Post on 06-Jul-2018
8/17/2019 Partea II (1).pdf
1/87
113113
Partea a II-a.
Geometrie diferenţială
8/17/2019 Partea II (1).pdf
2/87
114114
8/17/2019 Partea II (1).pdf
3/87
115115
Capitolul 4.
Geometria diferenţială a curbelor plane
4.1. Reprezentarea curbelor plane
Curbele plane, denumire generică pentru ceea ce unvârf de creion poate imprima în mişcarea sa continuă pe ohârtie, se descriu matematic, exceptând reprezentarea
grafică, prin patru tipuri de ecuaţii: implicit ă , explicit ă , parametrică şi intrinsecă. Fiecare tip de ecuaţie corespundeunui tip (unei metode) de reprezentare (de descriere) acurbei, denumit(ă) la fel ca şi ecuaţia: reprezentare(descriere) implicit ă , reprezentare explicit ă , reprezentare
parametrică şi reprezentare intrinsecă a curbei plane. Dacă F: R 2 R atunci rela ţ ia
F(x, y) = 0 (4.1.1) se spune că reprezint ă analitic o curbă în plan.
Intuitiv, termenul curbă desemnează de obicei omulţime de puncte din plan situate astfel încât să formeze ourmă lăsată pe o hârtie de mişcarea continuă a unui vârf decreion. Prin urmare, nu orice formulă de tipul (4.1.1)reprezintă o curbă.
Prin urmare, o rela ţ ieF(x, y) = 0
8/17/2019 Partea II (1).pdf
4/87
116116reprezint ă analitic o curbă plană dacă func ţ iile
ob ţ inute prin explicitare
y = y(x) sau x = x(y) sunt continue cel pu ţ in pe anumite intervale. Rela ţ ia
F(x, y) = 0,dacă ea reprezint ă o curbă plană , se nume şte ecua ţ iaimplicit ă a curbei.
Rela ţ iile ob ţ inute prin explicitarey = f(x) sau x = g(y) (4.1.2)
se numesc ecua ţ ii explicite ale curbei . Dacă f: D R şi g: D R , D R , sunt func ţ iicontinue ( pe por ţ iuni) atunci sistemul de ecua ţ ii
g(t)y
f(t)x, (4.1.3)
formează ecua ţ iile parametrice ale unei curbe , iar t este parametrul folosit la reprezentarea curbei .
Reprezentarea parametrică a unei curbe plane nu este
unică. O curbă se poate descrie în mai multe feluri, înfuncţie de semnificaţia parametrului folosit pentrureprezentare.
Ecuaţia implicită a unei curbe se obţine din ecuaţiile parametrice eliminând parametrul t între cele două ecuaţiiale curbei.
Având în vedere aceste posibilităţi de reprezentareanalitică a curbelor plane, proprietăţile curbelor vor fi
tratate în funcţie de maniera de reprezentare a curbei.
4.2. Elementul de arc
Fie curba plană (C ) cu ecuaţia implicită F(x, y) = 0,
ecuaţia explicită y = y(x) şi ecuaţiile parametrice
tgy
tf x,
8/17/2019 Partea II (1).pdf
5/87
117117unde y, f, g sunt funcţii reale de argument real, continueşi derivabile. Fie xoy un reper cartezian în plan.
Dacă punctele P(x, y) şi P1(x+dx, y+dy) apar ţincurbei (C ), dx şi dy fiind creşteri ale coordonatelor x şi y,atunci, dacă PQ || ox iar QP1 || oy rezultă că PQ QP1. Dintriunghiul dreptunghic PQP1 obţinem:
||PP1||2 = ||PQ||2 + ||P1Q||
2,ceea ce înseamnă că
||PP1||2 = dx2 + dy2.
Figura 4.2.1
Dacă punctul P1 este foarte apropiat de P, atunci lungimeacoardei PP1 este foarte apropiată de lungimea ds a arculuide curbă ( 1PP ), deci
22 dydxds . (4.2.1)Având în vedere posibilitatea de a interpreta dx şi dy ca
diferenţialele variabilelor x şi y şi că y’ = dxdy
, iar lungimea
unui arc de curbă este s = ds , din (4.2.1) se obţineformula lungimii arcului de curbă delimitat de puncteleA(a, y(a)) şi B(b, y(b)) ca fiind:
yy+dy P1
y P Q
xO x x+dx
8/17/2019 Partea II (1).pdf
6/87
118118
b
a
2
dxdx
dy1s .
Aceasta se poate scrie şi:
b
a
2 dxy'1s . (4.2.2)
Când curba (C ) este reprezentată parametric, notândcu α şi β valorile parametrului t pentru care
a = f(α) şi b = f(β)relaţia (4.2.2) devine, datorită lui (4.2.1),
β
α
22
dttg'tf's . (4.2.3)Am demonstrat astfel următoarea proprietate:Proprietatea 4.2.1. Dacă (C ) este curba plană cu ecua ţ ia
explicit ă y = y(x) şi ecua ţ iile parametrice
tgy
tf x, unde y,
f, g sunt func ţ ii reale de argument real, continue şiderivabile, atunci lungimea s a arcului de curbă delimitat
de punctele A(a, y(a)) şi B(b, y(b)) se calculează prin: b
a
2 dxy'1s ,
iar dacă α şi β sunt valorile parametrului t pentru care a=f(α) şi b = f(β) atunci
β
α
22 dttg'tf's .
Observaţia 4.2.2. Când curba (C ) este parametrizată cu
ajutorul parametrului s, atunci (4.2.1) devine:22
ds
dy
ds
dx1
. (4.2.4)
Considerând ecuaţiile parametrice ale curbei (C ) cu
parametrul s,
sψy
sx , din (4.2.4) rezultă relaţia de
legătur ă între funcţiile φ şi ψ:
8/17/2019 Partea II (1).pdf
7/87
119119 1sψ's' 22 .
(4.2.5)
4.3. Tangenta şi normala la o curbă într-un punctregulat şi într-un punct singular
Fie curba (C ) cu ecuaţia explicită y = f(x) şi P(a, f(a))şi P1(a1, f(a1)) două puncte ale curbei (fig. 4.3.1). Ecuaţiadreptei PP1 este
a x
aa
af af =af y
1
1,
unde raportul
aa
af af
1
1
reprezintă coeficientul unghiular
(panta) al acestei drepte.
Figura 4.3.1.
Luând a1 = a + h obţinem
axh
af h+af =af y
.
y
nt
P P1B /2 t’||t
φ φ2 φ1T O A A1 x
8/17/2019 Partea II (1).pdf
8/87
120120
Dacă h tinde către zero atunci a1 a, deci P1 P, iardreapta PP1 tinde către tangenta t la curba (C ) în punctul P,
dacă această tangentă există. Condiţia de existenţă a acesteitangente este existenţa limitei
h
af h+af .
Această limită, dacă există, reprezintă derivata funcţiei f în punctul a, f’(a). Prin urmare, am demonstrat următoarea proprietate:Proprietatea 4.3.1. Dacă func ţ ia f este derivabil ă în
punctul a, curba (C ) admite tangent ă în punctul P(a, f(a)) şiecua ţ ia acestei tangente este:y – f(a) = f’(a)(x – a). (4.3.1)
Dacă notăm cu φ unghiul pe care tangenta la curbă (4.3.1) îl face cu axa absciselor (cu semiaxa pozitivă),atunci se observă, prin trecere la limită, din triunghiuldreptunghic TAP (fig. 4.3.1), că
tg φ = f’(a). (4.3.2)
Proprietatea 4.3.2. Dacă ecua ţ ia curbei (C ) este sub forma explicit ă x = g(y), iar func ţ ia g este derivabil ă în punctul b atunci ecua ţ ia tangentei la curbă într-un punct Q(g(b), b) este dat ă de
x – g(b) = g’(b)(y – b). (4.3.3)Dacă în (4.3.1) f’(a) = 0 atunci tangenta la curbă este
paralelă cu axa absciselor. Dacă în (4.3.3) g’(b) = 0 atuncitangenta la curbă este paralelă cu axa ordonatelor. Dacă
f’(a) = 0 atunci în aplicaţii este posibil ca punctul a să fie punct de extremum sau punct de inflexiune al curbei deecuaţie y = f(x). La fel pentru curba x = g(y), atunci cândg’(b) = 0.
Dacă în (4.3.1) derivata funcţiei f este infinită atuncitangenta la graficul funcţiei în punctul P este paralelă cuaxa ordonatelor şi în acest caz este mai concludentă folosirea ecuaţiei tangentei sub forma (4.3.3).
8/17/2019 Partea II (1).pdf
9/87
121121Definiţia 4.3.3. Numim normal ă la o curbă într-un
punct al curbei dreapta care trece prin acel punct şi este
perpendicular ă pe tangenta în acel punct la curbă.Având în vedere faptul că dacă două drepte sunt perpendiculare atunci ele au pantele inverse şi de semn
opus (aceasta rezultă întrucât dacă 2
π=12 şi
21
1212 tgtg1
tgtgtg
+=
este infinită deoarece
0tgtg1 21 =+ , rezultă 2
1 tg
1tg
= sau
1
2 tg
1tg
= )
obţinem ecua ţ ia normalei la curbă în punctul P sub forma
y – f(a) = af'1
(x – a). (4.3.4)
sau ecua ţ ia normalei în punctul Q sub forma
x – g(b) = bg'1
(y – b). (4.3.5)
În cazul în care curba (C ) este reprezentată implicit prin ecuaţia F(x, y) = 0, iar A(x0, y0) este un punct al curbei
în care F este derivabilă par ţial în raport cu fiecare dintreargumente, atunci notând prin
'xF şi
'yF derivatele par ţiale
ale fucţiei F în raport cu x şi y, considerând pe y ca funcţiede x, obţinem
0y'yx,Fyx,F 'y'x .
De aici deducem că
yx,F
yx,Fy'
'y
'x .
Înlocuind aceasta în (4.3.1) pentru a scrie ecuaţia tangenteila (C ) în punctul A obţinem
0
00'y
00'x
0 xxy,xF
y,xFyy ,
ceea ce revine la:Proprietatea 4.3.4. Dacă ecua ţ ia curbei (C ) esteimplicit ă sub forma F(x, y) = 0, iar func ţ ia F este
8/17/2019 Partea II (1).pdf
10/87
122122derivabil ă par ţ ial în raport cu x şi y în punctul A(x0, y0)
atunci ecua ţ ia tangentei la curbă în A este dat ă de:
0y,xFyyxxy,xF 00'
y0000
'
x . (4.3.6)Observaţia 4.3.5. Dacă 0y,xF 00
'y şi 0y,xF 00
'x atunci
tangenta este paralelă cu axa Oy. Dacă 0y,xF 00'x şi
0y,xF 00'y atunci tangenta este paralelă cu axa Ox.
