerice de rezolvare a problemelor cu date iniţiale (numite problema Cauchy) pentru ecuaţiile diferenţiale obișnuite (EDO).

Astfel de probleme necesită determinarea funcţiei (sau a câtorva funcţii) dependente de o variabilă, dacă, în primul rând, este determinată ecuaţia diferenţială sau sistemul de ecuaţii diferenţiale, care conţin derivata funcţiei.

În al doilea rând, un număr suficient de condiţii suplimentare, care determină valoare funcţiei într-un oarecare punct iniţial.

Rezolvarea problemei Cauchy

Rezolvarea problemei Cauchy pentru EDO – este demult o tehnologie bine studiată. Cu EDO „bune”, de obicei, nu apar nici un fel de greutăţi de calcul (de cele mai deseori ele sunt rezolvate cu ajutorul algoritmului Runge - Kurt), iar pentru EDO de tip special, numite „dure”, trebuie de utilizat metode speciale.

Toate aceste posibilităţi există și în Mathcad.

Utilizatorul poate liber să aleagă un algoritm concret de rezolvare a EDO.

Problema Cauchy a EDO

Rezolvarea ecuaţiei diferenţiale

Ecuaţie diferenţială reprezintă ecuaţia în care necunoscute nu sunt variabile (adică numere), dar funcţii de una sau mai multe variabile.

Aceste ecuaţii sau sisteme de ecuaţii conţin relaţiile dintre funcţiile căutate și derivatele lor.

Dacă ecuaţiile conţin doar derivate de o variabilă, ele se numesc derivate obișnuite.

În caz contrar vorbim despre ecuaţii cu derivate particulare.

Astfel, rezolvarea ecuaţiei diferenţiale presupune determinarea funcţiei necunoscute pentru un interval oarecare al variabilelor.

EDO de ordinal N

EDO cu funcţia necunoscută y , care include derivatele acestor funcţii inclusiv până la , se numesc EDO de ordinal N.

În particular, ecuaţia de ordinul unu poate conţine, în afară de funcţia căutată y , doar derivata ei de ordinal unu y′ , de ordinal doi — у′ и ′′ etc.

În majoritatea cazurilor practice, ecuaţia diferenţială poate fi scrisă în formă standard (forma Cauchy):у′ , .

Ecuaţia de ordinal doi poate conţine, în afară de funcţia căutată, derivatele funcţiei de ordinul unu și doi etc.

Rezolvarea EDO de ordinal 2

Mai jos este exemplificată rezolvarea unei EDO simple de ordinul doi, care descrie modelul oscilatorului armonic.

Rezolvarea EDO de ordinal 2

Ecuaţia este prezentată în listing în rândul doi după introducerea parametrilor iniţiali ale modelului.

În afară de ecuaţie a fost nevoie de determinat și doi parametri iniţiali (rândurile trei și patru ale listing-ului) — valorile iniţiale и у′ pentru 0.

În general, EDO (sau sistemul EDO) are o unică soluţie, dacă în afară de ecuaţie sunt date condiţiile iniţiale sau limite.

În cursurile de matematică superioară sunt demonstrate teoreme despre existenţa și unicitatea soluţiei în dependenţă de unele condiţii sau altele.

Observaţie

Modelul oscilatorului armonic descrie, în particular, oscilaţiile pendulului:

y(t) descrie modificarea unghiului de deviere faţă de verticală,

у' (t) — viteza unghiulară a pendulului,

у" — acceleraţia, respectiv devierea iniţială a pendulului fiind у 0 1.0 și viteza iniţială у′ 0 0.

Este important de menţionat, că modelul este linear, adică funcţia căutată și derivatele ei sunt incluse într-o ecuaţie de ordinul unu.

EDO de ordinal 2

Rezultatul obţinut ( funcţia ) este prezentat în figura de mai jos.

Tipurile de probleme care pot fi rezolvate cu ajutorul Mathcad

Probleme Cauchy — pentru care sunt determinate condiţiile iniţiale pentru funcţiile căutată, adică sunt date valorile funcţiilor în punctul iniţial al intervalului de integrare a ecuaţiei;

Probleme marginale — pentru care sunt determinate relaţiile concomitent pentru ambele capete ale intervalului.

Aceasta se referă atât la ecuaţii diferenţiale separate, cât și la sisteme EDO.

Remarcă

Este important de remarcat, că Mathcad, poate rezolva doar astfel de sisteme de ecuaţii diferenţiale, care pot fi reprezentate în forma standard (forma Cauchy).

Forma necesară de prezentare a EDO

Pentru funcţiile necunoscute , ,…,sistemul EDO trebuie scris în următoarea formă:

Forma necesară de prezentare a EDO

Aceasta este echivalent următoarei forme vectoriale: .

unde и — funcţiile vectoriale necunoscute respective de variabila t de dimensiunea ,

iar — funcţia vectorială de aceiași mărime și număr de variabile (N Componenta vectorului și posibil, t).

