1
MECANICA FLUIDELOR
1. INTRODUCERE
Dupa cum si denumirea sugereaza, mecanica fluidelor este una din cele trei ramuri ale
Mecanicii, cea mai veche dintre stiintele fundamentale ale naturii:
1. Mecanica generala studiaza legile universale ale mecanicii si aplicatiile lor la studiul
corpurilor solide rigide;
2. Mecanica solidelor
deformabile
studiaza legile universale ale deformatiilor pe care le sufera corpurile
solide datorita fortelor care actioneaza asupra lor;
3. Mecanica fluidelor are ca obiect studiul fluidelor, precum si interactiunea dintre acestea si
solidele cu care vin n contact.
La rndul ei, mecanica fluidelor se mparte, conventional, n trei mari parti, dupa cum
urmeaza:
3.1 Statica fluidelor studiaza repausul fluidelor si actiunile exercitate de acestea asupra
corpurilor solide cu care vin n contact.
3.2 Cinematica
fluidelor
studiaza miscarea fluidelor, fara a lua n considerare fortele care
determina, sau modifica, starea de miscare.
3.3 Dinamica fluidelor studiaza miscare fluidelor lund n considerare si fortele care
determina sau modifica starea de miscare, precum si transformarile
energetice produse n timpul miscarii.
2. APLICATII ALE MECANICII FLUIDELOR
Principalele aplicatii ale staticii fluidelor constau n:
- studierea instrumentelor de masurare a presiunii fluidelor;
- studierea fortelor hidrostatice cu care fluidele actioneaza asupra corpurilor solide cu
care vin n contact;
- studiul corpurilor plutitoare;
- studiul atmosferei, considerata n repaus.
n general, aplicatiile dinamicii fluidelor se clasifica dupa conditiile la frontiera impuse
miscarii. Astfel, se disting doua mari categorii de aplicatii:
Dinamica fluidelor, externa: studiul curgerii fluidelor n jurul unor corpuri solide, considerate
izolate n interiorul fluidului. Din aceasta categorie fac parte:
- studiul constructiilor supuse actiunii vntului;
- curgerea aerului n jurul vehiculelor aflate n miscare
(trenuri, automobile, avioane etc.);
- Fenomene aerodinamice
- curgerea apei n jurul vehiculelor aflate n miscare n - Fenomene hidrodinamice
2
interiorul acesteia (submarine, vehicule amfibii etc.);
La aceste fenomene se studiaza puterea necesara nvingerii fortelor de rezistenta la
naintare, iar n cazul fenomenelor aerodinamice si forta de sustentatie generata, precum n
exemplul urmator:
G forta de greutate;
P forta de sustentatie (de portanta)
generata de aripa avionului;
T forta de tractiune;
R forta de rezistenta la naintare.
Fig. 1 Principalele forte care actioneaza asupra unui avion n timpul zborului
n cazul miscarilor uniforme, puterea consumata pentru nvingerea fortei de rezistenta la
naintare se poate calcula cu relatia:
aerR vRtxR
tL
P =
== (1.1)
Dinamica fluidelor, interna: miscarea fluidelor este delimitata de frontiere solide: canalizari
nchise, conducte, ai caror pereti sunt n general imobili. Se disting:
- miscarea gazelor n canalizari, conducte;
- miscarea gazelor n masini pneumatice; - Fenomene gazodinamice
- miscarea lichidelor n canalizari, conducte;
- miscarea lichidelor n masini hidraulice; - Fenomene hidraulice
Fig. 2 Aspectul curgerii printr-o conducta de sectiune variabila
Observatie: Pentru toate aceste cazuri se studiaza, nu numai transportul propriu-zis al fluidelor,
ci n special transportul de energie:
- hidraulica, n cazul lichidelor,
- pneumatica, n cazul gazelor,
3
deoarece, exceptie facnd
energia nucleara, aproape toata energia utilizata de omenire este, la un moment
dat, transportata de fluide n miscare:
- energia mecanica a apei, a aerului comprimat sau a vaporilor;
- energia termica a apei calde sau a aburului;
- energia chimica a petrolului (si a derivatelor sale), sau a gazelor combustibile
etc.
3. DEFINITIA FLUIDULUI. PARTICULA FLUIDA
Fizica distinge pentru corpurile materiale, n conditii obisnuite, trei stari, numite si stari de
agregare: solida, lichida, gazoasa.
Observatie: n conditii speciale exista si o a patra stare, numita plasma. Plasma este o substanta
gazoasa, puternic sau complet ionizata, ale carei proprietati sunt determinate de existenta
ionilor si electronilor n stare libera.
Mecanica distinge doua mari categorii de corpuri:
Solide - rigide;
- deformabile;
Fluide - lichide;
- gaze.
Daca un corp solid, n conditii obisnuite, are forma si volum fix, adica distantele dintre
punctele sale puncte ramn constante (sau se modifica foarte putin) sub actiunea unei forte
exterioare, fluidele (lichidele si gazele) pot capata deformatii orict de mari sub actiunea unor forte
relativ mici. Acest lucru este posibil datorita fortelor mici de coeziune dintre moleculele fluidelor.
Astfel:
- lichidele iau forma vaselor care le contin(ca si gazele de altfel), deci nu au forma
proprie, dar au volum constant, ctVlichide = deci si densitate constanta ctlichide =r ;
datorita acestui fapt lichidele se considera ca fiind fluide incompresibile;
- gazele ocupa ntregul volum al recipientelor ce le contin, deci nu au un volum constant,
ctVgaze , n consecinta si densitatea lor este variabila ctgaze r . Asadar pot fi
comprimate. Astfel, gazele se considera ca fiind fluide compresibile.
Aceste proprietati, enuntate anterior, definesc fluiditatea lichidelor si gazelor, adica usurinta
de deplasare a particulelor din care sunt formate, de unde si denumirea generala de fluide.
4
3.1 CONCEPTUL DE MEDIU CONTINUU
n mecanica fluidele sunt considerate si analizate ca fiind medii continue, adica ocupa un
spatiu n care distributia marimilor fizice ce le caracterizeaza (presiune, densitate, temperatura
etc.) este continua, cu exceptia unor puncte, linii sau suprafete, numite si de discontinuitate.
Un astfel de exemplu, de suprafata de discontinuitate, este prezentat n exemplul urmator:
formarea undelor de soc pe aripa unui avion care zboara cu o viteza mai mica dect cea a
sunetului, dar apropiata de aceasta.
Pe suprafata undei de soc viteza particulelor de aer
atinge viteza sunetului: cvaer = (celeritate);
Fenomenul se numeste de trecere a barierei
sonice.
km/h 1228c = (341.1 m/s) la nivelul marii
( mmHg 760paer = ) si temperatura C 15taer = .
Fig. 3 Formarea undei de soc (suprafata de discontinuitate) pe o aripa de avion
Ipoteza generala a continuitatii unui fluid se exprima prin faptul ca n fiecare punct
apartinnd fluidului )z,y,x(P , la orice moment dat t , se pot determina:
- presiune p definita de functia )t,z,y,x(pp = ,
- densitate r definita de functia )t,z,y,x(rr = ,
- temperatura T definita de functia )t,z,y,x(TT = ,
- viteza v definita de functia )t,z,y,x(vv =
si aceste functii sunt continue, deci derivabile.
Practic, cu ct liberul parcurs al moleculelor ce formeaza un fluid (distanta medie dintre
doua ciocniri consecutive intre particulele mediului) este mai mic (numar ct mai mare de molecule
n unitatea de volum), cu att fluidul poate fi considerat un mediu continuu.
5
Exemplu: Marimea liberului parcurs l al moleculelor de aer n functie de altitudine:
Tab. 1.1
H - Altitudine [km] 0 50 100 120 160 180 220
l - Liberul parcurs [m] 8,610-8 7,810-5 9,510-2 1.3 36 100 870
Pentru a aprecia daca un mediu fluid poate fi considerat continuu se calculeaza numarul
Knudsen, Kn (dupa numele fizicianului danez Martin Knudsen, 18711949):
xP
PLKn
DDll
== , (1.2)
unde: l liberul parcurs al particulelor mediului;
L o dimensiune caracteristica fenomenului studiat;
P parametru caracteristic fenomenului studiat;
x
1PP
DD
variatia relativa a parametrului studiat pe unitatea de lungime.
Astfel, se considera ca pentru:
1k n > mediul este considerat rarefiat; se foloseste teoria cinetico-
moleculara.
1k n @ mediul mai pastreaza din caracteristicile mediului continuu, nsa n
anumite regiuni proprietatea se pierde (zone de discontinuitate).
Exemplu:
La curgerea aerului atmosferic n jurul unei aripi de avion, vezi figura 4, lungimea
caracteristica L depinde de viteza cu care se deplaseaza avionul (sau viteza aerului, relativa la
aeronava):
t tx
t vL aer DD
== (1.3)
unde: t intervalul (mediu) de timp n care aripa ntlneste particule de aer, la o viteza
de zbor data; n acest caz t reprezinta parametrul caracteristic fenomenului
de curgere a aerului peste o structura aeromecanica.
Astfel, pentru o aripa de coarda m 1c = (distanta dintre punctele extreme ale profilului aripii), care
se deplaseaza cu viteza s/m 50vavion = , n functie de lungimea caracteristica pe unitatea de timp,
aerul poate fi considerat:
6
mediu omogen daca altitudinea de zbor este km100 H < ;
mediu neomogen pentru altitudini km100 H > (vezi tabelul 1.1).
Fig. 4 Curgerea aerului n jurul unei aripi de avion
3.2 CONCEPTUL DE MEDIU OMOGEN
Un mediu fluid continuu este considerat si omogen daca la o temperatura si presiune,
constante, densitatea sa este constanta.
ctctT ,p == r .
3.2 CONCEPTUL DE MEDIU IZOTROP
Un mediu fluid este considerat izotrop daca prezinta aceleasi proprietati n toate directiile
din jurul unui punct.
Sintetiznd cele enuntate anterior, se poate da urmatoarea definitie pentru fluide:
Definitie: Fluidul se considera ca fiind un mediu continuu, omogen si izotrop, lipsit de forma
proprie, n care, n stare de repaus, pe suprafetele de contact ale diferitelor
particule, se exercita numai eforturi normale*.
* Asupra starii de eforturi ce actioneaza asupra fluidelor se va reveni ulterior (vezi Proprietatile
fluidelor Vscozitatea).
Definitie: Particula fluida este o portiune de fluid, de forma oarecare si de dimensiuni arbitrar
de mici, care pastreaza caracteristicile de mediu continuu si n raport cu care se
studiaza repausul sau miscarea fluidului.
Limita inferioara a dimensiunilor particulei este impusa de conditia neglijarii influentei
miscarilor proprii ale moleculelor, sau a miscarii brown-iene.
Aceasta trebuie sa fie mai mare dect lungimea liberului parcurs molecular.
Limita superioara este determinata de conditiile aplicarii calculului infinitezimal.
Observatie: Omogenitatea si izotropia unui fluid permit ca relatiile stabilite pentru o particula sa fie
valabile pentru ntregul fluid .
