Post on 30-Jul-2015
Conf. univ. Dr. ION COLÞESCU (coordonator)
Lect. univ. Dr. GHEORGHE DOGARU Prep. univ. DAN LASCU
MATEMATICI SPECIALE
Teorie. Exemple. Aplicaþii
Constanþa, 2005
Referenþi ºtiinþifici: Prof. univ. dr. Silviu SBURLAN Prof. univ. dr. Ion CUCUREZEANU
PREFAÞÃ
Aceastã carte a fost elaboratã pe baza lecþiilor de matematici speciale þinute de autorii studenþilor anilor II ai Facultãþilor de Marinã Militarã ºi Marinã Civilã din Academia Navalã �Mircea cel Bãtrân�. Lucrarea rãspunde unor programe analitice modernizate, urmãrind întãrirea laturii algoritmice ºi reflectând atenþia deosebitã acordatã atât rigorii în prezentarea noþiunilor, cât ºi vigorii pe care aplicaþiile ºi modelele matematice o genereazã. Demonstraþiile rezultatelor de bazã cerute de programã sunt complete ºi doar în cadrul unor observaþii sau rezultate � anexã sunt indicate dezvoltãri ale teoriei fãrã detalii de demonstraþie. Tot din raþiuni didactice, la sfârºitul fiecãrui mare capitol am introdus o listã cu probleme rezolvate ºi o listã cu probleme propuse date la probele orale ale examenelor. Cartea are patru pãrþi, corespunzând în principiu unui semestru când se predau matematicile speciale. Prima parte cuprinde noþiunile ºi rezultatele de baza ale teoriei câmpurilor. Partea a II-a cuprinde mai întâi seriile ºi integrala Fourier, iar apoi trateazã în mod succint unele teorii centrale ale matematicii, interesând mult pe inginer, fizician sau chimist. Calculul operaþional este un permanent instrument de lucru, transformarea Fourier ºi transformarea Laplace stabilesc legãturi profunde între domeniile � timp, frecvenþã ºi domeniul complex. În partea a III-a se dau unele elemente de bazã ale teoriei ecuaþiilor cu derivate parþiale de ordinul II, care utilizeazã multe rezultate anterioare ºi pregãtesc conexiuni fireºti cu alte cursuri de specialitate, precum ºi elemente de funcþii speciale. Ultima parte cuprinde elemente de teoria probabilitãþilor. Oferind studenþilor, dar ºi multor profesori, cercetãtori ºi elevi neindiferenþi la priceperea lor matematicã, un material de studiu pe care l-am dorit complet, unitar ºi într-o formã cât mai accesibilã, sperãm sã contribuim la asimilarea în bune condiþii a cunoºtinþelor de matematicã, care fac parte din pregãtirea de bazã a viitorului inginer. Autorii
CUPRINS
CUPRINS 5
TEORIA CÂMPURILOR 7
CÂMP SCALAR. SUPRAFAÞÃ DE NIVEL. GRADIENTUL UNUI CÂMP SCALAR. LINII ªI SUPRAFEÞE DE CÂMP. INTEGRAREA ECUAÞIILOR CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL I 7
1.1. Câmp scalar 7 1.2. Gradientul unui câmp scalar 8 1.3. Ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul I 13 1.4. Câmp vectorial. Linii ºi suprafeþe de câmp 19
DIVERGENÞA ªI ROTORUL UNUI CÂMP VECTORIAL. OPERATORI DIFERENÞIALI ÎN ANALIZA VECTORIALÃ. FORMULE INTEGRALE 22
2.1. Divergenþa ºi rotorul unui câmp vectorial 22 2.2. Operatori diferenþiali în analiza vectorialã 24 2.3. Formule integrale 27 3.1. Câmpuri irotaþionale 29 3.2. Câmpuri solenoidale 32 3.3. Câmpuri biscalare 36
DETERMINAREA UNUI CÂMP DE VECTORI DE ROTOR ªI DIVERGENÞÃ DATE 39 4.1. Generalitãþi. Unicitatea soluþiei pentru anumite condiþii la limitã 39 4.2. Determinarea unui câmp irotaþional de divergenþã datã în tot spaþiul R3 43 4.3. Determinarea unui câmp solenoidal de rotor dat 46
CÂMPURI DISCONTINUE 48 5.1. Divergenþa de suprafaþã 48 5.2. Câmpuri nestaþionare 52
Probleme rezolvate 59
Probleme nerezolvate 70
CALCUL OPERAÞIONAL 73
SERII FOURIER. INTEGRALA FOURIER. TRANSFORMATA FOURIER 73 6.1. Seria Fourier a unei funcþii periodice 73 6.2. Seria Fourier a unei funcþii pare ºi a unei funcþii impare 78 6.3. Forma complexã a seriei Fourier 80 7.1. Forma complexã a integralei Fourier 82 7.2. Forma realã a integralei Fourier. Cazul funcþiilor pare sau impare 84
7.3. Transformata Fourier 86
TRANSFORMATA LAPLACE 89 8.1. Funcþia original 89 8.2. Transformata Laplace. Imagine dupã transformata Laplace 92 8.3. Teoremele: asemãnãrii, întârzierii, deplasãrii originalului, integrãrii originalului 96 9.1. Transformarea inversã. Formula Mellin - Fourier 99 9.2. Integrarea imaginii 102 9.3. Produsul a douã imagini 103 10.1. Teoreme de dezvoltare 107 10.2. Utilizarea transformatei Laplace pentru integrarea ecuaþiilor diferenþiale 112 10.3. Rezolvarea unor ecuaþii integrale 114
Probleme rezolvate 116
Probleme nerezolvate 124
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II 126 11.1. Probleme de fizicã matematicã ce conduc la ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul al doilea 126 11.2. Forma generalã 130
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II: HIPERBOLICE, PARABOLICE ªI ELIPTICE. REDUCEREA LOR LA FORMA CANONICÃ 137
Ecuaþii liniare ºi omogene în raport cu derivatele de ordinul al doilea, cu coeficienþi constanþi 142
13.2. Metoda schimbãrii variabilelor 146 14.1. Metoda separãrii variabilelor (Bernoulli ºi Fourier) 149 14.2. Ecuaþia omogenã a coardei vibrante. Soluþia lui D. Bernoulli ºi Fourier 153 15.1. Ecuaþia propagãrii cãldurii 160 15.2. Problema lui Dirichlet pentru cerc 165 16.1. Polinoamele lui Legendre 171 16.2. Funcþiile lui Bessel 181
Probleme rezolvate 186
Probleme nerezolvate. 194
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR 196 17.1. Algebre Boole 196 17.2. Câmp de evenimente 204 17.3. Câmp de probabilitate 205 18.1. Formula probabilitãþii reuniunii evenimentelor compatibile 214 18.2. Formula probabilitãþii intersecþiei evenimentelor compatibile 217 18.3. Formula de înmulþire a probabilitãþilor 219 18.4. Formula probabilitãþii totale 220 18.5. Experienþe repetate (Scheme probabilistice clasice) 222
19.1. Variabile aleatoare discrete ºi continue 224 19.4. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare 230 20.1. Legea densitãþii uniforme 236 20.2. Legea lui Poisson 239 20.3. Legea exponenþialã 243 20.4. Integrala lui Euler - Poisson 245 21.1. Legea normalã de repartiþie 248 22.1. Vector aleator în Rn. Funcþie de repartiþie. Densitate de repartiþie. 257 22.2. Variabile aleatoare independente, variabile aleatoare dependente 262 23.1. Legea normalã în plan 266 23.2. Legea normalã în spaþiu 272
Probleme rezolvate 275
Probleme nerezolvate 283
BIBLIOGRAFIE 286
CALCUL OPERAÞIONAL _______________________________________________________________
7
TEORIA CÂMPURILOR
CÂMP SCALAR. SUPRAFAÞÃ DE NIVEL. GRADIENTUL UNUI CÂMP SCALAR. LINII ªI SUPRAFEÞE DE CÂMP.
INTEGRAREA ECUAÞIILOR CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL I
Obiective ºi idei principale de reþinut 1. Sã defineascã noþiunea de câmp scalar ºi de gradient al unui câmp scalar; 2. Sã defineascã noþiunea de câmp vectorial, divergenþã ºi rotor al unui câmp
vectorial; 3. Sã defineascã operatorii diferenþiali folosiþi în analiza vectorialã; 4. Sã defineascã formulele integrale; 5. Sã defineascã câmpuri vectoriale particulare: irotaþionale, solenoidale,
biscalare etc; 6. Sã calculeze gradientul unui câmp scalar; 7. Sã calculeze divergenþa ºi rotorul unui câmp scalar; 8. Sã determine liniile ºi suprafeþele unui câmp vectorial; 9. Sã calculeze circulaþia ºi fluxul unui câmp vectorial; 10. Sã cunoascã exerciþiile rezolvate de la pagina 59.
1.1. Câmp scalar
Fie D un domeniu (o mulþime deschisã ºi conexã) în care fiecãrui punct P i se
ataºeazã un scalar (P) ºi numai unul singur.
Corespondenþa între punctele P ºi scalarii (P) este datã de o funcþie scalarã pe
care o notãm cu zyxP ,, .
Definiþia 1.1. Se numeºte câmp scalar o funcþie
RRRD 23:
Observaþia 1.1. Continuitatea funcþiei scalare ö=(P) se reduce la continuitatea
unei funcþii reale de trei variabile sau de douã variabile, dupã cum domeniul D are trei sau
douã dimensiuni, problemã cunoscutã din analizã.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
8
Exemple
1. Temperatura într-un punct P este o mãrime scalarã T = T(P).
2. Repartiþia presiunii p a aerului la un moment dat într-o anumitã regiune poate
fi reprezentatã printr-o funcþie scalarã p = p(P).
3. Masa specificã ì a unui mediu continuu neomogen poate fi exprimatã printr-
o funcþie scalarã de punct ì=ì(P).
Dacã P0 este un punct din domeniul D în care este definit câmpul scalar (P)
atunci mulþimea punctelor DP în care valorile funcþiei (P) coincid cu valoarea sa în
P0 formeazã o suprafaþã.
Definiþia 1.2. Se numeºte suprafaþã de nivel a câmpului scalar
RRD 3: mulþimea punctelor lui D în care valorile funcþiei scalare (P) sunt
egale.
Dacã P(x,y,z) ºi P0(x0,y0,z0) atunci relaþia
0PP
(1.1)
devine
000 ,,,, zyxzyx
(1.2)
ºi reprezintã o suprafaþã de nivel a câmpului scalar ö.
1.2. Gradientul unui câmp scalar
O primã imagine a câmpului scalar este datã de suprafeþele de nivel care aratã
cum sunt stratificate valorile câmpului. Pornind dintr-un punct P0 al suprafeþei de nivel
( 0PP ) ºi deplasând punctul P pe aceastã suprafaþã, (P) rãmâne constant.
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
9
Sã presupunem cã punctul P descrie
arcul P0P al curbei C care admite o tangentã
determinatã în P0, fie s
versorul acestei
tangente; notând cu PPl 0 abscisa curbilinie a
punctului P se ºtie cã limita raportului
P P
lP P
0
0
pentru lP P00 , atunci
când existã se numeºte derivata funcþiei dupã direcþia s ºi se noteazã cu
d
ds
, adicã
d
ds
P P
lP C
l P PP P
lim ,0 0
0
0
(1.3)
Dacã faþã de un sistem de axe carteziene P = P(x,y,z) ºi P0(x0,y0,z0) = P0 atunci:
P Px
x xy
y yz
z z
x x y y z z
P P P
0 0 0 0
1 0 2 0 3 0
0 0 0
lim , ,P P
i x y z
0
0
Împãrþind cu lP P0 în ambele pãrþi ale egalitãþii ºi observând cã în ipoteza cã C
admite o tangentã determinatã în P0 limitele:
liml P PP P
x x
l0 0
0
0
liml P PP P
y y
l0 0
0
0
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
10
liml P PP P
z z
l0 0
0
0
existã ºi sunt chiar cosinusurile directoare ale tangentei: s i j k (1.4)
Deci limita (1.3) existã ºi are expresia:
d
ds x y z
(1.5)
(expresia cartezianã a derivatei funcþiei dupã direcþia s ).
Dintre diverºii vectori unitari cu
originea în P0 un rol important îl va avea
normala n la suprafaþa de nivel ce trece prin
acest punct, sensul lui n îl vom lua în sensul
în care (P) creºte.
Fie P ºi N punctele în care s ºi n
intersecteazã o suprafaþã de nivel vecinã ºi l lP P P N0 0, deplasãrile din P0 în P ºi N.
Deoarece P ºi N sunt pe o aceeaºi suprafaþã de nivel avem:
P P N P 0 0
de unde:
P P
l
N P
l
l
lP P P N
P N
P P
0 0
0 0
0
0
(1.6)
Notând cu n s, ºi aplicând relaþia sinusurilor în triunghiul P0PN rezultã
cã:
l
lctg
P N
P P
0
0
sin
sincos sin
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
11
Când P ºi N, pãstrându-se pe o aceeaºi suprafaþã de nivel, tind cãtre P0 secanta
PN tinde cãtre o tangentã în P0 la suprafaþa de nivel ce trece prin P0, deci:
2
0ºi ctg2
Cum în acest proces rãmâne constant avem:
lim cosl
P N
P PP P
l
l0
0
00
ºi cu aceastã relaþie (1.6) devine:
cos
nd
d
sd
d (1.7)
Observaþia 1.2. Relaþia (1.7) sugereazã introducerea unui vector a cãrui proiecþie
pe s sã fie egalã cu
sd
d
.
Fie n normala în P0 la suprafaþa de nivel care
trece prin acest punct, derivatã în sensul crescãtor al
funcþiei (P).
Definiþia 1.3. Vectorul P Q0
având direcþia ºi
sensul lui n ºi modulul P Q
d
dn0
se numeºte
gradientul câmpului scalar (P) în P0; se noteazã:
gradd
dnn
(1.8)
Folosind definiþia 1.3. relaþia (1,7) devine:
d
ds
d
dnn s s grad
(1.9)
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
12
ceea ce spune cã derivata dupã o direcþie s este egalã cu proiecþia gradientului pe acea
direcþie.
Observaþia 1.3. Gradientul unui câmp scalar aratã nu numai direcþia ºi sensul în
care funcþia (P) creºte cel mai repede, dar, prin proiecþiile sale pe diverse direcþii, ne
indicã rapiditatea de variaþie a câmpului scalar pentru deplasãri pe acele direcþii.
Observaþia 1.4. Dacã s i avem = 1, = = 0 ºi din (1.5) rezultã:
d
ds xs i
deci proiecþia gradientului pe Ox este x
; analog proiecþiile pe Oy ºi Oz vor fi y
,
z
deci:
gradx
iy
jz
k
(1.10)
Definiþia 1.4. Funcþia al cãrei gradient este v grad se numeºte funcþia de
forþã a vectorilor v , iar PPU se numeºte potenþialul vectorilor
v .
Regulile de calcul pentru gradient sunt:
i. grad grad grad
ii. grad grad grad
iii. gradgrad grad
2
iv. gradF F grad '
Aceste egalitãþi se demonstreazã folosind definiþia gradientului ºi regurile de calcul ale
derivatelor.
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
13
1.3. Ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul I
Definiþia 1.5.
i. O relaþie de forma:
F x x x uu
x
u
xnn
1 21
0, , , ; ; , ,
(1.11)
unde F R Rn: 2 1 se numeºte ecuaþie cu derivate parþiale de ordinul întâi,
dacã se cere sã se determine funcþia u x x xn 1 2, , , cu derivate parþiale de
ordinul întâi într-un domeniu D Rn astfel încât sã avem:
F x x xx xn
n1 2
10, , , ; ; , ,
oricare ar fi x x x Dn1 2, , , .
ii. Funcþiile reale care îndeplinesc condiþiile de mai sus se numesc
soluþii ale ecuaþiei cu derivate parþiale (1.11) în D.
În cele ce urmeazã nu ne vom ocupa decât de ecuaþii de forma:
P x x xu
xP x x x
u
xn n nn
1 1 21
1 2 0, , , , , ,
(1.12)
cu P P x x xk k n 1 2, , , funcþii continue ºi care nu se anuleazã simultan.
Definiþia 1.6.
i. Sistemul simetric:
dx
P x x x
dx
P x x xn
n
n n
1
1 1 2 1 2, , , , , ,
(1.13)
se numeºte sistem caracteristic al ecuaþiei cu derivate parþiale (1.12).
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
14
ii. Curbele integrale ale sistemului (1.13) se numesc curbe caracteristice ale ecuaþiei cu
derivate parþiale (1.12).
Propoziþia 1.1. Fie x x x Cn1 2, , , o integralã primã a sistemului
(1.13), funcþia u x x xn 1 2, , , este o soluþie a ecuaþiei cu derivate parþiale
(1.12).
Demonstraþie: fie x x x Cn1 2, , , o integralã primã a sistemului
(1.13); funcþia este continuã ºi are derivate parþiale de ordinul întâi continui în D.
Deoarece = C este o integralã primã a sistemului (1.13) rezultã oricare ar fi
x x x Dn1 2, , , situat pe o curbã integralã a sistemului (1.13) se reduce la o
constantã C deci d = 0, de unde:
x
dxx
dxx
dxn
n1
12
2 0
(1.14)
Însã de-a lungul unei curbe integrale diferenþialele dx1, dx2, ..., dxn sunt proporþionale cu
P1, P2, ..., Pn conform relaþiilor (1.13) deci egalitatea (1.14) se scrie:
x
Px
Px
Pn
n1
12
2 0
valabilã pentru orice x x xn1 2, , , situat pe o curbã integralã a sistemului (1.13).
Teorema 1.1. Fie ecuaþia cu derivate parþiale (1.12), având coeficienþii
P x x xk n1 2, , , continui. Fie:
1 1 2 1x x x Cn, , ,
2 1 2 2x x x Cn, , ,
n n nx x x C 1 1 2 1, , ,
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
15
n-1 integrale prime ale sistemului caracteristic (1.13). Fie v v vn1 2 1, , , o
funcþie continuã cu derivate parþiale continue pe Rn 1.
Funcþia:
u x x x x x x x x xn n n n1 2 1 1 2 1 1 2, , , , , , , , , , , (*)
este o soluþie a ecuaþiei cu derivate parþiale (1.12).
Reciproc, orice soluþie u a ecuaþiei (1.12) se poate scrie sub forma (*).
Demonstaþie:
i. Sã arãtãm cã u n 1 1, , verificã ecuaþia (1.12). Avem:
u
x x x
u
x x x
u
x x x
n
n
n
n
n n n
n
n
1 1
1
1 1
1
1
2 1
1
2 1
1
2
1
1
1
1
(1.15)
Dacã înmulþim în prima egalitate cu P1, în a doua cu P2, în ultima cu Pn, adunând
pe coloanã în (1.15) obþinem:
Pu
xP
u
xP
xP
x
Px
Px
nn
nn
n
nn
n
n
11 1
11
1
1
11
1
1
1
(1.16)
însã în (1.16) fiecare parantezã din partea a doua este nulã deoarece
k nx x k n1 1 1, , , sunt soluþii ale ecuaþiei cu derivate parþiale (1.12)
conform propoziþiei precedente.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
16
ii. reciproc: orice soluþie ),...,,( 21 nxxxuu a ecuaþiei (1.12) este de forma
),...,,( 121 n .
Într-adevãr, dacã ),...,,( 21 nxxxuu este o soluþie a ecuaþiei (1.12) avem:
0...2
2
1
1
n
n x
uP
x
uP
x
uP
sã scriem acum cã ºi 121 ,..., n sunt soluþii
0...
...................................................
0...
0...
1
2
12
1
11
2
2
22
1
21
1
2
12
1
11
n
nn
nn
n
n
n
n
xP
xP
xP
xP
xP
xP
xP
xP
xP
Sistemul format din ecuaþiile de mai sus formeazã un sistem liniar ºi omogen de n ecuaþii in necunoscutele nPPP ,...,, 21 , admite ºi alte soluþii în afarã de soluþia banalã
deoarece nPPP ,...,, 21 nu se anuleazã simultan, deci:
0),...,,(
),...,,,(
21
121
n
n
xxxD
uD în D.
Cum integralele prime 1,1,),...,( 1 nkCxx knk sunt independente în D, existã
DD ' în care 0),...,,(
),...,,,(
21
121
n
n
xxxD
uD , deci 121 ,...,,, nu sunt în
dependenþã funcþionalã.
Soluþia problemei lui Cauchy
Fie ecuaþia cu derivate parþiale datã de relaþia (1.12) cu funcþiile
P x x xk n1 2, , , , continue ºi care nu se anuleazã simultan într-un domeniu
D R x x x Dnn ºi M0 1
020 0 0, , , .
Fie sistemul caracteristic (1.13) cãruia i-am gãsit n-1 integrale prime:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
17
1 1 2 1
2 1 2 2
1 1 2 1
x x x C
x x x C
x x x C
n
n
n n n
, , ,
, , ,
, , ,
(1.17)
Sã presupunem cã
D
D x x xn
n M
1 2 1
1 2 1 0
0, , ,
, , ,
.
A rezolva problema lui Cauchy pentru ecuaþia (1.12) însemnã a gãsi soluþia
u x x xn1 2, , , a ecuaþiei (1.12) care îndeplineºte condiþia: pentru x xn n 0
funcþie ce se reduce la o funcþie datã x x xn1 2 1, , , adicã:
u x x x x x x xn n n1 2 10
1 2 1, , , , , , ,
(1.18)
Fie U o vecinãtate a punctului M0 în care sistemul (1.17) se poate inversa în
raport cu x x xn1 2 1, , , . Dacã în (1.17) punem x xn n 0 obþinem:
1 1 2 10
1x x x x Cn n, , , ,
2 1 2 10
2x x x x Cn n, , , ,
...............
n n n nx x x x C 1 1 2 10
1, , , ,
sistem care rezolvat în raport cu x x xn1 2 1, , , ne dã:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
18
x C C
x C C
x C C
n
n
n n n
1 1 1 1
2 2 1 1
1 1 1 1
, ,
, ,
, ,
(1.19)
Propoziþia 1.2. Soluþia problemei lui Cauchy pentru ecuaþia (1.12) cu condiþia
iniþialã (1.18) este datã de:
u x x xn n n n1 2 1 1 1 1 1 1, , , , , , , , ,
cu 1 2 1, , , n date de (1.17).
Demonstraþie: trebuie sã arãtãm cã funcþia u din enunþul propoziþiei este soluþie
a ecuaþiei (1.12) ºi apoi cã verificã condiþia iniþialã (1.18).
Faptul cã u este soluþie a ecuaþiei (1.12) se observã imediat, deoarece u este de forma ),...,,( 121 n dupã cum rezultã din expresia ei. Soluþia verificã condiþia
iniþialã în vecinãtatea U a punctului 0M .Într-adevãr, pentru 0
nn xx , conform relaþiilor
de mai sus avem: knnk Cxxxx ),,...,( 0
1,2,1 1,1 nk , ºi din (1.19) pentru 0
nn xx :
knk x ),...,( 11 1,1 nk , de unde înlocuindu-le în relaþia din enunþul propoziþiei obþinem:
),...,(),,...,,( 11
0
121 nnn xxxxxxu
Observaþia 1.5. Integrarea ecuaþiilor cu derivate parþiale de ordinul I liniare ºi
neomogene se reduce la integrarea ecuaþiilor cu derivate parþiale de ordinul I liniare ºi
omogene.
Demonstraþie: fie ecuaþia:
0),,...,,(),,...,,(...),,...,,( 21121
1
211
u
VuxxxP
x
VuxxxP
x
VuxxxP nn
n
nnn
Sã cãutãm pentru aceastã ecuaþie o soluþie datã implicit printr-o relaþie de forma: 0),,...,,( 21 uxxxV n , V fiind o funcþie necunoscutã pe care urmeazã sã o
determinãm.
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
19
În ipoteza cã V este continuã ºi are derivate parþiale de ordinul întâi continue, avem:
u
V
x
V
x
u
x
V
x
V
x
u
nnn
:,...,:11
pe care dacã le înlocuim în:
),,...,,(),,...,,(...),,...,,( 21121
1
211 uxxxPx
uuxxxP
x
uuxxxP nn
n
nnn
obþinem:
1
2
2
1
1 :...::
n
n
n Pu
V
x
VP
u
V
x
VP
u
V
x
VP
sau
0.... 1
1
1
u
VP
x
VP
x
VP n
n
n
1.4. Câmp vectorial. Linii ºi suprafeþe de câmp
Fie D un domeniu; dacã fiecãrui punct P din domeniul D i se asociazã (ataºeazã)
un vector v P ºi numai unul, corespondenþa între punctele P ºi vectorii
v P este o
funcþie vectorialã.
Definiþia 1.7. Se numeºte câmp vectorial o funcþie vectorialã
3
3: RDv
Observaþia 1.6. Studiul unui câmp vectorial, definit într-un domeniu
tridimensional se reduce la studiul unei funcþii vectoriale de trei variabile scalare sau la
studiul funcþiilor scalare
v v x y z kk k , , ,1 3
unde:
v P v x y z i v x y z j v x y z k 1 2 3, , , , , ,
Fie v P un câmp vectorial definit pe domeniul D.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
20
Definiþia 1.8. Se numeºte linie de câmp o curbã (L) din acest domeniu, care are
proprietatea cã în fiecare punct al sãu, v P este tangent curbei.
Determinarea liniilor de câmp
Fie r OP
, vectorul de poziþie al punctului P
de pe curba (L); direcþia tangentei la curbã este datã de
dr
. Din definiþia 1.8. rezultã cã v ºi dr
sã fie
coliniari. Pentru aceasta este necesar ºi suficient ca:
v dr 0
(1.20)
sau
dx
v x y z
dy
v x y z
dz
v x y z1 2 3, , , , , ,
(1.21)
Integrând sistemul (1.21) în conformitate cu subcapitolul 1.3. obþinem:
F x y z C
F x y z C
1 1
2 2
, ,
, ,
(1.22)
Definiþia 1.9. Se numeºte suprafaþã de câmp o suprafaþã generatã de linii de
câmp.
Un câmp vectorial v D R: 3
are o infinitate de linii de câmp, ecuaþiile
lor fiind de forma (1.22) în care C1, C2 sunt constante. Liniile de câmp formeazã o familie
(L) de curbe depinzând de doi parametri. Liniile de câmp (1.22) vor genera o suprafaþã
dacã vor fi supuse unei condiþii care sã se traducã analitic prin:
C C1 2 0,
(1.23)
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
21
Ecuaþia suprafeþei de câmp se obþine eliminând C1 ºi C2 între ecuaþiile (1.22) ale
liniilor de câmp ºi relaþia (1.23), deci vom avea forma:
F x y z F x y z1 2 0, , , , ,
(1.24)
Propoziþia 1.3. În fiecare punct P de pe suprafaþa de câmp, vectorul v P este
tangent suprafeþei.
Demonstraþie: Fie
S F x y z: , , 0
(1.25)
care poate fi consideratã ca o suprafaþã de nivel
a câmpului scalar F(x,y,z), deci un vector
normal în P la suprafaþã este grad F, calculat în
acest punct.
Condiþia ca v P sã fie tangent
suprafeþei este echivalentã cu condiþia ca vectorii v ºi grad F sã fie ortogonali:
v P gradF 0
(1.26)
sau scalar
v x y zF
xv x y z
F
yv x y z
F
z1 2 3 0, , , , , ,
(1.27)
Pentru a demonstra cã orice suprafaþã S, care are proprietatea de mai sus, este suprafaþã de câmp urmeazã sã arãtãm cã soluþia generalã a ecuaþiei (1.26) este de forma
),( 21 FFF .
Vom parcurge etapele:
i) funcþiile 1F ºi 2F din (1.22) ale liniilor de câmp sunt soluþii ale ecuaþiei (1.27)
ii) o funcþie compusã ),( 21 FFF este de asemenea soluþie, deoarece:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
22
2
2
1
1
21 ),( gradFF
gradFF
FFgrad
avem
0),( 21 FFgradV
iii) orice soluþie a ecuaþiei (1.26) este de forma ),( 21 FFF .
Într-adevãr: fie F o soluþie oarecare a ecuaþiei (1.26) ºi P un punct oarecare al
suprafeþei 0F . Prin acest punct trec douã suprafeþe 2211 , CFCF .
Relaþiile (1.26) ºi 01 gradFV
; 02 gradFV
aratã cã gradF , 1gradF ,
2gradF sunt perpendiculari pe V
, deci sunt coplanari.
Avem:
0),,(
),,()( 21
21 zyxD
FFFDgradFgradFgradF
ceea ce aratã cã între cele trei funcþii existã o relaþie ),( 21 FFF
DIVERGENÞA ªI ROTORUL UNUI CÂMP VECTORIAL. OPERATORI DIFERENÞIALI ÎN ANALIZA VECTORIALÃ.
FORMULE INTEGRALE
2.1. Divergenþa ºi rotorul unui câmp vectorial Fie o suprafaþã inclusã în D pe care se defineºte o faþã pozitivã ºi una negativã
ºi fie n versorul normalei la orientat în sensul pozitiv.
Definiþia 2.1. Se numeºte fluxul vectorului v prin suprafaþa integrala de
suprafaþã:
n v d (2.1)
Observaþia 2.1. Dacã v reprezintã câmpul vitezelor într-un fluid ºi masa
specificã, atunci cantitatea de fluid care traverseazã în unitatea de timp suprafaþa abstractã
este .
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
23
Fie d D un domeniu reductibil prin deformare (vol.d 0) la un punct P r
ºi d frontiera sa satisfãcând condiþiile de existenþã ale integralei (2.1). Notând ºi aici n
normala exterioarã la d avem:
Definiþia 2.2. Se numeºte divergenþa vectorului v în punctul P r
mãrimea
dvol
dvnvdiv d
dvol .lim
0)(.
(2.2)
Observaþia 2.2. Dacã în P r
ar fi plasat un izvor de fluid este evident cã
divergenþa ar caracteriza cantitatea de fluid ce ar diverge din izvor în unitatea de timp.
Se poate arãta fãrã nici o dificultate cã dacã v C D 1
limita din (2.2) existã.
Într-un reper cartezian folosind formula lui Gauss - Ostrogradski (valabilã pentru câmpuri
v C D 1
) avem:
d
d
dz
v
y
v
x
vdnv
321 (2.3)
ºi aplicând integralei triple formula de medie din (2.2) deducem:
div vv
x
v
y
v
z
1 2 3 (2.4)
reprezintã expresia cartezianã a divergenþei.
Fie C o curbã închisã (inclusã în D) pe care s-a definit un sens pozitiv.
Definiþia 2.3. Se numeºte circulaþia vectorului v de-a lungul curbei C integrala
curbilinie:
C v drC
(2.5)
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
24
Fie o suprafaþã oarecare netedã pe porþiuni inclusã în D care se sprijinã pe C ºi n versorul normalei la orientat în sensul de înaintare al unui burghiu care ar fi rotit în
sensul pozitiv definit pe C.
Definiþia 2.4. Se numeºte rotorul vectorului v mãrimea:
rot v
n v d
vol dvol d
d
lim
.. 0
(2.6)
Observaþia 2.3. Dacã v este de clasã C1(D) avem urmãtoarea formulã a lui
Stokes cunoscutã din analiza matematicã: v dr n rot v d
C
(2.7)
unde:
rot vv
y
v
zi
v
z
v
xj
v
x
v
yk
i j k
x y zv v v
3 2 1 3 2 1
1 2 3
(2.8)
Acest vector se va numi rotorul câmpului v ºi are urmãtoarea interpretare fizicã, folosind
câmpul vitezelor în miºcarea unui solid în jurul unui ax fix. Câmpul vitezelor, la un moment dat, este dat de rPv
)( , unde este un vector independent de P, care
caracterizeazã complet miºcarea în jurul axei de rotaþie , iar OPr
este vectorul de poziþie al punctului curent P.
Dacã kji
321 , kzjyixr
avem
kxyjzxiyzrPv
)()()()( 211332
de unde
2222)())(( 321 kjirrotPvrot
2.2. Operatori diferenþiali în analiza vectorialã
Operatorii întâlniþi în analiza funcþiilor scalare sunt:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
25
i. derivata unei funcþii de o singurã variabilã f I R R: se noteazã Dfdf
dx .
Introducerea acestui simbol este justificatã prin faptul cã unele operaþii de
derivare pot fi reduse la operaþii algebrice.
D f g Df Dg
D f g D f g C D f Dg C D f D g f D g Df Dgn nn
nn
n n n 1 1 2 2 2 ii. derivarea parþialã a unei funcþii de mai multe variabile f(x,y,z) poate fi privitã ca
înmulþirea funcþiei la stânga cu un operator de derivare:
f
x xf ,
iii. diferenþiala unei funcþii de mai multe variabile poate fi scrisã, de asemenea, ca un
produs simbolic:
dfx
dxy
dyz
dz f
Introducerea operatorului de diferenþiere dx
dxy
dyz
dz
este
justificatã prin aceea cã diferenþiala de ordinul n poate fi scrisã sub forma simplã:
d f
xdx
ydy
zdz fn
n
În analiza vectorialã se introduce un nou operator care are caracter diferenþial ºi
vectorial:
x
iy
jz
k
(2.9)
Cu acest operator (nabla) gradientul, divergenþa, rotorul, derivata dupã o direcþie
se pot scrie într-un mod foarte simplu ºi concis, iar regulile de calcul pentru acestea,
referitoare la sume ºi produse, se reduc la reguli de calcul algebric cu acest operator.
Avem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
26
gradx
iy
jz
k
div vx
iy
jz
k v v
rot vx
iy
jz
k v v
(2.10)
a)
b)
v v v v v
c)
u v u v v u u v
sau echivalent:
div u v vrot u u rot v
d) rot u v v u u v u div v v div u
e) grad u v v u u v u rot v v rot u
Fãcând u v v rezultã
grad v v v v rot v1
22
f) rot rot v grad div v v unde
2
2
2
2
2
2x y z
rot grad U div rot v 0 0;
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
27
2.3. Formule integrale
i. formula integralã a divergenþei (sau formula lui Gauss-Ostrogradski) este:
n v d div v dv
(2.11)
unde este un domeniu tridimensional mãrginit de o suprafaþã închisã , versorul n al
normalei se presupune o funcþie continuã ºi v este o funcþie vectorialã cu derivate
parþiale de ordinul I continue pe .
Observaþia 2.4. Relaþia (2.11) are o interpretare fizicã simplã: dacã v P este
câmpul vitezelor unui fluid în miºcare, fluxul vectorilor v P prin suprafaþa este egal
cu productivitatea totalã a volumului mãrginit de . Pentru demonstrarea relaþiei (2.11)
se porneºte de la definiþia integralei triple ºi se þine seama ºi de definiþia divergentei.
ii. formulele lui Green:
Fie un domeniu mãrginit de o suprafaþã închisã cu normala n continuã ºi
douã funcþii scalare P ºi = P de clasã C2 . Câmpului
vectorial v P grad îi aplicãm relaþia (2.11) ºi þinând cont de relaþia (1.9) avem:
n v ngradd
dn
ºi de:
div v div grad grad grad
obþinem:
dvgradgradd
nd
d
(2.12)
numitã prima formulã a lui Green.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
28
Schimbând între ele funcþiile ºi , adicã luând v grad avem:
dvgradgradd
nd
d
(2.13)
Scãzând relaþiile (2.12) ºi (2.13) membru cu membru obþinem:
dvd
nd
d
nd
d
(2.14)
numitã a doua formulã a lui Green.
iii. vom pune în cele ce urmeazã în evidenþã alãturi de formula integralã a divergenþei
douã formule analoage pentru gradient ºi rotor:
dgraddn
(formula integralã a gradientului) (2.15)
dvrotdvn
(formula integralã a rotorului) (2.16)
unde este un domeniu mãrginit de suprafaþa închisã , cu
P C ºi v P
1 .
Sã demonstrãm acum relaþia (2.15); pentru aceasta vom calcula proiecþia
integralei din membrul I pe o direcþie arbitrarã, caracterizatã prin vectorul unitar a , deci:
dadivdandna
dar
div a agrad diva
Înlocuind obþinem:
dgradadna
Pentru relaþia (2.16) se procedeazã în mod analog:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
29
davdivdavndvnadvna
dar div v a a rot v v rot a ºi rot a = 0 deci:
dvrotadvna �
CÂMPURI PARTICULARE: IROTAÞIONALE,
SOLENOIDALE ªI BISCALARE
3.1. Câmpuri irotaþionale
Fie 3
3: RDv
Definiþia 3.1. Câmpul vectorial v P este irotaþional într-un domeniu D, dacã
în toate punctele domeniului rotorul sãu este nul, adicã:
0Pvrot
(3.1)
Observaþia 3.1. Proprietãþile câmpurilor irotaþionale sunt strâns legate de natura
domeniului pe care sunt definite.
Redãm în cele ce urmeazã proprietãþile câmpurilor irotaþionale în domenii simplu
conexe:
i. Circulaþia vectorului Pvv
pe orice curbã C închisã din D este nulã.
Demonstraþie: domeniul D fiind simplu conex, existã o suprafaþã deschisã
conþinutã în D ºi mãrginitã de curba închisã C; aplicând formula lui Stokes avem:
v dr n rot vdC
310
.
(3.2)
ii. Integrala AB
rdv
are aceeaºi valoare pe orice arc de curbã, care uneºte douã puncte
fixe A,B ale domeniului D ºi care este cuprins în acest domeniu.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
30
Demonstraþie: fie douã arce de curbã conþinute în D ºi având extremitãþile A,B;
aceste arce înzestrate cu sensul de parcurgere de la A la B, le notãm cu L1 ºi L2; aceleaºi
arce cu sensul de parcurgere de la B la A le notãm cu L1' ºi L 2
'.
Evident cã:
vdr vdr vdr vdr
L L L L1 1 2 2' '
; (3.3)
Arcele de curbã L1 ºi L2'
formeazã împreunã
o curbã închisã C, folosind proprietatea i. rezultã: vdr vdr vdr vdr
L L L L1 2 1 2
0 '
sau
(3.4)
iii. Orice câmp irotaþional este gradientul unui câmp
scalar. Funcþia de forþã poate fi exprimatã printr-o integralã curbilinie:
P vdrAP
(3.5)
independentã de drum, unde A(x0,y0,z0) este un punct fix arbitrar din D, iar P(x,y,z) un
punct oarecare al domeniului.
Demonstraþie: trebuie sã arãtãm cã dacã v v i v j v k 1 2 3 avem
grad v
, adicã:
x
v x y zy
v x y zz
v x y z 1 2 3, , , , , , , ,
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
31
Pentru aceasta, vom folosi definiþia
derivatei parþiale ºi avem:
x y z vdrAP
, ,
''
,,PPAPAP
rdvrdvrdvzyhx
x h y z x y z vdr v x y z dx
PP x
x h
, , , , , ,'
1
(am aplicat conform ipotezelor teorema de medie de la integrala definitã).
Observând cã pentru h 0 , x h x prin urmare ºi x ºi folosind
continuitatea urmeazã:
),,(,,lim
,,,,lim 1100
zyxvzyvh
zyxzyhxhh
sau
x
v x y z 1 , ,
Analog se aratã cã
y
v x y zz
v x y z 2 3, , , , , .
Proprietãþile câmpurilor irotaþionale pe domenii multiplu conexe sunt:
i. Dacã v P este un câmp irotaþional într-un domeniu multiplu conex D ºi dacã C
este o curbã închisã conþinutã în D (cu proprietatea cã existã o suprafaþã deschisã
mãrginitã de aceastã curbã ºi conþinutã în domeniul D) atunci circulaþia vectorului
v P pe curba C este nulã:
vdr
C
0 (3.6)
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
32
Demonstraþie: folosind formula lui Stokes ca ºi în cazul domeniilor simplu
conexe avem:
vdr n rot vd
C
0
ii. Dacã v P este irotaþional într-un domeniu multiplu conex D, atunci circulaþia lui
v P pe douã curbe închise echivalente în D este aceeaºi.
Demonstraþie: imediatã, ca în cazul domeniilor simplu conexe
iii. Un câmp vectorial v P irotaþional într-un domeniu multiplu conex D este de
asemenea gradientul unui câmp scalar. Funcþie de forþã se exprimã tot printr-o
integralã curbilinie ca ºi în cazul domeniului simplu conex:
x y z vdrL
, ,
L fiind un arc de curbã conþinut în D.
3.2. Câmpuri solenoidale
Definiþia 3.2. Câmpul vectorial v P este solenoidal în domeniul D dacã în
toate punctele domeniului avem:
div v P
0 (3.7)
Observaþia 3.2. Studiul câmpurilor irotaþionale se bazeazã pe formula lui Stokes,
proprietãþile câmpurilor solenoidale se deduc folosind formula integralã a divergenþei.
