Post on 16-Oct-2021
Clasa a 9-a - 1 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii .
Notiunea de functie :
- Fie A si B doua multimi nevide ;
- Prin functie definita pe multimea A cu valori in B se intelege orice lege ( procedeu
sau conventie etc. ) f , in baza careia oricarui element a A i se asociaza un unic
element , notat f(a) , din B .
Elementele unei functii :
- Definitia functiei presupune de fapt existenta a trei elemente :
1). O multime A pe care este definite functia si care se numeste domeniul de
definitie al functiei .
2). O a doua multime B , in care ia valori functia si care se numeste domeniul
valorilor functiei sau codomeniul functiei .
3). O lege ( procedeu , conventie etc. ) f .
Notatia unei functii :
- O functie se noteaza :
B A : f sau B f
A sau )( xfx , x A
cu legea de corespondenta :
f(x) = y
Clasa a 9-a - 2 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Imagine . Valoarea functiei :
- Elementului x A ii corespunde prin functia f un unic element din B , care se
noteaza f(x) si se numeste imaginea lui x prin functia f sau valoarea functiei f
in x .
Deci : y = f(x) se numeste imaginea lui x prin functia f !!!
Variabila . Argument :
- Un element oarecare x al domeniului de definitie se numeste variabila sau
argument al functiei f .
Egalitatea functiilor :
- Doua functii f : A B si g : C D se numesc egale daca :
A = C , B = D si f(a) = g(a) , ( ) a A
Graficul unei functii :
- Fie f : A B o functie ;
- Se numeste graficul acestei functii submultimea Gf a produsului cartezian A x B
formata din perechile ( x , f(x) ) cu x A :
G f = { ( x , f(x) ) / x A }
Clasa a 9-a - 3 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Ecuatia graficului :
- Egalitatea f(x) = y , verificata de toate elementele ( x , y ) ale graficului si
numai de acestea , se numeste ecuatia graficului functiei f .
Functii numerice :
- Functii reale de variabila reala .
- Se numeste functie numerica o functie f : A B , pentru care atat domeniul
cat si codomeniul sunt submultimi din R , adica A R , B R .
- Functiile numerice se mai numesc functii reale de variabila reala .
Monotonia functiilor :
- Fie f : D R , D R , o functie numerica . Functia f se numeste :
1). Monoton crescatoare pe D daca ( ) x1 , x2 D cu x1 < x2
f (x1) f (x2) .
2). Strict crescatoare pe D daca ( ) x1 , x2 D cu x1 < x2
f (x1) < f (x2) .
3). Monoton descrescatoare pe D daca ( ) x1 , x2 D cu x1 < x2
f (x1) f (x2) .
4). Strict descrescatoare pe D daca ( ) x1 , x2 D cu x1 < x2
f (x1) > f (x2) .
Clasa a 9-a - 4 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
5). Monotona pe D daca : f este crescatoare sau descrescatoare pe D .
6). Strict monotona pe D daca : f este strict crescatoare sau strict
descrescatoare pe D .
Functii pare . Functii impare .
Fie o functie f : D R , D R , D o multime simetrica .
( x D - x D ) .
Functie para :
- Functia f se numeste para daca : f (-x) = f(x) , ( ) x D
- Graficul unei functii pare este simetric fata de axa Oy .
Functie impara :
- Functia f se numeste impara daca : f (-x) = - f(x) , ( ) x D
- Graficul unei functii impare este simetric fata de origine .
Clasa a 9-a - 5 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Observatii :
- Suma si produsul a doua functii pare sunt functii pare ;
- Suma a doua functii impare este o functie impara ;
- produsul a doua functii impare este o functie para ;
- produsul unei functii pare cu o functie impara este o functie impara .
Functii periodice .
Definitia functiei periodice :
- O functie numerica f : D R , D R , se numeste periodica de perioada T
daca ( ) x D , avem x + T D , x – T D si :
f ( x + T ) = f ( x )
Observatii :
- Daca T este o perioada , atunci kT este o perioada ( ) k Z ;
- Daca exista o cea mai mica perioada , strict pozitiva , aceasta se numeste perioada
principala a lui f .
- functiile sin si cos sunt periodice de perioada T = 2 ;
- functiile tg si ctg sunt periodice de perioada T = ;
- functia f : R R , f(x) = sin x2 , nu este periodica .
Clasa a 9-a - 6 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii injective .
Functie injectiva :
- Fie f : D C o functie ;
1). Se spune ca functia f este o functie injectiva , sau simplu o injectie , daca
( ) x1 , x2 D , x1 x2 f(x1) f(x2)
altfel spus :
oricare doua elemente distincte din domeniu ai imagini distincte in codomeniu .
