Post on 04-Feb-2018
7/21/2019 2013 01 29 Examen 2 Barem Web
1/5
EXAMEN MECANIC 29.01.2013P1
P1. (3.6) Un corp de mas m este aruncat cu viteza iniial v 0 sub unghiul fa de orizontal, ca n figura din dreapta. Cu sistemul de axe ales ca n figur, s se calculeze: a) Ecuaia traiectoriei. b) Raza de curbur a traiectoriei n punctul de lansare.
c) Valoarea forei care acioneaz asupra corpului dup t = 2s, i orientarea ei. d) Dependena de timp a momentului cinetic i a momentului
forei (calculate fa de origine = punctul de aruncare). Verificai teorema momentului cinetic.
e) Locul unde cade corpul pe suprafaa orizontal aflat la distana h sub punctul de lansare i viteza n momentul ciocnirii cu suprafaa.
REZOLVARE
a) Micarea este n cmp gravitaional, fora (de greutate) este orientat vertical n jos (dea lungul axei y din figur). Putem scrie c: ( )ga ,0= . Pe direcia x nu acioneaz nici o for,
micarea este cu vitez constant (viteza iniial). tvx x0= . Pe direcia y : 2
2
0gt
tvy y += , cu
= cos00 vv x i = sin0vv y . Din prima ecuaie: oxvx
t = , i introducnd n a doua ecuaie:
20
2
00 2 xx
y vgx
vx
vy += .
b) Acceleraia g este orientat vertical n
jos. Direcia tangen ial este dat de direcia vitezei, iar direcia normal la traiectorie este cea perpendicular pe vitez. Din figur reiese c acceleraia normal se poate scrie ca = cosga n .
tiind cRv
a n2
= , rezult c
=
cos
20
gv
R
c) Cnd corpul se gsete n aer, asupra lui acioneaz doar fora de greutate, deci mgF = , orientat n jos.
d) Momentul cinetic: vmr L rr
r
= ; ( ).0
0 xy
yx
myvmxvkmvmv
yxk ji
L =
=
r
rrr
r
, adic
( ) .2 0
2
00
++= xoyyx v
gttvmgtvtmvkL
rr
Mrimea momentului forei este fora (mg ), nmulit cu braul forei ( x ) mgxM = . Ca i
7/21/2019 2013 01 29 Examen 2 Barem Web
2/5
vector: Fr Mr
rr
= ; ( ).00
0 xmgkmgyx
k jiM
r
rrr
r
=
= ; ( ).tmgvkM ox
rr
= Teorema momentului
cinetic spune ctL
Md
dr
r
= , iar ( ) ( )( ).d
d0000 xoyxyx vgtvmtgmvgtvmvkt
L +++= r
r
sau,
( ).d
d0 tmgvk
t
Lx
r
r
= QED.
e) La contactul cu solul, y = h . 2
2
0
gttvh y += i rezult timpul de cdere, iar distan a pe
orizontal o obinem din legea de micare pe Ox : tvD x0= . Viteza n momentul ciocnirii are dou componente: pe x : xx vv 0= , iar pe y : gtvv yy += 0 (cu timpul calculat nainte). Viteza n momentul ciocnirii este 222 yx vvv +=
__________________________ P2. (2.7) Un corp punctiform de mas m ce comprim cu x 0 un resort ideal de constant k se afl la
baza unei suprafee semicirculare de raz R. Resortul este lsat liber. S se calculeze: a) Fora care a fost necesar pentru comprimarea resortului cu x 0 i energia nmagazinat n resort.
b) Dependena de unghiul a: vitezei corpului, reaciunii normale, acceleraiei normale i acceleraiei tangen iale, dacmicarea are loc f r frecare.
c) La ce unghi se desprinde corpul de pe suprafaa semicircular? Care este
condiia ca s m s se desprind n punctul A ( = ) ?
REZOLVARE a) Fiind vorba de un resort comprimat pe distana x 0, fora este fora elastic, de mrime kx 0, iar
energia nmagazinat n resort este energia poten ial2
20kxU = .
b) ntrun punct oarecare de pe traiectoria semicircular, corpul are viteza v , i asupra lui acioneaz greutatea i reaciunea normal, ca n figur. Corpul
are accelera ie normal (pentru c traiectoria nu este linie dreapt ) i accelera ie tangen ial (pentru c viteza lui se modific (scade) n timp).
nmamgN = cos , tmamg = sin (am ales direcia tangen ial pe
direcia vitezei). Rv
a n2
= , iar viteza o obinem din conservarea energiei:
( )2
cos12
220 mvmgR
kx += .,,, Naav tn
c) Corpul se desprinde atunci cnd reaciunea normal devine zero (corpul nu mai este n contact cu suprafaa). Ca s se desprind n punctul de sus,
nmamgN =+ , cu N = 0, iar
nag = , adic Rgv =2 : aceasta este viteza minim pe care trebuie s o aib corpul pentru ca
desprinderea s aib loc n punctul de sus al traiectoriei semicirculare.