Fie () o suprafaþã închisã care mãrgineºte un domeniu situat în întregime la
distanþã finitã ºi sã presupunem cã () admite în fiecare punct o normalã n determinatã.
Avem urmãtoarele proprietãþi:
i. Dacã v P este continuu pe ºi solenoidal pe atunci fluxul lui
v prin
suprafaþa închisã este nul.
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
33
Demonstraþie: în condiþiile din enunþ fiind îndeplinite condiþiile formulei Gauss-
Ostrogradski avem:
n v P d div v P dv
3 70
.
ii. Fluxul câmpului v P prin douã suprafeþe deschise, echivalente în domeniul în care
v P este solenoidal este acelaºi, adicã:
1 2
21 dvndvn
Douã suprafeþe deschise 1 ºi 2 mãrginite de aceeaºi curbã C, se numesc echivalente
în D, dacã 1 , 2 ºi domeniul Ù mãrginit de cele douã suprafeþe sunt conþinute în D ºi
dacã orientãrile normalelor 1n
ºi 2n
la cele douã suprafeþe se obþin una din alta prin
continuitate.
Demonstraþie: imediatã se aplicã formula lui Gauss-Ostrogradski domeniului ? ºi se þine seama cã 0)( vdiv
de unde se obþine
1 2
21 dvndvn
iii. Orice câmp solenoidal este rotorul unui câmp vectorial.
Adicã: dacã div v P
0 în domeniul D existã un câmp vectorial Puu
definit în D astfel încât:
rot u v (3.8)
u P se numeºte potenþialul vector al câmpului solenoidal
v P .
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
34
Vom demonstra mai întâi cã ecuaþia (3.8) admite o soluþie particularã, construind-
o efectiv. Pentru aceasta raportãm vectorii u ºi v la triedrul Oxyz
i j k, , :
v v i v j v k 1 2 3 ;
u u i u j u k 1 2 3 .
Proiectând ecuaþia (3.8) pe axele triedrului Oxyz obþinem:
u
y
u
zv x y z
u
z
u
xv x y z
u
x
u
yv x y z
3 21
1 32
2 13
, ,
, ,
, ,
(3.8�)
unde v1, v2, v3 sunt funcþii cunoscute.
Vom încerca o soluþie în care u3 = 0; sistemul devine:
u
zv x y z
u
zv x y z
u
x
u
yv x y z
12
21
2 13
, ,
, ,
, ,
(3.9)
Din prima ºi a doua exuaþie rezultã:
u v x y z dz f x y
u v x y z dz g x y
z
z
z
z
1 2
2 1
0
0
, , ,
, , ,
(3.10)
unde f ºi g sunt funcþii arbitrare.
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
35
Determinãm (dacã este posibil) funcþiile f ºi g astfel ca u1 ºi u2 din (3.10) sã
verifice ºi ultima ecuaþie din (3.9). Avem:
u
x
v
xdz
g
xz
z
2 1
0
;
u
y
v
ydz
f
yz
z
1 2
0
care înlocuite dau:
v
x
v
ydz
g
x
f
yv x y z
z
z
1 23
0
, ,
Cum v este solenoidal rezultã cã:
v
x
v
y
v
z1 2 3
Deci:
g
x
f
yv x y z 3 0, ,
(*)
de unde: v
zdz v x y z v x y z
z
z
33 3 0
0
, , , ,
Funcþiile f ºi g vor fi alese astfel încât sã satisfacã relaþia (*). Deoarece ne
intereseazã o soluþie particularã a sistemului putem lua:
f g v x y z dxx
x
0 3 0
0
, , ,
care introduse în (3.10) ne dau soluþia particularã:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
36
u v x y z dz u v x y z dz v x y z dx uz
z
x
x
z
z
1 2 2 1 3 0 3
0 00
0 , , ; , , , , ;
(3.11)
Vectorul U , care are aceste componente, este o soluþie particularã a ecuaþiei
(3.8); dacã la U se adaugã gradientul unei funcþii C2
avem:
u U grad
(3.12)
care este de asemenea soluþie a ecuaþiei (3.8).
Observaþia 3.4. Un câmp solenoidal admite deci o infinitate de potenþiali vectori.
În unele probleme se cere ca ºi potenþialul vector sã fie un câmp solenoidal, adicã u sã fie soluþia sistemului:
rot u v div u ; 0
(3.13)
Cunoaºtem soluþia generalã a primei ecuaþii; va trebui determinatã funcþia
astfel ca sã fie satisfãcutã ºi a doua ecuaþie:
divU divgrad 0
care se mai scrie:
divU
(3.14)
Deci funcþia va trebui sã satisfacã o ecuaþie cu derivate parþiale de ordinul II de forma:
2
2
2
2
2
2x y zq x y z , ,
care se numeºte ecuaþia lui Poisson, admiþând o infinitate de soluþii.
3.3. Câmpuri biscalare
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
37
În general, un câmp vectorial v P se exprimã cu ajutorul a trei funcþii scalare
independente: v1, v2, v3, componentele sale faþã de un triedru fix sau mobil.
Definiþia 3.3. Câmpul vectorial v se numeºte biscalar dacã
v P poate fi
exprimat numai prin douã funcþii scalare independente (P) ºi F(P) sub forma:
v gradF
(3.15)
Redãm în cele ce urmeazã urmãtoarele proprietãþi:
i. în fiecare punct al domeniului D în care câmpul biscalar v P este definit,
v este
perpendicular pe rotorul sãu:
v rot v 0
(3.16)
Demonstraþie: fie v P un câmp biscalar:
v gradF ;
rot v grad gradF iD F
D y zjD F
D z xk
D F
D x y
,
,
,
,
,
,
cum ºi F sunt independente, aceºti determinanþi funcþionali nu pot fi toþi identici nuli
( rot v 0 ) dar:
v rot v gradF grad gradF 0
în toate punctele domeniului D.
ii. câmpurile biscalare admit o familie de suprafeþe, depinzând de un parametru,
ortogonale liniilor de câmp.
Demonstraþie: fie P0 un punct oarecare din domeniul D, prin acest punct trece o
suprafaþã de nivel a câmpului scalar F de ecuaþii:
F(x,y,z) = C
(3.17)
ºi o linie de câmp a vectorilor v P .
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
38
Vectorul v P0 este tangent în P0 liniei de
câmp, iar gradF P0 este normal suprafeþei de
nivel care trece prin acest punct. Dupã (3.16)
v P0 este coliniar cu gradF P0
deci suprafaþa
taie ortogonal linia de câmp.
Reciproc: dacã un câmp vectorial v P
admite o familie de suprafeþe ortogonale liniilor de câmp atunci v P este sau
irotaþional sau biscalar.
Dat fiind câmpul vectorial v P , ne punem problema determinãrii efective a
suprafeþelor ortogonale liniilor de câmp.
Fie dr idx jdy kdz diferenþiala vectorului de poziþie pentru o
deplasare pe suprafaþã. Deoarece în fiecare punct al suprafeþei, dr
este în planul tangent,
iar v P este normal, o condiþie necesarã ºi suficientã pentru ca suprafaþa sã fie
ortogonalã liniilor de câmp este:
vdr 0
(3.18)
Dacã v P este dat sub forma:
v v i v j v k 1 2 3 , aceastã relaþie se mai
scrie:
v1dx + v2dy + v3dz = 0 (3.18�)
Determinarea suprafeþelor ortogonale câmpului ºi integrarea acestei ecuaþii cu
diferenþiale totale sunt probleme echivalente.
Se observã cã relaþia (3.16) este o condiþie necesarã pentru ca v P sã fie
biscalar, ceea ce este echivalent cu faptul cã ecuaþia (3.18�) sã fie complet integrabilã.
Dacã existã o suprafaþã S ortogonalã liniilor de câmp, relaþia (3.16) aratã cã în fiecare
punct al suprafeþei S, rot v
este tangent suprafeþei (suprafeþele ortogonale liniilor de
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
39
câmp trebuie cãutate printre suprafeþele de câmp ale lui rot v
, care se mai numesc ºi
suprafeþe de vârtej).
DETERMINAREA UNUI CÂMP DE VECTORI DE ROTOR ªI DIVERGENÞÃ DATE
4.1. Generalitãþi. Unicitatea soluþiei pentru anumite condiþii la limitã
Problema se pune în felul urmãtor: sã se determine un câmp vectorial
3: Du
de clasã C2(D) care verificã:
rot u v
div u q
(4.1)
în toate punctele domeniului D.
Demonstraþie: Fie D R v 3 ;
ºi q fiind funcþii date de C1 (D).
Observaþia 4.1. Determinarea soluþiilor sistemului (4.1) poate fi redusã la douã
probleme mai simple, cãutând soluþii de forma:
u u u 1 2 (4.2)
cu
u irotaþional
u solenoidal1
2
pe D.
De aici rezultã cã u1 ºi u2 verificã pe D:
rot u div u q
1 10 , (4.3)
rot u v div u
2 2 0 , (4.4)
Aºa dupã cum se ºtie din paragraful 3.1. pentru câmpul vectorial u1 irotaþional
pe un domeniu simplu conex existã o funcþie : D R cu proprietatea:
u grad1 (4.5)
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
40
Observaþia 4.2. Dacã u1 ar fi dat, funcþia ar putea fi determinatã în afara unei
constante aditive printr-o integralã curbilinie independentã de drum:
MM
DrduM0
D;M oricepentru sifixat Mcu 01
cum u1 nu este
cunoscut funcþia urmeazã sã fie determinatã folosind a doua ecuaþie:
q (4.6)
(ecuaþia lui Poisson cu o infinitate de soluþii).
Problema rezolvãrii sistemului (4.4) a fost studiatã în 3.2.; u2 este un potenþial
vector al câmpului solenoidal v . Dacã
u0 este o soluþie particularã a primei ecuaþii (4.4),
soluþia generalã a acesteia este:
u u grad2 0 (4.7)
care introdusã în a doua ecuaþie din (4.4) ne dã:
div u
0 (4.8)
De aici se observã cã rezolvarea sistemului (4.4) s-a redus la integrarea unei
ecuaþii Poisson, deci ºi pentru acest sistem avem o infinitate de soluþii.
Observaþia 4.3. Problemele fizicii adaugã sistemului (4.1) condiþii noi care fac
ca u sã fie unic determinat, acestea se traduc prin anumite condiþii la care sunt supuse
funcþiile ºi pe frD, sau la mari distanþe.
Vom considera douã cazuri:
Propoziþia 4.1. Fie D un domeniu mãrginit având ca frontierã o suprafaþã închisã
. Dacã pe lângã sistemul (4.1) se dau pe valorile pe care le ia proiecþia lui u pe
normala n la aceastã suprafaþã:
u n u f Pn
(4.9)
atunci câmpul vectorial este unic determinat.
Demonstraþie: sã observãm mai întâi cã v , q, f nu pot fi date oricum: din prima
relaþie (4.1) rezultã cã v trebuie sã fie solenoidal în D, iar din a doua relaþie (4.1) ºi din
(4.9), þinând seama de formula integralã a divergenþei va trebui ca:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
41
f P d q P dvD
Sã presupunem în cele ce urmeazã cã sistemul (4.1) cu condiþia (4.9) ar admite
douã soluþii u1 ºi u2 astfel încât:
rot u v
div u q
n u f P
rot u v
div u q
n u f P
1
1
1
2
2
2
în D.
De aici rezultã în domeniul D cã rot u u div u u
1 2 1 20 0 , , deci
u u grad1 2 , cu 0 ºi
d
dn
0, ceea ce ne aratã cã se reduce la o
constantã pe D.
Propoziþia 4.2. Sistemul (4.1) pe D R 3 cu condiþia
u P
A 1
(4.10)
pentru
OP R0, unde A, , R0 sunt constante strict pozitive; admite cel mult o
soluþie.
Demonstraþie: analog ca la propoziþia 4.1., adicã fie u1 ºi u2 douã soluþii ale
sistemului (4.1). Rezultã ca mai sus: u u grad1 2 , cu 0 pe D R 3
.
Din condiþia (4.10) rezultã:
u u u P u P
A1 2 1 2 1
2
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
42
sau încã
grad PA
21
(4.10�)
Sã cercetãm care este comportarea funcþiei )(P la mari distanþe, când gradientul sãu este supus condiþiei (4.10�). Funcþia )(P al cãrei gradient este 21 uu
, este determinatã în afara unei
constante aditive printr-o integralã curbilinie independentã de drum. Notând cu )(0 P
funcþia obþinutã când punctul iniþial este 0P :
PP
rduuP0
)()( 210
Sã luãm ca drum de integrare segmentul MP0 , parcurs pe semidreapta 0OP
pânã în punctul M situat la distanþa OPOM , urmat de arcul de cerc MP
cu centrul în O si de raza ñ (vezi figura)
avem
MP MP
rduurduuP0
)()()( 21210
de unde
MPMP MPMP
dsA
dsArduurduuP
o
1121210 22)(0
Pe segmentul MP0 , dds , iar pe arcul MP ñ este constant, deci
AAds
AdAP
MPo
211222)(
0 0
11
Notând cu )(P funcþia obþinutã din )(0 P când punctul iniþial 0P este
punctul I de la infinit al semidreptei )(
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
43
IP
rduuP
)()( 21
Din cele de mai sus rezultã cã: AP 2211
)(
Deci: dacã se cunoaºte grad pe D, funcþia este determinatã în afara unei
constante aditive.
4.2. Determinarea unui câmp irotaþional de divergenþã datã în tot spaþiul R3
Sã considerãm sistemul:
rot u div u q pe R 0 3,
(4.11)
ºi condiþia:
u P
A 1
(4.12)
pentru OP R0, unde A, , R0 sunt constante strict pozitive date.
Vom presupune cã q este o funcþie datã, de clasã C3(R3) ºi satisface o condiþie de
forma:
q Pk
2
(4.13)
pentru OP R0, unde k ºi sunt constante strict pozitive, 0 < <1.
Are loc:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
44
Propoziþia 4.3. În condiþiile enunþate mai sus soluþia sistemului (4.11), care
satisface (4.12) este datã de:
u M q Pr
rd P
R
1
4 3
3
(4.14)
r MP
pentru orice M R 3.
Demonstraþie: aºa dupã cum am vãzut în paragraful 3.1. din (4.11) avem:
u grad
(4.15)
unde este o soluþie a ecuaþiei lui Poisson:
q în R3 (4.16)
Folosind relaþia (4.15) din (4.12) avem:
u P grad
A
1
(4.17)
Deoarece expresia unei funcþii intereseazã
în afara unei constante aditive, putem lua orice
punt ca punct iniþial. Vom considera domeniul R3
ca provenind din interiorul al unei sfere S cu
centrul în M ºi de razã a, când a ca în
figura alãturatã.
Deoarece, pentru punctele P de pe sferã:
r MP a
d
dn a
r
;1
2
1
avem conform celei de-a doua formule a lui Green cã:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
45
P
SP
S
P dr
PqdP
ad
nd
d
aM
4
1
4
1
4
12 (4.18)
Sã cercetãm ce devin aceste integrale a ; avem evident cã:
d
dnn grad
A A
1
01
cu 0 0
OP fiind cea mai micã valoare a lui .
Dacã notãm cu d OM a d
; 0 avem:
1
2
1
0
44
1
4
1
4
1
da
aAa
A
ad
nd
d
ad
nd
d
aS
P
S
P
1
4
1
4
1
44
2 2 20
2
a
P da
P da
Ba
B
a dP
SP
S
Se observã cã primii doi termeni din (4.18) tind cãtre zero pentru a , deci:
M
q P
rd P
R
1
43
(4.19)
(dacã aceastã integralã este convergentã).
În condiþiile enunþate cu privire la q integrala (4.14) este uniform convergentã,
deci gradientul funcþiei (4.19) se poate obþine derivând sub semnul de integrare:
u M grad M q P grad
rdM
R
P
1
4
1
3
cum
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
46
gradr
gradr r
grad rr
rM P
1 1 12 3
obþinem (4.14).
4.3. Determinarea unui câmp solenoidal de rotor dat
Sã considerãm sistemul:
div uR D
0
3 pe R rot u =
v pe D
0 pe D 3
1
,\
(4.20)
unde D este un domeniu mãrginit de o suprafaþã închisã cu normala n continuã pe
porþiuni. Funcþia datã
v D D V: 3 o presupunem de clasã C D1 ºi
îndeplinind condiþia:
n v
0
(4.21)
Propoziþia 4.4. În condiþiile de mai sus, o soluþie a sistemului (4.20) în mulþimea
funcþiilor de clasã C2 pe D este:
u Mr v P
rd P
D
1
4 3
(4.22)
Demonstraþie: aºa dupã cum se ºtie din (3.2) orice soluþie a primei ecuaþii (4.20)
este de forma:
u rot w w C D , 2
(4.23)
Vom construi soluþia sistemului (4.20) folosind numai funcþii w pentru care:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
47
div w 0
(4.24)
pe D D 1 .
Introducând (4.23) în (4.20) avem:
rot rot wv pe D
pe D
0 1
(*)
sau þinând seama cã rot rot w graddiv w w avem:
wv pe D
pe D
0 1
(4.25)
Aceastã ecuaþie raportatã la triedrul i j k, , se desface în trei ecuaþii scalare de
tip Poisson care admit soluþiile:
wV P
rdk
kP
D
1
4
de unde rezultã cã ecuaþia (4.25) admite o soluþie de forma:
w M
v P
rd r MPP
D
1
4 ;
(4.26)
Pentru a demonstra cã aceastã funcþie este soluþia ecuaþiei (*) este suficient sã
demonstrãm cã div w pe D D
0 1 . Avem în acest scop:
divw M divv P
rd v P grad
rdM P
D
M
D
P
1
4
1
4
1
Folosind relaþia:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
48
3
11
r
r
rgrad
rgrad PM
ºi condiþia divv 0 , ultima identitate se mai scrie:
div w M div
v P
rd
n v P
rdP P
D
G O
P
1
4
1
4
Þinând seama de n v
0 rezultã:
div w M
0
pe D D 1 .
Din (4.23) ºi (4.26) deducem cã:
u M rot
v P
rd grad
rv P dM
D
P M
D
P
1
4
1
4
1
relaþie echivalentã cu (4.22).
CÂMPURI DISCONTINUE
5.1. Divergenþa de suprafaþã
Acest paragraf se ocupã de câmpuri scalare ºi câmpuri vectoriale discontinue la
traversarea unei suprafeþe .
Fie o suprafaþã situatã într-un domeniu D ºi având normala n continuã. Pe
suprafaþa distingem o faþã negativã (sau faþa 1) ºi o faþã pozitivã (sau faþa 2), cu
precizarea cã traversarea suprafeþei în sensul n se face trecând de pe faþa negativã pe faþa
pozitivã.
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
49
Sã considerãm un câmp vectorial Mvv
definit în domeniu D cu
urmãtoarele propreietãþi:
i. oricare ar fi P de pe suprafaþa , existã o sferã cu
centrul în P în interiorul cãreia avem:
v M A (5.1)
ii. v este continuu în D \ .
Când P se deplaseazã pe suprafaþa , v P
este de asemenea continuu. La traversarea suprafeþei ,
v M este discontinuu.
Fie P . Considerãm o sferã cu centrul P ºi de razã suficient e micã astfel
încât interiorul sferei sã fie împãrþit de suprafaþa în douã regiuni, din una se vede faþa 1
a suprafeþei, iar din cealaltã faþa 2. Avem:
v Mv P când M P pe faþa
v P când M P pe faþa
1
2
1
2 (5.2)
Definiþia 5.1. Câmpul vectorial 3: Dv
se numeºte discontinuu în punctul
P dacã v P v P1 2 .
Studiem în cele ce urmeazã cazul:
n v P n v PP P 1 2 (5.3)
unde nP este normalã în P.
Pentru aceasta considerãm o micã porþiune S din suprafaþa mãrginitã de o curbã
închisã C ºi conþinând punctul P, dacã toate punctele curbei C sunt suficient de apropiate
de P, paralele la nP duse prin punctele porþiunii S nu mai intersecteazã a doua oarã
suprafaþa S.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
50
Pe aceste paralele la nP vom lua de o parte ºi
de alta segmente egale cu h
2, extremitãþile acestor
segmente genereazã suprafeþele S1 ºi S2 de arii egale
cu S, deoarece se obþin din S prin douã translaþii
caracterizate de vectorii n
h
2. Segmentele ce trec
prin curba C genereazã o suprafaþã Sl.
Sã cercetãm ce devine fluxul al câmpului vectorial v M prin suprafaþa
închisã formatã de S1 S2 Sl când h 0 , normala n fiind dirijatã spre exteriorul
domeniului mãrginit de aceastã suprafaþã:
v n vd n vd n vd
S S Sl
1 2
(5.4)
Deoarece v ºi
n sunt continue pe S1 ºi pe S2, produsul scalar al lor este o
funcþie continuã; deci putem aplica primelor douã integrale din (5.4) formula de medie:
n vd n v S
n vd n v S
S M
S M
1 1
2 2
(5.5)
Se observã cã pentru h 0 , M P S1 ' iar M P S2 "
;v va tinde
respectiv cãtre valorile v P v P1 2
' ", , deoarece S1 tinde cãtre faþa 1 a suprafeþei S,
iar S2 cãtre faþa 2.
Dacã notãm cu nP normala la suprafaþã în punctul P dirijatã dinspre faþa 1 spre
faþa 2 avem:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
51
"
20
'
10
"
2
'
1
lim
lim
PvnSdvn
PvnSdvn
PS
h
PS
h
(5.6)
Integrala pe Sl tinde cãtre zero când h 0 deoarece:
lSSS
SAdvdvndvnlll
)1.5(
(S când hl 0 0 ).
Prin urmare fluxul prin suprafaþa închisã se reduce când h 0 la fluxul s prin
cele douã feþe ale suprafeþei S:
s p pS n v P n v P
" '
" '2 1 (5.7)
s
S - fluxul mediu pe unitatea de suprafaþã.
Definiþia 5.2. Se numeºte divergenþã de suprafaþã a câmpului vectorial v M
în punctul P limita raportului s
S când S 0 (unde (S) este diametrul porþiunii
de suprafaþã S) astfel încât toate punctele curbei C sã tindã cãtre P adicã:
div vS
Sn v P v PS
P SP
lim
02 1
(5.8)
aceasta când toate punctele curbei C tind cãtre P punctele P1 ºi P2 tind cãtre P, iar funcþiile
v1, v2 ºi n continue pe vor tinde cãtre valorile lor în P.
Observaþia 5.1. Divergenþa de suprafaþã este nulã atunci ºi numai atunci când
v P1 ºi
v P2 au proiecþii egale pe normala în P la suprafaþã.
Observaþia 5.2. La traversarea suprafeþei , când componenta normalã a
vectorului v M prezintã o discontinuitate manifestatã printr-un salt finit, fluxul total
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
52
din cele douã feþe ale suprafeþei este diferit de zero. În mecanica fluidelor acest fapt se
atribuie existenþei unei distribuþii continue de surse pe suprafaþa , caracterizatã prin
expresia (5.8).
Observaþia 5.3. În mod analog se definesc rotorul de suprafaþã ºi gradientul de
suprafaþã:
rot v n v P v PsP
p
2 1
(5.9)
grad n P PsP
p
2 1
(5.10)
Se porneºte de la integralele de suprafaþã, folosite în definiþia rotorului ºi a gradientului ca
derivate spaþiale, extinse la suprafaþa închisã S1 S2 Sl. Când 0h integrala pe Sl
tinde cãtre 0 ºi rãmân numai limitele integralelor pe S1 ºi S2
5.2. Câmpuri nestaþionare
O funcþie scalarã batDPtP ,;;, defineºte pentru fiecare
valoare a lui t din intervalul [a,b] un câmp scalar în domeniul D.
În aceleaºi condiþii tPww ,
defineºte un câmp vectorial în domeniul D
pentru fiecare valoare a lui t din intervalul [a,b].
Câmpurile definite mai sus se numesc câmpuri variabile (nestaþionare).
Observaþia 5.4. Parametrul t reprezintã timpul; vom considera numai cazul
câmpurilor date prin funcþii de forma:
P t w w P t cu P D, ; , ºi t a,b
(5.11)
Dacã faþã de un sistem Oxyz avem P P x y z , , ºi x y z t, , ; atunci:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
53
dx
dxy
dyz
dzt
dt
(5.12)
este diferenþiala într-un punct P x y z0 0 0 0, , la momentul t0.
Sã urmãrim variaþia funcþiei =(P,t) când P se aflã în miºcare cu viteza v ; fie:
x = x(t), y = y(t), z = z(t) ecuaþiile curbei descrise de punctul P, viteza v va avea
componentele: x�(t), y�(t), z�(t) faþã de triedrul Oxyz.
Avem:
dx
x ty
y tz
z tt
dt v gradt
dt
' ' '
de unde:
d
dtv grad
t
(5.13)
cu: d
dt
- derivata substanþialã a câmpului;
t
- derivatã localã
Cum v grad v v - (derivata câmpului scalar în raport cu
v )
relaþia (5.13) devine: tt
vdt
d
)(
(5.13�)
În cazul unui câmp vectorial nestaþionar tPww ,
, avem urmãrind vectorul
w ataºat punctului P în miºcare cu viteza
v v i v j v k 1 2 3 diferenþiala sa:
dtt
wwv
dtt
w
z
wv
y
wv
x
wvdt
t
wdz
z
wdy
y
wdx
x
wwd
321
d
eci:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
54
dw
dtv w
w
t
(5.14)
cu dt
wd
- derivata substanþialã; t
w
- derivata localã; wv
)( - derivata lui w
în raport
cu v
.
A. Derivata circulaþiei unui câmp vectorial nestaþionar.
Sã considerãm funcþia w P t, cu derivate parþiale de ordinul întâi continue; aºa
dupã cum se ºtie ºi þinând seama de definiþia circulaþiei avem:
t w P t drL t
, (5.15)
pe un drum L(t) de extremitãþi A ºi B.
Presupunem arcul de curbã format
din puncte materiale în miºcare. Notãm cu
v P viteza punctului P de pe curbã.
Integrala (t) va fi funcþie de t din douã
motive: drumul L(t) variazã cu t, iar
câmpul w P t, este nestaþionar.
Pentru a calcula derivata lui (t)
vom considera cazurile:
i. când L fix, iar w P t, nestaþionar:
1 t w P t drL
,
(5.16)
de unde se obþine evident:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
55
d t
dt
w P t
tdr
L
1
,
(5.17)
(s-a folosit formula de derivare stabilitã la integralele depinzând de parametru)
ii. când w w P este un câmp staþionar, iar arcul de curbã L(t) variazã cu timpul t.
Va trebui sã calculãm derivata funcþiei:
tL
rdPwt
2
(5.18)
În momentul t + t noul drum va fi L(t + t) de extremitãþi A� ºi B� (ca în figura
de mai sus), avem:
ttL
rdPwtt
2
Dacã t este suficient de mic, noua poziþie P� a punctului P poate fi aproximatã
prin vectorul:
PP v t t'
(5.19)
În particular: AA v A t BB v B t' ';
. (5.19�)
Calculãm variaþia integralei )(2 t
2 2t t t wdr wdr wdr wdr wdr wdr wdr
A B AB A B BA C BB AA
' ' ' ' ' '
(*)
C fiind conturul închis ca în figura de mai sus.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
56
Notând cu suprafaþa generatã de PP '
când P descrie arcul AB ºi aplicând
primei integrale formula lui Stokes rezultã:
wdr n rot w d
C
Luând ca element de suprafaþã d aria descrisã de PP '
pentru o deplasare ds a
punctului P pe arcul AB avem:
n d PP dr v P dr t
'
ºi cu aceasta integrala de suprafaþã se transformã intr-o noua integralã pe L(t)
w dr t rot w v dr t rot w v dr
C L t L t
Celorlalte integrale din (*) le aplicãm teorema mediei.
Fie a b, versorii vectorilor AA BB' '
ºi , existã douã puncte A1 ºi B1 pe
segmentele AA� ºi BB� astfel ca:
'
1'1''
)( AAAwdswadswardwAAAAAAA
'
1'1''
)( BBBwdswbdswbrdwBBBBBBB
Cum AA v A t'
ºi BB v B t'
avem:
2 21 1
t t t
trot w v dr w B v B w A v A
L t
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
57
Când t 0 , A� tinde cãtre A, deci A1 tinde cãtre A, datoritã continuitãþii
w A1 va tinde cãtre
w A , analog w B1 va tinde cãtre
w B , deci:
d
dtrot w v dr w B v B w A v A
L t
2
Þinând cont cã:
w v w v grad w v dr
B A AB
avem
d
dtrot w v grad w v dr
L t
2
(5.16)
iii. cazul general când ºi w w P t , este nestaþionar ºi L(t) variazã þinând cont de
cazurile i. ºi ii. avem:
d
dt
w
trot w v grad w v dr
L t
(5.17)
B. Derivata unui flux în cazul unui câmp nestaþionar
Fie ),( tPww
un câmp vectorial nestaþionar ºi )(t o suprafaþã deschisã, mãrginitã de o curbã închisã )(tCC . Vom presupune cã suprafaþa Ó este formatã tot timpul din aceleaºi puncte materiale P care se deplaseazã în spaþiu cu viteza v
ºi cã are normala continuã n
. Aºa dupã cum se ºtie avem:
)(
),()(t
dtPwnt (5.18)
care va fi o funcþie de timp. Deplasarea punctului P în timpul t dacã t este suficient de mic poate fi
aproximatã prin vectorul tPvPP )(' ca în figura
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
58
Noile poziþii 'P ale punctelor P formeazã o nouã suprafaþã )( tt . Avem
cazurile: i) când Ó este fixã ºi ),( tPww
, deci
dtPwnt ),()(1
(5.19)
de unde
d
t
wn
dt
td
)(1 (5.20)
ii) când )(Pww
, iar )(t avem
)(
2 )()(t
dPwnt (5.21)
ºi deci
)( )(
22 )()(')()(tt t
dPwndPwnttt , am
notat cu 'n
normala la )(' tt .
Fie lS '.
Putem scrie:
S l
dPwndPwnttt )()()()( 22
.
Prima integralã se poate transforma într-o integralã de volum, folosind formula lui Gauss-Ostrogradski:
S
dwdivdPwn )()(
cu tdPvndPPnd )('
, deci:
S t
dnwdivvtdPwn)(
)()( .
Cum trdPvPPrddnl
)('
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
59
avem
)(
)(t
dvwrotntwnl
.
Deci
)(
22 )()()()(t
dvwrotwdivvntttt
sau evident:
)(
2 )()()(t
dvwwvvdivwndt
d
iii) când ºi câmpul ºi suprafaþa Ó variazã cu t
)(
)()(t
dvwvdivwdt
wdn
dt
d
Probleme rezolvate 1. Se considerã câmpul vectorial:
v
=grad( c
grad u), unde kjic
, iar
u
= x12
1 4-6
1x3(y+z)+ x
2
1 2yz +f(y-x , z-x),
f fiind o funcþie derivabilã. i) Sã se afle mãrimea ºi direcþia câmpului v
în punctele A(1,2,0) ºi B(2,1,3)
ii) Sã se gãseascã liniile de câmp ale câmpului vectorial v
ºi apoi sã se determine suprafaþa de câmp ce trece prin elipsa : z=1 , x2+4y2=1.
Rezolvare: Mai întâi sã gãsim expresia câmpului vectorial í; cum:
3
2 ' '1 2
3 2 3 2' '
1 2
3
6 2 6 2
u u u xcgradu x y z xyz f f
x x z
x x z x x yf f xyz
rezulta: kxyjxziyzv
i) Þinând seama de cele de mai sus , avem
v
(A)=2 k
si v
(B)= kji
263
si v
(A) are direcþia axei Oz ºi mãrimea 2 , iar v
(B) are mãrimea 7 ºi direcþia de
cosinusuri directoare 7
3 ,
7
6 ,
7
2.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
60
ii) Ecuaþiile diferenþiale ale liniilor de câmp sunt:
xy
dz
xz
dy
yz
dx
Din primul ºi al doilea raport avem:
x
dy
y
dx , de unde : y2-x2=C1
analog din primul ºi al treilea raport obþinem:
x
dz
z
dx , de unde z2-x2=C2
Prin urmare liniile de câmp au ecuaþiile
222
122
Cxz
Cxy
Pentru a gãsi suprafaþa de câmp ce trece prin elipsa din enunþ , impunem ca sistemul:
14
122
222
122
yx
z
Cxz
Czy
sã fie compatibil , de unde obþinem suprafaþa de ecuaþie : 045z-4yx 222 2. Sã se determine suprafaþa de câmp a vectorilor v
(M)=grad f grad g , care trece prin
curba de ecuaþii
1
0:
xy
z, unde f(M)=x+y+z , g(M)=xy+yz+zx.
Rezolvare : Þinând seama de expresia cartezianã a gradientului avem:
grad f= kji
, grad g=(y+z) i
+(x+z) j
+(x+y) k
, ºi
ky)-(x+jx)-(z+iz)-(y=gradg gradf=(M)
v .
Ecuaþiile diferenþiale ale liniilor de câmp sunt:
yx
dz
xz
dy
zy
dx
, care integrate ne dau liniile de câmp:
2222
1:Czyx
CzyxC
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
61
Suprafaþa de câmp cerutã este generatã de liniile de câmp (C), care se sprijinã pe curba (Ã) .
Astfel avem sistemul
0z
1xy
Czy x
Czyx
2222
1
Eliminând pe x,y,z între ecuaþiile acestui sistem , obþinem condiþia de compatibilitate a sistemului sub forma : 22
21 CC
Eliminând pe C1 si C2 din aceasta relaþie ºi ecuaþiile (C) obþinem suprafaþa de câmp :
(S): xy+yz+zx-1=0. 3. Se considerã câmpul vectorial :
kz
yxj
z
yi
z
xv
2
22
22
Sã se arate cã v
este irotaþional în semiplanul z>0 ºi apoi sã se determine funcþia de forþã . Rezolvare: Avem prin calcul direct cã :
0
222
22
z
yx
z
y
z
xzyx
kji
vrot
Funcþia de forþã este :
dtt
yxdt
z
tdt
z
tzyxP
x
x
y
y
z
z
0 0 0
2
22
00
22),,()( =
Cz
yx
zzyxyy
zxx
z
22
0
2220
2
0
20
2
0
11)()(
1)(
1
unde am notat :
0
20
20
z
yxC
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
62
4. Fie ky)xy(xjz)xz(xiz)yz(y
v Sã se determine suprafeþele ortogonale
liniilor de câmp ºi apoi sã se scrie: v
=ë grad F Rezolvare: Prin calcul direct avem:
rot v
=2x(y-z) i
+2y(z-x) j
+2z(x-y) k
de unde: v
rot v
=0 , deci v
este un câmp biscalar ºi admite o familie de suprafeþe ortogonale liniilor de câmp. Liniile de câmp ale lui rot v
sunt soluþiile sistemului :
)()()( yxz
dz
xzy
dy
zyx
dx
ºi anume x+y+z=C1 ; xyz=C2 (C1 , C2-
constante). Se observã cã : rot v
grad (x+y+z)=0 , rot v
grad (xyz)=0
Putem descompune v
dupã direcþiile vectorilor grad (x+y+z) ºi grad(xyz): v
=ágrad(x+y+z)+âgrad(xyz) de unde , calculând gradienþii ºi identificând cu v
dat iniþial , obþinem :
á=-xyz ,â=x+y+z, deci : v
=-xyz grad (x+y+z)+(x+y+z) grad (xyz). Cu aceasta ecuaþia cu diferenþialele totale v
d r
=0 devine : (x+y+z)d(xyz)-(xyz)d(x+y+z)=0
Integrala generala a acestei ecuaþii este :
Cxyz
zyx
(C � constantã)
Câmpul vectorial se poate scrie sub forma:
v
= ë gradxyz
zyx , ë determinându-se prin identificare :
ë=-(xyz)2, deci v
= -x2y2z2 gradxyz
zyx
5. Sã se determine integrala generalã a ecuaþiei :
y
zzy
x
zzx x2+y2
precum ºi suprafaþa integralã ce trece prin curba:
12
1:
22 xyyx
z
Rezolvare: Sistemul diferenþial al caracteristicilor este:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
63
22 yx
dz
zy
dy
zx
dx
, care poate fi scris sub forma mai convenabilã:
22 yx
zdz
y
dy
x
dx
Din egalitatea primelor douã rapoarte se obþine: xy=C1 Amplificând cele trei rapoarte cu x ; -y ; -1 ºi fãcând raportul dintre suma
numãrãtorilor ºi suma numitorilor, noul numitor trebuie sã fie nul, adicã: xdx-ydy-zdz=0
Integrând se obþine: x2-y2-z2=C2, de unde se obþine soluþia generalã a ecuaþiei de forma:
Ö(xy , x2-y2-z2)=0 Suprafaþa integralã care trece prin curba datã poate fi obþinutã din integrala
generalã , punând condiþia ca hiperbola à sã se afle pe aceasta suprafaþã ; se obþine conul cu vârful în origine:
z2=x2-y2-2xy. 6. Sã se determine integrala generalã a ecuaþiei :
22 zyxazy
zy
x
zx
Rezolvare: Sistemul diferenþial al caracteristicilor este:
22 zyxaz
dz
y
dy
x
dx
Din acest sistem se deduce:
2222zyxaz
zdz
y
ydy
x
xdx
sau
2222222 zyxaz
dz
zyxazzyx
zdzydyxdx
sau
222222 zyxaz
dz
zyxazzyx
zdzydyxdx
sau
2222
22
zyxaz
dz
azzyx
zyx
zdzydyxdx
x
dx
zyxaz
dz
zyxazazzyx
dzzyx
zdzydyxdx
222222
22
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
64
din primul ºi ultimul raport rezultã
x
dx
zyxa
dzzyx
zdzydyxdx
22
22
1
de unde, prin integrare se obþine cã :
2222 lnln)1(ln Cxazyxz sau
12
222 axCzyxz
Din primele rapoarte ale sistemului caracteristicilor rezultã y=C1x. Ecuaþia suprafeþelor integrale este:
x
yfxzyxz a 1222
7. Sã se determine integrala generala a ecuaþiei:
02222
y
zxzy
x
zxzxy
precum ºi suprafaþa care conþine elipsa :
222 44
0:
azy
x
Rezolvare: sistemul diferenþial al caracteristicilor este:
0)(2222
dz
xzy
dy
xzxy
dx
se observa imediat ca z=C
Din primele doua rapoarte avem:
22222 2
2)(2
2
)(2
2
2
ycxx
ydydxcx
ycxx
dxcx
y
ydy
122 ln)2ln(ln Ccxyxy
Prin urmare , suprafeþele integrale x2+y2-2yf(z), sunt generate de cercurile al cãror plan rãmâne paralel cu planul xOy ºi al cãror centru in x=y=C , y=f(z), descriu o curbã în planul x=z.