7
4. MODELE DE FLUID
Definitie: Prin model de fluid se ntelege o schema simplificata de fluid, acesta fiind
considerat un mediu continuu, caruia i se atribuie principalele proprietati
macroscopice (masurabile) ale fluidului real (compresibil si vscos).
Necesitatea elaborarii unor modele simplificate de studiu ale fenomenelor naturale (reale)
se datoreaza complexitatii miscarii fluidelor. Neglijnd anumite procese secundare fenomenului
real, deci simplificndu-l, devine posibila construirea unui model. Astfel, se pot acceptat modele de
fluid, precum:
- fluid usor: se neglijeaza greutatea proprie; este valabil pentru gaze;
- fluid ideal: lipsit de vscozitate; se neglijeaza efectul fortelor de frecare ce apar
ntre straturile de fluid modelul Euler;
- fluid incompresibil: modelul de fluid la care volumul unei mase determinate nu se
modifica odata cu variatia presiunii; valabil pentru lichide modelul
Pascal;
- fluid newtonian: fluide care se supun legilor mecanicii clasice, newtoniene;
- fluid ne-newtonian: fluide a caror comportament nu se supune legilor mecanicii
newtoniene, precum solutiile coloidale (uleiul de ungere recirculat n
masini contine impuritati n stare de suspensie), materialele
plastice macromoleculare n stare lichida etc.
Comportamentul fluidelor ne-newtoniene constituie obiectul de studiu al stiintei reologiei.
5. METODE DE STUDIU N MECANICA FLUIDELOR
Fiind o stiinta a naturii, mecanica fluidelor foloseste n cercetare att metode teoretice, ct
si metode experimentale, de cele mai multe ori in strnsa colaborare.
Metodele teoretice constau n aplicarea principiilor, legilor si teoremelor mecanicii generale
la studiul repausului si miscarii fluidelor. Acest lucru este posibil prin reprezentarea fluidului ca
mediu continuu.
Metodele experimentale se aplica, fie n scopul stabilirii unor legi generale ale unor
fenomene, a verificarii unor concluzii teoretice, fie ca metoda de rezolvare directa a unor probleme
complexe, ce nu pot fi solutionate pe cale teoretica.
Metodele mixte rezulta prin mbinarea primelor doua.
8
PARAMETRII SI PROPRIETATILE CARE DEFINESC STAREA UNUI FLUID
1. Proprietati fizice comune lichidelor si gazelor
2. Proprietati fizice specifice lichidelor
3. Proprietati fizice specifice gazelor
Definitie O proprietate este o caracteristica a unei materii care este invarianta (constanta)
atunci cnd respectiva materie se afla intr-o anumita stare de echilibru. Conditiile
care determina aceasta stare sunt unice si descrise (caracterizate) de proprietatile
materiei.
1. PROPRIETATI FIZICE COMUNE LICHIDELOR SI GAZELOR 1.1 PRESIUNEA, p
Presiunea este unul din cei mai importanti parametri ce caracterizeaza starea unui fluid.
Prin definitie, presiunea ntr-un fluid n repaus este raportul dintre forta normala si aria suprafetei
pe care se exercita aceasta forta.
ntr-un punct dintr-un fluid n repaus, se defineste ca fiind limita reportului dintre forta
normala si aria suprafetei pe care se exercita aceasta forta, cnd aria tinde catre zero, n jurul
punctului respectiv. Matematic se exprima conform relatiei:
dAdF
AF
limp0A
== D
DD
, (2.1)
n forma diferentiala, sau simplu:
AF
p = (2.2)
Observatie: Daca forta nu ar fi normala (perpendiculara) pe suprafata pe care actioneaza, ar
trebui sa admitem ipoteza existentei unor eforturi tangentiale n fluid, ceea ce ar
contrazice faptul ca acesta este considerat n repaus. De asemenea, ntr-un fluid n
echilibru, presiunea este functie de punctul n care se determina, )z,y,x(MM = , cu
alte cuvinte este o marime scalara.
)t,z,y,x(fp)z,y,x(MM
)t,M(fpM
M =
==
Totodata, pentru un fluid, presiunea poate fi interpretata ca o masura a energiei acestuia pe
unitatea de volum:
9
Volum(Energie) mecanic LucruL
dAdF
AF
p ==
==V
(2.3)
Unitatea de masura n Sistemul International este 2m/N , denumita ncepnd cu 1971 si
Pascal Pa , dupa numele omului de stiinta Blaise Pascal, matematician, fizician, filozof, de origine
franceza (1623 1662).
2m
N1Pa 1 = . (2.4)
Deoarece aceasta este o unitate foarte mica n comparatie cu presiunile uzuale ntlnite n
instalatiile industriale, sau chiar cu presiunea atmosferica din zonele locuite ale Pamntului, se
folosesc multiplii pascalului:
kilopascalul, Pa 10kPa 1 3= , denumit si piez si
megapascalul, Pa 10MPa 1 6= .
Des utilizat, cu precadere n aplicatiile tehnice, este barul, prescurtat bar . Aceasta unitate,
desi nu apartine Sistemului International, este tolerata datorita utilizarii ei ntr-un numar nsemnat
de tari, printre care si a noastra: Pa 10bar 1 5= .
O alta unitate de masura utilizata n tehnica este atmosfera tehnica, prescurtata at , definita
de raportul:
Pa 1080665.9cm
f kg1at 1 4
2== (2.5)
Pentru definirea starii fizice normale se utilizeaza atmosfera fizica, prescurtata At , sau
atm . A fost pusa n evidenta si calculata pentru prima data de E. Torricelli, vezi figura 1 (presiunea
hidrostatica exercitata de coloana de mercur la baza ei pe aria sectiunii S este egala cu presiunea
atmosferica de pe suprafata libera a mercurului).
(torr)mmHgAt 7601 = Presiunea atmosferica este n acelasi loc o marime variabila n timp. De
asemenea variaza de la un loc la altul, functie si de valoarea acceleratiei
gravitationale locale. Astfel se defineste: presiunea fizica normala 0p ca fiind cea exercitata de o coloana de
mercur de 760 mm la nivelul marii. Rezolutia 4 a celei de a X-a Conferinte Generale de Masuri si Unitati,
1954, stabileste ca, valoric, presiunea fizica normala este egala cu:
(torr)mmHgPaAt 7601013251 ==
n practica, pentru masurarea unor presiuni mici se utilizeaza aparate a caror functionare
se bazeaza pe principiul determinarii presiunii hidrostatice exercitate de o coloana de lichid (vezi
10
figura 2). Astfel, se utilizeaza frecvent unitati de masura ce reprezinta naltimi ale unor coloane de
lichid, precum:
23
233
2m
N 81.9m10
s
m81.9
m
kg10OmmH 1 == -
23
23 m
N 875.7m10
s
m81.9
m
kg803alc mm 1 @@ -
] lp [mm h g pp lp0 r=- , (2.6)
unde: lpr densitatea lichidului piezometric.
Cele mentionate anterior, referitor la unitatile de masura utilizate si a
bazei lor de calcul, ne dau posibilitatea definirii a doua tipuri de presiuni. Astfel,
n functie de valoarea presiunii utilizata ca baza de masurare (de referinta), se
disting:
presiunea absoluta: presiunea care are ca nivel de referinta presiunea vidului absolut,
zero ; astfel, ca marime absoluta presiunea este o marime ntotdeauna pozitiva;
presiunea relativa: presiunea care are ca nivel de referinta pe cea atmosferica n locul n
care se efectueaza masurarea. Relatia de legatura dintre cele doua presiuni este:
rel0abs ppp += (2.7) n cazul n care 0abs pp < presiunea relativa se mai numeste si vacuummetrica, dupa
numele aparatului utilizat la masurarea ei. Se mai numeste si depresiune iar ca valoare este
negativa, fapt evidentiat si de aparatul de masura (vacuummetru).
n cazul n care 0abs pp presiunea relativa se mai numeste si manometrica, caz n care
este o suprapresiune si are o valoare pozitiva. Manometrele industriale se gradeaza avnd ca zero
presiunea atmosferica normala. Observatie: Deoarece n problemele tehnice curente fortele care se dezvolta in instalatiile
hidraulice (pneumatice) sunt rezultatul diferentei dintre presiunea (absoluta) din
interiorul instalatiei si presiunea atmosferica exterioara, n Mecanica Fluidelor se
utilizeaza, n general, presiunea relativa.
Pentru un curent de fluid, presiunea ntr-un punct din interiorul acestuia este rezultatul
actiunii presiunii statice si a presiunii dinamice:
dinsttot ppp += (2.8) unde: totp presiunea totala;
stp presiunea statica (presiunea care se exercita n planul de separatie a doua mase de
11
fluid); n general, presiunea statica nu variaza n sectiunea unui curent, exceptie
facnd cazurile n care liniile de curent sunt curbate;
dinp presiunea dinamica; se calculeaza cu relatia:
2v
p2
dinr= (2.9)
unde: v viteza curentului de fluid (n punctul de masurare).
r densitatea fluidului.
1.2 DENSITATEA, r
Definitie: Densitatea r ntr-un punct din interiorul unui fluid se defineste ca fiind limita
raportului dintre masa mD a unui element de volum din jurul punctului considerat si
volumul elementului VD , cnd acesta tinde catre zero:
VVV ddmm
lim0
P == D
Dr
D (2.10)
n cazul unui fluid omogen, densitatea este egala raportul dintre masa unui volum
determinat de fluid si respectivul volum (masa unitatii de volum) si are aceeasi valoare n orice
punct al fluidului:
Vm
=r (2.11)
Relatia anterioara este utilizata si n cazul definirii densitatii medii a unui fluid. Termenii
sinonimi ai densitatii sunt: masa specifica, sau masa volumica. Unitatea de masura n Sistemul
International este:
3SI m
kg][]m[
][ ==V
r
Inversul densitatii, volumul ocupat de unitatea de masa, se numeste volum specific:
r1
=v
kgm3
(2.12)
Observatie: n general, densitatea unui fluid este functie de pozitia punctului de masurare, de
presiunea p si de temperatura t [C] la momentul efectuarii masuratorii.
Aceasta observatie este valabila cu precadere n cazul gazelor (fluide compresibile), a
caror densitate depinde de temperatura si presiune; se poate determina din ecuatia de stare,
aplicata pentru doua stari, dintre care una cunoscuta:
TT
pp 00
0rr = , (2.13)
unde: termenii cu indice "0" sunt parametrii gazului n starea de referinta.
12
Pentru lichide se poate considera ca densitatea nu depinde de presiune, ea variind
nesemnificativ n functie de temperatura (fluide de densitate constanta, incompresibile).
Densitatea definita conform relatiei (2.11) se numeste si densitate absoluta. n practica,
pentru a usura masurarea densitatii fluidelor se utilizeaza uneori densitatea relativa, definita de
raportul dintre densitatea fluidului considerat si densitatea unui fluid de referinta n conditii
standard:
.ref
fluidrfluid )( r
rr = (2.14)
Pentru gaze, fluidul de referinta este aerul n stare normala: 3aer 0 kg/m 293.1=r , la
presiunea atmosferica normala 2aer 0 N/m 101325p = ( mmHg 760p aer 0 = ) si temperatura
C 0t aer 0 = , ( K 15.273T aer 0 = ). Pentru lichide, fluidul de referinta este apa distilata:
3apa kg/m 1000=r la presiunea atmosferica normala si temperatura C 4tapa = .
