Marian Ioan MUNTEANU · 2017-11-01 · Problema 1. Sa se construiasc˘ a un triunghi dac˘ a se...

3 probleme de constructii geometrice

Marian Ioan MUNTEANU

Universitatea Al.I.Cuza din Iasi, Romaniawebpage: http://www.math.uaic.ro/∼munteanu

Seminar informal de didactica matematicii

Marian Ioan MUNTEANU (UAIC) Constructii geometrice Iasi, 28 octombrie 2017 1 / 20

Problema 1.

Sa se construiasca un triunghi daca se cunosc lungimile bisectoarei la,medianei ma si ınaltimii ha care pleaca dintr-un acelasi varf.

Observatie: ha ≤ la ≤ ma • conditie necesara

Cazul de egalitate: • exista solutie, nu este unica (triunghi isoscel)

Vom presupune in continuare inegalitate stricta.

Problema 1.

Problema 1: inaltimea si bisectoarea (4 dreptunghic)

Problema 1: cerc cu raza ma

Problema 1: piciorul medianei din A

Problema 1: [MP] ⊥ dr DE , P ∈ dr AE

Problema 1: S este mijlocul segmentului [AP]

Problema 1: mediat. [AP] ∩ dr MP = {O}

Problema 1: cercul cu centrul in O si raza OP

Problema 1: gasirea punctelor B si C

Problema 1: triunghiul ABC este cel cautat

• [OM] mediatoarea segm [BC]

• [AM] este mediana

• [AE ] este evident inaltime

BP ≡_

• [AP este bisectoarea ^BAC

• lungimile sunt cele solicitate

Problema 2.

Sa se traseze ıntr-un cerc o coarda de lungime si directie date.

Mai precis, fie cercul C(O,R), dreapta d si numarul l > 0. Sa seconstruiasca o coarda ın cercul dat paralela cu d si de lungime l .

Problema 2.

Sa se traseze ıntr-un cerc o coarda de lungime si directie date.

Mai precis, fie cercul C(O,R), dreapta d si numarul l > 0. Sa seconstruiasca o coarda ın cercul dat paralela cu d si de lungime l .

Problema 2.

Constructii considerate cunoscute

• Sa se construiasca paralela la o dreapta printr-un punct dat (exteriordreptei).

• Sa se construiasca perpendiculara pe o dreapta dintr-un punctexterior al sau.

• Sa se construiasca mijlocul unui segment.

Problema 2. (infasuratoare)

Problema 2. Constructia

Observatie

Am rezolvat astfel si o alta problema:

Sa se construiasca tangentele la un cerc dat paralele cu o dreaptadata.

Problema 3.

Sa se construiasca triunghiul ABC cand se cunosc hb, hc si ma.Notatiile sunt cele uzuale.

Problema 3.

Sa se construiasca triunghiul ABC cand se cunosc hb, hc si ma.Notatiile sunt cele uzuale.

Problema 3: Constructia

• [AD] de lungime ma

• 4ADM dreptunghic in M cuDM = 1

• 4ADN dreptunghic in N cuDN = 1

• a.i. M si N sa fie in semiplanediferite determinate de dr AD

• conditii de existenta: ma > 12hb si

ma > 12hc

• M ′ simetricul lui M fata de D

• N ′ simetricul lui N fata de D

• [M ′B]‖[AM], B ∈ dr AN

• [N ′C]‖[AN], C ∈ dr AM

• punctele B, D si C sunt coliniare!

Problema 3: Concluzia

• punctele B, D si C sunt coliniare!

• MNM ′N ′ paral. ⇒ [M ′N]‖[MN ′]

• ^N ′DC ≡ ^N ′MC(DMCN ′ inscript.)

• ^NDB ≡ ^NM ′B(DNBM ′ inscript.)

• ^N ′MC ≡ ^NM ′B (unghiuri ascu-tite cu laturi paralele)

• ⇒ ^NDB ≡ ^N ′DC

• 4NDB ≡ 4N ′DC([ND] ≡ [N ′D],^NDB ≡ ^N ′DC)

• ⇒ [AD] mediana

• ducem inaltimile [BE ] si [CF ]

• [DM] este l.m. in 4BCE

• [DN] este l.m. in 4BCF

• ⇒ inaltimile au lungimile solicitate

Problema 3: caz ”pierdut”

• M ′ simetricul lui M fata de D

• N ′ simetricul lui N fata de D

• Sa se studieze situatia candM ′ ∈ dr AN

Va multumesc pentru atentie

Marian Ioan MUNTEANU · 2017-11-01 · Problema 1. Sa se construiasc˘ a un triunghi dac˘ a se...

