Marius PERIANU Florian DUMITREL
Matematice
clasa a IX-a
filiera teoreticd: profil real (matematicd-informaticd, gtiinfe ale naturii)filiera tehnologicd: toate profilurile (tehnic, servicii, resurse naturale)filiera vocationald : profil militar (rnatematicS-informaticd)
1.1.
1.2.
1.3.
CupnlNS
RLCfgnA Capitolul 1. Mullimea numeretor realeNumere ra[ionale gi irationale. Reprezentdri zecimaleOperaliialgebrice cu numere reale ..........
Formule de calcul prescurtat. ldentitdti (extindere)Teste de evaluare
1.4. Ordonarea numerelor reale....1.5. lnegalitali algebrice (extindere) ....................
1.6. lntervale de numere reale. Operalii cu intervaleTeste de evaluore
'1.7. Modulul unui numdr real ..............
1.8. Partea intreagd 5i partea frac[ionard a unui numdr real ..............
1.9. AproximEri ale numerelor reale ............
Teste de evaluore1.10. Probleme pentru performan{a 5colara 5i olimpiade
ALGEBRA Capitolul2. Elemente de logici matematici2."1. Propozi[ie. Predicat. Operafii logice elementare2.2. Ra[ionament prin reducere la absurd2.3. lnductia matematici ................
Teste de evaluare2.4. Mulfimi ..................... 632.5. probreme de ",;;;;;;":::::::.:::.:...:....::.:...................... 67
Teste de evaluore 702.6. Probleme pentru performantd 5colard 5iolimpiade 71
ALGEBRA Capitolul3. $iruride numere reale3.1. $iruri de numere reale. $iruri monotone. $iruri marginite ..............
3.2. Progresii aritmetice ...................
3.3. Progresii geometrice ................3.4. Probleme cu progresii aritmetice gi geometrice .
Teste de evaluare3.5. Probleme pentru performanta 5colara giolimpiade
912
15
2022
25
2932
33
36394243
51
57
5962
FX77fi80€82 1
85H8991
ALGEBRA Capitolul4. Funclii. Lecturi grafice
4.1. Funclii. Proprietd[i generale. Lecturi grafice 97
4.2. lmaginea unei func[ii. Preimagine. Func[ii mdrginite """""" 101
4.3. Func[ia de gradul I ...........'........ """""" 105
4.4. Funclii pare. Funclii impare. Axe de simetrie. Centre de simetrie ............ 108
4.5. Funcfii monotone """""' 11 1
4.6. Funclii periodice """"""' 114
4.7. Compunerea funcliilor ...'.......... """"" 117
Testedeevaluare """"""' 121
4.8. Probleme pentru performanli gcolard 5iolimpiade """"""" 124
ALGEBRA Capitolul 5. Funclia de gradul al ll-lea
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
5.6.
Ecualia de gradul al doilea. Relaliile lui Vidte ""' 131
Definilia funcliei de gradul al doilea. Reprezentarea graficd ..................... 135
Monotonia funcfiei de gradul al doilea """""""" 139
Semnul funcliei de gradul al doilea """""""""""' 141
Sisteme cu ecualii de gradul al doilea """"""""" 144
Testedeevaluare """"""' 149
Probleme pentru performanld gcolari 5i olimpiade """""""' 152
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
GEOMETRIE Capitolul 6. Vectoriin plan
Segment orientat. Relalia de echipolenla. Vectori """"""""' 157
Adunarea vectorilor """' 160
inmul[irea vectorilor cu scalari """"' 162
Descompunerea unui vectori dupS doi vectori necoliniari ........................ 164
Reper cartezian in plan """""""""""" 167
Testedeevaluare """"""" 170
GEOMETRIE Capitolul 7. Concuren!5, coliniaritate, paralelism'
Calcul vectorial in geometria plani7.1. Vectorul de pozilie al unui punct. Teorema lui Thales.... ........ 173
7.2. Centre de greutate. Relafia lui Leibniz """"""""" "177
7 .3. Teorema bisectoarei. Vectorul de pozi[ie al centrului cercului inscris ... 180
7.4. Ortocentrul unui triunghi. Relalia lui Sylvester ."""""""""""' 183
7.5. Teorema lui Menelau. Probleme de coliniaritate ............."' ""' 186
7.6. Teorema lui Ceva. Probleme de concurente ..'.............. """""" 189
Testedeevoluare """"""' 192
7.7. Probleme pentru performan!5 5colari 5i olimpiade """""""' 194
ulOE
E
=f6cG
oL
fzOEEI4.
