Post on 07-Feb-2016
description
PROPRIETĂŢILEDETERMINANŢILOR
11 12 13
1 1 2 2 3 321 22 233
31 32 33
a a a
a a a a a aS
a a a
PROPRIETATEA 1.
det det tA A
P1: Determinantul unei matrici este egal cudeterminantul matricii transpuse adică :
Obs:Acesta propoziţie ne arată că orice proprietatevalabilă pentru linii este valabilă şi pentru coloane.
EXEMPLU
2 6 11 2 2
0 1 1
2 1 06 2 1 11 2 1
PROPRIETATEA 2
P2 :Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-un
determinant sunt nule, atunci determinantul este nul.
EXEMPLU
2 3 10 0 0 02 3 1
0 3 10 2 5 00 3 1
PROPRIETATEA 3
P3:Dacă într-un determinant schimbăm două linii (sau coloane) între
ele, atunci obţinem o un determinant egal cu opusuldeterminantului iniţial.
EXEMPLU
3 5 1det 5 2 5 19
0 5 1A
5 2 5det 3 5 1 19
0 5 1B
În B am schimbat liniile 1 şi 2 din A.
PROPRIETATEA 4
P4:Dacă un determinant are două linii (sau coloane) identice, atuncideterminantul este nul.
EXEMPLU
2 3 11 2 2 0
2 3 1
2 2 11 1 2 0
0 0 1
L1 identică cu L3 C1 identică cu C2
PROPRIETATEA 5
P5:Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-undeterminant sunt înmulţite cu un număr k, atunci obţinem undeterminant care este egal cu k înmulţit cu determinantul iniţial.
EXEMPLU
3 5 1det 0 2 5 6
0 0 1A
3 5 1det 0 8 20 24
0 0 1B
Dacă înmulţim elementele liniei 2 cu 4 obţinem :
Deci det 4 detA B
OBSERVAŢIE
Obs:LA DETERMINANT SE POATE SCOATE FACTOR COMUN NUMAI DEPE O LINIE SAU COLOANĂ DECI DETERMINANTUL CARE RĂMÂNEESTE MAI UŞOR DE CALCULAT.
EXEMPLU
24 16 401 2 2
2 3 1
3 2 58 1 2 2
2 3 1
PROPRIETATEA 6
P6:Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei determinant
sunt proporţionale, atunci determinantul este nul.
EXEMPLU
0131396132
Evident că liniile 1 şi 2 sunt proporţionale deci determinantul va fi nul.
PROPRIETATEA 7
P7:Dacă o linie (sau coloană) dintr-un determinant este o combinatie liniară a celorlalte linii (sau coloane), atunci determinantul este nul.
EXEMPLU
1 2 3det 4 5 6 0
7 8 9A
Observăm că coloana 2 este media aritmetică a coloanei 1 respectiv 3, deci determinantul este nul.
PROPRIETATEA 8
P8:Dacă la o linie (sau coloană) adunăm elementele
altei linii (sau coloane) înmulţite cu acelaşinumăr nenul, atunci determinantul are aceeaşivaloare.
EXEMPLU
1 2
1 2 3det 0 3 1 3
0 0 1
1 2 3 5 2 3det 0 3 1 2 6 3 1 3
0 0 1 0 0 1
A
A c c
PROPRIETATEA 9
P9:
11 1 11 1 11 1
1 1 1 1
1 1
...... ...... ............ ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .......
...... ...... ............ ...... ...... ...... ...... ...... ...
...... ......
n n n
i i in in i in i in
n nn n nn
a a a a a a
a b a b a a b b
a a a a
1
... ...... ............n nnb b
EXEMPLU
131324132
131411122132
2 3 12 1 11 3 1
131412132
REŢINEM
Dacă avem două linii(coloane) egale, atunci determinantul este egal cu zero;
Dacă toate elementele unei linii(coloane)sunt egale cu zero, atunci determinantul este nul;
Dacă o linie(coloană) este o combinaţie liniară a altor două linii(coloane), atunci determinantul este egal cu zero;
Dacă avem două linii(coloane) proporţionale, atunci determinantul este nul;