7/21/2019 2013 01 29 Examen 2 Barem Web
3/5
__________________________
P3. (1.8) Dependena de timp a accelera iei normale a unui corp care se mic pe o traiectorie circular este += t a n . S se calculeze: a) acceleraia tangen ial; b) dependen a de timp a spaiului parcurs;
c) fora care acioneaz asupra corpului.
REZOLVARE
a) Acceleraia normalRv
a n2
= , deci ( )+= tRv . Acceleraia tangen ial este tv
a t dd= ,
derivata mrimii vitezei, .......=ta .
b) dtds
v = , unde prin s am notat spaiul parcurs de corp. tvs dd = , adic ( ) ttRs dd += .
Integrm, ( ) +=t
ttRss 00 d ( )ts . c) maF = , cu 22 tn aaa +=
__________________________
EXAMEN MECANIC 29.01.2013P2
P1. (2.5) Dou particule de mas m i 2m se mic una spre cealalt, cu viteze diferite, ca n figura din dreapta. Dup ciocnirea lor perfect elastic, particula mare se oprete iar cea mic i continumicarea orizontal, cu viteza v . S se calculeze: a) unghiul ;b) vitezele iniiale ale particulelor, c) viteza centrului de mas a celor dou particule nainte i dup ciocnire. Date: m, , v
REZOLVARE n procesele de ciocnire, impulsul sistemului de dou corpuri se conserv, pentru c forele de la suprafaa de contact sunt fore interne (se anuleaz reciproc) iar timpul de ciocnire este foarte mic (forele externe nu pot modifica impulsul sistemului). Dac ciocnirea este i perfect elastic, avem i conservare de energie.
a) i b) vmvmvm rrr =+ 21 2 i 22
2
2
222
21 mvmvmv =+ . Scriind conservarea impulsului pe axe:
mvmmv =+ cos245cos1 ; 0sin245sin1 =+ mmv , avem trei ecuaii cu trei necunoscute, din care putem obine ,, 21 vv .
7/21/2019 2013 01 29 Examen 2 Barem Web
4/5
c) Viteza centrului de mas a sistemului este aceea i nainte i dup ciocnire, pentru c forele care intervin sunt doar fore interne. Dup ciocnire un corp st iar cellalt se mic cu viteza v .
32
02 vmm
mmvv cm =+
+= .
__________________________
P2. (5)Tamburul din figura din dreapta are mas M , moment de inerie I i raze r i R. Firele nf urate pe tambur sunt ideale iar corpurile pornesc din repaus. S se calculeze: a) accelera iile corpurilor b) tensiunile din fire. c) dependen a de timp a energiei cinetice a tamburului d) cte rota ii a efectuat tamburul n t secunde. Date: M, I, r , R, m
REZOLVARE
Firul din stnga este legat de tavan, deci nu se deplaseaz (este fix). La fel i pentru punctul de pe fir aflat n contact cu tamburul: este punct fix. Am notat cu a 1, accelera ia centrului de mas a tamburului.
a) i b) Din desenul din dreapta:
11 MaTTMg =+ ;
maTTmg =+ 1 =+ Ir TTR 1
r a =1
( )r Ra +=
,,,, 11 aaTT
c) Tamburul are o micare plan paralel, de translaie (a centrului de mas) i de rota ie (n jurul
centrului de mas). Energia lui cinetic este: 22
22 +=
IMvE
cmc , unde r v cm = iar t= .
d) Micarea de rota ie a tamburului este cu accelera ie unghiular constant , deci dependen a
de timp a unghiului de rota ie al tamburului se poate scrie: 2
2t= . Numrul de rota ii
efectuate n timpul t este =
2N .
__________________________
7/21/2019 2013 01 29 Examen 2 Barem Web
5/5
P3. (1.5) Un satelit artificial de mas m este lansat de la suprafaa Pmntului (M, RP) cu viteza v 0,
vertical n sus. S se calculeze:
a) La ce nlime h ajunge satelitul (h RP)
b) Ce impuls trebuie imprimat satelitului la nlimea maxim pentru ca s se roteasc n jurul
Pmntului, pe o traiectorie circular, la acea nlime?
Date: G, m , M , v 0, RP.
REZOLVARE
a) n cmp gravitaional, energia se conserv: energia total la suprafaa Pmntului:
PRGMmmv
2
20 trebuie s fie egal cu energia satelitului la nlimea h:
pRhGMm
+ (nu mai are
energie cinetic, este nlimea maxim la care ajunge satelitul). Din egalarea celor dou,
rezult h . b) Ca s se mite pe o traiectorie circular, la nlimea h , fora de greutate a satelitului trebuie
s fie egal cu cpma , unde cpa este accelera ia centripet a satelitului. ( ) cpma
hRGmM =
+ 2 ,
adic( ) ( )hR
vhR
GmM+
=+
2
2 . De aici obinem viteza satelitului pe orbita circular, deci impulsul
pe care trebuie sl primeasc este mvp = , pe direcia perpendicular pe raz.