'tr(E
=I
6
GEOMETRIE Capitolul 8. Elemente de trigonometrie8.1. Cercul trigonometric. Funcliile sin 5i cos definite pe [0,2n] ........................ 2018.2. Funcfiile trigonometrice sin, cos, tg, ctg ............... ...................... 2058.3. Relatii intre functiile trigonometrice sin, cos, tg, ctg ..................................... 2108.4. Formule trigonometrice pentru sume gi diferen[e ................. 2148.5. Transformarea sumelor in produse gi a produselor in sume ...................... 218
Teste de evaluare ............ ........................ 2228.6. Probleme pentru performanli gcolard giolimpiade ............... 223
GEOMETRIE Capitolu! 9. Aplicatii ale trigonometrieigi ale produsuluiscalarin geometria plani
Produsul scalar a doi vectori .................... 227Aplica[ii ale produsului scalar in geometrie. Teorema cosinusului .......... 230Aplicatii ale trigonometriei in geometrie. Teorema sinusurilor.
9.1.
9.2.
9.3.
Rezolvarea triunghiurilor oarecare . .
Formule pentru aria triunghiului.Raza cercului inscris gi raza cercului circumscris in triunghiTeste de evaluore
SINTEZE Capitolul 10. Variante de subiecte pentru tezi10. Variante de subiecte pentru tezi
soLUTil
lndice de autori
Bibliografie
237239
233
243
249
351
3s2
tE
x(g6
!t)I
IElll
=I
CAPITOLUL
MUIIIMEA NUMERELOR REALE
Tema 1.1. Numere rationale gi ira[ionale. Reprezentiri zecimale
Tema 1.2. Opera[iialgebrice cu numere reale
Tema 1.3. Formule de calcul prescurtat. ldentitdti (extindere)
Teste de evaluare
Tema 1.4. Ordonarea numerelor reale
Tema 1.5. lnegalitdti algebrice (extindere)
Tema 1.5. lntervale de numere reale. Opera[ii cu intervale
Teste de evaluare
Tema I.7. Modulul unuinumdr real
Tema 1.8. Partea intreagd gi partea fractionard a unui numdr real
Tema 1.9. Aproximiriale numerelor reale
Teste de evaluare
Tema 1.10. Probleme pentru performanld 5colari giolimpiade
Tema I.tNumere rationale gi ira[ionale. Reprezentiri
zecimale
NotIm cu N mu[imea numerelor naturale qi w Z mul]imea numerelor intregi. Astfel,N: {0,1,2,3,...\ Si Z- {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\ .
Fracfiile i qi I (a,ceZ,b,deZ*) se numesc echivolente dacd ad=6c; scriem'bd
+ =: . Mullimea tuturor fractiilor echivalente cu o fracfie datii se numeqte numdr ralional.bdPentru simplificarea exprimlrii, vom identifica un numir rafional cu oricare dintre fracliileechivalente care il reprezinti. Mu[imea numerelor rafionale se noteazd cu Q . Agadar,
a={4lq
Cu ajutorul algoritmului de impirlire a doul numere naturale, orice fraclie ordinard Lq
(p20, q > 0) se poate scrie sub formi de fraclie zecimall periodicd, cu perioada diferita
de (9). Reciproc, orice fraclie periodicd, cu perioada diferiti de (9), se poate scrie sub
forml de fraclie ordinard.
Dacd a este o fraclie periodicd simpld, adic[ are forma a = eo,(ara2...or) , unde
ao e N qi a*dr,...,a0 e {0,1,2,...,9}, atunci
. QrA2...Apq=d^+-."uJ
p ori
in cazul cilnd a estefraclie periodicd mixtd, adicd a = qo,ata2...ak(ao*reu*r...a0,, ) , avem
p,e eZ, n *O\
. ataz...akrp - ala2...akd=d0T-.
-#'r;iQ este mu[imea tuturor fracliilor periodice (frac]iile zecimale finite sunt considerate
fraclii periodice cu perioada (0) ).Existd fracf;i zecimale infinite qi neperiodice, de exemphr a= 0,1010010001.... O
astfel de frac\ie zecimal5 se numegte numdr iralional.Reunind mullimea numerelor rafionale cu mu[imea numerelor iralionale oblinem
mullimea numerelor reale pe care o notim cu lR.. Agadar, JR este mullimea tuturor fracfiilorzecimale, periodice sau neperiodice. Notiim lR* = IR. \ {0} .
Au loc incluziunile: N c Z c Q c IR .
