1
UNIVERSITATEA DE STAT „ B. P. HASDEU ” DIN CAHUL
FACULTATEA DE ECONOMIE, INFORMATICĂ ŞI MATEMATICĂ
CATEDRA DE INGINERIE ȘI ȘTIINȚE APLICATE
Note de curs
"Mecanica teoretică"
Elaborat: lect. univ. Bunea Marina
2
Cuprins
Introducere.......................................................................................................................................4
Scurt istoric al mecanicii..................................................................................................................4
Modele.............................................................................................................................................4
Simplificări şi abstracţii în mecanică...............................................................................................4
Capitolul 1. Statica.........................................................................................................................5
1.1. Noţiuni, concepte şi legile fundamentale ale mecanicii teoretice....................................5
1.1.1. Forţe în mecanică...................................................................................................................5
1.1.2. Legile fundamentale ale mecanicii teoretice.........................................................................6
1.1.3. Legea despre acţiunea independentă a forţelor. Paralelogramul de forţe..............................7
1.1.4. Legăturile şi forţele de legătură.............................................................................................8
1.2. Echilibrul solidului rigid acţionat de forţe concurente....................................................8
1.2.1. Obiectul şi problemele staticii...............................................................................................8
1.2.2. Reducerea sistemului de forţe concurente la o forţă rezultantă.............................................9
1.2.3. Condiţiile de echilibru ale solidului rigid acţionat de forţe concurente...............................10
1.3. Echilibrul solidului rigid acţionat de forţe arbitrare......................................................10
1.3.1. Momentul forţei în raport cu un punct.................................................................................10
1.3.2. Momentul forţei în raport cu axa.........................................................................................11
1.3.3. Momentul cuplului de forţe.................................................................................................12
1.3.4. Reducerea unui sistem de forţe arbitrare. Torsor.................................................................12
1.3.5. Axa centrală a unui sistem de forţe. Teorema lui Varignon................................................13
1.3.6. Forţe distribuite....................................................................................................................14
1.3.7. Încastrarea............................................................................................................................14
1.4. Centrul de greutate.........................................................................................................15
1.4.1. Noţiuni generale privind centrul de greutate.......................................................................15
1.4.2. Centrele de greutate ale unor linii, figuri şi corpuri omogene.............................................16
Capitolul 2. Cinematica...............................................................................................................17
Introducere.....................................................................................................................................17
2.1. Cinematica punctului.....................................................................................................17
2.1.1. Traiectoria punctului. Modul natural de definire a mişcării punctului................................17
2.1.2. Vectorul de poziţie. Modul vectorial de definire a mişcării punctului................................18
2.1.3. Viteza şi acceleraţia punctului.............................................................................................19
2.1.4. Cazuri particulare ale mişcării punctului.............................................................................19
2.1.5. Mişcarea circulară................................................................................................................19
2.2. Cinematica solidului rigid..............................................................................................20
2.2.1. Definirea mişcării solidului rigid.........................................................................................20
2.2.2. Unghiurile lui Euler.............................................................................................................20
2.2.3. Teorema de bază a cinematicii solidului rigid.....................................................................21
2.2.4. Distribuţia vitezelor.............................................................................................................21
2.2.5. Distribuţia acceleraţiilor......................................................................................................22
2.2.6. Mişcarea de translaţie..........................................................................................................22
2.2.7. Rotaţia rigidului în jurul unei axe........................................................................................22
2.2.8. Rotaţia uniformă..................................................................................................................23
2.2.9. Rotaţia uniform variată........................................................................................................23
2.2.10. Turaţia, numărul de rotaţii.................................................................................................23
2.2.11. Mişcarea plană (plan-paralelă). Legile mişcării................................................................23
2.2.12. Determinarea traiectoriilor punctelor figurii plane............................................................24
2.2.13. Vitezele punctelor rigidului în mişcarea plană..................................................................24
2.2.14. Centrul instantaneu al vitezelor.........................................................................................24
2.2.15. Determinarea vitezelor punctelor figurii plane cu ajutorul centrului instantaneu al
vitezelor.........................................................................................................................................25
3
2.2.16. Metodele de determinare a poziţiei centrului instantaneu al vitezelor..............................25
2.2.17. Acceleraţiile punctelor rigidului în mişcarea plană...........................................................25
2.2.18. Mişcarea solidului rigid cu un punct fix............................................................................26
2.3. Cinematica mişcării relative a punctului.......................................................................27
2.3.1. Generalităţi. Definiţii...........................................................................................................27
2.3.2. Derivata absolută şi derivata relativă a unui vector.............................................................27
2.3.3. Compunerea vitezelor..........................................................................................................27
2.3.4. Compunerea acceleraţiilor...................................................................................................28
2.3.5. Cauzele apariţiei acceleraţiei Coriolis.................................................................................28
Capitolul 3. Dinamica..................................................................................................................28
3.1. Dinamica punctului material liber.................................................................................28
3.1.1. Obiectul de studiu al dinamicii. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării punctului material.......28
3.1.2. Rezolvarea problemelor dinamicii punctului material liber................................................29
3.1.3. Mişcarea punctului material în câmpul omogen al forţei de greutate..................................30
3.2. Dinamica mişcării relative a punctului material............................................................30
3.2.1. Ecuaţia fundamentală a mişcării relative.............................................................................30
3.2.2. Echilibrul relativ. Greutatea punctului material..................................................................31
3.2.3. Mişcările relative pe suprafaţa Pământului..........................................................................31
3.3. Dinamica sistemelor de puncte materiale......................................................................32
3.3.1. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării unui sistem de puncte materiale.....................................32
3.3.2. Problema celor două corpuri................................................................................................32
3.3.3. Ecuaţia diferenţială a mişcării centrului maselor sistemului de puncte materiale...............32
3.4. Teorema impulsului sistemului de puncte materiale.....................................................33
3.4.1. Impulsul sistemului de puncte materiale.............................................................................33
3.4.2. Teorema impulsului unui sistem de puncte materiale.........................................................33
3.4.3. Legea conservării impulsului...............................................................................................33
3.4.4. Dinamica unui corp de masă variabilă.................................................................................33
3.4.5. Formula lui Ţiolkovski........................................................................................................34
3.4.6. Teorema impulsului în cazul mediului continuu. Teorema lui Euler..................................34
3.5. Teorema momentului cinetic al sistemului de puncte materiale....................................34
3.5.1. Momentul cinetic al sistemului de puncte materiale faţă de un punct şi faţă de axe...........34
3.5.2. Momentul cinetic al rigidului având o rotaţie în jurul unei axe fixe...................................35
3.5.3. Teorema momentului cinetic al sistemului..........................................................................35
3.5.4. Legea conservării momentului cinetic al sistemului de puncte materiale...........................36
3.6. Teorema energiei cinetice a sistemului de puncte materiale.........................................36
3.6.1. Energia cinetică a unui sistem de puncte materiale.............................................................36
3.6.2. Teorema energiei cinetice a sistemului de puncte materiale...............................................36
3.6.3. Calcularea energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale...........................................37
3.6.4. Energia cinetică a unui rigid în mişcare de translaţie..........................................................37
3.6.5. Energia cinetică a unui rigid în mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe............................37
3.6.6. Energia cinetică a unui rigid în mişcarea plan-paralelă.......................................................37
3.7. Dinamica solidului rigid................................................................................................37
3.7.1. Momentele de inerţie ale solidului rigid. Tensorul de inerţie..............................................37
3.7.2. Metoda cinetostatică. Principiul lui D'Alembert pentru un punct.......................................38
3.8. Oscilaţiile unui sistem cu un grad de libertate...............................................................39
3.8.1. Oscilaţiile libere...................................................................................................................39
3.8.2. Oscilaţiile forţate..................................................................................................................40
Bibliografie...................................................................................................................................42
4
Introducere.
Mecanica teoretică este ştiinţa care studiază legile mişcării mecanice a corpurilor
materiale, adică schimbarea poziţiei corpului în timp şi spaţiu.
Mecanica teoretică se împarte în trei părţi principale:
- Statica, care studiază forţele şi condiţiile lor de echilibru;
- Cinematica, care studiază mişcarea mecanică fără evidenţierea acţiunii forţelor;
- Dinamica, care studiază legile mişcării mecanice.
Scurt istoric al mecanicii. Aristotel (384-322 î.e.n.), a stabilit legea pârghiei, legile dinamice nereuşite.
Arhimede (287-212 î.e.n.), a stabilit corect legea pârghiei, a pus bazele hidrostaticii şi a
determinat centrele de greutate ale unor figuri plane.
Nicolaus Copernic (1473-1543), a constatat că planetele se mişcă în jurul axelor lor proprii
şi în jurul Soarelui.
Iohanes Kepler (1571-1630), a stabilit cele trei legi ale mişcării planetelor.
Galileo Galilei (1564-1642), a formulat principiul relativităţii, principiul inerţiei, teoria
cantitativă a mişcării unui corp aruncat sub un unghi faţă de linia de orizont. A stabilit legile
căderii libere a corpurilor, etc.
Ghristian Nuygens (1629-1695), a determinat forţa centrifugă şi centripetă, a pus baza
ciocnirii, ect.
Isaac Newton (1643-1727), a stabilit legea de bază a dinamicii, legea egalităţii acţiunii şi
reacţiunii, legea atracţiei universale, a introdus noţiunea de masă, etc.
Leonhard Euler (1707-1783), fondatorul hidrodinamicii, teoriei navelor şi teoriei stabilităţii
elastice a barelor, ect.
P. S. Laplace (1749-1827), a introdus reacţiunile legăturilor.
La evoluţia mecanicii au mai contribuit şi contribuie mulţi alţi savanţi celebri, fiindcă
mecanica este o ştiinţă continuă.
Modele. În mecanică se utilizează următoarele tipuri de modele:
- punctul material reprezintă punctul geometric, care posedă masă şi proprietăţile unui
corp;
- linia materială reprezintă linia geometrică, care posedă masă distribuită pe lungime şi
proprietăţile unei bare sau a unui fir;
- suprafaţa materială reprezintă o suprafaţă geometrică, care posedă masă distribuită
pe arie şi proprietăţile unei plăci;
- solidul rigid reprezintă corpul geometric, care posedă masă distribuită pe tot volumul
şi proprietăţile unui rigid.
Spaţiul reprezintă spaţiul tridimensional infinit euclidic. Timpul este considerat absolut.
Masa reprezintă proprietatea materiei de a fi inertă şi de crea un câmp gravitaţional. Forţa este o
mărime vectorială, ce reprezintă măsura interacţiunii dintre corpuri.
Simplificări şi abstracţii în mecanică. Punctul geometric, care posedă masă, se numeşte punct material.
Dacă din interacţiunea cu alte corpuri punctul este exclus, punctul se numeşte punct
material izolat.
Sistemul format dintr-un anumit număr de puncte materiale, care acţionează reciproc, se
numeşte sistem mecanic.
Volumul finit, ce conţine în mod continuu materia, se numeşte continuul material.
