Toate numerele sunt rezultatul unor
masuratori?
Femeile sunt pasionate de matematica imaginara. Isi impart varsta la 2,dubleaza pretul hainelor si adauga intodeauna 5 ani la varsta prietenei cele mai bune.
În 1748 genialul matematician elvetian Leonard Euler scria formula:
e- este baza logaritmului natural i- este unitatea imaginar?
sin si cos sunt functii trigonometrice.
În 1806 Jean Robert Argand publica lucrarea “ Eseu despre interpretarea geometrica a cantitatilor imaginare.
În 1813 Adrien-Marie Legendre pune bazele geometriei numerelor complexe. În 1829 William Rowan Hamilton considera ca , asa cum geometria este stiinta spatiului care
si-a gasit expresia matematica în “Elementele lui Euclid”, si algebra trebuie sa fie stiinta a
ceva, si inspirat de filosofia lui Kant , el decide ca acel ceva trebuie sa fie timpul.
În 1831 datorita lui Carl Friedrich Gauss se impune termenul de “numar complex”.
Originea numarului i:
Numărul complex (0,1) este notat cu i și numit “numarul i”.Are proprietatea
Ținînd cont de cele de mai sus, un număr complex(a,b) poate fi scris (a,b)=(a,0)+(b,0)=a+bi
Forma algebrică a unui număr complex este z=a+bi , unde a și b sunt numere reale. (0,1) unitatea imaginară (0,0)=0; (1,0)=1.
Pentru un număr complex z=a+bi , se numește partea reală a lui z și se notează a=Re(z) iar b se numește partea imaginară a lui z și se notează b=Im(z) .
Egalitatea a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w =(c,d) = c + di are loc dacă a = c și b = d.
Suma a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w =(c,d) = c + di este z + w = (a + c, b + d )= (a+c) + i(b +d).
Produsul a două numere complexe z = (a,b)= a + bi și w =(c,d) = c + di este zw = (ac -bd, bc + ad )= (ac-bd) + i(bc+ad).
Exemplu
pentru z = (2,3)= 2 + 3i și w =(1,4) = 1 + 4i avem zw = (-10, 11 )= -10 + 11i, z + w = (3, 7 )= 3 + 7i si produsul zw = (-10,11) = -10 + 11i.
Forma algebrica a unui numar complex
Se numeste modulul numarului complex z, ,numarul real
Conjugatul complex al unui numar este numărul complex
Exemple:
Modulul si conjugatul unui numar complex
Ecuatia de forma unde a, b, c R, a 0, x - variabila, se numeste
ecuatie bipatrata. Prin substitutia x2 = t (atunci x4 = t 2) ecuatia bipatrata se reduce la o
ecuatie de gradul al doilea.
1) -Se utilizeaza substitutia t = x2, si se obtine ecuatia de gradul al doilea
in t,
2t 2 - 3t + 4 = 0 care nu are solutii reale. Prin urmare, si ecuatia enuntata nu are solutii
reale. S=
2) x4 - 29x2 + 100 = 0 -Se noteaza x2 = t, atunci x 4 = t 2 si se obtine o ecuatie de
gradul al doilea in t: t 2 - 29t + 100 = 0 cu solutiile t1 = 4 si t2 = 25.Astfel se obtine
totalitatea de ecuatii
de unde rezulta solutiile x = ±2 si x = ±5.
Se numeste ecuatie binoma,o ecuatie de forma: ,
Exemplu: ecuaţia se scrie sub forma: si se scrie numărul -i
complex în forma trigonometrica. . Soluţiile ecuaţiei
sunt rădăcinile de ordin zece din -i,adică numerele complexe:
Aplicatii ale numerelor complexe in algebra
Vom nota cu M(z) punctul M de afix z.Distanţa dintre punctele Afixul punctului M care imparte segmentul in raportul k,adica =
este ,unde , ,
Consecinta:Afixul mijlocului M al segmentului este ;Afixul g al centrului de greutate G al triunghiului este ;patrulaterul
este paralelogram daca si numai daca ,unde ,i=1,2,3,4.
Conditia de coliniaritate: Punctele M1(z1), M2(z2), M3(z3) sunt coliniare dacă şi numai dacă există k1, k2, k3 ∈ R cu k1+ k2+ k3 = 0 si
Demonstratie: Dacă sunt coliniare, atunci există cu
Deci ,adica .Pentru
, obtinem concluzia.Reciproc,din cu
,obtinem
Pentru obtinem ,adica sunt coliniare.
Aplicatii ale numerelor complexe in geometrie
Exemplu: Fie afixele varfurilor triunghiului ABC, cu . Sa se arate ca daca punctele MNP au afixele
atunci triunghiurile MNP si ABC sunt asemenea.
Rezolvare: Cum , ,
-Analiza semnalelor:-numerele complexe sunt folosite în
analiza semnalelor şi alte domenii pentru o descriere convenabilă pentru
diferite semnale periodic.
- Integralelor improprii:-În domenii aplicate, numerele complexe sunt
adesea utilizate pentru a calcula anumite valori reale integralelor improprii
, prin intermediul-evaluate functii complexe.
-Mecanica cuantica:- Câmpul număr complex este relevant în
formulele matematice ale mecanicii cuantice , în cazul în care complex de
spatii Hilbert oferi contextul pentru o formulare, astfel încât este
convenabil şi cel mai probabil standard.
-Numarul de teoria analitica:- Analitic numarul teorie studii de numere,
de multe ori întregi sau raţionale, profitând de faptul că acestea pot fi
considerate ca numere complexe, în care metodele analitice pot fi
utilizate. Aceasta se face prin informaţii codare număr-teoretic în funcţii
complexe-evaluate. De exemplu, Riemann Zeta-functia ζ (s) este legat de
distribuirea de numere prime .
Domenii
-http://www.experior.ro/Docs/Ecuatii_binome
-http://ro.wikipedia.org/wiki/Num%C4%83r_complex
-Dinca M., Chirita M., Numere complexe in matematica de liceu, Editura All
Educational, Bucuresti, 1996
-Cocea C., 200 de probleme din geometria triunghiului echilateral, Editura
Gh. Asachi, Iasi, 1992
-Andrica D., Varga C., Vacaretu D., Teme de geometrie, Editura Promedia
Plus, Cluj Napoca, 1997
http://translate.google.ro/translate?hl=ro&langpair=en|ro&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number
Bibliografie
Top Related