8/19/2019 Care Este Cel Mai Mare Şi Cel Mai Mic Număr Real Pozitiv Care Se Poate Obţine Folosind Cinci Cifre de 1 Şi Orice …

1/9

Care este cel mai mare şi cel mai mic număr real pozitiv care se poate obţinefolosind cinci cifre de 1 şi orice fel de operaţii studiate in clasele V – VIII?

Pentru a obţine cel mai mare număr folosind cele cinci cifre de 1 folosimridicările la putere. Şi avem variantele 11111 sau 11111. intre cele douănumere! mai mare este 11111. Iată şi demonstraţia" 11111 # 111$$ % 11& ' ($ %)11&*($ % 1&1($ # 11111. +umărul cel mai mic este 11,111.

Cum punem semne de operaţii şi paranteze astfel -nct următoarele e/alităţi săfie adevărate" 1 1 1 1 1 % $0 1 1 1 1 1 % 0 2 2 2 2 2 % 1$! 3 3 3 3 3 % ($?4ntrebările sunt preluate din lucrarea 56atematică distractivă şi recreativă pentru/imnaziu7! editura 8aida! Iaşi! &$$2! autor 9le'andru 6oscaliuc )fostul meucole/ de facultate şi de cameră! -n căminele studenţeşti din Copoul Iaşiului*.

Pentru 1 1 1 1 1 % $! sunt mai multe variante! de e'emplu" 1 ' 1 : 1 – 1 – 1 % $!1 ' 1 ' 1 ' 1 – 1 % $ etc.

Pentru 1 1 1 1 1 % avem" )1 : 1* ' )1 : 1 : 1* % .

Pentru 2 2 2 2 2 % 1$ avem" 2 : 2 : 2 : 2"2 % 1$.Pentru 3 3 3 3 3 % ($ avem" )3'3'3 : 3*"3 % ($.

;uma unui număr impar de numere naturale consecutive este &1! ' : n numerele din enunţ! unde n este numărul numerelor şieste impar. ;uma numerelor este )' : 1* : )' : &* : > : )' : n* % )' : ' : > :'* )n termeni* : )1 : & : > : n* % n' : n)n : 1*&. Cum suma numerelor este&1

: 2 : 1* % & ' 2 ' 32! de unde obţinem &' : A % 1A! iar de aici &' % 1A&! deunde ' % 31. +umerele căutate sunt 3&! 32 şi 3A.

8/19/2019 Care Este Cel Mai Mare Şi Cel Mai Mic Număr Real Pozitiv Care Se Poate Obţine Folosind Cinci Cifre de 1 Şi Orice …

2/9

Volumul unui paralelipiped dreptun/Bic este de &A cm2. 6ărind dimensiunile paralelipipedului cu & cm! 2 cm! A cm! volumul paralelipipedului creşte de ori.Ct este aria totală a paralelipipedului?

=ie a! b! c dimensiunile paralelipipedului. Volumul unui paralelipipeddreptun/Bic se calculează cu formula V % abc )produsul dimensiunilor*! iar 9t %&)ab : bc : ac*. in datele problemei! avem" V % &A! apoi! după mărire! )a : &*)b : 2*)c : A* % &A ' sau )a : &*)b : 2*)c : A* % abc ' )1*. 4mparţind ambiimembri ai relaţiei )1* la abc avem" )a : &*)b : 2*)c : A*abc % )&*. Şi acumapare 5cBeia7 problemei" membrul stn/ al e/alităţii )&* se scrie )1 : &a*)1 :

2b*)1 : Ac*. 9stfel avem" )1 : &a*)1 : 2b*)1 : Ac* % & ' & ' & )2*. ine/alitatea )2* obţinem a % &! b % 2! c % A! iar de aici avem" 9t % &)& ' 2 : 2 ' A :A ' &* % & ' & % (& cm&.

oi matematicieni! Vlad si 6arius! discutau la un moment dat"

 – 6arius! ai trei baieti. Ce varste au?

 – ;uma varstelor lor este data de astazi. Produsul varstelor lor este 2.

 – Imi mai trebuie un element. +u,mi dau seama de varsta lor pe baza celorspuse pana acum.

 – DE. Cel mai mic dintre baieti are parul rosu.

 – 9cum lucrurile sunt clareF

Ce varste au cei trei baieti ai lui 6arius?

 +ota" cand am mentionat Gdata de astaziH! nu trebuie inteles la modul concret!

data scrierii intrebarii.