Ţinând cont de relaţia dintre panta tangentei şi cea anormalei la curbă în punctul A, obţinem panta normalei în
punctul A la curbă :
yx,F
yx,F
y'1m 'x
'
y .
Figura 4.3.2.Proprietatea 4.3.6. Dacă ecua ţ ia curbei (C ) esteimplicit ă sub forma F(x, y) = 0, iar func ţ ia F estederivabil ă par ţ ial în raport cu x şi y în punctul A(x0, y0)atunci ecua ţ ia normalei la curbă în A este dat ă de:
0y,xFyyxxy,xF 00'x0000
'y . (4.3.7)
y
(C )t
ny0 A
ρ M(x,y)
O x0 x
8/17/2019 Partea II (1).pdf
11/87
123123Observaţia 4.3.7. Cosinusurile directoare ale normaleiîn A la curba (C ) se calculează prin :
200'y
2
00'x
00'x
y,xFy,xFy,xFcosα
;
200'y2
00'x
00'y
y,xFy,xF
y,xFcosβ
.
Reprezentarea parametrică a normalei în A la curba (C )este :
ρcosβyy
ρcosαxx
0
0
,
unde parametrul ρ reprezint ă distan ţ a de la un punctcurent M(x, y) de pe normal ă la punctul A(x0, y0) (vezifigura 4.3.2).
Figura 4.3.3
y
t (C )
n N
D A(x0,y0)
O B M x
8/17/2019 Partea II (1).pdf
12/87
124124Definiţia 4.3.8. Numim punct singular al curbei (C ), de
ecua ţ ie implicit ă sub forma F(x, y) = 0, un punct A(x0, y0)
pentru care au loc simultan condi ţ iile: 0y,xF 00 , 0y,xF 00'x şi 0y,xF 00
'y .
Punctele care nu sunt singulare se numesc puncte regulate.Dacă punctul A este singular atunci ecuaţiile (4.3.6)
şi (4.3.7) sunt nedeterminate. În general, prin astfel de puncte trec mai multe ramuri ale curbei şi deci există maimulte tangente şi normale. Nedeterminatea existentă într-un
punct singular se nummeşte aparent ă dacă ea poate fi
eliminată printr-o parametrizare convenabilă a curbei.Dacă vom considera punctele B(x0, 0), D(0, y0) şi
notăm cu N punctul de intersecţie al normalei în A la curba(C ) cu axa oy, iar cu M punctul de intersecţie al normalei înA la curba (C ) cu axa ox (vezi figura 4.3.3), atunciobservăm că DN = pr oyAN şi BM = pr oxAM.
Conform celor demonstrate anterior, se obţine, prinintersecţia cu axele de coordonate a normalei la (C ) în A:
,0y,xF
y,xFyy,xFxM00
'y
00'x000'y0,
00'x
00'y000
'x0
y,xF
y,xFxy,xFy0, N .
În acest caz,
00
'
y
00'x0
0My,xF
y,xFyxxBM ,
00'x
00'y0
0 Ny,xF
y,xFxyyDN .
Segmentele DN şi BM se numesc subnormalele curbei (C ) în punctul A referitoare la axele de coordonate.
Atunci când curba (C ) este reprezentată explicit prinecuaţia y = f(x), o formă a sa implicită este y – f(x) = 0. Înacest caz F(x, y) = y – f(x), deci în punctul A(x0, y0) avem
8/17/2019 Partea II (1).pdf
13/87
125125
y0 = f(x0), 000'x xf'y,xF şi 1y,xF 00
'y .
Subnormalele curbei (C ) în punctul A referitoare la axele
de coordonate devin 000M xf'xf xxBM ,
00
0 N xf'
xyyDN .
Analog se definesc şi se calculează lungimile subtangentelor curbei (C ) în punctul A referitoare la axelede coordonate.
Când curba (C ) se reprezintă parametric prin
tyytxx
şi dacă t0 este valoarea parametrului t astfel încât x0 = x(t0),iar y0 = y(t0), atunci ecuaţia tangentei în A(x0, y0) la curbă este
00
0
0
ty'
yy
tx'
xx
.
Ecuaţia normalei în A(x0, y0) la curbă devine:
00
0
0
tx'
yy
ty'
xx
.
Derivările, în acest caz, se fac în raport cu t. Aceste formulese obţin ţinând cont că
't
't
't
'x
x
y
x
1y'
dx
dt
dt
dy
dx
dyy ,
apoi se înlocuieşte în (4.3.1) şi (4.3.4).
4.4. Contactul a două curbe plane
Consider ăm curba (C 1) reprezentată prin ecuaţiaF(x, y) = 0
şi curba (C 2) reprezentată prin ecuaţia
8/17/2019 Partea II (1).pdf
14/87
126126G(x, y) = 0.
Pentru a determina coordonatele punctelor de intersecţie ale
celor două curbe rezolvăm sistemul de ecuaţii rezultat dincondiţia ca aceste coordonate să verifice ambele ecuaţii,deci:
0yx,G
0yx,F. (4.4.1)
Dacă sistemul (4.4.1) nu are soluţie reală atunci curbele(C 1) şi (C 2) nu se intersectează.Definiţia 4.4.1. Două curbe plane au un contact de ordinul
n într-un punct P(x0, y0) dacă ele au în acel punct în comunn+1 puncte confundate.
De exemplu, un punct P(x0, y0) este contact deordinul zero a două curbe dacă P este punct de intersecţie alacestora f ăr ă a fi punct de tangenţă.
Un punct P(x0, y0) este contact de ordinul 1 a două curbe dacă P este punct de tangenţă al acestora, deci (x0, y0)este r ădăcină dublă a sistemului (4.4.1).
Faptul că un punct P(x0, y0) este contact de ordinul na două curbe înseamnă că (x0, y0) este soluţie multiplă deordinul n+1 a sistemului (4.4.1).Definiţia 4.4.2. Dacă (C ) este o curbă plană şi A(x0, y0)este un punct al său, curba (C’ ) se nume şte curbă osculatoare în punctul A la (C ) dacă are în punctul A uncontact de ordinal 2 cu curba (C ). În acest caz, curbele (C ) şi (C’ ) se numesc curbe osculatoare în punctul A.
Prin urmare, dacă (C ) şi (C’ ) sunt curbe osculatoareîn punctul A(x0, y0) atunci (x0, y0) este soluţie multiplă deordinul 3 a sistemului (4.4.1) format cu ecuaţiile celor două curbe.
8/17/2019 Partea II (1).pdf
15/87
127127
4.5. Cerc osculator
Printre curbele osculatoare, un rol important îl arecercul osculator.
Figura 4.5.1.
Definiţia 4.5.1. Dacă (C ) este o curbă şi A un punct al ei,numim cerc osculator la curba (C ) în punctul A cercul careare un contact de ordinul 2 cu curba (C ) în punctul A (vezi
figura 4.5.1).Pentru a determina ecuaţia cercului osculator lacurba (C ) într-un punct A(x0, y0), vom determina centrulacestui cerc, C(a, b), împreună cu raza sa, R. Consider ămcurba (C ) reprezentată explicit prin ecuaţia y = f(x). Cerculcu centru C(a, b) are ecuaţia
x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0, (4.5.1)unde
y
(C )
C(a,b)
Ay0
R
O x0 x
8/17/2019 Partea II (1).pdf
16/87
128128R 2 = a2 + b2 – c.
(4.5.2)
Sistemul:
0c2by2axyx
xf y22 (4.5.3)
are soluţia triplă (x0, y0), deoarece punctul A trebuie să fiecontact de ordinul 2 între cerc şi curbă. Prin urmare, ecuaţiaobţinută substituind y în a doua ecuaţie din (4.5.3):
x2 + f 2(x) – 2ax – 2bf(x) + c = 0are r ădăcina triplă x0. Aceasta înseamnă că, în acest punct,
atât membrul stâng al ecuaţiei cât şi primele sale două derivate sunt 0. Obţinem astfel, prin două derivărisuccesive în punctul x0, sistemul cu necunoscutele a, b, c:
0x bf"xf"xf xf'1
0x bf'axf'xf x
0cx2bf 2axxf x
00002
0000
00022
0
(4.5.4)
Din cea de-a treia ecuaţie rezultă
00
2
0 xf"
xf'1xf b (4.5.5)
Înlocuind (4.5.5) în a doua ecuaţie din sistemul (4.5.4) şiexplicitând pe a se obţine
00
2
00 xf"
xf'1xf'xa
. (4.5.6)
Substituind pe a şi b în prima ecuaţie din (4.5.4) şiexplicitând coeficientul c, obţinem
00
2000
022
0 xf"
]xf'1][xf'xxf [2xf xc
(4.5.7)
Din (4.5.5), (4.5.6) şi (4.5.7), prin înlocuire în (4.5.2)deducem
R 2 = a2 + b2 – c .
8/17/2019 Partea II (1).pdf
17/87
129129După înlocuirea formulelor anterioare, reducereatermenilor asemenea şi efectuarea calculelor necesare
găsim
02
3
02
2
xf"
xf'1R
. (4.5.8)
Aceasta înseamnă că
0
2
3
02
xf"
xf'1R
.
Proprietatea 4.5.2. Dacă not ămy0 = f(x0), 0
'o xf'y şi 0
" f' x= yo ,centrul cercului osculator în punctul A(x0, y0) la curba (C )are coordonatele
"0
2'0'
00
1
y
y y xa ,
(4.5.9)
"0
2'0
0
1
y
y yb
iar raza R este egal ă cu
"0
2
32'
0 ]1[
y
y R
. (4.5.10)
Fie curba (C ) dată prin ecuaţiile parametrice
tyytxx
.
În punctul A(x0, y0), corespunzător valorii t0 a parametruluit, coordonatele centrului cercului osculator (4.5.9) şi raza(4.5.10) devin:
8/17/2019 Partea II (1).pdf
18/87
130130
0000
02
02
00
0000
02
02
00
ty'tx"ty"tx'
ty'tx'tx'ty b
ty'tx"ty"tx'
ty'tx'ty'txa
, (4.5.11)
00000
2
3
02
02
tx'ty'tx"ty"tx'
ty'tx'R
. (4.5.12)
4.6. Curbura curbelor plane
Având în vedere observaţia că un cerc este cu atâtmai curbat cu cât raza sa este mai mică, iar între cerculosculator şi curbă există o legătur ă intimă (în sensul că ocurbă „se modelează” după cercul său osculator într-un
punct al său), această legătur ă poate constitui ocaracteristică a gradului curburii curbei.