5
Dacă un sistem mecanic nu este deformabil şi distanţele reciproce ale punctelor materiale
ce îl formează, nu variază, independent de cauza ce ar tinde să modifice aceste distanţe, se
numeşte sistem mecanic rigid.
Mulţimea compactă de puncte materiale într-un volum finit sau continuul material
nedeformabil se numeşte solidul rigid.
Sistemul de puncte rigid, în raport cu care se efectuiază o mişcare, se numeşte sistem de
referinţă sau reper.
Capitolul 1. Statica
1.1. Noţiuni, concepte şi legi fundamentale ale mecanicii teoretice.
1.1.1. Forţe în mecanică. Măsura acţiunii mecanice a unui corp material asupra altui corp se numeşte forţă. Forţa
este o mărime vectorială determinată de valoarea numerică, punctul de aplicaţie, direcţia şi
sensul acţiunii. Unitatea de măsură a forţei în Sistemul Internaţional (SI) este newtonul (N), iar
în sistemul tehnic de unităţi (MCCSS) – un kilogram-forţă (Kgf).
1 Kgf ≈ 9,81 N; 1N ≈ 0,102 kgf
Dreapta dusă din punctul de aplicaţie de-a lungul căreia este orientată forţa se numeşte
suport sau linie de acţiune a forţei.
Dacă asupra unui corp solid oarecare acţionează mai multe forţe simultan, atunci aceste
forţe formează un sistem de forţe.
Dacă mai multe sisteme de forţe diferite îi redau rigidului aceeaşi mişcare, atunci aceste
sisteme de forţe se numesc echivalente, iar forţa echivalentă a sistemului se numeşte forţă
rezultantă.
Dacă asupra unui corp aflat în stare de echilibru, acţionează un sistem de forţe şi acesta
îşi păstrează starea, atunci sistemul de forţe se numeşte echilibrat sau echivalent cu zero.
Din punct de vedere vectorial, forţa poate fi reprezentată prin vectori alunecători sau
vectori legaţi în dependenţă de caz şi nu poate fi reprezentată nicicând prin vectori liberi.
Dacă asupra unui corp material acţionează un sistem format din două forţe cu aceeaşi
direcţie, modul, dar sensuri opuse, atunci obţinem:
021 FF
; 21 FF
Există trei cazuri diferite de acţiune a forţelor 1F
şi 2F
asupra unui rigid (fig.1.1):
- forţele un punct comun de aplicaţie astfel, încât forţele se echilibrează, iar rigidul
rămâne în repaus;
- forţele au suport comun, dar puncte diferite de aplicaţie astfel, încât rigidul se
deformează, părţile lui având o anumită mişcare;
- forţele au suporturi paralele astfel, încât rigidul se roteşte până când ocupă
poziţia din cazul doi.
Fig. 1.1
6
În cazul când forţele sunt aplicate unui corp deformabil, atunci efectul mecanic al forţelor
depinde poziţia punctelor de aplicaţie, iar forţa este prezentată numai printr-un vector legat de
punctul de aplicaţie.
În cazul când forţele sunt aplicate unui corp rigid, fiind egale şi direct opuse în diferite
puncte ale rigidului de pe suport comun, atunci forţa este prezentată printr-un vector alunecător.
Dacă asupra unui rigid acţionează forţe din partea altor corpuri, atunci aceste forţe se
numesc exterioare, iar dacă asupra unui rigid acţionează forţe din partea altor puncte ale
aceluiaşi rigid, atunci aceste forţe se numesc interioare.
1.1.2. Legile fundamentale ale mecanicii teoretice. a) Legea întâi (principiul inerţiei). Orice punct material izolat se află în stare de repaus
ori de mişcare rectilinie uniformă, până când asupra lui nu vor acţiona alte forţe.
b) Legea a doua (principiul acţiunii). Raportul dintr greutatea corpului P şi acceleraţia în cădere liberă în orice punct pe suprafaţa
Pământului g este o mărime constantă pentru corpul considerat:
mg
P , (1.1)
unde, mărimea m este masa grea sau masa gravifică.
Dacă asupra unui corp acţionează forţa de greutate P cu acceleraţia g şi forţa F cu
acceleraţia a, atunci avem:
a
F
g
P , (1.2)
ag
PF , (1.3)
maF . (1.4)
unde, mărimea m este masă inertă. S-a determinat că masa gravifică coincide cu masa
inertă a corpului.
Ca mărime vectorială, se utilizează produsul dintre masă şi viteza punctului material,
numit cantitate de mişcare a punctului sau impuls ( q
).
vmq
. (1.5)
Newton a formulat legea a doua în felul următor: Derivata impulsului punctului material în
raport cu timpul este proporţională cu forţa imprimată şi coincide cu ea în direcţie şi sens.
Fvmdt
d )( , (1.6)
Fdt
vdm
, (1.7)
Fam
. (1.8)
Forţa imprimată este egală cu produsul dintre masa şi acceleraţia punctului material.
c) Legea a treia (principiul egalităţii acţiunii şi reacţiunii). Când două corpuri
materiale interacţionează, acţiunea şi reacţiunea sunt egale şi direct opuse.
7
Fie două puncte M1 şi M2 astfel, încât punctul M1 acţionează asupra punctului M2 cu forţa
2F
, iar punctul M2 acţionează asupra punctului M1 cu forţa 1F
(fig.1.2), obţinem;
Fig. 1.2
21 FF
.
Acest principiu se referă şi la corpurile materiale situate la distanţă unul faţă de altul.
Dacă forţele de acţiune şi reacţiune sunt aplicate în punctele sau suprafeţele de contact în
cazul a două corpuri, care acţionează reciproc prin contact nemijlocit, se numesc forţe de
suprafaţă.
În cazul a două corpuri, care se află la distanţă, forţele de acţiune reciprocă se numesc forţe
de volum sau de masă.
Când două corpuri interacţionează, raportul maselor lor este invers proporţional cu
modulele acceleraţiilor respective:
1
2
2
1
a
a
m
m .
1.1.3. Legea despre acţiunea independentă a forţelor. Paralelogramul de
forţe. Legea despre acţiunea independentă a forţelor se formulează: Într-un sistem de puncte
materiale, fiecare din forţe aplicată unui punct material nu depinde de acţiunea altor forţe ale
sistemului.
Rezultă că, dacă asupra unui punct material acţionează simultan un sistem de forţe, atunci
fiecare forţă în parte impune punctului material o anumită acceleraţie. Acceleraţia rezultantă se
determină prin însumarea vectorială a acceleraţiilor comunicate de fiecare forţă aparte.
Astfel, se poate formula axioma paralelogramului: Două forţe aplicate într-un punct al
corpului au rezultanta aplicată în acelaşi punct şi egală cu diagonala paralelogramului,
construit pe aceste forţe, ca pe laturi (fig.1.3).
RFF
21 . (1.10)
Modulul rezultantei se poate determina prin
egalitatea: Fig.1.3
cos2 21
2
2
2
1 FFFFR , (1.11)
unde, α este unghiul dintre forţele 1F
şi 2F
.
1.1.4. Legăturile şi forţele de legătură. Dacă mişcarea unui rigid este limitată de alte corpuri, atunci acest rigid este supus la
legături, iar forţele de acţiune ale legăturilor asupra rigidului se numesc forţe de legături sau
reacţiuni.
Axioma eliberării de legaturi se defineţte astfel: dacă acţiunea legăturilor se înlocuieşte cu
forţe de legătură, atunci solidul supus legăturii imaginar poate fi considerat corp liber.
Există două tipuri de forţe: forţe pasive, care nu pot impune mişcare solidului, şi forţe
active, care tind să deplaseze rigidul.
Tipurile de legături cel mai des întâlnite sunt:
1. Reazemul simplu obligă un punct material sau un punct al solidului rigid să se găsească
pe o suprafaţă, acesta având un grad de libertate.
8
2. Articulaţia sferică fixează un punct al rigidului, permiţându-i să se rotească oricum în
jurul acestui punct, având trei grade de libertate. Dacă reprezentăm reacţiunea R
prin
componentele ei pe axele triedrului tridreptunghic, se determină:
222
ZYX RRRR ,
R
RkR
R
RjR
R
RiR ZYX
,cos;,cos;,cos .
3. Articulaţia cilindrică permite rigidului să se rotească în jurul axei cilindrului. Forţa de
legătură R
se determină cu ajutorul celor două componente XR
şi YR
:
22
YX RRR ;
R
RjR
R
RiR YX
,cos;,cos .
4. Legătura de tijă (bară rigidă subţire de greutate neglijabilă, articulată în O şi M). Acest
tip de legătură îi suprimă punctului M al rigidului un grad de libertate şi îl obligă să se afle la
distanţa invariabilă OM faţă de punctul fix, astfel reacţiunea are direcţia MO şi sensul ei depinde
de sistemul de forţe active.
5. Legătura flexibilă (fire şi lanţuri perfect inextensibile). În acest caz, reacţiunile sunt
orientate de-a lungul legăturii în direcţia de la corp spre legătură.
1.2. Echilibrul solidului rigid acţionat de forţe concurente.
1.2.1 Obiectele şi problemele staticii. Statica studiază condiţiile de echilibru ale punctului material, solidului rigid sau ale unui
sistem mecanic.Una din sarcinile importante ale staticii este studiul operaţiilor de transformări
echivalente ale sistemelor de forţe cu scopul reducerii lor la o formă cât mai simplă.
Rezolvarea problemelor depind aranjarea sistemului de forţe în spaţiu.
Există următoarele tipuri de sisteme de forţe:
1. sistem de forţe concurente;
2. sistem de forţe arbitrare;
3. sistem plan de forţe;
4. sistem de forţe paralele.
Orice sistem de forţe conţine atât forţe pasive, cât şi forţe active de legătură. Astfel, se pot
rezolva următoarele tipuri de probleme:
1. Să se determine forţele necunoscute, acţionate de sisteme de forţe active şi de
legătură, dacă se cunoaşte poziţia de achilibru a unui punct material sau rigid;
2. Să se determine parametrii poziţiilor de echilibru, dacă se cunosc toate forţele
active care acţionează asuprapunctului material sau solidului rigid;
3. Să se determine forţele şi caracteristicile necunoscute, dacă se cunosc unele
caracteristici ale poziţiei de echilibru a punctului material sau a solidului rigid şi
unele forţe imprimate.
1.2.2. Reducerea sistemului de forţe concurente la o forţă rezulatantă. Dacă liniile de acţiune ale tuturor forţelor dintr-un sistem se intersecteză într-un punct,
atunci aceste forţe se numesc concurente.