1.3 Greutatea specifica, g Legat de densitatea unui fluid se defineste greutatea specifica (greutatea unitatii de volum). Definitie: Greutatea specifica g ntr-un punct din interiorul unui fluid se defineste ca fiind
limita raportului dintre greutatea GD a unui element de volum din jurul punctului
considerat si volumul elementului VD , cnd acesta tinde catre zero:
VVV ddGG
lim0
P == D
Dg
D (2.15)
n cazul unui fluid omogen, greutatea specifica este egala raportul dintre greutatea unui
volum determinat de fluid si respectivul volum (masa unitatii de volum) si are aceeasi valoare n
orice punct al fluidului:
VG
=g (2.16)
Termenul sinonim al greutatii specifice este greutate volumica. Unitatea de masura n
Sistemul International este:
3SI m
N][]G[
][ ==V
g
Greutatea specifica este legata de densitate prin relatia:
g= rg (2.17)
1.4 Compresibilitatea izoterma, b
Definitie: Compresibilitatea izoterma este proprietatea unui fluid de a-si modifica volumul sub
actiunea variatiei de presiune, la o temperatura constanta.
13
Dupa cum se observa din figura 3, variatia de volum VD a fluidului din cilindru este
proportionala cu variatia pD a presiunii acestuia. Relatia care exprima aceasta dependenta este:
Fig. 3 Variatia presiunii ntr-un cilindru la modificarea volumului
pD=D- bV
V (2.18)
unde: V volumul initial al fluidului;
VVD- variatia relativa a volumului;
b coeficientul de evaluare cantitativa a compresibilitatii fluidului; poarta
denumirea de modul de compresibilitate izoterma, notat si cu k .
Observatie: Semnul ,,- din relatia anterioara arata faptul ca unei cresteri de presiune i
corespunde o scadere de volum.
Pentru variatii infinitezimale, relatia anterioara se rescrie astfel:
dpd
b=-V
V (2.19)
Unitatea de masura n Sistemul International pentru modulul de compresibilitate este:
Nm
]p[1
][2
SI ==b
Inversul modulului de compresibilitate este modulul de elasticitate, notat cu e .
be
1= [N/m2] (2.20)
Ca si n cazul densitatii, valorile b si e depind de temperatura si nu depind practic de
valoarea presiunii. Tinnd cont ca masa unui fluid este constanta, prin diferentierea relatiei
ct m == Vr obtinem:
rr
rrrrdd
d d 0d d dm =--==+=VV
VVVV (2.21)
Din relatiile (2.19) si (2.21) rezulta
14
=
==
rre
rr
b
rr
b
ddpdpd1
ddp (2.22)
Pentru fluidele grele (lichidele) raportul 0)dpd( @r , asadar 0@b (sunt practic
incompresibile). Pentru gazele comune, precum oxigenul, modulul de elasticitate depinde de
natura procesului. Astfel
p=e , pentru procese izotermice, (2.23)
p= ke pentru procese adiabatice, (2.24)
unde: vp c/c=k exponentul adiabatic; raportul dintre caldurile specifice la presiune
constanta si la volum constant;
p presiunea absoluta.
Legat de acesti doi parametri care definesc starea unui fluid se poate defini un altul si
anume celeritatea.
1.5 Celeritatea, c Celeritatea sau viteza de propagare a sunetului reprezinta unul dintre parametrii care
descriu propagarea sunetului printr-un mediu. Aceasta viteza depinde de proprietatile mediului de
propagare, n particular de elasticitatea si densitatea acestuia. ntr-un mediu fluid este definita de
relatia lui Newton:
rbre
r ===
1ddp
c [m/s]. (2.25)
n aer si alte gaze viteza sunetului depinde n primul rnd de temperatura. Presiunea are un
efect mic, iar umiditatea nu are aproape nici un efect asupra vitezei. De exemplu:
la C0 t = m/s 331,5 c =
la C0 2t = m/s343,4 c = n lichide viteza de propagare a sunetului este mai mare dect n gaze, pentru ca, desi
densitatea este mai mare (ceea ce ar nsemna o inertie mai mare, deci o viteza inferioara),
compresibilitatea lichidelor este mult mai mica dect a gazelor, ceea ce face ca o perturbatie a
presiunii ntr-un punct sa se propage rapid la punctele vecine. Astfel, n apa viteza de propagare a
sunetului este de 1400-1500 m/s. Cunoasterea precisa a vitezei sunetului n apa este importanta
ntr-o serie de domenii precum cartografierea acustica a fundului oceanic, aplicatii ale sonarului
subacvatic, comunicatii etc.
15
1.6 Numarul Mach, M Numarul Mach (dupa numele fizicianului austriac Ernst Mach) este o unitate de masura
folosita pentru a exprima viteza unui corp care se deplaseaza ntr-un fluid.
cv
Ma = [-] (2.26)
unde: v viteza (relativa) de miscare a fluidului.
Astfel, numarul lui Mach este o marime adimensionala care arata de cte ori este mai mare
viteza unui mobil dect viteza sunetului n acel mediu. Pentru Mach 1, viteza este egala cu viteza
sunetului n fluidul respectiv. n conditiile atmosferei standard, pentru Mach 1, viteza (relativa) a
aerului este egala cu 1228 km/h. Valorile subunitare ale numarului lui Mach nseamna viteze
subsonice (mai mici dect viteza sunetului), iar valorile supraunitare nseamna viteze supersonice.
O clasificare mai detaliata defineste urmatoarele regimuri de miscare a fluidelor:
- pentru 25.0Ma < : miscarea este subsonica, incompresibila;
- pentru 8.0Ma25.0
16
1.7 Vscozitatea - h , n . Vscozitatea reprezinta proprietatea fluidelor de a se opune deformatiilor atunci cnd sunt
supuse la lunecare relativa a straturilor suprapuse (de a opune rezistenta la schimbarea formei).
Aceasta proprietate se manifesta numai la fluidele n miscare prin aparitia unor eforturi tangentiale
datorita frecarii dintre straturile alaturate de fluid care se deplaseaza unele fata de altele.
Sta la baza mecanismului de transmitere a miscarii ntr-un fluid.
Constatarea a fost facuta de Newton (1687) pe baza experimentului ilustrat n figura 5. Tot
el a stabilit si expresia efortului tangential unitar de vscozitate.
Fig 5 Descrierea mecanismului de curgere a unui fluid ntre doua placi plane Astfel, miscarea unui lichid ntre doua placi plane, paralele, dintre care una fixa si cealalta
mobila poate fi caracterizata conform urmatorului mecanism: presupunem ca volumul de lichid
dintre cele doua placi este format din mai multe straturi paralele; primul strat adera la placa mobila
si se va deplasa cu aceeasi viteza ca a placii, v ; dupa un scurt interval de timp se va pune n
miscare si cel de al doilea strat, dar cu o viteza mai mica, dvv - , ; ultimul strat de fluid, aderent
la placa fixa, va avea viteza egala cu zero.
Astfel, ntre straturile de fluid se dezvolta eforturi tangentiale t definite de relatia:
AF
=t [N/m2], (2.27)
unde: A aria placii mobile;
F forta care actioneaza asupra placii mobile.
Experimental s-a constatat ca valoarea eforturilor tangentiale care se exercita ntre
straturile de fluid este direct proportionala cu viteza de deplasare a placii mobile si invers
proportionala cu distanta dintre placi, prin intermediul unui coeficient de proportionalitate, conform
relatiei:
hv
ht = sau y
=
vht (Legea lui Newton), (2.28)
unde:
yv
gradientul vitezei dupa directia y (variatia vitezei pe unitatea de lungime a normalei la directia de miscare a fluidului).
17
Marimea h caracterizeaza proprietatea de vscozitate a fluidului. Se numeste coeficient de
vscozitate dinamica, sau vscozitate dinamica. Sensul fizic al acestei marimi este acela de
tensiune tangentiala care se dezvolta n interiorul unui fluid omogen cnd gradientul vitezei este
unitar. Unitatea de masura a vscozitatii dinamice n sistemul international este [Ns/m2] sau
[kg/ms].
Pentru a lega vscozitatea de natura fluidului s-a introdus notiunea de vscozitate
cinematica, n , definita de relatia:
rh
n = , (2.29)
unde: r densitatea fluidului. Unitatea de masura a vscozitatii cinematice n sistemul international este [m2/s]. n
sistemul tehnic, unitatile de masura ale celor doua tipuri de vscozitate se exprima astfel:
)poise( P 1]scm[]gram[
1][ ST ==h ,
(Stokes) St 1][
][][ ==
scm
ST
21n .
Vscozitatile dinamica si cinematica depind de parametrii de stare ai mediului. Astfel,
vscozitatea dinamica depind numai de temperatura si nu depinde de presiune, n timp ce
vscozitatea cinematica depinde si de presiune. La cresterea temperaturii se mareste vscozitatea
gazelor si vaporilor, iar vscozitatea lichidelor se micsoreaza.
Dependenta vscozitatii gazelor de temperatura poate fi exprimata cu o buna aproximatie
utiliznd formula lui Sutherland:
++
=23
0
00 T
TCTCT
hh
smkg
, (2.30)
unde: 0h vscozitatea dinamica n conditii fizice normale de presiune si temperatura:
0p , respectiv 0T ;
C constanta de variatie a vscozitatii dinamice cu temperatura pentru gaze.
Pentru aer s kg/m 1,71210 -5aer0 =h , respectiv K 111C = .
Pentru apa, vscozitatea cinematica se poate calcula cu relatia lui Poiseuille:
2
6
t00022.0t0337.01
1078.1
++
=-
n
sm2
, (2.31)
unde: t temperatura apei n grade Celsius.
n functie de dependenta
=
dydv
tt , materialele se pot clasifica astfel (vezi figura 6):
18
1- fluide ideale (lipsite de vscozitate), deci 0=t ;
2- solide rigide (nu exista deplasari ntre diferitele puncte care
definesc solidul, sub actiunea unor eforturi tangentiale, sau
normale);
3- fluide newtoniene (valoarea tensiunilor tangentiale este
proportionala cu gradientul de viteza);
4- fluidele dilatante (suspensiile foarte concentrate, n care faza
lichida ocupa practic doar spatiul dintre particulele solide; fluide
nenewtoniene;
5- materiale pseudoplastice;
6- materiale plastice de tip Bingham ideale (fluide vscoplastice; au prag de curgere).
Pentru fluidele nenewtoiene, legea de variatie a tensiunilor tangentiale de frecare are expresia:
Rdydv
dydv
kdydv
k a
1
htaa
=
=
=
-
(2.32)
unde: k indice de consistenta al fluidului;
a index de comportare al curgerii.
ah vscozitate dinamica aparenta.
2. PROPRIETATI FIZICE SPECIFICE LICHIDELOR
Principalele proprietati fizice specifice lichidelor sunt: tensiunea superficiala, capilaritatea,
absortia sau degajarea gazelor (desorbtia) si cavitatia.
