Probleme propuse * Setul 7

61. (determinanti) Fie matricea A M3(R) cu elementele aij ={

1i+1 , 1 j i 30, 1 i < j 3.

Determinantul lui A are valoareaa) 124 ; b) 1; c) 2; d)

112 ; e)

16 ; f)

13 .

62. (sisteme liniare) Se considera matricele A =(

2 00 3

), B =

(1 11 0

)si C = BAB1.

Sa se determine matricea C20.

a)(

320 220 3200 220

); b)

(220 00 320

); c)

(1 00 1

);

d)(

220 0320 220 320

); e)

(0 220

320 0

); f)

(2 22 3

).

63. (sisteme liniare) Fie a, b, c R si fie sistemul x+ y + z = cax+ by + (a+ b)z = 0

a2x+ b2y + (a+ b)2z = 0.Care afirmatie este adevarata ?a) Daca a = b, atunci sistemul este compatibil pentru orice c R.b) Daca a = 0 si b 6= 0, atunci sistemul este compatibil pentru orice c R.c) Daca a 6= b, atunci sistemul este compatibil determinat, pentru orice c R.d) Daca c 6= 0, atunci sistemul este incompatibil pentru orice a, b R.e) Daca a 6= 0 si b 6= 0, atunci sistemul este incompatibil pentru orice c R.f) Daca a+ b 6= 0, atunci sistemul este compatibil determinat c R.

64. (siruri) Fie xn = (2 + 1)n. Pentru orice n 1 exista numere naturale an, bn astfel ncat xn = an+ bn

2.

Sa se calculeze ` = limn

anbn.

a) ` = 0; b) nu exista; c) ` =2; d) ` =

22 ; e) ` =; f) ` =

2.

65. (limite) Fie ` = limx1

(1 x)2f(x) limx1

f(x), unde f(x) = limn fn(x), iar fn : R R,

fn(x) ={

1 + 2x+ 3x2 + + nxn1, x 1en(1x), x > 1

. Atunci ` este

a) 0; b) 1; c) 1; d) ; e) nu exista; f) .

66. (derivabilitate) Sa se arate ca functia f : R R, f(x) ={

e1x , x > 0

0, x 0este indefinit derivabila pe R si sa se calculeze f (n)(0) pentru n 1.a) 1; b) 0; c) e1; d)-1; e) ln 2; f) e + e1.

67. (primitive) Fie f : R R si F o primitiva a sa. Daca F (x) f(x) = x, x R, si F (0) = 1, atunci f(x)are expresiaa) f(x) = 1, x R; b) f(x) = x

1+x2, x R; c) f(x) = 1 + x2,x R;

d) f(x) = x, x R; e) f(x) = 0,x R; f) f(x) = x2, x R.

68. (functii trigonometrice) Perioada principala T a functiei f(x) = sin4 x+ cos4 x estea) T = 2pi; b) T = pi; c) T = pi2 ; d) T =

pi3 ; e) T =

pi4 ; f) T =

pi6 .

69. (aplictiile trigonometriei n algebra) Daca x1 si x2 sunt solutiile ecuatiei x2 + x+ 1 = 0, sa se determinepentru cate valori n N, n 10, avem egalitatea (x1 + 1)n + (x2 + 1)n = 1.a) 0; b) 2; c) 4; d) 10; e) 8; f) nu exista astfel de valori.

* Admiterea UPB - 2009 *

70. (poliedre - volume) Un trunchi de piramida regulata are bazele patrate de laturi a si b (a > b), iar naltimeaeste h. Calculati naltimea piramidei din care s-a format acest trunchi de piramida.

a)ah

a b ; b)b

ah; c)

a

bh; d)

ah

a+ b; e)

bh

a+ b; f)

bh

a b .

* Admiterea UPB - 2009 *