9
Fig. 1.4
Fie dat un sistem de forţe concurente nFFFF
,...,,, 321 aplicat unui solid rigid şi suporturile
tuturor forţelor din sistem se intersectează într-un punct O (fig.1.4 a), iar forţele fiind
reprezentate prin vectori alunecători, acestea pot fi deplasate de-a lungul suporturilor sale până în
punctul de intersecţie O (fig.1.4 b). Pentru a echivala sistemul de forţe dat cu rezultanta lui, se
aplică axioma paralelogramului astfel, încât în sistemul de forţe primele două forţe se reduc la o
rezultantă, care, apoi se reduce cu forţa a treia şi se înlocuieşte cu o rezultantă nouă ş.a.m.d. până
când rămân doar două forţe şi se reduc prin înlocuirea acestora cu rezulanta finală.
n
i
iFR1
. (1.12)
Pentru reducerea unui sistem de forţe concurente la o
rezultantă este mai simplu de utilizat construirea
poligonului de forţe, ca în fig.1.5. Pentru determinarea
rezultantei se proiectează forţele pe axele sistemului de
coordonate tridimensional şi rezultă:
Fig. 1.5
n
i
izz
n
i
iyy
n
i
ixx FRFRFR111
,, , (1.13)
222
zyx RRRR , (1.14)
.,cos,,cos,,cosR
RkR
R
RjR
R
RiR zyx
(1.15)
1.2.3. Condiţiile de echilibru ale solidului rigid acţionat de forţe
concurente. Dacă în poligonul de forţe al unui sistem echilibrat, extremitatea ultimei forţe coincide cu
originea primei forţe, atunci se spune că poligonul forţelor este închis. Astfel, în acest caz, avem:
10
0,01
n
i
iFR
. (1.16)
Fig. 1.6
Dacă sumele proiecţiilor tuturor forţelor pe axele sistemului de coordonate tridimensional
Oxyz sunt echivalente cu zero, atunci punctul material sau solidul rigid acţionat de un sistem de
forţe concurente se află în echilibru.
Fie dat un sistem de trei forţe concurente 221 ,, FFF
aplicate unui solid rigid astfel, încât
suporturile forţelor 1F
şi 2F
se intersectează în punctul A (fig.1.6). Fiindcă forţele sunt vectori
alunecători, atunci forţele 1F
şi 2F
pot fi aduse cu originea în punctul de intersecţie al
suporturilor lor, şi conform axiomei paralelogramului, acestea se înlocuiesc cu rezultanta R
.
Datorită faptului, că forţa 3F
este vector alunecător, de asemenea, trece prin punctul A şi rezultă
că se află în acelaşi plan cu forţele 1F
şi 2F
, ceea ce înseamnă că forţele R
şi 3F
se află în
echilibru.
n
i
n
i
iziy
n
i
ix FFF1 11
.0,0,0 (1.17)
Dacă sistemul de forţe concurente se află într-un plan al sistemului de coordonate, atunci
obţinem:
n
i
iy
n
i
ix FF11
.0,0 (1.18)
1.3. Echilibrul solidului rigid acţionat de forţe arbitrare.
1.3.1 Momentul forţei în raport cu un punct. Dacă forţele unui sistem aplicate în diferite puncte ale rigidului au suporturile oricum
aranjate în spaţiu, atunci aceste forţe formează un sistem de forţe arbitrare.
Produsul vectorial dintre vectorul de poziţie r
, dus din punctul O în punctul de aplicaţie al
forţei, şi vectorul forţei F
este momentul forţei F
în raport cu un punct O.
FrFMO
(1.19)
Poziţia suportului în raport cu punctul O se determină cu ajutorul planului, care trece prin
punctul O şi suport, direcţiei suportului, perpendicularei h dusă de la O la suport, numită braţ.
Momentul este un vector cu originea în O şi perpendicular pe planul determinat de punctul O şi
de suportul forţei astfel, încât privind din vârful lui, să se vadă forţa în sens
antiorar (fig.1.7).
Modulul momentului FM
0 este:
.sin hFrFFrFMO
(1.20)
11
Dacă vectorul forţei F
şi vectorul de poziţie r
vor fi proiectaţi pe axele sistemului de
referinţă cu originea în punctul O, atunci momentul se calculează cu ajutorul unui determinant:
zyx
O
FFF
zyx
kji
FM
(1.21)
.kyFxFjxFzFizFyFFM xyzxyzO
(1.22)
rezultă
.
;
;
xyOz
zxOy
yzOx
yFxFM
xFzFM
zFyFM
(1.23)
Astfel,
;222
OzOyOxO MMMFM
(1.24)
.,cos;,cos;,cosO
OzO
O
Oy
O
O
OxO
M
MkM
M
MjM
M
MiM
(1.25)
1.3.2. Momentul forţei în raport cu axa. Produsul dintre modulul proiecţiei forţei şi braţul ei, luat cu semnul corespunzător se
numeşte momentul forţei în raport cu o axă.
hFFM xyxyz , (1.26)
unde, h* este braţul forţei Fxy faţă de punctul O (fig. 1.8).
Dacă corpul se roteşte sub acţiunea forţei Fxy în jurul axei
z în sens antiorar, atunci momentul forţei va avea semn pozitiv,
iar dacă în sens orar, atunci va avea semn negativ.
Calculul momentului forţei în raport cu axa are
următoarele reguli:
1) Să se aleagă pe această axă un punct oarecare şi să se
construiască planul perpendicular pe axă;
2) Să se proiecteze forţa pe acest plan;
3) Să se determine braţul proiecţiei forţei h*.
Fig. 1.8
Momentul forţei în raport cu o axă este egal cu zero în următoarele cazuri:
1) când forţa şi axa sunt paralele;
2) când linia de acţiune a forţei intersectează axa.
Rezultă că momentul forţei în raport cu o axă este egal cu zero, când linia de acţiune a
forței se află în acelaşi plan cu axa.
1.3.3. Momentul cuplului de forţe. Dacă două forţe ale unui sistem au suporturi paralele, acelaşi modul, dar sensuri opuse,
atunci acest sistem se numeşte cuplu de forţe.
Fie un punct arbitrar O al spaţiului şi forţele care formează cuplul F şi F din fig. 1.9.
,FOAFM O ,FOBFM O
12
FOBFOAFMFM OO ,
Deoarece FF , rezultă:
FOBOAFOBFOAFMFM OO
Fig. 1.9
Deoarece BAOBOA , rezultă:
FBAFMFM OO . (1.27)
Deci, suma momentelor forţelor, care alcătuiesc cuplul, nu depinde de poziţia punctului în
raport cu care se calculează momentele. Produsul vectorial FBA se numeşte moment al
cuplului şi-l vom nota cu simbolul FFM , , astfel:
FABFBAFFM , . (1.28)
Momentul cuplului este un vector perpendicular pe planul cuplului şi are modulul egal cu
modulul unei forţe din cuplu şi braţul cuplului, cu sens antiorar. Dacă notăm cu h braţul cuplului,
obţinem
FhFFM , . (1.29)
1.3.4. Reducerea unui sistem de forţe arbitrare. Torsor.
Fie un sistem de forţe arbitrare nFFF ,...,, 21 , în care fiecărei forţe iF îi este echivalentă o
altă forţă iF egală cu ea, având originea într-un centru arbitrar O şi cu momentul cuplului de
forţe egal cu momentul forţei iF . Astfel, se obţine un sistem de forţe
concurente niFF ii ,...,2,1 , cu originea în punctul O, şi un sistem de cupluri de forţe
niFF ii ,...,2,1, de momente:
niFOAFMM iiiOi ,...,2,1 . (1.30)
Acest sistem se reduce la un sistem
compus dintr-un vector rezultant OF şi un
moment de cuplu rezultant OM , astfel:
,11
n
i
i
n
i
iO FFF (1.31)
n
i
n
i
n
i
iiiOiO FOAFMMM1 1 1
. (1.32)
Fig. 1.10
13
Dacă un sistem este compus dintr-o forţă OF şi un cuplu de forţe de moment OM , faţă de
centrul O, având condiţia ca unghiul dintre OF şi OM să nu fie drept, atunci sistemul se numeşte
torsor.
Dacă vectorul rezultant OF şi momentul rezultant OM , atunci sistemul se numeşte torsor
minimal, iar acţiunea lui se determină după regula burghiului.
Există următoarele cazuri:
1. ,0,0 OO MF sistemul se reduce la un torsor veritabil;
2. 0,0 OO MF , rezultanta trece prin centrul de reducere O;
3. ,0,0 OO MF sistemul se reduce la un cuplu de forţe;
4. ,0,0 OO MF sistem echivalent cu zero.
1.3.5. Axa centrală a unui sistem de forţe. Teorema lui Varignon. Dreapta ce trece prin locul geometric al centrelor de reducere, iar torsorul sistemului de
forţe arbitrare este minimal, se numeşte axa centrală a sistemului.
Fie, că unghiul dintre OF şi OM nu este drept. Se va descompune momentul OM în două
componente (fig. 1.11):
OOO MMM , (1.33)
.sin,cos OOOO MMMM (1.34)
Fig. 1.11
Există centrul de reducere O*, unde 0 O
M , iar OOMM * , în acest centru avem un
torsor minimal. Poziţia centrului de reducere O* se determină cu vectorul de poziţie r şi rezultă:
OOOFrMM *
* , (1.35)
OOO MMFr , (1.36)
OO MFr , (1.37)
OFrr , (1.38)
unde, este un parametru scalar.
Teorema lui Varignon: Suma momentelor tuturor forţelor sistemului în raport cu acelaşi
punct reprezintă momentul forţei rezultante a unui sistem de forţe în raport cu un punct.
14
Dacă unghiul α este drept, atunci momentul rezultant OM se anulează şi sistemul de forţe
se reduce la o rezultantă R , astfel se obţine:
n
i
iOO FMRM1
. (1.39)
1.3.6. Forţe distribuite. Forţele, care acţionează pe o unitate de lungime, arie sau volum, se numesc forţe
distribuite şi se caracterizează prin intensitatea q.
,lim0 L
Fq
LL
,lim
0 S
Fq
SS
.lim
0 V
Fq
VV
(1.40)
Unitățile de măsură ale intensităţii sunt N/m, N/m2 şi N/m
3.
Forța rezultantă Q a sistemului de forţe distribuite se determină:
qLLqLqQn
i
i
n
i
i 11
, (1.41)
qSSqSqQn
i
i
n
i
i 11
, (1.42)
qVVqVqQn
i
i
n
i
i 11
. (1.43)
1.3.7. Încastrarea. Legătura, care dă rigidului toate gradele de libertate, se numeşte încastrare (fig. 1.12).
Astfel, în sistem există şase necunoscute scalare: Rx, Ry, Rz, care sunt proiecţiile reacţiunii R pe
axe şi Mx, My, Mz, proiecţiile momentului de reacţiune,
,222
zyx RRRR (1.44)
.222
zyx MMMM (1.45)
Fig. 1.12
1.4. Centrul de greutate.
1.4.1 Noţiuni generale privind centrul de greutate. Centrul sistemului de forţe de greutate se numeşte centru de greutate.
15
Fie un sistem mecanic invariabil cu masa m şi forţa P de puncte materiale cu masele m1,
m2,..., mn şi forţe de greutate P1, P2,..., Pn, astfel Pi = mig (i = 1, 2,..., n), iar P = mg.