Figura 4.6.1
y
Δτ P2
Δs
P1 Δτ
τ1 τ2O x
8/17/2019 Partea II (1).pdf
19/87
131131Definiţia 4.6.1. Centrul cercului osculator al curbei (C )în punctul A se nume şte centrul de curbur ă al curbei (C ) în
punctul A.Definiţia 4.6.2. Raza cercului osculator al curbei (C ) în punctul A se nume şte raza de curbur ă a curbei (C ) în punctul A.Definiţia 4.6.3. Numărul
R
1k , (4.6.1)
unde R este raza de curbur ă a curbei (C ) în punctul A, se
nume şte curbura curbei (C ) în punctul A.De fapt, curbura unei curbe se caracterizează prinvariaţia unghiului τ dintre două tangente „consecutive” lacurbă (vezi figura 4.6.1). Curbura k este cu atât mai mică cu cât por ţiunea de arc Δs necesar ă pentru modificarea Δτ aunghiului direcţiilor tangente este mai mare.
Prin urmare curbura se poate defini prin variaţiaacestui unghi în funcţie de lungimea arcului
ds
dτ
Δs
Δτ
limk 0Δs .Cercul osculator al curbei (C ) în punctul A se
numeşte şi cercul de curbur ă al curbei (C ) în punctul A,având în punctul de contact aceeaşi curbur ă ca şi (C ).Definiţia 4.6.4. O ecua ţ ie de forma R = f(s) se nume şteecua ţ ie intrinsecă a curbei.
Se observă că ecuaţia intrinsecă a curbei, stabilindlegea de variaţie a razei de curbur ă în funcţie de lungimeaarcului de curbă, ofer ă o descriere a curbei „din interior”,f ăr ă raportarea acesteia la vreun reper extern.
4.7. Înf ăşurătoarea unei familii de curbe plane
Fie o ecuaţie de formaF(x, y, λ ) = 0, (4.7.1)
8/17/2019 Partea II (1).pdf
20/87
132132
unde R este un parametru, astfel încât pentru fiecarevaloare fixată a lui se obţine ecuaţia unei curbe plane. Se
spune că o astfel de ecuaţie reprezintă o familie de curbe plane. Fiecare membru al familiei este o curbă, care se poate obţine prin particularizarea parametrului . Desprefamilia de curbe (4.7.1) se spune că depinde de un
parametru.Să consider ăm acum o ecuaţie de forma
F(x, y, λ , μ) = 0, (4.7.2)unde , μ R sunt parametri, astfel încât pentru fiecare
pereche de valori fixate ale parametrilor, (, μ) R 2, seobţine ecuaţia unei curbe plane. Se spune că familia decurbe (4.7.2) depinde de 2 parametri. Particularizând numaiunul dintre cei doi parametri, sau μ, ecuaţia (4.7.2) devinede tip (4.7.1), adică se obţine o familie de curbe depinzândde un singur parametru.
Să consider ăm familia de curbeF(x, y, λ ) = 0, (4.7.3)
şi să aplicăm o creştere dλ a parametrului λ . Obţinem ocurbă „apropiată” de curba dată,
F(x, y, λ + dλ ) = 0. (4.7.4)Punctele de intersecţie ale curbelor (4.7.3) şi (4.7.4) suntsoluţii ale sistemului de ecuaţii
0dλ
λ y,x,Fdλ λ y,x,F0λ y,x,F
. (4.7.5)
Dacă funcţia F este derivabilă în raport cu parametrul λ atunci, pentru dλ tinzând la 0, sistemul (4.7.5) devine:
.
0λ y,x,F
0λ y,x,F'
(4.7.6)
Acest sistem ne dă punctele de intersecţie dintre două curbeinfinit apropiate din familia (4.7.3).
8/17/2019 Partea II (1).pdf
21/87
133133Definiţia 4.7.1. Locul geometric al punctelor deintersec ţ ie dintre două curbe infinit apropiate dintr-o
familie de curbe se nume şte înf ăşur ătoarea familiei decurbe.Înf ăşur ătoarea unei familii de curbe se obţine
eliminând parametrul λ între ecuaţiile sistemului (4.7.6).În cazul unei familii de curbe depinzând de doi
parametri,f(x, y, λ , μ) = 0, (4.7.7)
legaţi prin relaţia g(λ , μ) = 0, înf ăşur ătoarea se obţine prin
eliminarea parametrilor între ecuaţiile sistemului:
0μλ ,D
gf,D0μλ ,g
0μλ ,y,x,f
, (4.7.8)
unde 'μ
'λ
'μ
'λ
gg
f f
μλ ,D
gf,D .
4.8. Evoluta unei curbe plane
Fie (C ) o curbă plană.Definiţia 4.8.1. Evoluta unei curbe plane este locul
geometric al centrelor ei de curbur ă.Presupunem că reprezentăm curba (C ) explicit prin
ecuaţia y = y(x). Formulele (4.5.2) permit să deducemurmătoarea proprietate:Proprietatea 4.8.2. Dacă A(x, y) este un punct curent alcurbei şi C(X, Y) este centrul de curbur ă al curbei în
punctul A (vezi figura .8.1), avem
8/17/2019 Partea II (1).pdf
22/87
134134
y'x"y"x'
y'x'y'xX
22
(4.8.1)
y'x"y"x'
y'x'x'yY
22
unde derivatele y’ şi y” sunt calculate în punctul x.
Figura 4.8.1.
Sistemul de ecuaţii (4.8.1) reprezintă ecuaţiile parametrice ale evolutei curbei (C ), parametrul fiind x.
Eliminând x între ecuaţiile (4.8.1) obţinem ecuaţiaimplicită, eventual ecuaţia explicită, a evolutei curbei date.Când curba este dată parametric prin
tyy
txx
atunci, cu notaţiile de mai sus, ecuaţiile evolutei sunt
y
(C )
evoluta
C(X,Y)y
A
O x x
8/17/2019 Partea II (1).pdf
23/87
135135
y'y"-x"x'y'x'x'yY
y'y"-x"x'
y'x'y'xX
22
22
. (4.8.2)
Derivatele din (4.8.2) sunt calculate în raport cu parametrult. Se folosesc, pentru deducerea ecuaţiilor (4.8.2), ecuaţiile(4.5.11) şi (4.5.12).
4.9. Evolventă a unei curbe plane
Evolventa unei curbe se mai întâlneşte şi sub numelede curbă desf ăşur ătoare. Aceasta deoarece, intuitiv,evolventa se descrie astfel: presupunem că de-a lungul uneicurbe este aşezat un fir inextensibil.
Dacă se fixează acest fir într-un punct A pe curbă şise lasă firul liber, atunci un alt punct B al curbei va descrie,în mişcarea prin care se va elibera, o altă curbă, care senumeşte evolvent ă a curbei ini ţ iale (vezi figura 4.9.1).
Figura 4.9.1.
evolventă
AB
B B
(C )
8/17/2019 Partea II (1).pdf
24/87
136136Deoarece fiecare punct descrie câte o evolventă, rezultă
că fiecare curbă admite o familie de evolvente.
Pe de altă parte, tangentele la curbă în punctul B sunt perpendiculare pe tangentele la evolventă în acel punct.Astfel, au loc proprietăţile:Proprietatea 4.9.1. Evolventele unei curbe plane sunttraiectorii ortogonale tangentelor acestei curbe.Proprietatea 4.9.2. Orice curbă este evoluta evolventelor
sale.Proprietatea 4.9.3. Orice curbă este una dintre evolventele
evolutei ei.Dacă reprezentăm curba (C ) parametric, alegânddrept parametru lungimea s a arcului de curbă:
syy
sxx (4.9.1)
obţinem ecuaţiile evolventelor prin
's
's
ysλ yY
xsλ xX (4.9.2)
unde R este arbitrar.
4.10. Curbe date în coordonate polare
Fie O un punct în plan, numit pol , şi o semidreaptă
Ox, numită axă polar ă. Dacă M este un punct din planatunci lungimea segmentului OM (vezi figura 4.10.1),OMr , se numeşte raza vectoare a punctului M, iar
măsura θ a unghiului (xOM), măsurat în senstrigonometric, se numeşte anomalia punctului M. Poziţia
punctului M este complet determinată de perechea (r, θ) şide aceea aceste numere formează coordonatele polare ale
punctului M. Fiecărei perechi de numere (r, θ) îi
8/17/2019 Partea II (1).pdf
25/87
137137corespunde un singur punct din plan. Reciproc nu esteadevărat datorită faptului că punctului M îi corespunde
mulţimea tuturor perechilor de coordonate polare (r,θ+2k π), k Z. De aceea vom considera, în cele ceurmează, acolo unde acest lucru este suficient, unghiuri θ [0, 2π[.
Figura 4.10.1.
Pentru a studia relaţia dintre sistemul de coordonatecarteziene şi sistemul de coordonate polare, suprapunemcele două sisteme. Astfel, în sistemul de coordonatecarteziene xOy, vom alege originea O drept pol şi axaabsciselor Ox drept axă polar ă (vezi figura 4.10.2). Atunciun punct M din plan va fi precizat atât prin coordonatelecarteziene (x, y) cât şi prin coordonatele polare (r, θ).
Fie M’ = pr OxM şi M” = pr OyM. În triunghiuldreptunghic OMM’, cu unghiul drept (OM’M), au locrelaţiile:
sin θr y
cos θr x (4.10.1)
Relaţiile (4.10.1) reprezintă formulele de transformare acoordonatelor polare în coordonate carteziene.
Transformarea inversă , a coordonatelor cartezieneîn coordonate polare, se face tot prin raţionamentgeometric în triunghiul OMM’. Din teorema lui Pitagora,
M
r
θ O x
8/17/2019 Partea II (1).pdf
26/87
138138222
MM'OM'OM (4.10.2)rezultă că r 2 = x2 + y2 şi, prin urmare
22
yxr . (4.10.3)
Figura 4.10.2.
De asemenea, pentru a determina anomalia punctului M,folosind coordonatele carteziene ale acestui punct, vomfolosi definiţia funcţiilor trigonometrice în triunghiuldreptunghic OMM’:
x
ytgθ
yx
y
r
ysinθ
yx
x
r
xcosθ
22
22
(4.10.4)
Dacă un unghi 0 verifică ecuaţiile (4.10.4) atunci rezultă
că orice unghi = 0 + 2k , k Z, verifică aceste ecuaţii.O curbă se poate reprezenta şi în coordonate polare printr-o ecuaţie explicită,
r = f(),implicită,
F(r, ) = 0,sau parametrică,
yM”(0, y) M
r
θ
O M’(x, 0) x
8/17/2019 Partea II (1).pdf
27/87
139139
.tθθ
tr r
Exemplul 4.10.1. În ecuaţia carteziană generală a uneidrepte
Ax + By + C = 0înlocuind x şi y cu (4.10.1) obţinem
0CsinθBr cosθAr şi deci
sin θC
Bcos θ
C
A
r
1 .
De aici, notândC
B b,
C
Aa ,
obţinem ecua ţ ia dreptei în coordonate polare
bsin θacos θr
1 .