Suprafaþa care conþine elipsa à este:
22
222 azayzx 8. Se considerã câmpurile de vectori :
u
=ö(r) r
; v
=ö(r)( ra
) unde ö este o funcþie derivabilã oarecare, iar a
un vector constant;
Se cere:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
65
i) Sã se arate cã u
este un câmp irotaþional , iar v
este solenoidal. ii) Sã se determine funcþia ö(r) astfel ca : div u
=ö(r)
iii) Daca ö(r) este funcþia gãsitã la punctul ii), atunci au loc relaþiile: (1)
dgradradn )(
(2)
c
dgradnardrot
unde în prima relaþie Ù este un domeniu mãrginit de suprafaþa Ó , iar cea de-a doua Ó este o suprafaþã deschisã , mãrginitã de curba C. Rezolvare :
i) Cum : rot r
=0 iar, grad ö(r)=ö�(r)r
r , avem
rot u
=ö(r) rot r
+grad ö(r) r
=0 Deoarece : div v
=ö(r) div ( ra
)+( ra ) grad ö (r) , iar
div ( ra
)= r
rot a
� a
rot r
=0 , obþinem divv
=0 ii) Avem:
div u
=ö(r) div r
+ r
grad ö (r)=3 ö(r)+r ö�(r) Problema gãsirii funcþiei ö(r) revine la a rezolva ecuaþia diferenþialã:
3ö(r)+rö�(r)=ö(r) sau rö�(r)+2ö(r)=0
Integrând aceastã ecuaþie , obþinem (3) 2r
Cr
iii) Pentru a demonstra relaþia (1) folosim formula rotorului
(4)
drotdn
cum rr
Ca
2
,rezultã
rarrar
Ca
r
Crot
2
42
22 sau
rrar
Crot
4
2
care se mai scrie , þinând seama de relaþia (3), sub forma : (5) rot v
=-( ra
) grad ö(r) Înlocuind (5) în (4) obþinem relaþia (1) Pentru a demonstra relaþia (2) vom folosi formula lui Stokes Sã calculãm mai întâi
rrar
Cgradrrotra
r
Crotrot
44
22
Þinând seama de relaþia grad (öø)=ö grad ø + ø grad ö , avem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
66
rr
Cgradrara
r
cgradrra
r
cgrad
444
222=
= rar
Crr
r
Craa
r
C
464
28)(
2
deci rar
Crotrot
4
2
Formula lui Stokes devine în acest caz:
c
dnvrotrotrdrot ºi deoarece
)()( rgradnanargrad
,avem
drgradnadnargrad )()(
9. Sã se calculeze circulaþia vectorului : kyzjxyixv
2 de-a lungul conturului închis ABCA din figura de mai jos, unde arcul (BC) este un sfert din cercul cu centrul în origine ºi de raza 1 , cuprins în planul yOz , apoi sã se verifice rezultatul folosind formula lui Stokes Rezolvare: Þinând seama de definiþia circulaþiei avem:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
67
Ã= )( )(ABCA ABCA
rd x2dx+xydy-yzdz=
)( )( )(AB BC CA
rdrdrd =Ã1 +Ã2 +Ã3
Segmentul de dreaptã
1
0:
yx
zAB si deci
Ã1 = )( AB
x2dx+xydy-yzdz= 1
0
-(1-y)2dy+ (1-y)ydy= 1
0
(-1+3y-2y2)dy =6
1
Pentru arcul (BC) avem ecuaþiile parametrice:
sin
2,0,cos
0
z
cuy
x
deci:
3
1sincos
2
0
2
)(
22
dyzdzxydydxxBC
Segmentul de dreaptã
1
0:
zx
yCA ºi deci
Ã3= )(
1
0CA
rd x2dx=
3
1
Ã= Ã1 +Ã2 +Ã3=6
1
Sã verificam cele obþinute cu formula lui Stokes
Avem : rot kyizv
. Notãm cu S suprafaþa laterala a sfertului de con cu vârful în A ºi având ca directoare cercul x=0 , y2+z2=1 este y2+z2=(1-x)2
Reprezentarea parametricã a suprafeþei S este:
x=ñ ; y=(1-ñ) cos ö ; z=(1-ñ) sin ö cu
2,0,1,0
aºa ca elementul de arie este:
ddddFEGd 122
Normala la suprafaþa face cu axa Ox un unghi de 45o , prin urmare :
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
68
kjin sincos
2
2 , deci:
S
ddnkidnrot1
0
2
0
12cos1sin1
=
= 1
0
2
0
2
6
1cossinsin1
dd
10. Sã se calculeze fluxul câmpului : kxyjxyizxv
prin suprafaþa limitatã de planele de coordonate , planul z=h ºi sfertul de cilindru x2+y2=a2 din primul octant al sistemului de axe , apoi sã se verifice rezultatul aplicând formula lui Gauss Ostrogradski. Rezolvare: Avem:
flux(OABCDE)( v
)= flux(OAB)( v
)+ flux(OBCE)( v
)+ flux(OADE)( v
)+ flux(DCE)( v
)+
+flux(ABCD)( v
) Dar :
flux(OAB)( v
)= )(OAB
n
dó
unde kn
este normala la planul yOx , iar dó este elementul de suprafaþã în acest plan , adicã dó=dxdy . Cum (AOB) este situat în planul xOy (z=0) , rezultã
nv =-yz=0,
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
69
de unde: flux(OAB)( v
)=0 În mod analog :
flux(OBCE)( v
)= )(OBCE
nv dó=
)(OBCE
)( iv dydz=0 , (deoarece x=0);
flux(OADE)( v
)= )(OADE
nv dó=
)(OADE
)( jv
dxdz=o , (deoarece y=0).
Mai departe :
flux(DCE)( v
)= )(DCE
nv dó=
)(DCE
kv dxdy=
= )(DCE
yzdxdy=h )(DCE
ydxdy , deoarece (DCE) se aflã în planul z=h.
Cum:
3
3
00)(
22
aydydxydxdyxaa
DCE
, avem flux(DCE)( v
)=3
3ha
Trebuie sã calculãm : flux(ABCD)( v
)=
)( ABCD
nv dó , unde n┴Oz , aºa cã deducem:
2,0,sincos
ujuiun
Reprezentarea parametricã a porþiunii de cilindru fiind : x=a cosu , y=a sinu z=v
cu hu ,0,2
,0
si dudFEGd 2 , unde
2222
au
z
u
y
u
xE
0
z
u
zy
u
yx
u
xF
1222
zyx
G
Deci:
flux(ABCD)( v
)= )( 0
2
0
222 cossincosABCD
h
dudvuuauadn
=
=38
322 haha
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
70
Prin urmare :Ö=8
a2h2+
3
2a3h.
Folosind formula lui Gauss Ostrogradski: S
nv dó=
D
div v
dù ºi þinând
cont cã : div v
=x+y+z , avem:
)( 00
22
)()(OABCDE
xa
a
ah
dyzyxdxdzdzdydzzyx =
= ahahah
dxxazdzdxxadzdxxaxdz0
22
00
22
00
22
0
)(2
1
Însã
a a
dtttadxxax0
32
0
2322
3cossin
a a
dxxa0
322
3
2
a a
tdtadxxa0
2
0
22222
4cos
Prin urmare
hahaa
ha
ha
h 3223
233
3
2
842
1
3
2
2
1
3
Probleme nerezolvate 1.Sa se demonstreze cã:
( r )rn=nrn,
unde r
este vectorul de poziþie.
2.Sã se calculeze gradienþii câmpurilor scalare : i)ö(x,y,z)=xyz ex+y+z
ii)ö(x,y,z)=arctgxzyzxy
xyzzyx
1
iii)ö(x,y,z)=f(x,xy,xyz) iv)ö(x,y,z)= f(x+y+z,x2+y2+z2)
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
71
3.Sã se gãseascã unghiul dintre gradienþii câmpului :
222),,()(
zyx
xzyxP
în punctele A(1,2,2) ºi B(-3,1,0)
4.Se dau funcþiile :
ö=r
1ø=| rc
|2 , unde:
kjic
ºi kzjyixr
. Sã se determine liniile de câmp , ale câmpului vectorial :
v
=grad ögrad ø ºi suprafaþa de câmp ce trece prin curba :
023:
222 zyxzyx
yx
5.Sã se determine suprafaþa de câmp a câmpului vectorial: v
=grad (xyz), care trece prin hiperbola : z=0 , 2x2-3y2=1 6.Dacã ö este o funcþie armonicã , iar r
este vectorul de poziþie, atunci avem:
grad ( r
grad ö)+rot( r grad ö)+grad ö=0
7.Sã se arate cã urmãtoarele câmpuri sunt irotaþionale ºi sã se determine potenþialul fiecãrui câmp :
i)2221 zyx
kxzjzxiyz
ii) v
=vers r
iii) v
=zyx
kji
8.Fie câmpul vectorial kyxjyixzv
)()(2 22 ; se cere: i)Sã se determine liniile de câmp ºi suprafeþele ortogonale liniilor de câmp ; sã se scrie v
=ë grad F; ii)Care sunt funcþiile ö=ö(x,y,z) pentru care : ),,()(2 zyxkjyixv
admite
suprafeþe ortogonale liniilor de câmp. 9.Se considerã câmpul vectorial: v
=grad ö(r) + ö(r) grad ø(r) , unde ö ºi ø sunt douã funcþii derivabile arbitrare , se cere sã se demonstreze: i) v
rot v
=0
ii)
C
rdvdnrgradv )]([
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
72
pentru orice suprafatã deschisa (Ó) mãrginitã de o curbã oarecare (C). 10. Sã se calculeze fluxul câmpului v
=(xyz) r
, cu r
-vectorul de poziþie , prin suprafaþa
limitatã de planele de coordonate ºi sfertul de sferã x2+y2+z2=1 din primul octant.
CALCUL OPERAÞIONAL _______________________________________________________________
73
CALCUL OPERAÞIONAL
SERII FOURIER. INTEGRALA FOURIER. TRANSFORMATA FOURIER
Obiective ºi idei principale de reþinut 1. Sã defineascã seria Fourier a unei funcþii periodice; 2. Sã defineascã integrala Fourier; 3. Sã defineascã transformata Fourier 4. Sã defineascã transformata Laplace; 5. Sã defineascã teoremele folosite în calculul operaþional; 6. Sã rezolve ecuaþii diferenþiale ºi integrale folosind transformata Laplace. 7. Sã cunoascã exerciþiile rezolvate de la pagina 116.
6.1. Seria Fourier a unei funcþii periodice Fie f o funcþie realã sau complexã definitã pe R ºi periodicã
Definiþia 6.1. Se numeºte serie trigonometricã o serie de funcþii de forma:
a a k t b k tk kk
01
cos sin
(6.1)
unde a0, ak, bk, sunt constante reale, iar t o variabilã realã.
Observaþia 6.1. Funcþiile:t→cost; t→sint sunt periodice de perioadã 2; funcþiile
t→cos t, t→sin t au perioada T 2
, deoarece:
cos cos cos
t t t
22
sin sin sin
t t t
22
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
74
La fel se aratã cã funcþiile t→cos kt, t→sin kt cu k N au perioada
TT
k kk 1 2
.
Þinând seama de observaþia 6.1. se poate afirma cã: dacã seria trigonometricã
(6.1) este convergentã într-un punct t0, iar suma sa este S(t0) atunci seria va fi convergentã
ºi în punctele t0 + nT, n Z ºi avem:
S t nT S t0 0
De aici rezultã cã este suficient sã cunoaºtem natura seriei într-un interval , T
pentru a putea spune care este natura seriei pentru orice t R .
Observaþia 6.2. Seriile trigonometrice se întâlnesc în studiul fenomenelor
periodice din acusticã, electrotehnicã etc. unde se pune problema reprezentãrii unei
funcþii periodice f printr-o serie de forma (6.1):
f t a a k t b k tk kk
01
cos sin (6.2)
Problema expusã în observaþia 6.2. se poate împãrþi în douã:
i. dacã f este egalã cu suma unei serii trigonometrice, sã determinãm coeficienþii a0, ak,
bk dupã cum urmeazã:
Presupunem cã f este integrabilã pe , T ºi cã seria (6.2) poate fi
integratã termen cu termen:
f t dt a dt a k t dt b k t dtT
k
T
k
T
k
T
01
cos sin
Se observã cã:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
75
cos sin
sin cos
k t dtk
k t
k t dtk
k t
T T
T T
10
10
(6.3)
deci:
f t dt a TT
0
(6.4)
Sã înmulþim în egalitatea (6.2) ambii membri cu cos pt, unde p N ºi sã
integrând pe , T ; vom obþine:
f t p t dt a p t dt
a p t k t dt b k t p t dt
T T
k
T
k
T
k
cos cos
cos cos sin cos
0
1
Se observã cã: cosp t dtT
0 ºi
cos cos cos cosk t p t dt k p t dt k p t dtT T T
1
2
1
2
0
pentru k p
T
2 pentru k = p
cu k p N, .
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
76
sin cos sin sink t p t dt k p t dt k p t dtT T T
1
2
1
20
oricare ar fi k p N, .
Am obþinut cã:
f t p t dt aT
p
T
cos
2 (6.5)
Pentru determinarea coeficienþilor bk înmulþim egalitatea (6.2) cu sinpt ºi
integrând relaþia astfel obþinutã pe , T avem:
f t p t dt a p t dt
a p t k t dt b k t p t dt
T T
k
T
k
T
k
sin sin
sin cos sin sin
0
1
Se observã cã: sin p t dtT
0 , p N , cos sink t p t dtT
0 ºi
sin sin cos cosk t p t dt k p t dt k p t dtT T T
1
2
1
2
0
pentru k p
T
2 pentru k = p
Deci:
f t p t dt bT
p
T
sin
2 (6.6)
Din relaþiile (6.4), (6.5) ºi (6.6) cu o schimbare de notaþie convenabilã se obþin:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
77
aT
f t dt
aT
f t k t dt
bT
f t k t dt
k
T
k
T
k
T
01
2
2
1 2
cos
sin
, , (6.7)
Observaþia 6.3. Egalitãþile din relaþiile (6.7) se numesc formulele lui Euler ºi
Fourier.
Observaþia 6.4 Coeficienþii Fourier ai unei funcþii f sunt complet determinaþi
prin relaþiile (6.7), integralele nu depind de , fapt ce rezultã din:
Propoziþia 6.1. Dacã F este o funcþie periodicã de perioadã T integrabilã pe orice
interval mãrginit, integrala acestei funcþii pe orice interval de lungime egalã cu perioada
este aceeaºi:
F t dt F t dtT T
(6.8)
Demonstraþie: presupunem cã < , avem evident:
F t dt F t dt F t dt F t dtT T
T
T
Fãcând în ultima integralã schimbarea de variabile t T obþinem:
F t dt F T d F d F t dtT
T
ii. Precizarea unor condiþii în care f poate fi dezvoltatã în serie sub forma (6.2); pentru
aceasta fie f a b R: ,
Definiþia 6.2. Vom spune cã f satisface condiþiile lui Dirichlet pe [a,b] dacã:
i. f este mãrginitã ºi are cel mult un numãr finit de puncte de discontinuitate pe [a,b];
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
78
ii. intervalul [a,b] poate fi împãrþit într-un numãr finit de subintervale astfel încât pe
fiecare subinterval f sã fie monotonã.
Are loc urmãtoarea teoremã:
Teorema 6.1. (Dirichlet) Dacã funcþia f periodicã de perioadã T satisface
condiþiile lui Dirichlet pe un interval , T seria Fourier este convergentã pentru
orice t.
Suma S(t) a seriei Fourier este egalã cu f(t) în toate punctele în care f este
continuã. Într-un punct de discontinuitate, c:
S c f c f c 1
20 0
Teorema 6.1. constituie un criteriu de o largã aplicabilitate referitor la
posibilitatea de a reprezenta o funcþie prin seria sa Fourier, sau cum se mai spune de a
dezvolta o funcþie în serie Fourier.
6.2. Seria Fourier a unei funcþii pare ºi a unei funcþii impare
Definiþia 6.3. O funcþie f l l R: , se numeºte parã dacã f(-t) = f(t) ºi
imparã dacã f(-t) = -f(t), t l l , .
Observaþia 6.5. În punctele simetrice faþã de origine funcþiile pare iau valori
egale, iar funcþiile impare valori opuse. Graficul unei funcþii pare este simetric în raport
cu axa ordonatelor, iar graficul unei funcþii impare este simetric în raport cu originea.
Propoziþia 6.2. Dacã f este o funcþie parã ºi integrabilã pe intervalul [-l, l] atunci:
f t dt f t dtl
l l
2
0
(6.9)
Dacã f este o funcþie imparã pe [-l, l] ºi integrabilã pe acest interval atunci:
f t dtl
l
0 (6.10)
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
79
Demonstraþie. În general avem:
f t dt f t dt f t dtl
l
l
l
0
0
Fãcând t = - avem:
f t dt f d f dl l
l
0 0
0
de unde dacã f este o funcþie parã:
f t dt f t dtl
l
0
0
iar dacã f este o funcþie imparã:
f t dt f t dtl
l
0
0
Are loc:
Teorema 6.2. Dacã f este o funcþie parã, seria sa Fourier este:
a a k tkk
01
cos
cu coeficienþii: aT
f t dt aT
f t k t dtT
k
T
00
2
0
22 4
, cos .
Dacã funcþia f este imparã, seria Fourier este:
b k tkk
sin 1
cu coeficienþii: bT
f t k t dtk
T
4
0
2
sin .
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
80
Demonstraþie. Rezultã imediat, luând ca interval , T în calculul
coeficienþilor Euler - Fourier (6.7) intervalul cu centrul în origine
T T
2 2, avem:
aT
f t dt aT
f t k t dt bT
f t k t dtT
T
kT
T
kT
T
02
2
2
2
2
21 2 2
, cos , sin
Dacã f este parã, f t k t cos este parã, iar f t k t sin este imparã ºi
folosind propoziþia 6.2. avem:
aT
f t dt aT
f t k t dt bT
k
T
k00
2
0
22 4
0 , cos ,
Dacã f este imparã, f t k t cos este imparã, iar f t k t sin este parã ºi
avem:
a a bT
f t k t dtk k
T
00
2
0 04
, , sin
6.3. Forma complexã a seriei Fourier
Fie în cele ce urmeazã f o funcþie realã sau complexã, periodicã de perioadã T,
integrabilã pe intervalul , T . Am vãzut cã seria sa Fourier:
a a k t b k tTk k
k0
1
2
cos sin
este determinatã când a0, ak, bk sunt daþi de (6.7)
Sã înlocuim funcþiile trigonometrice prin exponenþiale, folosind formulele lui
Euler:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
81
cos ; sink t e e k ti
e eik t ik t ik t ik t 1
2 2
obþinem:
aa ib
ea ib
ek k ik t k k ik t
k0
1 2 2
Coeficienþii acestei serii de funcþii exponenþiale sunt:
c aT
f t dtT
0 01
ca ib
Tf t k t i k t dt
Tf t e dtk
k kT
ik tT
2
1 1cos sin
ºi
ca ib
Tf t k t i k t dt
Tf t e dtk
k kT
ik tT
* cos sin
2
1 1
Se observã cã toþi aceºti coeficienþi se pot obþine din:
,2,1,0,1
ndefT
cT
ni
n
pentru n = 0, k, -k. Deci seria Fourier a funcþiei f se mai scrie:
c c e c ekik t
kik t
k0
1
sau încã:
c e cT
f e dkin t
nn
i nT
,
1
(6.11)
Aceasta reprezintã forma complexã a seriei Fourier.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
82
Observaþia 6.6. Dacã f satisface condiþiile lui Dirichlet ºi dacã în fiecare punct
de discontinuitate valoarea funcþiei este egalã cu media aritmeticã a limitelor sale laterale
în acel punct atunci:
f tT
f e di n tT
n
1
(6.12)
7.1. Forma complexã a integralei Fourier
Sã considerãm o funcþie f realã sau complexã ºi neperiodicã. Funcþia f nu mai
poate fi dezvoltatã în serie Fourier. În schimb în anumite condiþii f poate fi reprezentatã
printr-o integralã dublã improprie care prezintã o oarecare analogie cu seria Fourier. Are
loc:
Teorema 7.1. Dacã f este o funcþie realã sau complexã satisfãcând:
i. condiþiile lui Dirichlet pe orice interval de lungime finitã;
ii. în fiecare punct c de discontinuitate, valoarea funcþiei este egalã cu media aritmeticã a
limitelor laterale în acel punct:
f c f c f c 1
20 0
iii. este absolut integrabilã pe , , adicã integrala f t dt
este convergentã
atunci existã egalitatea:
f t du f e diu t
1
2
(7.1)
Observaþia 7.1. Integrala dublã improprie prin care este reprezentatã funcþia f se
numeºte integrala Fourier, iar egalitatea (7.1) se numeºte formula lui Fourier.
Sã considerãm o funcþie f care satisface cele trei condiþii din teorema 7.1., îi
asociem o funcþie F periodicã, de perioadã T= 2l, definitã prin:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
83
F t f t t l l , (7.2)
aceastã funcþie îndeplineºte condiþiile lui Dirichlet, deci poate fi dezvoltatã în serie
Fourier; în conformitate cu (6.12) avem:
F tl
F e dT
in t
l
l
n
1
2
2
;
sau þinând seama de (7.2) obþinem:
F tl
f e din t
l
l
n
1
2
(7.3)
Observaþia 7.2. Egalitatea (7.2) are loc pe un interval cu atât mai mare cu cât l
este mai mare. Este de aºteptat ca din (7.3) sã obþinem o reprezentare a funcþiei f trecând
la limitã pentru l .
Sã considerãm o nouã varaibilã realã u ºi sã notãm cu n un . Pentru un l
dat putem nota:
u t f e dniu t
l
ln,
Þinând seama cã
2 2
T l avem:
1
2
1
21 1l
n n u un n ;
deci (7.3) devine:
F t u t u un n n
1
2 1 ,
Aceastã serie este asemãnãtoare cu sumele folosite pentru a defini integrala
Riemann.
Când l u un n , 1 0 rezultã din ultima egalitate:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
84
f t u t du
1
2 ,
unde u t f e diu t,
, deci
f t du f e diu t
1
2
7.2. Forma realã a integralei Fourier. Cazul funcþiilor pare sau impare
Fie f o funcþie îndeplinind condiþiile teoremei 7.1. astfel încât
f t du f e diu t
1
2
În egalitatea de mai sus facem înlocuirea e u t i u tiu t cos sin ºi
obþinem:
f t du f u t di
du f u t d
1
2 2
cos sin
(7.4)
Notând cu:
g u t f u t d, cos
h u t f u t d, sin
se observã cã:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
85
g u t g u t
h u t h u t
, ,
, ,
de unde:
g u t du g u t du
h u t du
, ,
,
2
0
0
Cu acestea egalitatea (7.4) devine:
f t du f u t d
1
0
cos (7.5)
Egalitatea (7.5) se numeºte forma realã a integralei Fourier.
Observaþia 7.3. Þinând seama cã
cos cos cos sin sinu t ut u ut u
relaþia (7.5) devine:
f t utdu f u d utdu f u d
1 1
0 0
cos cos sin sin
(7.5�)
ºi notând cu
A u f u d
B u f u d
1
1
cos
sin
avem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
86
f t A u ut B u ut du
cos sin0
de unde analogia cu seria Fourier este evidentã.
Þinând seama de cele de mai sus avem:
Teorema 7.2.
i. dacã f este o funcþie parã, formula lui Fourier se reduce la:
f t utdu f u d
2
0 0
cos cos
ii. dacã f este o funcþie imparã atunci:
f t utdu f u d
2
0
sin sin
Demonstraþie
i. Dacã f este o funcþie parã atunci f u cos este parã în raport cu iar
f u sin este imparã ºi avem:
f u d f u d cos cos
20
ºi
f u d sin
0
de unde egalitatea (7.5�) devine (7.6).
ii. Analog se aratã cã pentru f imparã avem egalitatea (7.7)
7.3. Transformata Fourier
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
87
Integrala Fourier are aplicaþii foarte variate. Unele din acestea sunt legate direct
de noþiunea de transformatã Fourier.
Fie f o funcþie care poate fi reprezentatã prin integrala Fourier:
f t du f e diu t
1
2
care se mai poate scrie:
f t e du f e diut iu
1
2
Dacã notãm:
g u f e d f t e dtiu iut
1
2
1
2
avem þinând seama de cele de mai sus:
f t g u e duiut
1
2
Definiþia 7.1. Funcþiile
g u f t e dt f t g u e duiut iut
1
2
1
2 ;
(7.8)
se numesc una transformata Fourier a celeilalte.
Þinând cont cã integrala Fourier mai poate fi scrisã:
f t du f e diu t
1
2
unde e u t i u tiu t cos sin
rezultã:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
88
f t du f u t di
du f u t d
1
2 2
cos sin
f t du f e diu t
1
2
obþinem funcþiile:
g u f t e dt f t g u e duiut iut
1
2
1
2 ;
ca transformate Fourier una a celeilalte.
Analog, dacã în (7.6) se noteazã
g u f u d f t utdt
2 2
0 0
cos cos
aceastã egalitate devine:
f t g u utdu
2
0
cos
iar dacã în (7.7) se noteazã
g u f u d f t utdt
2 2
0 0
sin sin
egalitatea (7.7) se poate scrie:
f t g u utdu
2
0
sin
Definiþia 7.2. Funcþiile
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
89
g u f t utdt f t g u utdu
2 2
0 0
cos ; cos
(7.9)
se numesc una transformata Fourier prin cosinus a celeilalte.
Funcþiile
g u f t utdt f t g u utdu
2 2
0 0
sin ; sin
(7.10)
se numesc una transformata Fourier prin sinus a celeilalte.
Sã considerãm una din egalitãþile (7.8), de exemplu a doua:
1
2g u e du f titu
în care f este o funcþie datã, îndeplinind condiþiile din teorema 7.1. Aceastã egalitate este
o ecuaþie în care funcþia necunoscutã g figureazã sub semnul de integrare. Soluþia acestei
ecuaþii este datã de prima egalitate din (7.8).
O astfel de ecuaþie se numeºte ecuaþia integralã de tip Fourier.
TRANSFORMATA LAPLACE
8.1. Funcþia original
Calculul operaþional se bazeazã pe realizarea unei corespondenþe între douã
mulþimi de funcþii: mulþimea funcþiilor numite original ºi imaginile lor obþinute printr-o
anume transformare.
Definiþia 8.1. Se numeºte original o funcþie f, realã sau complexã
f R R C: care satisface:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
90
i. f(t) = 0 pentru t < 0;
ii. f este derivabilã pe porþiuni;
iii. existã douã numere M0 > 0, s0 0 astfel încât:
f t M es t 0 pentru orice t 0, (8.1)
Mulþimea funcþiilor care îndeplinesc aceste condiþii o vom nota cu Ó.
Observaþia 8.1.
i. prima condiþie din definiþia 8.1. pare a fi o condiþie artificialã, dar metodele
operaþionale se referã la rezolvarea unor probleme în care mãrimea fizicã reprezentatã
prin f are proprietatea cã este nulã înaintea momentului iniþial t = 0 sau valorile sale
pentru t < 0 nu prezintã interes;
ii. numãrul s0 se numeºte indicele de creºtere al funcþiei f.
Are loc:
Teorema 8.1. Suma ºi produsul a douã funcþii original sunt funcþii original.
Demonstraþie: fie f ºi g douã funcþii care îndeplinesc condiþiile definiþei 8.1.
Este evident cã f + g ºi f g îndeplinesc condiþiile i. ºi ii. din definiþia 8.1.
Din gf , Ó (mulþimea funcþiilor original) rezultã cã existã M M1 2 0, ºi
s s1 2 0, aºa încât:
f t M e g t M es t s t 1 21 2 ºi
Avem:
f t g t f t g t M es t 2 0
unde M M M max ,1 2 ºi s s s0 1 2 max , ºi de asemenea:
f t g t f t g t M M e s s t 1 2
1 2
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
91
Consecintã. Dacã if Ó, i=1,2,�,n, atunci ºi
n
iii f
1
Ó, oricare ar fi
constantele i reale sau complexe; de asemenea produsul hfff n...21 Ó. În
particular dacã f Ó atunci ºi nf Ó, Nn
Exemple:
1. Fie f R C: , f t e t cu = 1 + i2 este evident o funcþie original; indicele
sãu de creºtere este 1 dacã 1 0 ; în cazul când 1 < 0 indicele de creºtere este
zero.
2. Funcþiile:
titititi eetteei
tt 2
1cos,
2
1sin
tttt eetchteetsht 2
1,
2
1
sunt funcþii original conform teoremei 8.1.
3. Funcþia f t t n Nn este de asemenea o funcþie original; primele douã
condiþii ale definiþiei 8.1. sunt evidente; pentru condiþia iii. din definiþia 8.1. avem dupã
cum se ºtie, dacã > 0 cã
et t t
nt
n n 1
1 2
2 2
! ! !
din care deducem pentru t > 0 cã:
n nt
ntt
ne
ne
!
! deci t n
rolul lui M îl are n
n
!
iar indicele de creºtere este .
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
92
8.2. Transformata Laplace. Imagine dupã transformata Laplace
Fie fcu : CRf Ó arbitrarã ºi 0s indicele sãu de creºtere.
Definiþia 8.2. Se numeºte transformata Laplace a funcþiei f, funcþia:
F C:0 unde 0 0 p C pRe
F p f t e dt p s ipt
0
, (8.2)
Domeniul în care funcþia f este definitã este precizat în teorema urmãtoare.
Teorema 8.2. Dacã f Ó cu s0 indicele de creºtere aqtunci F este determinatã în
semiplanul s > s0 ºi este o funcþie olomorfã în acest semiplan.
Derivata sa se obþine derivând în raport cu p funcþia de sub semnul de integrare:
F p t f t e dtpt'
0
(8.3)
Demonstraþie: vom demonstra mai întâi cã integralele din (8.2) ºi (8.3) sunt
absolut convergente în semiplanul s > s0.
Avem:
f t e dt f t e dtptl
ptl
0 0
þinând cont de (8.1) ºi de e e ept s i t st rezultã cã:
f t e dt M e dtM
s sept
ls s t
ls s t
0 0 0
0 01
Trecând la limitã pentru l , în ipoteza cã s > s0 rezultã cã:
f t e dtM
s spt
0 0
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
93
de unde obþinem cã integrala (8.2) este absolut convergentã.
Din aceastã inegalitate deducem cã:
F pM
s s
0 (8.4)
În integrala (8.3) locul funcþiei f este luat de t f care este tot o funcþie
original având indicele de creºtere s0 + , unde este un numãr strict pozitiv oricât de
mic; raþionamentul de mai sus rãmâne valabil.
Sã demonstrãm cã F este monogenã în orice punct p din semiplanul s > s0.
Considerãm un cerc C cu centrul în p ºi
conþinut în semiplanul s > s0. Fie z un punct
interior cercului. Avem:
F z F p f t e e dtzt pt
0
Diferenþa e ezt pt se poate
dezvolta dupã formula lui Taylor:
z p
z pp
z p
i
d
p p z pC
1 2
2
2!'
de unde obþinem:
e e t e z p z p R z p tzt pt pt 2 , ,
unde:
R z p ti
e d
p p z p
t
C
, ,
1
2 2
.
Folosind aceastã dezvoltare, putem scrie:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
94
F z F p
z pt f t e dt z p R z p t f t dtpt
0 0
, ,
(8.5)
ºi
R z p te d
p p z p
t
C
, ,
1
2 2
dar
e e e et i t t s t 1
unde s1 este cea mai micã abscisã a punctului arbitrar de pe cerc.
Avem:
p - raza cercului;
p z p p z p r 0 cu r z p , de unde obþinem:
R z p t
e
r
s t, ,
1
Cu acestea vom avea:
R z p t f t dtr
f t e dt
M
re dt
M
r s s
s t
s s t
, ,
0 0
0 1 0
1
1
1
1 0
Folosind aceastã inegalitate se observã cã ultimul termen din (8.5) tinde la zero
când z tinde la p ºi avem:
lim
z p
ptF z F p
z pt f t e dt
0
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
95
deci funcþia F este monogenã în semiplanul s > s0, iar derivata sa are expresia (8.3).
Observaþia 8.2. Pe tot parcursul capitolului acesta vom nota funcþiile original cu
literã micã: f; g; h etc. ºi imaginile lor cu literã mare corespunzãtoare: F; G; H etc.
Transformata Laplace (8.2) o vom nota prescurtat:
tgpGtfpF LL ; (8.6)
Are loc urmãtoarea teoremã:
Teorema 8.4. Transformata Laplace este o transformare liniarã.
Demonstraþie: fie gf , Ó, am vãzut în teorema 8.1. cã ºi gfgf , Ó.
Avem evident:
tgtf
dtetgdtetfdtetgtftgtf ptptpt
LL
L000
tfkdtetfkdtetfktfk ptpt LL00
Exemple:
1. Imaginea funcþiei f t e ip
t
, unde = este F p1 21
,
deoarece:
p
ep
dtedteetfpF tptpptt 1100 0
L
2. 22
11
2
1
2
1sin LLL
pipipi
eei
t titi
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
96
22
11
2
1
2
1cos LLL
p
p
ipipeet titi
8.3. Teoremele: asemãnãrii, întârzierii, deplasãrii originalului, integrãrii originalului
Fie f Ó ºi o constantã strict pozitivã. Este evident cã funcþia definitã
t f t este de asemenea o funcþie original.
Teorema 8.5. (asemãnãrii) Dacã F(p) este imaginea funcþiei f oricare ar fi
constanta > 0 avem:
pFtf
1L (8.7)
Demonstraþie: avem evident cã
0
L dtetftf pt ºi fãcând
schimbarea de variabilã t obþinem:
p
Fdeftfp 11
0
L
Dacã în funcþia original f înlocuim pe t cu t - , unde este o constantã, obþinem
o nouã funcþie original f(t-) care este nulã pentru t-<0 ºi ia aceleaºi valori ca f(t) însã
cu întârzierea . Are loc:
Teorema 8.6. (întârzierii) Dacã f Ó ºi este întârzierea sa atunci:
tfetf p LL (8.8)
Demonstraþie: fie f Ó, þinând cont cã f t 0 pentru t < avem:
f t e dt f t e dtpt pt
0
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
97
cu schimbarea t - = obþinem:
f t e dt f e d e f e dpt p p p
0 0
Fie f Ó având indicele de creºtere s0 ºi F(p) imaginea sa; înlocuirea lui p în
F(p) cu p - q, unde q este o constantã, poate fi interpretatã ca o deplasare care aduce
originea în punctul q.
Teorema 8.7. (deplasãrii) Dacã f Ó ºi tfpF L avem:
tfeqpF qt L (8.9)
Demonstraþie: avem conform relaþiei (8.2)
F p q f t e dt e f t e dtp q t qt pt
0 0
Fie f Ó ºi tfpF L ; presupunem cã derivatele lui f pânã la ordinul
n sunt tot funcþii original; are loc:
Teorema 8.8. (derivarea originalului) Dacã f Ó avem:
0'L fppFtf
(8.10)
sau mai general
000 1'21L nnnnn ffpfppFptf
(8.11)
unde f f f n0 0 01, , ,' sunt limitele la dreapta în origine ale funcþiilor
f f f n, , ,' 1.
Demonstraþie: fie f Ó; este evident 'f Ó conform relaþiei (8.2) avem:
pFpfdtetfpetfdtetftf ptptpt
00000
''L
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
98
de unde: limt
ptf t e
0
Pentru a obþine egalitatea (8.11) vom înlocui în (8.10) pe f�(t) succesiv cu f�(t),
...,f(n)(t). Avem:
1' 0LL npftfptf
2''" 0LL npftfptf
3"""' 0LL npftfptf
........................................................
nnnnn pftfptf 011LL
adunând membru cu membru ºi efectuând reducerile corespunzãtoare obþinem (8.11).
Fir f Ó; prin integrarea funcþiei original f se înþelege operaþia f dt
0 ; se
obþine astfel o nouã funcþie original pe care o notãm cu g, definitã prin:
g t f dt
0
(8.12)
Primele douã condiþii din definiþia funcþiei original sunt evidente.
Pentru a treia vom scrie:
g t f d f d M e dn
se
M
se
t ts
ts t s t
0 0 0 0 0
0 0 01
Are loc urmãtoarea teoremã:
Teorema 8.9. Dacã f Ó avem:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
99
pFp
dft 1
0
L
(8.13)
Demonstraþie: din relaþia (8.12) avem g�(t) = f(t) ºi g(0) = 0, de unde:
pFtftg LL '
dar
0
10.8'L GpGptg
deci
pFp
dftgt 1
0
LL
9.1. Transformarea inversã. Formula Mellin - Fourier
Am vãzut cã: datã fiind o funcþie original f=f(t), imaginea sa F=F(p) prin
transformarea Laplace (8.2) este complet determinatã.
Se pune problema inversã: sã se determine originalul f=f(t) când se cunoaºte
imaginea sa F=F(p). Rãspunsul este dat de:
Teorema 9.1. Dacã f=f(t) este o funcþie original, având indicele de creºtere s0,
iar F=F(p) este imaginea sa, egalitatea:
f ti
F p e dp a spt
a i
a i
1
2 0, (9.1)
are loc în toate punctele în care f este continuã; în fiecare punct c de discontinuitate,
valoarea funcþiei din membrul drept este egalã cu:
1
20 0f c f c
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
100
Observaþia 9.1. Egalitatea (9.1) se numeºte formula lui Mellin - Fourier ºi
reprezintã inversa transformãrii (8.2).
Demonstraþie: considerãm funcþia:
t e f t f tat 1
20 0
egalã cu e f tat pe mulþimea punctelor în care f=f(t) este continuã.
Se observã cã funcþia t are urmãtoarele proprietãþi:
i. este derivabilã pe porþiuni (evidentã);
ii. în fiecare punct c de discontinuitate avem:
c c c 1
20 0 (evidentã)
iii. este absolut integrabilã pe , dupã cum urmeazã:
- din f Ó rezultã cã (t) = 0 pentru t < 0, rãmâne sã demonstrãm cã este
integrabilã pe 0, . Folosind relaþia (8.1) în toate punctele în care este continuã,
avem:
t e f t M eat a s t 0
ºi pentru a > s0, integrala funcþiei M e a s t 0 pe 0, este convergentã.
Comparând cele trei proprietãþi ale funcþiei cu condiþiile din teorema referitoare
la integrala Fourier, observãm cã numai prima diferã, însã se poate arãta cã datoritã celor
trei proprietãþi de mai sus poate fi reprezentatã printr-o integralã Fourier:
t du e f e d du e f e da iu t a iu t
1
2
1
20
deoarece (t) = 0 pentru t < 0.
Înmulþind ambii membri ai relaþiei (9.2) cu eat obþinem:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
101
e t e du e f dat a iu t a iu
1
20
ºi fãcând schimbarea de variabilã p = a + iu, deducem:
002
1
2
1
0
tftftedfedpei
atpia
ia
pt
(9.3)
de unde þinând cont de (8.2) obþinem (9.1).
Observaþia 9.2. Considerând egalitatea (9.1) în care facem schimbarea de
variabilã p = a + iu
f t F a iu e dua iu t
1
2
înmulþind în ambii membri cu 2 e at, avem:
21
2
e f t F a iu e duat iut
De aici rezultã cã funcþia G(u) = F(a + iu) este transformata Fourier a funcþiei
g t e f tat 2 .
Enunþãm în cele ce urmeazã un nou rezultat însã fãrã demonstraþie:
Teorema 9.2. Dacã funcþia complexã F = F(p) de variabilã complexã p = s + iu
îndeplineºte:
i. este olomorfã în semiplanul s > s0;
ii. Fc u.
0 în raport cu argumentul p, când p oricare ar fi semiplanul
s a s 0
iii. integrala F p dpa i
a i
este absolut convergentã
atunci funcþia:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
102
f ti
F p e dppt
a i
a i
1
2 (9.4)
este o funcþie original, iar imaginea sa este F.
9.2. Integrarea imaginii
Fie f Ó ºi F = F(p) imaginea sa prin (8.2).
Sã presupunem cã integrala:
F q dqp
(9.5)
este convergentã.
Aºa cum am vãzut, funcþia F = F(p) este olomorfã în semiplanul s s 0 , deci
admite o primitivã p în acest semiplan ºi avem:
F q dq p pp
p
1
1
oricare ar fi punctele p, p1 din semiplanul s s 0 .
Dacã are în punctul de la infinit un punct ordinar, convergenþa integralei (9.5)
este asiguratã. În ipoteza cã aceastã proprietate are loc obþinem:
G p F q dq pp
(9.6)
ºi vom spune cã funcþia G s-a obþinut prin integrarea imaginii.
Teorema 9.3. Dacã f Ó ºi tfpF L atunci are loc:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
103
t
tfdqqF
p
L (9.7)
Demonstraþie: din (9.6) prin derivare obþinem:
G p F p'
Fie g = g(t) originalul funcþiei G = G(p).
Conform relaþiei (8.3) deducem cã:
t g t f t
deci
g t
f t
t
f t
t
ºi G p L
9.3. Produsul a douã imagini
Definiþia 9.1. Fie gf , Ó arbitrare. Funcþia h definitã prin:
h t f g t dt
0
(9.8)
se numeºte produsul de convoluþie al funcþiilor f, g ºi se noteazã h f g .
În general produsul de convoluþie a douã funcþii f ºi g se defineºte prin integrala:
h t f g t d
cu condiþia ca integrala sã aibã sens(dacã gf , Ó aceastã integralã se reduce la (9.8)).
Are loc urmãtorul rezultat:
Teorema 9.4. Produsul de convoluþie are urmãtoarele proprietãþi:
i. gf, fiar oricare fggf Ó
ii. gfgfgfgff ,,f fiar oricare 212121 Ó
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
104
iii. gf, fiar oricare Ogf Ó
Demonstraþie:
i. conform definiþiei avem:
g f t g f t dt
0
fãcând schimbarea de variabilã t , aceasta devine:
tgfdtgfdftgtfgt
t
ii. este evidentã;
iii. fie gf , Ó; este evident cã f g verificã primele douã condiþii din (8.1).