Anume forma vectorială este utilizată pentru introducerea sistemelor de EDO în Mathcad.

Condiţii iniţiale

Pentru rezolvarea problemei Cauchy pentru un sistem de N EDO de ordinul unu, trebuie încă de determinat N de condiţii iniţiale, care dau valori pentru fiecare funcţie în punctul iniţial de integrare .

În formă vectorială ele pot fi scrise în formă

,

unde B — vectorul condiţiilor iniţiale de dimensiunea , respectiv compus din .

Condiţii iniţiale

Atrageţi atenţia la necesitatea introducerii în forma vectorială atât a ecuaţiei, cât și a condiţiei iniţiale.

În cazul unei singure EDO de ordinal unu, vectorii respective au doar un singur element, iar în cazul sistemelor de ordin superior cu N>1 ecuaţii — N.

Condiţii iniţiale pentru EDO de ordin superior

Procedurile standard ale Mathcad sunt aplicabile pentru sistemele EDO de ordinul unu, scrise în forma prezentată anterior.

Însă, dacă sistemul include și ecuaţii de ordin superior, el poate fi redus la un sistem de un număr mai mare de ecuaţii de ordinal unu.

Condiţii iniţiale pentru EDO de ordin superior

Vom analiza ca exemplu ecuaţia de ordinal doi a modelului oscilatorului , rezolvată în exemplul precedent.

Dacă notăm , , atunci ecuaţia se va reduce la un sistem echivalent:

;

Portretul de fază al sistemului dinamic

Sisteme dinamice

Modelele, bazate pe problemele Cauchy pentru EDO, deseori sunt numite sisteme dinamice, deoarece ele conţin derivatele de timp și descriu dinamica unor parametri.

Problemele, legate de sistemele dinamice, în realitate sunt destul de diverse și deseori nu se supun integrării obișnuite a EDO.

Spaţiu de fază

Rezolvarea EDO deseori este mai comod de reprezentat nu în forma de grafic , , …, cum este reprezentat în graficul precedent, ci în spaţiu de fază, pe fiecare axă a căruia se depun valorile fiecărei din funcţiile găsite.

La o astfel de reprezentare a graficului argumentul va fi prezent pe el doar parametric.

În cazul analizat a două EDO, spaţiul de fază reprezintă un plan de coordonate, iar soluţia o reprezintă o curbă, sau altfel spus, o traiectorie, care se pornește din punctul caracterizat de condiţiile iniţiale.

Rezolvarea ecuaţiei în spaţiul de fază

Spaţiul de fază este N-dimensional

În caz general, dacă sistemul constă din N EDO, spaţiul de fază este N-dimensional. Pentru 3 acesta nu mai poate fi reprezentat în întregime și se recurge la reprezentarea diferitor proiecţii ale lui sau la alte proceduri speciale (de exemplu reprezentarea Poincaré).

De regulă, rezolvarea problemei Cauchy pentru EDO și sistemele lor este o problemă bine cercetată și din punctul de vedere al rezolvării destul de simplă.

În practică, mai des se întâlnesc altele, mult mai complicate, în particular cercetarea comportării unui sistem dinamic în dependenţă de condiţiile iniţiale.

Atractoare

Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor este necesar doar de studiat doar rezolvarea asimptotică a EDO, adică , numită atractoare.

Este foarte clar că informaţiile pot fi vizualizate într-un plan de fază în mare parte datorită faptului că există doar câteva tipuri de atractori, şi pentru ei este posibil de a construi o clasificare clară.

Atractoare

Pe de o parte, orice rezolvare se va porni de la un punct a cărui coordonate reprezintă condiţiile iniţiale, dar pentru majoritatea EDO familii întregi de traiectorii se vor finaliza în unele și aceleași atractoare (puncte staţionare sau cicluri limită).

Majoritatea soluţiilor, determinate pentru diverse condiţii iniţiale, formează un portret de fază al sistemului dinamic.

Din punctul de vedere al calculului problema studierii portretului de fază, dese ori, se reduc la o simplă scanare a familiilor de soluţii ale EDO pentru diverse condiţii iniţiale.

Dificultăţi la analiza portretelor de fază

Complicarea problemei analizei portretelor de fază este legată de dependenţa lor de parametrii ce sunt incluși în sistemul de EDO.

În particular, la modificarea lentă a parametrului modelului se poate modifica amplasarea atractorului pe planul de fază, la fel pot apărea atractori noi și dispărea cei vechi.

În primul caz, în absenţa unor particularităţi, va avea loc simpla deplasare a atractorilor pe spaţiul de fază (fără modificarea tipului și numărului lor), iar în al doilea caz –portretul de fază se va modifica considerabil.

Combinaţia critică a parametrilor, pentru care portretul de fază al sistemului se modifică calitativ, se numește în teoria sistemelor dinamice bifurcare.

