Post on 05-Oct-2015
Cursul 15
Aplicaii ale metodelor numerice
Difuzia
Difuzia este fenomenul de deplasare a unor atomi ntr-o structur cristalin pe
distane mai mari dect distana interatomic medie caracteristic structurii.
Difuzia atomilor elementului (metalului) de baz al structurii cristaline este
denumit autodifuzie, n timp ce difuzia unor atomi care nu aparin
elementului (metalului) de baz poart numele de eterodifuzie.
Procesele de difuzie n structurile cristaline se realizeaz prin:
mecanismul bazat pe schimbul simplu de locuri ntre atomi (a);
mecanismul bazat pe schimbul ciclic de locuri ntre atomi (b);
mecanismul bazat pe schimbul de locuri ntre atomi i vacane (c);
mecanismul bazat pe deplasarea interstiial a atomilor care difuzeaz (d).
Difuzia st la baza tratamentelor termochimice, la solicitarea
materialelor, la producerea semiconductorilor i a bateriilor solare.
Analiznd posibilitile desfurrii proceselor de difuzie n funcie
de caracteristicile structurale ale corpurilor metalice, rezult
urmtoarele aspecte:
n metalele monocristaline perfecte (ideale) difuzia poate avea loc numai prin
interiorul structurii cristaline sau pe suprafeele cristalului:
n metalele monocristaline reale (cu imperfeciuni ale structurii cristaline) exist
aceleai posibiliti de difuzie ca i la monocristalele perfecte, dar coeficienii de
difuzie sunt mai mari datorit prezenei defectelor de tip punctiform (vacane) sau
liniar (dislocaii), care micoreaz compactitatea structurii i diminueaz astfel
energiile de activare necesare realizrii salturilor difuzive:
n metalele cu structur policristalin real se menin posibilitile de difuzie proprii
monocristalelor reale i exist n plus posibilitatea difuziei prin limitele cristalelor:
datorita numrului mare de posibiliti de desfurare i existenei imperfeciunilor,
procesele de difuzie n corpurile metalice policristaline sunt mai intense i se produc
mai uor dect n corpurile monocristaline.
Difuzia
Difuzia
Difuzia Cu n Ni, micarea
atomilor i variaia
concentraiei Cu
Difuzia
Iniial Dup o perioad de timp
100%
Concentration Profiles0
Difuzia
Rezultatul desfurrii procesului de difuzie, ca proces de transport
de substan ntr-o structura cristalin, poate fi caracterizat la scar
macroscopic cu ajutorul legilor lui Fick.
Prima lege a lui Fick are urmtorul enun: fluxul de difuzie J
(numrul de atomi transportai prin difuzie n unitatea de timp
printr-o suprafa unitara a unei structuri cristaline) este direct
proporional cu gradientul de concentraie al elementului care
difuzeaz, msurat pe direcia normal la suprafaa unitar.
unde: J = fluxul de atomi [atomi/cm2s]
D = coeficientul de difuzie [cm2/s]
DC/Dx = gradientul de concentraie [atomi/cm3cm]
x
CDJ
D
D
Difuzia staionar
Variaia concentraiei
elementului B n solventul
A
Difuzia staionar
unde: Qa = energia de activare a procesului de difuzie,
T = temperatura structurii cristaline,
R = constanta gazelor perfecte,
D0 = o constant care depinde de tipul structurii cristaline n
care se realizeaz procesul.
Factorii principali care influeneaz desfurarea i rezultatele unui
proces de difuzie sunt:
gradientul de concentraie al elementului care difuzeaz,
temperatura la care are loc difuzia,
durata procesului.
RT
Qa
eDD
0
Difuzia staionar
Variaia
coeficientului de
difuzie cu
temperatura
Difuzia staionar
Energia de activare a
procesului de difuzie Q i
constanta D0 pentru diverse
cupluri de difuzie
Difuzia staionar
Septembre 2006
100%
t1 t2 > t3 >
T0
100%
T1 T2 > T3 >
t0
Difuzia = transport de mas
Difuzia est un fenomen activat termic
Echivalena timp-temperatur Difuzia staionar
Exemplu de suprafa durificat prin difuzie n stare solid.
Difuzia carbonului n stratul superficial din stnga a determinat formarea
carburii Fe3C dure, tratament termochimic de carburare.
Carbonul blocheaz planele de alunecare i comprim suprafaa oelului
Difuzia staionar
Acoperire pe superaliaj din nichel. Acoperirea consta n difuzia Al i Ni n superaliaj.
Acoperirea este necesar pentru protecie anticoroziv prin formarea stratului negru de
la suprafa.
Difuzia staionar
Soluii solide de substituie Soluii solide de inserie
Qa = energia de activare a procesului de difuzie
Temperatura = vibraie sritura peste bariera
energetic
Inserie vs. substituie
Difuzia staionar
Prima lege a lui Fick consider concentraia constant n timp.