2.1 Tensiunea superficiala, s
Tensiunea superficiala s a unui lichid este o marime definita prin forta care se exercita
tangential pe unitatea de lungime de pe suprafata lichidului, datorita interactiunii dintre moleculele
de lichid din stratul superficial si moleculele de lichid din interior.
lF
=s [N/m] (2.33) Tensiunea tangentiala intervine n calculul diferentei de presiune ntr-un punct al unei
suprafete curbe de contact dintre doua lichide imiscibile (sau un lichid si un gaz).
Daca se noteaza cu 1R si 2R razele de curbura principale ale suprafetei de contact (vezi
figura 7), atunci diferenta de presiune dintre cele doua parti ale suprafetei de contact este data de
formula lui Laplace:
19
-=-=
2121 R
1R1
ppp sD ][N/m2 (2.34)
Fig. 7 2.2 Capilaritatea
Capilaritatea este proprietatea care rezulta ca o consecinta a fenomenului de adeziune si a
tensiunii superficiale si care consta n aparitia unei denivelari a suprafetei libere a lichidului n
tuburile capilare si anume o ascensiune pentru un lichid care uda tubul si o coborre pentru un
lichid care nu uda tubul (vezi figura 8).
Fig. 8 Denivelarea h este data n prima aproximatie de legea lui Jurin:
g r 2
hr
s= [m] (2.35)
unde: s tensiunea superficiala a lichidului;
r densitatea lichidului.
20
2.3 Absortia (sau degajarea) gazelor
Absortia gazelor este fenomenul prin care gazele si vaporii, care alcatuiesc faza
absorbanta, patrund prin difuziune n masa unui lichid, prin suprafata de separatie dintre cele doua
faze. Se produce cnd concentratia componentelor n stare gazoasa este mai mare ca cea
corespunzatoare echilibrului fazelor. Creste odata cu presiunea. Degajarea gazelor este procesul
invers absortiei.
De exemplu, n conditii obisnuite de temperatura si presiune, apa contine un volum de aer
ce reprezinta aproximativ 2% din volumul sau. De asemenea, n contact cu aerul, apa absoarbe
mai mult oxigen si mai putin azot ( 2O %34 si 2N %66 ) fata de raportul n care aceste gaze se
gasesc n aer ( 2O %21 si 2N %79 ).
2.4 Cavitatia
Cavitatia este un fenomen complex, foarte periculos pentru masinile si instalatiile hidraulice
ce apare pe portiunile n care presiunea scade sub cea de vaporizare, la temperatura
corespunzatoare functionarii si consta si consta n formarea unor bule de vapori si gaz care
ajungnd n zone de presiuni mare se recondenseaza, respectiv se redizolva. Fenomenul e marcat prin aparitia unor zgomote puternice, temperaturi ridicate, coroziune
chimica, ce conduc la distrugerea rapida a instalatiilor.
3. PROPRIETATI FIZICE SPECIFICE GAZELOR Proprietatile fizice specifice gazelor se pot clasifica n proprietati mecanice si proprietati
termice. Cele mecanice sunt legate de comportarea acestora ca fluide usoare si compresibile.
Gazele si vaporii sunt denumite si fluide usoare deoarece n majoritatea cazurilor greutatea
acestora poate fi neglijata n raport cu fortele uzuale de presiune cu care acestea actioneaza
asupra solidelor cu care vin n contact. De asemenea, variatiile de volum pe care le sufera acestea
sub actiunea fortelor de presiune sunt nsemnate valoric. De mare importanta n studiul fluidelor usoare sunt proprietatile termodinamice, acestea
tinnd cont de faptul ca miscarea gazelor este nsotita inevitabil de procese termice. Marimile de
stare ale unui gaz: presiunea p , densitatea r , si temperatura T sunt interdependente. Ecuatia
care defineste aceasta interdependenta, pentru gazele perfecte, este Ecuatia de stare denumita si
Ecuatia Clapeyron-Mendeleev:
T M
RpT R
pT R mV p M===
rr (2.36)
unde: [J/kgK] R constanta caracteristica a gazului studiat;
J/kmolK8314.3 RM = constanta universala a gazelor;
]kg[ m masa gazului;
21
[kg/kmol] M masa molara a gazului.
n studiul repausului sau miscarii unui gaz perfect (fara frecari sau soc) se deosebesc
urmatoarele legi de variatie a densitatii n functie de presiune:
3.1.1 Variatie izocora (la volum constant):
0ct rr == . (2.37) 3.1.2 Variatie izoterma (la temperatura constanta):
0
0pctp
rr== . (2.38)
3.1.3 Variatie adiabatica (fara schimb de caldura cu mediul exterior):
k0
0pctp
rr
k
k == . (2.39)
unde: k exponentul transformarii adiabatice (exponentul adiabatic).
3.1.4 Variatie politropica (transformare generala):
n0
n0
n
pct
p
rr== (2.40)
unde: n exponentul transformarii politropice (exponentul politropic).
3.2 Caldura specifica, c
Pentru o substanta (omogena) caldura specifica reprezinta caldura necesara unitatii de masa din
acea substanta pentru a-si mari temperatura cu un grad, fara modificarea starii fizice sau chimice.
Se determina experimental sau poate fi calculata utiliznd teoria cinetico-moleculara (n cazul
gazelor).
=
dTdQ
m1
c [J/kg K]. (2.41)
Pentru gaze si vapori, caldura specifica depinde natura procesului termodinamic. Astfel se
definesc:
Vc caldura specifica la volum constant (proces izocor, sau izodens)
pc caldura specifica la presiune constanta (proces izobar)
Legatura dintre Vc si pc este data relatia (R. Mayer):
Rcc vp += [J/kg K]. (2.42) unde:
R [J/kg K]: constanta caracteristica a gazului studiat;
22
Raportul dintre pc si Vc defineste exponentul adiabatic k :
k=v
p
c
c. (2.43)
Astfel:
R1
cp -=
kk
; 1
Rcv -
=k
. (2.44)
3.3 Energia interna specifica, u Energia interna specifica este energia termica a unui substante, raportata la unitatea de masa.
Pentru gazele perfecte se calculeaza cu relatia:
dT cdu v= [J/kg]. (2.45) 3.4 Entalpia specifica, h Reprezinta suma dintre energia interna specifica si energia potentiala de presiune specifica
(unitatii de masa):
rp
uh += [J/kg]. (2.46)
Pentru un gaz perfect entalpia depinde doar de temperatura si se calculeaza cu relatia:
dT cp
uddh p=
+=
r. (2.47)
Aplicatii
PROBLEME REZOLVATE Problema 1 Victor BENCHE s.a., Mecanica fluidelor si masini hidropneumatice, Culegere de
probleme, Universitatea Transilvania din Brasov, 1989, pb. 1.1, pag. 5
Pentru verificarea (sau etalonarea) manometrelor se poate utiliza o instalatie cu pompa cu
surub ca cea din figura 1. Aceasta se compune din corpul cilindric 1 n care se deplaseaza pistonul
2 prin rotirea tijei (surubului) 3 n corpul filetat 4. Pistonul este articulat pe tija astfel nct rotirea
tijei nu se transmite pistonului, acesta avnd numai o miscare de translatie. Tija se roteste manual
cu ajutorul volantului 5. Pompa se umple cu lichidul de lucru (ulei) aflat n rezervorul 6. Manometrul
de verificat MV si manometrul etalon ME se fixeaza etans la doua racorduri ale conductei de
refulare 7 prin intermediul robinetelor 8 si 9. Cunoscnd diametrul cilindrului cm 1d = , pasul
surubului mm 2h = , volumul initial de ulei cm200 3=V la presiune atmosferica normala si
coeficientul de compresibilitate izoterma al uleiului /Nm 1085.4 210-=b , sa se determine
numarul n de rotatii necesare pentru ca indicatia manometrului etalon sa fie at 200pm = .
23
Fig. 1
Solutie:
Se trec datele problemei n Sistemul International (daca e cazul):
m 101cm 1d 2-== diametrul cilindrului;
m 102mm 2h -3== pasul surubului;
363 m 10200 cm200 -== V volumul initial de ulei;
/Nm 1085.4 210-=b coeficientul de compresibilitate izoterma al uleiului;
24m N/m 109.81200at 200p == presiunea indicata de manometrul etalon.
Observatie: Prin rotirea tijei, pistonul 2 se va deplasa pe o distanta hnl = , astfel nct va avea
loc o comprimare a uleiului n spatiul ramas liber n cilindru 1 si conducta de refulare
7, datorita cresterii de presiune pD .
Din relatia de definitie a compresibilitatii izoterme a fluidelor:
pDbD
=-
VV
(1) si tinnd cont de faptul ca manometrele industriale indica suprapresiuni - se gradeaza avnd ca
zero presiunea atmosferica normala, rezulta ca indicatia manometrului este tocmai cresterea de
presiune:
mpp =D (2) De asemenea:
4d
h nAl2
PpD ==- V (3)
unde: hnl = distanta parcursa de piston, egala cu produsul dintre numarul de rotatii n si
distanta parcursa la o rotatie (pasul filetului h );
24
4d
A2
Pp= aria pistonului, egala cu cea a cilindrului.
nlocuind expresiile (2) si (3) n (1) obtinem:
2m
m
2
d h
p 4np
4d h n
p
bb
p VV
== (4)
rot. 122.121014.3102
1062.191085.4102004n
43
6106=
=--
--
Problema 2 Julieta FLOREA s.a., Mecanica fluidelor si masini hidropneumatice, Probleme,
Editura Didactica si Pedagogica, 1982, pb. 1.11, pag. 15
O placa plana de arie 2m 8.0S = si masa kg 2m = aluneca pe un plan nclinat, cu unghiul
= 30a , acoperit cu o pelicula de ulei de grosime mm 2=d (vezi figura 2). Densitatea uleiului
este 3kg/dm 9.0=r , iar vscozitatea cinematica stokes 4.0=n . Sa se determine viteza de
alunecare a placii n miscare uniforma.
Fig. 2
Solutie:
Se trec datele problemei n Sistemul International:
2m 8.0S = aria placii;
kg 0.2m = masa placii;
= 30a unghiul de nclinare al placii;
m 102mm 2 -3==d grosimea peliculei de ulei;
333 m/kg 109,0kg/dm 9,0 ==r densitatea uleiului;
s/m1040,0s/cm0,40 stokes 40,0 242 -===u vscozitatea cinematica a uleiului.
Observatie: Sub actiunea componentei tangentiale a greutatii placii
a sinGGT = , placa ncepe sa se miste uniform accelerat.
Pe masura ce viteza creste, creste si forta de frecare
25
vscoasa care se opune miscarii placii. La un moment dat cele doua forte se
echilibreaza dinamic, si miscarea placii devine uniforma.
Pentru cazul studiat, relatia lui Newton de calcul a efortului tangential este:
dht
vS
GT == (1) unde: v viteza de deplasare a placii n miscare uniforma;
nrh = vscozitatea dinamica a uleiului (2)
nlocuind relatia (2) n (1) obtinem:
S sin g m
vv
S
sin g mnr
add
nra
== (3)
m/s 681.00.8104.0109.0
30 sin10281.92v
43
3=
=-
-.