Notă!

Pentru exemplul analizat al modelului oscilatorului armonic există un singur punct staţionar (atractor), spre care tind toate soluţiile pentru orice condiţii iniţiale.

În teoria sistemelor dinamice de acest tip atractorul se numește focus.

Noţiunea de bifurcaţie

Vom explica noţiunea de bifurcaţie utilizând același model al oscilatorului, care depinde de doi parametri (π sau β).

Pentru β>0 există un singur punct staţionar de tip focus, care în punctul de bifurcare β =0 se transformă în punctual centru, caracterizat prin faptul că soluţia EDO reprezintă în sine cicluri efectuate în jurul acestui punct cu amplitudinea care depinde considerabil de condiţiile iniţiale.

Rezolvarea ecuaţiei pentru condiţii iniţiale diferite

Atenţie

Pentru analiza veridică a portretului de fază, practic, în toate cazurile, este nevoie de rezolvat sistemul EDO de mai multe ori cu diverse condiţii iniţiale (și posibil, cu combinaţii diferite a parametrilor modelului), în scopul identificării atractorilor la care tind diverse traiectorii.

Expunerea tipică a problemelor, caracteristice pentru sistemele dinamice

rezolvarea unei probleme Cauchy pentru EDO;

cercetarea portretului de fază (căutarea atractorilor);

determinarea dependenţei amplasării atractorilor în spaţiul de fază de parametrii modelului și fixarea valorilor parametrilor de bifurcare.

Ecuaţie diferenţială de ordinul unu

Modalităţi de rezolvare a EDO de ordinul N

Pentru rezolvarea EDO de ordinul în Mathcadsunt prevăzute două posibilităţi:

blocul de calcul Given/Odesolve — în acest caz soluţia are forma unei funcţii de ;

funcţiile Mathcad de rezolvarea a sistemelor EDO, pentru care este necesar de a reduce preventiv ecuaţiile de ordinul superior la un sistem echivalent al ecuaţiilor de ordinul unu — în acest caz soluţia are forma unui vector.

Modalităţi de rezolvare a EDO de ordinul N

Vom analiza prima din aceste două variante, aplicată pentru un caz general al unui sistem de N ecuaţii.

De menţionat că, prima metodă este preferabil de aplicat în cazurile în care este necesar de prezentat soluţiile într-un mod mai relevant, iar a doua oferă posibilitatea utilizatorului să modifice mai mulţi parametri ale metodei numerice.

Blocul de calcul al EDO, care utilizează metoda numerică Runge – Kurt, constă din trei componente:

Given — cuvântul cheie;

EDO și condiţiile iniţiale sub formă de , introduse cu ajutorul operatorilor logici, care trebuie accesate din panoul de instrumente Boolean;

— funcţia Mathcad pentru rezolvarea EDO în dependenţă de variabila pe intervalul

, pentru care .

Notă

Pentru introducerea EDO în cadrul blocului de calcul există unele restricţii. În primul rând, EDO trebuie să fie lineară în raport cu derivata de ordin superior, adică trebuie să aibă forma standard (forma Cauchy).

În al doilea rând, condiţiile iniţiale trebuie să aibă forma sau , dar nu una mai complexă (cum de exemplu se întâlnesc în unele aplicaţii matematice forma ).

Notă

Se acceptă, iar uneori chiar este preferabil, introducerea funcţiei , , cu trei parametri, unde — parametru intern a metodei numerice, care determină numărul de pași, în care metoda Runge – Kurt va calcula soluţia ecuaţiei diferenţiale.

Cu cât este mai mare parametrul , cu atât mai exact va fi răspunsul, dar, în același timp, mai mult va dura procesul de căutare al acestuia.

Alegerea acestui parametru poate de câteva ori micșora timpul de căutare a soluţiei fără a influenţa exactitatea rezultatului.

Rezultatul aplicării blocului de calcul Given/Odesolve

Rezultatul aplicării blocului de calcul Given/Odesolve reprezintă funcţia y(t), determinate pe porţiunea .

Pentru construirea graficului ei sau obţinerea unor valori în anumite puncte ale intervalului dat se utilizează instrumente obișnuite ale Mathcad, de exemplu: у(10)=0.048.

Rezultatul aplicării blocului de calcul Given/Odesolve

Utilizatorul are posibilitatea alegerii între două modificaţii ale metodei numerice Runge – Kurt.

Pentru alegerea metodei trebuie de făcut click dreapta cu Mouse-ul pe regiune funcţiei Odesolve.

Va apărea meniul de context în care trebuie de ales unul din trei puncte: Fixed (cu pas fix), Adaptive (cu pas adaptiv) sau Stiff (pentru EDO „dure”).

Rezolvarea problemei Cauchy pentru EDO de ordinul doi

Rezolvarea ecuaţiei