Exemplul 4.10.2. Cu aceeaşi transformare, ecua ţ ia cerculuix2 + y2 – R 2 = 0
devine în coordonate polare
[0,2 π0,θ
R r
Tangenta la o curbă. Notând cu unghiul dintre tangentala curba (C ) în punctul M(r, ) şi dreapta OM (vezi figura4.10.3), avem
r'
r tg ,
unde r’ este derivata lui r în raport cu .
Punctul O este punct singular pentru coordonatele polare deoarece unghiul este nedeterminat pentru O, iarraza r = 0. Unghiul dintre o tangentă la o curbă în pol estetocmai anomalia acestei tangente.Elementul de arc. Din (4.10.1) se obţine
dθrcos θdr θsindy
dθrsin θdr cosθdx
şi atunci
8/17/2019 Partea II (1).pdf
28/87
140140 22222222 dθθsinr dr θcosdydxds
.dθr dr dθdr sinθ2rcos θdθθcosr dr θsindθdr sinθ2rcos θ
222
22222
Figura 4.10.3.
Dacă reprezentăm curba în coordonate polare prin r = r(),împăr ţind relaţia de mai sus prin d2, găsim
222
r dθ
dr
dθ
ds
şi deci22 r'r s' (4.10.5)
sau următoarea expresie a elementului de arc în coordonate polare:
2
1
θ
θ
22 dθr'r s (4.10.6)
Curbura. Printr-un calcul similar se obţineR
1k , deci
|)'/()"'2(| 23
2222 r r rr r r k . (4.10.7)
Ecuaţia tangentei la curbă în punctul A(r 0, 0) este
y
M(r,)
r
θ O x
8/17/2019 Partea II (1).pdf
29/87
141141
00
00
0
θθsinr
θr'θθcos
r
1
r
1 . (4.10.8)
Ecuaţia normalei la curbă în punctul A(r 0, 0) este 0
00
0
θθsinr
1θθcos
r
1
r
1 . (4.10.9)
4.11. Probleme propuse
1. Găsiţi o reprezentare trigonometrică a elipsei01
49
22
y x
.
2. Ar ătaţi că ecuaţiile parametrice
2
2
2
1
21
1
t
t b y
t
t a x
reprezintă o
elipsă.
3. Ar ătaţi că ecuaţiile parametrice
t t
b y
t t a x
1
2
12
reprezintă o
hiperbolă.4. Ar ătaţi că ecuaţiile în coordonate polare cos2r şi
sin2r reprezintă cercuri.
5. Ar ătaţi că ecuaţiile în coordonate polare
cos
a
şi
sin
a reprezintă o dreaptă.
6. Scrieţi ecuaţiile tangentelor la curba
43
223
2
t t y
t t x, care
sunt paralele cu dreapta 3x – y + 3 = 0.
8/17/2019 Partea II (1).pdf
30/87
142142
7. Scrieţi ecuaţia normalei la curba
3
4
t y
t x, care trece
prin punctul A
0,
47 .
8. Calculaţi lungimea arcului curbei de ecuaţie y = ach a x
între două puncte x1 şi x2, arbitrare.9. Calculaţi lungimea arcului curbei de ecuaţii
t a y
t t
tg a x
sin
cos2
ln
între două puncte x1 şi x2, arbitrare.10. Calculaţi curbura curbei x3 – y3 + 4xy = 0 în punctulM(2, -2).11. Calculaţi raza de curbur ă a curbei x3 + y3 = 12xy înoriginea reperului cartezian.12. Determinaţi ordinul de contact al curbelor de ecuaţii
(C1): y = x3 şi (C2): y = xsin
2x.
13. Determinaţi ordinul de contact al curbelor de ecuaţii(C1): y = ln(1+x) şi (C2): y = 1 x
x.
14. Scrieţi ecuaţia cercului osculator al curbei (C):
t y
t x
2cos
sin în punctul pentru 6
t .
15. Determinaţi ecuaţia parabolei y = x2 + ax + b, care esteosculatoare pentru cercul x2 + y2 = 2 în punctul M(1, 1).
16. Scrieţi înf ăşur ătoarea familiei de curbe(x – 2a)2 + y2 = 2a2.17. Scrieţi ecuaţia evolutei curbei y = ln x.
18. Scrieţi ecuaţia evolutei curbei
t y
t t
tg x
sin
cos2
ln.
19. Scrieţi ecuaţia evolventei curbei y =4
2 x.
8/17/2019 Partea II (1).pdf
31/87
143143
20. Scrieţi ecuaţia evolventei curbei
t a y
t t a x
cos1
sin.
8/17/2019 Partea II (1).pdf
32/87
144144
Capitolul 5.
Geometria diferenţială a curbelor strâmbe
5.1. Coordonate cilindrice în spaţiu
Fie spaţiul R 3 şi P un punct din spaţiu. Poziţia punctului P s-a stabilit în raport cu un reper cartezian Oxyzîn spaţiu, P(x, y, z), dar se poate stabili şi în alte sisteme decoordonate. Reamintim că un reper cartezian raportează spaţiul la un punct origine, O (vezi figura 5.1.1 şi
paragraful 2.1), în care se intersectează trei axe ale
numerelor perpendiculare două câte două:Ox OyOzOx.
Figura 5.1.1.
z
z
P(x,y,z)
Oy y
xx
8/17/2019 Partea II (1).pdf
33/87
145145Coordonata pe fiecare dintre axe a proiecţiei unui punctP din spaţiu pe axa dată se numeşte coordonata punctului P
după axa respectivă.
Figura 5.1.2.
Fie un plan fix , un punct O în planul şi osemidreaptă, Oa, cu originea în O (vezi figura 5.1.2.). În planul consider ăm sistemul de coordonate polare (r, φ),determinat de alegerea punctului O ca origine şi asemidreptei Oa ca axă polar ă.
Punctul P se proiectează pe planul în punctul P’,având în acest plan coordonatele polare (r, φ). Notând cu zdistanţa de la P la P’, convenind că pentru punctele dintr-un
semiplan atribuim acestui număr semnul +, iar pentru celedin semiplanul opus semnul –, poziţia punctului P estecomplet determinată de tripletul (r, φ, z). Tripletul (r, φ, z)astfel definit formează coordonatele cilindrice ale
punctului P.Se observă că oricare ar fi tripletul de numere reale
(r, φ, z) există un singur punct P din spaţiu, P(r, φ, z).Reciproc nu este adevărat, deoarece un punct P din spaţiu
P
O
φ ra P’
8/17/2019 Partea II (1).pdf
34/87
146146
este descris de oricare triplet de forma (r, φ+2k , z), cuk Z. Din acest motiv se convine ca r 0, [0,2[, zR .
Sistemul de ecuaţii
R z
0,2 π
constantr
(5.1.1)
descrie un cilindru de rotaţie de rază r (figura 5.1.3). Acestaeste motivul pentru care sistemul de coordonate (r, φ, z) senumeşte „cilindrice”: fiecare punct M (sau P în figura5.1.3) se obţine prin intersecţie dintre un cilindru de rotaţie
(C), un plan (β) în care se află cercul cilindrului care trece prin acel punct şi un plan α (respectiv α1 în cazul punctuluiP din figura 5.1.3) care conţine axa de rotaţie a cilindruluişi acel punct, adică M=C (sau P=C11)(vezi figura 5.1.3).
α1 (C)β1 P
O r Mβ
α
Figura 5.1.3.
Suprapunerea de sisteme de coordonate va duce lastabilirea manierei de trecere de la coordonatele cilindricela coordonatele carteziene şi invers. Această suprapunere se
8/17/2019 Partea II (1).pdf
35/87
147147face astfel: alegem punctul O drept originea reperuluicartezian, semidreapta Oa fiind semidreapta pozitivă Ox a
absciselor, Oy , OxOy şi Oz astfel încât triedrulOxyz să fie direct orientat (vezi figura 5.1.4).Atunci, formulele de transformare a coordonatelor
cilindrice în coordonate carteziene sunt:
zz
rsiny
rcosx
(5.1.2)
Transformarea inversă, din coordonate carteziene în
coordonate cilindrice se face prin:
zzr
ysin
r
xcos
yxr 22
(5.1.3)
Figura 5.1.4.
z
P2
P(x,y,z)z
zOx φ y
P1 y P’x
8/17/2019 Partea II (1).pdf
36/87
148148
5.2. Coordonate sferice
Fie un plan , un punct O, o semidreaptă Oa cu originea în punctual O, o altă semidreaptă cu aceeaşiorigine, Ob (vezi figura 5.2.1). Dacă PR 3 atunci notăm
OPr , lungime numită rază vectoare, şi mai notăm P’ = pr P şi AOP'μ măsurat în sens trigonometric, iar
PObμθ .Definiţia 5.2.1. Tripletul (r, , ) se nume şte coordonatele
sferice ale punctului P (sau coordonatele polare în spa ţ iuale punctului P).Pentru
π][0,θ
0,2 π
constantr
(5.2.1)
se obţine o sfer ă (S) cu centrul 0 şi raza r.
Figura 5.2.1.
Poziţia punctului P este determinată de intersecţiaacestei sfere cu două plane: (Ob, OP) şi planul
bP
r
θ O
φ
a P’
8/17/2019 Partea II (1).pdf
37/87
149149 perpendicular pe Ob, care trece prin punctul P (vezifigura 5.2.2).
Unghiul φ se nume şte longitudinea punctului P, iarunghiul θ se nume şte colatitudinea punctului P. Prinurmare, un sistem de coordonate sferice este dat precizândraza vectoare r 0, longitudinea [0, 2[ şi
colatitudinea [0, ]. Unghiul θ2
πλ se nume şte
latitudinea punctului P.Suprapunerea de sisteme de coordonate va duce la
stabilirea manierei de trecere de la coordonatele sferice lacoordonatele carteziene şi invers. Această suprapunere seface astfel: alegem punctul O drept originea reperuluicartezian, semidreapta Oa fiind semidreapta pozitivă Ox aabsciselor, semidreapta Ob fiind semidreapta pozitivă Oz,iar Oy, cu OxOy şi OzOy, fiind astfel încât triedrulOxyz să fie direct orientat (vezi figura 5.2.3).
Figura 5.2.2.
Din triunghiul OP’P1, dreptunghic în P1, se obţine:
sinOP'y
cosOP'x.
b(Ob,OP)
P
a
r
O
8/17/2019 Partea II (1).pdf
38/87
150150Din triunghiul OPP’, dreptunghic în P’, se obţine:
θ2
πrsinPP'
θ
2
πrcosOP'
, deci rezultă că:
rcos θZ
rsin θOP'.
Atunci, formulele de transformare a coordonatelor sferice în coordonate carteziene sunt:
rcos θzsinrsin θy
cosrsin θx
(5.2.2)
Figura 5.2.3.
