M.E.F. – PRINCIPII DE BAZA
Probleme de fizica aplicata intalnite curent in ingineria civila:
- distributia eforturilor unitare si a deformatiilor specifice in solide elastice - distributia si campului termic - curgerea prin medii poroase (infiltratii)
Toate aceste probleme pot fi rezolvate prin doua abordari:
abordarea diferentiala sau abordarea variationala
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
1
ABORDAREA DIFERENTIALA
0A
)(
.
.
.
)(
)(
)(
2
1
uA
uA
uA
u
n
0B
)(
.
.
.
)(
)(
)(
2
1
uB
uB
uB
u
n
Conditii de margineimpuse
Sistemul de ecuatii diferentialecu derivate partiale
• Ecuatiile diferentiale ce definesc problema sunt cunoscute (date)
• Functia necunoscuta – u = scalar sau vector
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
2
ABORDAREA VARIATIONALA
Functia necunoscuta u este cea care minimizeaza o functionala E (scalar)
D
dx
uuGdD
x
uuFE ,...),(,...),(
cu F si G “operatori”
E = 0 0)()( D
TT duudDuuE BA
Daca E este definita prin sistemul de ecuatii diferentiale A(u) = 0 si de conditiile de margine B(u) = 0, conditia de minim este exprimata prin
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
3
n
iiinna azyxNazyxNazyxNazyxNuu
12211 ),,(),,(...),,(),,(
cu: Ni(x,y,z) - functii de aproximare (functii de forma) ai - parametri independenti.
Solutia aproximativa cautata pentru functia u
• functionala E va fi exprimata numai in functie de parametrii ai
0...22
11
n
n
aa
Ea
a
Ea
a
EE
• conditia de minim va fi satisfacuta daca si numai daca
0
.
.
.2
1
na
E
a
Ea
E
E
a
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
4
MEF se bazeaza pe abordarea variationala, urmand principiile de baza ale metodei Rayleigh-Ritz, cu deosebirea ca domeniul pe care este analizat fenomenul este descompus (prin linii sau suprafete imaginare) in m subdomenii numite elemente finite.
m
eEE1
De ee GdFdDE
x
y (D )
(De )
A(u) = 0B(u) = 0
( )
(e)
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
5
• Functiile de aproximare (de forma) sunt alese astfel incat sa defineasca in mod unic functia necunoscuta u pe fiecare subdomeniu (element finit) De; functiile de aproximare pot fi definite mult mai usor datorita formei simple si a proprietatilor unice ale sub-domeniului (elementului).
• Parametrii ai sunt alesi (atribuiti) astfel incat sa corespunda cu valorile functiei necunoscute u din nodurile discretizarii; astfel, parametrii primesc semnificatia fizica a valorilor nodale ui ale functie necunoscute:
n
iiia uzyxNuu
1
),,(
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
6
ruuku Te
TeE
2
1
unde este matricea de rigiditate globala, corespunzatoare domeniului D;
vectorul incarcarii
u vectorul valorilor nodale ale functie necunoscute (necunoscutele primare); contine toate valorile nodale ale discretizarii.
RuuKuruuku Te
Tm
Te
Tm
eEE 2
1)
2
1(
11
m
e1
kK
m
1
rR
Daca E este quadratica (functia u si derivatele sale apar cel mult la puterea a 2-a), functionala Ee se reduce la forma standard
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
7
0
.
.
.2
1
nu
E
u
Eu
E
E
u0
RKuu
E
;;;111
i
ni
i
ni
n
iii u
y
N
y
uu
x
N
x
uuNu
Minimizarea functionalei E in raport cu functia necunoscuta u
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
8
Concluzii Advantajele aproximarii prin elemente finite:
• domeniul continuu este divizat intr-un numar finit de de subdomenii (elemente); comportarea fiecarui element este definita printr-un numar de parametri ce corespund valorilor nodale ale problemei;
• obtinerea solutiei pentru un sistem fizic complex, ca ansamblu al componentelor sale, urmareste intocmai pasii si regulile aplicate la Metoda Rigiditatii.
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
9
Comparatie cu metoda Rayleyh-Ritz:
• In cazul metodei Rayleyh-Ritz functiile de aproximare au expresii valabile pe tot domeniul, conducand la sisteme de ecuatii simultane cu matrici ale coeficientilor complete. In cazul MEF, functia necunoscuta este definita local, valoarea nodala influentand numai elementele conectate (respectiv vice-versa); astfel, matricea coeficientilor devine o matrice-banda, dezvoltata in lungul diagonalei principale.