(!
x6(o
roU
I
t,
=II
E
I
11
{,,F
1. a) 1ridtalicd, pentru ortce me N , fracfia 4+ este ireductibil[.' 3m+2
D) Determinali n e N pentru care frac{ia !+2, "rt"reductibild.' 3n+l
2. Scrieli ca ftaclie zecimald fiecare dintre numerele:
o)5; I 13 3 3 '14/T, 4i, o-;; e)r;
n X; e -l; ntf,: tt fl; i,-#3. Transformali in fracfii ordinare urmltoarele fraclii zecimale:
a) 5,(7); b) - l,(13); c) 0,23(7); d) - t,0t(02); e) -3,2(123).4. Fie a e 1R \ Q . Este posibil caaz qia3 sd fie numere ra{ionale?
5. a) Aflali a 100- a zecimalda numlrului rational 1 .'13b) Ariiali cd exist[ un multiplu de 13 format numai cu cifral.
6.Fie a eQ Ci rn,n eN*, (m,n)=l.Ardtali cd,dacd maeZ Si naeZ,atunci aeZ.7. Ardtati cd, dacd o singur[ cifrl din reprezentarea zecimald, a unui numdr real se repetl
de o infinitate de ori, atunci numdrul este rafional.
8. Ar[tafi cb un numlr ra]ional pozitiv 1 @,n e N*, (p,q) = l) se reprezintdca fraclieq
zecimald. finiti dacd qi numai dacd q = 2" .50, unde a, B e N .
**
J 9. Se consider[ numdrul a = 0,101001000100001... .ulE a) Ardtali cd a este numdr irafional.
= b) AfTalia 1000-a zecimald,anumirului a.
e Q Calcda[isumaprimelor 1000 zecimaleale numlrului a.
55 10. a)Fie r,.yeQ gi aeJR.\Q.tu5tali cd x+y.a=0 dacdqinumai dacd x=!=0.
* b)Fie x,y,zeQ.Ar[ta]i ca xJi+yJi*rJi=0 daclginumai dacd, x:y-z=0.Z 11. Demonstrali afirmaliile:
# a)dacd reQ 9i aelR.\Q,atunci r+aeR\Q;H Qdacd reQ* gi aeR\Q,atunci raeR\e;rlE c)dacd aeR\Q,atunci -elR.\Q;=ar d) dacd,aeJR\Q, a)0,atunci GelR\e.
12
14.
15.
12. Fie zeN. Ardta\icd:
0 Ji.N<>n =k2,fteN; U JieQeJieN.13. Ardta,ti cd existi o infinitate de perechi (a,b) de mrmere iralionale ct a+beQ Si
a.beQ.
ArItali cd numdrul ",6 *.6 *.fr este iralional.
Ar[tali c[, pentru orice n e N*, urmitoarele numere sunt iralionale:
O 'ls'ii b) J1rfi; c) \i7 +sr+? : d) @Determinali numerele naturale k pentru care numdrul "[k' +31, +lA este ra]ional.
Fie mullimea y ={r+bJl I a,b e q, a2 -3b'= 1} . Aratati ca:
a)2+JieM;b) x,yeM > xyeM;c) M este infiniti.
18. a) Fie rn,n e N* . Demonshali cA Ji + Ji e Q dacd 9i numai dacd Ji, fi e X .
b) Determinali perechile (x, y) de numere naturale astfel incdt Ji * J y = 10\6 .
19. Fie a,be1R\Q astfelincdt a+beQ qi m,neN, ra *n. Ardtati cinumerele a-bqr ma + nb sunt iralionale.
***
Determinali x,y e N* astfel incdt I * I = 0,58(3) .xy
fudta,ti ci, pentru oice ne N*, numlrut Ji +J"+t este iralional.
Determinali numerele naturale n pentru care num[ru] Jn+l+J4nil este ra{ional .
16.
17,
20.
21.
22.
.E
x6(6(oU
I
U
=uJF
=I
13
Tema 1.2Operalii algebrice cu numere reale
Calculul cu numere reale se bazeazdpeproprietilile adunlrii qi inmu(irii numerelor reale.
Adunarea este operalia prin care oriclrei perechi de numere reale (x,y) i se asociazd
unnnmdrreal,notat cu x+y,ntmitsumanumerelor x ,i y.Proprietitile adunirii
1. Adunarea este asociativd: (a + b) + c = a + (b + c), oricare ar ft a,b,c eR .
2. Adunarea este comutativd: a+b =b+a,oicare arfi a,D e IR. '
3. Num[rul real 0 este element neutru pentru adunare, adicd oricare ar fi a e IR ,
avem a+0=0+a=a.4. Orice numlr real a are un opus, adicd exist[ un num[r real notat cu -a, astfel inc6t
a+(-a)=(-a)+a=0.Daca x,y elR., se noteazd x-y=x+(-x) (diferenlanumerelor x Si y).
inmullirea este operalia prin care oric[rei perechi de numere reale (x,y) i se asociazd
unnumlrreal,notat ct x'y sau rJ, ,nrttitproduszlnumerelor x qi y.ProprietSf ile inmultidi
f . inmullirea este asociativd: (ab)c = a(bc), oricare ar fr a,b,c eR .