Problema 3 Victor BENCHE s.a., Mecanica fluidelor si masini hidropneumatice, Culegere de
probleme, Universitatea Transilvania din Brasov, 1989, pb. 1.3, pag. 6
Sa se determine dependenta de temperatura a vitezei de propagare a sunetului n apa
avnd densitatea si modulul de elasticitate:
3aap kg/m 1000=r si
29apa N/m 10914.1 =e la temperatura C 4tapa = ;
3apa kg/m 26.999=r si
29apa N/m 10020.2 =e la temperatura C 20tapa = .
Solutie: Utiliznd relatia lui Newton de calcul a vitezei de propagare a sunetului ntr-un mediu fluid:
re
r==
ddp
c (1)
se calculeaza:
m/s 13881000
10914.1c
9
apa =
= la temperatura C 4tapa = ;
m/s 142226.99910020.2
c9
apa =
= la temperatura C 20tapa = .
Asadar, viteza de propagare a sunetului creste cu temperatura.
26
Problema 4
Distributia de viteze ntr-un lichid vscos ce curge peste o placa fixa este data de relatia:
2yy68.0v -= , unde:
v viteza [m/s]
y distanta pe verticala de la suprafata placii [m].
Care este valoarea tensiunii tangentiale la nivelul placii si pentru m0.34 y = , daca vscozitatea
dinamica a lichidului este 2ms N 1=h . Reprezentati grafic dependenta )y(tt = pentru intervalul
m 0.34)0(y -= . Solutie:
Conform I. Newton, expresia tensiunii tangentiale t care se manifesta ntre straturile alaturate de
fluid este:
yv
= ht
unde:
h vscozitatea dinamica a fluidului;
yv
gradientul vitezei dupa directia y (variatia vitezei pe unitatea de lungime a normalei la
directia de miscare a fluidului); n acest caz:
yy
yyyv
2680680 2
-=
-=
.).(
.
Astfel, pentru
m 0y = (la nivelul placii) 2m
N 68.068.01 ==t ;
m 34.0y = 2mN
0)34.0268.0( 1 =-=t .
Pentru reprezentarea grafica a variatiei )y(tt = se observa ca dependenta este una
liniara, sau se aleg cteva puncte y din intervalul 0.34)0( - si se calculeaza t .
27
PROBLEME PROPUSE Problema 1
Un piston se deplaseaza cu viteza constanta s/cm 1.0v = , ntr-un cilindru avnd
diametrul mm50D =f si lungimea cm10l = , plin cu lichid cu modulul de elasticitate
24 cm/daN 102e = .
Sa se calculeze deplasarea x [mm] a pistonului daca presiunea n cilindru creste de la
zero la bar200p = si timpul necesar deplasarii. Sa se ntocmeasca o schita.
Problema 2
Viteza ntr-un fluid ce curge peste o placa plana, masurata la o distanta de mm0 5 de
suprafata placii, este m/s 1v = . Fluidul are vscozitatea dinamica Pas2 si densitatea relativa
0.8 (la cea a apei). Ce valori au gradientul vitezei si tensiunea tangentiala de frecare vscoasa la
nivelul placii plane, considernd o distributie liniara a vitezei pe directia normala curgerii. Sa se
calculeze valoarea vscozitatii cinematice a fluidului si sa se ntocmeasca o schita.
Problema 3
Sa se determine viteza de propagare a sunetului n aer la o temperatura C 20t = ,
admitnd ca legea de variatie a densitatii aerului n functie de presiune este izotermica. Masa
kilomolara a aerului este kg/kmol 29M = iar exponentul politropic 3.1n = . Constanta universala a
gazelor este [J/kmolK] 8314.3 =MR .
Problema 4
Explicati de ce vscozitatea lichidelor scade odata cu cresterea temperaturii, iar
vscozitatea gazelor creste cu temperatura.
28
Fig. 3.1
3. NOTIUNI GENERALE DE STATICA FLUIDELOR
Fortele care actioneaza asupra fluidelor
Relatia fundamentala a staticii fluidelor
Forme particulare ale relatiei fundamentale a staticii fluidelor
Forte hidrostatice
Masurarea presiunilor cu piezometre
Statica fluidelor are ca obiect de studiu fluidele aflate n stare de echilibru precum si fortele
pe care acestea le exercita asupra solidelor cu care vin n contact.
Dupa cum s-a demonstrat anterior, starea de echilibru a unui fluid este caracterizata doar
de existenta eforturilor normale n interiorul acestuia, eforturile tangentiale datorate frecarii
vscoase dintre straturile alaturate de fluid fiind nule. Din acest motiv fluidele reale aflate n repaus
pot fi tratate ca fluide ideale (lipsite de vscozitate)
3.1. FORTELE CARE ACTIONEAZA ASUPRA FLUIDELOR
Principale forte care actioneaza asupra unei mase m de fluid (vezi figura 3.1), care la un
moment t ocupa un volum V, limitat de suprafata S , se pot grupa
n:
forte masice si
forte de suprafata. Deoarece fortele interioare, de legatura, se anuleaza doua
cte doua, conform principiului egalitatii actiunii si reactiunii, n cele
ce urmeaza va fi analizata actiunea pe care o exercita fortele
exterioare. Fortele masice exterioare se datoreaza actiunii unor cmpuri de forte exterioare, precum
cel gravitational, sau cmpuri de natura electrica, magnetica. Acestea exercita asupra particulelor
de fluide actiuni proportionale cu elementele de masa dm ale acestora.
Observatie: n mod obisnuit, n mecanica fluidelor se iau n considerare doar fortele de greutate,
care sunt predominante, dupa caz si fortele de inertie. n magneto-hidrodinamica
sau dinamica plasmei, fortele care intervin preponderent sunt de natura magnetica
sau electrica. Forta masica elementara care actioneaza asupra unei particule de fluid este data de relatia:
Vd d d rmmm fmfFrrr
== (3.1)
29
unde: mfr
este forta masica unitara, sau forta raportata la unitatea de masa; are dimensiunea
unei acceleratii (n mod obisnuit, n cmp gravitational gfm = : acceleratia
gravitationala). Astfel, rezultanta fortelor masice exterioare va fi egala cu:
=V
Vd rmm fFrr
(3.2) Fortele de suprafata exterioare provin din interactiunea fluidului cu alte corpuri (pereti solizi
sau alte fluide), prin intermediul suprafetei S . Se mai numesc si forte de contact si reprezinta
efectul de legatura al masei de fluid cu mediul nconjurator. Similar ca n cazul fortelor masice,
forta elementara de suprafata se defineste ca fiind:
SfF SS d drr
= (3.3) unde: Sf
r este forta unitara de suprafata, sau forta raportata la unitatea de suprafata; depinde,
n general, de vectorul de pozitie rr
al punctului n care se considera elementul de
suprafata Sd , de versorul normalei nr
la respectiva suprafata, corespunzator fetei n
contact cu fluidul (orientat nspre interiorul suprafetei, figura 3.1). Pentru cazul general n care ntre normala la suprafata si forta de suprafata este un unghi
a , aceasta din urma se va descompune n doua componente, dintre care una normala pe Sd ,
cealalta tangenta la Sd : nFr
d , respectiv tFr
d .
SfSfFF nSSn d d ddrrrr
=== aa coscos (3.4)
SfSfFF SS d d dd tt aarrrr
=== sinsin (3.5) unde: nf
r este forta unitara de suprafata dupa directia normalei n
r.
tfr
este forta unitara de suprafata dupa directia tangentei la suprafata Sd . Componenta normala se numeste efort de presiune si este orientata n sensul compresiunii
(nspre fluid), deoarece n conditii obisnuite fluidele nu pot prelua forte de ntindere (tractiune).
Scalarul p se numeste presiune, sau presiune statica n punctul n care se considera elementul de
suprafata Sd :
npfnrr
= (3.6) Componenta tangentiala se numeste efort de suprafata tangentiala. n general, defineste
efortul tangential unitar de vscozitate t n punctul n care se considera elementul de suprafata.
3.2. ECUATIA FUNDAMENTALA A STATICII FLUIDELOR Ecuatia echilibrului fluidelor se obtin din conditia ca rezultanta fortelor exterioare ce
actioneaza asupra unei mase de fluid sa fie nula
30
0=+ pm FFrr
. (3.7) n conditiile n care n fluidele aflate n repaus fata de mediul exterior se manifesta doar
eforturi normale, rezulta ca fortele de suprafata coincid cu cele de presiune. ntr-un fluid vscos n
repaus nu se manifesta eforturi tangentiale, aparitia acestora fiind determinata doar de deplasarea
relativa a particulelor de fluid. n forma integrala, relatia (3.7) este echivalenta cu ecuatia
0=- VV
VV d d pfm rr
, (3.8) Care conduce la urmatoarea ecuatie diferentiala
Up dd =r1
, (3.9)
unde )( x, y, zU se numeste si potentialul fortelor masice. Este o marime de stare a fluidului si
pentru un punct din interiorul fluidului reprezinta energia potentiala masica a acestuia. Cnd se
cunosc componentele scalare, mxf , myf , mzf , ale fortei masice unitare, )( x, y, zU se determina
prin integrare conform relatiei
++= zfyfxfzyxU mzmymx d d d ),,( . (3.10) Daca densitatea este constanta, constant=r (fluide incompresibile), sau o functie cunoscuta de
presiune, ppp dd )(')( rrrr == (fluide barotrope), primul membru al ecuatiei (3.9) se poate
determina calculnd integrala ( ) rpd . n aceste conditii, prin integrare, relatia (3.9) capata forma
ct+= Urdp
. (3.11)
Relatia (3.11) este ecuatia fundamentala a staticii fluidelor si reprezinta principiul
conservarii energiei aplicat unei mase de fluid n repaus. Constanta de integrare ct are
dimensiunea unei energii masice unitare si se determina din conditii la limita cunoscute. Prin
analogie cu U , marimea ( ) rpd se numeste potentialul fortelor de presiune.
Observatie: Suprafetele pentru care ctU = se numesc echipotentiale. Pentru fluidele incompresibile
si fluidele barotrope, a caror densitate este o functie cunoscuta de presiune )( p rr = ,
aflate n repaus, se remarca urmatoarele proprietati ale suprafetelor echipotentiale.
Din conditia ctU = rezulta ca ctp = , deci ntr-un fluid n repaus, suprafetele echipotentiale
sunt izobare, implicit izodense si izoterme.
forta masica unitara este perpendiculara pe suprafetele echipotentiale; n mod natural este
orientata n sensul scaderii potentialului, deci al cresterii presiunii.
Suprafetele echipotentiale nu se intersecteaza, deoarece n cazul contrar n punctele de
intersectie presiunea ar avea mai multe valori diferite; astfel, suprafetele de separatie dintre
fluide (precum suprafata libera a unui lichid) sunt echipotentiale.