Poziţia centrului de greutate se determină cu ajutorul vectorului de poziţie rC şi cu
coordonatele xC, yC şi zC prin relaţiile:
n
i
n
i
iiiiC rmm
rPP
r1 1
11, (1.46)
n
i
iiC xmm
x1
1,
n
i
iiC ymm
y1
1,
n
i
iiC zmm
z1
1. (1.47)
Rigidul poate fi placă subţire curbă sau plană.
Centrul de greutate al plăcii subţiri curbe omogene se determină:
S
C xdSS
x1
, S
C ydSS
y1
, S
C zdSS
z1
. (1.48)
Centrul de greutate al plăcii plane se determină:
xdxdyS
xC
1, ydxdy
SyC
1. (1.49)
Centrul de greutate se poate determina prin două metode:
1.Metoda grupării. Centrele de greutate ale corpului omogen considerat un sistem din mai multe
forme geometrice, se determină:
n
i
iiC VxV
x1
1,
n
i
iiC VyV
y1
1,
n
i
iiC VzV
z1
1, (1.50)
n
i
iiC SxS
x1
1,
n
i
iiC SyS
y1
1,
n
i
iiC SzS
z1
1, (1.51)
n
i
iiC LxL
x1
1,
n
i
iiC LyL
y1
1,
n
i
iiC LzL
z1
1. (1.52)
2.Proprietatea de simetrie. Centrul de greutate se găseţte în plan, pe axă sau în centrul de
simetrie, dacă corpul admite un plan, o axă sau un centru de simetrie.
Fie că centrul de greutate se află în planul de simetrie Oxy şi fiecărei particule Mi de volum
Vi cu coordonatele xi, yi şi zi îi corespunde simetric o altă particulă Mj de volum Vj cu
coordonatele xi, yi şi –zi, avem:
01
1
n
i
iiC VxV
x , 01
1
n
i
iiC VyV
y ,
01
1
n
i
iiC VzV
z . (1.53)
Fig. 1.13
16
Fie că centrul de greutate se află pe axa de simetrie Oz şi fiecărei particule Mi de volum Vi
cu coordonatele xi, yi şi zi îi corespunde simetric o altă particulă Mj de volum Vj cu coordonatele
-xi, -yi şi zi, avem:
01
1
n
i
iiC VxV
x , 01
1
n
i
iiC VyV
y , 01
1
n
i
iiC VzV
z . (1.54)
Fie că centrul de greutate coincide cu originea de coordonate O şi fiecărei particule Mi de
volum Vi cu coordonatele xi, yi şi zi îi corespunde simetric o altă particulă Mj de volum Vj cu
coordonatele -xi, -yi şi -zi, avem:
01
1
n
i
iiC VxV
x , 01
1
n
i
iiC VyV
y , 01
1
n
i
iiC VzV
z . (1.55)
1.4.2. Centrele de greutate ale unor linii, figuri şi corpuri omogene. 1. Centrul de greutate al unui arc de circumferinţă. Centrul de greutate al unui arc de
circumferinţă AB de rază R se determină:
sinRxC . (1.56)
2. Centrul de greutate al ariei triunghiului se găseşte în punctul de intersecţie al
medianelor.
3. Centrul de greutate al ariei sectorului de cerc. Centrul de greutate al ariei sectorului de
cerc AOB de rază R se determină:
sin
3
2 RxC . (1.57)
4. Centrul de greutate al unei calote sferice se determină:
HRxC2
1 , (1.58)
unde, R – raza sferei şi H – înălţimea calotei.
5.Centrul de greutate al volumului piramidei şi conului se determină:
SNSC4
3 , (1.59)
unde, SN – segment ce reprezintă distanţa dintre vârful piramidei sau al conului şi centrul bazei.
6.Centrul de greutate al volumului sectorului sferic se determină:
2
hrxC , (1.60)
unde, R – raza sferei, Rr4
3 - raza calotei de sferă, H – înălţimea calotei sferice de rază R,
Hh4
3 - înălţimea calotei de sferă de rază r.
17
Capitolul 2. Cinematica
Introducere. Cinematica studiază mişcarea mecanică, ceea ce înseamnă schimbarea poziţiei unui corp
faţă de alt corp în timp şi nu se ocupă de cauzele, care produc mişcarea.
În cinematică corpul este considerat corp geometric continuu şi fără masă, ce conţine un
număr infinit de puncte.
Noţiunile de bază ale cinematicii sunt spaţiul şi timpul, unde spaţiul este considerat
euclidian, adică tridimensional, continuu, izotrop, infinit şi omogen, iar timpul absolut, ce nu
depinde de mişcarea sistemului de referinţă. În calcule aceste noţiuni de bază sunt considerate
nelimitate.
Sistemul de puncte rigid, în raport cu care se studiază mişcarea rigidului, se numeşte sistem
de referinţă sau reper, care pot fi sisteme fixe sau mobile.
În cinematică punctul geometric în mişcare se va numi mobil.
2.1. Cinematica punctului.
2.1.1. Traiectoria punctului. Modul natural de definire a mişcării
punctului. Locul geometric al poziţiilor succesive ale unui punct în mişcarea sa în spaţiu se numeşte
traiectoria punctului. Traiectoria poate fi reprezentată printr-o linie continuă şi care depinde de
sistemul de referinţă, în raport cu care se efectuiază mişcarea punctului (fig. 2.1).
Fig. 2.1
Fie punctul M care se deplasează în timp într-un sistem de referinţă Oxyz. Traiectoria
punctului se poate determina prin stabilirea poziţiei mobilului în fiecare moment de timp. Dacă
notăm cu s coordonata punctului, care poate avea valori pozitive sau negative şi pentru
determinarea sensului mişcării, este necesar să alegem pe traiectorie un punct de referinţă, faţă
de care se va analiza mişcarea mobilului. Atunci în dependenţă de timp vom avea:
s = s(t), (2.1)
care reprezintă legea mişcării punctului pe traiectorie sau ecuaţia orară a mişcării, iar modul de
definire al mişcării se numeşte natural sau intrinsec.
18
2.1.2. Vectorul de poziţie. Modul vectorial de definire a mişcării
punctului. Vectorul de poziţie reprezintă vectorul dus din punctul de origine al sistemului de referinţă
spre poziţia mobilului la orice moment. Astfel, poziţia punctului în spaţiu se determină cu
ajutorul vectorului de poziţie r :
trr , (2.2)
care reprezintă legea mişcării punctului în formă vectorială, iar modul de definire al mişcării
punctului se numeşte vectorial.
Modurile de definire, natural şi vectorial, ale mişcării punctului în spaţiu sunt dependente
între ele. Deci, dacă se cunosc s(t) şi tr , obţinem srr .
Dacă descompunem vectorul r în trei componente cu direcţiile axelor de coordonate,
avem:
ktzjtyitxr , (2.3)
unde, kji ,, - versorii axelor de coordonate Ox, Oy şi Oz.
Deoarece vectorul r este o funcţie de timpul t, rezultă:
x = x(t);
y = y(t); (2.4)
z = z(t).
Dieferenţiala coordonatei naturale s va fi:
dtzyxdtdt
dzdt
dt
dydt
dt
dxdzdydxds 2222
2
2
2
2
2
222)(
, (2.5)
unde, punctul deasupra funcţiilor x, y, z înseamnă prima derivată a funcţiilor respective în raport
cu timpul, iar semnul dinaintea rădăcinii reprezintă sensul mişcării punctului.
Legea mişcării se determină prin integrare în limitele t0 = 0 şi timpul curent t:
t
dtzyxts0
222 . (2.6)
2.1.3. Viteza şi acceleraţia punctului. Derivata întâi a vectorului de poziţie în
raport cu timpul reprezintă viteza punctului.
vdt
rdr . (2.7)
Mărimea ce caracterizează rapiditatea
vitezei punctului se numeşte acceleraţia
punctului. Acceleraţia reprezintă prima derivată a
variaţiei vitezei v punctului în intervalul de
timp t , deci: Fig. 2.2
19
va . (2.8)
2.1.4. Cazuri particulare ale mişcării punctului. Există patru cazuri particulare ale mişcării punctului în dependenţă de acceleraţia
tangenţială şi acceleraţia normală.
1. ,0a 0na , punctul realizează o mişcare rectilinie şi uniformă, adică acceleraţia este
egală cu zero, iar viteza este constantă.
2. ,0a 0na , punctul realizează o mişcare neuniformă şi rectilinie pe o traiectorie
curbilinie cu raza de curbură nav /2 infinit de mare.
3. ,0a ,0na punctul realizează o mişcare cu viteză constantă în modul pe o traiectorie
curbilinie cu raza finită.
4. ,0a ,0na punctul realizează o mişcare neuniformă pe o traiectorie curbilinie.
2.1.5. Mişcarea circulară. Traiectoria punctului în mişcarea circulară reprezintă o circumferinţă.
În coordonate cilindrice viteza se determină prin:
ev sau ekv , (2.9)
unde, - viteza unghiulară de rotaţie a vectorului de poziţie
. Dacă v se poate scrie relaţia:
. (2.10)
Fig. 2.3.
Dacă sistemul de coordonate se va roti în jurul axei Oz, vom obţine:
ii , (2.11)
zkjijiji , (2.12)
unde, z - proiecţia vectorului pe axa Oz. În mod analog se pot determina:
zji , yik , xkj . (2.13)
2.2. Cinematica solidului rigid.
2.2.1. Definirea mişcării solidului rigid. Pentru studierea mişcării punctului legat de sistemul de referinţă Axyz se determină poziţia
unui punct oarecare M în orice moment de timp în raport cu sistemul de referinţă fix O1x1y1z1 .
Arr , (2.14)
unde, Ar - vectorul de poziţie al punctului A:
111111 kzjyixr AAAA , (2.15)
20
unde, 111 ,, kji - versorii constanţi al sistemului de referinţă fix. Atunci pot fi determinaţi
versorii sistemului de referinţă mobil:
131211 kajaiai ,
131211 kbjbibj
131211 kcjcick .
unde, a1, a2,...,c3 – cosinusuri directoare.
Condiţiile 0,0,0,1,1,1 222 ikkjjikji dau şase ecuaţii:
12
3
2
2
2
1 aaa ,
12
3
2
2
2
1 bbb ,
12
3
2
2
2
1 ccc , (2.17)
0332211 bababa ,
0332211 cbcbcb ,
0332211 acacac .
Cele trei coordonate ale punctului A în sistemul de referinţă fix şi cele trei cosinusuri
directoare determină poziţia rigidului şi îi dă şase grade de libertate.
2.2.2. Unghiurile lui Euler. Fie dat un punct A, în care îşi au originea două sisteme de coordonate Axyz şi Ax2y2z2.
linia de intersecţie AN a planelor Ax2y2 şi Axy se numeşte linia nodurilor. Unghiul dintre axa
Ax2 şi AN se numeşte precesie, unghiul dintre axa Ax şi AN se numeşte rotaţie proprie şi
unghiul este unghiul cu care trebuie rotită axa Az2 în jurul liniei nodurilor (fig. 2.5).
