1
Variaţia rezistivităţii electrice a metalelor şi semiconductorilor cu temperatura
1. Scopul lucrării Evaluarea comparativă a dependenţei rezistivităţii metalelor şi semiconductorilor cu
temperatura.
2. Noţiuni introductive Într-un corp solid, atomii legaţi sunt aşezaţi la distanţe mici. În urma apropierii lor
orbitele electronice exterioare se suprapun. Pentru atomii vecini stările energetice sunt
aceleaşi astfel că principiul de excluziune al lui Pauli, care impune ca stările cu aceeaşi
energie şi acelaşi spin să nu poată coexista, ar fi încălcat. Pentru a se respecta acest
principiu energiile orbitelor care se suprapun se modifică, deplasându-se cu o anumită
cantitate de energie. În acest fel se formează benzile energetice (efect Stark) prin
despicarea nivelelor
energetice individuale.
Într-un cristal format
din N atomi, fiecare
nivel energetic discret
(1s2, 2s2, 2p6,…) se va
transforma într-o bandă
energetică având N
subnivele după cum
este prezentat în Fig.
1. Pentru o degenerare
cu (2l+1) a unui nivel
energetic vor exista
2p6
n=3
n=2
n=1
2s2
1s2 Ben
zi e
nerg
etic
e
Niv
ele
ener
get
ice
dis
cret
e E E
a r
Figura 1. Formarea benzilor energetice din nivelele energetice discrete ale atomilor; a este constanta reţelei cristaline
(distanţa dintre 2 atomi consecutivi).
2
N(2l+1) subnivele. Zonele energetice obţinute astfel reprezintă benzi permise care sunt
separate prin benzi interzise (Eg). Se observă că pe măsură ce energia electronilor
creşte, benzile de energie permise se lărgesc, iar cele interzise se îngustează (vezi Eg1
şi Eg2 din Fig. 1).
În cazul unui corp solid există un număr destul de mare de benzi energetice care
se succed. Deoarece benzile permise interioare complet ocupate nu pot participa la
conducţie, pentru simplitatea modelului, se optează de cele mai multe ori pentru
prezentarea ultimelor două benzi (BV şi BC). În funcţie de valoarea lui Eg, de gradul de
ocupare cu electroni a benzii energetice, rezistivitate şi alte proprietăţi corpurile solide
se pot împărţi în trei mari categorii: conductoare (metale), izolatoare şi
semiconductoare.
Metalele – în cazul lor nu există benzi interzise. Se formează benzi parţial ocupate din
suprapunerea unei BV complet ocupate cu a unei BC libere sau parţial ocupate (vezi
Fig. 2a); ρ (10-8 10-6 m), unde ρ este rezistivitatea.
Semiconductorii - în cazul lor BC este liberă, iar BV este complet sau parţial ocupată
(vezi Fig. 2b); Eg < 3eV şi (10-6 10-12 m).
Izolatorii - în cazul lor BC este liberă, iar BV este complet ocupată (vezi Fig. 2); Eg >
3eV şi (10-12 10-22 m).
Din perspectiva aplicaţiilor termoelectrice, există o serie de elemente diferite în cazul
metalelor faţă de cel al semiconductorilor şi care conferă valoare materialelor
Figura 2. Reprezentarea schematică a benzilor energetice în cazul metalelor
(a), semiconductorilor (b) şi a izolatorilor (c).
(a) (b) (c)
BC
BI
BV Ev
Eg BC
BV
Ec Ec BI
BC
BV
Ev Ev
Ec
3
semiconductoare. Dintre acestea amintim: valoarea rezistivităţii electrice (menţionată
mai sus) dependenţa de temperatură a rezistivităţii electrice, semnul coeficientului de
temperatură al rezistivităţii, conductivitatea electrică la temperatură foarte joasă sau
influenţa impurităţilor asupra conductivităţii electrice.
(a) metale
Rezistivitatea electrică în cazul celor mai multe metale este determinată, la temperatura
camerei, de ciocniri ale electronilor de conducţie cu reţeaua fononilor, iar la temperaturi
mult mai mici (ex. heliului lichid 4K) de ciocniri cu atomi de impuritate şi imperfecţiuni
mecanice care apar în reţea. Rezistivitatea netă este dată de următoarea expresie:
iT ρρρ , (1)
unde ρT este rezistivitatea cauzată de fononii termici, iar i este rezistivitatea cauzată de
împrăştierea electronilor pe defectele statice ale reţelei. De cele mai multe ori T este
independentă de numărul de defecte atunci când concentraţia acestora este mică, iar i
este independentă de temperatură. Rezistivitatea reziduală, i(0) este rezistivitatea
extrapolată la 0K, deoarece valoarea lui T devine neglijabilă atunci când T 0.