2 poate fi descompus astfel"

1. 2%2'1'1 );%2*

&. 2%1'&'1 );%&1*

2. 2%1&'2'1 );%1*

A. 2%

8/19/2019 Care Este Cel Mai Mare Şi Cel Mai Mic Număr Real Pozitiv Care Se Poate Obţine Folosind Cinci Cifre de 1 Şi Orice …

3/9

(. 2%''1 );%12*

. 2%

8/19/2019 Care Este Cel Mai Mare Şi Cel Mai Mic Număr Real Pozitiv Care Se Poate Obţine Folosind Cinci Cifre de 1 Şi Orice …

4/9

9dunăm -nti cifrele unităţilor. 9vem de adunat 1$$ de cifre de Păstrăm

8/19/2019 Care Este Cel Mai Mare Şi Cel Mai Mic Număr Real Pozitiv Care Se Poate Obţine Folosind Cinci Cifre de 1 Şi Orice …

5/9

 parte care se ridică sau coboară! şi aşezăm o monedă pe o parte a balanţei! unape cealaltă parte şi una Nos. acă balanţa rămne -n ecBilibru! moneda falsă ecea de Nos! dacă nu este una din cele două aşezate pe balanţă. Şi am terminatdupă patru cntăriri.

Cte cifre are numărul 2 ' ' &(3?

Pentru a afla cte cifre are numărul! modificăm forma numărului! folosindre/ulile de calcul cu puteri. 9stfel avem" 2 ' ' &(3 % 2 ' )&2* ' )(&*3 % 2 '&1 ' (1A % 2 ' &A ' &1A ' (1A % 2 ' 1 ' )& ' (* 1A % A ' 1$1A % A ' 1$$$> $ )1A cifre de $*. +umărul are 1 cifre.

4ntr,un plan sunt 1$ puncte astfel -nct oricare trei nu se află pe aceeaşi dreaptă.;e desenează toate se/mentele avnd capetele -n oricare două din aceste puncte.Care este cel mai mare număr de se/mente ce pot fi intersectate de o dreaptăcare nu conţine nici unul din cele 1$ puncte?

reapta intersectează un se/ment atunci cnd capetele )e'tremităţile*se/mentului sunt 5de o parte şi de alta7 a dreptei date. =iind dată dreapta şi cele1$ puncte! avem variantele" un punct se află de o parte şi celelalte < de cealaltă

 parte a dreptei0 -n acest caz sunt < se/mente! intersectate de dreaptă! fiecarese/ment avnd un capăt -n acel punct şi celălalt capăt -n unul din cele nouă

 puncte0 dacă & puncte sunt de o parte a dreptei şi celelalte de cealaltă parte!avem & ' % 1 se/mente! intersectate de dreaptă! fiecare se/ment avnd uncapăt -n unul din cele două puncte şi celălalt capăt -n unul din cele puncte0analo/! cu 2 de o parte şi 3 de cealaltă parte! avem 2 ' 3 % &1 se/mente! cu A de

o parte şi de cealaltă parte! avem A ' % &A se/mente! cu ( de o parte şi ( decealaltă parte! avem ( ' ( % &( de se/mente. Oezultă că cel mai mare număr dese/mente ce pot fi intersectate de dreaptă este &(.

Care este rezulatul calculului 1$$& –

8/19/2019 Care Este Cel Mai Mare Şi Cel Mai Mic Număr Real Pozitiv Care Se Poate Obţine Folosind Cinci Cifre de 1 Şi Orice …

6/9

Ltapa 1. 4n acest calcul avem 1$$ de puteri )numere*. Me vom /rupa -n felulurmător" 1$$& –

8/19/2019 Care Este Cel Mai Mare Şi Cel Mai Mic Număr Real Pozitiv Care Se Poate Obţine Folosind Cinci Cifre de 1 Şi Orice …

7/9

cele ( produse se pot scrie" &$$ ' &$$ % n ' n % n&! &$$( ' &$$3 % )n – 1*)n :1* % n& – 1! &$$A ' &$$ % )n – &*)n : &* % n& – A! &$$2 ' &$$< % )n – 2*)n : 2*% n& – intre formele anterioare!ale/em &$$ % < ' &1 : AA! deoarece 2 @ AA @ A(. 9vem acum

8/19/2019 Care Este Cel Mai Mare Şi Cel Mai Mic Număr Real Pozitiv Care Se Poate Obţine Folosind Cinci Cifre de 1 Şi Orice …

8/9

Intrebarea este publicata si aici.