2. inmulfirea este comutativd: ab = ba, oricare ar fi a,D e IR .
3. Numdrul real I este element neutru pentru inmulflre, adicl oricare ar fi a e )R ,
avema-l=l.a=a.4. Orice num[r real a+0 are un invers, adic[ exist[ un numir real, notat cu a-', astfel
-l -tincdt aa':a'a=7.5. inmu[irea este distributivd fald de adunare, adicd oricare at fr a,b,c elR., au loc
egalitdlile:a(b+ c) = ab + qc,
Daca x,y eJR qi /*0,senoteazd
(a+b)c=ac+bc.
= xy-t lcatul numerelor reale x qi y ).xv
ulEE
==o(o
oL
=zsElI|o.
'=(o
=E
14
2.carcurali: ,)i6-#-#; u#C E+-T_G3. a)Dacd,
S=o,ararq..., calculali dzooo-erooo si q+ar*...taroo.
rl,,F
1. Calculali (-l)' . 0, 1(3) + (-1)"*' . 0, I + (-l)'*2'Zu * r-rr*'' ], u"de n e N .
b) Dacd, S = 0, ororor..., calculali as + arc + als + ...+ qoo .
4. a) Calcula,ti suma dintre opusul gi inversul numlrului Ji 'Z .
b) Calculali suma inverselor urmltoarelor numere: -1, 2 - J1,2 + Ji .
5. Determinati x e lR in fiecare dintre cazurile:a,) opusul numIrului 2x-3 este 15 ;
6) inversul numlrului 3x-2 este 5;
c) numlrul x2 -.r este inversabil.
6. Calculali media aritmetic[ gi media geometricd a numerelor:
Q 3-2Ji qi 3+2Jr; u $o+Ji+J7 si Jm- J\-J, .
7.Sedaunumerele: "=zJl-l,l-2, b:3Ji-2Jj , "=5d1-J . Calculafi:
a) a+b+c; b) a2 +b2 +c2; c) ab+bc+ca.
8. Calculali:a)2,Q)+7,(6);
c) l,l(3)-2,07(27);
**
D,) 0,(3) + 0,0(3) + 0,00(3) ;
a1 1, - o,tg1 * | - o,lztst t+1 .
9. Calculali:
, '(+-?.3)-,(,-;.i+),,rffi-+(,-,,1)', ,-{[#-+ -t:?a+)),(-i)-i} (-,+)
ro.Determinali numerele reate x din egalitatea, i {r-*lr-i tO-t)]}= t
11. Calculali cu doui zecimale exacte:
a) Ji; b) 0,013; c) "[-slt; o + t 4 +
r 2. carcurati . ?'s * s l' (t + o'z' z i) - 1' Pt= s .,
^ .
(s].+!*2,+s,4?) ?-[,s62s - s
1 3. Se consider6 numerele reale a, b, x, y astfel incafi q - b =,{fra gi x + y :,'l; .ffiCalculali m-by+ay-bx.
14. Calculali:
ot (zJ-z +tJi- s6xds - JO - Ji) ;
(o
xlE(E
(otJ
I
rJ
=ltl
=I
15
q ,!z*{t.,1{z-11 -
4 Jt. rlo + $..t/: +.,/: +.,6 . J: - Jg *.6 .
15. Aritali c6;
o ,li& -,li-iTe =zJi; q ,!i -ifz *,li *,8 =+.16. Calculafi:
,(#r./5-vs) '
, (#ffi. #Ni)' {:,s*o,{o)) ;
"t --2iil* =2-Ji - I' Jz+,lz+Ji A-Jz_Jj ,lt;i$17. Ardtati"u q-€.€-€ *4. 4.4:4
= x.' Jto +J0 +Js +'.6 ',
Jio -G*\6-\fi = " '
***
18. cdturile oblinute prin imprrlirea numerelor #, #, f ,uun num6r rational r > 0
sunt numere intregi. Aflali cel mai mare numlr ralional r cu aceastii proprietate.
19.Fie a,6eIR* astfelincdt t=!-* Calcutali ffi2O.a) Ardtati cd ;-p I I L pentru orice k e N*.kJk +i(k;DJi- = G-Tt *, '
D,) Calculali suma
' t@+rt r4.;'[="-;m+(n+|fr, rr€rr-.
c,) Determinali rz e N * astfel inc6t S. = 0, 75 .
.("-*)(*.#)'
utOE
ts
==ocIE
oL
3zsctUA.
f.U
=I
16
Top Related