31
Daca fortele masice care actioneaza asupra unui fluid sunt foarte mici n comparatie cu
fortele de presiune, se poate considera ca potentialul fortelor masice unitare este neglijabil,
0U @ , iar relatia (3.21) capata forma
.ctpp == 01
dr
(3.12)
Astfel, dupa caz, n interiorul unui volum finit (masurabil) de fluid se poate considera ca
presiunea este constanta, iar variatiile acesteia se transmit n toata masa fluidului. Aceasta
consecinta este cunoscuta sub numele de principiul lui Pascal pe baza caruia se
construiesc amplificatoarele de forta (elevatorul hidraulic, presa hidraulica etc.), sau de
presiune (acumulatoarele hidraulice), utilizate n actionarile hidraulice si pneumatice.
Fig. 3.2 Schema de principiu al elevatorului hidraulic n figura 3.2 este prezentata schema de principiu a unui multiplicator de forta, utilizat ca
elevator hidraulic. Astfel, forta 1F care se exercita asupra pistonului de diametru 1d genereaza o
suprapresiune mp care se transmite n toata masa lichidului, inclusiv la nivelul suprafetei pistonului
de diametru 2d , rezultnd forta 2F , cu ajutorul carei se ridica automobilul,
1
2
1
222
2
221
1
44F
dd
Fd
F
d
Fctpm
====
pp. (3.13)
3.3. FORME PARTICULARE ALE RELATIEI FUNDAMENTALE
A STATICII FLUIDELOR
3.3.1 Repausul fluidelor incompresibile (lichidelor) n cmp gravitational Dupa cum am mai enuntat anterior, principale forte masice care
actioneaza asupra unui fluid sunt cele gravitationale. Adoptnd un sistem
cartezian n care axa Oz reprezinta verticala, n sensul cresterii altitudinii
(natural n studiul atmosferei n repaus, vezi figura 3.3), obtinem
+-=-=
-=
==ctzgzgU
gf
ff
mz
mymx d
0. (3.14)
Fig. 3.3
32
Fig. 3.4
Asadar, pentru fluide incompresibile, ct=r , relatia (3.11) devine:
ctg zpctzgp
ctzgp =+=+=+ d rrr1
(3.15)
Constanta de integrare se determina din conditii la limita cunoscute. De exemplu, n cazul
unui lichid de greutate specifica g rg = , continut ntr-un vas precum n figura 3.4, raportat la un
sistem de referinta ca n figura 3.3, pentru
cth g phz 0 =+= r . (3.16) nlocuind (3.26) n relatia (3.25) obtinem
)zhgpphgpzgp -=-+=+ ( rrr 00 . (3.17) Relatia (3.17) reprezinta legea de variatie a presiunii n interiorul
unui lichid, unde )( zh - este cota de adncime si reprezinta ecuatia
fundamentala a hidrostaticii.
Observatii:
n studiul lichidelor, orientarea naturala a sistemului de referinta este cea pentru care axa
Oz este n sensul cresterii adncimii, precum n figura 3.5.
Presiunea hidrostatica este o suprapresiune, 0pppS -= , notata n mod curent cu p .
Astfel, relatia anterioara se poate scrie si sub forma (simplificata)
hgp r= , (3.18) unde h este cota de adncime.
Dupa cum se observa, variatia presiunii ntr-un lichid n repaus, n cmp gravitational, este
o functie liniara de adncime (creste liniar cu adncimea). Valoarea presiunii maxime este la baza
vasului (la cota de adncime maxima) si este egala cu maxmax hgp r= .
Daca n cazul considerat anterior, la suprafata libera a lichidului presiunea care se exercita
are valoarea mp (presiunea manometrica exercitata de un alt fluid, precum n figura 3.5, aceasta
se transmite n toata masa lichidului, astfel nct valoarea presiunii maxime va fi:
h pp mmax g+= (3.19) Reprezentarea variatiei presiunii exercitate de un fluid pe peretii vasului cel contine, vezi
figura 3.5, poarta denumirea de diagrama distributiei de presiuni, sau epura hidrostatica. Presiunea
pe care o exercita fluidul asupra vasului se reprezinta pe directie normala n puntul de aplicatie,
dinspre fluid spre suprafata pe care acesta actioneaza. Pentru lichidele n repaus, planele
orizontale (perpendiculare pe vectorul rezultant al fortei masice unitare) sunt plane izobare (de
presiune constanta) si reciproc.
33
Fig. 3.5
Planul pentru care presiunea este nula se numeste
plan manometric si pozitia acestuia, fata de suprafata libera,
este definita de naltimea manometrica:
gm
mp
h = (3.20)
Astfel, relatia (3.30) se poate rescrie n forma:
)hh( p mmax += g (3.21)
3.3.2 Repausul fluidelor compresibile ctr n cazul n care densitatea fluidului nu e constanta,
pentru a putea calcula potentialul fortelor de presiune trebuie
cunoscuta legea de variatie a densitatii n functie de presiune
(tipul transformarii pe care o sufera fluidul).
n cazul unui proces izotermic, ctT = :
ppp
ctp
0
0
0
0
rr
rr=== . (3.22)
Astfel:
ctppp
pp
p+== ln
dd
0
0
0
0 rrr
. (3.23)
Pentru fluidele aflate n cmpul gravitational terestru:
ctzgU +-= . (3.24) Asadar
ctg zpp
=+ ln0
0r . (3.25)
Solutiile pentru procesele adiabatice sau politropice se determina similar.
4. FORTE DE ACTIUNE ALE FLUIDELOR N
REPAUS ASUPRA UNOR PERETI SOLIZI
Forte de actiune pe pereti plani
Forte de actiune pe pereti curbi
Fluidele exercita asupra peretilor solizi cu care vin n contact forte de presiune.
Determinarea acestora este necesara n practica n vederea dimensionarii rezervoarelor, barajelor
etc. din punct de vedere al rezistentei.
34
Forta elementara de presiune pFdr
ce actioneaza pe o suprafata elementara Sd (vezi
figura 4.1) este data de relatia:
Fig. 4.1 Forta de presiune pe o suprafata elementara
SnpFp d drr
= (4.1) unde n
r este versorul normalei la suprafata, orientat dinspre fluid spre perete, n sensul de
actiune al fortei.
Forta rezultanta se calculeaza nsumnd fortele elementare, asadar
=S
p SnpF d rr
(4.2)
n cazul n care suprafata este una oarecare, curba spatial, atunci si fortele elementare vor
fi oarecare n spatiu, iar actiunea lor asupra peretelui plan va fi descrisa de torsorul format din:
forta rezultanta pFr
;
momentul rezultantei in raport cu originea sistemului de referinta ales, OMr
=S
O dSnprM vrr (4.3)
unde r
r este vectorul de pozitie al punctului de aplicatie al fortei elementare pFd
r pe
suprafata dS , n sistemul de referinta xOyz . Observatie: Pentru calculul integralelor (4.2) si (4.3) trebuie sa se cunoasca distributia presiunii
p n interiorul fluidului (din legea fundamentala a staticii fluidelor).
4.1 FORTE DE ACTIUNE PE PERETI PLANI n cazul peretilor plani, versorul normalei la suprafata este constant, ctn =
r, iar relatiile (4.2)
si (4.3) devin:
=S
p SpnF d rr
(4.4)
-==SS
O SprnSpnrM d d rvvrr (4.5)
35
Punctul de aplicatie al fortei pFr
se noteaza cu C (sau CP ) si se numeste centru de
presiune. Raportat la sistemul de referinta considerat, vectorul de pozitie al centrului de presiune
se obtine din teorema lui Varignon aplicata sistemului de forte elementare, conform careia suma
momentelor fortelor elementare este egala cu momentul rezultantei:
-==- S
CPS
pCPS
SprnSprnFrSprn d d d rvrvrrrv
=
S
SCP Sp
Spr
rd
d r
r (4.6)
4.1.1 Cazul fluidelor usoare (gaze, vapori)
Avnd n vedere ca presiunea n interiorul unui volum finit de gaz poate fi considerata
constanta n toata masa acestuia, ctp = , deci avnd aceeasi valoare n orice punct al suprafetei
S , relatiile (4.4) si (4.6) se pot rescrie astfel:
SpFSpnSpnSpnF pSS
p d d ==== rrrr
(4.7)
GG
S
S
S
SCP rS
SrSp
Srp
Sp
Spr
rr
rrr
r====
d
d
d
d
(4.8)
unde Gr
r este cota centrului de greutate al peretelui de suprafata S ;
Asadar, forta cu care un fluid usor, n repaus, actioneaza asupra unui perete plan este
egala cu produsul dintre presiunea fluidului si aria suprafetei peretelui, avnd punctul de aplicatie
(centrul de presiune) n centrul de greutate al peretelui GCP rrrr
= .
4.1.2 Cazul fluidelor grele (lichide)
Pentru determinarea actiunii exercitate de un fluid greu pe un perete plan consideram cazul
general n care peretele este nclinat cu un unghi a fata de suprafata libera a lichidului pe care se
exercita presiunea manometrica mp . Raportndu-ne la sistemul de referinta n care )( yOz este
planul suprafetei nclinate (vezi figura 4.2), iar conform legii fundamentale a hidrostaticii, valoarea
presiunii la o adncime h este data de relatia:
aggr sin z === hhgp (4.9)
Tinnd cont de (4.9), relatia (4.4) devine:
====SSSS
SznSznShnSpnF d sin d sin d d )()( agaggrrrrr
, (4.10)
36
unde S
Sz d este momentul de inertie de ordinul 1 al suprafetei nclinate fata de axa oy :
SzSz CGS
d = , (4.11) unde: S este aria suprafetei nclinate;
CGz este cota centrului de greutate al suprafetei nclinate pe axa Oz . Astfel:
Fig. 4.2 Forta de presiune pe o suprafata plana nclinata Astfel,
ShzF CGCG sin gag == )(S , (4.12) unde CGh este cota de adncime a centrului de greutate al suprafetei nclinate. Asadar, forta cu care un lichid, n repaus, actioneaza asupra unui perete plan este egala cu greutatea unei coloane din respectivul lichid avnd ca baza suprafata peretelui iar ca naltime distanta de la centrul de greutate al suprafetei la planul de referinta (planul manometric). Din relatia (4.8) se obtine urmatoarea expresie a vectorului de pozitie al punctului de
aplicatie al fortei F :
Sz
Szr
Sz
Szr
Sh
Shr
Sp
Spr
rCG
S
S
S
S
S
S
SCP
d
d
d
d
d
d
d
====
rrrr
rg
g
, (4.13)
Corespunzator sistemului de referinta, coordonatele centrului de presiune n planul yoz
sunt:
Sz
I
Sz
Szy
yCG
yz
CG
SCP ==
d ;
Sz
I
Az
Sz
zCG
y
CG
SCP ==
d 2
; (4.14)
unde: yzI este momentul de inertie centrifugal al suprafetei n raport cu Oy si Oz ;
yI este momentul inertial de ordinul doi al suprafetei fata de axa Oz . Observatie:
Daca yOz este plan de simetrie, atunci 0=yzI si 0=CPy .
Centrul de presiune este situat ntotdeauna sub cel de greutate.