Rezistivitatea reţelei poate fi exprimată ca fiind:
0ρρρ iT T (2)
şi este aceeaşi pentru diferite tipuri de metale, chiar dacă i(0) poate varia semnificativ.
Raportul dintre rezistivitatea materialului la temperatura camerei şi rezistivitatea
reziduală reprezintă un indicator al purităţii acestuia. Partea dependentă de temperatură
a rezistivităţii electrice este proporţională cu rata de ciocnire a electronilor cu fononii
termici şi electronii termici. Rata de ciocnire cu fononii este proporţională cu
concentraţia fononilor termici. În concluzie putem spune că rezistivitatea electrică a
metalelor creşte liniar cu temperatura conform următoarei relaţii :
00 α1ρρ ttmt , (3)
4
(-1)
T(K)
care, după înlocuirea lui din relaţia bine cunoscută R = (L/S), devine:
00 α1 ttRR mt , (4)
În ultimele două expresii 0 este rezistivitatea metalului la temperatura t0(0C), iar tm
este coeficientul termic al rezistivităţii metalului. Exprimând rezistivitatea electrică în
funcţie de temperatura absolută se obţine:
TttT mt
mt αραρρ 000 . (5)
O reprezentare mai puţin riguroasă a dependenţei rezistivităţii electrice de temperatură,
dar care poate contribui la formarea unei percepţii mult mai bune asupra
comportamentului conductivităţii electrice ( = 1/) a metalelor este prezentată în Fig 1.
Derivând ultima ecuaţie în raport cu temperatura şi împărţind la 0 se obţine:
01ρρ1α
00
dTdR
RdTdm
t . (6)
Aşadar, coeficientul termic al metalelor este pozitiv.
Figura 1. Dependenţa rezistivităţii de temperatură în cazul metalelor.
5
Trebuie menţionat faptul că metalele au conductivitate electrică diferită de zero
indiferent cât de joasă este temperatura ceea ce înseamnă că în metale există purtători
de sarcină liberi (electroni) la orice temperatură.
Întrebarea care se pune este dacă fononii sunt responsabili pentru existenţa
curentului de căldură în metal. În metalele pure contribuţia electronică este dominantă
la toate temperaturile, în timp ce în metalele impure sau în aliajele “dezordonate”
drumul liber mediu al electronilor este redus de ciocnirile cu impurităţi şi contribuţia
fononilor poate fi comparabilă cu contribuţia electronilor. Rămâne însă important faptul
că conductivitatea electrică a metalelor este foarte putin sensibilă la impurificarea
metalului. În mod similar, diferiţii factori externi cum sunt radiaţiile electromagnetice,
corpusculare, cîmpul magnetic sau presiunea influenţează nesemnificativ
conductivitatea electrică a metalelor.
(b) semiconductori
Spre deosebire de dependenţa liniară a rezistivităţii electrice a metalelor, în cazul
semiconductorilor rezistivitatea electrică s scade exponenţial cu creşterea temperaturii
conform următoarei relaţii:
kTE
TB
s
g
ee 2 , (7)
unde B este o constantă legată de
energia de activarea conductivităţii,
iar , Eg, k şi T reprezintă
rezistivitatea extrapolată la T ,
lărgimea benzii interzise, constanta
lui Boltzmann şi respectiv
temperatura (vezi Fig. 2).
Procedând ca şi în cazul metalelor, prin derivarea ultimei ecuaţii în raport cu
temperatura şi împărţirea cu se obţine coeficientul termic al seimconductorilor ts:
Figura 2. Dependenţa rezistivităţii de temperatură
în cazul semiconductorilor.
(-1)
T(K)
6
02
ρρ1α 2 kT
EdTd gs
t , (8)
care este unul negativ. De remarcat este faptul că în cazul semiconductorilor acest
coeficient depinde de temperatura la care se găseşte materialul.
Analizând cu atenţie expresiile de mai sus se poate observa că prin intermediul
unor reprezentări grafice şi evaluarea acestora, pot fi determinaţi parametrii importanţi
ai semiconductorilor. Astfel, prin înmulţirea ecuaţiei (7) cu raportul dintre lungimea şi
suprafaţa semiconductorului, L/S, şi logaritmarea expresiei se obţine următoarea relaţie:
TBRRs 3
3
0 1010lnln (9)
Dacă vom considera un caz particular, în care se vor utiliza valorile rezistenţelor R1 şi
R2 obţinute pentru două temperaturi diferite T1 şi T2 şi se va ţine seama de faptul că R0
este o constantă, în urma reprezentării dependenţei logaritmului rezistenţei
semiconductorului de inversul temperaturii se poate determina tan folosind
următoarea relaţie:
12
3
12
1110
lnlntan
TT
RR, (10)
Prin utilizarea relaţiei (7) se va putea mai apoi determina lărgimea benzii interzise Eg.