 +umerele de trei cifre sunt de la 1$$ la ! < avem ' %A numere. acă prima cifră este &! ultima cifră poate fi 2! A! >! < şi mai avem ' 3 % ( numere. Şi aşa mai departe avem" ' % A )dacă prima cifră este2*! ' ( )dacă prima cifră este A*! ' A )dacă prima cifră este (*! ' 2 )dacă

 prima cifră este *! ' & )dacă prima cifră este 3*! ' 1 )dacă prima cifră este*. 9dică numărul numerelor cu proprietatea cerută este ' : ' 3 : > : '1 % ' ) : 3 : > : 1* % ' 2 % &.

aca aveti idei de raspuns! folositi linE,ul de mai sus )trebuie sa va inre/istrati pentru a raspunde* sau lasati raspunsul aici! la comentarii.

4n cte submulţimi ale mulţimii S1! &! 2! >! 1&T! suma dintre cel mai mare şicel mai mic element este 12?

Intrebarea este publicata si aici.

 +umărul submulţimilor unei mulţimi cu n elemente )n număr natural* este &n.6ai trebuie precizat că -ntr,o mulţime fiecare element se scrie o sin/ură dată!iar ordinea -n care se scriu elementele mulţimii nu contează. Pentru ca sumadintre cel mai mare şi cel mai mic element să fie 12! avem variantele" 12 % 1& :1 % 11 : & % 1$ : 2 % < : A % : ( % 3 : . ;ă luăm varianta 1& : 1! adică celmai mic element 1! cel mai mare 1& şi suma lor 12. intre elementele rămase! &!2! >! 11! se pot ale/e oricare pentru a face parte din submulţime. e e'emplu!S1! &! 2! 1&T este o submulţime a mulţimii date! iar S1! (! ! 3! 1&T este o altăsubmulţime. Cu alte cuvinte! pe ln/ă 1 şi 1& putem avea alte elemente dintrenumerele rămase. Iar aceste elemente sunt! de fapt! submulţimi ale mulţimii S&!

8/19/2019 Care Este Cel Mai Mare Şi Cel Mai Mic Număr Real Pozitiv Care Se Poate Obţine Folosind Cinci Cifre de 1 Şi Orice …

9/9

2! >! 11T. +umărul acestor submulţimi este &1$ % 1$&A! deoarece de la & la 11avem 1$ numere. 9plicnd acelaşi raţionament! dacă cel mai mic element este &şi cel mai mare 11! avem & % &( submulţimi. acă cel mai mic element este 2şi cel ami mare 1$! avem & % A submulţimi. acă cel mai mic element este A

şi cel mai mare

aca aveti idei de raspuns! folositi linE,ul de mai sus )trebuie sa va inre/istrati pentru a raspunde* sau lasati raspunsul aici! la comentarii.

n număr de ( cifre este divizibil cu 2! ( şi . Care este cea mai mică sumă posibilă a cifrelor acestui număr?

Intrebarea este publicata si aici.

4n /eneral! un număr se divide cu &n ! unde n este un număr natural nenul! dacăultimele n cifre ale numărului formează un număr care se divide cu &n. Cum %&2! numărul se divide cu dacă ultimele 2 cifre ale numărului formează unnumăr care se divide cu . 9nalo/! un număr se divide cu (n! unde n este unnumăr natural nenul! dacă ultimele n cifre ale numărului formează un numărcare se divide cu (n. )Pentru a demonstra cele două afirmaţii anterioare sefoloseşte descompunerea numărului -n baza 1$.* 9dică numărul se divide cu (dacă are ultima cifră )cifra unităţilor* $ sau (. 4n sfrşit! un număr se divide cu 2dacă suma cifrelor numărului se divide cu 2. Me/at de numărul din enunţ! pentru

a rezolva problema divizibilităţii cu şi (! ct şi pentru a fi cea mai mică sumă posibilă a cifrelor! se ale/ ultimele 2 cifre $. Pentru prima cifră ale/em 1! ceamai mică posibilă. 9 mai rămas de ales a doua cifră. 9ceasta se ale/e astfel-nct numărul să se dividă cu 2 şi suma cifrelor să fie cea mai mică. Lste evidentcă a doua cifră trebuie aleasă &. +umărul este 1&.$$$! iar cea mai mică sumă

 posibilă a cifrelor acestui număr este 2.

aca aveti idei de raspuns! folositi linE,ul de mai sus )trebuie sa va inre/istrati pentru a raspunde* sau lasati raspunsul aici! la comentarii.