Referitor la a treia condiþie: fie s1 ºi s2 indicii de creºtere ai celor douã funcþii f ºi
g:
f t M e g t M es t s t 1 21 2;
pentru orice t 0, . Rezultã pentru h f g :
h t f g t d M M e e dt
s s tt
01 2
0
1 2
deci:
h t M M e e dM M
s se es t s s
ts t s s t
1 2
0
1 2
1 2
2 1 2 2 1 2 1
În cazul când s1 > s2, e s s t1 2 1 pentru orice t 0 , deci:
h tM M
s ses t
1 2
1 2
1
Dacã s2 > s1, e s s t1 2 1 pentru orice t 0 , avem:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
105
h tM M
s se e
M M
s ses t s s t s t
1 2
2 1
1 2
2 1
2 1 2 21
Dacã s1 = s2 avem:
h t M M e d M M t eM M
es tt
s t s t 1 2
01 2
1 22 2 2
cu > 0, oricât de mic.
Teorema 9.5. (Borel) Dacã si L LF p f t G p g t ,
atunci produsul F G al celor douã imagini este imaginea produsului de convoluþie
f g :
t
dtgfpGpF0
L (9.9)
Demonstraþie: prin ipotezã pfpF L adicã:
F p f e d G pp
0
avem:
F p G p f e G p dp
0
conform teoremei întârzierii:
0
L dtetgtgpGe ptp
Deci:
F p G p f d g t e dt e dt f g t dpt pt
0 0 0 0
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
106
gf , Ó cum g Ó rezultã cã g t 0 pentru > t , deci:
f g t d f g t d f g tt
0 0
Rezultã cã:
F p G p f g t e dtpt
0
relaþie echivalentã cu (9.9).
Observaþia 9.3. Din (9.9) se obþine uºor formula lui Duhamel, utilizatã adesea
în electrotehnicã:
t
dtgfgtfpGpFp0
'0L
(9.10)
Derivând funcþia original:
t f g t dt
0
obþinem:
' 't f t g f g t dt
00
Aplicând teorema referitoare la derivarea originalului ºi þinând seama cã 0 0
obþinem (9.10).
Teorema 9.6. Fie gf , Ó arbitrare, tfpF L ºi tgpG L .
Imaginea produsului f g este:
12
1L sadqqpGqFi
tgtfia
ia
(9.11)
unde s1 este indicele de creºtere al lui f.
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
107
Demonstraþie: conform formulei Mellin-Fourier:
f ti
F q e dq a sqt
a i
a i
1
2 1
ºi înmulþind în ambii membri cu g(t) obþinem:
f t g ti
F q e g t dqqt
a i
a i
1
2
dar:
ib
ib
ptqt dpeqpGi
qpGtge211L
cu qsb R2 , s2 este indicele de creºtere a lui q.
Deci:
f t g ti
F q dq G p q e dpa i
a ipt
b i
b i
1
2 2
sau schimbând ordinea de integrare:
f t g ti i
F q G p q dq e dpb i
b i
a i
a ipt
1
2
1
2
10.1. Teoreme de dezvoltare
Pentru determinarea originalului f = f(t) când se cunoaºte imaginea sa F = F(p) se
folosesc deseori urmãtoarele teoreme:
Teorema 10.1. Dacã funcþia raþionalã
F pA p
B p cu A ºi B polinoame
îndeplineºte:
i. grA < grB;
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
108
ii. ecuaþia B(p) = 0 are toate rãdãcinile simple (fie acestea p0, p1, ...,pn)
atunci este imaginea funcþiei f de valoare:
f tA p
B pek
k
p t
k
nk
'
0
(10.1)
Demonstraþie: în ipotezele din enunþ, F admite o descompunere de forma:
F pa
p pk
kk
n
0
Coeficientul a se poate calcula integrând funcþia F = F(p) pe un cerc j cu centrul
în pj ºi de razã suficient de micã astfel încât în interiorul sãu sã nu mai conþinã alt pol al
funcþiei F. Avem:
F p dp adp
p pj
j
kkk
n
0
Pe de altã parte în virtutea teoremei lui Cauchy
dp
p pkj
0 pentru k j
2 i pentru k = j
obþinem:
F p dp ia
j
j 2
Folosind teorema reziduurilor ºi formula de calcul pentru reziduul relativ la un
pol simplu:
F p dp i rez F p i
A p
B pj
jj
j 2 2 ,
'
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
109
rezultã cã
aA p
B aj
j
j
'
deci:
F pA p
B p p pk
k kk
n
'
1
0
Deoarece tp
k
kepp
L1
, folosind proprietatea de liniaritate a transformatei
Laplace obþinem:
n
k
tp
k
k kepB
pApF
0'
L
Observaþia 10.1. Dacã una dintre rãdãcinile polinomului B este nulã (de exemplu
p0 = 0) notând cu ppp RB avem:
f tA
R
A p
R p
e
pk
k
p t
kk
n k
0
0 1'
numitã formula lui Heaviside.
Demonstraþie: Avem B p pR p rezultã deci:
B p R p pR p' '
Deoarece R(pk) = 0, k = 1, 2, ..., n vom avea:
B R R' '0 0 0 0
ºi
B p p R pk k k' '
ºi descompunerea lui F va lua forma:
F p
A
R p
A p
p R p p pk
k kk
n
k
0
0
1 1
1
ºi deci
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
110
f tA
R
A p
R p
e
pk
kk
n p t
k
k
0
0 1'
Observaþia 10.2. Procedeul prin care am determinat originalul unei funcþii
raþionale poate fi extins uºor ºi pentru cazul când numitorul B(p) are rãdãcini multiple.
O altã teoremã de dezvoltare este:
Teorema 10.2. Dacã funcþia F este olomorfã pe exteriorul unui disc cu centrul
în origine ºi cu raza R (inclusiv punctul de la infinit) atunci F admite o dezvoltare în serie
Laurent de forma:
F pa
pp Rn
nn
,
1
(10.3)
ºi este imaginea funcþiei f cu valorile:
f t
a
ntn
n
n
11
1
!
(10.4)
Demonstraþie: prin ipotezã F este olomorfã pe D p C p R
ºi are
în punctul de la infinit un punct ordinar. Rezultã cã funcþia definitã prin
F
1este olomorfã pe
C R , deci admite pe o dezvoltare
în serie Taylor:
a a ann
0 1
Deoarece F are în punctul de la infinit un punct ordinar, folosind inegalitatea
(8.4) vom avea:
F pM
s sF p
00 rezultã lim
p
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
111
deci a0 = (0) = 0. Revenind la variabila p, F pp
1 vom obþine relaþia (10.3).
Se ºtie cã n
n
pn
t 1
!1
1
L
; sã considerãm seria:
at
nn
n
n
1
1 1 !
(10.5)
formatã cu originalele termenilor seriei (10.3). Coeficienþii an fiind coeficienþii dezvoltãrii
în serie Taylor a funcþiei pe verificã inegalitãþile lui Cauchy:
aM
rM Rn n
n
(unde M - marginea superioarã a lui || pe fr ) deci:
at
nM R
Rt
nn
n n
1 1
1 1! !
pentru orice n N t * , ,0 .
Termenii seriei (10.5) au modulul decât termenii seriei
M RRt
n
n
n
1
1 1 !
despre care ºtim cã este uniform convergentã pe [0,L] cu L > 0.
În plus
M RRt
nM R e
n
n
Rt
1
1 1 !
de aici rezultã cã seria (10.5) este absolut ºi uniform convergentã pe [0,L] cu L > 0 ºi cã
suma sa f are proprietatea:
f t M R eRt
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
112
Evident f îndeplineºte cele trei condiþii din definiþia originalelor. În plus seria
(10.5) înmulþitã cu e-pt poate fi integratã termen cu termen pe 0, .
În egalitatea
f t at
nn
n
n
1
1 1 !
înmulþim cu e-pt ºi integrãm pe 0, ; vom avea:
pF
pa
n
tatf
nn
nn
n
n
1
!1 11
1
LL
10.2. Utilizarea transformatei Laplace pentru integrarea ecuaþiilor diferenþiale
Punerea problemei
Sã se determine funcþia x x t R : ,0 soluþie a ecuaþiei:
a x a x a x a x f tn n
n n0 11
1 '
(10.6)
care satisface condiþiile iniþiale:
x x x x x xnn0 0 00 1
11 , , ,'
(10.7)
unde f R: ,0 este o funcþie datã; coeficienþii a a an0 1, , , sunt constante
reale, iar x x xn0 1 1, , , sunt numere reale date.
Se ºtie cã soluþia generalã a ecuaþiei omogene
a x a x a xn nn0 1
1 0
este o sumã de funcþii de forma:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
113
e P t t Q t tt cos sin
unde P ºi Q sunt polinoame.
Deci funcþia x R R: nulã pentru t < 0 care verificã ecuaþia omogenã ºi
condiþiile iniþiale (10.7) aparþine mulþimii Ó împreunã cu derivatele sale de orice ordin. În
general, nu putem afirma acelaºi lucru pentru soluþia ecuaþiei (10.6) cu condiþiile (10.7)
datoritã termenului liber f.
În cele ce urmeazã vom presupune cã f Ó ºi cã soluþia x a problemei Cauchy
referitoare la ecuaþia (10.6) îndeplineºte condiþiile impuse originalelor împreunã cu
derivatele sale pânã la ordinul n inclusiv.
Notãm cu:
tfptxpX LL F iº
ºi þinând seama de proprietãþile de liniaritate ale operatorului L din (10.6) rezultã:
fxaxaxa n
nn LLLL 1
10
Þinând cont de (8.10) ºi (8.11) ºi folosind condiþiile iniþiale (10.7) avem:
12
2
1
1
0L nn
nnnn xpxpxpxpXpx
2
3
1
2
0
11L n
nnnn xpxpxpXpx
.................................................................
10
2"L xpxpXpx
0
'L xppXx
pXx L
Înmulþind în prima egalitate cu a0, în a doua cu a1,..., în ultima cu an ºi adunând,
ordonând convenabil termenii:
a p a p a p a X p F p G pn nn n0 1
11
(10.8)
unde:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
114
G p x a p a p a p a
x a p a p a x a p a x a
n nn n
n nn n n
0 01
12
2 1
1 02
13
2 2 0 1 1 0
Ecuaþia (10.8) se numeºte ecuaþia operaþionalã asociatã ecuaþiei diferenþiale
(10.6) cu condiþiile (10.7).
Aceastã ecuaþie se reþine uºor dacã facem urmãtoarele observaþii:
i. coeficientul lui X(p) este polinomul caracteristic al ecuaþiei diferenþiale:
p a p a p a p an nn n 0 1
11
ii. funcþia G este o combinaþie liniarã de polinoame:
G p x p x p x pn n 0 0 1 1 1 1
0 se deduce din suprimând termenul liber ºi împãrþind cu p;prin acelaºi procedeu se
obþine 1 din 0; 2 din 1 etc.
Soluþia ecuaþiei operaþionale (10.8) este:
X pF p G p
p
iar soluþia ecuaþiei (10.6) care satisface (10.7) este:
tXtx 1L
10.3. Rezolvarea unor ecuaþii integrale
Egalitãþile:
F p f t e dt f ti
F p e dtpt pt
a i
a i
0
1
2;
(10.9)
care dau transformata Laplace ºi inversa sa sunt analoage formulelor de transformare
Fourier ºi pot fi interpretate ca ecuaþii integrale, în sensul cã dacã în prima egalitate se dã
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
115
funcþia F iar f este necunoscutã, în condiþiile precizate, soluþia acestei ecuaþii este a doua
egalitate ºi invers.
Considerãm ecuaþia:
A x t B x k t d C f tt
0
(10.10)
în care A, B, C sunt constante, iar f ºi k sunt funcþii cunoscute.
Funcþia necunoscutã este x(t) ºi figureazã ºi sub semnul de integrare. De aceea
egalitatea (10.10) se numeºte ecuaþie integralã.
Funcþia k k t se numeºte nucleul ecuaþiei integrale ºi în general este o
funcþie de douã variabile.
Sã presupunem cã funcþiile f, k ºi funcþia necunoscutã x sunt originale. Notând cu
, = , =L L Lf t F p K p k t X p x t conform teoremei
lui Borel avem:
0
t
L x k t d X p K p
deci aplicând transformata Laplace ecuaþia (10.10) se transformã în:
A B K p X p C F p (10.11)
de unde:
C F pX p
A B K p
soluþia ecuaþiei integrale (10.10) este originalul acestei funcþii.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
116
Probleme rezolvate 1.Sã se dezvolte în serie Fourier pe intervalul , funcþia f(x)=x2 ºi sã se deducã dupã aceea sumele seriilor numerice:
1.
12
1
n n 2.
04)12(
1
n n
Rezolvare:
Se observã cã funcþia f este parã , de unde rezultã cã bn=0 Avem:
0
32
0 3
22dxxa
0
2 cos2
nxdxxa n =
00
2 cos4sin2 | nxdxx
nn
nxx =
0
cos1)1(4
nxdxnnn
n
=2
4)1(
nn
deci (1) f(x)=
12
2
cos)1(
43 n
n
nxn
Punând x=ð obþinem :
1
2
22 1
43 n n
, de unde 6
1 2
12
n n
Înmulþind ambii membri ai egalitãþii (1) cu x ºi integrând intre 0 si ð , obþinem:
(2)
12
44
cos)1(
464 n o
n
nxdxxn
Din (2) deducem cã:
122
44
1)1(1)1(
464 n
nn
nn
sau
04
44
)12(
18
64 n n
de unde
96)12(
1 4
04
n n
2.Sã se dezvolte în serie Fourier pe intervalul , funcþiile:
)cos(sin)( cos xexf x , )sin(sin)( cos xexg x Rezolvare:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
117
Vom prezenta în cele ce urmeazã o rezolvare diferitã de rezultatele cunoscute din
teoria seriilor Fourier , observând cã f este o funcþie parã , iar g este o funcþie imparã. Se ºtie cã pentru orice
zC avem : (1) .....!
.....!3!2!1
132
n
zzzze
nz
Fãcând în egalitatea (1) pe ixez obþinem
.....!
.....!3!2!1
132
n
eeeee
nixixixixeix
Þinând seama de relaþia: )sin(cos yiyee xiyx ,din (2) obþinem:
)sin(sin)cos(sincos xixe x =
0 !
sincos
n n
nxinx sau egalând pãrþile reale si
imaginare, avem:
0 !
cos)(
n n
nxxf ºi
0 !
sin)(
n n
nxxg
3.Sã se arate cã funcþia :x
xfcos2
1)(
se poate dezvolta în serie Fourier convergentã
pe toatã axa realã ºi sã se deducã aceastã dezvoltare. Rezolvare:
Deoarece se observã cã f este para ºi periodicã de perioadã 2ð , urmeazã cã este dezvoltabilã in serie Fourier de cosinusuri pe toatã axa reala, de forma:
(1)
1
0 cos2
)(n
n nxaa
xf unde:
0
0 cos2
2
x
dxa =
023
22
t
dt=
3
32
33
4 |0
tarctg
(s-a folosit schimbarea de variabila tx
tg 2
)
Înmulþind ambii membri ai egalitaþii (1) cu 2(2+cos x), obþinem:
(2)
11
00 coscos2cos4cos22n
nn
n nxxanxaxaa , sau
echivalent (3)
11
00 )1cos()1cos(cos4cos22n
nn
n xnxnanxaxaa
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
118
Funcþia g(x)=2 poate fi consideratã ca o funcþie parã , dezvoltabilã în serie Fourier de cosinusuri pe toata axa realã, de unde, þinând seama de egalitatea a doua serii Fourier, obþinem: 2=2a0+a1 0=a0+4a1+a2 ����� 0=4ak+ak+1+ak-1 (k=1,2,��)
ªirul (ak)k este un ºir ce verificã relaþia de recurenþã liniarã:
(3) ak=-4ak-1-ak-2 ; 3
320 a ;
3
3461
a
Ecuaþia caracteristicã asociatã ºirului (3) este: 0142 rr cu soluþiile: 321 r ; 322 r de unde ºirul (ak)kN va fi de forma
(4) kkka )32()32( 21 ; constantele 1 , 2 determinându-se din
condiþiile iniþiale , obþinem 01 , 3
322 , si deci k
ka )23(3
32
Prin urmare seria Fourier ataºata funcþiei f este:
(5)
1
cos232
32
2
3)(
n
nnxxf
Observaþie: Din relaþia (5) þinând cont cã:
0 cos2
cos2dx
x
nxan obþinem evident cã:
0
200123
3
3
cos2
2001cosdx
x
x
4.Sã se dezvolte în serie Fourier funcþia periodica de perioadã ð ,definitã pe ,0 prin
relaþia axexf )( Rezolvare:
Se observã cã pentru a<0, f are graficul urmãtor:
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
119
Condiþiile lui Dirichlet sunt evident îndeplinite. Dacã în punctele de
discontinuitate x=kð atribuim funcþiei valoarea : )1(2
1)( aekf , seria Fourier a
funcþiei f este convergenta pentru orice x si are suma egala cu f pentru toate valorile lui x.
Deoarece T=ð , 22
T
avem:
1
0 )2sin2cos()(n
nn nxbnxaaxf cu
0
0
1dxea ax = )1(
1
ae
a
Integralele care dau pe an , bn , sunt:
0
2cos2
nxdxea axn ,
0
2sin2
nxdxeb axn
care pot fi calculate împreunã astfel:
0
)2(1dxeiba xnia
nn =
ae
na
nia
14
2222
de unde rezultã, folosind egalitatea a doua numere complexe, cã:
22 4
11
2
nae
aa a
n
;
22 41
4
na
neb a
n
Deci:
122 4
2sin22cos2
11)(
n
a
na
nxnnxa
a
exf
5.Sã se reprezinte printr-o integrala Fourier, funcþia:
ax
aax
ax
xf
||,0
0,,2
1||,1
)(
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
120
Rezolvare:
Funcþia de mai sus se numeºte factorul discontinuu al lui Dirichlet. Fiind îndeplinite condiþiile din teorema de reprezentare a unei funcþii printr-o integrala Fourier ºi þinând seama ca:
def tiu )()( =
a
a
tiu de )( = aueu
iut sin2
avem:
dueu
auxf iuxsin1)(
=
du
u
uxau cossin1
+
du
u
uxaui cossin
=
=
du
u
uxau cossin2
deoarece 0
cossin
duu
uxau (funcþia de sub integrala este
imparã). 6.Sã se reprezinte printr-o integrala Fourier funcþia:
nx
nxxxf
||,0
||,sin)( n fiind un numãr natural.
Rezolvare:
Funcþia din enunþ fiind imparã, vom folosi atunci relaþia:
00
sin)(sin2
)(
dufuxduxf
Avem mai departe cã:
n
duduf00
sinsinsin)( =
duiun
0
)1cos()cos(2
1=
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
121
=
01
)1sin(
1
)1sin(
2
1
n
u
u
u
u
=
1
)1sin(
1
)1sin(
2
1
u
nu
u
nu
si observând ca: nununu n sin)1()1sin()1sin( ,obþinem:
1
sin)1(sin)(
20
u
nuduf
n ,
deci: duu
uxnuxf n
0
2 1
sinsin2)1()(
7. Folosind transformata Laplace, calculaþi integrala:
022
2001cosdx
xa
x
Rezolvare:
Considerãm funcþia auxiliarã:
022
cos)( dx
xa
txtI ,t>0 ºi observãm cã:
02222 ))(( xaxp
pdxtI , deoarece
22cos
xp
ptx
Cum222222222222
1111
))(( xaapxpapxaxp
p
, se obþine cã:
apaa
xarctg
aapp
xarctg
aptI
1
2
111
0
2222
, de unde:
atea
tI 2
)(
ºi fãcând t=2001, obþinem cã :
0
2001
22 2
2001cos aeaax
x
8.Folosind transformata Laplace, sã se calculeze integralele lui Fresnel;
0
21 sin dxxI si
0
22 cos dxxI
Rezolvare:
Considerãm funcþiile:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
122
0
21 sin)( dxtxtI si
0
22 cos)( dxtxtI
Aplicând transformata Laplace, avem: tI1 =
0
2sin dxtx = dxtx
0
2sin =
02
2
dxxp
x;
cum: 42
2
xp
x
=
pxpx
x
pxpx
x
p 2222
122
,
avem: tI1 =
0 022 2222
1
pxpx
xdx
pxpx
xdx
p=
=
pp
pxarctg
p
pxarctg
pxpx
pxpx
p 22
122
2
2ln
2
1
22
1
0
2
2
Analog : tI 2 =
0
2cos dxtx = dxtx
0
2cos =
042
dxxp
p;
cum: 42 xp
p
=
pxpx
px
pxpx
px
p 2
2
2
2
22
122
,avem
tI 2 = =
pp
pxarctg
p
pxarctg
pxpx
pxpx
p 22
22
2
2ln
22
1
0
2
2
De aici se obþine evident:
ttpp
II22
1
2
11
22
1
222211
21
Trecând la limitã pentru 1t obþinem 22
121
II
9.Sã se integreze ecuaþia: tetyyyy 2'''''' 33 , cu condiþiile iniþiale: y(+0)=1 ; y�(+0)=0 ; y��(+0)=-2
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
123
ºi sã se determine integrala generala a ecuaþiei. Rezolvare: Pentru determinarea soluþiei particulare avem: ty =Y(p) ; ty ' =pY(p)-1 ; ty '' =p2Y(p)-p ;
ty ''' =p2Y(p)-p2+2 ºi obþinem:
3
23
)1(
213)(133
ppppYppp ,sau:
632 )1(
2
)1(
1
)1(
1
1
1)(
pppppY
De aici se obþine evident cã:
tett
tty
6021)(
52
Pentru determinarea integralei generale o sã procedam analog, cunoscând cã: y(+0)=a ; y�(+0)=b ; y��(+0)=c (constante arbitrare)
Cum: ty =Y(p) ; ty' =pY(p)-a ; ty '' =p2Y(p)-ap-b ;
ty ''' =p3Y(p)-ap2-bp-c, aplicând transformata Laplace ecuaþiei, obþinem:
3
23
1
2)33()3()1(
pabcpabapYp de unde :
326 )1(
2
)1(1)1(
2)(
p
abc
p
ab
p
a
ppY ºi deci:
tttt etCteCeCt
ety 2321
5
!5
2)( este integrala generala;
s-a notat aC 1 ; abC 2 ; 2
23
abcC
10.Folosind transformata Laplace, sã se integreze sistemul de ecuaþii diferenþiale:
0'2''
sin22''
xyx
tyxyx
cu condiþiile iniþiale x(+0)=x�(+0)=y(+0)=0
Rezolvare: Dacã txXpX )( si tyYpY )( , aplicând transformata Laplace se obþine:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
124
02)1(1
1)2()2(
2
2
pYXpp
YpXp
folosind metoda lui Cramer, soluþia acestui sistem va fi:
1X ,
2Y
unde:
)2()1(21
)2(2 22
pp
pp
pp
1
2
20
)2(1
1
22
1
p
p
p
pp , 1
011
12
2
22
pp
p, de
unde:
)1(5
2
)2(45
4
)1(3
1
)1(9
1
)1)(2()1(
2)(
2222
p
p
pppppp
ppX
)2(9
1
)1(3
1
)1(9
1
)2()1(
1)(
22
ppppp
pY
de unde:
ttt
ttt
eteety
tteteetx
2
2
9
1
3
1
9
1)(
sin5
2cos
5
1
45
4
3
1
9
1)(
Probleme nerezolvate 1.Sã se dezvolte în serie Fourier funcþia;
)1()( xxxf , ,x 2.Sã se dezvolte în serie Fourier funcþia;
,,1||,cos21
1)(
2
2
xa
axa
axf
3. Sã se dezvolte în serie Fourier funcþia;
CALCUL OPERAÞIONAL __________________________________________________________________
125
,,1||,cos21
cos1)(
2
xaaxa
xaxf
4. Sã se dezvolte în serie Fourier funcþia :
2
,2
-xx),arcsin(cos=f(x)
5. Sã se reprezinte printr-o integrala Fourier funcþia :
x
xxxf
,0
,sin)(
6. Sã se reprezinte printr-o integrala Fourier funcþia :
),0(,1
),(,1
0||,0
)(
ax
aax
ax
xf si 2
1)(,
2
1)(,0)0( afaff
7. Folosind transformata Laplace , sã se arate cã :
0
).0,0(lncoscos
baa
bdt
t
btat
8. Folosind transformata Laplace, sã se integreze ecuaþia
1x2x''2x'''x' cu 0)('x'0)(x'0)x( 9. Folosind transformata Laplace sã se integreze sistemul :
04'5'''
0'2'3''
yyyxx
yyxxx, ºtiind cã:
10)y( , 00)(y'0)(x'0)x(
10. Folosind transformata Laplace , sã se rezolve ecuaþia integralã:
t
0
-t )()e-(tcostx(t) dx
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II
Obiective ºi idei principale de reþinut 1. Sã defineascã ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul doi; 2. Sã aducã la forma canonicã ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul doi; 3. Sã rezolve ecuaþia omogenã a coardei vibrante, ecuaþia propagãrii cãldurii; 4. Sã defineascã ºi sã rezolve problema lui Dirichlet pentru cerc; 5. Sã defineascã funcþiile speciale; 6. Sã cunoascã exerciþiile rezolvate de la pagina
11.1. Probleme de fizicã matematicã ce conduc la ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul al doilea
Se poate spune fãrã exagerare cã mai toate problemele clasice ale fizicii
matematice conduc la ecuaþii liniare cu derivate parþiale de ordinul al doilea în douã sau
mai multe variabile. Vom lua numai cazul fenomenelor electromagnetice, în care putem
întâlni cele trei tipuri de ecuaþii liniare cu derivate parþiale de ordinul al doilea.
Un câmp electromagnetic este caracterizat prin prezenþa într-o anumitã regiune a
spaþiului a cinci vectori care cu notaþia clasicã sunt:
E - intensitatea câmpului electric;
B - inducþia magneticã;
D - deplasarea electricã;
H - intensitatea câmpului magnetic;
J - densitatea de curent.
Aceºti cinci vectori satisfac la un sistem de ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul
întâi (ecuaþia lui Maxwell):
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
127
rotE
B
trotH J
D
t
divB divD
;
;0
(11.1)
fiind densitatea de sarcinã.
În plus, în mediile omogene ºi izotrope sunt satisfãcute ºi urmãtoarele relaþii de
dependenþã liniarã între cei cinci vectori:
D E B H J E , ,
(11.2)
unde: - permitivitatea mediului;
- permeabilitatea mediului;
- conductivitatea mediului.
Sã considerãm câteva cazuri particulare ale ecuaþiilor (11.1) ºi (11.2).
i. fenomene staþionare (obiectul electrostasticii, magnetostaticii etc.)
Un fenomen se zice staþionar dacã el nu prezintã variaþii în timp. În cazurile
menþionate vectorii E , B , D , H sunt presupuºi independenþi de timp ºi
J 0 .
În aceste ipoteze, ecuaþiile se separã (vectorii E ºi
H devin independenþi unul
faþã de altul); vom avea:
rotE D E divD 0, ,
(11.3)
rotH divB 0 0,
(11.4)
Dupã cum se ºtie, dacã rotA 0 rezultã cã existã V o funcþie potenþialã astfel
încât:
A gradV
Din primele douã ecuaþii din (11.3) ºi (11.4) obþinem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
128
E gradV H gradVE M ,
(11.5)
cu VE ºi VM potenþiale scalare respectiv electric ºi magnetic.
Când ºi sunt constanþi, celelalte ecuaþii din (11.3) ºi (11.4) ne dau:
divB div H divgradVM
0
(11.6)
divD div E divgradVE
(11.7)
Dacã notãm cu operatorul diferenþial de ordinul al doilea div grad (laplacian) atunci
cele douã funcþii potenþiale VM ºi VE sunt soluþii ale urmãtoareloe ecuaþii cu derivate
parþiale de ordinul al doilea:
VM 0 (ecuaþia lui Laplace)
(11.8)
ºi
V f x y zE
, , (ecuaþia lui Poisson)
(11.9)
care în coordonate carteziene se scriu sub forma:
2
2
2
2
2
20
V
x
V
y
V
zM M M
(11.10)
2
2
2
2
2
2
V
x
V
y
V
zf x y zE E E , ,
(11.11)
ii. fenomene de propagare care apar în electromagnetism, termodinamicã etc.
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
129
Sã presupunem acum cã cei cinci vectori sunt funcþii ºi de timp ºi sã separãm din
ecuaþiile (11.1) ºi (11.2) ecuaþiile satisfãcute de E ºi
H . Pentru a elimina pe
B ºi pe
H vom aplica operaþia rot primei ecuaþii (11.1).
rot rotE rotB
t trotB
trotH
(11.12)
(presupunem cã este constant).
Þinând seama de (11.2) a doua ecuaþie din (11.1) se poate scrie:
rotH EE
t
(11.13)
( constant) expresie care introdusã în (11.12) ne dã:
rot rotEE
t
E
t
2
2
(11.14)
Folosind identitatea vectorialã:
rot rotE grad divE E
(11.15)
putem deduce din ultima ecuaþie (11.1):
divE
(11.16)
ºi în ipoteza cã = 0 obþinem atunci urmãtoarea ecuaþie verificatã de cãtre vectorul E :
EE
t
E
t
2
2
(11.17)
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
130
care este satisfãcutã de altfel ºi de vectorii J ºi H cum se poate verifica uºor. Aceastã
ecuaþie vectorialã este echivalentã cu trei ecuaþii scalare de forma:
2
2
2
2
2
2
2
2
u
x
u
y
u
za
u
tb
u
t
(11.18)
satisfãcute de componentele vectorului E .
O ecuaþie de forma:
2
2
2
2
2
2 2
2
2
10
u
x
u
y
u
z c
u
t
(11.19)
se numeºte o ecuaþie de propagare a undelor.
11.2. Forma generalã
Ecuaþiile cu derivate parþiale care se întâlnesc de obicei în problemele fizicii ºi
tehnicii sunt ecuaþii de ordinul al doilea pentru funcþii reale de douã sau mai multe
variabile reale.
De exemplu relaþia:
F x y u u u u u ux y xx xy yy, , , , , , , 0
(11.20)
în care F E R R: 8 este o ecuaþie cu derivate parþiale de ordinul al doilea pentru
funcþia u de douã variabile reale x, y.
Am notat: uu
xu
u
yx yy
, ,
2
2.
Forma generalã a unei ecuaþii cu derivate parþiale de ordinul al doilea pentru o
funcþie u de patru variabile x, y, z, t este:
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
131
F x y z t u u ux tt, , , , , , , 0
(11.20�)
Semnificaþii posibile: x, y, z coordonatele unui punct M dintr-o mulþime,
D R 3, t - timpul, u o mãrime fizicã ale cãrei valori depind de M ºi de t.
Sã ne ocupãm pentru început de ecuaþii de ordinul al doilea pentru funcþii de douã
variabile; definiþiile ºi consideraþiile care urmeazã pot fi extinse apoi la cazul funcþiilor de
n variabile (n > 2).
Definiþia 11.1. O funcþie f D R R: 2 ( D o mulþime deschisã) se
numeºte soluþie a ecuaþiei (11.20) pe mulþimea D dacã:
i. f admite derivate parþiale de ordinul doi pe D;
ii. x y f x y f x y f x y E pentru o Dx yy, , , , , , , , rice x,y ;
iii. F x y f x y f x y f x y pentru ori Dx yy, , , , , , , , 0 ce x,y .
Observaþia 11.1. Dacã f este soluþie pe D a ecuaþiei (11.20) suprafaþa (S) care are
ecuaþia z f x y D , cu x,y se numeºte suprafaþã integralã a ecuaþiei (11.20).
Observaþia 11.2. Notaþiile lui Monge sunt:
pu
xq
u
yr
u
xs
u
x yt
u
y
, , , ,
2
2
2 2
2
În problemele fizicii prezintã interes numai o anumitã soluþie particularã prin
condiþii suplimentare impuse de problema respectivã. Totuºi este util sã cunoaºtem gradul
de generalitate al familiei formate cu soluþiile unei ecuaþii cu derivate parþiale cel puþin în
anumite condiþii restrictive.
Sã presupunem cã ecuaþia (11.20) poate fi scrisã sub forma:
2
2
u
xx y u u u u ux y xy yy , , , , , ,' ' " "
(11.21)
sau cu notaþiile lui Monge:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
132
r x y u p q s t , , , , , ,
(11.21�)
Fie M0(x0,y0) un punct din planul variabilelor x, y ºi u(x,y) o soluþie a ecuaþiei
(11.21). Notãm cu p q s t0 0 0 0, , , valorile derivatelor parþiale ale funcþiei u = u(x,y) în
punctul M0. Va trebui sã avem evident:
r x y u p q s t0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , ,
Are loc în acest sens:
Teorema 11.1. (Cauchy - S. Kovalevskaia)
Dacã x y u p q s t, , , , , , este o funcþie analiticã în raport cu argumentele
sale într-o vecinãtate a punctului x y u p q s t0 0 0 0 0 0 0, , , , , , ºi dacã se dau
condiþiile:
u x y y x y y0 0 1, , ºi ux'
(11.22)
unde ºi 1 sunt douã funcþii date (analitice într-o vecinãtate a lui y0) atunci existã o
funcþie u = u(x,y) ºi numai una singurã care satisface ecuaþia (11.21�) ºi condiþiile
(11.22); aceastã soluþie este analiticã într-o vecinãtate a punctului M0(x0,y0).
Demonstraþia acestei teoreme este foarte laborioasã (nu o dãm) însã sã dãm o
interpretare geometricã a condiþiilor (11.22).
Funcþiile y y ºi 1 1 joacã rolul constantelor arbitrare din
teoria ecuaþiilor diferenþiale ordinare. Date fiind aceste funcþii, condiþiile (11.22) sunt
analoage condiþiilor iniþiale la care este supusã soluþia unei ecuaþii diferenþiale ordinare de
ordinul al doilea.
Soluþia y = y(x) a ecuaþiei diferenþiale:
y G x y y" ', ,
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
133
care satisface condiþiile y(x0) = y0, y�(x0) = m0 se reprezintã printr-o curbã (C): y = y(x).
Aceastã curbã trece prin punctul P0(x0,y0) ºi are tangenta în P0 determinatã prin
coeficientul sãu unghiular m0.
Soluþia u = u(x,y) a ecuaþiei (11.21) care satisface condiþiile (11.22) se reprezintã
printr-o suprafaþã (S) de ecuaþia u = u(x,y) numitã suprafaþã integralã a ecuaþiei (11.21).
Prima condiþie (11.22) aratã cã S trece prin curba:
: ,x x u y 0
iar a doua împreunã cu derivata primei egalitãþi precizeazã parametrii directori ai
normalei la suprafaþã în fiecare punct al curbei :
p y q y 1 1; ;'
În ipotezele din teorema enunþatã mai sus existã o suprafaþã integralã ºi numai
una singurã care trece prin curba ºi care are în fiecare punct de pe planul tangent
determinat de condiþiile (11.22).
Problema determinãrii unei suprafeþe integrale supusã acestor condiþii se numeºte
problema lui Cauchy.
Definiþia 11.2. Orice ecuaþie de forma:
a x yu
xb x y
u
x yc x y
u
yd x y u u ux y, , , , , , ,
2
2
2 2
22 0
(11.23)
se numeºte ecuaþie cvasiliniarã; funcþiile
a b c D R R d D R R, , : ; : 2 2 3
Dacã ultimul termen este de forma:
d x y u u u x yu
xx y
u
yx y u x yx y, , , , , , , ,
cu , , , : D R ecuaþia se numeºte liniarã.
Dacã = 0 pentru orice x y D, ecuaþia se numeºte liniarã ºi omogenã.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
134
Observaþia 11.3. În cele ce urmeazã vom presupune cã a, b, c (coeficienþii
derivatelor de ordinul al doilea) sunt funcþii de clasã C2(D).
Problema lui Cauchy pentru ecuaþia (11.23) este: sã se determine o suprafaþã
integralã () a acestei ecuaþii cu proprietãþile:
i. conþine o curbã D R ;
ii. are în fiecare punct al curbei un plan tangent dat.
Curba împreunã cu planele tangente date, formeazã o bandã de elemente de
contact pentru suprafaþa integralã .
Considerãm problema lui Cauchy în ipotezele:
i. curba este parametrizatã:
x x y y z z I R , ,
(11.24)
netedã ºi fãrã puncte singulare, deci curba admite în fiecare punct o tangentã unic
determinatã cu parametrii directori x�(x); y�(x); z�(x) cu x�, y�, z� funcþii continue pe
intervalul I.
Parametrii directori ai normalei la planul tangent dat în punctul
x x y x z x, , îi notãm cu P(x), Q(x), -1.
ii. pe lângã funcþiile (11.24) sunt date alte douã funcþii P Q I R, : de clasã C1 ºi
care satisfac:
P x Q y z pentru orice I ' ' ' 0
(relaþie ce rezultã din condiþia ca în fiecare punct al curbei norma la suprafaþa integralã
care conþine curba sã fie perpendicularã pe tangenta la ).
Definiþia 11.3. Se numeºte caracteristica ecuaþiei (11.23) orice bandã de elemente
de contact pentru care problema lui Cauchy este nedeterminatã. Curba (suport al unei
caracteristici) se numeºte curbã caracteristicã.
Observaþia 11.4. Proiecþiile curbelor caracteristice pe planul xOy au un rol
important în clasificarea ºi studiul ecuaþiilor de forma (11.23) - le vom determina în
ipotezele enunþate mai sus cu privire la ºi funcþiile P ºi Q.
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
135
Fie u = f(x,y) ecuaþia unei suprafeþe integrale. Cu notaþiile lui Monge vom avea:
pf
xq
f
yr
f
xs
f
x yt
f
y
, , , ,
2
2
2 2
2
scriem cã f este soluþie a ecuaþiei (11.23) pe D ºi obþinem:
ar bs ct d D 2 0 pentru orice x,y
(11.23�)
Se ºtie cã pentru orice M cordonatele sale sunt date de (11.24), evident cã:
P p x y Q q x y , ; ,
Notând cu:
A a x y B b x y , ; , ,
egalitatea (11.23�) fiind verificatã pe D, este verificatã în toate punctele curbei 0 D ,
0 fiind proiecþia curbei pe xOy avem:
AR BS CT D 2 0 pentru orice I
Deoarece
Pp
xx
p
yy
xx
q
yy
' ' '
' ' '
pentru orice I obþinem încã douã egalitãþi care împreunã cu egalitatea de mai sus
formeazã:
AR BS CT D
x R y S P
x S y T Q
2 0
0
0
' ' '
' ' '
Dacã problema lui Cauchy admite soluþie unicã, derivatele de ordinul al doilea r,
s, t sunt unic determinate în toate punctele curbei , adicã sistemul de mai sus trebuie sã
admitã o soluþie unicã (R, S, T).
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
136
Dacã sistemul de mai sus este incompatibil va fi o curbã caracteristicã. Pentru
aceasta este necesar ºi suficient ca:
A B C
x y
x y
2
0
0
0' '
' '
sau dezvoltat:
A y B x y C x ' ' ' '2 22 0
(11.24)
Oricãrei soluþii a acestei ecuaþii diferenþiale îi va corespunde o curbã 0 D ,
proiecþia pe xOy a unei curbe caracteristice.
Observaþia 11.5. Dacã luãm ca parametru variabila x, adicã o reprezentare
parametricã a curbei 0 de forma x = x, y = y(x) avem:
A x a x y x B x b x y x C x c x y x , , , , ,
ºi ecuaþia diferenþialã (11.24) va lua forma:
a x y y b x y y c x y, ' , ' ,2 2 0
(11.24�)
cu o singurã funcþie necunoscutã.
Ecuaþia (11.24�) se desface în douã ecuaþii diferenþiale sub forma canonicã:
y x y y x y' ', , , 1 2
(11.25)
unde 1 ºi 2 sunt rãdãcinile ecuaþiei:
a b c 2 2 0
(11.26)
Orice soluþie a ecuaþiei (11.24�) este soluþie a uneia dintre cele douã ecuaþii
(11.25) ºi orice soluþie a uneia dintre cele douã ecuaþii (11.25) este soluþie a ecuaþiei
(11.24�).
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
137
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II: HIPERBOLICE, PARABOLICE ªI ELIPTICE. REDUCEREA LOR LA FORMA CANONICÃ
Definiþia 12.1. Fie D0 un subdomeniu al lui D. Notãm cu b ac2 .
i. dacã x y D, 0 0 pentru orice x,y se spune cã ecuaþia cvasiliarã
(11.23) este de tip hiperbolic pe D0;
ii. dacã x y D, 0 0 pentru orice x,y ecuaþia (11.23) este de tip parabolic
pe D0;
iii. dacã x y D, 0 0 pentru orice x,y ecuaþia (11.23) este de tip eliptic pe
domeniul D0.
Se poate întâmpla însã ca sã fie o funcþie care pe D sã ºi valori pozitive ºi valori
negative; atunci se cautã subdomenii ale lui D pe care ecuaþia (11.23) poate fi încadratã în
unul din cele trei tipuri.
