Ce am invatat in cursul trecut ?

Cum se rezolva ecuatia diferentiala generata de teoremele Kirchhoff.

Cum se rezolva circuitul RL in regim tranzitoriu.

Cum se rezolva circuitul RC in regim tranzitoriu.

Ce este constanta de timp a unui circuit.

Cum se rezolva un circuit de ordinul I in regim tranzitoriu.

Sa exersam ! (comutatie inversa)

)(2C ti

A][24 J

V][81 E

21R

33R

mF22 C

)(2C tu

(inclusiv graficele)

A][41 J

V][44 E

12R

24R

mH23 L

)(3L ti

)(3L tu

(inclusiv graficele)

5. Circuite electrice in regim tranzitoriu

5.1. Definitii, ecuatii si conditii initiale. Marimi de stare.

5.2. Rezolvarea circuitelor de ordinul I (RL, RC) prin metoda elementara (analiza in domeniul timp).

5.3. Rezolvarea circuitelor de ordin superior prin metoda operationala (a transformatei Laplace).

5.4. Functii de transfer si stabilitatea circuitelor liniare.

Transformata Laplace

- DE CE este nevoie de asa ceva pentru circuitele in regim tranzitoriu ?- PENTRU a evita rezolvarea ecuatiilor diferentiale complicate.

- CUM FUNCTIONEAZA aceasta transformata Laplace ?- SIMILAR TRANSFORMARII IN COMPLEX SIMPLIFICAT din circuitele de c.a.

- CE ESTE transformata Laplace ?- ESTE O REGULA DE ASOCIERE dintre o functie de timp f(t) si o functie dintr-un spatiu virtual F(s). Variabila s se numeste si frecventa complexa.

- CUM SE DEFINESTE transformata Laplace ?

0

d)()()( tstetfsFtfL

Functia original (in domeniul t)

Functia imagine (in domeniul s)

Transformata Laplace – cateva proprietati

)()()()( 22112211 sFcsFctfctfc L

)0()(d

)(d

fssFt

tfL

s

sFf

t )(d)(

0

L

)()( sFetf s L

)()( asFtfate L

a

sFa

atf1

)(L

)0(lim

fsFss

)(0

lim

fsFss

(Teorema liniaritatii)

(Teorema derivatei)

(Teorema integralei)

(Teorema intarzierii, a retardarii)

(Teorema translatarii)

(Teorema asemanarii)

(Teorema valorii initiale)

(Teorema valorii finale)

Transformate Laplace uzuale

Schema operationala (in domeniul (s))

Schema operationala = imaginea circuitului din domeniul (t), obtinuta prin aplicarea transformatei Laplace.

Ce corespund elementelor ideale active de circuit in schema operationala ?

)()( sEte L

)()( sIti L

)()( sUtu L

)()( sJtj L

Schema operationala (in domeniul (s))

Ce corespund elementelor ideale pasive de circuit in schema operationala ?

)()( tiRtu

)()( sIRsU

t

tiLtu

d

)(d)(

)0()()( LiLsIsLsU

t

tuCti

d

)(d)(

s

u

sC

sIsU C )0()()(

)0()()( CCusUsCsI

Impedante si surse operationale

sCsZsLsZRsZ

1)(,)(,)( CLR

Impedante operationale:

Z(s) = U(s) / I(s)

Surse operationale ce modeleaza conditiile initiale:

sCusELiLsEsE

)0()(C),0()(L,0)(R

Surse operationale ce modeleaza sursele independente:

)()( tesE L )()( tjsJ L

Algoritm de rezolvare

1. Se rezolva circuitul corespunzator regimului permanent anterior (t<0) pentru a afla valorile initiale ale marimilor de stareRezulta iL(0-) si uC(0-)

2. Se inlocuieste fiecare element ideal de circuit cu schema sa operationala, in configuratia corespunzatoare regimului tranzitoriu (t>0).Rezulta schema operationala

3. Se rezolva schema operationala, ca un circuit de c.c. cu parametrul (s).Rezulta functiile imagine U(s) si I(s) pentru toate elementele

4. Se inverseaza functiile imagine pentru a obtine functiile original u(t) si i(t).Rezulta solutia de regim tranzitoriu u(t) si i(t) pentru fiecare element de circuit.

Inversa Laplace (obtinerea originalului pe baza imaginii)

Metoda 1: Se descompune functia imagine in fractii simple si se identifica functia original a fiecarei componente, pe baza transformatelor Laplace uzuale

Metoda 2: Utilizarea formulelor Heaviside

doar daca functia imagine este rationala, avand poli simpli

grad (N) ≤ grad (P)

radacinile numitorului P(s)

radacini reale de ordinul I

Formulele Heaviside

1. Daca polii sk sunt simpli si nenuli:

2. Daca exista un pol sk nul printre polii simpli:derivata

Un exemplu

V][1001 E

V][503 E

1521 RR

103R

mF52 C

H11 L

a) Sa se determine valorile initiale ale marimilor de stare iL1(0-) si uC2(0-).

b) Sa se construiasca schema operationala.

c) Sa se determine expresiile marimilor de stare in regim tranzitoriu iL1(t) si uC2(t), t≥0

5. Circuite electrice in regim tranzitoriu

5.1. Definitii, ecuatii si conditii initiale. Marimi de stare.

5.2. Rezolvarea circuitelor de ordinul I (RL, RC) prin metoda elementara (analiza in domeniul timp).

5.3. Rezolvarea circuitelor de ordin superior prin metoda operationala (a transformatei Laplace).

5.4. Functii de transfer si stabilitatea circuitelor liniare.

Functii de transfer

Sistem liniar pasivx(t) y(t)

(intrare) (iesire)

Transformata Laplace

Functie de transferX(s) Y(s)

H(s)=Y(s) / X(s)

Functii de transfer pentru un circuit electric

Circuit liniar pasiv

i1

u1u2

i2 Imitante:

Admitanta de intrare: Yi=I1(s) / U1(s)

Impedanta de intrare: Zi=U1(s) / I1(s)

Transmitante:

Amplificarea (castigul) in tensiune: Au=U2(s) / U1(s)

Impedanta de transfer: Zt=U2(s) / I1(s)

Amplificarea (castigul) in curent: Ai=I2(s) / I1(s)

Admitanta de transfer: Yt=I2(s) / U1(s)

Stabilitatea circuitelor electrice

Zerourile functiei de transfer = radacinile numaratorului

Polii functiei de transfer = radacinile numitorului

Conditia de stabilitate:

Polii (si zerourile) trebuie sa aiba partea reala negativa.

Observatie:Circuitele pasive sunt intotdeauna stabile