37
4.2 FORTE DE ACTIUNE PE PERETI CURBI Pentru a usura calculul relatiilor (4.2) si (4.3), torsorul format din forta rezultanta pF
r si
momentul OMr
se nlocuieste cu un sistem de trei forte paralele cu axele sistemului de referinta (n
general aceste forte nu sunt concurente). Astfel, componentele fortei pFr
sunt:
=yOzS
yOzxp SpF d (4.15)
=xOzS
xOzyp SpF d (4.16)
=xOyS
xOyzp SpF d (4.17)
unde xOyS , yOzS , xOzS sunt proiectiile algebrice ale suprafetei S pe care actioneaza fluidul pe
planele xOy , yOz , respectiv xOz ale sistemului de referinta, precum n cazul din figura 4.3
pentru suprafata curba (BC). Punctul de aplicatie al componentei dupa axa Ox este dat de relatia:
=
yOz
yOzx
SyOz
SyOz
FC Sp
Spr
rd
d
r
r (4.18)
Similar se calculeaza si centrele de presiune ale celorlalte doua componente.
Fig. 4.3 Proiectiile unei suprafete curbe pe planele sistemului de referinta
38
4.2.1 Forte de actiune ale lichidelor pe pereti curbi, deschisi
Alegnd un sistem de referinta n care planul xOy este plan manometric, iar axa Oz este
orientata n sensul cresterii adncimii, pentru variatii ale presiunii n interiorul lichidului zp g= ,
relatiile (5.15), , (5.18) devin:
yOzS
yOzxp SSzFyOz
z d yOzS G gg == ; xOzyp SF z xOzS G g= ; V d gg ==
xOySxOyzp SzF (4.19)
yOzG
SyOz
FC Sz
Szr
r yOzxp
d
yOz
S
=
r
r;
xOzG
SxOz
FC Sz
Szr
r xOzyp
d
xOz
S
=
r
r; V GFC rr z
rr= (4.20)
unde V este volumul de lichid cuprins ntre suprafata udata de lichid si proiectia ei pe
planul manometric (de referinta), figura 4.3. 4.2.2 Forte de actiune ale fluidelor usoare pe pereti curbi, nchisi
Cnd actioneaza pe suprafetele curbe nchise, ale rezervoarelor ce le contin, fluidelor
usoare dezvolta eforturi unitare de tensiune n peretii acestora. Calculul acestor eforturi este util la
dimensionarea grosimii peretilor rezervoarelor.
Astfel, n cazul unui rezervor cilindric (sau o conducta) de diametru D si lungime L ce
contine un fluid la presiunea constanta p , actiunea acestuia asupra unei jumatati de cilindru este
LDpF xp = ; 0== zpyp FF ; (4.21)
Notnd efortul unitar admisibil cu as si grosimea peretelui cu d forta de reactiune ce se
dezvolta n peretele sectionat este La ds2 . Din egalitatea fortelor se obtine:
aa
DpLLDp
sdds
2
2 = (4.22)
Fig. 4.4 Forta de actiune ale fluidelor usoare pe pereti curbi, nchisi
Pentru alte tipuri de suprafete se obtin relatii de calcul a grosimii minime n mod similar.
Relatia anterioara este valabila si n cazul lichidelor cnd variatia presiunii pe verticala este
neglijabila.
39
5. MASURAREA PRESIUNILOR CU PIEZOMETRE
Aparatele cu ajutorul carora se masoara presiunea se numesc manometre. Dupa principiul
de functionare, acestea se pot clasifica n doua categorii principale: manometre cu lichid: functionarea acestora se bazeaza pe legea de variatie a presiunii n
lichidele aflate n repaus; se mai si numesc piezometre;
manometre cu element elastic: functionarea acestora se bazeaza pe dependenta dintre
valoarea presiunii si marimea deformatiei elementului elastic.
Masurarea presiunii se poate face si cu aparate ce functioneaza pe baza altor principii,
precum cele ce utilizeaza traductoare electrice sau pneumatice. Indiferent de natura instrumentului
de masura, fluidul a carui presiune se masoara este dirijat spre instrument prin intermediul unei
prize de presiune:
statica, cnd axa prizei este normala pe directia curentului (fluide n miscare), figura 1.1;
totala, cnd axa prizei este pe directia curentului, vezi figura 1.2, anterior..
5.1. PIEZOMETRE
Sunt manometre cu lichid si masoara ntotdeauna presiuni relative, exprimate n coloana de
lichid. Cnd determina presiunea ntr-un punct se numesc piezometre simple, iar daca masoara
diferenta de presiune ntre doua puncte piezometre diferentiale. Daca lichidul piezometric (lichidul
utilizat pentru determinarea presiunii) este cel a carui presiune se masoara se numesc piezometre
directe, n caz contrar piezometre indirecte. Cele mai utilizate sunt:
5.1.1 Tubul piezometric
Este cel mai simplu manometru si este constituit dintr-un tub,
deschis la capatul superior, celalalt fiind conectat la un recipient
ce contine un lichid sub presiune, superioara celei atmosferice,
precum este ilustrat n figura 5.3. Presiunile masurate sunt
relative la cea atmosferica (locala), deci suprapresiuni. Acest
instrument poate fi utilizat doar n cazul lichidelor, cnd naltimea
de lichid pe tubul piezometric este suficient de mare, astfel nct
sa fie sesizabile si masurabile variatiile de presiune.
Presiunea n punctul A, exercitata de coloana de lichid este: Fig. 5.3 - Tubul piezometric
lichid] de coloan [m h g p AfA r= . (5.1)
40
5.1.2 Tubul manometric U
Denumirea se datoreaza formei acestuia. Poate fi utilizat
pentru masurarea presiunii statice n interiorul ambelor tipuri de
fluide (lichide si gaze). Conectarea la un recipient ce contine un
fluid se face precum este ilustrat n figura 5.4. Densitatea
lichidului piezometric trebuie sa fie mai mare ca cea a fluidului a
carui presiune se masoara. De asemenea, n cazul masuratorilor
n interiorul lichidelor, acestea si lichidul piezometric trebuie sa
fie imiscibile. Pentru manometrul din figura 5.4 se pot scrie
urmatoarele relatii:
Presiunea n interiorul unui fluid n echilibru static absolut este constanta la nivelul oricarui
plan orizontal. Astfel:
CB pp = .
Pentru bratul din stnga al manometrului:
1fAB h g pp r+= ;
Pentru bratul din dreapta:
2lpC h g p r= .
Astfel, presiunea (relativa la cea atmosferica locala) n punctul A este:
1f2lpA h g h g p rr -= . (5.2) Daca fluidul a carui presiune se masoara este un gaz, densitatea acestuia este mult mai
mica dect cea a lichidului piezometric flp rr >> . n acest caz termenul 1f h g r poate fi neglijat
(deoarece 1h1 > , termenii ce contin fr pot fi neglijati, deci:
h g pp lpBA r=- . (5.5) 5.1.3 Variante mbunatatite ale manometrului U
Pentru a evita calculul presiunii prin citirea naltimii de lichid piezometric pe ambele brate
ale tubului manometric U, se utilizeaza varianta n care unul dintre brate are diametrul mult mai
mare n comparatie cu celalalt, precum n figura 5.5. n acest caz, deplasarea de lichid piezometric
pe bratul de diametru mai mare devine nesemnificativa. Planul de referim indica nivelul lichidului
piezometric pentru o diferenta nula de presiune.
Fig. 5.4 Tubul manometric U
41
Fig. 5.5 Varianta mbunatatita a manometrului U
Volumul de lichid piezometric transferat de pe un brat pe celalalt este 4d
h4D
h2
2
2
1pp ==V .
Astfel, caderea de nivel pe bratul cu diametru mai mare este 2
21 Dd
hh
= .
Diferenta de presiune 21 pp - este data de diferenta de nivel pe cele doua brate:
+=
+=-
2
2lp
2
22lp21 Dd
1h g Dd
hhg pp rr . (5.6)
Deoarece D este mult mai mare ca d ( dD >> ), raportul 2)D/d( este neglijabil
( )1)D/d( 2
42
5.2 Alegerea piezometrului adecvat
La alegerea piezometrului adecvat unei masuratori trebuie avute n vedere avantajele si/sau
dezavantajele pe care le prezinta acestea.
Avantaje
sunt foarte simple din punct de vedere constructiv;
nu necesita calibrare, presiunile masurate fiind determinate conform principiului fundamental
al hidrostaticii.
Dezavantaje
nu pot nregistra variatii rapide de presiune;
n cazul tuburilor manometrice U, trebuie efectuate simultan doua masuratori pentru a
calcula presiunea diferentiala; acest dezavantaj poate fi eliminat prin utilizarea variantei n
care unul dintre brate are diametrul mult mai mare;
este dificila determinarea unor diferente mici de presiune.
43
5. DINAMICA FLUIDELOR IDEALE
5.1 NOTIUNI GENERALE DE CINEMATICA FLUIDELOR Cinematica fluidelor studiaza miscarea acestora fara a lua n considerare:
fortele care determina, sau modifica, starea de miscare,
transformarile energetice care nsotesc miscarea fluidelor.
Astfel, deoarece sunt luate n calcul doar proprietatile geometrice ale miscarii fluidelor, rezultatele
cinematicii fluidelor sunt valabile att pentru fluide ideale, ct si pentru fluidele reale.
5.1.1 METODE DE STUDIU ALE MISCARII FLUIDELOR
Exista doua metode de studiu ale miscarii fluidelor (determinarii traiectoriilor, vitezelor si
acceleratiilor): metoda Lagrange, respectiv metoda Euler.
Metoda Lagrange studiaza miscarea unei particule de fluid n aceeasi maniera ca la
miscarea unui punct material n mecanica clasica. Lund ca referinta pozitia particulei,
) , ,( 0000 zyxrv
, la momentul initial, 0t , miscarea ei (ecuatiile traiectoriei) este cunoscuta daca se
stabilesc legile de variatie n timp ale coordonatelor de pozitie ale particulei
===
.
,
,
000
000
000
, t), z, yz (xz
, t), z, yy (xy
, t), z, yx (xx
(5.1)
Necunoscutele sistemului (5.1), coordonatele zyx , , , sunt functii de variabilele
independente 000 , , zyx (variabilele lui Lagrange). Din ecuatiile traiectoriei se deduc componentele vitezei, ) , ,(vv zyx vvv
rr= , corespunzator momentelor it , dupa cum este ilustrat n figura 5.1,
,dd
,dd
,dd
tz
vty
vtx
v zyx === (5.2)
si componentele acceleratiei ) , ,(aa zyx aaa
rr=
2
2
2
2
2
2
dd
dd
,dd
d
d ,
dd
dd
tz
tv
vty
t
vv
tx
tv
a zzy
yx
x ====== . (5.3)
Pentru a descrie miscarea a n particule ce alcatuiesc o masa de fluid sunt necesare n sisteme de
ecuatii ale miscarii, cu solutii care necesita un timp ndelungat de rezolvare si resurse de calcul
semnificative. Din punct de vedere practic, mult mai comoda este utilizarea celei de a doua
metode.