Documents

Transcript of Marian Ioan MUNTEANU · 2017-11-01 · Problema 1. Sa se construiasc˘ a un triunghi dac˘ a se...

HENRI COANDA, PRECURSORUL AVIATIEI CU REACTIEaspera.ro/files/user_uploaded/103/henricoanda.pdf · demisioneaza din functia pe care o detinea la uzinele engleze „Bristol” si pleaca

Cataleg OCEAN ROM - Virkar GroupAutonom / Tractor Sistema totalContour cu reglarea rapidă a înăl˜imii 65 cm 8 m 180 cv Lumini cu LED-uri Cutie de scule Smuci cu amortizare Sistemul

Etapa 6 Problema 2 Solutie - viitoriolimpici.ro · Din egalitatea perimetrelor deducem că AB BP AC CP şi atunci BP p b , AC p c . Din teorema bisectoarei, avem că ac BD b c şi

Microbul tuberculozei nu pleaca in vacanta, nici medicii ... · “Boli transmisibile – Tuberculoza”. Primele cursuri s-au desfășurat la începutul lunii decembrie în București,

IMII ші i im м - dspace.bcucluj.rodspace.bcucluj.ro/.../123456789/18877/1/BCUCLUJ_FP_P3441_1938_047_0005… · ca Popa Tanda sau Budulea Taichii dovedea nu numai talentul lui Slavici

seria7.weebly.com · >de la bulb pleaca tractul olfactiv ce se temina cu o parte latita , trigonul olfactiv. De la acesta pleca 3 fascicule numite strii: mediala, intermediara( acestea

KMBT C224-20200304135458...Prietena mea geniala. O prietenie care a marcat o viata. Primul volum din Tetralogia Napolitana Cei care pleaca si cei ce raman (Tetralogia Napolitana, vol.

Cei care pleaca si cei ce raman - Libris.ro care... · Ultima oari am vlzut-o pe Lila acum cinci ani, in iarna lui 2005. Ne plimbam, dis-de-dimineafi, in lungul goselei si, cum se

Teorema Bisectoarei

LISABONA - Piata de Craciun 2018 de Sf.Andrei si Ziua ... de Craciun Lisabona 29.11.18 id17.pdfAterizare la Lisabona la ora locala 08.35 local (-2h fata de ora Romaniei). Se pleaca

ACHIM NICA - radioresita.ro · Cand merg vara la cosit 02:45 Cand nu-i noroc la iubit 06:41 Cand o fi si-o fi sa mor 02:20 Cand pasesc pragul de la casa 03:25 Cand pleaca copii-n

POSTULUI-MAI-IUNIE-2017.pdf · 11.Se prezinta prompt la chemarea la caz si pleaca dupa ce primeste fisa de solicitare, rezolvand misiunea cu professionalism, simt de responsabilitate,

Memorator matematica cls 9-12: Geometrie, analiza - Petre ... matematica cls 9-12... · Teoremele lui Thales, Menelaus, Ceva, Sylvester si a bisectoarei.....25 CAPITOLUL ll. Elemente

MANUAL DE UTILIZARE GENERATOR DE CURENT · - Atentie la cablul care pleaca de la generator la echipamentul alimentat. Daca acesta este prins sub generator sau in contact cu o piesa

1 SPAT¸II VECTORIALE · 2015-11-23 · Elementele mult¸imii V se numesc vectori, legea de compozit¸ie internˇa ,,+” pe V se nume¸ste adunarea vectorilor, iar legea de compozit¸ie

Com - Babeș-Bolyai Universitykasa/combinatorica/combinatorica.pdf · lui Catalan ij sim b olul lui Kronec k er (egal cu 1 c^ and i = j si 0 altfel) # A cardinalul m ult imii F n

car · PDF fileAstfel am creat aceste carti personalizate in care copilul dumneavoastra devine ... pleaca intr-o aventura fabuloasa la Polul Nord pentru a-I

IMII ІШI ím 11 - BCU Clujdspace.bcucluj.ro/bitstream/123456789/18935/1/... · Autorităţi si instituţii — Lei 500 TELEFON; 3.30.10 APARE SĂPTĂMÂNAL PREŢUL 5 LEI ANUL XLVIII

INDICATII DE UTILIZAREraa.ro/wp-content/uploads/2013/11/Annex7_InstructionForReportingSystem... · (verificate ca indeplinesc o serie de conditii specifice) atunci cand se pleaca

apar-romania.ro€¦ · Web viewPe picior sau fasonat, important este ca lemnul care pleaca din padure sa fie masurat. ASFOR a militat si va milita pentru o piata libera, dar corecta.