Observaþia 12.1. Fie D D0 un domeniu pe care sau pãstreazã un semn
constant sau este nul.
Sã presupunem cã integralele generale ale ecuaþiilor (11.25) pot fi scrise sub
forma:
1 1 2 2x y k x y k, , ,
(12.1)
unde k1 ºi k2 sunt constante arbitrare reale sau complexe dupã cum 1 ºi 2 sunt funcþii
reale sau complexe.
Aceste douã ecuaþii reprezintã cele douã familii de caracteristice:
reale ºi distincte dacã ecuaþia (11.23) este de tip hiperbolic;
se reduce la o singurã familie realã în cazul parabolic;
în cazul când ecuaþia (11.23) este de tip eliptic 1 ºi 2 sunt imaginar conjugate.
În ipoteza cã 1 21
0, C D avem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
138
1 1 2 20 0x y
yx y
y ' ',
Eliminând pe y� între aceste douã relaþii ºi (11.24�) obþinem:
a x yx
b x yx y
c x yy
i i i i, , ,
2 2
2 0
(12.2)
unde i = 1, 2.
Deci funcþiile i i 1 2, sunt soluþii ale unor ecuaþii cu derivate parþiale de
ordinul întâi neliniare.
În cele ce urmeazã considerãm ecuaþia (11.23) pe un domeniu D D0 ºi o
schimbare de variabilã arbitrarã:
T D T D: 0 0 0
x y x y cu C D, , , , 20
(12.3)
ºi
D
D x yD
,
, 0 0oricare ar fi x,y
În ipotezele fãcute transformarea (T) poate fi inversatã cel puþin local; fie inversa
sa:
x x y y , , ,
(12.3�)
Cu aceastã schimbare de variabile vom obþine din ecuaþia (11.23) o nouã ecuaþie
cu derivate parþiale pentru funcþia U cu:
U u x y pe , , , , 0
Þinând seama cã u x y U x y x y, , , , avem:
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
139
u
x
U
x
U
x
u
y
U
y
U
y ;
2
2
2
2
2 2 2
2
2 2
2
2
22
u
x
U
x
U
x x
U
x
U
x
U
x
2 2
2
2
2
2
2 2
u
x y
U
x y
U
x y y x
U
x y
U
x y
U
x y
2
2
2
2
2 2 2
2
2 2
2
2
22
u
y
U
y
U
y y
U
y
U
y
U
y
Înlocuind în (11.23) obþinem:
AU
BU
CU
D UU U
, , , , , , ,2
2
2 2
22 0
(12.4)
unde:
A a x yx
b x yx y
c x yy
B a x yx x
b x yx y y x
c x yy y
C a x yx
b x yx y
c x yy
, , , ,
, , , ,
, , , ,
2 2
2 2
2
2
(12.5)
Observaþia 12.2. A nu se confunda funcþiile A, B, C din (12.5) cu funcþiile din
capitolul 11.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
140
Teorema 12.1. Pentru orice schimbare de variabile (12.3) care îndeplineºte
condiþiile expuse pe un domeniu D0 pe care ecuaþia (11.23) este de un anumit tip, ecuaþia
(12.4) obþinutã va avea acelaºi tip pe 0.
Existã schimbãri de variabilã prin care ecuaþia cvasiliniarã (11.23) poate fi adusã
la o formã relativ simplã, numitã forma canonicã ºi anume:
i. dacã ecuaþia este de tip hiperbolic, forma canonicã este:
2UF U
U U
, , , ,
(12.6)
ii. dacã ecuaþia este de tip parabolic, forma canonicã este:
2
2
UG U
U U
, , , ,
(12.7)
iii. dacã ecuaþia este de tip eliptic, forma canonicã este:
2
2
2
2
U UH U
U U
, , , ,
(12.8)
Demonstraþie: se verificã foarte uºor prin calcul cã oricare ar fi schimbarea de
variabile (12.3) cu , C D2 avem:
B AC b acD
D x y2 2
2
,
,
Cum prin ipotezã
D
D x y
,
, 0 pe D0 vom avea B2 - AC ºi b2 - ac sau au acelaºi
semn, sau sunt amândouã nule pe 0 respectiv D0.
i. în cazul când ecuaþia (11.23) este de tip hiperbolic, funcþiile 1 ºi 2 din (11.25) sunt
reale ºi distincte.
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
141
Considerând soluþiile generale ale ecuaþiei (11.25) sub forma (12.1), funcþiile 1
ºi 2 sunt de asemenea reale ºi distincte ºi au loc egalitãþile (12.2).
Comparând (12.2) cu (12.5) rezultã cã pentru schimbarea de variabile
1 2x y x y, , , vom avea A = 0, C = 0 din (12.4) ºi:
2 02
BU
D UU U
, , , , ,
în care B , 0 oricare ar fi , 0 (B2 - AC >0 pe 0).
ii. dacã ecuaþia (11.23) este de tip parabolic cele douã funcþii 1 ºi 2 se reduc la una
singurã pe care o notãm cu ºi care verificã o egalitate de forma (12.2):
a x yx
b x yx y
c x yy
, , ,
2 2
2 0
(12.9)
Pe de altã parte, rãdãcina dublã a ecuaþiei (11.26) verificã ºi ecuaþia
a b 0 , echivalentã cu a x y y b x y, ,' 0 . Eliminând pe y între aceastã
ecuaþie ºi ecuaþia
x y
y ' 0 se obþine:
a x yx
b x yy
, ,
0
(12.10)
Prin ipotezã b ac2 0 . Dacã a sau c este nul pe D0 rezultã cã b=0 pe D0 ºi în
acest caz ecuaþia (11.23) conþine un singur termen de ordinul al doilea.
Sã presupunem cã a ºi c nu se reduc la funcþia nulã pe D0; în acest caz nici b nu
se reduce la funcþia nulã; rezultã din (12.10) cã nu putem avea nici una din situaþiile
x
0 pe D0 sau y
0 pe D0 deci depinde efectiv de ambele variabile.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
142
Schimbarea de variabile x y x, , datoritã egalitãþilor (12.9) ºi
(12.10) va da:
A B C a x b , , , , , , , , 0 0
oricare ar fi , 0 .
iii. în cazul când ecuaþia (11.23) este de tip eliptic, funcþiile 1 ºi 2 sunt imaginar
conjugate, deci 1 ºi 2 sunt de forma:
1
2
x y v x y iw x y
x y v x y iw x y
, , ,
, , ,
Înlocuind în (12.2) ºi separând pãrþile reale ºi pãrþile imaginare, obþinem:
av
x
w
xb
v
x
v
y
w
x
w
yc
v
y
w
y
2 2 2 2
2 0
ºi
av
x
w
xb
v
x
w
y
v
y
w
xc
v
y
w
y
0
Cu schimbarea de variabile v x y w x y, , , din (12.5) ºi din
ultimele douã egalitãþi obþinute mai sus rezultã:
B A C , , , , , 0 0 oricare ar fi
Ecuaþii liniare ºi omogene în raport cu derivatele de ordinul al doilea, cu coeficienþi constanþi
Definiþia 13.1. Ecuaþia:
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
143
au
xb
u
x yc
u
y
2
2
2 2
22 0
(13.1)
cu a, b, c constante se numeºte ecuaþie liniarã ºi omogenã.
Ecuaþia diferenþialã a proiecþiilor curbelor caracteristice pe planul xOy este:
ady
dxb
dy
dxc
2
2 0
(13.2)
ale cãrei rãdãcini sunt constante. Ecuaþia (13.2) se înlocuieºte evident prin ecuaþiile:
dy dx dy dx 1 20 0,
care se integreazã imediat ºi se obþine:
y x k y x k 1 1 2 2,
unde k1 ºi k2 sunt constante.
Vom aduce ecuaþia (13.1) la forma canonicã dupã cum urmeazã:
i. dacã ecuaþia (13.1) este de tip hiperbolic rãdãcinile 1, 2 sunt reale ºi distincte. Cu
schimbarea de variabile:
y x y x1 2,
(13.3)
ecuaþia devine:
20
u
(13.4)
Într-adevãr, din calculul derivatelor care urmeazã schimbãrii de variabile, þinând
seama de faptul cã funcþiile (13.3) sunt liniare în x ºi y deducem:
2
2 12
2
2 1 2
2
22
2
22
u
x
u u u
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
144
2
1
2
2 1 2
2
2
2
2
u
x y
u u u
2
2
2
2
2 2
22
u
y
u u u
Înlocuindu-le în (13.1) ºi þinând seama cã 1 ºi 2 sunt rãdãcinile ecuaþiei
a b c 2 2 0 unde dy
dx obþinem ecuaþia:
4 02 2ac b
a
u
Ecuaþia (13.4) se integreazã imediat, scrisã sub forma:
u
0
(13.4�)
Rezultã cã
u nu depinde de . Reciproc orice funcþie f() cu
uf verificã
(13.4�).
Integrând ultima relaþie se obþine:
u f d
unde este o funcþie arbitrarã. Dacã notãm cu o primitivã a lui f(), soluþia
generalã a ecuaþiei (13.4) se scrie sub forma:
u
(13.5)
unde , sunt funcþii arbitrare.
Revenind la vechile variabile, soluþia generalã a ecuaþiei (13.1) este:
u x y y x y x, 1 2
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
145
ii. dacã ecuaþia este de tip parabolic (în ipoteza a 0 ) rezultã cã 1 2 b
a ºi
ecuaþia diferenþialã (13.2) se reduce la ady bdx 0 , cu soluþia ay bx k
(k - constantã).
Schimbarea de variabile ay bx x, aduce ecuaþia (13.1) la forma
canonicã:
2
20
u
(13.6)
deoarece:
2
22
2
2
2 2
22
u
xb
ub
u u
y
2 2
2
2u
x yab
ua
u
2
22
2
2
u
ya
u
ºi înlocuind în (13.1) obþinem ecuaþia:
a ac bu
au
22
2
2
20
care este ecuaþia (13.6).
Ecuaþia (13.6) se integreazã pe aceeaºi cale ca ecuaþia (13.4) dupã cum urmeazã:
u
0
rezultã
u ºi integrând încã o datã obþinem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
146
u
cu , - funcþii arbitrare.
Revenind la vechile variabile, orice soluþie a ecuaþiei (13.1) este de forma:
u x y x ay bx ay bx,
iii. în cazul când ecuaþia este de tip eliptic, forma canonicã este ecuaþia lui Laplace:
2
2
2
20
u u
pentru care nu mai putem scrie mulþimea soluþiilor folosind funcþii reale arbitrare.
13.2. Metoda schimbãrii variabilelor
Am vãzut în (13.1) cã dacã ecuaþia cu derivate parþiale (13.1) este de tip
hiperbolic sau parabolic, printr-o schimbare de variabile convenabile ecuaþia poate fi
adusã la forma canonicã ºi apoi integratã.
În problemele fizicii, de obicei nu ne intereseazã soluþia generalã a ecuaþiei, ci o
anumitã soluþie particularã care satisface unele condiþii impuse. În cele ce urmeazã vom
arãta pe un exemplu cum se determinã acea soluþie.
Sã considerãm o coardã de lungime l care, în repaus ocupã poziþia segmentului
OA al axei Ox. Fie M un punct arbitrar al coardei ºi M0(x) poziþia sa de repaus. Într-o
primã aproximare se presupune cã punctul M în miºcare rãmâne într-un plan
perpendicular pe OA. Deplasarea u de la M0 la M depinde de x ºi de timpul t. Se
demonstreazã în absenþa unor forþe exterioare coardei cã funcþia x t u x t, ,
verificã ecuaþia:
2
2 2
2
2
10
u
x c
u
t
(13.7)
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
147
(s-a notat cT
2
0
unde este masa specificã liniarã a coardei iar T0 tensiunea la care
este supusã coarda în poziþia de repaus).
Aceastã ecuaþie se întâlneºte ºi în probleme de propagare a undelor (acustice,
optice, electromagnetice) ºi se numeºte ecuaþia undelor. Când c2 are alte semnificaþii se
numeºte ecuaþia oscilaþiilor coardei.
Ne ocupãm în cele ce urmeazã de problema vibraþiilor coardei ºi vom cãuta
soluþia ecuaþiei (13.7) care îndeplineºte condiþiile iniþiale:
u x f xu
tx g x x l, , , ,0 0 0
(13.8)
ºi vom presupune cã f g C R, 1.
Observaþia 13.1. Prima ecuaþie din (13.8) ne dã poziþia iniþialã a fiecãrui punct
M de pe coardã, iar a doua viteza iniþialã pentru fiecare punct al coardei.
Se pune problema determinãrii funcþiei u R R: , 0 care verificã
ecuaþia (13.7) ºi satisface relaþiile (13.8). Pentru aceasta vom aduce ecuaþia la forma
canonicã.
Ecuaþia diferenþialã a caracteristicilor este:
dt
dx c
2
21
care se desface în douã:
dx cdt
dx cdt
0
0
ºi are soluþiile x ct k x ct k 1 2, , cu k1, k2 constante de integrare.
Se observã cã ecuaþia (13.7) este de tip hiperbolic conform teoremei (12.1). Cu
schimbarea de variabile: x ct x ct, ea devine:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
148
20
u
Integrala generalã a acestei ecuaþii este:
u
sau revenind la vechile variabile:
u x t x ct x ct,
(13.9)
unde ºi sunt douã funcþii arbitrare care admit derivate de ordinul al doilea.
Urmeazã sã determinãm funcþiile ºi astfel încât funcþia u sã verifice
condiþiile iniþiale (13.8). Þinând cont cã:
u
tc x ct c x ct ' '
avem:
x x f x
c x c x g xR
' 'pentru orice x
sau echivalent:
x x f x
x xc
g dx
x
1
0
de unde rezultã:
x f xc
g d
x f xc
g d
x
x
x
x
1
2
1
2
1
2
1
2
0
0
Prin urmare:
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
149
x ct f x ctc
g d
x ct f x ctc
g d
x
x ct
x
x ct
1
2
1
2
1
2
1
2
0
0
Introducând în (13.9) obþinem:
ctx
ctx
dgc
ctxfctxftxu 2
1
2
1,
Observaþia 13.2. Metoda prin care am obþinut aceastã soluþie se numeºte metoda
schimbãrii variabilelor sau metoda lui D�Alembert ºi Euler.
14.1. Metoda separãrii variabilelor (Bernoulli ºi Fourier)
Sã considerãm ecuaþia cu derivate parþiale de ordinul al doilea liniarã ºi omogenã:
a xu
xb x
u
xt
u
tt
u
tc x t u
2
2
2
20
(14.1)
cu a, b, c - funcþii continue pe I R ºi , , - funcþii continue pe J R ºi în plus:
a x
0
0
pentru orice x I;
t pentru orice t J
Observaþia 14.1. Ecuaþia de mai sus (14.1) poate fi de tip hiperbolic, parabolic
sau eliptic.
Se cere funcþia u I J R: , soluþie a ecuaþiei (14.1) care satisface condiþiile
iniþiale:
u x f xu
tx g x, ; ,0 0
pentru orice x I
(14.2)
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
150
ºi condiþiile de limitã:
Au t Bu
xt
Cu l t Du
xl t
0 0 0
0
, ,
, ,
pentru orice t J
(14.3)
Pentru rezolvarea acestei probleme vom folosi metoda separãrii variabilelor care
constã în a construi soluþia u folosind soluþii particulare ale ecuaþiei (14.1) de forma:
U x t X x T t,
(14.4)
Derivând funcþia U din (14.4) ºi introducând-o în (14.1) obþinem:
T a x X b x X c x X X x T x T x T " ' " ' 0
Eliminând soluþia banalã U(x,t) = 0 putem împãrþi cu U X T pentru orice
x t I J, ºi variabilele se separã. Rezultã:
a x X b x X c x X
X
t T t T t T
T
" ' " '
Membrul stâng al acestei egalitãþi este o funcþie numai de x, membrul drept este
funcþie numai de t; aceastã egalitate nu poate avea loc pentru orice x t I J, decât
dacã fiecare dintre cele douã funcþii se reduce la o constantã k. Egalitatea se desface în
douã ecuaþii diferenþiale ordinare:
a x X b x X c x X kX" '
(14.5)
t T t T t k T" ' 0
(14.6)
Impunând funcþiilor de forma (14.4) condiþiile la limitã (14.3) avem:
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
151
A X B X T t
C X l D X l T t
0 0 0
0
'
' pentru orice t J
Eliminând cazul T(t) = 0 oricare ar fi t J care corespunde soluþiei banale
U(x,t) = 0 pentru orice x t I J, vom avea:
A X B X
C X l D X l
0 0 0'
' = 0
(14.7)
În cele ce urmeazã sã considerãm ecuaþia diferenþialã liniarã ºi omogenã (14.5) cu
condiþiile la limitã (14.7). O soluþie a acestei ecuaþii care verificã (14.7) este soluþia
banalã:
x X x 0 pentru orice x I
Se pune problema determinãrii valorilor lui k pentru care ecuaþia (14.5) cu
condiþiile la limitã (14.7) admite ºi alte soluþii decât soluþia banalã. Aceastã problemã se
numeºte problema lui Sturm ºi Lionville.
Valorile lui k pentru care ecuaþia (14.5) cu condiþiile (14.7) admite soluþii diferite
de soluþia nulã se numesc valori proprii ale problemei, iar funcþiile X corespunzãtoare se
numesc funcþii proprii. Mulþimea valorilor proprii se numeºte spectrul problemei.
Se poate arãta cã, valorile proprii formeazã un ºir infinit:
k1, k2, ... ,kn, ...
Funcþiile proprii corespunzãtoare:
X1(x), X2(x), ... ,Xn(x), ...
vor fi determinate în afara unui factor constant lipsit de importanþã.
Pentru fiecare valoare kn a lui k vom obþine din (14.6) o funcþie de forma:
T t T t T tn n n 1 21 2
(14.8)
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
152
unde T Tn n1 2, sunt douã soluþii particulare liniar independente, iar 1 2, sunt
constante reale arbitrare.
Vom determina constantele 1 2, astfel încât T Tn n0 1 0 0 , '
ºi vom avea sistemul:
1 2
1 2
1 2
1 2
0 0 1
0 0 0
T T
T T
n n
n n
' '
care admite o soluþie unicã (deoarece determinantul coeficienþilor este wronskianul
funcþiilor T Tn n1 2, în punctul t = 0).
Cu 1 ºi 2 astfel determinaþi obþinem din (14.8) o soluþie particularã n a ecuaþiei
(14.6) cu proprietãþile:
n n0 1 0 0 ; '
(14.9)
În mod analog vom determina o nouã soluþie particularã n* care satisface
condiþiile:
n n* *;
'0 0 0 1
(14.10)
Este evident cã n ºi n*
formeazã un sistem fundamental de soluþii ale ecuaþiei
liniare (14.6), deci soluþia sa generalã poate fi scrisã sub forma:
T t A t B tn n n n n *
(14.11)
cu An, Bn constante reale arbitrare.
Funcþia U X Tn n n satisface ecuaþia (14.1) ºi condiþiile la limitã (14.3).
Aceeaºi proprietate o va avea ºi suma seriei:
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
153
U u x t X x T tnn
n nn
0 0
; ,
dacã seria este convergentã în orice punct x t I J, ºi dacã poate fi derivatã termen
cu termen de douã ori în raport cu t pe J.
Þinând seama de (14.11) obþinem din ultima egalitate de mai sus:
u x t X x A t B tn n n n nn
, *
0
(14.12)
în care coeficienþii An ºi Bn se determinã folosind (14.2).
Avem:
u
tx t X x A t B tn n n n n
n
, ' *'
0
ºi þinând seama de (14.9) ºi (14.10):
u x A X xu
tx B X xn n
nn n
n
, ; ,0 00 0
Condiþiile (14.2) vor fi satisfãcute dacã ºi numai dacã:
A X x f x B X x g xn nn
n nn
0 0
; pentru orice x I
(14.13)
Constantele An ºi Bn sunt coeficienþii Fourier generalizaþi ai funcþiilor f ºi g în
raport cu sistemul Xn n0 (funcþiilor proprii).
Observaþia 14.2. Vom vedea mai departe (pe diverse exemple) cum se aplicã
aceastã metodã ducând calculele pânã la capãt.
14.2. Ecuaþia omogenã a coardei vibrante. Soluþia lui D. Bernoulli ºi Fourier
Reluãm ecuaþia vibraþiilor libere ale coardei:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
154
2
2 2
2
2
10
u
x c
u
t
(14.14)
cu condiþiile la limitã:
u t u l t0 0 0, , ,
(14.15)
pentru orice t 0, ºi condiþiile iniþiale:
u x f xu
tx g x, , ,0 0
(14.16)
pentru orice x l 0, .
Condiþiile (14.15) aratã cã punctele O(0) ºi A(l) ale coardei sunt fixe.
Compatibilitatea condiþiilor (14.15) ºi (14.16) cere funcþiilor f ºi g sã verifice egalitãþile
f(0) = f(l) = 0 ºi g(0) = g(l) = 0.
Vom presupune cã f g C l, , 1 0 .
Cãutãm soluþia ecuaþiei (14.14) Rlu ,0,0: care satisface condiþiile
(14.15) ºi (14.16) folosind metoda separãrii variabilelor.
O funcþie
U x t X x T t,
(14.17)
va fi soluþie particularã a ecuaþiei (14.14) dacã ºi numai dacã
X x T tc
X x T t" " 12
pentru orice x l 0, ºi orice t 0, .
Eliminând soluþia banalã U = 0 pe 0 0, ,l ultima ecuaþie se mai scrie:
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
155
X x
X x c
T t
T t
" "
12
oricare ar fi x t l, , , 0 0 .
Din ultima egalitate rezultã cã fiecare din cele douã rapoarte se reduce la o
constantã k ºi obþinem ecuaþiile:
X x kX x" 0
(14.18)
T t kc T t" 2 0
(14.19)
Funcþia (14.17) verificã egalitãþile (14.15) pentru orice t 0, dacã ºi numai
dacã:
X X l0 0 0 ,
(14.20)
Avem de determinat valorile lui k pentru care ecuaþia (14.18) cu condiþiile
(14.20) admite soluþii diferite de soluþia nulã pe [0,l]. Ecuaþia (14.18) este liniarã ºi
omogenã cu coeficienþi constanþi, ecuaþia caracteristicã r k2 0 poate avea rãdãcini
reale, distincte sau nu. Deci:
i. pentru k > 0 avem r k r k1 2 , , soluþia generalã a ecuaþiei (4.18) va avea
forma:
X x C e C ex k x k 1 2
Condiþiile (4.20) impun:
C C
C e C el k l k
1 2
1 2
0
0
de unde C1 = C2 = 0, deci X(x) = 0 pentru orice x l 0, ;
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
156
ii. pentru k = 0, r1 = r2 = 0 ºi soluþia ecuaþiei (4.18) este de forma:
X x C x C 1 2
Condiþiile la limitã (14.20) dau
C
C l C2
1 2
0
0
ºi cum l 0 rezultã C1 = C2 = 0;
iii. pentru k < 0, notãm cu k 2 ºi avem r i r i1 2 , . Soluþia generalã a
ecuaþiei (4.18) are forma:
X x C x C x 1 2cos sin
Condiþiile la limitã (14.20) sunt verificate dacã ºi numai dacã C1 0 ,
C l2 0sin .
Eliminând cazul C2 = 0 care ne-ar conduce din nou la soluþia banalã, vom
satisface aceste condiþii luând:
C C l1 20 1 0 , , sin
Din ultima egalitate rezultã pentru valorile:
nn
ln 1 2, ,
deci valorile proprii ºi funcþiile proprii sunt:
kn
lX x
n
lx n Nn n
2
, sin
Cu aceste valori ale lui k, ecuaþia (14.19) devine:
T tn c
lT t"
2
0
cu soluþia generalã:
T t A nc
lt B n
c
ltn n n
cos sin
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
157
Deci funcþiile (14.17) care verificã (14.14) ºi condiþiile (14.15) sunt:
U x t X x T t A nc
lt B n
c
lt
n
lxn n n n n, cos sin sin
Considerãm seria:
u x t U x tnn
, ,
1
pe care o presupunem convergentã ºi derivabilã termen cu termen de douã ori în raport cu
x ºi de douã ori în raport cu t. În aceste condiþii:
2
2 2
2
2
2
2 2
2
21
1 10
u
x c
u
t
U
x c
U
tn n
n
deoarece fiecare termen al seriei este soluþia ecuaþiei (14.14). În plus pentru orice
t 0, :
u t U t X T tnn
n nn
0 0 0 01 1
, ,
u l t X l T tn nn
,
1
0
Prin urmare, funcþia u, definitã prin:
u x t An c
lt B
n c
lt
n
lxn n
n
, cos sin sin
1
(14.22)
este soluþie a ecuaþiei (14.14) ºi satisface condiþiile la limitã (14.15).
Coeficienþii An ºi Bn vor fi determinaþi de condiþiile iniþiale (14.16), avem:
An
lx f x
n c
lB
n
lx g xn
nn
n
sin ; sin
1 1
(14.23)
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
158
Funcþiile f ºi g sunt definite pe [0,l] cu derivate continue pe acest interval, le
prelungim pe [-l,0] ca funcþii impare, adicã ~ ~f ºi g fiind prelungirile lor. Acestea sunt
definite pe [-l,l] prin:
~ ,
,~ ,
,f x
f x x l
f x x lg x
g x x l
g x x l
0
0
0
0
Aceste funcþii pot fi dezvoltate în serie Fourier pe [-l,l], serie numai de sinuºi
deoarece sunt funcþii impare; cum T = 2l,
2
T l, seriile lor Fourier vor avea
forma (14.23) þinând seama cã ~f x f x ºi ~g x g x oricare ar fi x l 0, ,
egalitãþile (14.23) au loc pe intervalul [0,l] cu coeficienþii:
Al
f xn
lxdx
Bn c
g xn
lxdx
n
l
n
l
2
2
0
0
sin
sin
(14.24)
În cazurile concrete, când valorile funcþiilor f ºi g sunt precizate, iar integralele
(14.24) pot fi calculate, coeficienþii An ºi Bn se introduc în (14.22) ºi se verificã
posibilitatea derivãrii acestei serii de douã ori în raport cu x, respectiv de douã ori în
raport cu t pe 0 0, ,l dupã care se poate afirma cã soluþia problemei este datã de
(14.22) cu coeficienþii (14.24).
Observaþia 14.3. Forma (14.22) a soluþiei are interpretãri interesante, fiecare
termen al acestei serii
U x t A nc
lt B n
c
lt
n
lxn n n, cos sin sin
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
159
descrie una dintre miºcãrile simple posibile ale coardei fixatã în O(0) ºi A(l) numite
oscilaþii proprii.
Observaþia 14.4. Sã considerãm acum ecuaþia neomogenã a vibraþiilor coardei:
2
2 2
2
2
1u
x c
u
tx t ,
(14.25)
cu condiþiile la limitã ºi iniþiale aceleaºi ca în cazul ecuaþiei omogene:
u t u l t0 0, ,
(14.26)
oricare ar fi t 0,
u x f xu
tx g x, ,0 0
(14.27)
oricare ar fi x l 0, , termenul liber din ecuaþia (14.25) reprezintã forþa
perturbatoare.
Soluþia u a ecuaþiei (14.25) u l: , ,0 0 care satisface condiþiile (14.26) ºi
(14.27) o vom cãuta sub forma:
u x t u x t U x t, , , 0
(14.28)
unde u u t x0 0 , este soluþia ecuaþiei omogene (14.14) care verificã condiþiile
(14.26) ºi (14.27), iar U = U(x,t) este soluþia ecuaþiei neomogene (14.25) cu aceleaºi
condiþii la limitã (14.26) dar care corespunde condiþiilor iniþiale
U xU
tx, , ,0 0 0 0
.
Funcþia u0 descrie vibraþiile libere ale coardei fixate în O(0) ºi A(l,0) cu poziþia
iniþialã ºi viteza iniþialã date prin f ºi g, U descrie vibraþiile coardei fixatã în cele douã
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
160
puncte O ºi A datoritã forþei reprezentate prin funcþia pornind din poziþia de repaus cu
viteza iniþialã nulã.
15.1. Ecuaþia propagãrii cãldurii
Sã considerãm o barã rectilinie, omogenã ºi izotropã, situatã pe axa Ox. Notãm
cu u(x,t) temperatura într-un punct M(x) al barei la momentul t. În ipoteza cã între
suprafaþa barei ºi mediul înconjurãtor nu existã schimb de cãldurã (bara este izolatã
termic), funcþia u verificã ecuaþia:
2
2 2
1u
x a
u
t
(15.1)
unde a2 este constantã strict pozitivã care depinde de natura materialului anume:
ak
c2
unde: k - coeficientul de conductibilitate termicã;
c - cãldura specificã;
- masa specificã.
Ecuaþia (15.1) este o ecuaþie de tip parabolic b ac2 0 ºi se numeºte
ecuaþia cãldurii, dar se întâlneºte ºi în studiul altor fenomene.
Analog cu aceasta, ecuaþia propagãrii cãldurii într-o placã planã este:
2
2
2
2 2
1u
x
u
y a
u
t
(15.1�)
iar pentru corpuri în spaþiul cu trei dimensiuni:
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
161
2
2
2
2
2
2 2
1u
x
u
y
u
z a
u
t
(15.1�)
Vom presupune bara nemãrginitã în ambele sensuri ºi vom cãuta soluþia u a
ecuaþiei (15.1)
x t u x t R R, , : , 0
care satisface condiþia iniþialã:
u x f x,0
(15.2)
pentru orice x R , unde f o presupunem continuã pe R, derivabilã pe porþiuni în orice
interval finit I R ºi absolut integrabilã pe R.
Observaþia 15.1. Se pot da ºi alte probleme referitoare la propagarea cãldurii
într-o barã în care, pe lângã o condiþie iniþialã, pot fi date condiþii la limitã când bara este
mãrginitã fie într-un sens, fie în ambele sensuri, capetele barei fiind menþinute la o
temperaturã constantã, probleme care se rezolvã prin metoda separãrii variabilelor.
Cãutãm soluþia ecuaþiei (15.1) cu condiþia iniþialã (15.2) de forma:
u x t X x T t,
(15.3)
Derivând (15.3) ºi introducând în (15.1) obþinem:
X x T ta
T t X x" ' 12
(15.4)
de unde excluzând soluþia banalã obþinem:
X x
X x a
T t
T tk
" '
12
De aici rezultã ecuaþia liniarã ºi omogenã cu coeficienþi constanþi:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
162
T a kT' 2 0
(15.5)
X x kX" 0
(15.6)
Prima ecuaþie are soluþia generalã:
T t Ceka t2
unde C este o constanþã arbitrarã.
Conform ipotezelor fãcute în ultima relaþie trebuie ca k < 0, fie
k 2 0 . Deci soluþia ecuaþiei (15.1) este:
T t Ce a t 2 2
iar soluþia generalã a ecuaþiei (15.6) va avea forma:
X x C x C x 1 2cos sin
cu C, C1, C2 constante reale arbitrare care pot diferi de la o ecuaþie la alta când variazã;
notând cu A C C 1 , B C C 2 avem pentru ecuaþia (15.1) soluþii de
forma:
U x t A x B x e a t, ; cos sin 2 2
(15.7)
pentru 0, .
Observaþia 15.2. În general nu existã nici o funcþie în familia (15.7) care sã
verifice condiþia iniþialã (15.2), funcþia f ar trebui sã fie o funcþie sinusoidalã.
Folosind observaþia 15.2 se încearcã sã se determine soluþia problemei sub forma:
u x t U x t d A x B x e da t, , ; cos sin
0 0
2 2
(15.8)
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
163
care înlocuieºte seria din cazul când avem valori proprii ºi funcþii proprii.
În ipoteza cã
2
2
u
x ºi
u
t se pot obþine derivând în (15.8) sub semnul de
integrare, avem:
2
2 2
2
2 2
0
1 10
u
x a
u
t
U
x a
U
td
deoarece U verificã ecuaþia (15.º) oricare ar fi 0, , deci u reprezentatã prin
integrala (15.8) este soluþie a ecuaþiei (15.1).
Aceastã funcþie satisface condiþia iniþialã (15.2) dacã ºi numai dacã:
A x B x d f x cos sin
0
(*)
pentru orice x R .
În ipotezele de mai sus cu privire la f rezultã cã ea poate fi reprezentatã printr-o
integralã Fourier, adicã:
f x d f x d
1
0
cos
Þinând cont cã cos cos cos sin sin obþinem dezvoltând
în ultima relaþie cã:
f x f x f d
1
0
cos cos sin sin
Comparând cu relaþia (*) se observã cã condiþia iniþialã are loc dacã punem:
A f d B f d
1 1
cos ; sin
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
164
ºi înlocuindu-le în (15.8) obþinem:
0
cos)(1
,22
dxfdetxu ta
s-au schimbând ordinea de integrare:
u x t f d e x da t, cos
1 2 2
(15.9)
Observaþia 15.3. Aceastã funcþie satisface evident condiþia (15.2).
Urmeazã sã dovedim cã este soluþie a ecuaþiei (15.1), ceea ce este echivalent cu a
justifica posibilitatea derivãrii funcþiei (15.9) sub semnul de integrare.
Derivând în raport cu t avem:
u
t
af d e x da t
2
2 2 2cos
Derivând de douã ori în raport cu x avem:
2
221 2 2u
xf d e x da t
cos
Fie 0 fixat, pentru orice t > ºi orice x R modulul funcþiei de sub
semnul de integrare dublã este majorat de f e a t 2 2 2 iar integrala
f d e da
2 2 2 este convergentã deoarece cele douã integrale simple
sunt convergente (f este absolut integrabilã pe R prin ipotezã).
Relaþia (15.9) poate fi scrisã mai simplu folosind:
e bxdxa
eaxb
a
22
4
0
1
2cos
deci:
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
165
u x ta t
f e d
x
a t,
1
2
2
4 2
(15.10)
oricare ar fi x R ºi t 0, .
Observaþia 15.4. Formula (15.10) se generalizeazã pentru R2 ºi pentru R3, dupã
cum urmeazã:
u x y ta t
f e d dx y
a t, , ,
1
22
2 2
4 2
(15.10�)
ºi
u x y z ta t
f e d d dx y z
a t, , , , ,
1
23
2 2 2
4 2
(15.10�)
Observaþia 15.5. Folosind relaþia (15.10) se poate demonstra o proprietate
interesantã: f fiind o funcþie mãrginitã, notând cu M f xx R
sup atunci:
u x t M,
oricare ar fi x R ºi t 0, .
15.2. Problema lui Dirichlet pentru cerc
Punerea problemei:
Sã se determine funcþia u = u(x,y) care:
are derivatele de ordinul doi continue pe
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
166
2222, ayxRyxD ;
verificã ecuaþia lui Laplace în domeniul D:
2
2
2
20
u
x
u
y
(15.11)
ia valori date pe frontiera a domeniului D ºi este continuã pe D .
Fie A(a,0), P(x,y) douã puncte de pe cerc, primul fix, al
doilea mobil. Notãm cu s lungimea arcului AP mãsurat în sensul
trigonometric ºi cu f(s) valorile pe care u = u(x,y) le ia în diverse
puncte P de pe cerc.
u x y f s PP
, ;
(15.12)
Vom presupune în cele ce urmeazã cã f este o funcþie continuã. Dacã
(r,) sunt coordonatele punctului M D atunci ecuaþia lui Laplace în coordonate polare
este:
2
2 2
2
2
1 10
U
r r
U
r r
U
(15.13)
unde U r u r r, cos , sin .
Avem deci de determinat soluþia U a R: , ,0 0 2 a ecuaþiei (15.13)
care satisface condiþia la limitã:
U a f,
(15.14)
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
167
pentru orice 0 2, cu f R: ,0 2 o funcþie datã ºi vom presupune cã
f f0 2 ºi cã f admite o dezvoltare în serie Fourier pe intervalul 0 2, .
Aplicând metoda separãrii variabilelor vom cãuta mai întâi soluþii ale ecuaþiei
(15.13) de forma:
U r R r,
Derivând ºi înlocuind în ecuaþia (15.13) ºi separând variabilele obþinem:
r R rR
Rk
2 " ' "
unde k este o constantã ce urmeazã a fi determinatã.
Din ultimul ºir de egalitãþi rezultã cã avem de integrat ecuaþiile:
" k 0
(15.15)
ºi
r R rR kR2 0" '
(15.16)
Ecuaþia (15.15) este liniarã cu coeficienþi constanþi, deci soluþiile sale sunt
definite pe toatã axa realã.
Din U r U r, , 2 rezultã cã 2 , deci ne
intereseazã numai acele soluþii ale ecuaþiei (15.15) care îndeplinesc aceastã condiþie.
Pentru aceasta este necesar ºi suficient sã avem k n n N 2 ; cu precizarea cã pentru
n = 0 va trebui sã luãm 0 0 A pentru orice 0 2, .
Soluþia generalã a ecuaþiei:
" * n n N2 0
este de forma:
n n nn n n N cos sin *
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
168
Ecuaþia (15.16) este de tip Euler înlocuind pe k cu n2 ºi cãutând soluþii de forma
R r r , obþinem pentru ecuaþia:
1 02n
care are rãdãcinile nn 21 , .
Deci soluþia generalã a ecuaþiei (15.16) este:
R r r r n Nn nn
nn ; *
iar pentru n = 0 avem:
R r r0 0 0 ln
Deoarece este necesar ca U R sã fie continuã pe D, deci ºi în origine, va
trebui sã luãm 0 0 0 ; n oricare ar fi n N * de unde rãmâne
R r rn nn .
Obþinem astfel urmãtoarele soluþii pentru ecuaþia (15.13), oricare ar fi n N *:
U r R r r A n B nn n nn
n n, cos sin
(15.17)
unde am notat cu A Bn n n n n n ; .
În general condiþia la limitã (15.14) nu poate fi satisfãcutã de nici o funcþie Un din
ultima egalitate.
Din aceastã cauzã vom cãuta soluþii pentru problema lui Dirichlet sub forma
0n
n
U U
, adicã:
U r A r A n B nnn
n nn
, cos sin 0
1
(15.18)
Condiþia la limitã (15.14) va fi satisfãcutã dacã ºi numai dacã:
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
169
01
cos sinnn n
n
A a A n B n f
Prin ipotezã am presupus cã f admite dezvoltare în serie Fourier pe 0 2, de
unde rezultã:
2
0
0
2
0
2
0
1
2
1cos
1sin
nn
nn
A f d
a A f n d
a B f n d
(15.19)
Deoarece ºirurile coeficienþilor a A a Bnn
n
nn
n 1 0; converg cãtre zero
rezultã cã existã M > 0 astfel încât P x P x dxo pentru k n
npentru k nk n
1
1
22 1
pentru orice
n N *, deci modulul termenului general al seriei (15.18) admite majorarea:
r A n B n Mr
an
n n
n
cos sin
Seria modulelor termenilor seriei (15.18) admite ca majorantã seria
Mr
a
n
n
0
care este convergentã pentru orice r < a. Rezultã cã seria (15.18) este
absolut convergentã ºi uniform convergentã.
Introducând (15.19) în (15.18) avem:
r A n B nr
af n dn
n n
n
cos sin cos
1
0
2
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
170
deci:
U r fr
an d
n
n
, cos
1
21 2
0
2
1
Seria fiind evident uniform convengentã, poate fi deci integratã termen cu
termen. Suma acestei serii poate fi uºor calculatã pornind de la egalitatea banalã:
r
an i
r
an
r
ae
n
n
n
n
nin
n
cos sin
1 1 1
În membrul drept avem o serie geometricã cu raþia qr
aei
cu
qr
a 1 pentru orice M D .
Deci:
r
ae
r
ae
r
ae
r
a e r
r ae r
a ar r
nin
n
i
i i
i
12 2
1 2 cos
de unde rezultã:
r
an
r a n r
a ar r
n
n
cos
cos
cos
12 22
1 221
2 2
2 2
r
an
a r
a ar r
n
n
coscos
Cu aceasta soluþia problemei lui Dirichlet va avea forma:
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
171
U ra r f d
a ar r,
cos
2 2
2 2
0
2
2 2
(15.20)
numitã formula lui Poisson.
16.1. Polinoamele lui Legendre
În teoria potenþialului se întâlneºte funcþia g R: , ,0 1 11 definitã
prin:
g r xrx r
,
1
1 2 2
(16.1)
Problema care se pune este de a gãsi dezvoltarea funcþiei g în serie de puteri ale
lui r pentru r < 1. Se observã cã x 11, implicã existenþa unui unghi ,
astfel încât xe ei i
cos
2, de unde dupã (16.1) avem:
1
1 2
1
1
1
1
1
12 2
rx r r e e r re rei i i i
Deoarece re re ri i pentru orice 0, rezultã cã fiecare din
factorii de mai sus poate fi dezvoltat în serie binomialã (serie de puteri ale lui r pentru
r 0 1, cu x 11, arbitrar). Obþinem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
172
g x r P x rnn
n
,
0
(16.2)
pentru r 0 1, ºi x 11, .