Transformarea inversă, din coordonate carteziene încoordonate sferice, se face observând din triunghiul OPP’că r 2 = z2 +OP’2, iar din triunghiul dreptunghic OP1P că OP’2 = x2 + y2. deci:
222 z y xr , (5.2.3)
z
P3P(x,y,z)
z r zO θ P2 x φ y
P1 y P’x
8/17/2019 Partea II (1).pdf
39/87
151151
r
zcos θ ,
de unde rezultă 222
cos z y x
z
. (5.2.4)
De asemenea, aplicând teorema lui Pitagora în acelaşitriunghi, avem 2222' y x zr OP şi atunci, dintriunghiul OP1P’, obţinem:
x
ytg
yxysin
yx
xcos
22
22
(5.2.5)
Formulele (5.2.3), (5.2.4) şi (5.2.5) sunt formulele detransformare a coordonatelor carteziene în coordonate
sferice.
5.3. Reprezentarea suprafeţelor
Definiţia 5.3.1. O mul ţ ime de puncte M(x, y, z) R 3, alecăror coordonate x, y, z sunt supuse unor leg ături care sereduc la o singur ă ecua ţ ie
F(x, y, z) = 0 (5.3.1)
unde F este o func ţ ie care satisface anumite condi ţ ii deregularitate, F: D R , D R 3, se nume şte suprafa ţă în R 3 şi se notează cu (S).
Ecuaţia (5.3.1) se numeşte ecua ţ ia implicit ă a unei suprafe ţ e în R 3.
Dacă ecuaţia (5.3.1) se poate explicita în raport cucoordonata z prin
z = f(x, y) (5.3.2)
8/17/2019 Partea II (1).pdf
40/87
152152unde f este o funcţie univalentă pentru fiecare sistem de
valori ale lui x, y, ecuaţia (5.3.2) se numeşte ecua ţ ia
explicit ă a suprafe ţ ei (S). În acest caz o paralelă la axa Ozintersectează suprafaţa într-un singur punct. În condiţiisimilare celor impuse formulei (5.3.2) se pot obţine şi alteecuaţii explicite ale suprafeţei (S). De exemplu, se potexplicita variabilele y sau x în locul variabilei z. Dacă rezolvarea ecuaţiei (5.3.2) se face în raport cu x se obţine
x = g(y, z). (5.3.3)Dacă rezolvarea ecuaţiei (5.3.2) se face în raport cu y se
obţine y = h(x, z). (5.3.4)Dacă u şi v sunt parametri, (u, v) A R 2, atunci
mulţimea punctelor M(x, y, z) unde
v)z(u,z
v)y(u,y
v)x(u,x
(5.3.5)
reprezintă o suprafa ţă (S) descrisă parametric.
5.4. Reprezentarea curbelor în spaţiu
Dacă M(x, y, z) R 3, iar coordonatele x, y, z sereprezintă prin funcţii continue şi derivabile de un
parametru t,
h(t)z
g(t)yf(t)x
(5.4.1)
atunci punctul M descrie o curbă în R 3. Notăm cu (C ) oastfel de curbă.Definiţia 5.4.1. Numim curbă strâmbă o curbă care nu este
plană.
8/17/2019 Partea II (1).pdf
41/87
153153Descrierea (5.4.1) a unei curbe în spaţiu se
numeşte reprezentarea parametrică a curbei.
Pe de altă parte, o curbă poate fi ob ţ inut ă prinintersec ţ ia a două suprafe ţ e. Dacă suprafaţa (S1) estereprezentată de ecuaţia
F(x, y, z) = 0,iar suprafaţa (S2) de ecuaţia
G(x, y, z) = 0atunci se obţine curba de intersecţie a celor două suprafeţe
(C ):
0zy,x,G
0zy,x,F (5.4.2)
Sistemul de ecuaţii (5.4.2) formează reprezentareaimplicit ă a curbei (C ).
Putem dovedi faptul că intersecţia a două suprafeţereprezintă o curbă astfel: dacă în ecuaţiile (5.4.1) eliminăm
parametrul t între primele două obţinem o relaţie (x, y)=0,iar din a doua şi a treia, prin eliminarea parametrului t seobţine (y, z)=0. Ambele relaţii găsite descriu implicit câte
o suprafaţă, iar sistemul (5.4.1) se reduce la
0zy,x,Ψ
0zy,x,Φ (5.4.3)
Acesta este un sistem de tipul (5.4.2), care reprezintă intersecţia a două suprafeţe. Deci curba (5.4.1) se obţine
prin intersecţia a două suprafeţe.Ecuaţiile (5.4.3) pot fi explicitate în anumite cazuri
prin
xψzxy
(5.4.4)
ceea ce constituie o reprezentare explicit ă a curbei (C ).O suprafaţă se numeşte algebrică dacă ecuaţia, prin
care se exprimă implicit (5.3.1), este un polinom în x, y, z.O curbă obţinută prin intersecţia a două suprafeţe algebricese numeşte curbă algebrică. O suprafaţă sau o curbă carenu este algebrică se numeşte transcendent ă.
8/17/2019 Partea II (1).pdf
42/87
154154Exemplul 5.4.2. Ecuaţia
Ax + By + Cz + D = 0, x, y, z R
reprezintă implicit un plan. Sistemul de ecuaţii format deecuaţiile a două plane care se intersectează:
0
0
2222
1111
D zC y B x A
D zC y B x A, x, y, z R
reprezintă o dreaptă.Exemplul 5.4.3. Ecuaţia r = R reprezintă, în coordonatesferice, sfera cu centrul în origine şi de rază R. Sistemul
2πθ
R r
reprezintă, în planul xOy, cercul cu centrul O şi raza R.
5.5. Elementul de arc
Consider ăm o curbă (C ) reprezentată parametric cuajutorul funcţiilor derivabile x, y, z prin
tzz
tyy
txx
(5.5.1)
iar M, M’ (C ), M(x, y, z), M’(x+dx, y+dy, z+dz) (veezifigura 5.5.1). Dacă M şi M’ sunt foarte apropiate atuncilungimea ds a arcului de curbă delimitat pe curba (C ) de
punctele M şi M’ poate fi aproximată suficient de bine prinlungimea coardei MM’. Obţinem deci:
ds2 = dx2 + dy2 + dz2, prin urmare
222 dzdydxds ,ceea ce devine, datorită condiţiei de derivabilitate,
dttz'ty'tx'ds 222 (5.5.2)
8/17/2019 Partea II (1).pdf
43/87
155155
Figura 5.5.1.
Pentru a calcula lungimea arcului MM’, notată cu s, presupunând că punctele M şi M’ au coordonatele
M(x(t1), y(t1), z(t1)),M’(x(t2), y(t2), z(t2)),
avem în mod evident
2
1
t
t
222 dttz'ty'tx's . (5.5.3)
Când curba este dată explicit prin
xgz
xf y
iar punctele M şi M’ de pe curbă au coordonateleM(x1, f(x1), g(x1)),
zz+dz
M’
z
M
O y y+dy y
xx+dxx
8/17/2019 Partea II (1).pdf
44/87
156156M’(x2), f(x2), g(x2)),
atunci rezultă că lungimea s a arcului determinat pe curbă
de cele două curbe este
2
1
x
x
22 dxxg'xf'1s . (5.5.4)
5.6. Tangenta şi planul normal la o curbă strâmbă
Fie (C ) o curbă reprezentată prin
(C ):
tzz
tyy
txx
unde x, y, z sunt funcţii o dată derivabile. Fie punctul de pecurbă M(x(t0), y(t0), z(t0)). Notăm
x0 = x(t0), y0 = y(t0), z0 = z(t0))şi atunci M(x0, y0, z0), iar cu MT notăm tangenta la curbă în
punctul M (vezi figura 5.6.1).Pentru a scrie ecuaţia tangentei, consider ăm un alt punct de pe curbă, N(x1, y1, z1), diferit de M şi scriemecuaţia dreptei MN:
01
01
0
01
01
0
01
01
0
tt
zzzz
tt
yyyy
tt
xxxx
unde x1 = x(t1), y1 = y(t1), z1 = z(t1), iar
01
01
01
01
01
01ttz,tty,tt xx z y
sunt cosinusurile directoare ale dreptei MN.Dacă punctul N tinde către M, deci t1 tinde către t0 atuncilimita coardei MN este tangenta MT. Deoarece funcţiile x,y, z sunt derivabile, cosinuşii directori ai tangentei MT sunt
8/17/2019 Partea II (1).pdf
45/87
157157
001
01
tttx'
tt
txtxlimα
01
001
01
ttty'
tttytylimβ
01
(5.6.1)
0
01
01
tttz'
tt
tztzlimγ
01
Figura 5.6.1.
Am demonstrat astfel următoarea proprietate.Proprietatea 5.6.1. Ecua ţ ia tangentei MT la curba
strâmbă (C ) în punctul M(x0, y0, z0) al curbei, ob ţ inut pentru t = t0 , este
o
0
o
0
o
0
tz'
zz
ty'
yy
tx'
xx
. (5.6.2)
z
z1
N
z0
T
M
O y0 y1 y
x0x1
x
8/17/2019 Partea II (1).pdf
46/87
158158Vectorul tangent la curbă în punctul M are
coordonatele
000 tz',ty',tx'dtr d . (5.6.3)
Când curba este descrisă implicit prin
0zy,x,G
0zy,x,F,
tangenta la curbă în punctul M(x0, y0, z0) are ecuaţiile:
000
0
000
0
000
0
z,y,xyx,D
GF,Dzz
z,y,xxz,D GF,D
yy
z,y,xzy,D GF,D
xx
unde se notează 'y
'x
'y
'x
GG
FF
yx,D
GF,D .
Definiţia 5.6.2. Planul perpendicular pe tangenta la curba strâmbă (C ) în punctul M se nume şte planul normal lacurbă în M.Proprietatea 5.6.3. Ecua ţ ia planului normal la curba
strâmbă (C ) în punctul M(x0, y0, z0) al curbei, ob ţ inut pentru t = t0 , este
0zztz'yyty'xxtx' 000000 . (5.6.4)În cazul reprezentării implicite a curbei strâmbe (C ),
ecuaţia (5.6.4) devine:
0000
00000000
zzz,y,xyx,D
GF,D
yyz,y,xxz,D
GF,Dxxz,y,x
zy,D
GF,D
Când curba strâmbă (C ) se reprezintă explicit prin
xgz
xf y, cu x I R ,
8/17/2019 Partea II (1).pdf
47/87
159159atunci ecuaţiile tangentei la curba (C ) în punctul Mdevin
00
00
0
xkg'zz
xkf'yyk xx
, pentru k R . (5.6.5)
Planul normal la curba (C ) în punctul M are, în cazulreprezentării explicite a curbei, ecuaţia:
0xgzxg'xf yxf'xx 00000 . (5.6.6)
5.7. Planul osculator, binormală, normală principală, plan rectificant
Fie o curbă (C) cu ecuaţiile parametrice, reprezentate prin funcţiile de două ori derivabile
(C):
tzz
tyy
txx
, t I R , I interval.