• Domenii complexe, fara restrictii privind forma geometrica si omogenitatea, pot fi asamblate din elemente relativ simple.
• Parametrii nedeterminati ai metodei Rayleyh-Ritz (numere) sunt inlocuiti cu valori nodale cu semnificatie fizica (important pentru interpretarea inginereasca).
• Metoda poate fi implementata relativ usor in programe de calcul automat, datorita procedurii standard de definire a caracteristicilor elementelor.
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
10
DISTRIBUTIA EFORTURILOR UNITARE SI A DEFORMATIILOR SPECIFICE IN MEDIUL LINEAR-ELASTIC
Evaluarea campului eforturilor unitare pentru structuri (masive) supuse la incarcari masice, concentrate, distribuite si a unui sistem de legaturi.
Starea de eforturi Tzxyzxyzyx σ
Starea de deformatii Tzxyzxyzyx ε
0
0
0
zzyzxz
yyzyxy
xxzxyx
fyxz
fxxy
fzyx
Echilibrul Navier
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
11
Relatiile deplasare – deformatie specifica
x
ux
y
vy
z
wz
x
v
y
uxy
y
w
z
vyz
z
u
x
wzx
unde u, v, w sunt componentele deplasarii in lungul axelor sistemului de coordonate 3D Cartesian.
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
12
Relatiile deplasare – deformatie specifica in forma matriceala:
d ε
w
v
u
xz
yz
xy
z
y
x
z
u
x
wy
w
z
vx
v
y
uz
wy
vx
u
zx
yz
xy
z
y
x
0
0
0
00
00
00
w
v
u
dvectorul componentelor deplasarii
matrice a operatorilor diferentiali
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
13
Pentru solide elastice (cu comportare linear-elastica a materialului),legea lui Hook generalizata
00 σεεEσ
xy
y
x
σConsiderand cazul particular bidimensional (2D) in conditii de efort plan
yxxx EE
10,
yxyy EE 1
0,
yxxyxy E )1(2
0,
Relatiile lui Hook
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
14
2
100
01
01
1 2
E
ERezulta matricea de elasticitate
- Functia neunoscuta u din A(u) = 0 este vectorul deplasarii d = d(x, y, z)
- Ecuatiile Navier si legea lui Hook reprezinta sistemul de ecuatii diferentiale A(u) = 0.
- Conditiile de margine B(u) = 0 sunt exprimate de incarcarile si legaturile atribuite pe contur.
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
15
ABORDAREA VARIATIONLA
WUddVdVdVdVEV c
TTT
V V
T
V
TT
RδpdfdEεεσεσε 002
1
Energia potentiala totala de deformatie
- primii 3 termeni (in prima paranteza) reprezinta energia de deformatie U datorata eforturilor unitare induse, a eforturilor unitare initiale 0 si a deformatiilor specifice initiale 0;
- ultimii 3 termeni (in cea de-a doua paranteza) reprezinta energia potentiala W a incarcarilor exterioare datorate fortelor masice f, incarcarilor distribuite p si a celor concentrate Rc.
V este volumul domeniului (structurii) si granita pe care se aplica conditiile de margine.
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
16
ECUATIILE IN ELEMENTE FINITE
Structura este separata prin discretizare intr-un numar de elemente finite.
Pe fiecare element, functia deplasare este definita prin inermediul functiilor de aproximare, pe baza deplasarilor nodale, in forma generala:
eii zyxzyx δNδNd ),,(),,(
Exemplu
Aproximare 2D, solid patrulater, 2 GL/nod (numai deplasari)
44332211 ),(),(),(),(),( δNδNδNδNd yxyxyxyxyx
Interpolare lineara → functiile de aproximare Ni(x,y) sunt lineare, deci polinoame de ordinul I.