Vom determina coeficienþii lui Pn(x) pe o cale indirectã dupã cum urmeazã:
notãm u r x r 2 ºi g r x rx r,
1 2 2 1 2 devine g u u 1
care pentru u 1 ne dã:
1 1
1
2 1
1 3
2 2
1 3 5 2 1
2
1 22
2
u u u
n
nu
nn
! ! !
Înlocuind pe u cu r x r2 ºi strângând termenii în rn rezultã cã ultimul
termen care conþine pe rn este un. Contribuþia termenului u r x rn k n k n k 2
este evident nknk
kn
k rxC
221 de unde pentru k N rezultã:
P x C
n k
n kxn
kn kk
kn k
k
E n
1
1 3 5 2 2 1
22
0
2
!
(16.3)
cu En
2
- partea întreagã a numãrului n
2.
Definiþia 16.1. Polinoamele Pn definite prin (16.3) se numesc polinoamele lui
Legendre, iar funcþia g definitã prin (16.1) a cãrei dezvoltare în seria (16.2) are
coeficienþii Pn se numeºte funcþia generatoare a polinoamelor Legendre.
Propoziþia 16.1. polinoamele lui Legendre mai pot fi exprimate prin:
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
173
P xn
d
dxxn n
n
n
n
1
212
!
(16.4)
numitã formula lui Olinde-Rodrigues.
Demonstraþie: Este evident cã:
x C xn k
nk n k
k
n2 2 2
0
1 1
de aici deducem cã:
d
dxx C n k n k n k x
n
n
n knk n k
k
E n
2 2
0
1 1 2 2 2 2 1 2 12
Abstracþie fãcând de semn, coeficientul lui xn k2 se mai poate scrie:
n
k n k
n k
n kn C
n k
n k
n Cn k
n k
n kk
n kk n k
!
! !
!
!!
!
!
!!
2 2
2
2 2
1 3 5 2 2 12
2
deci:
d
dxx n C
n k
n kx
n
n
n n kn kk
k
E
kn k
n
2
0
1 2 11 3 5 2 2 1
2
2
!!
Comparând cu (16.3) rezultã egalitatea (16.4).
Propoziþia 16.2. Polinoamele lui Legendre au toate rãdãcini reale, distincte ºi
cuprinse în (-1,1).
Demonstraþie: ecuaþia xn2 1 0 are rãdãcini -1 ºi 1 multiple de ordinul
n; conform teoremei lui Rolle ecuaþia d
dxx
n2 1 0 are în afarã rãdãcinile -1 ºi 1
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
174
multiple de ordinul n-1, o rãdãcinã în (-1,1). Aplicând din nou teorema lui Rolle rezultã
cã ecuaþia d
dxx
n2
22 1 0 admite douã rãdãcini distincte în (-1,1), celelalte
rãdãcini fiind -1 ºi 1 multiple de ordinul n-2, º.a.m.d.
Ecuaþia d
dxx
n
n
n2 1 0 dacã ºi numai dacã Pn(x) = 0 are toate cele n
rãdãcini distincte ºi situate în (-1,1).
Propoziþia 16.3. Polinoamele Legendre satisfac relaþia de recurenþã:
0121 11 xnPxPxnxPn nnn
(16.5)
Demonstraþie: egalitatea (16.2) scrisã sub forma:
1 2 2
0
12
rx r P x rn
n
n
o derivãm în raport cu r ºi obþinem:
1 2 2 1
1
32
rx r x r nP x rn
n
n
sau echivalent:
x r P x r rx r nP x rnn
nn
n
n
0
2 1
1
1 2
Identificând coeficienþii lui rn rezultã:
xP x P x n P x nxP x n P xn n n n n 1 1 11 2 1
egalitate echivalentã cu (16.5).
Propoziþia 16.4. Polinomul Legendre P n Nn este soluþie a ecuaþiei
diferenþiale:
x y xy n n y2 1 2 1 0 " '
(16.6)
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
175
Demonstraþie: derivând relaþia evidentã:
xd
dxx nx x
n n2 2 21 1 2 1
de n+1 ori folosind formula lui Leibnitz vom obþine:
xd
dxx n x
d
dxx n n
d
dxx
nxd
dxx n n
d
dxx
n
n
n n
n
n n
n
n
n
n
n n
n
n
22
22
1
12 2
1
12 2
1 1 2 1 1 1 1
2 1 2 1 1
Împãrþind în ambii membri cu n n! 2 ºi þinând seama de (16.4) obþinem:
x P x n xP x n n P x nxP x n n P xn n n n n2 1 2 1 1 2 2 1 " ' '
sau încã:
x P x nP x n n P xn n n2 1 2 1 0 " '
Propoziþia 16.5. Polinoamele lui Legendre formeazã un sistem de funcþii
ortogonale pe [-1,1] mai mult are loc:
P x P x dxo pentru k n
npentru k nk n
1
1
2
2 1
(16.7)
Demonstraþie: cum Pk ºi Pn sunt soluþii la o ecuaþie diferenþialã de forma (16.6)
pe care scriind-o sub forma echivalentã:
d
dxx y n n y2 1 1 '
obþinem:
d
dxx P x n n P xn n
2 1 1 '
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
176
d
dxx P x k k P xk k
2 1 1 '
Înmulþind în prima egalitate cu Pk, în a doua cu Pn ºi apoi scãzându-le obþinem:
d
dxx P x P x P x P x n n k k P x P xk n n n kk
2 1 1 1 ' '
de unde rezultã:
n n k k P x P x dxn k 1 1 01
1
care pentru k n conduce la P x P x dxn k 1
1
0 .
Pentru a verifica egalitatea (16.7) în cazul când k = n vom scrie pe lângã relaþia
de recurenþã (16.5) ºi relaþia obþinutã înlocuind n cu n-1. Vom avea:
n P x n xP x nP x nn n n 1 2 1 0 1 21 1 , ,
nP x n xP x n P x nn n n 2 1 1 0 2 31 2 , ,
Înmulþind în prima relaþie cu P xn1 , în a doua cu P xn ºi integrând pe [-
1,1], datoritã proprietãþii de ortogonalitate rezultã:
n P x dx n xP x P x dx nn n n
12
1
1
11
1
2 1 1 2, ,
n P x dx n xP x P x dx nn n n2
1
1
11
1
2 1 2 3
, ,
Din compararea celor douã egalitãþi deducem:
P x dxn
nP x dxn n
2
1
1
12
1
12 1
2 1
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
177
Notând cu I P x dxn n 2
1
1
avem evident:
I I I I In
nIn n2 1 3 2 1
3
5
5
7
2 1
2 1
; ;
de unde:
In
In 3
2 1 1
Din (16.4) avem
P x P x x0 11 , ºi P x dx02
1
1
2
prin urmare:
P x dx x dx12
1
12
1
1 2
3
deci:
In nn
3
2 1
2
3
2
2 1
Polinoamele lui Cebîºev
Din formula lui Moivre:
cos sin cos sin i n i n n Rn
rezultã imediat cã:
cos cos sinn Ckn
k n k k
k
E n
1 2 2 2
0
2
ºi notând x cos :
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
178
cos arccosn C x xkn
k n k k
k
E n
1 12 2 2
0
2
Definiþia 16.2. Polinoamele Tn definite prin:
T x n x C x xnk
nk n k k
k
E n
cos arccos 1 12 2 2
0
2
(16.8)
se numesc polinoamele lui Cebîºev.
Propoziþia 16.6. Polinoamele Cebîºev au urmãtoarele proprietãþi:
i. admit funcþia generatoare:
f r xxr
xr r,
1
1 2 2
adicã
f r x T x rnn
n
,
0
pentru r 1;
ii. satisfac relaþia de recurenþã:
T x xT x T x nn n n 1 12 0 1 2, ,
iii. polinomul Tn este soluþie a ecuaþiei diferenþiale:
1 02 2 x y xy n y n N" ' *
iv. existã relaþiile:
1
1
0
20
0
2
1
1
xT x T x
pentru k n
pentru k n
pentru k n
k n
Demonstraþie:
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
179
i. considerãm seria Taylor T x rnn
n
0
, în care înlocuim
T x n xn cos arccos prin cosn ; rezultã:
T x r r n e e r
r e r e
r
r r
nn n
n
in in
nn
n
i i
cos
cos
cos
0 00
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1 2
pentru orice r C cu r 1, seria este convergentã deoarece este suma a douã serii
geometrice cu raþiile:
r e r r e ri i 1 1;
Revenind la variabila x obþinem:
T x rxr
xr rrn
n
n
02
1
1 21,
ii. din identitatea:
cos cos cos cosn n n 1 2 1 0
înlocuind arccosx se obþine relaþia de recurenþã din enunþ.
iii. deoarece T x n xn cos arccos avem:
xnx
nxTxxT
x
x
xnnxTx
n
n
arccoscos1
11
arccossin1
2
2"2'
2
'2
înmulþind cu 1 2 x ºi înlocuind cos arccosn x cu Tn(x) rezultã:
1 02 2 x T x xT x n T xn n n" '
iv. În integrala din membrul stâng pe care o notãm cu I(k,n) facem substituþia x=cosè:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
180
00
])cos()[cos(2
1coscos),( dnknkdnknkI
Pentru 0)sin()sin(
2
1),(,
0
nk
nk
nk
nknkInk
pentru 22
2sin
2
1),(,0
0
n
nnkInk
iar pentru
0
)0,0(,0 dInk
Polinoamele lui Hermite
Definiþia 16.3. Polinoamele definite prin:
H x ed
dxen
xn
nx 2 2
(16.9)
oricare ar fi n N , se numesc polinoamele lui Hermite.
Polinoamele lui Hermite au urmãtoarele proprietãþi:
i. verificã relaþia de recurenþã:
,2,1,022 11 nxnHxxHxH nnn
ii. Hn este soluþie a ecuaþiei diferenþiale:
y xy xy" ' 2 2 0
iii. au loc relaþiile:
e H x H x dxpentru k n
n pentru k nx
k n n
2 0
2!
Demonstraþiile acestor propietãþi se fac în mod analog ca mai sus.
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
181
16.2. Funcþiile lui Bessel
Printre funcþiile speciale, funcþiile lui Bessel ocupã o poziþie importantã datoritã
frecvenþei cu care sunt întâlnite în mai multe probleme din diverse ramuri ale fizicii ºi
tehnicii.
Definiþia 16.4. Ecuaþia diferenþialã:
xy xy x y R C" ' 2 2 0
(16.10)
se numeºte ecuaþia lui Bessel, iar soluþiile aceste ecuaþii se numesc funcþii Bessel.
Vom considera ecuaþia (16.10) pentru funcþii complexe de o variabilã complexã
ºi vom cãuta soluþii de forma:
y x x C x x Crk
k
k
0
(16.11)
exponentul r ºi constanta Ck urmând a fi determinate.
Presupunem cã seria C xkk
k
0
are raza de convergenþã 0 . Pentru orice x
interior discului de convergenþã avem:
y x x r k C xrk
k
k
'
1
0
y x x r k r k C xrk
k
k
"
2
0
1
Introducând în (16.10) ºi simplificând cu xr obþinem:
r k r k r k C x x C xkk
kk
kk
1 02 2
00
sau echivalent cu aceasta:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
182
r k C x C xkk
kk
kk
2 2 2
00
de unde rezultã:
r C r C2 20
2 210 1 0 ;
(16.12)
r k C C kk k 2 2
2 2 3 , ,
(16.13)
Putem presupune C0 0 . Din prima egalitate (16.12) rezultã
r2 2 0
(16.14)
(ecuaþie determinatã a ecuaþiei (16.10)) ºi are rãdãcinile ºi -.
Cum intervine în ecuaþia diferenþialã prin pãtratul sãu, oricare ar fi
20
20 0 2 C \ , arg , ºi putem preciza pe 0 prin
arg ,0 0 .
Deci dacã R atunci 0 ; pentru r a doua relaþie (16.12) devine:
2 1 01 C
deci C1 = 0.
Tot pentru r relaþia (16.13) devine:
k k C C kk k2 2 32 , ,
(16.15)
Pentru k 3 5 7, , , þinând seama cã C1 = 0 rezultã cã toþi coeficienþii Ck de
indice impar sunt nuli. Pentru k 2 4 6, , , notând k p 2 , p 1 2 3, , ,, obþinem
din (16.15):
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
183
4 1 22 2 2p p C C pp p , ,
(16.16)
din care se pot deduce toþi coeficienþii cu indice numãr par în funcþie de C0. Din primele p
relaþii
4 1 1
4 2 2
4
2 0
4 2
2 2 2
C C
C C
p p C Cp p
rezultã:
p p C Cpp
p! 2 1 2 122 0
Se ºtie cã
1 21
1 p
p
rezultã cã:
C
C
p ppp
p
p20
2
1 1
2 11 2
!, ,
Cu acestea (16.11) devine:
y x x C x Cx
p pp
p
p
pp
pp
2
2
00
2
20
1 12 1
!
Ecuaþia (16.10) fiind omogenã soluþiile sale pot fi determinate în afara unui factor
constant; luând
C01
2 1
obþinem:
y xp p
xp p
p
1
1 2
2
0 !
sau
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
184
y xx
p p
xp p
p
2
1
1 2
2
0
!
Notând x
z2
2
avem de studiat seria de puteri
1
10
p
p
p
p pz
! ,
având raza de convergenþã:
lim
!:
!lim
p
p p
pp p p p
p
p
1
1
1
1 2
1
1
1
Rezultã cã suma seriei este o funcþie întreagã, seria poate fi derivatã termen cu
termen de câte ori este necesar:
f xp p
xx C
p p
p
1
1 2
2
0 !
Propoziþie 16.5. Funcþia J definitã prin:
J xp p
xp p
p
1
1 2
2
0 !
(16.17)
în care, pentru ,0arg,0 0 are urmãtoarele proprietãþi:
i. pentru n N J, este o funcþie întreagã;
ii. pentru N J, este olomorfã pe D C T \ , unde T este o semidreaptã cu
originea în O.
În ambele cazuri, funcþia J este soluþie a ecuaþiei lui Bessel pe domeniul sãu de
olomorfie; am fãcut convenþia:
x
ex xi
22 2
ln arg
Observaþia 16.2. Punând în relaþia (16.17) în loc de pe - obþinem:
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
185
J xp p
xp p
p
1
1 2
2
0 !
(16.18)
Observaþia 16.3. Dacã arg ,0 0 ºi dacã N atunci soluþia
generalã a ecuaþiei Bessel pe domeniul D C T \ este:
y x A J x B J x
(16.19)
unde J ºi J - sunt funcþii definite de (16.17) ºi (16.18) iar A ºi B sunt constante
complexe.
Observaþia 16.4. Funcþiile definite prin relaþiile (16.17) ºi (16.18) pentru n
satisfac evident relaþia:
J Jnn
n 1
(16.20)
pentru orice n N .
demonstratie: Avem
0
2
21!
1
p
pnp
n
x
pnpxJ
Cum 01
1
pn pentru p=n-1,n-2,...,1,0 ramâne
np
pnp
n
x
pnpxJ
2
21!
1
sau, cu schimbarea p=n+q a indicelui de însumare,
)(2)!(!
)1(1
21)!(
1
0
2
0
2
xJx
qnq
x
qqnxJ n
q
qnqn
q
qnpn
n
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
186
Observaþia 16.5. Wronskianul funcþiilor J J , are valorile:
W J J
J x J x
J x J x x
' '
sin2
Observaþia 16.6. Funcþiile lui Bessel satisfac relaþiile de recurenþã:
d
dxx J x x J x
d
dxx J x x J x
1
1
Existã o teoremã a lui Liouville care afirmã cã singurele funcþii Bessel care pot fi
exprimate prin funcþii elementare sunt funcþiile J pentru Nnn
,
2
1
Probleme rezolvate 1.Sã se determine soluþia ecuaþiei:
0)(2
2
2
222
u
x
ux
x
uxl , 0<x<l care satisface
u(x,y)|0y=arcsin 1; |
0
yy
u
l
x
Rezolvare:
În cazul acestei ecuaþii avem : b2-ac=l2-x2>0 deci ecuaþia este de tip hiperbolic Ecuaþia diferenþialã a caracteristicilor este :
01)(2
22
dx
dyxl cu
22
1
xldx
dy
integrând aceasta ecuaþie obþinem
arcsinl
x+y=C1 , arcsin
l
x-y=C2
Cu schimbarea de variabile : = arcsinl
x+y , = arcsin
l
x-y , ecuaþia se reduce la forma:
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
187
u2
=0 cu soluþia generalã u( , )=f( )+g( )
Soluþia generalã a ecuaþiei date este u(x,y)=f(arcsinl
x+y)+g(arcsin
l
x-y)
Pentru determinarea funcþiilor f ºi g vom utiliza condiþiile iniþiale , obþinându-se sistemul:
1=)l
x(arcsing'+)
l
x(arcsinf'
)l
xarcsin (=)
l
xg(arcsin+)
l
xf(arcsin
rezolvând acest sistem, obþinem în final soluþia ecuaþiei date:
u(x,y)= arcsinl
x+y
2.Sã se determine soluþia ecuaþiei:
0sinsincos22
22
2
2
2
y
ux
y
u
yx
ux
x
u
care satisface condiþiile
u(x,y)|sin sy
=x4 si xy
uxy
|
sin
Rezolvare:
Deoarece b2-ac=1>0, rezultã cã ecuaþia este de tip hiperbolic Ecuaþia diferenþialã a caracteristicilor este:
0sincos2 22
xdx
dyx
dx
dy care conduce la 1cos x
dx
dy.
Integrând aceste ecuaþii obþinem:
2
1
sin
sin
Cyxx
Cyxx
Fãcând schimbarea de variabile: = yxx sin , = yxx sin , obþinem forma canonicã a ecuaþiei date:
u2
=0 cu soluþia u( , )=f( )+g( )
Deci soluþia generala a ecuaþiei date de:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
188
u(x,y)=f(x+sinx-y)+g(x-sinx+y) , funcþiile f si g determinându-se din condiþiile iniþiale
242)(
24 Cxxxf ;
242)(
24 Cxxxg
Soluþia ecuaþiei este u(x,y)=2
1( yxx sin )2-
4
1( yxx sin )2+
+ 2
1( yxx sin )4-
4
1( yxx sin )4
3.Sã se aducã la forma canonica ºi sã se determine soluþia generalã a ecuaþiei:
022
22
2
2
22
y
uy
x
ux
y
uy
yx
uxy
x
ux
Rezolvare: Deoarece b2-ac=0 , rezultã cã ecuaþia este de tip parabolic ecuaþia diferenþialã a caracteristicilor este:
x2
2
dx
dy+2xy
dx
dy+y2=0 , cu
dx
dy=
x
y xy=C
Fãcând schimbarea de variabile xy= , x= avem
uu
yx
u ;
u
xy
u
2
22
2
22
2
2
2
uu
yu
yx
u ;
2
22
2
2
u
xy
u
ux
uxy
yx
u 2
2
22
ecuaþia data devine
01
2
2
uu
,care este echivalenta cu :
0)(
u
sau )(
u
=f( ), având soluþia generala :
u= f( )ln +g( ) Deci soluþia generalã a ecuaþiei date este : u(x,y)=f(xy)lnx+g(xy) 4.Ecuaþia micilor oscilaþii proprii de amplitudine u=u(x,t), ale unei coarde elastice perfect flexibile de la poziþia de echilibru , este datã de ecuaþia :
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
189
2
22
2
2
x
ua
t
u
Sã se arate , reducând la forma canonicã aceasta ecuaþie , cã integrala generalã este datã de relaþia : u(x,t)=F(x-at)+G(x+at), unde F ºi G sunt douã funcþii arbitrare Rezolvare:
Se observã cã ecuaþia din enunþ se mai scrie :
01
2
2
22
2
t
ua
ax
u si b2-ac= 0
12
a
de unde rezulta ca este de tip hiperbolic Ecuaþia diferenþialã a caracteristicilor este:
01
2
2
adx
dt integrând-o se obþine
x-at=C1 ; x+at=C2
Fãcând schimbarea de variabile atx ; atx ajungem la relaþiile:
uu
x
u
x
u
x
u
u
au
at
u
t
u
t
u
xn
uu
xn
uu
x
u
2
2
2
22
2
2
2
2
2
uuu
x
u
În mod analog se deduce cã:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
190
2
22
2
22
2
2
2uuu
at
u
astfel cã ecuaþia datã se transformã în ecuaþia: 02
u
Avem:
02
uu
, de unde se obþine )(fn
u
ºi de aici:
)()( Fdfu ºi notând cu )()( Gdf , se obþine:
)()(),( GFu revenind la transformarea iniþialã avem: u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)
5.Sã se rezolve ecuaþia 2
22
2
2
x
ua
t
u
cu condiþiile iniþiale u(x,0)=f(x) ;
)()0,( xgxt
u
ºi condiþiile la limitã: u(0,t)=u(l,t)=0 , folosind metoda Fourier.
Rezolvare: Prima dintre condiþiile iniþiale indicã poziþia punctelor coardei în momentul t=0 , în timp ce a doua condiþie iniþialã da distribuirea vitezei punctelor coardei, in acest moment . Condiþiile la limitã exprimã matematic faptul cã, coarda este fixatã în punctele O ºi A (vezi figura din aplicaþia precedenta) Vom cãuta soluþii de forma: Un(x,t)=Un(x)Vn(x) Care ,înlocuite în relaþia din enunþ, conduc la relaþia : Un(x)Vn��(t)=a2Un��(x) Vn(t) ºi de aici
2
2 )(
)(''1
)(
)(''n
n
n
n
n
xV
xV
axU
xU
Constanta cu care s-au egalat rapoartele din ultima relaþie a fost luata strict negativã, pentru a asigura ecuaþiei diferenþiale pe care o satisface Vn(t), solutii mãrginite În consecinþã determinarea funcþiei un(x,t), revine la rezolvarea ecuaþiilor diferenþiale: Un��(x)+ën
2Un(x)=0 ; Vn��+a2 ën2Vn=0 a cãror soluþie este imediata:
Un(x)=Cn(1)cos(ënx)+ Cn
(2)sin(ënx) Vn(t)=Kn
(1)cos(aënt)+ Kn(2)sin(aënt)
Din condiþiile Un(0)=0 Un(l)=0 , rezulta: Cn
(2) =0; sin ënl=0 si de aici ën=nð/l
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
191
Iar funcþiile proprii ale problemei la limita se deduc imediat: Un(x)=l
xnsin
Soluþia u(x,t) a ecuaþiei din enunþ , care satisface numai condiþiile la limita , se va scrie in continuare:
u(x,t)=l
xnt
l
ant
l
anKK n
nn
sin]sincos[
)2(
1
)1(
iar constantele Kn
(1) , Kn(2) se vor determina prin intermediul condiþiilor iniþiale
Sã observãm în prealabil cã sistemul de funcþii Un(x)= l
xnsin este ortogonal ,
de pondere p(x)=1 pe intervalul [0,l] si avem:
l l
dxl
xn
0
2
2sin
Folosind în continuare condiþiile iniþiale , vom obþine:
1
)1(sin)(
nn l
xnxf K
si de aici
l
ndx
l
xnxf
lK0
)1(sin)(
2
în mod analog, pentru Kn(2) se obþine valoarea :
l
ndx
l
xnxg
anK0
)2(sin)(
2
6.Sã se rezolve ecuaþia:2
22
x
ua
t
u
cu condiþia iniþialã:
lxxfxu ,0);()0,( ºi condiþia de limita : 0),(),0( tlutu
Rezolvare: Vom folosi metoda separãrii variabilelor, deci vom cãuta soluþii de forma: )()(),( tVxUtxu nnn ; dupã înlocuire în ecuaþia din enunþ se obþine:
nnnn VaUVU ''' si de aici:
22
'1''n
n
n
n
n
V
V
aU
U
În acest mod , obþin ecuaþiile diferenþiale:
0'
0''22
2
nnn
nnn
VaV
UU
Aceste ecuaþii au soluþiile:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
192
txann
nnnnn
neKxV
xCxCxU2)(
)2()1(
)(
)sin()cos()(
ºi deoarece , în virtutea liniaritaþii ecuaþiei din enunþ, putem lua Kn=1, vom obþine pentru un(x,t) expresia:
tannnnn
nexCxCtxu2)()2()1( )]sin()cos([),(
Deoarece un(0,t)=0 rezultã C(1)n =0 iar din un(l,t)=0 rezultã 0sin ln
Valorile proprii ale problemei la limita vor fi date de ºirul l
nn
, astfel cã soluþia
capãtã forma:
l
xneCtxu
tl
an
nn
sin),(
2
)1(
în timp ce soluþia generale se va scrie:
1
)1( sin),(
2
n
tl
an
nn l
xneCtxu
Constantele C(1)n se determina prin intermediul condiþiei iniþiale:
1
)1( sin)(n
n l
xnCxf
, de unde se obþine cu uºurinþã:
l
n dl
nf
lC
0
sin)(2
Soluþia se poate pune sub forma:
dfl
n
l
xne
ltxu
l
n
tl
an
)(sinsin2
),(0 1
2
7.Sã se rezolve ecuaþia: 01
2
2
2
2
x
u
gx
u
x
ux , care satisface condiþiile la limita:
0),(
|)(|);(),0(
tlu
tttu
ºi condiþiile iniþiale:
0)0,(
)()0,(
xt
u
xfxu
unde u=f(x) reprezintã ecuaþia poziþiei firului în momentul iniþial.
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
193
Rezolvare:
Pentru rezolvarea ecuaþiei vom cãuta soluþii de forma: )()(),( tVxUtxu nnn
Aceste soluþii se introduc în ecuaþie ºi, dupã separarea variabilelor, vom obþine: 2
)(
)(''
)(
)('
)(
)(''n
n
n
n
n
n
n
tV
tV
xU
xU
xU
xUx
iar de aici:
0)(')('' 2 nnnn UxUxxU
0)('' 2 nnn VtV
A doua ecuaþie are soluþia, dupã cum se ºtie: tgDtgCV nnnnn cossin , în timp ce , pentru rezolvarea primei ecuaþii, vom face schimbarea de variabila
independentã: xn 2 si vom obþine ecuaþia diferenþialã: 0'1
'' nnn UUU
, care este o ecuaþie Bessel de indice zero ºi a cãrui soluþie iniþialã este: )()()( 00 YBJAU nnn sau
)2()2()( 00 xYBxJAxU nnnnn
Pentru determinarea funcþiilor proprii Un(x), vom face apel la condiþiile la limita; pentru x=0 avem: )0()0()0( 00 YBJAU nnn si cum )0(0Y este necesar sa luam
Bn=0, deoarece )(),0( ttu - mãrime finitã
Avem de asemenea u(l,t)=0, deci Un(l)=0 sau 020 lJ n
Dacã notãm: ,............,,........., 21 n rãdãcinile reale, simple ale ecuaþiei Jo(x)=0,
rezultã imediat cã valorile proprii n se determinã din relaþiile:
nn l 2 sau l
nn
2
În final, se obþine:
tl
gDt
l
gCtV
l
xJxU
nn
nnn
nn
2cos
2sin)(
)( 0
iar soluþia generala va avea forma:
l
xJt
l
gDt
l
gCtxu n
n
nn
nn
0
1 2cos
2sin),(
Constantele Cn,Dn se deteminã prin intermediul condiþiilor iniþiale;
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
194
Avem:
10)()0,(
nnn l
xJDxfxu
Deoarece funcþiile )(0 nJ n=1,2,k sunt ortogonale, de prindere p pe intervalul
(0,1),
nmdJJ mn ,01
0
00 ;
prin schimbarea de variabila:l
x , relaþiile precedente se transforma in:
nmdxl
xJ
l
xJ nn
,01
0
00
De aici se obþine cu uºurinþã:
l
n
l
n
n
dxl
xJ
dxl
xJxf
lD
0
02
0
0)(1
A doua condiþie iniþialã conduce la valorile Cn=0 , astfel cã în final vom obþine:
l
xJt
l
gDtxu n
n
nn
0
1 2cos),(
Probleme nerezolvate. 1.Sã se determine soluþia u=(x,y) a ecuaþiei:
0232
22
2
2
y
u
yx
u
x
u care satisface:
u(0,y)=y ; yyx
u3),0(
2
2.Sã se determine soluþia u=u(x,y) a ecuaþiei ;
042
23
2
2
x
u
y
ux
x
ux care satisface :
u(x,x2)=f(x) ; u(x,-x2)=g(x) pentru 0x , unde f ºi g sunt douã funcþii date, cu f(0)=g(0)=0
ECUAÞII CU DERIVATE PARÞIALE DE ORDINUL II __________________________________________________________________
195
3.Sã se determine soluþia u=u(x,y) a ecuaþiei ;
222
2
2
2
16 yxy
u
x
u
care satisface :
u(x,x)=f(x) ; u(x,-x2)=g(x) unde f ºi g sunt douã funcþii date. 4.Sã se determine funcþia u=u(x,t) care verificã ecuaþia :
u
x
u
xt
u
1
2
2
ºi condiþiile :
u(x,t+2ð)=u(x,t) ; u(0,t)=f(t) unde f este o funcþie periodicã de perioadã 2ð ºi satisface condiþiile lui Dirichlet. 5.Sã se determine funcþia u=u(x,t) care verificã ecuaþia :
,;,0;02
22
2
2
tlxx
u
x
ux
t
u ºi condiþiile :
,;,0);,()2,( tlxtxutxu
,;cos45
sin),();(),0( t
t
ttlutftu
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR
Obiective ºi idei principale de reþinut 1. Sã defineascã câmpul de evenimente; 2. Sã defineascã câmpul de probabilitate; 3. Sã defineascã formulele din teoria probabilitãþilor; 4. Sã defineascã variabilele aleatoare; 5. Sã defineascã legi importante de repartiþie; 6. Sã defineascã vector aleator în Rn ; 7. Sã calculeze caracteristicile numerice ale variabilelor aleatoare; 8. Sã calculeze probabilitãþi în cazul variabilelor aleatoare ce urmeazã
diverse legi de repartiþie; 9. Sã cunoascã exerciþiile rezolvate de la pagina 275.
17.1. Algebre Boole Definiþia 17.1. Se numeºte algebrã Boole o mulþime nevidã a în care sunt definite
operaþiile algebrice (reuniunea), (intersecþia) ºi C (luarea complementarei) care
verificã axiomele:
1. a A B B A
b A B B A
)
)
pentru orice a, BA (comutativitatea)
2.
a A B C A B C
b A B C A B C
)
)
pentru orice a,, CBA (asociativitatea)
3.
a A B C A B A C
b A B C A B A C
)
)
pentru orice a,, CBA
(distributivitatea)
4.
a A B A A
b A B A A
)
)
pentru orice a, BA (absorbþia)
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
197
5.
a A CA B B
b A CA B B
)
)
pentru orice a, BA (complementaritatea)
Definiþia 17.2. Se spune cã elementul A este conþinut în elementul B (B conþine
pe A) sau cã B este un majorant al lui A sau A este mai mic decât B (B este mai mare
decât A) dacã:
A B A
(17.1)
Aceasta este o relaþie de ordine pe a. Se noteazã aceastã relaþie de ordine prin:
A B sau B A . Relaþia se numeºte incluziune, iar relaþia acoperire. Avem
urmãtoarea proprietate:
Proprietatea 17.1. Relaþia A B este echivalentã cu A B B .
Deci trebuie demonstrat cã A B A dacã ºi numai dacã A B B .
Demonstraþie:
A B A deci A B B
BABABBA
A
.4
A B B deci A B A
A A B A B
B
Definiþia 17.3. Se spune cã elementul aC este cel mai mic majorant comun
al elementelor a, BA dacã au loc urmãtoarele proprietãþi:
i. A C ºi B C
ii. dacã A X ºi B X atunci C X pentru orice aX
Definiþia 17.4. Se spune cã elementul aD este cel mai mare minorant
comun al elementelor a, BA dacã au loc proprietãþile:
i. D A ºi D B
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
198
ii. dacã X A ºi X B atunci X D pentru orice aX
Consecinþa 17.1. (transformarea prin dualitate)
Dacã într-o afirmaþie adevãratã în care intervin operaþiile , ºi C ºi relaþiile
ºi , înlocuim peste tot pe cu , pe C îl lãsãm neschimbat,iar pe cu ºi
cu obþinem tot o afirmaþie adevãratã numitã afirmaþia dualã.
Consecinþa 17.2. Pentru orice a,1 niiA , elementele i
n
iA1
ºi i
n
iA1
sunt unic determinate ºi nu depind de ordinea elementelor.
Aceasta rezultã prin inducþie þinând seama de A1. ªi A2. Din definiþia 17.1.
Consecinþa 17.3. (legi de idempotenþã)
Pentru orice aA avem:
A A A ºi A A A
Demonstraþie:
A A A B A A A B A A B A A B A AA A
A AA A
4 3
4 4
. .
. .
A A A B A A A B A A B A A B A AA A
A AA A
4 3
4 4
. .
. .
Consecinþa 17.4. Incluziunea este o relaþie de ordine parþialã în algebra Boole:
i. reflexivã: pentru orice aA avem A A ;
ii. antisimetricã: A B ºi B A dacã ºi numai dacã A = B;
iii. tranzitivã: A B ºi B C rezultã A C .
Demonstraþie:
i. A A A deci A A
ii. A B deci A B A
B A deci A B Brezultã A B
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
199
iii. A B deci A B A
B C deci B C Brezultã A C A B C A B C A
B
rezultã A A C de unde rezultã A C
Consecinþa 17.5. (legi de monotonie) Pentru orice a,, CBA ºi A B
atunci:
A C B C ºi A C B C
Demonstraþie: avem A B dacã ºi numai dacã:
A B A
A B B
B C A C A B C B C deci A C B CB
B C A C A B C B C deci A C B CB
Consecinþa 17.6. Cel mai mic majorant comun ºi cel mai mare minorant comun a
douã elemente sunt unice.
Demonstraþie: sã demonstrãm cã cel mai mic majorant comun a douã elemente
a, BA este unic.
Presupunem cã existã C1 ºi C2 cei mai mici majoranþi comuni ai elementelor
a, BA . Dacã C1 este cel mai mic majorant comun atunci conform definiþiei 17.3.
A C 1 ºi B C 1 ºi oricare ar fi C2 cu proprietatea A C 2 ºi B C 2 rezultã
C C1 2 .
Înlocuind C1 cu C2 ºi C2 cu C1 obþinem analog C C2 1 deci C C1 2 . În
mod asemãnãtor se demonstreazã cã cel mai mare minorant comun a douã elemente este
unic.
Consecinþa 17.7. Într-o algebrã Boole existã douã elemente ºi V astfel ca
pentru orice aA sã avem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
200
A CA ºi A CA V
numite respectiv elementul nul ºi elementul total.
Demonstraþie: în A5.b) înlocuind B cu B CA obþinem:
A CA B CB B CB
Înlocuind A cu B ºi B cu A obþinem:
B CB A CA B CB pentru orice a, BA
de unde
A CA B CB pentru orice a, BA
Acest element comun îl notãm cu .
Procedând analog cu A5.a) obþinem:
A CA B CB V pentru orice a, BA
Consecinþa 17.8. Elementul nul ºi elementul total sunt respectiv cel mai mic
element ºi cel mai mare element din algebra Boole a în raport cu relaþia � � de ordonare
parþialã.
Demonstraþie: într-adevãr dacã în A5. Înlocuim B cu A obþinem pentru orice
aA , þinând seama ºi de consecinþa 17.7:
A CA A A de unde V A A deci V A
A CA A A de unde A A deci A
Consecinþa 17.9. Pentru orice aA avem:
A V A , A V V
ºi dual
A A , A
Demonstraþie:
A V A A CA A CA V
A A A CA A CA
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
201
Celelalte sunt demonstrate în consecinþa 17.8.
Consecinþa 17.10. Dacã A B ºi A B V atunci B CA .
Demonstraþie:
B B A CA B A B B CA B CA
rezultã
B CA
B V B A CA B A B B CA B CA
rezultã
B CA
deci:
B CA
Consecinþa 17.11. (relaþiile lui de Morgan)
Pentru orice a, BA avem:
C A B CA CB
ºi dual
C A B CA CB
Demonstraþie:
Folosind consecinþa 17.10. avem:
CA CB A B A CA CB B CB CA
CA CB A B CA A B CB A B V
deci:
CA CB C A B
Analog se demonstreazã a doua relaþie a lui de Morgan.
Definiþia 17.5. Se numesc elemente disjuncte douã elemente a, BA cu
proprietatea A B .
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
202
Definiþia 17.6. Se numeºte diferenþa elementelor a, BA elementul
A B A CB .
De aici rezultã:
V A V CA CA
ºi
A B A
Definiþia 17.7. Un element aA , A se numeºte atom dacã pentru orice
aB incluziunea B A implicã B sau B A .
Din aceastã definiþie rezultã cã dacã A este un atom pentru orice aB avem
A B sau A B .
Definiþia 17.8. Fie a o algebrã Boole ºi M o familie nevidã de elemente din a. Se
numeºte reuniune a elementelor A M elementul
A
AM care satisface:
i. A AA
M pentru orice A M ;
ii. dacã A B pentru orice A M atunci
A
A B
M .
Se numeºte intersecþie a elementelor A M elementul
A
AM care
satisface condiþiile:
i. A
A A
M pentru orice A M ;
ii. dacã B A pentru orice A M atunci B AA
M .
Definiþia 17.9. Se numeºte o -algebrã Boole a astfel încât pentru orice ºir de
elemente aiA sã avem aii
A .
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
203
În cele ce urmeazã vom nota cu o mulþime oarecare cu elementele ei ºi cu
P() mulþimea tuturor pãrþilor mulþimii .
Definiþia 17.10. O familie nevidã K P se numeºte corp de pãrþi dacã
are proprietãþile:
i. dacã A K atunci CA K ;
ii. dacã A B, K atunci A B K .
Proprietãþile unui corp de pãrþi sunt:
1) K , K
Demonstraþie: corpul K fiind nevid, existã cel puþin un element A K , pe
baza definiþiei 17.10. pentru care A CA K , de unde deducem
C K .
2) dacã A i K i n 1, atunci i
n
iA
1
K .
Demonstraþie: în baza relaþiei lui de Morgan avem:
i
n
ii
n
iA C CA
1 1
ºi aplicând într-un numãr finit de ori proprietãþile i ºi ii din definiþia 17.10. rezultã cã
i
n
iA
1
K .
3) dacã A B, K rezultã A B K .
Demonstraþie: avem A B A CB ºi în baza proprietãþii precedente
rezultã cã A B K .
Definiþia 17.11. O familie nevidã K P se numeºte corp borelian dacã
are proprietãþile:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
204
i. dacã A K atunci ºi CA K ;
ii. dacã A i K (i=1,2,...) atunci ºi i
iA K .
17.2. Câmp de evenimente
Noþiunea de bazã a teoriei probabilitãþilor este aceea de eveniment. Acestea ne
intereseazã din punct de vedere al producerii sau neproducerii lor în anumite condiþii
date.
Definiþia 17.12. Dacã A este un eveniment oarecare se numeºte evenimentul
contrar lui A (sau nonA) evenimentul care se produce atunci ºi numai atunci când nu se
produce A.(se noteazã A sau CA)
Definiþia 17.13. Dacã A ºi B sunt douã evenimente oarecare, evenimentul, sau A
sau B (sau reuniunea evenimentelor A ºi B) este evenimentul care se produce atunci ºi
numai atunci când se produce cel puþin unul dintre evenimentele A ºi B.(se noteazã
A B )
Definiþia 17.14. Dacã A ºi B sunt douã evenimente oarecare, evenimentul ºi A ºi
B (sau intersecþia evenimentelor A ºi B) este evenimentul care se produce atunci ºi numai
atunci când se produc ambele evenimente A ºi B.(se noteazã A B )
Folosind cele de mai sus rezultã cã mulþimea evenimentelor formeazã evident o
algebrã Boole faþã de operaþiile C, , .
Evenimentului total V ºi evenimentului nul al algebrei Boole le corespund
evenimentul sigur pe care-l vom nota cu , respectiv evenimentul imposibil pe care-l
vom nota cu .
Definiþia 17.15. Diferenþa evenimentelor A ºi B este evenimentul care se produce
atunci ºi numai atunci când se produce A, dar nu se produce B.(se noteazã A � B)
Definiþia 17.16. Dacã producerea evenimentului A atrage în mod necesar
producerea evenimentului B spunem cã A implicã B ºi se noteazã A B .