Definiţia 5.7.1. Orice plan care con ţ ine tangenta într-un punct la o curbă se nume şte plan tangent la curbă în acel punct.
Un plan tangent la o curbă are contact de ordinul 1cu curba, întrucât planul şi curba au două puncte deintersecţie confundate în acest punct.Definiţia 5.7.2. Un plan care are cu o curbă un contact de
ordinul 2 (trei puncte de intersec ţ ie confundate) se nume şte plan osculator la curbă în punctul de contact.
Fie trei puncte ale curbei, Mk , corespunzătoarevalorilor tk ale parametrului t, k = 1, 2, 3. Notând
k k
k k
k k
tzz
tyy
txx
, k = 1, 2, 3,
8/17/2019 Partea II (1).pdf
48/87
160160ecuaţia planului determinat de punctele M1, M2 şi M3
este
0
131313
121212
111
z z y y x x
z z y y x x z z y y x x
. (5.7.1)
Când t2 tinde către t1, deci M2 tinde către M1, planul (5.7.1)va tinde către planul tangent la curbă în M1, deoarece
x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1sunt numere propor ţionale cu parametrii directori aitangentei. Ecuaţia acestui plan este:
0
zzyyxx
tz'ty'tx'zzyyxx
131313
111
111
. (5.7.2)
Formula lui Taylor conduce la:
...tx"2!
tttx'
1!
ttxx 1
213
113
13
,
...ty"2!
ttty'
1!
ttyy
1
213
1
13
13
,
...tz"2!
tttz'
1!
ttzz 1
213
113
13
.
Atunci, prin operaţii cu liniile determinantului (5.7.2) seobţine:Proprietatea 5.7.3. Ecua ţ ia planului osculator la curba
(C):
tzz
tyy
txx
, t I R , I interval ,
în punctul M1(x1, y1, z1) este
0
)(tz")(ty")(tx"
)(tz')(ty')(tx'
zzyyxx
111
111
111
. (5.7.3)
Când curba (C) se reprezintă vectorial prin
8/17/2019 Partea II (1).pdf
49/87
161161(C): k t z jt yit xt r ,
se observă din (5.7.3) că planul osculator la curbă în
punctul M este determinat de punctul M şi de vectoriinecoliniari k tz'+ jty'+itx'=tr' ,
k tz"+ jty"+itx"=tr" .Definiţia 5.7.4. Vectorul normal la planul osculator în
punctul M al curbei (C) se nume şte binormala la curba (C)în punctul M.
Notând cu1 b
binormala la curbă în punctul M, areloc"r 'r b1 (5.7.4)
deci putem enunţa:Proprietatea 5.7.5. Coordonatele vectorului binormal lacurba (C) în punctul M1(x1, y1, z1) sunt date de
111
1111
tz"ty"tx"
tz'ty'tx'
k ji
b . (5.7.5)
Proprietatea 5.7.6. Vectorul
k tz' jty'itx'tdt
r dt 11111 (5.7.6)
este vectorul tangent la curba (C) în punctul M1.Definiţia 5.7.7. Numim normala principal ă la curba (C) în
punctul M1 vectorul 1n care este normal la curbă în
punctul M1 şi este situat în planul osculator la curbă în M1.Proprietatea 5.7.8. Coordonatele vectorului normal ă principal ă la curba (C) în punctul M1(x1, y1, z1) sunt datede
1111 't"r t'r n t r ,adică
1n = 11 t b . (5.7.7)
8/17/2019 Partea II (1).pdf
50/87
162162Prin normalizarea vectorilor (5.7.4), (5.7.6) şi
(5.7.7) se obţin câmpul versor tangent t , câmpul versor
binormal b şi câmpul versor normal principal n la curba(C) în punctul M1, astfel:
1
1
1
1
t'r
t'r =
t
t=t
11
11
1
1
t"r t'r
t"r t'r
b
b b
(5.7.8)
111111
1
1
t'r t"r t'r
t'r t"r t'r
n
nn
O curbă strâmbă are, în fiecare punct M, o singur ă tangentă t . Orice plan care conţine această tangentă esteun plan tangent la curbă în punctul M. Planul osculator esteunul dintre acestea, putând fi caracterizat ca “cel maiapropiat” de curbă, punctul M fiind un contact de ordinul 2între curbă şi plan.Definiţia 5.7.9. Planul determinat de vectorii binormal b şi tangent t la curba (C) în punctul M se nume şte planrectificant la curba (C) în punctul M.
Din definiţia 5.7.9 rezultă că planul rectificant la ocurbă într-un punct M al curbei are drept cosinusuridirectoare cosinusurile directoare ale normalei principale lacurbă în M, date de (5.7.7). Se observă că planul osculatorla curbă în punctul M este determinat de vectorii t şi n .
8/17/2019 Partea II (1).pdf
51/87
1631635.8. Versorii triedului lui Frenet
Fie un vector k tv jtvitvtv 321 un vectorarbitrar, cu proprietatea 1tv , t I R . Următorulrezultat este important pentru următoarele paragrafe.Proprietatea 5.8.1. Dacă 1tv oricare ar fi t I R ,atunci vectorul t'v este perpendicular pe tv pentruoricare t I.
Figura 5.8.1.
Demonstraţie. Fiind un vector de lungime 1, are loc 1tvtvtv 222
321 ,
oricare ar fi t I. Rezultă, prin derivare membru cumembru, că 0tvtvtvtvtvtv ,33
,22
,1 1
,
pentru oricare t I. Intrucât k tv jtvitvt'v,,,
321 ,
această relaţie înseamnă că 0t'vtv ,
adică cei doi vectori sunt ortogonali, ceea ce trebuiademonstrat.
(P N)
(PR ) b
t M n
(C) (PO)
8/17/2019 Partea II (1).pdf
52/87
164164Pentru o curbă (C),
(C):
tzztyy
txx
,
în fiecare punct M(xo, yo,zo), xo = x(to), yo = y(to), zo = z(to),al ei se asociază un reper ortonormat intim legat de curbă,{M; b,n,t }. Triedrul direct orientat { b,n,t } se numeştetriedrul lui Frenet (triedrul principal) al curbei (C) în
punctul M.Triedrul lui Frenet determină, în fiecare punct M al
unei curbe, un sistem de coordonate intim legat de curbă,cu următoarele elemente (vezi figura 5.8.1):
Originea în punctul M al curbei;
Axa tangentă la curbă, având versorul vectorultangent t ;
Axa normală principală la curbă, având versorulvectorul normal principal n ;
Axa binormală la curbă, având versorul vectorul binormal b .Triedrul lui Frenet determină trei plane variabile
împreună cu punctul M curent al curbei (vezi figura 5.8.1):
Planul osculator, (PO), determinat de vectorii tangentt şi normal principal n ;
Planul normal, (P N), determinat de vectorul normal principal n şi vectorul binormal b ;
Panul rectificant, (PR ), determinat de vectorul
binormal b şi vectorul tangent t .Orientarea acestui triedru este identică orientării reperuluicartezian iniţial, faţă de care se raportează spaţiul.
8/17/2019 Partea II (1).pdf
53/87
165165
5.9. Curbura unei curbe strâmbe; torsiunea
Din definiţia vectorului n , (5.7.7), rezultă că acesta
este coliniar cu vectorul 22
ds
r d (ds este elementul de arc)
deci
2
2
ds
r d = nρ (5.9.1)
într-un punct M al curbei (C), corespunzător valorii to a
parametrului.Definiţia 5.9.1. Numărul ρ din (5.9.1) se nume şte curburacurbei (C) în punctul M.
Figura 5.9.1.
Definiţia 5.9.2. Numărul
R = ρ1
(5.9.2)
se nume şte raza de curubur ă a curbei (C) în punctul M.Caz particular 5.9.3. Când curbura este nulă, ρ = 0, întoate punctele curbei (C), atunci prin integrarea de două oria ecuaţiei (5.9.1) se obţine
t' M’
t
M t'
t' = t + t
8/17/2019 Partea II (1).pdf
54/87
166166
21 k sk r , (5.9.3)unde 21 k ,k sunt vectori constanţi. Pentru
k z jyixk k n jmilk 0002
1
rezultă din (5.9.3):
n
zz
m
yy
l
xx 000
,
deci curba se reduce la un segment de dreaptă.Analog, din definiţia vectorului b (5.7.4), rezultă că acestaeste coliniar cu vectorul n , deci
ds bd = nτ (5.9.4)
Definiţia 5.9.4. Numărul din (5.9.4) se nume şte torsiuneacurbei (C) în punctul M.Definiţia 5.9.5. Numărul
T =τ
1 (5.9.5)
se nume şte raza de torsiune a curbei (C) în punctul M.
Interpretarea geometrică a curburii şi a torsiunii uneicurbe într-un punct M este (vezi figura 5.9.1) :1)
Curbura unei curbe într-un punct M este viteza devariaţie a unghiului pe care-l face tangenta lacurbă cu o dreaptă fixă. Cu alte cuvinte, curburaunei curbe strâmbe este o măsur ă a modului încare tangenta la curbă îşi schimbă direcţia când
punctul M se deplasează de-a lungul curbei.
Aceasta înseamnă că prin studiul curburii seobţine informaţie asupra modului de schimbare a poziţiei planului normal la curbă când punctul M parcurge curba.
2)
Torsiunea unei curbe într-un punct M este vitezade variaţie a unghiului pe care-l face binormala lacurbă cu o dreaptă fixă. Torsiunea unei curbestrâmbe este o măsur ă a modului în care ‘se
8/17/2019 Partea II (1).pdf
55/87
167167întoarce’ planul osculator pe curbă când
punctul M parcurge curba.
Curbura şi torsiunea se numesc elementele intrinseciale curbei, iar ecuaţiile:
sττ
sρρ, (5.9.6)
formează reprezentarea intrinsecă a curbei (C).Consecinţa 5.9.6. Valorile numerice ale curburii şitorsiunii unei curbe într-un punct M(s) al său sunt :
ds
bdτ
ds
tdρ
(5.9.7)
Formula (5.9.7) rezultă din (5.9.1) şi (5.9.4).
5.10. Formulele lui Frenet
Să presupunem că o curbă (C), are reprezentareaintrinsecă
(C):
sττ
sρρ.
Deoarece t bn , rezultă:
ds
td bt
ds
bd
ds
nd
nρ btnτ
R
t
T
bnρ bτ .
