$tefan SMARANDoIU

Cristian LAZAR

Marius PERIANU

DumitTuSAWLESCU

Matematiclclasa a VI-a

I

W/ clueuL \/narE ATtctErtLgR\

Cuprins

lLcsenACap. 1 - Numere naturale1.1. Operalii cu numere naturale

1.2. Regulide calculcu Puteri1.3, Compararea puterilor . Petrate ti cuburi perfecte.

Alte probleme in care intervin puteri.

Teste de evaluorc1.4. Divizor multiplu1.5. Criterii de divizibilitate

1.6. Proprietdlile ale relaliei de divizibilitate in N

Teste de evaluorc1.7. Numere prime. Numere comPuse

1 .8. Descompunerea numerelorde puteri de numere Prime

naturale in produs

1.! 0. MultiplicomuniTeste de evaluale

1.11. Probleme cu caracter practic.......'

1.12, Probleme pentru performanle {cola16 5i olimpiade

Cap. 2 - t{umerc lalion.le

2.1. Fraclii echivalente. Fraclii ireductibile

2.2. Numere rationale pozitive' Forme de scriere

2.3. Compararea numerelor ralionale. Aproximiri2.4. Adunarea numerelor ralionale pozitive

2.5. Scederea numerelor ralionale pozitive

Teste de evoluare2.6. lnmullirea numerelor ralionale pozitive

2.7. lmpSr[irea numerelor ralionale pozitive

2.8. Ridicarea la putere a numerelor ralionale pozitive.

Reguli de calcul cu Puteri2.9. Ordinea efectuerii operaliilor

Teste de evaluare2.10. Media aritmetici ponderate a unor numere ralionale

7

10

1418

21

26

30

3437

41

455055596',I

6974808692e7 l

101

106

110't 14

1',t7

121124

=!

cF

Et!FE2.11. Ecualii in mullimea numerelor ralionale pozitive

2.12. Probleme care se rezolvi cu ajutorul ecualiilorTeste de evaluare

2.13. Probleme cu caracter aplicativ2.14. Probleme pentru performanld gcolare Siolimpiade

GEOMETRIE

Cap. 3 - Dreapta3,1. Punct. Dreapti. Plan3.2. Semidreapta. Semiplanul3.3. Segmentul de dreaptd3.4. Poziliile relative a doue d3.5, Lungimea unui segment

Teste de evaluore3.6. Probleme cu caracter practic3.7. Probleme pentru performanld tcola16 giolimpiade

Cap.4- Unghiul4.1. Unghiul

128130133135

139146r50153156'163

167169

4.2. Clasificarea unghiurilor4.3. Unghiuri adiacente. Bisectoarea unui unghi4.4. Unghiuri complementare. Unghiuri suplementare......4.5. Unghiuri opuse la v6rf .....................

4.6. Unghiuri in jurul unui punct..........Teste de evaluare

4.7. Probleme cu caracter practic4.8. Probleme pentru performanle $colare $iolimpiade

Cap. 5 - Triunghiul5.1. Triunghiul5.2. Construclia triunghiurilor5.3. Congruenla triunghiurilor5.4. Metoda triunghiurilor congruente

Teste de evaluare ....

5.5. Probleme cu caracter practic

Solutii

173183

147193198203207211213

217222226230235239

241

ALGEBRA

CAPITOLUL

Numere naturale'1.1. Operatii cu numere naturale

1.2. Regulide calcul cu Puteri1,3. Compararea puterilor. Pitrate ti Guburi Perfecte.

Alte probleme in (are int€rvin puteri

Teste de evaluare

1.4. Divizor. MultiPlu!,5. Criterii de divizibilitate

1.5. Proprietllile divizibilitAfi in N

feste de evaluare

1.7. Numere prime. Numere comPuse

1.8. Descompunerea numerelor natulale in produs de numcreprime

1.9, Divizori Gomuni

1.10. Multipli Gomuni

Teste de evaluare

1.11, Probleme cu caracter aplicativ'1.12. Probleme pentru performanli gcolari 5i olimpiade

CAPITOLUL 1

Numere naturale

G) gp"r"!ii cu numere naturale

Operaliile inv6late cu numere natuale se clasific6 in:- operalii de ordinul int6i: adunarea qi sctrderea;

- operalii de ordinul al doilea: inmu(irea qi lmpirtirea;- operalii de ordinul al heilea: ridicarea la putere.

Proptietili ale oPeraliilor (u numere naturale1. Adunarea eite comutativd, asociativ6 9i are elementul neuau 0'

2. inmullirea este comutative, asociativtr $i are elementul neutru l '

3. inmulrirea este distributiv6 fap de adrmare gi scidere'

Ordinea efectuirii oPera!iilor1. OperaJiile de acela$i ordin se efectueaz6 in ordinea in care sunt scrise'

Z. Dacd un exercitiu cuprinde operalii de ordin diferit, mai int6i se efectueaze

operaliile de ordinul al treilea, apoi cele de ordinul al doilea 9i, in final, cele de

ordinul L3. Daci se utilizeazb parantezele, atunci mai intai se efectueazi calculele parantezele

rohmde, apoi din cele pStrate gi, in final, cele din acolade.

*

t. Efectuali urrnetoarele calcule:

a) 34567 +76543; b) 12345 -3456;2. Calculali : 10101 + 20202 + 30303 - 50505 .

c) 91919 + 9090

3. Este adevarat cA 998877 - 223344 :887766 * 112233'l

4. Deteminali numdrul aatural z pentru care aven 3232'n =9095. Determinafi numirul natual m pentru care are loc egalitatea:

{r: +[zs.+-(:.r r + t'zz)f'm\:z=tt .