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
205
Definiþia 17.17. Dacã A B spunem cã evenimentele A ºi B sunt
incompatibile.
Definiþia 17.18. O mulþime de evenimente K se numeºte câmp de evenimente,
iar o mulþime înzestratã cu un corp borelian de evenimente K se numeºte câmp borelian
de evenimente. Se noteazã ,K .
Definiþia 17.19. Un sistem de evenimente Ak K k n 1, este un sistem
complet de evenimente dacã Ak , A A j kj k , k
n
kA
1
.
Definiþia 17.20. Un eveniment A K se numeºte eveniment compus dacã
existã douã evenimente B C, K diferite de A astfel încât sã avem A B C . Un
eveniment care nu este compus ºi nu este eveniment imposibil se numeºte eveniment
elementar.
17.3. Câmp de probabilitate
Fie câmpul de evenimente ,K . Se numeºte probabilitate pe K o funcþie
P : K R , care satisface axiomele:
A1) P A 0 pentru orice A K ;
A2) P 1
A2) dacã A B, K ºi A B , atunci P A B P A P B .
Tripletul ,K ,P se numeºte câmp de probabilitate.
Dacã în plus funcþia P satisface condiþia:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
206
A�3) Dacã A i K pentru i=1,2,.. ºi A A i ji j atunci
P A P Ai
i ii
1 1
, funcþia P se numeºte complet aditivã. Dacã ,K este
un câmp borelian de evenimente, atunci tripletul ,K ,P se numeºte câmp borelian
de probabilitate.
Pentru orice câmp de probabilitate au loc proprietãþile:
P1) Oricare ar fi A K , APAP 1 ;
Demonstraþie: oricare ar fi A K avem:
A A ºi A A
din A3) rezultã:
P A A P
de unde:
P A P A 1
deci:
P A P A 1
P2) P 0
Demonstraþie: avem evident ,
P P P 1 1 1 0
P3) Oricare ar fi A B, K , A B avem P A P B
Demonstraþie: fie A B, K ºi presupunem cã
A B rezultãA B A
A B B
Fie C B A B A atunci:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
207
A C B A A A B A A B
B
A C B A A
Deoarece A C B ºi A C aplicând A3) vom avea:
P A P C P B
dar din A1) P C 0 pentru orice CK , deci:
P A P B
P4) Oricare ar fi A K avem 0 1 P A
Demonstraþie: într-adevãr A ºi aplicând P3) obþinem
0 1 P A
P5) Oricare ar fi A B, K avem P A B P A P A B
Demonstraþie: avem A B A B
A B A B A B B A A
ºi
A B A B A B B A
deci evenimentele A B ºi A B sunt incompatibile. Aplicând A3) obþinem:
P A B A B P A
de unde rezultã:
P A B P A B P A
deci:
P A B P A P A B
P6) Oricare ar fi A B, K rezultã
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
208
P A B P A P B P A B
Demonstraþie: avem evident:
A B A B
de unde:
P A B P A B P A B 1
Aplicând P5) rezultã:
P A B P A P A B
Aplicând încã o datã P5) vom avea:
BAPBPBAP
de unde:
P A B P A P A B P A P B P A B
P A P B P A B
1 1 1
P7) Oricare ar fi A B, K ºi A B rezultã
P B A P B P A
Demonstraþie:
A B rezultãA B A
A B B
avem:
P B A P B P A B P B P AP
5
Definiþia 17.21. Douã evenimente A B, K se numesc egal posibile dacã
P A P B .
Definiþia 17.22. Într-un câmp finit de evenimente numãrul cazurilor posibile într-
o experienþã este numãrul de evenimente elementare ale câmpului.
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
209
Definiþia 17.23. Numãrul cazurilor favorabile unui eveniment A K este
numãrul m de evenimente elementare a cãror reuniune este A; deci dacã A Ai
m
i
1
atunci m este numãrul cazurilor favorabile.
Propoziþia 17.1. Dacã toate evenimentele elementare ale unui câmp finit de
evenimente K sunt egal posibile, probabilitatea P(A) a unui eveniment A K este
egalã cu raportul dintre numãrul cazurilor favorabile evenimentului A ºi numãrul
cazurilor posibile.
Demonstraþie: fie A K în care K este un câmp finit de evenimente egal
posibile, atunci A Ai
m
i
1, în care Ai sunt evenimente elementare, deci
A Ai j dacã i j .
P A P A ii
m
1
, presupunem P A pi evenimente egal posibile, deci
P A m p .
Pe de altã parte
i
n
iA1
de unde P n p , dar P 1 de unde
P Am
n .
Pentru a putea înþelege mai bine noþiunea de probabilitãþi condiþionate sã
considerãm urmãtoarea problemã.
O urnã conþine a bile albe ºi b bile negre. Considerãm evenimentele:
A1 - prima extragere a unei bile din urnã sã fie o bilã albã;
A2 - a doua extragere a unei bile din urnã sã fie o bilã albã.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
210
În acest caz:
1
1
2
Arealizat fost a dacã
neagrã, bilã ofost a extragere prima dacã1
Arealizat fost a dacã deci
albã, bilã ofost a extragere prima dacã1
1
deci
ba
a
ba
a
AP
Deci probabilitatea evenimentului A2 depinde de realizarea evenimentului A1,
astfel de evenimente se numesc evenimente condiþionate.
Definiþia 17.24. Fie ,K ,P un câmp de probabilitate ºi A A1 2, K
cu P A1 0 . Se numeºte probabilitatea evenimentului A A2 1 expresia:
P A A
P A A
P AP AA2 1
1 2
121
notaþie
Sã arãtãm cã tripletul A
P,,K este un câmp de probabilitate, adicã verificã
axiomele probabilitãþilor:
A1) Oricare ar fi A A1 2, K ºi A1 rezultã
P A
P A A
P AA1 21 2
10
A2) Oricare ar fi A1 K ºi A1 avem:
P
P A
P A
P A
P AA1
1
1
1
11
A3) Oricare ar fi A A A1 2 3, , K , A A1 2 , A3 avem:
P A A
P A A A
P A
P A A A A
P AA3 1 21 2 3
3
1 3 2 3
3
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
211
dar A A A A1 3 2 3 deci:
P A A A A P A A P A A1 3 2 3 1 3 2 3
Deci:
P A A
P A A
P A
P A A
P AP A P AA A A3 3 31 2
1 3
3
2 3
31 2
Proprietatea cea mai importantã este:
P1) Oricare ar fi A A1 2, K , A1 , A2 avem:
P A A P A P A P A P AA A1 2 2 1 1 21 2
Demonstraþie: avem
P AP A A
P A
P AP A A
P A
A
A
1
2
21 2
1
11 2
2
din care rezultã
P A A P A P A P A P AA A1 2 2 1 1 21 2
Definiþia 17.25. Fie ,K ,P un câmp de probabilitate. Evenimentele
A B, K se numesc independente dacã:
P A B P A P B
Propoziþia 17.2. Dacã A B, K sunt evenimente independente atunci ºi
perechile de evenimente A B A B A B, ; , ; , sunt independente.
Demonstraþie:
i. fie A B, K - independente; avem evident:
A A A B B A B A B
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
212
Evenimentele A B ºi A B sunt incompatibile deci:
P A P A B P A B
dar A, B independente deci
P A B P A P A P B P A P B P A P B 1
ii. în i. schimbãm pe A cu B ºi obþinem:
P A B P B P A
iii. este evident cã:
A B A B
deci
P A B P A B 1
P A P B P A P B P A B 1
P A B P A P B P A P B
P A B P A P B P B P A P B P B
P B P A P A P B
1
1
Propoziþia 17.3. Dacã A B, K sunt independente atunci:
P A
P A B
P B
P A P B
P BP AB
Analog:
P B
P A B
P A
P A P B
P AP BA
ºi reciproc, adicã:
Dacã P B P B P A P AA B atunci:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
213
P A B P A P B
Demonstraþie: este evidentã folosind definiþia 17.25. ºi propoziþia 17.2.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
214
TEOREME FUNDAMENTALE ALE TEORIEI
PROBABILITÃÞILOR
Metodele directe de calcul al probabilitãþilor unui eveniment nu sunt întotdeauna
comode, iar uneori chiar inutilizabile. De aceea se folosesc aºa numitele metode indirecte,
care permit ca pe baza unor probabilitãþi cunoscute ale evenimentelor studiate sã se
determine probabilitãþile altor evenimente legate de acestea, permiþând astfel reducerea
experienþelor la minim. Aceste metode indirecte utilizeazã într-o formã sau alta teoremele
fundamentale ale teoriei probabilitãþilor.
18.1. Formula probabilitãþii reuniunii evenimentelor compatibile
Formula probabilitãþii reuniunii evenimentelor compatibile este:
Pentru orice A i K i n 1, vom avea:
P A P A P A A P A A A
P A A A
i
n
i ii
n
i ji j
C
i j ki j k
C
nn
n n
1 1
11 2
2 3
1
(18.1)
Demonstraþie: prin inducþie
Pentru n = 2 avem A A1 2, K ºi
P A A P A P A P A A1 2 1 2 1 2
care este proprietatea 17.6.
Pentru n = 3 avem:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
215
P A A A P A A A P A A P A
P A A A P A P A P A P A A
P A A A A P A P A P A P A A
P A A P A A P A A A
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2
1 2 2 3 1 2 3 1 2
1 3 2 3 1 2 3
Presupunem relaþia (18.1) adevãratã pentru n = m adicã:
P A P A P A A P A A A
P A A A
i
m
i ii
m
i ji j
C
i j ki j k
C
mi j m
m m
1 1
1
2 3
1
ºi sã demonstrãm cã este adevãratã ºi pentru n = m+1
1
11
1
.6.
11
1
1mi
m
imi
m
i
P
mi
m
ii
m
iAAPAPAPAAPAP
dar,
P A A P A A P A A
P A A A P A A A A
P A A A
i
m
i mi
m
i m i mi
m
i m ji j
C
i j k mi j k
C
mm
m m
11
11 1
1
1 1
11 2 1
2 3
1
deci:
P A P A P A A P A A A
P A A A
i
m
i ii
m
i ji j
C
i j ki j k
C
mm
m m
1
1
1
1
1 2 1
12
13
1
s-a folosit relaþia:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
216
C C Cmk
mk
mk
1
1
Observaþia 18.1. Dacã evenimentele sunt douã câte douã incompatibile
A Ai j i j atunci:
P A P Ai
n
i ii
n
1 1
(18.2)
Inegalitatea lui Boole
Dacã ,K ,P este un câmp borelian de probabilitate ºi A i K
i I - o mulþime cel mult numãrabilã de evenimente atunci:
P A P Ai I
i ii I
1
Demonstraþie: dupã de Morgan avem:
i I
ii I
iA A
de unde
i I
ii I
iA C CA
ºi deci
P A P C CA P CAi I
ii I
ii I
i
1
Dar
P CA P CAi I
i ii I
Dacã I n 1 2, , , ºi cum P A P Ai i 1 rezultã
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
217
P A n P Ai ii
n
i
n
11
18.2. Formula probabilitãþii intersecþiei evenimentelor compatibile
Formula probabilitãþii intersecþiei evenimentelor compatibile este:
Oricare ar fi A i K i n 1, avem:
P A P A P A A P A A A
P A A A
i
n
i ii
n
i ji j
C
i j ki j k
C
nn
n n
1 1
11 2
2 3
1
(18.3)
Demonstraþie: avem evident cã pentru orice A i K
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
218
P A P A P A P A P A A
P A A A P A A A
C C C P A
i
n
ii
n
ii
n
i ii
n
i ji j
C
i j ki j k
Cn
n
n nn
nn
n
n
1 1 1 1
11 2
1 2 1
0
1 1
1
1 1
2
3
ii
n
i ji j
C
i j ki j k
Cn
n
P A A
P A A A P A A A
n
n
1
11 2
2
3
1
Demonstraþia egalitãþii (18.3) se poate face ºi prin inducþie matematicã procedând
în mod analog ca la (18.1).
Observaþia 18.2. (inegalitatea lui Boole)
Pentru orice A i K i n 1, are loc:
P A P A ni
n
i ii
n
1 1
1
(18.4)
Demonstraþie: fie A i K i n 1, , este evident cã:
i
n
ii
n
iA A
1 1
de unde obþinem:
P A P A P A
P A P A n
i
n
ii
n
i ii
n
ii
n
ii
n
1 1 1
1 1
1 1
1 1 1
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
219
18.3. Formula de înmulþire a probabilitãþilor
Formula de înmulþire a probabilitãþilor este :
Dacã A i K i n 1, ºi A i atunci:
P A P A P A A P A A A P A A A Ai
n
i n n
11 2 1 3 1 2 1 2 1
(18.5)
Demonstraþie: din ipotezã cum A i rezultã P A i 0 ºi din
incluziunile:
A A A A A A Ai
n
i1 1 2 1 2 31
rezultã:
P A P A A P Ai
n
i1 1 21
0
ºi deci probabilitãþile din membrul drept ai egalitãþii (18.5) sunt definite.
Prin inducþie, pentru n = 2 obþinem:
P A A P A P A A1 2 1 2 1
adicã
P A A
P A A
P A2 11 2
1
care este relaþia din definiþia probabilitãþii condiþionate; presupunem relaþia (18.5)
adevãratã pentru n = m, adicã:
P A P A P A A P A A Ai
m
i m m
11 2 1 1 1
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
220
atunci
P A P A A P A P A Ai
m
ii
m
i mi
m
i mi
m
i
1
1
11
11
1
Definiþia 18.1. Evenimentele A i K i n 1, formeazã un sistem complet
de evenimente dacã:
i. A i i n 1, ;
ii. A Ai j i j ;
iii. i
n
iA
1
.
18.4. Formula probabilitãþii totale
Fie ,K ,P un câmp de probabilitate ºi XK iar H i i n1, un
sistem complet de evenimente ale câmpului (numite ipoteze) atunci:
P X P H P X Hi ii
n
1
(18.6)
numitã formula probabilitãþii totale.
Demonstraþie: avem evident cã:
X X X H X Hi
n
ii
n
i
1 1
dar X H X Hi j dacã i j , deci evenimentele X H i ºi X Hj
sunt incompatibile douã câte douã, deci:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
221
P X P X H P H P X Hii
n
i ii
n
1 1
Observaþia 18.3. Formula lui Bayes (este o consecinþã a formulei probabilitãþii
totale ºi a formulei probabilitãþii condiþionate)
Fie H i i n1, un sistem complet de evenimente aparþinând câmpului de
probabilitate ,K ,P ºi fie XK cu X atunci:
P H X
P H P X H
P H P X Hi
i i
k kk
n
1
(18.7)
Demonstraþie: avem evident:
P X H P X P H X P H P X Hi i i i
de unde:
P H XP H P X H
P Xii i
dar
P X P H P X Hk kk
n
1
deci:
P H X
P H P X H
P H P X Hi
i i
k kk
n
1
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
222
18.5. Experienþe repetate (Scheme probabilistice clasice) i. Schema lui Poisson. Se considerã n experimente independente ºi în fiecare din
ele putându-se realiza un anumit eveniment A cu o probabilitate cunoscutã. Fie Ai
evenimentul care constã în realizarea evenimentului A în experienþa i i n 1, cu o
probabilitate cunoscutã pi. Probabilitatea ca evenimentul A sã se realizeze exact de k
k n ori în cele n experienþe P n k; este coeficientul lui xk din dezvoltarea:
ni
n
i ix p x q
1 (18.8)
în care q pi i 1 .
Demonstraþie: fie An,k evenimentul care constã în aceea cã în cele n experienþe
evenimentul A sã se realizeze exact de k ori, atunci:
nkk iiiii
n
ikn AAAAAA
11211,
în care i i in1 2, , , este o permutare a indicilor (1,2,...,n).
Deoarece:
nkknkk jjjjjiiiii AAAAAAAAAA 121121
iar evenimentele A1,A2,...,An sunt independente rezutã:
!
1, 121
;n
iiiiiikn nkk
qqpppknPAP
care este tocmai coeficientul lui xk din dezvoltarea polinomului n x din (18.8).
În limbajul urnelor schema lui Poisson este formulatã astfel.
Se dau urnele U1,U2,...,Un care conþin bile albe ºi negre în proporþii date.
Cunoaºtem deci probabilitatea pi i n 1, cu care este extrasã o bilã albã din urna Ui. Se
cere probabilitatea de a extrage k bile albe ºi n-k bile negre, atunci când din fiecare urnã
se extrage câte o bilã.
Observaþia 18.4. Uneori în aplicaþiile practice se cere calcularea probabilitãþii
apariþiei unui eveniment nu exact de k ori, ci de cel puþin k ori. Acesta este evident:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
223
P n k k n P P P P n i P n in k n k n ni k
n
i
k; , , , ; ;, , ,
1 110
1
ii. Schema lui Bermoulli cu douã stãri
Se considerã n experienþe independente, putând fiecare sã realizeze evenimentul
A cu o probabilitate cunoscutã p. Probabilitatea ca acest eveniment sã se realizeze exact
de k k n ori în cele n experienþe este:
P n k C p qnk k n k;
(18.9)
unde q = 1 - p.
Demonstraþie: aceasta nu este altceva decât un caz particular al schemei lui
Poisson în care p p pn1 2 . Funcþia generatoare în acest caz este
nnx px q , de unde coeficientul lui xk din dezvoltarea binomului este tocmai
(18.9) T C p q xk nk k n k k
1 .
În limbajul urnelor schema lui Bernoulli este: o urnã conþine bile albe ºi negre.
Probabilitatea de a extrage o bilã albã este p. Se cere probabilitatea de a extrage k bile
albe din n extracþii punând de fiecare datã bila înapoi.
Schema lui Bernoulli cu mai multe stãri
Fie n experienþe independente ºi în urma fiecãrei experienþe se poate realiza unul
din evenimentele A1,A2,...,Am m n cu probabilitãþile p1,p2,...,pm respectiv ºi
p ii
m
1
1. Probabilitatea P n n n nm; , , ,1 2 cu n n n nm1 2 a
evenimentului care constã în aceea cã în cele n experienþe sã se realizeze evenimentul Ai
de ni ori i m 1, este:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
224
P n n n nn
n n np p pm
m
n nmnm; , ,
!
! ! !1 21 2
1 21 2
(18.10)
Demonstraþie: avem:
P n n C p q C p p p
C p C p p p
C C C C p p p
nn n n n
nn n
mn n
nn n
n nn n
mn n n
nn
n nn
n n nn
n n n nn n n
mn
m
m m
; 1 1 1 1 2
1 2 3
1 2
1 1 1 1 1 1
1 1
1
2 2 1 2
11
2
1 2
3
1 2 1
1 2
Aceasta se mai numeºte schema polinomialã, deoarece reprezintã coeficientul lui
x x xn nmnm
1 21 2 din funcþia generatoare:
n m m mnx x x p x p x p x1 2 1 1 2 2, , ,
19.1. Variabile aleatoare discrete ºi continue
Fie ,K ,P un câmp de probabilitate.
Definiþia 19.1.
i. în cazul unui câmp finit de evenimente sau în cazul unui câmp numãrabil de
evenimente (câmp discret de evenimente) se numeºte variabilã aleatoare discretã o
funcþie XX definitã pe mulþimea evenimentelor elementare K ºi cu
valori reale aºa încât:
1. X x i Ii , , unde I este o mulþime cel mult numãrabilã;
2. / X x i Ii K, .
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
225
ii. în cazul unui câmp infinit de evenimente, nenumãrabil, se numeºte variabilã aleatoare
realã pe câmpul de evenimente orice aplicaþie X R: pentru care
: X I K oricare ar fi intervalul I al dreptei reale.
O astfel de variabilã aleatoare se numeºte de tip continuu.
Observaþia 19.1. Dacã X ºi Y sunt variabile aleatoare, atunci:
X Y X YX
yY X Y ; ; ; 0 sunt variabile aleatoare (aceasta rezultã din
aceea cã avem de-a face cu funcþii reale).
Redãm în cele ce urmeazã o definiþie pentru variabile aleatoare echivalentã cu
19.1.
Definiþia 19.2. Se numeºte variabilã aleatoare definitã pe un câmp de evenimente
,K o aplicaþie X R: cu proprietatea cã X A 1 K , pentru orice
A K .
Definiþia 19.3. (Funcþie de repartiþie)
i. în cazul unei variabile aleatoare discrete, ansamblul format din valorile variabilei
aleatoare X ºi probabilitãþile evenimentelor corespunzãtoare se numeºte funcþie de
repartiþie a variabilei aleatoare X, adicã:
Xx x x
p p ppn
ni
i
n: ;1 2
1 2 1
1
(19.1)
Xx x x
p p ppn
ni
i
: ;1 2
1 2 1
1
(19.2)
ii. în cazul variabilei aleatoare de tip continuu X se numeºte funcþie de repartiþie a
variabilei aleatoare X aplicaþia F F RX : ,0 1 datã de:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
226
F x P X x
(19.3)
în care X < x înseamnã X x , .
Principalele proprietãþi ale funcþiei de repartiþie de tip continuu sunt:
P1) Este nedescrescãtoare pe R (este monoton crescãtoare pe R), adicã oricare ar
fi x x R1 2, ºi x x1 2 avem:
F x F x1 2
(19.4)
Demonstraþie: fie x x R1 2, cu x x1 2 avem X x X x 1 2 , deci
P X x P X x 1 2 , rezultã cã F x F x1 2 .
P2) limx
F x F
0 .
Demonstraþie: oricare ar fi x Rn cu x avem X xn .
Deci P X xn 0, rezultã cã limx
F x
0 .
P3) limx
F x F
1 .
Demonstraþie: oricare ar fi x Rn cu x avem X xn .
Deci P X xn 1, rezultã cã F F xx
lim 1.
P4) Este continuã la stânga:
limx x
F x F x F x
0
0 00
Demonstraþie: oricare ar fi x Rn cu xn x0 avem X xn X x 0 .
Deci P X x P X xn 0 ºi F x F xn 0 de unde rezultã cã
limn
nF x F x
0 ºi F x F x0 00 .
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
227
Obsevaþia 19.2. Se poate arãta ºi reciproc, anume, dacã o aplicaþie
F R: , 0 1 satisface proprietãþile P1 - P4, atunci pentru orice astfel de funcþie F se
poate construi un câmp de probabilitãþi ºi o variabilã aleatoare X pe acest câmp, astfel ca
F sã fie funcþia de repartiþie a variabilei aleatoare X.
P5) P a X b F b F a pentru orice a b R a b, , .
Demonstraþie: avem evident a X b X b X a , rezultã cã
P a X b P X b X a P X b P X b X a
P X b P X a F b F a F xx a
x b
P6) P X x F x F x 0
Demonstraþie: avem evident X x x X xnn
1
1, rezultã cã
P X x P x X xn
F xn
F x F x F xn n
lim lim
1 10
Observaþia 19.3.
i. dacã funcþia de repartiþie a variabilei aleatoare X este continuã în punctul x R ,
atunci P X x F x F x 0 ºi reciproc;
ii. întrucât funcþia de repartiþie este nedescrescãtoare pe R rezultã cã are o mulþime finitã
sau numãrabilã de puncte de discontinuitate; în consecinþã, pentru orice variabilã
aleatoare X existã o mulþime cel mult numãrabilã de puncte x R pentru care
P X x 0 .
P7) P X x F x 1
Demonstraþie: avem evident X x X x c , rezultã cã:
P X x P X x P X x F xc 1 1
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
228
P8) P a X b F b F a 0 pentru orice b R ºi a b .
Demonstraþie: avem evident bbXabXa ºi bbXa . Deci:
P a X b P a X b P X b
F b F a F b F b F b F a
0 0
P9) Dacã funcþia de repartiþie F a variabilei aleatoare X este continuã la dreapta
în b, atunci F b F b 0 ºi P8 ne dã:
P a X b F b F a
Definiþia 19.4. (Densitate de probabilitate) Variabila aleatoare de tip continuu X
are o densitate de repartiþie dacã existã o aplicaþie f f RX : ,0 integrabilã,
aºa încât:
F x f x dtx
(19.5)
în care F este funcþia de repartiþie a variabilei aleatoare X. Are loc:
Teorema 19.1. O aplicaþie f R R: este densitate de repartiþie a unei
variabile aleatoare X dacã ºi numai dacã:
i f x
dx
.
0
1
pentru orice x R
ii. f este integrabilã pe R ºi f x-
(19.6)
Proprietãþi:
P1. Dacã variabila aleatoare X are o densitate de repartiþie f, atunci:
P a X b f x dx a b Ra
b
, , cu a < b
(19.7)
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
229
Demonstraþie: avem evident:
P a X b F b F a f x dx f x dx f x dxb a
a
b
P2. Dacã variabila aleatoare X ia valori numai în intervalul (a,b) atunci f se anuleazã în
afara acestui interval.
Demonstraþie: avem P a X b 1 . Rezultã cã f x dxa
b
1, de unde:
f x dx f x dx f x dx f x dxa
a
b
b
1
deci:
f x dx f x dxa
b
0
Observaþia 19.4.
i. dacã variabila aleatoare X are
densitatea de repartiþie, al cãrei
grafic este reprezentat în figurã,
atunci
b
a
dxxfbXaP este
aria porþiunii haºurate;
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
230
ii. dacã xb,a atunci
x
dttfxXPxF
este aria porþiunii haºurate.
19.4. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare
1. Momentul de ordinul k al unei variabile aleatoare
Definiþia 19.5.
i. în cazul unei variabile aleatoare X de tip finit, având funcþia de repartiþie:
1p,ppp
xxx:X
n
1ii
n21
n21
Numãrul:
n
1i
kiik
k xpXXM
(19.8)
se numeºte moment de ordinul Nk al variabilei aleatoare X.
ii. în cazul unei variabile aleatoare X de tip numãrabil, având funcþia de repartiþie:
1p,ppp
xxx:X
1ii
n21
n21
Numãrul:
1i
kiik
k xpXXM
(19.9)
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
231
se numeºte moment de ordinul Nk al variabilei aleatoare X, dacã seria
1i
kii xp
este absolut convergentã.
iii. în cazul unei variabile aleatoare X de tip continuu, având densitatea de repartiþie f,
numãrul:
dxxfxXXM kk
k
(19.10)
se numeºte moment de ordinul Nk al variabilei aleatoare X, dacã integrala din
membrul doi este convergentã.
Definiþia 19.6. Se numeºte valoare medie (speranþã matematicã) a variabilei
aleatoare X momentul de ordinul întâi ºi se noteazã Xmm , avem astfel:
i. în cazul variabilei aleatoare X de tip finit:
n
1iii1 xpmXXM
ii. în cazul variabilei aleatoare X de tip numãrabil:
1iii1 xpmXXM
iii. în cazul variabilei aleatoare X de tip continuu:
dxxfxmXXM 1
Definiþia 19.7. Fie mXM valoarea medie a variabilei aleatoare X; se
numeºte abaterea variabilei aleatoare X de la valoarea medie variabila aleatoare
mXU :
i. în cazul variabilei aleatoare X de tip finit:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
232
1p,ppp
mxmxmx:U
n
1ii
n21
n21
ii. în cazul variabilei aleatoare X de tip numãrabil:
1p,ppp
mxmxmx:U
1ii
n21
n21
iii. în cazul variabilei aleatoare X de tip continuu:
dxxfmxUF
dacã integrala este convergentã.
Proprietãþile valorii medii sunt:
P1. Valoarea medie Xmm a variabilei aleatoare X este cuprinsã între cea
mai micã valoare x ºi cea mai mare valoare x a variabilei aleatoare.
Demonstraþie: fie xxx , , adicã xxx deoarece 0xf
avem:
xfxxxfxfx
care integratã ne dã:
dxxfxdxxxfdxxfx
sau
dxxfxXMdxxfx
cum:
1dxxf
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
233
rezultã:
xXMx
(19.11)
P2. Valoarea medie a abaterii este zero, adicã:
0mmdxxfmdxxfxdxxfmxUM
Definiþia 19.8. Modulul este valoarea cea mai probabilã în cazul unei variabile
aleatoare discrete, adicã x pentru care ,p,pmaxp 21 sau punctul de
maxim al densitãþii de repartiþie f în cazul variabilei aleatoare de tip continuu care are
densitatea de repartiþie f.
Definiþia 19.9. Media variabilei aleatoare X este valoarea Me pentru care:
ee MXPMXP
Dacã X are o densitate de repartiþie f atunci Me este valoarea pentru care:
2
1dxxfdxxf
e
e
M
M
Geometric, Me este acel numãr cu proprietatea cã dreapta eMx împarte aria
cuprinsã între graficul funcþiei f ºi axa Ox în douã pãrþi de arii egale.
2. Momente centrate de ordinul k
Definiþia 19.10. Se numeºte moment centrat de ordinul Nk al unei variabile
aleatoare X, momentul de ordinul k al abaterii variabilei aleatoare:
kxk
k mXMXUM
(19.12)
astfel:
i. în cazul variabilei aleatoare X de tip finit avem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
234
n
1ii
kik pmxX
(19.13)
ii. în cazul variabilei aleatoare X de tip numãrabil avem:
1ii
kik pmxX
(19.14)
dacã seria din membrul doi este absolut convergentã
iii. în cazul variabilei aleatoare X de tip continuu având o densitate de repartiþie f avem:
dxxfmxX kk
(19.15)
dacã integrala din membrul doi este convergentã.
Observaþia 19.5.
i. momentul central de ordinul zero este egal cu 1, adicã 10 ;
ii. momentul central de ordinul unu este valoarea medie a abaterii ºi este zero, adicã
01 ;
iii. relaþii între momente ºi momente centrate de acelaºi ordin:
k
0ii
ikik
iik
0i
ikik
i
k
0i
iikik
ikk
XmC1dxxfxmC1
dxxfxmC1dxxfmxX
deci:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
235
k
0ii
ikik
ik XmC1X
(19.16)
aceastã relaþie permite sã se calculeze momentele centrate de ordinul k cunoscând
valoarea medie m ºi momentele k,1i,Xi .
Caz particular. Momentele centrate de ordinul doi poartã numele de dispersie ºi
se noteazã:
222
0221
120
2022 mXXmCXmCXmCXDX
Definiþia 19.11. Se numeºte abatere medie de ordinul 1\Nk * , a unei
variabile aleatoare X, radicalul de ordinul k al momentului centrat de ordinul k al
variabilei aleatoare, dacã existã, adicã:
kkk XX
(19.17)
Observaþia 19.6.
i. abaterea medie de ordinul 1 este zero, deoarece 0X0 11 ;
ii. abaterea medie de ordinul 2 se numeºte abatere medie pãtraticã ºi este:
222 mXXDX
(19.18)
iii. în afarã de aceste caracteristici se mai folosesc:
sAX
X
3
3
(19.19)
numit coeficient de asimetrie ºi:
E3X
X
2
4
(19.20)
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
236
numit corficient de turtire.
20.1. Legea densitãþii uniforme
În anumite probleme se întâlnesc variabile aleatoare continue ale cãror valori se
aflã într-un anumit interval , ºi au aceeaºi densitate de repartiþie. Se spune cã aceste
variabile sunt repartizate conform legii densitãþii uniforme.
Fie X o astfel de variabilã ºi f densitatea de repartiþie. Atunci:
,dacã0
dacãcxf
,- x
, x
în care c este o constantã ce trebuie determinatã astfel încât sã fie o densitate de repartiþie,
adicã 0xf ºi 1dxxf
. Deci 0c ºi
1dxcdxxf atunci
1c adicã avem astfel densitatea de repartiþie:
,,x,0
,x,1
xf
(20.1)
al cãrei grafic este cel alãturat:
Funcþia de repartiþie este:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
237
,,11
,,1
,,0
xdt
xx
dt
xdttf
dttfxFx
x
x
adicã:
,x,
,x,x
,x,0
xF
(20.2)
al cãrei grafic este:
Caracteristici numerice:
i. momentul de ordinul k:
1k
dxx1
dxxfxX1k1k
kkk
ii. valoarea medie:
22Xmm
22
1X
iii. momentul centrat de ordinul k:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
238
k1k
1k1k1k
kk
k
1121k
1
221k
11
2x
1k
11
dx2
x1
dxxfmxX
iv. abaterea medie de ordinul k este:
kk
kkk 1k2
11
2X
Modul (punct de maxim al densitãþii de repartiþie): nu are.
Mediana: 2
1MXP e deci
2
1dxxf
eM
; rezultã 2
Me
.
v. dispersia:
12
XDX2
2
Abaterea medie pãtraticã: 32
2
.
Coeficientul de simetrie: 0A;0;A s33
3s
.
vi. probabilitatea ca ,b,aX este:
abaFbFbXaP
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
239
20.2. Legea lui Poisson
Sã considerãm din nou schema lui Bernoulli cu douã stãri, adicã: se considerã n
experienþe independente, putând fiecare sã realizeze evenimentul A cu o probabilitate
cunoscutã p. Probabilitatea ca acest eveniment sã se realizeze exact de k ori nk în
cele n experienþe este:
knkkn qpCk;nP
(20.3)
în care p1q .
Sã considerãm ca variabilã aleatoare kAX k ; în acest caz funcþia de
repartiþie a variabilei aleatoare X de tip finit este:
n2n22
n1n1
nn pqpCpqCq
n210:X
(20.4)
cu 1qpp nn
1ii
.
Legea lui Poisson este un caz limitã al repartiþiei binomiale ºi anume:
Teorema 20.1. Legea lui Poisson este legea limitã a repartiþiei binomiale (20.3)
pentru cazul în care numãrul experienþelor n este foarte mare n , iar
probabilitatea este foarte micã 0p cu condiþia ca pn - constant.
Demonstraþie:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
240
e!kn
1n
1n
1k1
n
21
n
11lim
!k
n1
n1
n!k
1kn1nnlim
n1
nClimp1pClimk;nPlim
knk
n
k
kn
k
k
n
knkkn
n
knkkn
pnn
pnn
Astfel legea lui Poisson este:
e
!kP
k
k
(20.5)
se mai numeºte legea evenimentelor rare deoarece am considerat 0p .
Funcþia de repartiþie a variabilei aleatoare XAX k de tip numãrabil este:
e!n
e!2
e!1
e
n210:X n2
(20.6)
Sã verificãm cã (20.6) îndeplineºte 1e!k0k
k
. Într-adevãr þinând seama cã
x
0k
ke
!k
x
rezultã:
1ee!k
ee!k 0k
k
0k
k
Caracteristicile numerice ale legii Poisson sunt:
i. Momentul de ordinul k:
Din (20.6) avem:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
241
1n
1n1k
1n
nk
0n
nk
k !1nne
!nnee
!nn
Introducând substituþia m1n , adicã 1mn avem:
i
1k
0i
i1k01
11k2k
11k1k
0m
m
0m
m1
1k
0m 0m
m1k1
1k
m1k
0m
mm1
1k
m1k1
1k
m1k
m
0m
11k
2k11k
1k
0m
m1k
k
CCC
!mee
!mmC
e!m
mCe!m
m
!m!mmC
!mmC
!mme
!m1mCmCme
!m1me
Deci:
11 k
ik
(20.7)
cu convenþia ii . Din aceastã relaþie rezultã:
2312
23
12
1
0j
j
0
3121121
11
m
e!j
1
ii. Momente centrate de ordinul k
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
242
Din (20.6) rezultã:
k
0i
ikiki
ik
k
0i
n
0n
iikikik
k
0i
nikikii
k0n0n
nk
k
1Ce!n
n1C
e!n
1nCe!n
n
astfel cã formal putem scrie:
kik
(20.8)
cu aceeaºi convenþie ii ; de aici rezultã:
2431
22344
321233
2222122
11
0
3464
33
22XD
0
1
De aici rezultã cã abaterea medie pãtraticã:
XD2
Observaþia 20.1. Deoarece Dm 21 ; , aceastã proprietate este
folositã în aplicaþiile practice când se efectueazã un mare numãr de experienþe
independente n ºi în fiecare din ele evenimentul A are o probabilitate infimã p de a se
realiza de exact k ori. Aplicând formula aproximativã vom obþine:
pnk
e!k
pnk;nP
(20.9)
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
243
20.3. Legea exponenþialã
Legea exponenþialã este definitã prin densitatea de repartiþie:
0xe
0x0xf
x
(20.10)
Sã determinãm în primul rând condiþiile pe care trebuie sã le îndeplineascã .
Din 0f rezultã 0 ; 1edxedxxf0
x
0
x
.
Funcþia de repartiþie în acest caz este:
xx
0
xx
0
xx
e1edxedttfxF
Caracteristicile numerice sunt:
i. Momentul de ordinul k:
1k0
x1k
0
x1k
0x
k
0
xkk
kdxex
kdxexk
e
xdxex
Se observã cã 10 , de unde folosind relaþia de recurenþã dedusã mai sus avem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
244
1m,
!k
________________
k
1k
2
1
1
1kk
1kk
2k1k
12
01
0
ii. Momentele centrate de ordinul k:
0
xk
k dxe1
x
1k
'k 1
xkxurezultã1xxu
xx' e1
xvrezultãexv
Deci:
1kkk
0
1k
0
xk
kk1
1dx1
xk
e1
x
sau
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
245
1kkk
kk1
1
de aici rezultã cã:
44332210
9,
2,
1,0,1
deci
1
XD,1
XD 22
Avem evident cã:
eee1e1XP
20.4. Integrala lui Euler - Poisson
Ne propunem în cele ce urmeazã sã arãtãm cã:
2
dxe0
x 2
(egalitate folositã la legea normalã) (20.11)
Considerãm funcþia de douã variabile:
2222 yxyx eeey,xf
ºi domeniile:
2221 ryx,0y,0xy,xD
2222 r2yx,0y,0xy,xD
0r,r,0y,r,0xy,xD3
ca în figura alãturatã.
Evident cã:
21 DDD
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
246
deci:
21 DDD
dxdyy,xfdxdyy,xfdxdyy,xf
(20.12)
Sã calculãm: 1
22
1 D
yx
D
dxdyedxdyy,xf .
Introducem schimbarea de variabile:
2,0r,0
,rD
y,xD
2,0siny
r,0cosx
'1D unde de
atunci:
222
'1
2
1
rr
00DD
e14
dedddedxdyy,xf
Analog:
2
2
r2
D
e14
dxdyy,xf
Cu acestea. Inegalitatea (20.12) devine:
2222 r2
r
0
yr
0
xr e14
dyedxee14
sau încã:
222 r2
2r
0
xr e14
dxee14
Trecând la limitã pentru r obþinem:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
247
4
dxe4
2r
0
x 2
Folosind cele de mai sus avem:
dxeI2x
0
(20.13)
De aici avem:
0e2
1dxxfxI
'x
12
2nx2nx1n
x1nnn
I2
1ndxex
2
1nex
2
1
dxex2x2
1dxxfxI
22
2
sau
2nn I2
1nI
(20.14)
Dacã 1k2n vom avea 0I 1k2 deoarece I1=0.
Dacã k2n atunci
kk2
2
1353k21k2I
deci:
k2n2
!!1k2
1k2n0
Ik
n
(20.15)
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
248
21.1. Legea normalã de repartiþie
Definiþia 21.1. Legea normalã de repartiþie sau legea repartiþiei normale (datoratã
lui Laplace ºi Gauss) este datã prin densitatea de repartiþie:
22
2mx
e2
1xf
(21.1)
în care m ºi sunt doi parametri cu 0 , iar 14,3,7182,2e .
Prima problemã care se pune este aceea de a verifica dacã într-adevãr f datã prin
(21.1) este o densitate de repartiþie:
a) þinând seama cã 0 ºi cã f este o funcþie exponenþialã rezultã 0xf pentru
orice Rx ;
b) sã arãtãm cã 1dxxf
. Avem:
dxe2
1I
22
2mx
notând 2
mxt
, obþinem:
1I1
dte2
2I 0
t 2
.
Caracteristicile numerice sunt:
i. momente de ordinul Nn :
dxex2
1dxxfx
22
2mx
nnn
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
249
notând cu 2
mxt
rezultã mt2x avem:
n
0i
iin
inin
n
0iin
iinin
n
0i
tiniinin
n
0i
tiininin
tnn
mI2C1
Im2C1
dtetm2C1
dtemt2C1
dtemt21
2
22
care formal se poate scrie:
nn mI21
(21.2)
cu convenþia ii II astfel cã:
22220
212
22
01011
0
mm1
ImI2m2I21
I,0I,mmImI21
1
ii. momente centrate de ordinul n; avem:
dxemx2
1dxxfmx
22
2mxnn
n
Notând cu 2
mxt
obþinem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
250
n
n2tnn
n I2
dtet21 2
2n
de unde:
k2n!!1k2
1k2n0k2n
(21.3)
cu evident: 4
432
210 3,0,D,0,1 .
