Post on 13-Sep-2015
referat.ro
GRUPURI
MonoiziDefinitie: O multime nevida M este monoid in raport cu o lege de compozitie definita pe M
Daca sunt indeplinite urmatoarele axiome:
legea este asociativa: ,
legea are element neutru: astfel incat
Teorema: Oricare ar fi numerele naturale m si n avem:
Exemplu:
Definitia GrupuluiDefinitie: Un cuplu format cu o multime nevida G si cu o lege de compozitie pe G
Se numeste grup daca sunt indeplinite urmatoarele axiome:
astfel incat
astfel incat
Reguli De Calcul Intr-un Grup:
Teorema : Intr-un grup G sunt adevarare regulile de simplificare la stanga si la dreapte:
respectiv
Teorema: Fie un grup . Oricare ar fi ecutatile :
si
Au solute unice in G , anume respective unde este simetricul lui a.Formule:
Subgrup
Fie (G,() un grup.
O submulime nevid H a lui G se numete subgrup a lui G dac sunt satisfcute urmtoarele condiii :
1.( x,y ( H => x(y (H
2.( x ( H =>x ( H
unde x este simetricul lui x (n raport cu operaia lui G)
Teorema:
Fie (G,() un grup, e elementul neutru a lui G i H un subgrup al lui G.Atunci:
1. e ( H
2. H este grup n raport cu operaia indus pe H de ctre operaia grupului
G.
Demonstraie :
1.H ( G => ( lege de compoziie intern pe H
i.( x,y ( H => x(y (H
2i. ( x ( H =>x ( H
=>x(x ( H
dar x(x=e =>e(H
2.(:H(H op.indus
H parte stabil a lui G
(G,() un grup => ( asociativ pe G => ( asociativ pe H
( e ( H a.. x(e=e(x =x (x(H (x(H ,(x ( H a.. x(x=x(x =e
=>H=Grup
Exemple:
1.Fie (G,() un grup, e elementul neutru i E={e}.Atunci E este subgrup al lui G ,numit subgrup unitate.
Dac x,z (E =>x=y=e deci
x(y=y(x=e(E
x=e=e(E
2.Fie n>=0 un numr ntreg i nZ mulimea tuturor multiplilor lui n,
nZ={nh | h ( Z}
Atunci nZ este subgrup al grupului (Z,+).
Adevrat : dac x,y (nZ, ( h,k ( Z a.i. x=nh ,y=nk
=>x+y=nh+nk=n(h+k) (nZ
-x= -(nh)=n(-h) ( nZ
deci nZ este subgrup al lui (Z,+)
Definitie
Fie (G,() un grup ,a (G i n>0.Spunem ca a este element de ordinul n al grupului G dac an =e si ah (e,h=1,2 n-1
IzomorfismeDefinitie: Fie , doua grupri. O aplicatie bijectiva
se numeste izomorfism de grupuri daca :
Teorema: Fie doua grupuri. Daca este izomorfism, atunci si este izomorfismMorfisme
Definitie: Fie doua grupuri. O aplicatie se numeste morfism de grupuri daca :
Teorema: Fie si doua grupuri , e si 0 elemente neutre ale lui G si respectiv daca : este un morfism de grupuri atunci:
1)
2)
unde este simetricul lui x iar este simetricul lui f(x)
Fie G un grup. Un izomorfims (morfism) se numeste automorfism al grupului G
EXERCITI
1)Fie . Aratati ca urmatoarea corespondenta :
este o lege de compozitie pe G si ca este grup comutativ.Rezolvare:
Fie Cum este lege de compozitie pe G
Verificam axiomele grupului:
asociativa
admite element neutru astfel incat .
Deci e este elementul neutru
este comutativ
Deci este grup comutativ.2)Pe Z se defineste legea de compozitie
Aratati ca ( este grup abelianRezolvare:
Fie Avem asociabila
admite element neutru astfel incat
Fie este simetrizabil astfel incat Deci orice element este simetrizabil
este comutativa Deci este grup abelian
3)
Fie un grup cu proprietetea :
Aratati ce G este grup abelian
Rezolvare :
Este grup abelian
4)
Fie un grup cu proprietetea
Rezolvare:
Avem: oricare ar fi . Se aplica ca la exercitiul 3
5)
Fie un grup si Aratati ca functiile:
Sunt bijective
Rezolvare:
este injectiva
Fie
Avem : este sujectiva
este injectiva
Fie Sujectiva
6)Fie un grup si e elementu sau neutru . Daca elementele satisfac conditile
si
atunci si
Rezolvare:
7)
Aratati ca functia este morfism de la grupul la grupul
Rezolvare:
este morfism de la
8)
Aratati ca functia
Rezolvare:
Fie deoarece Deci astfel incat este surjectiva. Deci f este bijectiva.