2). Se spune ca functia f este o functie injectiva , sau simplu o injectie , daca
( ) x1 , x2 D , f(x1) = f(x2) x1 = x2
Functie care nu este injectiva :
- Functia f : D C nu este injectiva daca in multimea D exista cel putin doua
elemente distincte care au imagini egale prin functia f :
exista x1 , x2 D , astfel incat x1 x2 f(x1) = f(x2)
Clasa a 9-a - 7 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Interpretarea geometrica a injectivitatii :
- Daca f este injectiva , atunci orice dreapta paralela cu axa Ox intersecteaza
graficul lui f in cel mult un punct ;
- Daca orice dreapta paralela cu axa Ox intersecteaza graficul lui f in cel mult un
punct atunci f este injectiva ;
- Daca exista o dreapta paralela cu axa Ox care intersecteaza graficul lui f in cel
putin doua puncte , atunci f nu este injectiva .
Legatura dintre proprietatile de monotonie stricta si injectivitate :
- Fie D o submultime a lui R si o functie f : D R
1). Daca f este strict monotona , atunci f este injectiva .
2). Daca f este injectiva , nu rezulta in mod necesar ca f este strict
monotona .
3). Daca f nu este injectiva , atunci f nu este strict monotona .
Clasa a 9-a - 8 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Exercitii :
Aratati ca urmatoarele functii sunt injective :
1). 0 , )( , : abaxxfRRf
2). 1
1 )( , 1 - :
x
xxfRRf
3). xxfRf 2 )( , ) , 0 ( :
4). xxfRRf 3 )( , :
Exercitii :
Studiati daca urmatoarele functii sunt sau nu injective :
1). 1 2 )( , ) , 0 ( : xxxfRf
2). 16 - )( , : 24 xxxfRRf
3).
4 , 43
4 , 12 )( , :
xx
xxxfRRf
4). 42 - )( , : 3xxfRRf
5). 523 - )( , : 23 xxxxfRRf
6).
2 , 43
2 , 12 )( , :
xx
xxxfRRf
7). xxxfRRf 2 )( , : 3
8). )( , : xxfRRf
9). 32 - )( , : 2xxxfRRf
10). 63
12 )( , 2 - :
x
xxfRRf
Clasa a 9-a - 9 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
11). 32 - )( , ] 1 - , - ( : 2xxxfRf
12). 32 - )( , ) , 1- [ : 2xxxfRf
13).
5 , 42
5 , 1 )( , :
xx
xxxfRRf
14).
2 , 42
2 , 1 )( , :
xx
xxxfRRf
15).
6 , 42
6 , 1 )( , :
xx
xxxfRRf
16). )( , : xxxfRRf
17). 4 - )( , : xxfRRf
Clasa a 9-a - 10 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii surjective .
Functie surjectiva :
- Fie f : D C o functie ;
- functia f este o functie surjectiva sau simplu o surjectie , daca pentru orice
element y C exista cel putin un element x D , astfel incat f(x) = y , adica
daca orice element din codomeniul C este imaginea a cel putiun un element din
domeniul de definitie D prin functia f .
sau
pentru orice y C , ecuatia f(x) = y , in necunoscuta x , are cel putin o
solutie in D .
Functie care nu este surjectiva :
- Functia f : D C nu este surjectiva daca exista cel putin un element al
codomeniului C care nu este imaginea nici unui element din domeniul de definitie
D prin functia f ,
ceea ce se poate exprima prin enunturile echivalente :
exista y C astfel incat pentru orice x D avem : y f(x) ;
exista cel putin un element y C pentru care ecuatia y = f(x) nu are
solutie in D .
Clasa a 9-a - 11 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Interpretarea geometrica a surjectivitatii :
- Daca f este surjectiva , atunci orice dreapta paralela la axa Ox intersecteaza
graficul lui f in cel putin un punct ;
- Daca orice dreapta paralela cu axa Ox intersecteaza graficul lui f in cel putin un
punct atunci f este surjectiva ;
- Daca exista a dreapta paralela la axa Ox care nu nintersecteaza graficul lui f in nici
un punct , atunci f nu este surjectiva .
Clasa a 9-a - 12 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Exercitii :
Aratati ca urmatoarele functii sunt surjective :
1). xxfRf 2 )( , ) , 0 [ :
2). 63 )( , ] 6 , 0 [ ] 4 , 2 [ : xxff
3). 82 - )( , ) , 9- [ : 2xxxfRf
4). 1
1 )( , ) ,
2
1 [ ] 4 , 1- ( :
xxff
Exercitii :
Studiati surjectivitatea urmatoarelor functii :
1). 2 3 )( , ) , 2 [ : xxfRf
2). )( , : 2xxfRRf
3).