Spre deosebire de metale, în cazul semiconductorilor conductivitate electrică
devine nulă la o anumită temperatură ceea ce înseamnă că în semiconductori nu există
purtători de sarcină liberi sub acea temperatură, care se numeşte temperature de
activare. De asemenea este important de menţionat faptul că impurificarea controlată a
semiconductorilor poate conduce la o creştere a conductivităţii electrice cu până la şase
ordine de mărime. O altă deosebire de cazul metalelor o reprezintă influenţa
semnificativă pe care o au factorii externi (radiaţiile electromagnetice, corpusculare,
cîmpul magnetic sau presiunea) asupra conductivităţii electrice a metalelor.
7
3. Desfăşurarea experimentului
I. Dependenţa de temperatură a rezistenţei metalului
1. Se realizează circuitul electric (vezi Fig. 3 şi Fig. 4)
2. Se monitorizează temperatura indicată de termometru şi de Ohmetrul digital,
datele se trec în Tabelul 1, aceste rezultate preliminare sunt considerate la temperatura
camerei.
3. Se conectează autotransformatorul la reţeaua de 220V, iar prin rotirea
tamburului spre dreapta se stabileşte în circuit un curent de 1,5 A (se va urmări indicaţia
ampermetrului).
4. Se urmăresc instrucţiunile de la punctul 2, monitorizând temperatura din 5 în 5
grade precum şi valorile corespunzătoare ale rezistenţei firului metalic. Temperatura se
va monitoriza în intervalul 250 – 900 C.
Tabelul 1. Parametrii obţinuţi în urma evaluării dependenţei de temperatură a rezistenţei
electrice a metalului.
t (0 C)
Rm (Ω)
8
o Ω
proba - metal
Figura 3. Schema de principiu a circuitului utilizat pentru evaluarea rezistenţei electrice cu temperatura în cazul metalelor.
~ o cuptor electric
autotransformator
A
Figura 4. Montaj practic realizat pentru evaluarea dependenţei rezistenţei electrice cu temperatura în cazul metalelor.
9
Figura 5. Schema de principiu a circuitului utilizat pentru evaluarea rezistenţei electrice cu temperatura în cazul semiconductorilor
o
Ω proba de
semiconductor
~ o reşou electric
autotransformator
Figura 6. Montaj practic realizat pentru evaluarea dependenţei rezistenţei electrice cu temperatura în cazul semiconductorilor.
10
II. Dependenţa de temperatură a rezistenţei semiconductorului
1. Se realizează circuitul electric (vezi Fig. 5 şi Fig. 6)
2. Se monitorizează temperatura indicată de termometru şi de Ohmetrul digital,
datele se trec în Tabelul 2, aceste rezultate preliminare sunt considerate la temperatura
camerei.
3. Se conectează autotransformatorul la reţeaua de 220 V şi se roteşte tamburul
spre dreapta până la valoarea de 180 V.
4. Se urmăresc instrucţiunile de la punctul 2, monitorizând temperatura din 5 în 5
grade precum şi valorile corespunzătoare ale rezistenţei probei de semiconductor.
Temperatura se va monitoriza în intervalul 250 – 750 C.
Tabelul 2. Parametrii obţinuţi în urma evaluării dependenţei de temperatură a
rezistenţei electrice a semiconductorului.
t (0 C) Rs () T (K) 1/T (K-1) 103/T (K-1) lnRs ()
4. Determinarea parametrilor şi rezultate
Se urmăreşte obţinerea următoarelor:
1. Dependenţa rezistenţei firului metalic de temperatură (grade Celsius)
2. Obţinerea coeficientului de temperatură a rezistivităţii electrice
3. Dependenţa rezistenţei semiconductorului de temperatură (grade Celsius),
dependenţa logaritmului rezistenţei semiconductorului faţă de inversul
temperaturii (grade Kelvin) înmulţit cu 103 (coloana a şasea din Tabelul 2 în
funcţie de coloana a cincea).
11
4. Se obţine constanta B apoi se determină lărgimea benzii interzise (ΔEg).
5. Discutarea rezultatelor În discutarea rezultatelor se va face referire la următoarele aspecte:
- analiza comparativă a dependenţei cu temperatura a rezistivităţii în cazul metalelor şi
a semiconductorilor
- discuţie comparativă a rezultatului obţinut în urma efectuării experimentelor cu
valoarea lărgimii benzii interzise a germaniului (se cere argumentarea diferenţelor
obţinute).
6. Concluzii Se vor menţiona cele mai importante rezultate obţinute în urma efectuării lucrării
experimentale.
Top Related