Observaþia 21.1. Parametrul m din (21.1) reprezintã valoarea medie a variabilei
aleatoare X iar D este abaterea medie pãtraticã. Ceilalþi coeficienþi sunt:
0A3
3s
- coeficient de asimetrie;
033
3E4
422
4s
- coeficient de turtire.
iii. Graficul densitãþii de repartiþie (clopotul lui Gauss).
Se observã cã dreapta x = m este axã de simetrie deoarece xfxm2f ;
0xflimxflimxx
.
Avem:
0xf;e2
xmxf '
3' 22
2mx
rezultã cã x=m ºi
2
1mf
22
2mx
exm2
1xf 22
5''
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
251
Din 0xf '' rezultã mx ºi e2
1mfmf
.
Tabelul de variaþie este:
Graficul este urmãtorul:
Observaþia 21.2.
i. Deoarece f are maximul în x = m rezultã cã legea normalã este unimodularã cu
modulul x = m, care din cauza simetriei este ºi medianã eMm .
ii. Dacã m variazã ºi este constant graficul este translat de-a lungul axei Ox,
pãstrându-ºi forma. Astfel pentru 21 mm avem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
252
iii. Parametrul caracterizeazã forma curbei densitãþii de repartiþie ºi este o
caracteristicã a împrãºtierii. Astfel pentru 21 ºi m constant avem: 21
11
.
Probabilitatea ca variabila aleatoare X sã ia valori în intervalul , .
Þinând cont de (21.1) avem cã uncþia de repartiþie în cazul legii normale este:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
253
dte2
1xF
22
2mt
(21.4)
de unde:
dxe2
1FFXP
22
2mx
Deoarece integrala din membrul doi depinde de m ºi , utilizãm schimbarea de
variabilã:
2
mxy , prin care (21.4) devine:
2mx
222mx
2dyedye
1dye
1xF y
0yy
dar 2
dyedye0
y0
y 22
deci (21.4) devine:
2mx
2
0
y dye1
2
1xF
(21.5)
iar:
dye1
XP2
m
2m
2y
(21.6)
Avantajul în (21.6) constã în aceea cã funcþia de integrat nu mai depinde de
parametrii m ºi , depinde de m ºi doar limitele de integrare.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
254
Integrala nedefinitã dye2y
nu poate fi exprimatã prin funcþii elementare, de
aceea pentru calculul integralei din (21.6) se folosesc tabele de funcþii speciale ale aºa
numitei funcþii a lui Laplace, sau integrala probabilitãþii legii normale:
x
0
t dte2
x2
(21.7)
Cu ajutorul funcþiei lui Laplace (21.7), funcþia de repartiþie (21.5) devine:
2
mx1
2
1dye
21
2
1xF
2mx
2
0
y
(21.8)
iar probabilitatea (21.6) devine:
2
m
2
m
2
1XP
(21.9)
Proprietãþile funcþiei lui Laplace:
1. Este crescãtoare. Oricare ar fi x1 < x2 atunci:
0dte2
dtedte2
xx2
1
21 22 2x
x
tx
0
tx
0
t12
deci 21 xx .
2. 1xlimx
12
2dte
2xlim
0
t
x
2
3. Este imparã: xx oricare ar fi Rx deoarece
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
255
xdue2
dte2
xx
0
ux
0
t 22
Probabilitatea ca variabila aleatoare X sã ia valori într-un interval simetric faþã de
valoarea medie, de lungime 2l este:
2
l
2
l
2
1
2
l
2
l
2
1lmXlmPlmXP
deci:
2
llmXP
(21.10)
Regula celor 3
Dacã variabila aleatoare X are funcþia de repartiþie datã de legea normalã, atunci
abaterea sa în valoare absolutã nu depãºeºte 3, deci:
9974,02
33mXP
(21.11)
Egalitatea (21.11) exprimã faptul cã practic toate valorile variabilei aleatoare X
sunt situate în 3m,3m .
Abaterea probabilã
În practica tragerilor caracteristica împrãºtierii este datã nu prin - abaterea
medie pãtraticã, ci de o altã mãrime numitã abatere probabilã (eroarea medie) notatã cu
E.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
256
Definiþia 21.2. Se numeºte abatere probabilã a variabilei aleatoare X, având
funcþia de repartiþie datã de legea normalã, jumãtatea lungimii intervalului simetric
centrat în m în raport cu centrul de împrãºtiere pentru care probabilitatea ca valorile
variabilei aleatoare sã aparþinã acestui interval este 2
1. Adicã acea valoare E pentru care:
2
1EmXPEmXP
(21.12)
Din (21.8) rezultã:
2
1
2
EEmXP
Deoarece funcþia lui Laplace este crescãtoare rezultã cã are o rãdãcinã unicã
pentru care 2
1
2
E
ºi din tabele rezultã 477,02
E
, de unde:
2
E;675,02E
(21.13)
Astfel în funcþie de abaterea probabilã E densitatea de repartiþie se poate scrie:
2E
2mx2
eE
xf
(21.14)
iar (21.9) devine:
E
m
E
m
2
1XP
iar pentru a nu fi nevoiþi sã înmulþim de fiecare datã argumentul funcþiei lui Laplace cu
introducem o nouã funcþie:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
257
xx�
(21.15)
care se numeºte funcþia redusã a lui Laplace ºi care se exprimã prin integrala:
x
0
tx
0
t dte2
dte2
x�222
(21.16)
Aceastã funcþie este tabelatã.
Folosind funcþia redusã a lui Laplace putem scrie:
E
m�E
m�2
1XP
(21.17)
ºi
E
l�lmXP
(21.18)
22.1. Vector aleator în Rn. Funcþie de repartiþie. Densitate de repartiþie.
În practicã suntem adesea puºi în situaþia de a lua în considerare simultan douã
sau mai multe variabile aleatoare. Dacã Xi, n,1i sunt n variabile aleatoare reale
RIX ii atunci nn21 RX,,X,XX se numeºte vector aleator. Mai
precis:
Definiþia 22.1. Se numeºte vector aleator în Rn pe câmpul de evenimente
K, orice aplicaþie nR:X pentru care:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
258
K nIX
(22.1)
oricare ar fi nn RI .
Reamintim cã RRR n este spaþiul real n - dimensional, iar
n21 X,,X,XX este un vector aleator din nR ºi ii XX cu K .
În funcþie de K putem avea vector aleator de tip finit, de tip numãrabil sau de tip
continuu.
În cazul vectorului aleator de tip continuu, analog cu cazul n = 1, introducem
funcþia de repartiþie:
Definiþia 22.2. Se numeºte funcþie de repartiþie a vectorului de tip continuu
n21 X,,X,XX aplicaþia 1,0R:F n datã de
nn11n21 xX,,xXPx,,x,xF
(22.2)
în care:
K
ii
n
1inn2211 xXxX,,xX,xX
Proprietãþile funcþiei de repartiþie sunt asemãnãtoare cu proprietãþile funcþiei de
repartiþie în cazul unidimensional dupã cum urmeazã:
P1) este monoton crescãtoare în oricare variabilã; oricare ar fi n,1i ºi "i
'i xx
rezultã "ii'ii xXxX deci:
,xX,,xX,,xX,xX,xX,,xX,,xX,xX nn"ii2211nn
'ii2211
de unde:
nn"ii11nn
'ii11 xX,,xX,,xXPxX,,xX,,xXP
adicã:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
259
n"i21n
'i21 x,,x,,x,xFx,,x,,x,xF
P2) pentru orice n,,2,1i avem
0x,,x,xFlim n21x i
Demonstraþie: în mod analog ca în cazul unidimensional.
P3) pentru orice n,,2,1i avem
1x,,x,xFlim n21x i
Demonstraþie: în mod analog ca în cazul unidimensional.
P4) este continuã la stânga în raport cu fiecare variabilã: pentru orice n,,2,1i
avem:
n0
21n0
21ni21xx
x,,x,,x,xFx,,x,,x,xFx,,x,,x,xFlimi0i0
ii
Observaþia 22.1. Se poate arãta ºi reciproc, anume, dacã o aplicaþie
1,0R:F n satisface proprietãþile P1 - P4, atunci pentru orice astfel de funcþie F se
poate construi un câmp de probabilitãþi ºi o variabilã aleatoare X pe acest câmp astfel ca
F sã fie funcþia de repartiþie a variabilei aleatoare X pe acest câmp.
Vom considera în cele ce urmeazã cazul n = 2 ºi n = 3 ºi vom þine seama cã P5
din cazul n = 1, adicã:
bx
axxFaFbFbXaP
oricare ar fi Rb,a cu a < b.
Ne propunem sã calculãm probabilitatea ca vectorul 21 X,XX sã aparþinã
lui 2211 b,ab,aD . Avem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
260
21212121
2211222122112211
222112211222111
x,xFy,xFx,yFy,yF
xX,xXPyX,xXPxX,yXPyX,yXP
yXx,xXPyX,yXPyXx,yXxP
Deci:
11
11
22
22
22
22
11
11
bx
ax
bx
ax21
bx
ax
bx
ax21
222111
x,xFx,xF
bXa;bXaP
(22.3)
Analog în cazul n = 3:
33
33
22
22
11
11
bx
ax
bx
ax
bx
ax321
333222111
x,x,xF
bXa;bXa;bXaP
(22.4)
Definiþia 22.3. Vectorul 3RX are o densitate de repartiþie dacã existã o
aplicaþie ,0R:f 3 integrabilã astfel încât:
321321
xxx
321 ddd,,fx,x,xF321
(22.5)
în care F este funcþia de repartiþie.
Teorema 22.1. O aplicaþie RR:f 3 este o densitate de repartiþie a unei
variabile aleatoare 3RX dacã ºi numai dacã:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
261
1ddd,,fsiRpeegrabilãintestef)ii
Rx,x,0x,x,xf)i
3213213
332321 1x oricepentru
(22.6)
Observaþia 22.2. Dacã variabila aleatoare 3RX are o densitate de repartiþie
321 x,x,xff atunci:
321321
b
a
b
a
b
a333222111 ddd,,fbXa,bXa,bXaP
3
3
2
2
1
1
(22.7)
Din (22.5) rezultã cã 321
3213
321 xxx
x,x,xFx,x,xf
.
Din (22.4) rezultã evident cã:
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
3
3
2
2
11
11
3
3
22
22
11
11
3
3
33
33
22
22
11
11
b
a
321321
b
a
b
a
b
a
321123
321
b
a
b
a
b
a
32
bx
ax23
321
b
a
3
bx
ax
bx
ax
b
a3
321
bx
ax
bx
ax
bx
ax321333222111
ddd,,fddd,,F
dd,,xF
d,x,xF
x,x,xFbXa,bXa,bXaP
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
262
22.2. Variabile aleatoare independente, variabile aleatoare dependente
Cunoscând funcþia de repartiþie a vectorului aleator 3RX deducem ºi
funcþiile de repartiþie ale variabilelor 321 X,X,X luate separat. Într-adevãr avem:
321321
x
321
xx11 ddd,,fx,x,xFlimxF
1
3
2
(22.5)
ºi încã douã analoage:
321321
x
321
xx33
321321
x
321
xx22
ddd,,fx,x,xFlimxF
ddd,,fx,x,xFlimxF
3
2
1
2
3
1
(22.6)
De unde deducem densitãþile de repartiþie:
213213
3333
313212
2222
323211
1111
ddx,,fx
xFxf
dd,x,fx
xFxf
dd,,xfx
xFxf
(22.7)
În mod analog se pot introduce funcþiile ºi densitãþile de repartiþie pentru câte
douã variabile aleatoare luate separat din cele trei 321 X,X,X astfel:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
263
321321
xx
32321x
3223
321321
xx
31321x
3113
321321
xx
21321x
2112
ddd,,fx,x,Fx,x,xFlimx,xF
ddd,,fx,,xFx,x,xFlimx,xF
ddd,,f,x,xFx,x,xFlimx,xF
32
1
31
2
21
3
(22.8)
ºi densitãþile de repartiþie:
132132
32232
3223
232131
31132
3113
332121
21122
2112
dx,x,fxx
x,xFx,xf
dx,,xfxx
x,xFx,xf
d,x,xfxx
x,xFx,xf
(22.9)
Definiþia 22.3. Variabilele aleatoare 321 X,X,X se numesc independente
dacã:
321332211
332211332211
x,x,xFxFxFxF
xXPxXPxXPxX,xX,xXP
(22.10)
Þinând seama de relaþia
u
dxxfuF avem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
264
321 x
333
x
222
x
111321 dfdfdfx,x,xF
(22.11)
de unde:
3
3
2
2
1
1
b
a333
b
a222
b
a111333222111 dfdfdfbXa,bXa,bXaP
(22.12)
Definiþia 22.4. Momentul de ordinul m,l,k al vectorului aleator 3RX
este:
321321m3
l2
k1m,l,k
m3
l2
k1 dxdxdxx,x,xfxxxX,X,XM
(22.13)
Cazuri particulare:
10,0,0
1X10,0,1 mm - valoarea medie a lui X1
2X20,1,0 mm - valoarea medie a lui X2
3X31,0,0 mm - valoarea medie a lui X3
Definiþia 22.5. Momentul centrat de ordinul m,l,k al vectorului aleator
3RX este:
321321m
33l
22k
11
m,l,km
33l
22k
11
dxdxdxx,x,xfmxmxmx
,mX,mX,mXM
(22.14)
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
265
Cazuri particulare:
10,0,0
01,0,00,1,00,0,1
10,0,2 XD
20,2,0 XD
32,0,0 XD
Definiþia 22.6. Momentele centrate mixte de ordinul doi, adicã:
231,1,0
131,0,1
120,1,1
K
K
K
(22.15)
se numesc covarianþe.
Þinând seama de definiþia 22.6 avem evident:
0dxxfmxdxxfmxdxxfmxK
0
33333
0
22222
0
111110,1,112
Definiþia 22.7. Mãrimile:
ji
XDXD
KKr
ji
ij
ji
ijij
(22.16)
se numesc coeficienþi de corelaþie.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
266
23.1. Legea normalã în plan
Dintre toate legile de repartiþie (de probabilitate) a variabilelor aleatoare de tip
continuu ale unui sistem de douã variabile aleatoare (ale vectorului aleator cu douã
dimensiuni) un interes deosebit îl prezintã legea normalã care este cel mai frecvent
aplicatã în practicã.
Deoarece sistemul de douã variabile aleatoare 21 X,XX se poate
reprezenta în plan printr-un punct având coordonatele carteziene 21 X,X atunci
21 X,XX îl vom numi punct aleator în plan, iar legea de repartiþie o vom numi
legea de repartiþie (de probabilitate) în plan.
În cazul general densitatea de repartiþie a legii normale în plan are expresia:
22
22m2x
212m2x1m1xr2
21
21m1x
2r12
1
er12
1x,xf
221
21
(23.1)
în care m1, m2, 1, 2, r sunt cinci parametri ce trebuie interpretaþi, cu
1,1r,0, 21 .
Pentru simplificarea scrierii vom nota:
22
222
21
221121
211
21mxmxmxr2mx
x,x
(23.2)
care este un polinom de gradul doi în x1 ºi x2. Cu aceastã notaþie (23.1) se poate scrie:
212r12
1 x,x
221
21 er12
1x,xf
(23.3)
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
267
Vom arãta în cele ce urmeazã cã m1, m2 sunt valorile medii ale variabilelor
aleatoare X1 respectiv X2, 1, 2 sunt abaterile medii pãtratice, iar 21
122,1
Krr
este
coeficientul de corelaþie al aceloraºi variabile aleatoare.
Pentru aceasta sã calculãm funcþia de repartiþie parþialã:
1
x
221
x
212121x
11 ddxx,fdxdx,fx,xFlimxF11
2
care are densitatea de repartiþie:
2
x,x
221
22111 dxer12
1dxx,xfxf
212r12
1
(23.4)
Fãcând schimbarea de variabile: 22
221
1
11 u2
mx,u
2
mx
de unde
222 du2dx ºi 22 u,x
22 u,x
Relaþia (23.4) devine:
2
uuru2u
21
1111 duer12
1mu2f
2221
212r12
1
sau pentru 2
21
21
2 r1
uC,
r1
ruB,
r1
1A
ºi folosind observaþia 23.4. avem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
268
21
21
2r1
1
22r1
21u
22r1
21u2r
u
1
u
21
2
2
21
1111
e2
1e
r12
r1
e
r1
1r12
1mu2f
de unde:
212
21m1x
e2
1xf
111
(23.5)
reprezintã densitatea de repartiþie în legi normale cu valoarea medie m1 ºi abaterea medie
pãtraticã 1.
Observaþia 23.1. Procedând în mod analog ca mai sus, vom avea:
222
22m2x
e2
1xf
222
(23.6)
care reprezintã densitatea de repartiþie în cazul legii normale cu valoarea medie m2 ºi
abaterea medie pãtraticã 2.
Sã arãtãm în cele ce urmeazã cã 21
12Kr
este coeficientul de corelaþie. Pentru
aceasta sã calculãm covarianþa:
2121221112 dxdxx,xfmxmxK
în care 21 x,xf este datã de (23.1) sau (23.3).
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
269
Pentru aceasta facem schimbarea de variabile:
2
mxr
mx
r12
1u
2
mxu
1
11
2
2222
1
111
de unde
22
12
22
1
111
ur12u2rmx
2
mxu
Se observã cã:
22
21
22
221
22
2122
222
12
2122
122
12
2
22
122
11212
22
222
2
22
1
1121
211
2
uuur12ur12r12
1
uur1r4ur12ur2uur1r4ur4u2r12
1
ur12u2rur12u2r2ur2u2r12
1
mxmxmxr2
mx
r12
1
Iacobianul transformãrii (determinantul funcþional) este:
2212
22
1
21
21 r12r122r
02
u,uD
x,xD
Cu acestea avem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
270
r2
r2
dueudueu2r12
duedueur2
dudueur12u2ru2r12
r12K
2121
0
2u
2
0
1u2
121
2
2u
1u2
121
21uu
22
1121221
221
12
22
21
22
21
22
21
de unde 21
12Kr
, deci parametrul r reprezintã coeficientul de corelaþie al variabilelor
aleatoare X1 ºi X2.
Observaþia 23.2. Dacã variabilele aleatoare nu sunt corelate (adicã 0r ) atunci
(23.1) devine:
22112
mx
2
2
mx
121 xfxfe
2
1e
2
1x,xf
22
222
21
211
(23.7)
adicã în acest caz variabilele aleatoare X1 ºi X2 sunt independente.
În cazul în care 0r , variabilele aleatoare sunt dependente ºi densitãþile de
repartiþie ale variabilelor aleatoare condiþionate sunt:
22
2121
11
2112 xf
x,xfxxf;
xf
x,xfxxf
de unde împãrþind relaþiile (23.1) cu (23.5) obþinem:
2
1
11
2
222
mxr
mx
r12
1
2
2
12 er12
1xxf
(23.8)
ºi analog împãrþind (23.1) cu (23.6) obþinem:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
271
2
2
22
1
112
mxr
mx
r12
1
2
1
21 er12
1xxf
(23.9)
Observaþia 23.3. Relaþia din (23.8) se mai poate scrie:
2
111
2222
22
mxrmrr12
1
22
12 er12
1xxf
(23.10)
care este densitatea de repartiþie a legii normale unidimensionale având valoarea medie:
111
22x/x mxrmm
12
(23.11)
ºi abaterea medie pãtraticã:
22x/x r1
12
(23.12)
relaþii care aratã cã în cazul în care variabila aleatoare X2 este distribuitã dupã legea
normalã, iar X1 este fixat, atunci variazã numai valoarea medie (depinde de x1) nu ºi
abaterea medie pãtraticã.
Observaþia 23.4. Calculul integralei:
0AcudxeI CBx2Ax 2
este:
A
ACB
A
BAx
CA
B
A
BAxCBx2AxCBx2Ax
22
2222
deci:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
272
dxeeI
22
A
BAx
A
ACB
Fãcând schimbarea de variabilã:
trezultãx
trezultãx
dtA
1dxt
A
BAx
de unde obþinem:
A
ACBtA
ACB 2
2
2
eA
dteeA
1I
deci
A
ACBCBx2Ax
2
2e
AdxeI
(*)
23.2. Legea normalã în spaþiu
Vom considera în cele ce urmeazã pentru uºurinþa scrierii numai forma canonicã:
23
23
22
22
21
21 xxx
2
1
3213321 e
2
1x,x,xf
(23.13)
în care 1, 2, 3 sunt abaterile medii pãtratice principale.
Trecând la abaterile probabile avem:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
273
23
23
22
22
21
212
23
E
x
E
x
E
x
321
3
321 eEEE
x,x,xf
(23.14)
Probabilitatea ca vectorul aleator 321 X,X,XX sã aparþinã unui domeniu
oarecare 3RD se exprimã evident prin:
D
321321321 dxdxdxx,x,xfDX,X,XP
(23.15)
Probabilitatea ca vectorul aleator 321 X,X,XX sã aparþinã unui
paralelipiped dreptunghic, cu muchiile paralele cu axele principale de împrãºtiere:
b
a3
E
xd
c2
E
xb
a1
E
x
321
321 dxedxedxeEEE
DX,X,XP23
232
22
222
21
212
23
sau utilizând funcþia redusã a lui Laplace avem:
332211
321
E
e�E
f�E
c�E
d�E
a�E
b�8
1
DX,X,XP
(23.16)
Sã considerãm elipsoidul de egalã densitate D :
2
23
23
22
22
21
21
E
x
E
x
E
x
(23.17)
ºi sã observãm cã semiaxele acestui elipsoid sunt proporþionale cu direcþiile principale de
probabilitate:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
274
321 Ec,Eb,Ea
În acest caz:
321D
E
x
E
x
E
x
321
3
321 dxdxdxeEEE
DX,X,XP23
23
22
22
21
212
23
(23.18)
Folosind coordonatele sferice:
sinrE
x
sincosrE
x
coscosrE
x
3
3
2
2
1
1
rezultã
sinrE
x
sincosrE
x
coscosrE
x
33
22
11
cu 3
3212
321 EEEcosr
,,rD
x,x,xD
, de unde:
222
2
23
e2
dree2
drer4
dddrcosr1
DX,X,XP
0
r
0
r22
0
22
20
321
sau cu ajutorul funcþiei reduse a lui Laplace:
2e2�DX,X,XP 321
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
275
Probleme rezolvate 1. Sã se determine toate câmpurile de evenimente ce se pot defini pe o mulþime cu 4 elemente. Rezolvare:
Þinând seama de definiþia corpurilor de parþi , pe mulþimea Ù={a,b,c,d} se vor gãsi urmãtoarele corpuri de parþi
K1={Ö, Ù } K2={Ö, Ù ,{a},{b,c,d}} K3={Ö, Ù ,{b},{a,c,d}} K4={Ö, Ù ,{c},{a,b,d}} K5={Ö, Ù ,{d},{a,b,c}} K6={Ö, Ù ,{a},{b},{a,b},{b,c,d},{a,c,d},{c,d}} K7={Ö, Ù ,{a},{c},{a,c},{b,c,d},{a,b,d},{b,d}} K8={Ö, Ù ,{a},{d},{a,d},{b,c,d},{a,b,c,},{b,c,}} K9={Ö, Ù ,{b},{c},{b,c},{a,c,d},{a,b,d},{a,d}} K10={Ö, Ù ,{b},{d},{b,d},{a,c,d},{a,b,c},{a,c}} K11={Ö, Ù ,{c},{d},{c,d},{a,b,d},{a,b,c},{a,b}} K12={Ö, Ù ,{a,b},{c,d}} K13={Ö, Ù ,{a,c},{b,d}} K14={Ö, Ù ,{a,d},{b,c,}} K15=P(Ù )
2. (Problema concordanþelor) Cineva a scris n scrisori, le-a închis în plicuri ºi apoi a scris la întâmplare pe fiecare din ele, cele n adrese. Sã se determine probabilitatea ca cel puþin o scrisoare sã ajungã la adevãratul destinatar, presupunându-se cã nu existã alþi factori externi care sã influenþeze destinaþia fiecãrui scrisori. Rezolvare:
Numerotam scrisorile de la 1 la n ºi notãm cu Ak �evenimentul ca pe plicul k s-a scris adresa exacta (numim acest eveniment �evenimentul concordanta).Evenimentul A
�cel puþin un plic are adresa exacta� este A=n
i
A1
i ; evenimentele ),1( niAi fiind
compatibile avem:
n
ii
nn
kjikii
n
jiji
n
ii
n
ii APAAAPAAPAPAPAP
1
1
11
)1(...)()()()(
Daca pe k plicuri s-a scris adresa exacta , pe celelalte n-k , adresele se pot scrie in
(n-k)! moduri Avem:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
276
!
)!()......( 21 n
knAAAP ikii
Scrierea adreselor este egal probabila , deci:
!
)!()........(
1...2121 n
knAAP C
K
nKII
ikii
prin urmare:
!
1)1(...
!3
1
!2
11
1)1(.....
!
)!2(
!
)!2(
!
)!1()( 11221
nnn
n
n
n
n
nAP nn
nnn CCC
3. De pe un submarin se lanseazã asupra unui distrugãtor 4 torpile. Probabilitatea ca o torpila sã loveascã distrugãtorul este 0,3. Pentru scufundarea distrugãtorului sunt suficiente 2 torpile, iar dacã o singurã torpilã loveºte distrugãtorul, el se scufunda cu probabilitatea 0,6. Sã se gãseascã probabilitatea ca distrugãtorul sa se scufunde. Rezolvare:
Considerãm evenimentele: A-�scufundarea distrugãtorului� A0-�nici o torpilã nu loveºte distrugãtorul� Ai-�distrugãtorul este lovit de i torpile, 41 i �
Vom calcula probabilitatea evenimentului A , folosindu-ne de formula probabilitãþii totale:
P( A )= P(A0) PA0( A )+ P(A1) PA1( A ) Deoarece lansarea unei torpile nu influenþeazã cu nimic lansarea celorlalte torpile,
avem: P(A0)=(0,7)4 0.240
P(A1)= 3,01
4C (0,7)3 0,412 si
PA0( A )=1 ; PA1( A )=1-0,6=0,4
Si deci P( A )=(0,240)1+(0,412)(0,4) 0,405 de unde:
P(A)=1-P( A )=0,595 4. Se aruncã o monedã de n ori. Sã se arate cã probabilitatea ca numãrul de apariþii ale stemei sã fie multiplu de 3 este:
3
cos2
11
3
11
nn
Rezolvare:
Sa notam cu Ak evenimentul �stema apare de k ori�. Probabilitatea
evenimentului Ak se obþine pe baza schemei binomiale (p=2
1) ºi este :
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
277
nkAP Ck
nnk ,......,1,0,2
1)(
Evenimentul �numãrul de apariþii ale stemei este divizibil prin trei� se scrie:
........,630 AAA , reuniunea fãcându-se dupã toþi indicii multipli de 3. Probabilitatea acestui eveniment este: P(A0)+P(A3)+P(A6)+�..=
.......)(2
1 630
CCC nnnn
3cos21
3
1
3cos22
3
1
2
1 1 nn nnn
unde am folosit egalitatea:
.......630
CCC nnn 3
1(2n+2
3cos
n)
5. Tragerea de pe un avion contra altui avion poate sã se producã de la distantele d1,d2 sau d3 cu probabilitãþile 0,2 ; 0;3 respectiv 0,5. Probabilitatea doborârii avionului inamic de la distanta d1 este 0,1 ; de la distanta d2 este 0,2 ; de la distanta d3 este 0,4. Se efectueazã tragerea ºi este doborât avionul inamic. Care este probabilitatea ca tragerea sa se fi produs de la distanta d3. Rezolvare:
Ipotezele : H1-�tragerea se poate produce la distanta d1� H2-�tragerea se poate produce la distanta d2� H3-�tragerea se poate produce la distanta d3� au probabilitãþile :
P(H1)=0,2 ; P(H2)=0,3 ; P(H3)=0,5 ;
Fie A evenimentul doborârii avionului inamic ; avem , conform enunþului ca:
P(1H
A )=0,1 ; P(2H
A )=0,2 ; P(3H
A )=0,4 ;
Formula lui Bayes conduce la:
P(H3/A)= 715,0)/()()/()()/()(
)/()(
332211
33
HAPHPHAPHPHAPHP
HAPHP
6. Dintr-o urna în care sunt 10 bile albe ºi 5 bile negre , se fac 6 extracþii punându-se de fiecare datã bila extrasã înapoi în urna. Se cere :
i) funcþia de repartiþie a variabilei aleatoare care dã numãrul de bile albe extrase;
ii) sã se rezolve aceeaºi problemã în cazul în care nu se pune bila extrasã înapoi in urna.
Rezolvare:
i)Fie Ai (i=1,6), evenimentul care constã în apariþia unei bile albe la extracþia i ºi
iA (i=1,6) evenimentul corespunzãtor apariþiei bilei negre la extracþia respectiva.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
278
Atunci P(Ai)3
2
15
10 , i=(1,6) : P( iA )
3
1
15
5 , i=(1,6)
Daca X este variabila aleatoare care dã numãrul de bile albe dupã 6 extracþii, punând de fiecare data bila alba la loc in urna , avem:
6
6
6
6
6
5
6
5
6
4
6
4
6
3
6
3
6
2
6
2
6
1
66
3
26
3
25
3
24
3
23
3
22
3
21
3
10
: CCCCCCX
Se observa ca:
1)21(3
12.........21
3
1
3
2.........
3
2
3
1 66
6
6
61
666
6
6
6
6
1
66
CCCC
Prin definiþie
xk
kpxXPxF )()()( 6 , unde cu p6(k) am notat probabilitatea de a obþine in sase
extracþii k bile albe. Avem prin urmare:
6,1
65,23
1
...........................................
221,23
1
10,3
1
0,0
)(
5
066
1
066
6
pentrux
xpentru
pentru
xpentru
pentrux
xF
k
kk
k
kk
C
C
ii) Notând cu k numãrul de bile albe obþinute extrãgând pe rând 6 bile fãrã a mai pune bilele la loc în urnã, gãsim ca:
P6(k)=C
CCkk
6
15
6
510
; k=1,2,�..,6
avem
xk
kpxXPxF )()()( 6 ,de unde:
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
279
6,1
65,
...........................................
32,
21,
1,0
)(
5
16
15
6
5
5
10
2
16
15
6
510
6
15
5
5
1
10
pentrux
xpentru
xpentru
xpentru
pentrux
xF
k
k
k
kk
CCC
CCC
CCC
7. Se dã funcþia:
ee
xx
kxf )( (-∞<x<+∞)
se cere sa se determine : i) constanta k astfel încât f sã fie densitatea de repartiþie a unei variabile
aleatoare X. ii) probabilitatea cã în 2 observaþii independente , X sã ia o valoare mai micã
decât 1 si alta mai mare sau cel mult egala cu 1. Rezolvare:
Se ºtie cã dacã 1)(
dxxf , atunci f este o densitate de repartiþie . Avem:
2)(1
1)(1 |2
karctgkdxkdxkdxxf e
ee
eex
x
x
xx
deci:
f(x)=ee
xx
12
ii) folosind enunþul , rezulta evident ca:
P(X1<1, X21)=F(1)[1-F(1)]= ee
xx
dx
12
121
xe ee
dx
=
= )2
1)((2
arctgearctge
8.Se dã funcþia:
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
280
lxlpentrux
lxpentrua
xf xl,,0
1,)( 22
Se cere: i) sã se determine coeficientul a , astfel cã f sa fie densitatea de repartiþie a unei
variabile aleatoare X ; ii) sã se afle funcþia de repartiþie corespunzãtoare ; iii) sa se calculeze P(0<X1)
Rezolvare:
i) Din proprietãþile densitãþii de repartiþie rezulta ca:
1=
dxxf )( =a
l
l xl
dx22
= a]arcsin(-1)-)a[arcsin(1 a[arcsin(1)-arcsin(-1)]=að,
deci 1
a
ii)Se ºtie cã funcþia de repartiþie este data de
F(x)=
x
dttf )(
Avem: -dacã x -l atunci f(t)=0 , de unde rezulta F(x)=0 -dacã �l<t<l, atunci:
F(x)=
x
dttf )( =
l
dttf )( +
x
l
dttf )( =1
x
l tl
dt22
=1
(arcsinl
t)|
x
l=1
arcsinl
x+
2
1
-dacã xl , atunci avem evident:
F(x)=
x
dttf )( =
l
dttf )( +
l
l
dttf )( + 122
1)(
x
l
dttf
Deci F(x)=
1,1
,2
1arcsin
1,0
x
lxll
xlx
iii)Se ºtie ca P(0<X l)=F(l)-F(0) , de unde þinând seama de punctul ii) , se
obþine: P(0<X l)= 2
1
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
281
9. Se fac trageri succesive asupra unui obiectiv pânã când acesta este doborât. Pentru doborârea lui este suficienta o singura tragere reuºita. La fiecare tragere in parte
probabilitatea de succes este3
1.
Se cer valoarea medie si dispersia numãrului de trageri. Rezolvare:
Fie X numãrul de trageri necesare. Aceasta înseamnã ca primele X-l trageri sunt ratate , iar tragerea X este reuºita.
Avem P(X=k)=32
1
k
k
kN , de unde rezulta:
1k 1
11-k
3
2
3
1
3
2k =M(X)
k
k
kk
Pentru a calcula M(X), vom calcula mai întâi suma seriei
1
1
k
kkx cu |x|<1. Pentru
aceasta derivam ambii membrii ai relaþiei
1k
k
1x
x
x si obþinem:
1k2
1-k
)1(kx
x
x (*);
luând 3
2 =x
1 1
1122
3
2
3
1
3
2)(
k k
k
k
k
kkXM
Se observa ca relaþia (*) se mai scrie :
1k2
k
)1(kx
x
xcare, derivata ne da:
1k
31-k2
)1(
1xk
x
x
Luând in ultima relaþie 3
2 =x obþinem, 15)M(X2 , de unde
69-15(X)M -)M(X (X)D 222 10. Sistemul variabilelor (X,Y) este dat prin densitatea de probabilitate:
yxyxa
yxf 22221
),(
;
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
282
se cere: i) sa se determine coeficientul a; ii) densitatea de probabilitatea a componentelor. iii) D) Y)P((X, , unde D este pãtratul D={(x,y) R2|-1x1 ; -1y1 }
Rezolvare:
i) Folosind condiþiile pe care trebuie sa le îndeplineascã f, avem: a>0 si
1),( dxdyyxf
deci:
2
2222222
1;
1111
aa
y
dy
x
dxadxdy
yxyx
a
ii)Se ºtie ca:
211
11),()(
xdyyxfxf
22 1
11),()(
ydxyxfyf
iii)
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1222 4
1
4
11
)1)(1(, ||
arctgyarctgx
yx
dxdyDYXP
11. Fie (X,Y) o variabila aleatoare bidimensionala a cãrui densitate de probabilitate este :
22 522
11),(
yxyx
eyxf
se cere: i) sa se determine densitãþile de probabilitate ale componentelor
ii) sa se determine densitãþile condiþionate )( yxf si )( x
yf
Rezolvare:
Pentru a rezolva problema mai uºor, demonstram ca:
A
ACBCBxAx e
AdxeI
2
2 2 cu A>0
Se observa ca:
A
ACB
a
BAxCBxAxCBxAx
22
22 22
si deci
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
283
dxeeI a
BAx
A
ACB
22
Fãcând schimbarea de variabila tA
BAx avem dt
Adx
1 si pentru
tx ; obþinem:
A
ACBtA
ACB
eA
dteeA
I
2
2
2
1 , unde s-a folosit:
dte t 2
Prin definiþie:
10
522
1 222
5
21),()(
xyxyx
edyedyyxfxf
2
522
1 222 21
),()(y
yxyxedxedxyxfyf
si
)(
),(
yf
yxfy
xf
;
)(
),(
xf
yxfx
yf
Probleme nerezolvate 1. Se executa trei lovituri asupra unei þinte. Se considera elementele: Ai (i=1, 3) �lovitura i a nimerit tinta�. Sã se reprezinte urmãtoarele evenimente:
i) A-�toate loviturile nimeresc þinta�; ii) B-�nici o lovitura nu nimereºte þinta�; iii) C-�cel puþin o lovitura nimereºte þinta�; iv) D-�cel puþin o lovitura nu nimereºte þinta�.
2. O nava este înzestrata cu o instalaþie de cârma, patru cazane si doua turbine. Evenimentul A reprezintã starea de funcþionare a instalaþiei de cârma, Bk (k=1,2,3,4) starea de funcþionare a cazanului k, iar Cl (l=1.2) starea de funcþionare a turbinei l. Evenimentul D-�nava manevrabila� se realizeazã in cazul in care sunt in stare de funcþionare: instalaþia de cârma, cel puþin unul din cazane si cel puþin una din turbine. Sa se exprime evenimentele D si D cu ajutorul evenimentelor A,Bk si Cl. 3.O urna conþine 5 bile albe si 3 bile negre, o alta urna 6 bile albe si 2 negre si a treia , 7 bile albe si una neagra. Se extrage cate o bila din fiecare urna. Sa se determine probabilitatea ca 2 bile sa fie albe si una neagra.
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
284
4. (Problema lui Banach). Un fumãtor îºi cumpãra doua cutii de chibrituri ºi le bagã în buzunar. Dupa aceea, de fiecare datã când foloseºte un chibrit, îl scoate la întâmplare dintr-o cutie, pânã constatã cã una din ele este goalã. Care este probabilitatea ca în a doua cutie sã fie k chibrituri, dacã la început ambele cutii aveau câte n chibrituri. Folosind rezultatul problemei sã se deducã valoarea sumei:
CCCCn
n
nn
n
n
n
n
nS 2...........22
22
2
122
5. Distribuþia variabilei aleatoare X, este:
6
14
3
13
4
721
: 2p
pX
Determinând în prealabil valoarea lui p, sã se calculeze probabilitata ca X sã ia o valoare mai micã sau egalã cu 3.
6. Densitatea de repartiþie a variabilei aleatoare X este kxeAxxf 2)( unde 0k si
x0 ; se cere: i) coeficientul A pentru ca f sã fie densitate de probabilitate
ii) probabilitatea ca
kX
1,0
iii) funcþia de repartiþie corespunzãtoare. 7. Variabila aleatoare X are densitatea de probabilitate
),0(.0
),0(,ln)(adacaX
adacaXx
acxf se cere
i) sã se determine constanta c; ii) funcþia de repartiþie corespunzãtoare; iii) sã se calculeze M(X) si D(X)
8. Se considerã funcþia:
Rainrest
axaxxf
:,0
11,1
)(
se cere: i) sã se determine a astfel ca f sã fie o densitate de probabilitate; ii) funcþia de repartiþie corespunzãtoare, F; iii) valoarea medie M(X) ºi dispersia D(X).
9. Se considerã funcþia:
Rf )1,1()1,1(: , definitã prin
)]y-xy(xa[1y)f(x, 22 se cere
ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITÃÞILOR __________________________________________________________________
285
i) sã se determine a astfel ca f sa fie o densitate de probabilitate; ii) repartiþiile componentelor.
10. Sã se gãseascã curbele de regresie pentru o repartiþie normala de densitate:
)22(2
1 22
2
1),(
yxyxeyxf
11.Dacã variabilele aleatoare nXXX ...,,........., 21 sunt independente ºi au repartiþiile:
nkXkk
k
1,
2
1
2
12
1
2
1
: ,
sã se determine repartiþia seriei aleatoare:
1kX .
MATEMATICI SPECIALE __________________________________________________________________
286
BIBLIOGRAFIE
1. Brînzãnescu V. � Capitole de matematici speciale, Editura Institutului Politehnic Bucureºti, 1978;
2. Ciorãnescu N. � Tratat de matematici speciale, Editura didacticã ºi pedagogicã, Bucureºti, 1962;
3. Colþescu I. � Matematici superioare. Probleme, Editura Muntenia, Constanþa, 1994;
4. Cristescu R. � Matematici superioare, Editura didacticã ºi
pedagogicã, Bucureºti, 1963; 5. Iacob C. � Curs de matematici superioare, Editura Tehnicã,
Bucureºti, 1957; 6. Roºculeþ N. � Analizã matematicã, Editura Tehnicã, Bucureºti,
1996; 7. Rudner V. � Note de curs de matematici speciale parþile I-II,
Editura Institutului Politehnic Bucureºti, 1979;
8. Rudner V. � Probleme de matematici speciale, Editura didacticã ºi pedagogicã Bucureºti, 1970;
9. ªabac I. Gh. � Matematici speciale vol. I-II, Editura didacticã ºi pedagogicã Bucureºti, 1964-1965;
10. Teodorescu N. � Introducere în fizica Matematicã, Editura
Tehnicã, Bucureºti, 1970.