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
17
),,(
),,(
),,(
),,(
zyxw
zyxv
zyxu
zyxd vectorul componentelor deplasarii
i
i
i
i
w
v
u
δ deplasarile nodului i
2
1 3
4
x
y
),( yxd ),( bxd 1
2
3
4
a
xx )()0,( 121 δδδd
a
xbx )(),( 434 δδδd
4
1
)]0,(),([)0,(),(i
iib
yxbxxyx δNdddd
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
18
Functiile Ni (x,y,z) au fost alese astfel incat, prin inlocuirea coordonatelor, sa rezulte valorile nodale exacte ale deplasarilor (ui pentru coordonatele nodului i s.a.m.d., in timp ce pentru coordonatele oricarui alt nod j functia se anuleaza :
IN ),,( iiii zyx
0NN .....),,(),,( kkkijjji zyxzyx
Cunoscand deplasarile in orice punct in interiorul elementului, deformatiile specifice rezulta
ee BδNδdε
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
unde B – matricea derivatelor functiilor de aproximare.
19
xy
y
x
0
0 x
ux
44332211 uNuNuNuNu
44
33
22
11 u
x
Nu
x
Nu
x
Nu
x
Nx
e
xy
y
x
v
u
v
u
v
u
v
u
x
N
y
N
x
N
y
N
x
N
y
N
x
N
y
Ny
N
y
N
y
N
y
Nx
N
x
N
x
N
x
N
Bδε
4
4
3
3
2
2
1
1
44332211
4321
4321
0000
0000
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
20
Eforturile unitare – pentru un material linear-elastic (se considera deformatii specifice si eforturi unitare initiale nule)
eδBEεEσ
Energia potentiala de deformatie pe element – prin substitutia relatiilor anterioare in expresia functionalei
ddVdVdVdVE TT
eVe
TTeVe
TTeVe
TTeeVe
TTee pNδfNδEεBδ σBδδEBBδ 002
1
Constatari:
- functionala depinde numai de valorile deplasarilor nodale e;
- integralele sunt exprimate in functie de functiile cunoscute N, B si de valorile
cunoscute E, 0, 0, f, p.
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
21
Notatii:
Ve
T dVEBBk
pfTT
eVe
TTeVe
TTeVe
TTe ddVdVdV rrrrpNδfNδEεBδ σBδr 0000
Energia potentiala totala pe element rezulta:
rδkδδ Tee
TeeE
2
1
Energia potentiala totala a structurii se obtine prin sumarea contributiilor fiecarui element finit din discretizare si a fortelor exterioare concentrate (altele decat cele actionand la nivelul elementului):
cT
eEE Rδ
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
22
Considerand vectorul ca vector al tuturor deplasarilor nodale din discretizare:
cT
mT
mTE Rδrδδkδ
112
1
Notatii:
m
1
kK m
c1
RrR
Energia potentiala totala a structurii devine
RδKδδ TTE 2
1
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
23
Ecuatii de echilibru structural
Conditia de minimizare a energiei potentiale totale in raport cu deplasarea:
0,1
nii
E
δ
Ceea ce conduce la: K = R
• K se identifica cu matricea de rigiditate a structurii (matricea de rigiditate globala) si, drept urmare, k este matricea de rigiditate elementala;
• R reprezinta vectorul fortelor nodale, iar vectorul r reprezinta fortele nodale datorate fortelor masice rf, eforturilor initiale r0
, fortelor distribuite
rp, deformatiilor initiale r0 actionand pe fiecare element.
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
24
CONCLUZIE
Aproximarea solutiei prin elemente finite se reduce la o problema de minimizare a energiei potentiale totale de deformatie E, definita in raport cu un numar finit de deplasari nodale. Procedeul conduce la formularea unui set de ecuatii algebrice, ce poate fi rezolvat dupa impunerea conditiilor de margine.
Campul deplasarilor, deformatiilor specifice si al eforturilor unitare (necunoscute secundare):
d = N e
e = B e
e = E B - E 0 + 0
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
25
PP
PP
PP P
P
ph
ph
ph
ph
4
12
3 56
78
PP
PP
PP P
PP
zxy
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
26
CONDITII DE MARGINE
In analize structurale, conditiile de margine se exprima sub forma legaturilor structurii la un mediu considerat infinit rigid (grade de libertate GL suprimate sau impuse).
Matricea K din sistemul global de ecuatii este singulara, astfel incat un numar minim GL trebuie sa anuleze posibilitatea de deplasare ca solid-rigid.
GL blocate (cu valoare nula)
0δ
0
0
0
i
i
i
i
w
v
u
Procedeul este echivalent cu eliminarea (stergerea) din sistemul global de ecuatii a ecuatiilor (liniilor si coloanelor) corespunzatoare nodului i.