Coordonatele oricărui punct se pot determina cu ajutorul celor şase coordonate x1, y1, z1,
x2, y2, x3 şi ecuaţiile invariabilităţii distanţelor, care sunt:
2222
ijjijiji dzzyyxx . (2.18)
Fig. 2.5
21
2.2.3. Teorema de bază a cinematicii solidului rigid. Proiecţiile vitezelor a două puncte ale unui rigid în mişcare, situate pe o axă sunt egale
între ele.
AB vv . (2.19)
Fie un rigid în mişcare faţă de un sistem de referinţă fix O1x1y1z1 şi se duce din punctul A
vectorul de modul constant către punctul B, atunci avem:
AB rr , (2.20)
iar prin derivare se obţine:
dt
dvv AB
, (2.21)
unde, BABA vvrr ,,, - vectorii de poziţie şi vitezele punctelor A
şi B. Dacă derivăm 2 , care este constant, rezultă ecuaţia
teoremei de bază a cinematicii rigidului. Fig. 2.6
2.2.4. Distribuţia vitezelor. Poziţia unui punct arbitrar M (fig.2.4) se determină cu ajutorul vectorului de poziţie:
kzjyixrr A . (2.22)
Dacă se derivează această relaţie în raport cu timpul, rezultă:
uvkzjyixvv AA , (2.23)
unde, Av - viteza punctului A faţă de sistemul de referinţă fix. Vectorul u se determină cu
ajutorul proiecţiilor lui pe axele sistemului de referinţă Axyz:
,ikzijyiixiuux
,jkzjjyjixjuuy (2.24)
.kkzkjykixkuuz
Dacă derivăm condiţiile 0,0,0,1,1,1 222 ikkjjikji în raport cu timpul,
rezultă:
,ikzjiyux
,kjzjixuy (2.25)
kjyikxuz .
Se ştie că u , unde - viteza unghiulară a rigidulu, şi se obţine formula pentru
distribuţia vitezelor unui rigid:
Avv . (2.26)
22
2.2.5. Distribuţia acceleraţiilor. Dacă derivăm ecuaţia pentru distribuţia vitezelor se obţine ecuaţia pentru distribuţia
acceleraţiilor:
Aaa , (2.27)
unde, Aa - acceleraţia punctului A şi - acceleraţia unghiulară.
2.2.6. Mişcarea de translaţie. Orice dreaptă dusă în timpul mişcării unui rigid rămâne paralelă cu ea însăţi, se numeşte
mişcare de translaţie a rigidului.
Pe parcursul mişcării de translaţie, versorii kji ,, a sistemului de referinţă sunt constanţi,
adică viteza unghiulară este egală cu zero, deci rezultă că şi acceleraţia unghiulară este
nulă, astfel:
AA aavv , , (2.28)
deoarece 0,0 , atunci:
AB rr , (2.29)
de unde rezultă: 1cxx AB , 2cyy AB , 3czz AB , unde c1, c2, c3 – constantele proiecţiilor
vectorului pe axele de coordonate.
2.2.7. Rotaţia rigidului în jurul axei fixe. Dacă la mişcarea unui rigid, toate punctele situate pe o axă rămân fixate pe ea, atunci
rigidul execută o mişcare de rotăţie în jurul axei fixe.
Astfel, poziţia rigidului, care execută o mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe Oz, este
determinată de unghiul , format de planul Oxz al sistemului de referinţă mobil Oxyz şi planul
Ox1z1 al sistemului de referinţă fix Ox1y1z1, care au origine comună în punctul O. În acest caz
rigidul are doar un grad de libertate.
t , (2.30)
care reprezintă legea mişcării de rotaţie a rigidului.
Viteza de rotaţie se poate determina:
k , (2.31)
unde, are direcţia axei de rotaţie, iar sensul lui fiind dependent de semnul derivatei , adică,
dacă are sens antiorar, are sens pozitiv şi invers.
Acceleraţia de rotaţie se determină cu relaţia:
k . (2.32)
Dacă > 0, se realizează o rotaţie accelerată, iar dacă < 0, se realizează o rotaţie
întârziată.
2.2.8. Rotaţia uniformă.
Dacă viteza unghiulară este constantă, atunci rotaţia este uniformă.
00 ttz , (2.33)
23
care reprezintă legea rotaţiei uniforme a rigidului.
Fiindcă 0 şi 0ttt , se poate scrie valoarea absolută a vitezei unghiulare:
t
z
. (2.34)
2.2.9. Rotaţia uniformă variată.
Dacă acceleraţia unghiulară este constantă, atunci se produce o rotaţie uniform variată.
2
2
000
tttt z
z
, (2.35)
care reprezintă legea rotaţiei uniform variate.
Proiecţia acceleraţiei unghiulare pe axa Oz se poate determina prin relaţia:
ttt
zzzz
0
0 . (2.36)
2.2.10. Turaţia, numărul de rotaţii. Rapiditatea rotaţiei reprezintă turaţia sau frecvenţa de rotaţie n (rot/min sau rot/s).
Deoarece o rotaţie completă corespunde unghiului 2 , avem:
2n . (2.37)
Numărul de rotaţii se notează cu N şi depinde de unghiul de rotaţie :
2N . (2.38)
2.2.11. Mişcarea plan – paralelă. Legea mişcării. Dacă punctele unui rigid, pe tot parcursul mişcării lui, sunt conţinute în plane paralele cu
un plan fix oarecare, atunci mişcarea rigidului se numeşte mişcare plan – paralelă.
În acest caz rigidul are trei grade de libertate, adică poziţia rigidului se determină cu
ajutorul a trei parametri independenţi:
.
;
;
11
11
t
tyy
txx
AA
AA
(2.39)
care reprezintă ecuaţiile mişcării plan – paralelă a unui rigid (legea mişcării).
Dacă se cunosc aceste ecuaţii, se poate determina traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului.
2.2.12. Determinarea traiectoriilor punctelor figurii plane. Traiectoria unui punct ales arbitrar al unei figuri plane se poate determina cu ajutorul
coordonatelor sistemului O1x1y1 . Dacă din relaţiile 11 xx şi 11 yy se elimină se
obţine traiectoria punctului în coordonate carteziene. În acest caz al mişcării plane rigidul are un
grad de libertate.
24
2.2.13. Vitezele punctelor rigidului în mişcarea plană. Fie dat un punct arbitrar M al figurii plane (fig. 2.7), al cărui viteză este:
MAAM vvv , (2.40)
unde, Av - viteza unui punct oarecare A al figurii,
kvMA - viteza punctului M al figurii plane,
care se roteşte în jurul punctului A.
Din figura, rezultă AM şi modulul vitezei
AMvMA . Dacă se cunoaşte viteza Av unui punct
oarecare A al figurii plane şi viteza unghiulară z , se
poate determina viteza oricărui punct al figurii date. Fig. 2.7
2.2.14. Centrul instantaneu al vitezelor. Dacă viteza unui punct al figurii plane este nulă, atunci acest punct se numeşte centru
instantaneu al vitezelor.
Fie date două puncte ale figurii plane, A şi P.
Viteza punctului A Av este diferită de zero şi viteza
punctului P se va determina:
PAAP vvv . (2.41)
Vitezele Av şi PAv sunt perpendiculare pe
segmentul AP şi paralele între ele, dar au sensuri
opuse, atunci rezultă APA vAPv în modul.
Dacă doi vectori au mărimi egale, dar sensuri opuse,
atunci însumaţi dau rezultat nul: 0 PAAP vvv .
Deci, rezultă că, viteza punctului P fiind egală cu
zero, punctul P este centrul instantaneu al vitezelor. Fig. 2.8
2.2.15. Determinarea vitezelor punctelor figurii plane cu ajutorul
centrului instantaneu al vitezelor. Dacă poziţia centrului instantaneu şi proiecţia vitezei unghiulare z se cunoaşte, este
posibil să se determine viteza unui punct oarecare M al figurii. Astfel, se uneşte centrul
instantaneu cu punctul M, prin care trece şi perpendiculara PM ca suport al vectorului Mv , a
cărui sens depinde de semnul proiecţiei vitezei unghiulare Z astfel, încât , dacă Z >0, figura se
roteşte în jurul punctului P în sens antiorar, iar dacă z <0, rotaţia are sens orar.
Vitezele punctelor sunt direct proporţionale cu distanţele până la centrul instantaneu al
vitezelor, putându-se determina grafic vitezele punctelor de pe segmentul AN.
2.2.16. Metodele de determinare a poziţiei centrului instantaneu al
vitezelor. a. Centrul instantaneu al vitezelor al unui corp mobil reprezintă punctul de contact dintre
două corpuri, atunci când un corp se rostogoleşte fără alunecare pe suprafaţa altui corp fix.
25
b. Poziţia centrului instantaneu al vitezelor se determină, dacă se cunosc viteza unui punct
oarecare al figurii şi proiecţia vitezei unghiulare z .
c. Centrul instantaneu al vitezelor este determinat de punctul de intersecţie dintre
perpendicularele a două puncte oarecare ale figurii plane, care au direcţii neparalele şi sunt
cunoscute.
d. Centrul instantaneu al vitezelor este determinat de punctul de intersecţie dintre dreapta
dusă prin punctele figurii plane şi dreapta dusă prin extremităţile vectorilor al vitezelor punctelor
respective, a căror modul, direcţie şi sens sunt cunoscute.
e. Poziţia centrului instantaneu al vitezelor va fi determinat de punctul de intersecţie, situat
la infinit, dintre dreapta ce trece prin punctele respective şi dreapta ce trece prin extremităţile
vectorilor al vitezelor, dacă vitezele a două puncte sunt egale.
2.2.17. Acceleraţiile punctelor rigidului în mişcarea plană. Formula acceleraţiei a unui punct oarecare M (fig. 2.9) este:
Fig. 2.9
MAMAAM aaaa , (2.42)
unde, MAa - acceleraţie de rotaţie, care este perpendiculară pe segmentul AM cu sens determinat
de semnul lui z , şi MAa - acceleraţie centripetă orientată spre punctul A şi independentă de
semnul proiecţiei z .
Modulele acceleraţiilor MAa şi
MAa se determină:
AMaMA ; 2 AMaMA . (2.43)
Rezultă:
42 AMaMA . (2.44)
2.2.18. Mişcarea solidului rigid cu un punct fix.
a. Distribuţia vitezelor.
Fie un punct fix O al unui rigid, care are viteza Ov egală cu zero şi de care este legat un
sistem de coordonate Oxyz cu originea în acest punct. Acest sistem determină poziţia punctului
O faţă de sistemul de coordonate imobil Ox1y1z1. Atunci viteza unui punct oarecare M va fi:
rv . (2.45)
26
Dreapta, care trece prin toate punctele rigidului, ce au viteze nule în momentul dat, se
numeşte axă instantanee de rotaţie sau axă instantanee a vitezelor. Această axă este determinată
de următoarele ecuaţii:
.zyx
zyx (2.46)
Deoarece viteza unghiulară este orientată de-a lungul axei instantanee de rotaţie, atunci
rezultă că vitezele punctelor unui rigid cu un punct fix sunt distribuite ca vitezele punctelor unui
rigid, ce execută o mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe, care coincide în momentul dat cu
axa instantanee de rotaţie.