9)
Fie si pentru orice fie
Aratati ca este grup si ca
Rezolvare:
Verificam axiomele grupului
este asociativa
EMBED Equation.3 exitsta element neutru
Rezulta ca fiecare element este simetrizabil in raport cu legea *
este comutativa. Deci este grup comutativ.
Fie functia f este bijectiva
10)
Fie o functie reala cu proprietatea ca exista cel putin un numar astfel incat:
Aratati ca multimea H a nr reale T cu proprietatea este subgrup al grupului (R,+)Rezolvare:
Fie:avem
Rezulta ca H este subgrup al grupului (R,+)
Powered by http://www.referat.ro/cel mai tare site cu referate
_1199640945.unknown
_1199644474.unknown
_1199646367.unknown
_1199681237.unknown
_1199682582.unknown
_1199683399.unknown
_1199683729.unknown
_1199684145.unknown
_1199684241.unknown
_1199684299.unknown
_1199684342.unknown
_1199684174.unknown
_1199683834.unknown
_1199684106.unknown
_1199683759.unknown
_1199683612.unknown
_1199683633.unknown
_1199683463.unknown
_1199683005.unknown
_1199683361.unknown
_1199683374.unknown
_1199683157.unknown
_1199682713.unknown
_1199682989.unknown
_1199682605.unknown
_1199681796.unknown
_1199682507.unknown
_1199682538.unknown
_1199682447.unknown
_1199681394.unknown
_1199681470.unknown
_1199681354.unknown
_1199647419.unknown
_1199648108.unknown
_1199680775.unknown
_1199681107.unknown
_1199648109.unknown
_1199647879.unknown
_1199647899.unknown
_1199647804.unknown
_1199647320.unknown
_1199647370.unknown
_1199647391.unknown
_1199647341.unknown
_1199646840.unknown
_1199647229.unknown
_1199646553.unknown
_1199645562.unknown
_1199645763.unknown
_1199646147.unknown
_1199646243.unknown
_1199645923.unknown
_1199645685.unknown
_1199645725.unknown
_1199645589.unknown
_1199645260.unknown
_1199645337.unknown
_1199645414.unknown
_1199645278.unknown
_1199644794.unknown
_1199645211.unknown
_1199644511.unknown
_1199643063.unknown
_1199643885.unknown
_1199644210.unknown
_1199644305.unknown
_1199644393.unknown
_1199644231.unknown
_1199643976.unknown
_1199644027.unknown
_1199643902.unknown
_1199643690.unknown
_1199643749.unknown
_1199643782.unknown
_1199643711.unknown
_1199643543.unknown
_1199643576.unknown
_1199643510.unknown
_1199642209.unknown
_1199642672.unknown
_1199642812.unknown
_1199642970.unknown
_1199642687.unknown
_1199642455.unknown
_1199642473.unknown
_1199642251.unknown
_1199641797.unknown
_1199642116.unknown
_1199642172.unknown
_1199642081.unknown
_1199641271.unknown
_1199641673.unknown
_1199641160.unknown
_1199637827.unknown
_1199639548.unknown
_1199640086.unknown
_1199640289.unknown
_1199640768.unknown
_1199640844.unknown
_1199640458.unknown
_1199640211.unknown
_1199640258.unknown
_1199640168.unknown
_1199639847.unknown
_1199640023.unknown
_1199640046.unknown
_1199639942.unknown
_1199639751.unknown
_1199639799.unknown
_1199639590.unknown
_1199638218.unknown
_1199639237.unknown
_1199639391.unknown
_1199639508.unknown
_1199639342.unknown
_1199639060.unknown
_1199639113.unknown
_1199638445.unknown
_1199639027.unknown
_1199638370.unknown
_1199638016.unknown
_1199638070.unknown
_1199638146.unknown
_1199638044.unknown
_1199637912.unknown
_1199637946.unknown
_1199637881.unknown
_1199636769.unknown
_1199637332.unknown
_1199637458.unknown
_1199637702.unknown
_1199637779.unknown
_1199637519.unknown
_1199637406.unknown
_1199637441.unknown
_1199637363.unknown
_1199637088.unknown
_1199637220.unknown
_1199637266.unknown
_1199637201.unknown
_1199636912.unknown
_1199637026.unknown
_1199636872.unknown
_1199635998.unknown
_1199636443.unknown
_1199636510.unknown
_1199636676.unknown
_1199636729.unknown
_1199636703.unknown
_1199636529.unknown
_1199636464.unknown
_1199636111.unknown
_1199636299.unknown
_1199636069.unknown
_1199635783.unknown
_1199635906.unknown
_1199635974.unknown
_1199635857.unknown
_1199635670.unknown
_1199635771.unknown
_1199635437.unknown