44
Fig. 5.1 Descrierea miscarii particulelor unui fluid prin metoda Lagrange
Metoda Euler studiaza cmpul de viteze n puncte fixe ale spatiului ocupat de fluid. Practic,
se determina la momentele jt componentele vitezei n puncte n care se amplaseaza sonde de
viteza. Astfel, cunoscnd componentele vitezei ca functii de coordonate si timp,
)( vv
)(
)(
)(
x, y, z, t
x, y, z, tvv
x, y, z, tvv
x, y, z, tvv
zz
yy
xxrr
=
=
=
=
, (5.4)
se determina traiectoriile prin integrarea sistemului de ecuatii (5.2), respectiv, se determina
componentele acceleratiei, derivnd componentele vitezei, ecuatiile (5.3). Metoda este ilustrata n
figura 5.2.
Fig. 5.2 Descrierea miscarii unui fluid prin metoda Euler
Expresia acceleratiei unei particule fluide este
zyx vvvtk aj ai a
t zv
yv
xvv
dvd
a zyx
+
+
+
=++==rrrrrrrrr
. (5.5)
Din relatia anterioara se constata ca acceleratia are doua componente:
acceleratia locala, )v( tr
, ce rezulta din variatia n timp a vitezei n diferitele puncte ale
spatiului ocupat de fluid si
45
acceleratia convectiva (sau de antrenare), zyx vzv
yv
x
+
+ vvv
rrr, rezultat al vitezelor diferite
n punctele fluidului.
Observatii:
1. Miscarile fluidelor pentru care 0v
=
t
r se numesc permanente: ntr-un punct din interiorul
spatiului ocupat de fluid, viteza este constanta n timp. Cele pentru care 0v
t
r se numesc
nepermanente: n acelasi punct, viteza variaza (fluctueaza, n jurul unei valori medii) n timp.
2. Acceleratia convectiva este nula n cazurile cmpurilor de viteza omogene, n care viteza este
aceeasi n toate punctele mediului fluid: miscare uniforma.
3. Utiliznd teoria cmpurilor, relatia (5.11) poate fi pusa si sub forma:
( ) +
=
+
+
+
== v vv
v v
dvd rr
rr
rrr
tv
zv
yv
xtta zyx
vvrot2v
gradv
vv2vv 22 rr
rrr
rr
++
=++
= tt
a (5.6)
n relatia (5.12) s-a pus n evidenta partea potentiala a acceleratiei convective, 2v
grad2
2v
2
sau , precum si partea rotationala a acesteia, vvrot rr
( )vv rr sau . Miscarile pentru care
0v rot =r
se numesc irotationale.
5.1.2 REPREZENTAREA GRAFICA A MISCARII UNUI FLUID.
MARIMI CARACTERISTICE MISCARII FLUIDELOR
O metoda utilizata n studiul fenomenelor de dinamica fluidelor este aceea a reprezentarii
grafice a miscarii particulelor. Se definesc urmatoarele notiuni/marimi referitoare la miscarea
fluidelor: Curentul de fluid reprezinta o masa de fluid aflata n miscare. Linia de curent este curba tangenta la vectorii viteza ai particulelor care la un moment, t , se
gasesc pe aceasta curba (figura 5.3). n general, forma linilor de curent se modifica n timp: cazul
miscarilor nepermanente, n care parametrii fluidului variaza n timp, n acelasi punct. Ele si
pastreaza forma n cazul miscarilor permanente.
46
Fig. 5.3 Liniile de curent n jurul unui profil aerodinamic Prezinta doua proprietati importante si anume:
liniile de curent nu se intersecteaza, cu exceptia unor puncte, numite puncte critice, n
care viteza este nula sau infinita (printr-un punct al spatiului ocupat de un fluid nu poate
trece la un moment dat dect o singura linie de curent, deoarece ntru-un punct nu pot
exista simultan mai multe particule cu viteze diferite; n consecinta, o particula printr-un
tub de curent se misca pe o aceeasi linie de curent;
liniile de curent umplu n ntregime spatiul ocupat de curentul de fluid.
Ecuatia diferentiala a liniilor de curent, sub forma vectoriala, se obtine din conditia de tangenta a
vitezei la linia de curent, caz n care vectorul viteza )v ,v ,v( zyx vr
are aceeasi directie cu variatia
vectorului de pozitie )d ,d ,d(d zyxrr
(pentru variatii mici ale rr
d ). Astfel, r||rr
d v , sau:
0= rrr
dv (5.7)
La momentul t sistemul ecuatiilor diferentiale al liniilor de curent este:
) , , ,(d
) , , ,(d
) , , ,(d
tzyxvz
tzyxvy
tzyxvx
zyx== (5.8)
Traiectoria unei particule de fluid reprezinta drumul parcurs de aceasta n miscarea sa.
Traiectoriile pot fi vizualizata experimental, dupa cum este prezentat n figura 5.4. n cazul
miscarilor permanente traiectoria coincide cu linia de curent, lucru care nu mai este valabil n cazul
miscarilor nepermanente.
Fig. 5.4 Vizualizarea curgerii n jurul unui profil aerodinamic
47
Ecuatia diferentiala a traiectoriei este data de relatia:
tr dvd =rr
. (5.9)
La momentul t , raportnd miscarea la sistemul triortogonal de axe xOyz , relatia anterioara
este echivalenta cu sistemul:
ttzyxv
ztzyxv
ytzyxv
x
zyxd
) , , ,(d
) , , ,(d
) , , ,(d === (5.10)
Suprafata de curent este suprafata formata din toate liniile de curent care se sprijina la un
moment dat pe o curba de forma oarecare. Daca respectiva curba este una nchisa, simpla, atunci
suprafata de curent este una tubulara, formnd un tub de curent (figura 5.5).
Fig. 5.5 Tub de curent Observatie Deoarece viteza este tangenta la peretii tubului de curent, rezulta ca prin suprafata acestuia
nu se face schimb da masa.
Un tub de curent de sectiune suficient de mica, astfel nct sa putem admite pe ea o
distributie uniforma a parametrilor da stare ai fluidului (viteze si presiuni), poarta denumirea de tub
elementar de curent (figura 5.8). Fluidul din interiorul unui tub elementar de curent formeaza un fir de fluid. Daca sectiunea
transversala a tubului elementar de curent tinde catre zero, n jurul unui punct, atunci firul de
curent reprezinta materializarea liniei de curent care trece prin acel punct.
Sectiunea transversala a unui tub de curent, numita si sectiune vie, reprezinta suprafata
normala pe liniile de curent care o strabat. Este o suprafata plana daca liniile de curent sunt
paralele, 1S si 3S n figura 5.6, sau curba n caz contrar, precum 2S .
Fig. 5.6 Sectiuni vii ntr-un tub de curent
48
Perimetrul udat, uP , reprezinta lungimea conturului sectiunii transversale a unui tub de
curent, marginita de pereti solizi. Raza hidraulica, hr , reprezinta raportul dintre aria sectiunii
curentului si perimetrul udat. Diametrul hidraulic, hd , sau echivalent hidraulic, reprezinta un
parametru utilizat n cazurile n care sectiunea de curgere nu este circulara. Se determina cu
relatia
udat Perimetrulcurentului sectiunii Aria
4PA
4r4du
schh === [m]. (5.11)
n figura 5.7 sunt prezentate doua situatii de calcul ale diametrului hidraulic, frecvent
ntlnite n practica. Astfel, pentru cazul curgerii unui fluid printr-o conducta circulara sub presiune
(fluidul ocupa ntreg spatiul interior al conductei), figura 5.7(a), perimetrul udat este dPu p= , iar
diametrul hidraulic ddh = . Asadar, n cazul conductelor circulare diametrul hidraulic coincide cu
diametrul geometric.
Fig. 5.7 Perimetrul udat si diametrul hidraulic pentru cazul curgerii unui fluid printr-o conducta circulara sub presiune, respectiv printr-un canal dreptunghiular
n cazul curgerii unui lichid printr-un canal dreptunghiular de latime b , figura 5.7(b), perimetrul
udat si diametrul hidraulic sunt h2bPu += , respectiv h2bbh
4dh += , unde h reprezinta cota de
adncime a lichidului n canal.
Debitul unui curent de fluid reprezinta cantitatea de fluid care trece printr-o sectiune n unitatea
de timp. n functie de modul de exprimare al cantitatii de fluid, poate fi:
debit volumic (sau volumetric), VQ (sau simplu Q ), reprezinta volumul de fluid care trece
printr-o sectiune transversala n unitatea de timp,
tQ
t DD=
D
VV
0lim ]/s[m3 ; (5.12)
debit masic, mQ (sau m& ), reprezinta masa de fluid corespunzatoare debitului volumic VQ ;
pentru un fluid omogen (de densitate constanta, .ct=r ),
VQQm r= . [kg/s] ; (5.13)
49
Vrtejul, sau turbionul unei particule de fluid este vectorul wr
, definit de relatia (5.14) si
reprezinta viteza unghiulara medie de rotatie a particulei n jurul unei axe ce trece prin centrul ei de
greutate.
W==rrr
21
21
vrotw (5.14)
unde W
r este vectorul ce defineste rotorul vitezei,
kyv
x
vj
xv
zv
iz
v
yv
vvvzyx
kjixyzxyz
zyx
rrr
rrr
rrr
-
+
-
+
-
=
===W vv rot . (5.15)
Datorita modului asemanator de definire vectorilor W
r si w
r si pentru W
r se mai utilizeaza,
uneori, tot denumirea de vrtej (turbion). Componentele scalare ale vrtejului sunt
-
=z
v
yv yz
x 21
w ,
-
=xv
zv zx
y 21w ,
-
=
yv
x
v xyz 2
1w . (5.16)
Linia de vrtej, suprafata de vrtej si tubul de vrtej sunt definite similar ca linia de curent,
suprafata de curent, respectiv tubul de curent.
5.2 ECUATIILE DE MISCARE ALE FLUIDELOR
5.2.1 ECUATIA DE CONTINUITATE (DE CONSERVARE A MASEI)
Dupa cum am precizat anterior, din definitia liniilor de curent rezulta ca particulele de fluid
nu pot traversa suprafetele de curent. Daca densitatea este invarianta n timp, atunci masa de fluid
nu se concentreaza n diferite puncte, deci:
Variatia masei n timp (debitul masic) este constanta n orice sectiune a unui tub de curent.
Aceasta este formularea principiului continuitatii, sau de conservare a masei aplicata unui
fluid dintr-un tub de curent. Pentru un tub elementar de curent, precum n figura 5.8, volumul de
fluid ce traverseaza sectiunea de arie Ad , n timpul td , se poate exprima cu relatia:
Fig. 5.8 Tub elementar de curent
AtAl d d vd dd ==V . (5.17) unde v este viteza fluidului (constanta la nivelul unei sectiuni normale a tubului de curent).
Astfel, masa elementara de fluid este
50
Atm d d v d d rr == V , (5.18)
iar variatia acesteia n timp tmQm ddd = :
AQm d v d r= . (5.19)
Debitul masic instantaneu, n fiecare sectiune de curgere, se obtine prin integrare
AAQA
m v d v rr == , (5.20)
unde A este aria sectiuni