Modificarea concentraiei n timp este descris de legea a doua a lui
Fick
2
2
x
CD
x
CD
xt
C
Difuzia nestaionar
Se pot folosi condiii limit:
t=0, C = C0, la 0 x
t>0, C = Cs, la x = 0
C = C0, la x =
Variaia concentraiei
n funcie de timp
Difuzia nestaionar
la t = 0, C = Co pentru 0 x
la t > 0, C = CS pentru x = 0 (concentraia la suprafa)
C = Co pentru x =
Difuzia Cu n bara de Al
Concentraia Co a atomilor de Cu
Concentraia CS la suprafa a
atomilor de Cu
bara Al
C s
Condiii limit:
Poziia, x
Difuzia nestaionar
Soluie:
C(x,t) = Concentraia n punctul x la timpul t
erf (z) = funcia eroare Gauss
CS
Co
C(x,t)
Dt
x
CC
CtxC
os
o
2 erf1
,
dyezerf yz 2
0
2
Distana
Difuzia nestaionar
Funcia eroare Gauss
dyezerf yz 2
0
2
Difuzia nestaionar
Funcia eroare Gauss
dyezerf yz 2
0
2
Difuzia nestaionar
Problem: un oel CFC care conine iniial 0,20 % greutate C
este carburat la temperatur ridicat ntr-o atmosfer care
asigur mbogirea superficial n carbon la 1%. Dac dup
49,5 ore concentraia este de 0,35% C la adncimea de 4mm,
determinai temperatura la care trebuie s se desfoare
tratamentul.
Soluie: se folosete ecuaia
Dt
x
CC
CtxC
os
o
2erf1
),(
Difuzia nestaionar
Soluie:
t = 49,5 h x = 4 x 10-3 m
Cs = 1,0 % Cx = 0,35 %
Co = 0,20 %
Dt
x
CC
CtxC
os
o
2erf1
),(
)(erf12
erf120,00,1
20,035,0),(z
Dt
x
CC
CtxC
os
o
erf(z) = 0,8125
Difuzia nestaionar
Se folosete interpolarea linear intre valorile apropiate.
z erf(z)
0,90 0,797
z 0,8125
0,95 0,821
797,0821,0
797,08125,0
90,095,0
90,0
z
z 0,932
Se rezolv pentru a obine D
Dt
xz
2
tz
xD
2
2
4
/sm 10 x 62s 3600
h 1
h) 549)9320(4
m)10 x 4(
4
211
2
23
2
2
,
,(,)(tz
xD
Difuzia nestaionar
Se rearanjeaz ecuaia coeficientului de difuzie
)lnln( DDR
QT
o
a
Din tabele pentru difuzia C n Fe CFC rezult:
Do = 2,3 x 10
-5 m2/s Qa = 137700 J/mol
/s)m 10x6,2ln /sm 10x3,2K)(ln -J/mol 314,8(
J/mol 13770021125
T
T = 1210 K = 937C
Difuzia nestaionar
Metoda elementelor finite (MEF) este o metod general de rezolvare aproximativ a
ecuaiilor difereniale cu derivate pariale care descriu sau nu fenomene fizice. Principial
MEF const in descompunerea domeniului de analiz n poriuni de form geometric
simpl, analiza acestora i recompunerea domeniului respectnd anumite cerine matematice.
Problema derivatelor pariale este redus la un sistem de ecuaii algebrice, la o problem de
valori i vectori proprii sau la un sistem de ecuaii difereniale ordinare de ordinul unu sau
doi.
Din punct de vedere al domeniilor de aplicaie metoda poate fi extins n orice domeniu de
activitate care descrie un fenomen cu ajutorul unor ecuaii difereniale. Pn in prezent
metoda s-a dezvoltat n mod deosebit in domenii ca: analiza structural; analiza termic;
analiza fluidelor; analiza electric; analiza magnetic, dar i in analiza fenomenelor
complexe interdisciplinare cum ar fi: analiza termoelastic, analiza cuplat termic i
structural, analiza interaciunii fluid-solid; analiza electro-magnetic; analiza piezoelectric
i altele.
Metoda elementelor finite
Etapele de realizare a unei piese mecanice
Metoda elementelor finite
Legtura dintre starea global a structurii i cea locala a materialului
Metoda elementelor finite
Relaiile de calcul
Metoda elementelor finite
Bara solicitata axial
Metoda elementelor finite
Metode numerice
Metoda diferenelor finite
Metoda elementelor de frontier
Metoda elementelor finite (MEF) (FEM)
Scopul este s obin soluia funciei. Celelalte mrimi rezult din prelucrarea
funciei
Prin procedurile specifice metodelor de rezolvare numeric (Utilizarea diferenelor, a
dezvoltrilor n serie, etc., care implic discretizarea) problema descris de ecuaia
diferenial se transform ntr-un sistem de ecuaii algebrice.
Pentru soluionarea ecuaiilor difereniale se stabilete o reprezentare aproximativ
pentru funcia necunoscut.
Prin soluionarea sistemului de ecuaii se determin valorile mrimii caracteristice ntr-
un numr finit de puncte i respectiv coeficienii care permit definirea concret a
funciei de aproximare.
Metoda elementelor finite
Discretizarea - Funcia de definete numai pentru domenii mici. Aceasta permite ca
pentru descrierea comportrii ei n interiorul domeniului s se poat alege funcii de
form simple, de ordin inferior.
Funcia de aproximare pentru ntreaga structur rezult din asamblarea funciilor
domeniilor individuale, pariale, mici.
Aceste domenii individuale sunt denumite elemente. Punctele n care se realizeaz
legtura dintre elemente sunt denumite noduri.
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite
Metoda elementelor finite