Locul geometric al axelor instantanee a vitezelor, care sunt construite într-un reper mobil se
numeşte con polodic, iar locul geometric al axelor instantanee a vitezelor construite într-un reper
fix se numeşte con herpolodic. Aceste conuri au ca generatoare comună axa instantanee de
rotaţie, iar în timpul mişcării conul polodic se rostogoleşte fără alunecare pe conul herpolodic.
b. Distribuţia acceleraţiilor.
Ţinând cont că acceleraţia punctului fix O Oa al unui rigid este egală cu zero, acceleraţia
punctului M va fi:
rra (2.47)
sau
aaa , (2.48)
unde, a - acceleraţie de rotaţie şi a - acceleraţie axipetă.
Deoarece direcţia acceleraţiei unghiulare nu coincide cu direcţia vitezei unghiulare ,
acceleraţiile punctelor unui rigid cu un punct fix nu sunt distribuite ca acceleraţiile punctelor
unui rigid ce execută o mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe. Acceleraţiile sunt distribuite
astfel, fiindcă în cazul unui rigid cu un punct fix acceleraţia unghiulară are două componente: 1
orientată de-a lungul vectorului şi 2 perpendiculară pe vectorul :
21 sau 2
2
2
1 . (2.49)
2.3. Cinematica mişcării relative a punctului.
2.3.1. Generalităţi. Definiţii. Mişcarea unui punct oarecare faţă de un reper fix se numeşte mişcare absolută. Mişcarea
unui punct oarecare faţă de un reper mobil se numeşte mişcare relativă. Mişcarea unui reper
mobil faţă de un reper fix se numeşte mişcare de transport.
Viteza şi acceleraţia unui punct oarecare faţă de un reper fix se numesc viteză absolută v şi
acceleraţie absolută a . Viteza şi acceleraţia unui punct oarecare faţă de un reper mobil se
numesc viteză relativă rv şi acceleraţie relativă ra . Viteza şi acceleraţia reperului mobil faţă de
reperul fix se numesc viteză de transport tv şi acceleraţie de transport ta .
2.3.2. Derivata absolută şi derivata relativă a unui vector.
Fie un vector u în funcţie timpul t al unui reper mobil determinat de proiecţiile lui pe acest
sistem:
27
kujuiuu zyx , (2.50)
unde, kji ,, - versorii axelor reperului mobil.
Derivata vectorului u în funcţie de timp într-un reper fix se numeşte derivată absolută dt
ud:
kujuiukujuiudt
udzyxzyx , (2.51)
unde, versorii kji ,, - mărimi variabile.
Derivata vectorului u în funcţie de timp într-un reper mobil se numeşte derivată relativă dt
ud~
:
kujuiudt
udzyx
~
, (2.52)
unde, versorii kji ,, - mărimi constante. Deci:
udt
ud
dt
udt
~
. (2.53)
Rezultă că derivata absolută a unui vector reprezintă suma dintre derivata relativă a
aceluiaşi vector şi produsul vectorial dintre viteza unghiulară de transport şi vectorul respectiv.
2.3.3. Compunerea vitezelor. Suma vitezei de transport şi vitezei relative reprezintă viteza absolută a unui punct
oarecare şi se determină cu relaţia:
rt vvv , (2.54)
unde, rv - viteza absolută a punctului M, tAt vv - viteza de transport ( Av - viteza
originii A a reperului mobil), dt
dvr
~
- viteza relativă a aceluiaşi punct r .
2.3.4. Compunerea acceleraţiilor. Teorema lui Coriolis: suma acceleraţiei de transport, acceleraţiei relative şi acceleraţiei
Coriolis reprezintă acceleraţia absolută a unui punct oarecare şi se determină cu relaţia:
Crt aaaa , (2.55)
unde, va - acceleraţia absolută a punctului M, tttAt aa - acceleraţia de
transport, dt
vda r
r
~
- acceleraţia relativă a aceluiaşi punct, rtC va 2 - acceleraţia Coriolis.
28
2.3.5. Cauzele apariţiei acceleraţiei Coriolis. Mişcarea absolută reprezintă mişcarea rezultantă a mişcării relative şi a mişcării de
transport. Astfel, viteza rezultantă este suma a două viteze, însă această afirmaţie nu se referă la
accelaraţii.
Acceleraţia Coriolis depinde de rotaţia de transport şi de mişcarea relativă, şi invers. Chiar
dacă reperul mobil este constant, vectorul rtr vv şi are derivata absolută diferită de zero, iar
componenta vitezei de transport t ,datorită mişcării relative, într-un moment dat va fi egală
cu rt v , provocând o variaţie complementară a acestei viteze. Astfel, acceleraţia totală
Coriolis va fi egală: rtrtrtC vvva 2 .
Capitolul 3. Dinamica.
3.1. Dinamica punctului material liber.
3.1.1. Obiectul de studiu al dinemicii. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării
punctului material.
Dinamica este partea mecanicii mecanice, care studiază mişcarea punctului (rigidului)
material sub acţiunea forţelor.
Există două probleme de bază ale dinamicii:
a. Să se determine forţele ce acţionează asupra punctului (corpului) material, dacă se
cunoaşte mişcarea lui mecanică.
b. Să se determine mişcarea punctului (corpului) material, dacă se cunosc forţele care îl
acţionează.
La rezolvarea acestor probleme se utilizează ecuaţia fundamentală a dinamicii (legea a
doua a lui Newton):
rmamF , (3.1)
pe care, dacă o proiectăm pe axele sistemului de coordonate carteziene, obţinem ecuaţiile
diferenţiale ale mişcării punctului material:
xFxm ,
yFym , (3.2)
zFzm .
Deoarece forţa F depinde de timp, de vectorul de poziţie şi de viteza punctului, obţinem:
vrtFF ,, , (3.3)
pe care dacă o proiectăm pe axele de coordonate, rezultă:
zyxzyxtFF xx ,,,,,, ,
zyxzyxtFF yy ,,,,,, , (3.4)
zyxzyxtFF zz ,,,,,, .
29
3.1.2. Rezolvarea problemelor dinamicii punctului material liber. a. Rezolvarea problemei întâi a dinamicii punctului material. Să se determine forţa ce
acţionează asupra punctului material, dacă se cunoaşte mişcarea lui mecanică.
Pentru rezolvarea problemei determină proiecţiile forţei necunoscute pe axele de
coordonate cu ajutorul derivatelor de ordinul doi ale funcţiilor x(t), y(t), z(t), după care se găseşte
forţa cu relaţia:
kFjFiFF zyx ,
222
zyx FFFF ,
F
FkF
F
FjF
F
FiF zyx ,cos,,cos,,cos .
b. Rezolvarea problemei a doua a dinamicii punctului material. Să se determine mişcarea
punctului material, dacă se cunosc forţele care îl acţionează.
Pentru rezolvarea problemei se integrează sistemul de ecuaţii diferenţiale şi se obţine o
funcţie dependentă de timp, de coordonate şi de derivatele acestora transformându-se într-o
constantă, numită integrală primă a sistemului de ecuaţii diferenţiale:
zyxzyxtFxm x ,,,,,, ,
zyxzyxtFym y ,,,,,, , (3.5)
zyxzyxtFzm z ,,,,,, ,
czyxzyxt ,,,,,, , (3.6)
unde, coordonatele punctului material x, y, z sunt necunoscute şi care urmează a fi determinate,
dacă se integrează acest sistem de ecuaţii:
654321 ,,,,,, cccccctxx ,
654321 ,,,,,, cccccctyy , (3.7)
654321 ,,,,,, cccccctzz .
Pentru determinarea proiecţiilor vitezelor se derivează în raport cu timpul sistemul de
ecuaţii obţinut:
654321 ,,,,,, cccccctxx ,
654321 ,,,,,, cccccctyy , (3.8)
654321 ,,,,,, cccccctzz .
Dacă se rezolvă acest sistem de ecuaţii în condiţii iniţiale ;0t ,0xx ,0yy 0zz ;
0xx , 0yy , 0zz ; se obţin constantele de integrare:
6,...,2,1,,,,,, 000000 izyxzyxtc ii . (3.9)
Dacă se înlocuiesc constantele de integrare cu valorile lor, se obţin legile mişcării punctului
material acţionat de forţe cunoscute în condiţii iniţiale:
0000001 ,,,,,, zyxzyxtxx ,
0000002 ,,,,,, zyxzyxtyy , (3.10)
0000003 ,,,,,, zyxzyxtzz .
30
3.1.3. Mişcarea punctului material în câmpul omogen al forţei de
greutate. Fie un punt material cu masă m , care se mişcă în apropierea suprafeţei Terrei. Astfel, în
momentul iniţial t=0, poziţia punctului material este determinată de originea sistemului de
coordonate ales Oxyz şi are viteza v0 sub un unghi α faţă de orizontală.
Mişcarea punctului în planul Oxz va fi determinată de ecuaţiile diferenţiale:
gzx ,0 . (3.11)
Dacă integrăm aceste ecuaţii şi în
condiţii iniţiale ,0t cos00 vv x ,
sin00 vv z , constantele de integrare
,cos01 vc sin02 vc , atunci avem:
Fig. 3.1 sin,cos 00 vgtzvx . (3.12)
Dacă mai integrăm şi momentul inițial c3=0, c4=0, se obţine legea mişcării punctului
material în câmpul omogen al forţei de greutate:
,cos0 tvx 2
02
1sin gttvz . (3.13)
3.2. Dinamica mişcării relative a punctului material.
3.2.1. Ecuaţia fundamentală a mişcării relative. În acest caz mişcarea punctului material se analizează în raport cu repere mobile, unde
legea a doua alui Newton nu se confirmă. Conform teoremei compunerii acceleraţiei
Crt aaaa
se determină ecuaţia fundamentală a mşcării a punctului material în raport cu repere mobile:
Ctr amamRFam sau Ctr RFam , (3.14)
unde, F - rezultanta forţelor active, R - rezultanta forţelor de legătură, ra - acceleraţia relativă,
ta - acceleraţia de transport, Ca - acceleraţia Coriolis, t - forţa de inerţie de transport, C -
forţa de inerţie Corolis.
Deci, dacă în ecuaţia legii a doua a lui Newton, forţelor active şi de legătură se adaugă
forţele de inerţie de transport şi Coriolis, se obţine ecuaţia mişcării punctului material faţă de
un reper mobil.