6. Efectuali 2012.2011+ 2012'2013 - 2012'4024 '

7. Aflali numlrul natural a ce verifica dalia \l(a:2)+al:3) :4 = 10.

8. Calculali suma dintre cel mai mare numir natural de patru cifre format cu cifte

diferite doui cate dou6 9i cel mai mic numdr nahral de cinci cifre'

9. Calculaji diferenta dintre cel mai mic numdr natuml de cinci cifte diferite doui

c6te dou5 gi cel mai mare num6r nah[al de patru cifre diferite dou6 cAte dou6'

10. Suma a dou6 numere naturale este 9. Aflati cea mai mice $i cea mai mare valoare

a produsului lor.

I

5

.e

tr-ulF

=

27.

26.

29.

30.

=utJ3

oIz4gl4

tsNJ

.9

.9

foctzc,'<E

I

I 1 , Suma a doul numere nahuale nenule este I 0. Aflaf cea mai mic6 9i cea mai marevaloare a produsului lor.

12. Produsul a doui numere naturale este 1g. Aflari cea mai mare si cea mai micivaloare a sumei lor-

.t- .L

13. Produsul a doui numere naturale diferite este 121. Determinali suma lor.14. Ioara are 11 ani iar Gabriel are 40 de ani. peste cei ani Gabriel va avea dublul

varstei Ioarei ?

15. La na$terea Alexandrei, Mihaela avea 32 de ani. peste ceri ani de la nagtere,Alexandra va avea o treime din v&sta Mihaelei?

16. Pute{i scrie numErul 12 ca suma gi produsul aceloragi numere naturale nenule?Dar numirul 13?

1 7. Suma a patru numere natumle este I 3 .Determinafi cea mai micd valoare aprodusului lor.

18. DacE x.7 = lQ 9i *. z = 25 , sE se calculeze r.(y +z) 9i x.(y _ z\.19. $tiind cd x.! =77 gi x.z =99 , si se calculeze cea mai mare gi cea mai mic6

valoare a sumei y+z .

20. Determinati suma tuh[or numerelor naturale de doul cifie care impe4ite la 5 daurestul egal cu 3.

21. Sd se calculeze suma tuturor numerelor naturale de trei cifre care imp6rflte ta 13dau restul egal cu 12.

22. 56 se calculeze (2 + 4 +... + ZOt2) -(l + 3 +... + 201 l) .

23. Sd se efectueze (22+ 44 +...+2024):(11+22 +...+1012).

24. Suma a cinci numere naturale nenule gi distincte este 16. Determinali cele cincinumere.

25. Suma a gase numere naturale distincie este 20. Este posibil ca toate numerele s6fre nenule?

26. impertind $apte numere nahrale consecutive la 6, se obfne mereu c6tul 5.Determinali cele gapte numere.

Deteminali numerele icd w propietatea ca 3+6+9+...+"t"a = "t"aOOO

-

Determinali num5rul de zerouri de la finalul numirului 1.2.3.....30 .

Determina(i ultimele doui cifre ale produsului 1.3.5.....15 .

Sd se demonstreze ca I+2+3+...+n+]aa. VreN., yqe11,2,....9|.

:k ?k rr

31. Determinali cel mai mare numdr natural n , pentu care avem:

2+22 +23 +.....-...+2" < 1000.

32. Fie mullimile T=1veNl2re88 .*<z"t'j 9i a={xeNlx<21em1. Care

multime are mai multe elemente $i cu cate?

33. Se se determine ultimele doui cifre ale sumei

S = | + 2.3 +3' 4' 5 + 6'7' 8'9 +... +36'37'38'...' 44.

!4. Fie q =1.2.3.....n +2012 ,,nde n > 20 . Aflati restul impdrlirii lui a la 125.

35. fu[tati c6 nu exista numere natuale care, impbrlite la 12 si dea restul 8, iar

impirlite la 14 sE dea restul 5.

36. Determinali numerele naturale a qi 6 qtiind cA 4 lmpe4it la 6 dn restul 7, 6 imp64it

la a di restul 9 9i suma a + 6 este cea mai mic6 posibiE.

Probleme de taPte stele

37. Suma ciftelor numdrufui iiii este34.Deterrninali cea mai mici gi cea mai mare

valoare a sumei cifielor nurnirului iicd +z .

38. Se consideri mullimea M formati din toate uumerele de patru cifre abcd- cu

proprietatea ce qb'cd =442.a) Care este cardinalul acestei mulimi ?

6) Stabilili c6nrl 9i resnrl lmpdrlirii celui mai mare element din Mla cel mai mic

element din M.

39. Se consider6 numdrul n = 2(l + 2 +... + 200 I l) + 2012'

a) Determinati ultima cifri a lui n:

D) Precizali numIrul elementelor mu[imii I = {x e N*l x < n} .

40. Determinati numerele natwale care se micgoreazi cu 9999 dac6 le qtergem ultima

cifr6.

4I. Un numdr de pahu ci&e se termine cu cifta 2. DacE li mutim ultima cift6 la

inceput numarul obfinut este mai mare cu 198 dec6t cel inifial. Aflali toate -numerele cu aceastd proprietate'

i;o!Uttr

=HE