Prin urmare, am demonstrat următoarea:Proprietatea 5.10.1. Varia ţ ia versorilor triedrului lui
Frenet de-a lungul curbei (C) în func ţ ie de varia ţ iaelementului de arc este:
8/17/2019 Partea II (1).pdf
56/87
168168
nτds
bd
bτtρdsnd
nρds
td
. (5.10.1)
Aceste relaţii sunt cunoscute sub numele de formulele lui Frenet . Acestea stabilesc legătura dintreversorii triedrului lui Frenet n , t , b , derivatele lor,curbura şi torsiunea. Ele se mai pot scrie şi astfel, folosind
raza de curbur ă R şi raza de torsiune T:
T
n
ds
bdT
b
R
t
ds
ndR
n
ds
td
(5.10.2)
Să presupunem acum că reprezentăm curba (C)
parametric prin:
(C):
tzz
tyy
txx
.
Aceasta este echivalent cu reprezentarea vectorială:(C): tr r .
Formulele lui Frenet ne permit să obţinem expresiaanalitică a razei de curbur ă şi a razei de torsiune astfel. Prin
calcul direct găsim derivatele vectorului de poziţie tr r al unui punct M curent al curbei:
ts'dt
ds
ds
dr
dt
r dt'r ,
nρs'ts"dt
ts'dt"r 2
(5.10.3)
8/17/2019 Partea II (1).pdf
57/87
169169
dt
ns'ts"dt'''r
2
bρτs'ndtdρs'ρs"3s'ts'ρ''s' 3232
Din acestea rezultă, folosind faptul că s’(t) = t'r ,relaţiile:
ntρs't"r t'r 3
bt'r ρ bρs't"r t'r 33 (5.10.4)
62τs'ρt'''r t"r t'r
τt'r ρt'''r t"r t'r 22
(5.10.5)
Din (5.10.4) şi (5.10.5) se obţine uşor:Proprietatea 5.10.2. Curbura şi torsiunea unei curbe (C)într-un punct al său M cu vectorul de pozi ţ ie tr r sunt :
3t'r
t"r t'r ρ , (5.10.6)
2t"r t'r
t'''r t"r t'r τ
. (5.10.7)
Cu ajutorul acestor proprietăţi deducem prin calculdirect următoarele proprietăţi ale curbelor plane şi ale
dreptelor:Proprietatea 5.10.3. Fie (C) o curbă în spa ţ iu avândcurbura 0. Atunci (C) este o curbă plană dacă şi numaidacă torsiunea sa este identic nul ă de-a lungul întregiicurbe. Proprietatea 5.10.4. O curbă în spa ţ iu este o por ţ iunedintr-o dreapt ă dacă şi numai dacă are curbura identicnul ă.
8/17/2019 Partea II (1).pdf
58/87
170170
5.11. Probleme propuse
1. Să se scrie ecuaţiile tangentei şi normalei în punctul t=2la curba
(C): k t jt it t r 2
22 .
2. Să se scrie ecuaţiile tangentei şi normalei în punctul
M(6,16,-4) la curba
(C):
2
22
3
t z
t y
t x
.
3. Calculaţi lungimea arcului curbei (C):
3
2
2
3
bt z
abt y
at x
pentru 10 t .
4. Calculaţi lungimea arcului curbei (C):
22
23
a xz ya x , care se
află între planele y = 3a
şi y = 9a.
5. Determinaţi versorii triedrului lui Frenet al curbei(C): k t jt it t r 123 32
în punctul corespunzând valorii t = 2 dată parametrului.6. Determinaţi versorii triedrului lui Frenet al curbei
(C):
5
232
2
23
t z
t yt t x
în punctul M(-1, 5, -4).7. Calculaţi curbura şi torsiunea curbei
(C): k t jt it t r 123 32 în punctul corespunzând valorii t = 2 dată parametrului.8. Calculaţi curbura şi torsiunea curbei
8/17/2019 Partea II (1).pdf
59/87
171171
(C):
5
23
2
2
23
t z
t y
t t x
în punctul M(-1, 5, -4).9. Scrieţi ecuaţiile planelor triedrului lui Frenet al curbei
(C): k t jt it t r 123 32 în punctul corespunzând valorii t = 2 dată parametrului.10. Scrieţi ecuaţiile planelor triedrului lui Frenet al curbei
(C):
5
23
2
2
23
t z
t y
t t x
în punctul M(-1, 5, -4).11. Scrieţi ecuaţiile axelor triedrului lui Frenet al curbei
(C): k t jt it t r 123 32 în punctul corespunzând valorii t = 2 dată parametrului.12. Scrieţi ecuaţiile axelor triedrului lui Frenet al curbei
(C):
5
23
2
2
23
t z
t y
t t x
în punctul M(-1, 5, -4).13. Găsiţi planul osculator al curbei de ecuaţie vectorială
k t jt it t r 32 , care trece prin punctul M
6,
3
1,2 .
8/17/2019 Partea II (1).pdf
60/87
172172
Capitolul 6
Geometria diferenţială a suprafeţelor
6.1 Curbe pe o suprafaţă
In capitolul 3 s-a definit o suprafaţă ca fiind omulţime de puncte M(x, y, z) R 3 ale căror coordonatesunt supuse unor legături, care se reduc la o singur ă ecuaţie:
F(x, y, z) = 0 (6.1.1)unde F: D R , D R 3, este o funcţie satisfacând anumitecondiţii de regularitate.
Formula (6.1.1) se numeşte ecuaţia implicită asuprafeţei.Amintim că pentru o suprafaţă s-au discutat şi
reprezentările explicite, parametrică, vectorială, care vor fiapelate în acest capitol.
Fie o suprafaţă (S) dată prin ecuaţiile parametrice:
vu,zz
vu,yy
vu,xx
(6.1.2)
unde (u,v) D R 3.Presupunem că suprafaţa (S) este regulată, adica
funcţiile x, y, z sunt continue, diferenţiabile, cu derivate
par ţiale continue, iar determinanţii funcţionali vu,D
yx,D,
vu,D
zx,D,
vu,D
zy,D nu se anulează simultan. Notând
8/17/2019 Partea II (1).pdf
61/87
173173 k vu,z jvu,yivu,xvu,r ,
(6.1.3)
obţinem ecuaţia vectorială a suprafeţei (S), iar regularitateaimplică 0r r
,v
,u . (6.1.4)
Figura 6.1.1.
Valorile u, v ale parametrilor determină un punctA(x,y,z) al suprafeţei (S). Valorile u şi v care determină
punctul A se numesc coordonatele curbilinii ale punctuluiA. Vom scrie astfel punctul A(x, y, z) în coordonate
carteziene şi A(u,v) în coordonatele curbiliniicorespunzătoare.
Fie un punct M (S), M(uo, vo) (vezi figura 6.1.1).Definiţia 6.1.1. Ecua ţ iile
v,uzz
v,uyy
v,uxx
0
0
0
(6.1.5)
M(u0,v0)
0r
z
O y
x
8/17/2019 Partea II (1).pdf
62/87
174174reprezint ă o curbă pe suprafa ţ a (S), care trece prin
punctul M. Aceasta se nume şte curba u = uo de pe
suprafa ţ a (S).
Figura 6.1.2.
Definiţia 6.1.2. Ecua ţ iile
0
0
0
vu,zz
vu,yy
vu,xx
(6.1.6)
reprezint ă o curbă pe suprafa ţ a (S), care trece prin punctul M. Aceasta se nume şte curba v = vo de pe suprafa ţ a (S).
Curbele u = uo şi v = vo se numesc curbelecoordonate pe suprafaţa (S) în raport cu reprezentarea(6.1.2). Astfel suprafaţa (S) este cadrilată de curbele salecoordonate, u=const. şi v=const.
Fie curba u = uo, a cărei ecuaţie vectorială este k v,uz jv,uyiv,uxvr 000 , (6.1.7)
având deci parametrul v. Vectorul
v=v0
M(u0,v0)
0r u=u0z
O yx
8/17/2019 Partea II (1).pdf
63/87
175175
k v
v,uz j
v
v,uyi
v
v,ux
v
r r 000
,v
este tangent curbei, el fiind vectorul tangent la curbă în punctul de coordonată v.Analog pentru curba v = vo cu ecuaţia vectorială
k vu,z jvu,yivu,xur 000 , (6.1.8)vectorul
k
u
vu,z j
u
vu,yi
u
vu,x
u
r r 000
,u
este tangent la curbă în punctul de parametru u.
Definiţia 6.1.3. O rela ţ ie v = f(u) determină pe suprafa ţ a (S) o curbă cu ecua ţ iile parametrice.
uf u,zz
uf u,yy
uf u,xx
(6.1.9)
Observaţia 6.1.4. Ecuaţiile
tvv
tuu, t I R ,
definesc pe suprafaţa (S) o curbă cu ecuaţiile parametrice
tv,tuzz
tv,tuyy
tv,tuxx
, t I R. (6.1.10)
6.2. Elementul de arc al unei curbe pe o suprfaţă
Fie o curba (C) pe o suprafaţă (S) cu ecuaţiile parametrice (6.1.2). Presupunând suprafaţa (S) regulată,elementul ds de arc al curbei (C) se calculează prin:
ds2 = dx2 + dy2+ dz2 =2
r d . (6.2.1)Ţinând seama că
dvr dur r d,v
,u ,
8/17/2019 Partea II (1).pdf
64/87
176176iar
k
u
z j
u
yi
u
x
u
r r
,u
, (6.2.2)
k v
z j
v
yi
v
x
v
r r
,v
, (6.2.3)
deci
k dvv
zdu
u
z jdv
v
ydu
u
yidv
v
xdu
u
xr d
atun
ci se obţine:22 r dds =
=
222
dvv
zduu
zdvv
yduu
ydvv
xduu
x
= 22
22
dvv
xdudv
v
x
u
x2du
u
x
+
+ 22
22
dvv
ydudv
v
y
u
y2du
u
y
+
+ 22
22
dvv
zdudv
v
z
u
z2du
u
z
=
= 2222
duuzuyux
+
+ dudvvz
u
z
v
y
u
y
v
x
u
x2
+
+2
222
dvv
z
v
y
v
x
Notăm:
E =
2,ur
=
222
u
z
u
y
u
x
, (6.2.4)F = ,v
,u r r = v
z
u
z
v
y
u
y
v
x
u
x
, (6.2.5)
G =2,
vr =222
v
z
v
y
v
x
(6.2.6)
si atunci are loc:Proprietatea 6.2.1. Elementul de arc al curbei (C) de pe o
suprafa ţă (S) cu ecua ţ iile parametrice
8/17/2019 Partea II (1).pdf
65/87
177177
vu,zz
vu,yy
vu,xx
se calculează prinds2 = E du2 + 2 F dudv + G dv2. (6.2.7)
Când suprafaţa (S) este reprezentată explicit prinz=f(x, y)
atunci (6.2.4), (6.2.5) şi (6.2.6) devin:
E = 1 +2
x
f
= 1 + p2, (6.2.8)
F = yf
xf
= pq, (6.2.9)
G = 1 +2
y
f
= 1 + q2, (6.2.10)
unde p = xf
şi q = yf
. În acest caz (6.2.7) devine
ds2 = (1+p2)dx2 + 2pq dx dy + (1+q2)dy2. (6.2.11)
6.3. Prima formă fundamentală a unei suprafeţe.Lungimea unui arc de curbă de pe o suprafaţă
Fie (S) suprafaţa reprezentată parametric prin:
(S):
vu,zz
vu,yy
vu,xx
Presupunem că suprafaţa (S) este regulată.Definiţia 6.3.1. Expresia pătratului elementului de arc ds
se nume şte prima formă metrică fundamental ă a suprafe ţ ei (S), notându-se aceasta cu 1:
1 = ds2 = Edu2 + 2Fdudv + G dv2. (6.3.1)
Când suprafaţa (S) se reprezintă explicit prin(S): z = f(x,y)
8/17/2019 Partea II (1).pdf
66/87
178178atunci prima formă metrică fundamentală a sa este1 = ds
2 = (1 + p2)dx2 + 2 pqdxdy + (1+q2)dy2. (6.3.2)
Presupunând acum că (C) este o curba pe suprafaţa(S), unde (S) este reprezentată parametric prin (6.1.2) iar(C) se descrie prin:
tvv
tuu, t I R ,
ecuaţiile curbei (C) fiind (6.1.10), cu u şi v diferenţiabile,atunci
ds2 = Eu’2dt2 + 2Fu’v’dt2 + Gv’2dt2
şi decidtGv'v'2Fu'Eu'ds 22 (6.3.3)
Fie punctele A, B (C) unde A(t1) şi B(t2). Lungimea arcului de curbă AB este:
2
1
t
t
22
AB
dtGv'v'2Fu'Eu'dsABl . (6.3.4)
6.4. Unghiul a două curbe pe o suprafaţă
Fie (S) o suprafaţă regulată reprezentată prin
(S):
vu,zz
vu,yy
vu,xx
.