Dacă un reper mobil execută o mişcare de translaţie rectilinie şi uniformă faţă de un reper
fix, atunci forţele de inerţie de transport şi Coriolis se egalează cu zero, iar ecuaţia fundamentală
corespunde legii a doua a lui Newton şi reperul se numeşte inerţial:
ramF . (3.15)
31
3.2.2. Echilibrul relativ. Greutatea punctului material. Pentru determinarea stării de repaus a unui corp material faţă de un reper mobil, se
utilizează ecuţia echilibrului relativ al punctului material:
0 tRF . (3.16)
Dacă considerăm un punct material, un corp
oarecare în repaus relativ pe suprafaţa Terrei, că in
fig., se obţine relaţia:
tFPR . (3.17)
Întru cât, forţa de greutate a punctului material
P şi forţa de atracţie a Terrei F variază din cauza
forţei centrifuge t .
Fig. 3.2
Astfel, la poli mgFP şi în latitudinea mgP , unde g – acceleraţia greutăţii şi g*-
acceleraţia imprimată punctului material de forţa F .
Dacă se proiectează ecuaţia după rază, se poate determina acceleraţia greutăţii:
2
2
cos1g
rgg .
Conform calculelor efectuate r = 6378·103m, ω = 0,726·10
-4rad/s, g
* = 9,8m/s
2 s-a
determinat acceleraţia variază de la poli, unde este maximă gpol = g* = 9,831m/s
2, la ecuator,
unde este minimă 2
2/781,9
17
11 smggec
. Această variaţie există, din cauza că Terra este
turtită la poli.
3.2.3. Mişcările relative pe suprafaţa Pământului. Când un punct material execută o mişcare relativă pe suprafaţa Pământului, se evidenţiază
acţiunea forţei Coriolis:
rC vm 2 . (3.18)
Din această cauză mişcarea corpurilor spre pol deviază spre este şi mişcarea corpurilor spre
ecuator din emisfera nordică deviază spre vest, iar mişcarea corpurilor din emisfera sudică
deviază spre stânga mişcării. Mişcarea punctelor de pe ecuator nu deviază faţă de mşcarea lor pe
meridian, fiindcă la ecuator vectorii şi rv sunt coliniari. În cădere liberă punctele materiale
deviază spre est. Dacă un corp oarecare execută o mişcare pe linia ecuatorului de la est spre vest
devine mai greu, iar dacă se mişcă de la vest spre est devine mai uşor.
32
3.2. Dinamica sistemelor de puncte materiale.
3.3.1. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării unui sistem de puncte materiale. Fie un sistem de n puncte materiale M1, M2,...,Mn cu masele m1, m2,...,mn. Dacă se cunosc
forţele interioare iiF şi forţele exterioare e
iF , se determină ecuaţia diferenţială a mişcării
sistemului:
,e
i
i
iii FFrm i=1,2,...,n. (3.19)
Dacă se proiectează această ecuaţie pe axele sistemului de coordonate se obţin trei ecuaţii
diferenţiale de ordinul doi:
,e
ix
i
ixii FFxm
,e
iy
i
iyii FFym (3.20)
.e
iz
i
izii FFzm
3.3.2. Problema celor două corpuri. Dacă între două corpuri acţionează forţa gravitaţiei universale şi forţele exterioare sunt
neglijate, atunci se obţine problema celor două corpuri. Fie două puncte materiale M1 şi M2, ca în
fig. 3.3. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării lor sunt:
r
r
r
mmGrm
2
2111 ;
,2
2122
r
r
r
mmGrm (3.21)
unde, 12 rrr este distanţa dintre aceste două
puncte, rezultă: Fig. 3.3
.022112
2
rmrmdt
d (3.22)
Dacă se introduce în relaţie vectorul de poziţie al centrului maselor Cr , se obţine:
0CC vv .
Rezultă că centrul maselor se mişcă rectiliniu şi uniform.
3.3.3. Ecuaţia diferenţială a mişcării centrului maselor sistemului de
puncte. Mişcarea centrului maselor unui sistem de puncte materiale se defineşte ca mişcarea unui
punct material în care este concentrată toată masa sistemului şi este acţionat forţa egală cu
suma tuturor forţelor exterioare ce acţionează sistemul.
Miscarea centrului maselor este determinată de ecuaţia diferenţială:
e
C FrM , (3.23)
33
unde, M – masa totală a sistemului, CC ar - acceleraţia centrului maselor sistemului, eF -
rezultanta forţelor exterioare.
Dacă suma forţelor exterioare, care acţionează asupra sistemului de puncte materiale, este
egală cu zero, atunci viteza centrului maselor sistemului este constantă, iar dacă viteza iniţială a
centrului maselor sistemului este nulă, atunci centrul maselor este imobil.
3.3. Teorema impulsului sistemului de puncte materiale.
3.4.1. Impulsul sistemului de puncte materiale. Pentru determinarea impulsului unui sistem de puncte materiale este necesar să se cunoască
masa sistemului şi viteza centrului maselor lui:
CvMQ , (3.24)
unde,
n
i
imM1
- masa sistemului de puncte materiale, CC rv - viteza centrului maselor
sistemului.
3.4.2. Teorema impulsului unui sistem de puncte materiale. Teorema impulsului unui sistem de puncte materiale: suma forţelor exterioare aplicate
unui sistem de puncte materiale reprezintă prima derivată a impulsului sistemului în raport cu
timpul.
dt
QdF e . (3.25)
Teorema impulsului poate fi reprezentată şi sub formă de integrală în limitele de la t0 până
la t , numită impulsul forţei eF în intervalul de timp t , unde 0ttt :
t
t
e dtFtQtQ
0
0 . (3.26)
3.4.3. Legea conservării impulsului. Impulsul unui sistem de puncte materiale este o mărime constantă, dacă rezultanta forţelor
exterioare, care acţionează asupra sistemului, este egală cu zero:
0QQ . (3.27)
Dacă se proiectează această relaţie pe axele sistemului de coordonate rectangulare se obţin
trei integrale:
;1CQx CQy ;2 .3CQz (3.28)
3.4.4. Dinamica unui corp de masă variabilă. Dinamica unui corp cu masă variabilă studiază tipul de mişcare în timpul căreea masa
corpului variază şi se determină cu ecuaţia generalizată a lui Merşcerski:
2
21
1 udt
dmu
dt
dmF
dt
vdm e , (3.29)
34
unde, eF - rezultanta forţelor exterioare, 11 u
dt
dmP - propulsia ejecţiei particulelor fine de masă
(-dm1) şi 22 u
dt
dm- forţa de frânare produsă de captarea particulelor fine de masă dm2. Corpul
execută o mişcare de translaţie.
3.4.5. Formula lui Ţiolkovski. Formula lui Ţiolkovski este:
f
em
muvv 0
0 ln . (3.30)
Dacă considerăm această relaţie în cazul unui tip de transport în mişcare, atunci mf – masa
finală a transportului considerată fără combustibil, m0 – masa iniţială, viteza ue depinde de tipul
combustibulului, zm
m
f
0 - numărul lui Ţiolkovki, de unde rezultă:
zuvv e ln0 . (3.31)
3.4.6. Teorema impulsului în cazul mediului continuu. Teorema lui Euler. Teorema lui Euler enunţă: suma debitelor de impuls pe secundă ale mediului unui volum
oarecare ,a rezultantei forţelor superficiale şi a rezultantei forţelor masice este nulă.
Această teoremă este exprimată prin următoarea relaţie:
0~~21 VS FFvmvm , (3.32)
unde, m~ - debitul masic pe secundă, 1~vm şi 2
~vm - debitele de impuls pe secundă, SF - rezultanta
forţelor superficiale, VF - rezultanta forţelor masice.
Teorema impulsului în cazul mediului continuu este exprimată prin ecuaţia:
VS FFvvm 12~ . (3.33)
3.4. Teorema momentului cinetic al sistemului de puncte materiale.
3.5.1. Momentul cinetic al sistemului de puncte materiale faţă de un
punct şi faţă de axe. Toate momentele impulsurilor ale tuturor punctelor materiale ale unui sistem în raport cu
originea O, fiind însumate, reprezintă momentul cinetic al sistemului:
ii
n
i
iO vmrL 1
. (3.34)
Dacă se proiectează momentul cinetic al sistemului pe axele sistemului de coordonate, se
obţine momentul cinetic faţă de axe:
n
i
iyiiziix vzvymL1
;
n
i
iziixiiy vxvzmL1
; (3.35)
35
n
i
ixiiyiiz vyvxmL1
.
3.5.2. Momentul cinetic al rigidului având o rotaţie în jurul unei axe fixe. Fie dat cazul din fig. 3.4, unde punctul Mi al unui rigid, considerat sistem de n puncte
materiale, execută o mişcare de rotaţie în jurul axei Oz. În acest caz momentul de inerţie faţă de
axa Oz va fi:
z
n
i
iiz RmL
1
2 , (3.36)
unde, 222
iii yxR - raza traiectoriei curbilinii formate în
mişcarea puncului Mi, x
n
i
iii
n
i
ii JyxmRm 1
22
1
2 - moment
de inerţie axial al sistemului de puncte materiale, rezultă:
zzz JL . (3.37)
Există câteva cazuri particulare pentru corpuri omogene,
unde momentul de inerţie axial este, pentru: Fig. 3.4
1. Cilindru omogen de rază R şi de masă m: 2
2mRJ z ;
2. Placă circulară fină de masă m şi de rază R: 4
2mRJ z ;
3. Bară subţire omogenă de masă m şi lungime l, când axa Oz trece prin extremitatea
ei: 2
3
1mlJ z ;
4. Bară subţire omogenă de masă m şi lungime l, când axa Oz trece prin centrul
maselor ei: 2
12
1mlJ z ;
5. Sferă omogenă de masă m şi rază R: 2
5
2mRJ z ;
6. Con omogen de masă m şi unde R este raza bazei: 23,0 mRJ z .
3.5.3. Teorema momentului cinetic al sistemului. Teorema momentului cinetic al unui sistem de puncte materiale, enunţă: suma momentelor
forţelor exterioare faţă de un punct fix este egal cu derivata momentului cinetic al aceluiaşi
punct, în raport cu timpul şi se determină cu relaţia:
e
iOO M
dt
Ld. (3.38)
Dacă se proiectează această relaţie pe axele de coordonate, avem:
e
ixx M
dt
dL;
e
iy
yM
dt
dL; (3.39)
36
e
izz M
dt
dL.
3.5.4. Legea conservării momentului cinetic al sistemului de puncte
materiale. Momentul cinetic al sistemului de puncte materiale faţă de punctul O are o valoare
constantă, dacă suma momentelor forţelor exterioare faţă de acelaşi punct este nulă, deci:
.constLO (3.40)
Dacă momentul cinetic al sistemului are o valoare constantă faţă de axa Oz, atunci se
obţine:
CLz . (3.41)
3.5. Teorema energiei cinetice a sistemului de puncte materiale.
3.6.1. Energia cinetică a sistemului de puncte materiale. Energia cinetică a unui sistem de puncte materiale este egală cu suma energiilor ale tuturor
punctelor sistemului şi se exprimă prin relaţia:
n
i
iivmT
1
2
2. (3.42)
3.6.2. Teorema energiei cinetice a sistemului de puncte materiale. Teorema energiei cinetice a sistemului de puncte materiale poate fi reprezenată în formă
diferenţială şi în formă integrală.
