8/13/2019 Simetria spaiului n raport cu un plan
1/8
1
Lieul Teoretic George linescu
roiect
Simetria n raport cu un plan
Chiinu 2012
8/13/2019 Simetria spaiului n raport cu un plan
2/8
2
uprins
Noiune 3
Proprieti 4
Probleme rezolvate 6
8/13/2019 Simetria spaiului n raport cu un plan
3/8
3
Simetria spaiului n raport cu un plan
Definiie.Se numete simetrie n raport cu un plan a (numit plan de simetrie) transformarea
spaiului, lacare fiecare punctM are drept imagine un astfel de punct M',nct
[MM]i trece prin mijlocul M0 al segmentului MM' . Punctele planului de simetrie se
aplic pe ele nsei .
Vom nota simetria n raport cu un plan prin litera m (sau ma):
m(M) = M, [MM'] a, [M0M] = [M0M'] M0a, m(P)=P, dacPa.
Observm c n rezultatul efecturii unei simetrii n raport cu un plan a orice dreapt
perpendicular cu a se aplic pe ea nsi, i anume: punctele corespunztoare M i M' situate pe operpendicular la planul de simetrie a sunt simetrice fa de punctul ei de intersecie cu planul
punctele corespunztoare M i M', Ni N' situate ntr-un plan perpendicular cu sunt simetrice n
raport cu dreapta lor de intersecie MoN0.
8/13/2019 Simetria spaiului n raport cu un plan
4/8
4
Proprietati
Proprietile simetriei spaiului n raport cu un plan sunt asemntoare proprietilor simetriei
axiale a planului. Fr a aduce demonstrri detaliate ne vom limita doar la enumerarea lor.
1)Simetria n raport cu un plan este o deplasare a spaiului.
Intr-adevr, fie M i N dou.puncte arbitrare ale spaiului. Ducemprin aceste puncte un plan ,
atunciM' iN' i sunt simetricecuM iN n raport cu dreapta M0No= .Rezult |MV'| = |MN|.2) Imaginea unui plan (unei drepte) paralel cu planul de simetrie este un plan (o dreapt)
paralel cu a, situat la aceeai distan de a ca i planul (dreapta) dat; imaginea unui
plan (unei drepte) ce intersecteaz este un plan (o dreapt) ce trece prin dreapta (punctul)
de intersecie a planului(dreptei) dat cu planul a; planul (dreapta) dat i imaginea lui
formeaz cu planul de simetrie unghiuri congruente.
3) Deplasarea spaiului invers simetriei n raport cu un plan este aceeai simetrie, adic m-1=m.
4)Compoziia a dou simetrii n raport cu dou plane paralele ia2este o translaie paralel in
direcia unei drepte perpendiculare pe planele a1i a2de la primul plan spre al doilea i la o
distan de dou ori mai mare dect distana dintre planele de simetrie
5) Multe corpuri (figuri spaiale) seaplic pe ele nsei n rezultatul efecturii simetriei n raport
unele plane special determinate. Aceste plane se numesc plane de simetrie ale corpului respectiv.
8/13/2019 Simetria spaiului n raport cu un plan
5/8
8/13/2019 Simetria spaiului n raport cu un plan
6/8
6
Din definiia de mai sus rezult c, pentru a construi simetricul unui punct M fa de un plan dat P;se
duce dinMperpendicularaMOpe planulP:apoi se ia pe prelungirea acestei perpendiculare segmentul [OM']t
cu:
OM'=OM.
Metoda simetriei const n faptul c ; n rezolvarea unor probleme de geometrie ne folosim de simetrie
pentru a reduce problema dat la una a crei rezolvare este cunoscut sau se poate rezolva mai uor. Rezolvarea
problemei noi aduce dup sine i rezolvarea problemei iniiale.
Exemplele urmtoare pun n eviden aplicarea metodei simetriei.
Problema 1:n interiorul unghiului AOB se dau dou puncte: C i D. S se gseasc pe latura
[OA] a unghiului dat un punct F i pe latura [OB] un punct E, n aa fel nct linia frnt CEFD s
fie cea mai scurt posibil.
Soluie: Mai nti construim figura care se compune din elementele date. Pentru a gsi puncteleE iF
vom proceda astfel: construim punctul C';simetricul lui C fa de OB:i punctulD':simetricul luiD fa
deOA. Punctele C,D i unghiul
8/13/2019 Simetria spaiului n raport cu un plan
7/8
7
CE=CE
deoarece sunt lungimi de segmente simetrice fa de axaOB;
EF=EF:(latur comun);
FD=FD',ca lungimi de segmente simetrice fat de axaOA:
CE+EF+FD=C'E+EF+FD'=C'D' Linia frntCEFD este cea
mai scurt.Oricare alte dou puncte luate pe laturile [OB] i [OA], n
afar de E i F gsite mai sus, ne vor da o linie frnt mai lung dect
CEFD. ntr-adevr, fie G i H dou puncte oarecare situate, respectiv, pe laturile [OB] i [OA]. Vrem s
artm c:
CE+EF+FD
8/13/2019 Simetria spaiului n raport cu un plan
8/8
8
Deoarece unghiurile
Top Related