Pe suprafaţa (S) consider ăm curba (C1) dată de
tvv
tuu
1
1, t I R ,
şi vom nota cu d r , du, dv, ds diferenţialele de-a lungulcurbei (C1). Prin urmare
dvr dur r d,v
,u
şi deci
8/17/2019 Partea II (1).pdf
67/87
179179
ds= r d = 22 Gdv2FdudvEdu .Tot pe suprafata (S) consider ăm şi curba (C2) dată de:
tvvtuu
2
2, t I R ,
şi notăm cu , u, v, s diferenţialele de-a lungul curbei(C2).Are loc deci
δvr δur r δ,v
,u
şi atunci
s=r δ
=
22 Gδδ2FδFδuEδδ
.Definiţia 6.4.1. Prin unghiul θ dintre curbele (C1) şi (C2)de pe suprafa ţ a (S) se în ţ elege unghiul dintre tangentele lacele două curbe în punctul lor de intersec ţ ie (vezi figura6.4.1).
Figura 6.4.1.
Deoarece vectorul d r este coliniar cu versorultangentei 1t la curba (C1) în punctul M, {M} = (C1) (C2),iar vectorul este coliniar cu versorul 2t al tangentei la
(C1)
1t M
2t (S)r (C2)
z
O y
x
8/17/2019 Partea II (1).pdf
68/87
180180(C2) în M, unghiul dintre cele două curbe este unghiul
dintre 1t şi 2t , deci:
Proprietatea 6.4.2. Unghiul θ dintre curbele (C1) şi (C2) de pe suprafa ţ a (S) se calculează prin
2222 vGvuF2uEGdv2FdudvEdu
GdvδddvδvduδuFEduδd
cosθ
δ
Condiţia de ortogonalitate a curbelor (C1) şi (C2) de
pe suprafaţa (S) este cosθ = 0, deciEduu + F(duv + dvu) + Gdvv = 0. (6.4.1)Când curbele (C1) şi (C2) sunt curbe coordonate pesuprafaţă atunci cosinusul unghiului dintre ele este
EG
Fcosθ . (6.4.2)
Când F = 0 atunci aceste curbe formează o reţea ortogonală pe suprafaţa (S).
6.5. Planul tangent şi normala la o suprafaţă
Fie suprafaţa (S) reprezentată prin ecuaţia vectorială de tipul (6.1.3)
k vu,z jvu,yivu,xvu,r .
Presupunem că (S) este regulată. Dacă (C) este o curbă pesuprafaţa (S) care trece prin punctul M, iar ecuaţia curbei(C) este
tv,tur r ,atunci vectorul
dt
dvr
dt
dur
dt
r d ,v
,u
8/17/2019 Partea II (1).pdf
69/87
181181este tangent la curba (C) în punctul M. Acest vector estesituat în planul determinat de vectorii ,ur şi
,vr tangenţi la
curbele de coordonate din punctul M (vezi figura 6.5.1).
Figura 6.5.1.
Definiţia 6.5.1. Planul tangent (T) la suprafa ţ a (S) în punctul M(S) este planul care con ţ ine toate tangentele în M la curbele din (S) care trec prin M.
Fie P(x,y,z) un punct arbitrar din planul (T) şiM(xo,yo,zo). Atunci vectorii MP ,
,ur şi
,vr sunt coplanari,
deci produsul lor mixt este nul. Această condiţie ne va da:Proprietatea 6.5.2. Ecua ţ ia planului tangent (T) la
suprafa ţ a (S) în punctul M(S) este
0
z,y,xzz,y,xyz,y,xx
z,y,xzz,y,xyz,y,xx
zzyyxx
000,v000
,v000
,v
000,u000
,u000
,u
000
. (6.5.1)
De asemenea, normala N la suprafa ţ a (S) în punctul M, adică normala planului tangent la (S) în M are parametrii directori:
N ,ur (T)
P(x,y,z)M
,vr (S)
r z
O yx
8/17/2019 Partea II (1).pdf
70/87
182182
A = vu,D
zy,D, B =
vu,D
zx,D , C =
vu,D
yx,D . (6.5.2)
Prin urmare , ecua ţ ia normalei la suprafa ţ a (S) în punctul M este
C
zz
B
yy
A
xx 000
. (6.5.3)
Când (S) este reprezentată explicit prin z = f(x, y),atunci parametrizând prin
yx,f z
yy
xx
obţinem
A = xz
, B = yz
, C = 1.
Când (S) este reprezentată implicit prinF(x, y, z) = 0
atunci
zFx
F
x
z
, iarzF
y
F
y
z
şi deci parametrii directori ai normalei pot fi consideraţi
x
F
, yF
, zF
.
6.6. Versorul normalei la suprafaţă
Normala N la suprafaţa (S) este coliniar ă cuvectorul ,ur
,vr . Din identitatea
2,v
,u
2,v
2,u
2,v
,u r r r r r r
rezultă:A2+ B2+ C2 = EG – F2
8/17/2019 Partea II (1).pdf
71/87
183183Definiţia 6.6.1. Versorul normalei la suprafa ţ a (S) esteversorul ν astfel orientat încât
,v,u r r Δ1 ν , unde 2FEGΔ .
6.7. Elementul de arie
Pentru a calcula aria unei por ţiuni (D) a suprafeţei
(S) consider ăm un element de suprafaţă definit astfel:Definiţia 6.7.1. Două cre şteri dx şi dy ale argumentuluidetermină pe suprafa ţ a (S) un dreptunghi curbiliniu (dS)numit element de suprafa ţă al suprafe ţ ei (S).
Fie M un punct al acestui dreptunghi curbiliniu, (T) planul tangent la (S) în M şi fie dreptungiul determinat în planul (T) de (dS). Aceasta înseamnă că proiecţia pe planulxOy a elementului de suprafaţă (dS) şi a dreptunghiului
este un dreptunghi cu laturile dx şi dy. Aria elementului de suprafa ţă dS este atunci, aproximându-l prin por ţiunea adin (T), calculată prin dxdy = acos, deci
cos γ
dydxdSa .
Dacă (S) se reprezintă implicit prin F(x,y,z)=0,atunci
2,z
2,y
2,x FFF
1cosγ
, (6.7.1)
derivatele calculate fiind în punctul M, iar dacă (S) sereprezintă explicit prin z = f(x, y), avem în punctul M.
2,y
2,x f f 1
1cosγ
. (6.7.2)
Prin urmare, în cazul reprezentării explicite, elementul dearie este
8/17/2019 Partea II (1).pdf
72/87
184184
dxdyy,xf y,xf 1dS 002'
y00
2'x (6.7.3)
Am obţinut, pentru cazul reprezentării explicite asuprafeţei (S) următoarea:Proprietatea 6.7.2. Aria por ţ iunii (D) din suprafa ţ a (S)este:
D D
dxdyyx,f yx,f 1dSDA2'
y
2'x . (6.7.4)
Figura 6.4.1.
Consecinţa 6.7.3. Aria suprafeţei (S) va fi, astfel,
S S
dxdyyx,f yx,f 1dSSA2'
y
2'x . (6.7.5)
Consecinţa 6.7.4. Când(S) este dată vectorial prin k vu,z jvu,yivu,xvu,r ,
N z
(D)
aM dS
(T) (S)
r z
O yx
dx
8/17/2019 Partea II (1).pdf
73/87
185185atunci aria suprafeţei (D) se poate exprima folosind
prima formă fundamentală a suprafeţei (S) prin
D
2
dudvFEGDA . (6.7.6)În acest caz, elementul de arie al suprafetei (S) este
dudvFEGdS 2 . (6.7.7)
6.8. Triedrul lui Darboux
Fie (C) o curbă trasată pe o suprafaţă (S), regulată. Înfiecare punct al curbei (C) se va defini un triedru diferit detriedrul lui Frenet, care va ilustra faptul că (C) este o curbă
pe suprafaţa (S).
Figura 6.8.1.
Fie ν versorul normalei la suprafaţa (S) în punctul M alcurbei (C). Fie n versorul normal principal în M la (C), iarθ unghiul dintre ν şi n (vezi figura 6.8.1). Fie t versorul
ν
n M t
β (S)r (C)
z
O yx
8/17/2019 Partea II (1).pdf
74/87
186186tangentei în M la (C), cu un sens pozitiv ales arbitrar, iar
β un vector unitar situat în planul tangent în M la (S)
astfel încât triedrul β, ν,t să fie ortonormat şi directorintat.Definiţia 6.8.1. Triedrul lui Darboux este triedrul β, ν,t ob ţ inut din triedrul lui Frenet prin rota ţ ia de unghi θ în
jurul tangentei orientate t .Făcând schimbarea de reper prin rotaţia de unghi θ în
jurul tangentei orientate t se obţine :Proprietatea 6.8.2. Formulele de transformare ale
triedrului b,n,t în β, ν,t sunt :
sin θ νcos θβ b
cos θ νsin θβn
tt
(6.8.1)
Schimbarea de bază în f