Teorema energiei cinetice a sistemului în formă diferenţială enunţă: suma lucrurilor
elementare ale forţelor interioare şi exterioare aplicate unui sistem de puncte materiale este
egală cu diferenţiala energiei cinetice ale sistemului, şi se exprimă cu relaţia:
e
i
i
i dAdAdT , (3.43)
unde, i
idA - suma lucrurilor elementare ale forţelor interioare şi e
idA - suma lucrurilor
elementare ale forţelor exterioare.
Dacă se împarte această relaţie la dt, se obţine:
ie NNdt
dT , (3.44)
unde, N(e)
- suma puterilor tuturor forţelor exterioare şi N(i)
- suma puterilor forţelor de interacţiune
dintre punctele sistemului.
Teorema energiei cinetice a sistemului în formă integrală enunţă: suma lucrurilor forţelor
interioare şi exterioare aplicate sistemului la deplasarea lui din poziţia iniţială în cea finală este
egală cu variaţia energiei cinetice a sistemului în această deplasare şi se exprimă prin relaţia:
n
i
i
i
n
i
e
i AATT11
0 , (3.45)
37
unde, iiA - lucrul forţei interioare şi e
iA - lucrul forţei exterioare.
3.6.3. Calcularea energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale.
Teorema lui König. Energia cinetică a centrului maselor al unui sistem de puncte materiale, în care este
concentrată toată masa sistemului, însumată cu energia cinetică a aceluiaşi centru al maselor în
raport cu un reper fix, a cărui origine coincide cu centrul maselor şi execută o mişcare de
translaţie, este egală cu energia cinetică calculată în raport cu reperul dat, şi se exprimă prin
ecuaţia energiei cinetice a sistemului în mişcare absolută numită relaţia lui König:
r
CC T
MvT
2
2
, (3.46)
unde, r
CT - energia cinetică a sistemului în mişcare faţă de reperul fix.
3.6.4. Energia cinetică a unui rigid în mişcare de translaţie. Toate punctele unui rigid, care execută o mişcare de translaţie, au viteze egale, deci energia
cinetică poate fi exprimată:
2
2
CMvT , (3.47)
unde, vC – viteza centrului maselor rigidului şi M – masa totală a sistemului.
3.6.5. Energia cinetică a unui rigid în mişcare de rotaţie în jurul unei axe
fixe. Dacă un rigid efectuiază o mişcare de rotaţie în jurul axei fixe Oz, atunci energia cinetică a
sistemului va fi:
2
2
zzJT
. (3.48)
3.6.6. Energia cinetică a unui rigid în mişcarea plan-paralelă. Dacă un rigid execută o mişcare plan-paralelă, faţă de reperul fix Cxyz, unde axa Cz trece
prin centrul maselor rigidului şi perpendiculară pe planul în care se mişcă secţiunea rigidului,
atunci energia cinetică a rigidului va fi:
22
22
zCzC JMvT
, (3.49)
unde, JCz – momentul de inerţie al rigidului în raport cu axa Cz.
Dacă se introduce noţiunea de axă instantanee de rotaţie, notată Pz, atunci mişcarea plan-
paralelă a rigidului reprezintă în momentul dat o mişcare de rotaţie în jurul acestei axe şi energia
cinetică a sistemului va fi:
2
2
zPzJT
. (3.50)
38
3.7. Dinamica solidului rigid.
3.7.1. Momentele de inerţie ale solidului rigid. Tensorul de inerţie. Momentele de inerţie axiale ale unui rigid faţă de axele sistemului de coordonate Oxyz
(fig. 3.5), unde dm – masa elementului infinit mic din jurul unui punct dat, hx, hy, hz – lungimile
perpendicularelor trasate din punctul rigidului pe axele de coordonate, se determină cu
integralele:
;2dmhJ xx ;2dmhJ yy
dmhJ zz
2 , (3.51)
Momentele de inerţie centrifugale ale
rigidului, care depind de direcţiile axelor de
coordonate şi de poziţia originii reperului, se
determină cu ajutorul integralelor:
xydmJ xy ; yzdmJ yz ;
zxdmJ zx . (3.52)
Fig. 3.5
Axa, a cărei produse de inerţie cu indicele ei se anulează, se numeşte axă principală de
inerţie a rigidului.
Dacă axa principală de inerţie trece prin centrul maselor al rigidului, se numeşte axă
principală şi centrală de inerţie.
Când se obţine un vector nou b cu proiecţii egale cu funcţiile liniare ale unui vector
oarecare a , acţionat de un operator simbolic, şi matricea J este matricea transformării liniare,
acest operator se numeşte tensor de inerţie. Atunci vectorul b - vector-funcţie liniară a vectorului
a şi operaţia de transformare – operaţie de înmulţire a vectorului a cu tensorul J, astfel rezultă:
Jab , (3.53)
unde
zzyzx
yzyyx
xzxyx
JJJ
JJJ
JJJ
J . (3.54)
Momentele de inerţie planare ale rigidului se determină prin integralele:
;2dmzJOxy ;2dmyJOzx .2dmxJOyz (3.55)
Momentul de inerţie polar se determină prin integrala:
dmzyxJO
222 . (3.56)
39
3.7.2. Metoda cinetostatică. Principiul D'Alembert pentru un punct. Principiul lui D'Alembert enunţă: dacă fiecărui punct cu masă mi se aplică forţa de inerţie,
pe lângă forţa iF , atunci forţele obţinute formează echlibrul forţei de legătură şi se determină
cu relaţia:
0 iii RF , (3.57)
unde, iF determină mişcarea punctului Mi sub acţiunea punctului Mi', iR - forţa de legătură
aplicată punctului Mi şi iii am - forţa de inerţie aplicată punctului Mi'.
Pentru rezolvarea problemelor de dinamică pe baza staticii se utilizează metoda
cinetostatică, care se bazează pe principiul D'Alembert.
Când forţele de inerţie ale sistemului material în mişcare se reduc în originea sistemului de
coordonate la un vector rezultant şi la un vector moment rezultant, se obţine:
n
i
n
i
CiiiO amam1 1
, (3.58)
n
i
n
i
iiiiiO amrrM1 1
, (3.59)
unde, Ca - acceleraţia centrului maselor al sistemului material.
Când sistemul material se află în condiţii de echilibru fictiv, avem:
,0 OOO RF
.0
O
R
O
F
O MMM (3.60)
Dacă se proiectează aceste ecuaţii pe axele de coordonate ale reperului, rezultă ecuaţiile
cinetostaticii:
,0 OXOXOX RF
,0 OYOYOY RF
,0 OZOZOZ RF
,0
OX
R
OX
F
OX MMM (3.61)
,0
OY
R
OY
F
OY MMM
.0
OZ
R
OZ
F
OZ MMM
3.8. Oscilaţiile unui sistem cu un grad de libertate.
3.8.1. Oscilaţiile libere. Când un sistem material se află în echilibru, energia potenţială a sistemului V(q1,...,qs) va fi
determinată prin:
.,...,2,1,0 sjq
V
j
(3.62)
Când sistemul material are un grad de libertate, condiţia de stabilitate este:
40
0
2
2
V> 0. (3.63)
Astfel, în vecinătatea poziţiei de echilibru stabil, energia potenţială este:
,2
1 2cqV (3.64)
0
2
2
q
Vc > 0. (3.65)
Energia cinetică a sistemului material se determină prin:
2
2
1qaT . (3.66)
Corelând relaţiile (3.8.3), (3.8.5) cu ecuaţia lui Lagrange pentru un sistem cu un grad de
libertate:
q
V
q
T
q
T
dt
d
, (3.67)
se obţine ecuaţia diferenţială:
02 qkq , (3.68)
care are soluţia:
ktBktAq sincos , (3.69)
unde, A şi B sunt constante determinate de condiţiile iniţiale t0=0, q=q0, 0qq , atunci rezultă:
,sincos 00 kt
k
qktqq
(3.70)
unde, ack / - frecvenţa ciclică, caT /2 -perioada oscilaţiilor ale sistemului material cu
un grad de libertate.
Dacă se corelează funcţia disipativă a lui Rayligh cu ecuaţia lui Lagrange, se obţine:
V
q
T
q
T
dt
d
. (3.71)
Se determină derivatele parţiale:
02 2 qkqnq (3.72)
şi se determină soluţia acestei ecuaţii:
,sincos 11 tkBtkAeq nt (3.73)
unde
22
1 nkk .
3.8.2. Oscilaţiile forţate. Dacă oscilaţiilor libere se adaugă forţa perturbatoare Q(t), se obţin oscilaţiile forţate, unde
Q(t)=Q1sinpt şi n=0, şi se determină prin ecuaţia diferenţială:
41
ptQqkq sin0
2 , (3.75)
unde,
Q0=Q1/a.
Soluţia acestei ecuaţii, a oscilaţiilor forţate de regim permanent, este:
ptDq sin , (3.76)
unde, D reprezintă amplitudinea oscilaţiilor forţate.
Dacă în ecuaţia (3.75) se înlocuieşte cu relaţia (3.76) şi cu ptDpq sin2
1 , după ce se
simplifică cu ptsin , cu condiţia că kp , avem:
,22
0
pk
QD
pt
pk
Qq sin
22
0
. (3.77)
Dacă avem condiţia că 0n , se obţine ecuaţia diferenţială:
ptQqkqnq sin2 0
2 , (3.78)
care are soluţia:
ptDq sin , (3.79)
unde, este coeficientul devierii fazei oscilaţiilor de fază a forţei perturbatoare.
După derivări succesive, se obţin ecuaţiile:
,cos ptDpq ,sin2 ptDpq
care, dacă se înlocuiesc împreună cu relaţia (3.79) şi cu relaţia ptpt , în ecuaţia
(3.78) avem:
.sincoscossin
sincos2sin
0
22
ptptQ
ptDkptnDpptDp
Egalând coeficienţii de lângă ptsin şi ptcos , se obţin următoarele ecuaţii:
cos0
22 QpkD , sin2 0QnDp ,
care au soluţiile următoare:
,
4 22222
0
pnpk
QD
.2
22 pk
nptg
Oscilaţiile forţate se determină cu ecuaţia:
.sin4 2222
0
ptpnpk
Qq (3.80)
42
Bibliografie
1. V. Caraganciu, M. Colpagiu, M. Ţopa "Mecanica teoretică", Chişinău, "Ştiinţa", 1994.
2. Vladimir Caraganciu "Mecanică teoretică", Chişinău, "Tehnica-Info", 2008.
3. N. V. Butenin, I. L. Lunţ, D. R. Merkin "Curs de mecanică teoretică", volumul I, Chişinău,
"Lumina", 1993.
4. A. I. Arcuşa "Mecanica tehnică", Chişinău, "Universitas", 1992.
Top Related