3 , 33
3 , 2 )( , :
xx
xxxfRRf
4). 5 3 )( , ) , 3 [ : xxxfRf
5). 63 )( , R ] 4 , 2 [ : xxff
6).
2 , 42
2 , 2- )( , :
xx
xxxfRRf
7). 33 )( , ] 9 , 3 [ ] 2 , 0 [ : xxff
8). 82 - )( , : 2xxxfRRf
9). 82 - )( , ) , 9- [ ) , 1- [ : 2xxxff
10). 2 - )( , ] 4
9 , - ( : 2 xxxfRf
11). 3 5 )( , : xxfRRf
12). )( , : xxxfRRf
Clasa a 9-a - 13 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii bijective .
Functie bijectiva :
- Functia f : D C este bijectiva daca are loc una dintre proprietatile :
1). Functia este injectiva si surjectiva ;
2). Pentru y C , ecuatia y = f(x) are solutie unica in D ;
3). Orice paralela la axa Ox intersecteaza graficul functiei intr-un singur punct .
Proprietati caracteristice ale functiilor injective , surjective sau bijective :
- Fie doua multimi D , C o functie f : D C .
- In cele ce urmeaza ne vom referi la ecuatia y = f(x) , in necunoscuta x D ,
unde y C parametru .
1). Functia f este injectiva daca si numai daca , pentru orice y C , ecuatia
y = f(x) are cel mult o solutie in D .
1’). Functia f nu este injectiva daca si numai daca exista y C astfel incat
ecuatia y = f(x) are cel putin doua solutii in D
Clasa a 9-a - 14 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
2). Functia f este surjectiva daca si numai daca , pentru orice y C , ecuatia
y = f(x) are cel putin o solutie in D .
2’). Functia f nu este surjectiva daca si numai daca exista y C astfel incat
ecuatia y = f(x) nu are nici o solutie in D .
3). Functia f este bijectiva daca si numai daca , pentru orice y C , ecuatia
y = f(x) are o solutie si numai una in D .
Clasa a 9-a - 15 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Exercitii :
Studiati bijectivitatea urmatoarelor functii :
1). 42 )( , : xxfRRf
2). 42 )( , ] 8 , 6 [ ] 2 , 1 [ : xxff
3).
6 , 2
6 , 4 - 2 )( , :
xx
xxxfRRf
4). 2
1 )( , 1 2 - :
x
xxfRRf
5). 34 )( , ) , 1- [ ) , 2 [ : 2 xxxff
Clasa a 9-a - 16 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Compunerea functiilor .
Compunerea a doua functii :
- Fie f : A B si g : B C doua functii .
- Functia : g f : A C data prin
( g f )(x) = g ( f(x) ) , x A
se numeste compunerea functiei g cu functia f .
Observatie :
- este posibila compunerea a doua functii atunci cand codomeniul primei functii coincide
cu domeniul de definitie al celei de a doua functie !!!
Asociativitatea compunerii functiilor :
- Fie f : A B , g : B C , h : C D trei functii ;
- Are loc egalitatea :
h ( g f ) = ( h g ) f .
Clasa a 9-a - 17 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functie inversabila .
Functia identica :
- Fie A o multime ;
- Vom nota 1A : A A
Functia definita astfel : 1A (x) = x , x A
1A se numeste functia identica a multimii A .
Functie inversabila :
- O functie f : A B se numeste inversabila daca exista o functie g : B A
astfel incat :
g f = 1A si f g = 1B
unde g se numeste inversa functiei f si se noteaza : g = f –1
Teorema :
- O functie f : A B se numeste inversabila daca si numai daca este bijectiva !
Interpretarea geometrica :
- Graficele functiilor f si f –1 sunt simetrice fata de prima bisectoare .
Clasa a 9-a - 18 -
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Functii . Functii injective , surjective , bijective
Exercitii :
Studiati existenta inverselor urmatoarelor functii :
1). 42 )( , : xxfRRf
2). 42 )( , ] 8 , 6 [ ] 2 , 1 [ : xxff
3).
6 , 2
6 , 4 - 2 )( , :
xx
xxxfRRf
4). 2
1 )( , 1 2 - :
x
xxfRRf
5). 34 )( , ) , 1- [ ) , 2 [ : 2 xxxff
Exercitiu :
Aratati ca urmatoarele functii sunt inversabile si determinati functiile inverse :
1). 32 )( , : xxfRRf
2). 53x- )( , ) , 2 [ ]1 , -( : xff
3). 24 )( , ] 10 , 6 [ ] 2 , 1 [ : xxff
4).
2 , 3 4
2 , 1 2 )( , :
xx
xxxfRRf
5).
4 , 7 2
4 , 3 )( , :
xx
xxxfRRf
6). 1
14 )( , 4 1- - :
x
xxfRRf