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
27
Deplasari impuse (GL atribuite cu valoare ne-nula) 0nδ
Sistemul de ecuatii global se partitioneaza:
n
u
n
u
nnu
unu
R
R
δ
δ
KK
KKRδK
Indicii u and n au semnificatiile u = necunoscut ; n = cunoscut
u – deplasari nodale ce trebuie calculaten – deplasari nodale impuse.
Sistemul de ecuatii se rescrie sub forma
Iar prima ecuatie devine:
ununuu RδKδK
nnnunu RδKδK
*RδKRδK nunuuu
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
28
Artificiu practic:
- coeficientul matriceal diagonal (din K) corespunzator GL in cauza se multiplica cu un numar foarte mare;
- in acelasi timp, termenul liber al ecuatiei este inlocuit prin multiplicarea deplasarii cunoscute cu acelasi numar.
Efectul este de inlocuire a ecuatiei i cu ceea ce indica faptul ca deplasarea pe directia GL respectiv este (aproape) egala cu cea impusa.
ni δKδK
* Echivalent cu conectarea unui resort foarte rigid in nodul i pe directia GL, simultan cu aplicarea unei forte concentrate foarte mari pe directia GL.
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
29
D1
D2
H1
H2
p
z
1
2
3
4
5
6
7
8
D1
D2
zxy
C
C
q
1
2
65
v
Problema consta in determinarea:
- distributiei potentialului hidraulic;
- gradientilor hidraulici;
- debitului infiltrat.
p
zH
12
12
L
HHgradHi
0
z
q
y
q
x
q zyx
INFILTRATII IN REGIM PERMANENT
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
30
z
Hk
y
Hk
x
Hkv xzxyxx
z
Hk
y
Hk
x
Hkv yzyyxy
z
Hk
y
Hk
x
Hkv zzyzxx
gradH
q
q
q
z
y
x
k q
- vx, vy vz componentele vitezei de infiltratie;
- ki permeabilitate.
Prin inlocuirea in ecuatia de continuitate, expresiile fenomenului de infiltratie conduc la forma generala:
0gradHgrad k
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
31
Conditii de margine:
- potential hidraulic impus pe limita H ;
- debit specific (flux) impus pe q
In abordarea variationala, functionala asociata este
HdqdVgradHE
T
Vq
2
1
(primul termen reprezinta energia hidraulica disipata in fenomenul de infiltratie, iar al doilea energia asociata conditiilor de margine).
Potentialul hidraulic H(x, y, z) este exprimat pe baza functiilor de aproximare, pe baza valorilor nodale Hi
882211 ),,(...),,(),,(),,( HzyxNHzyxNHzyxNzyxH
ezyxH NH),,(
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
32
Gradientul hidraulic asociat elementului finit:
eqgradgradH HBNH
Din legea Darcy, debitul specific in functie
eqHkBq
Functionala la nivelul elementului finit
ee
dqdVE TTeV q
Tq
Tee NH - HkBBH
2
1
Prima integrala reprezinta matricea de infiltratie a elementului, in timp ce a doua repezinta vectorul conditiilor de margine:
eV q
Tqs dVkBBk
e
dqTNr
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
33
rHHkH Tees
TeeE
2
1
RHHKHrHHkH Ts
Tm
Tm
sT
m
eeEE
2
1
2
1
111
Pentru intregul domeniu de infiltratie:
Conditia de minim (stationar) conduce la sistemul de ecuatii algebrice
0/,1
niiHE
RHK s
Conditiile de margine (valori impuse ale potentialului hidraulic),
HkHk j
se adauga ecuatiei j .
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
34
Gradientii hidraulici si debitul (necunoscutele secundare) sunt evaluate prin revenire la nivelul elementului
Debitul infiltrat prin fata (latura) unui element este
eS ne dSqQ
q n
z
y
x
zyxn
q
q
q
nnnq
eqnq HB k n
eqeS qee
dSQ HCHB k n
Debitul total infiltrat printr-o sectiune transversala sau suprafata laterala rezulta prin adunarea contributiilor elementale care formeaza acea sectiune (sau suprafata laterala)
METODA ELEMENTELOR FINITE – L3 Catedra de Constructii Hidrotehnice
35
Top Related